बहुपदों को रैखिक गुणनखंडों में गुणनखंड करना। बहुपद। एक बहुपद को गुणनखंडों में गुणनखंड करना: विधियाँ, उदाहरण

बहुत बार, किसी भिन्न के अंश और हर बीजगणितीय अभिव्यक्ति होते हैं जिन्हें पहले गुणनखंडित किया जाना चाहिए, और फिर, उनके बीच समान पाए जाने पर, अंश और हर दोनों को उनसे विभाजित करें, यानी अंश को कम करें। 7वीं कक्षा की बीजगणित पाठ्यपुस्तक का एक पूरा अध्याय एक बहुपद का गुणनखंड करने के कार्य के लिए समर्पित है। गुणनखंडन किया जा सकता है 3 तरीके, साथ ही इन विधियों का एक संयोजन।

1. संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अनुप्रयोग

जैसा कि ज्ञात है, को एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करें, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा। बहुपदों को गुणा करने के कम से कम 7 (सात) बार-बार होने वाले मामले हैं जो अवधारणा में शामिल हैं। उदाहरण के लिए,

तालिका 1. पहली तरह से गुणनखंडन

2. सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना

यह विधि वितरण गुणन नियम के अनुप्रयोग पर आधारित है। उदाहरण के लिए,

हम मूल अभिव्यक्ति के प्रत्येक पद को उस कारक से विभाजित करते हैं जिसे हम निकालते हैं, और हमें कोष्ठक में एक अभिव्यक्ति मिलती है (अर्थात्, जो था उसे जो हम निकालते हैं उससे विभाजित करने का परिणाम कोष्ठक में रहता है)। सबसे पहले आपको चाहिए गुणक का सही निर्धारण करें, जिसे ब्रैकेट से बाहर निकाला जाना चाहिए।

सामान्य गुणनखंड कोष्ठक में बहुपद भी हो सकता है:

"गुणनखंडन" कार्य करते समय, आपको कुल गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखते समय संकेतों से विशेष रूप से सावधान रहने की आवश्यकता है। कोष्ठक में प्रत्येक पद का चिह्न बदलना (बी ० ए), आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें -1 , और कोष्ठक में प्रत्येक पद को -1 से विभाजित किया जाएगा: (बी - ए) = - (ए - बी) .

यदि कोष्ठक में व्यंजक वर्ग है (या किसी सम घात तक), तो कोष्ठक के अंदर संख्याओं की अदला-बदली की जा सकती है पूरी तरह से स्वतंत्र रूप से, क्योंकि कोष्ठक से निकाले गए ऋण गुणा करने पर भी प्लस में बदल जाएंगे: (बी - ए) 2 = (ए - बी) 2, (बी - ए) 4 = (ए - बी) 4 और इसी तरह…

3. समूहीकरण विधि

कभी-कभी किसी अभिव्यक्ति के सभी शब्दों में एक समान कारक नहीं होता है, लेकिन केवल कुछ में ही एक सामान्य कारक होता है। तो आप कोशिश कर सकते हैं समूह शर्तें कोष्ठक में ताकि प्रत्येक से कुछ कारक निकाला जा सके। समूहीकरण विधि- यह कोष्ठक से सामान्य कारकों का दोहरा निष्कासन है।

4. एक साथ कई विधियों का उपयोग करना

कभी-कभी आपको एक बहुपद का गुणनखंड करने के लिए एक नहीं, बल्कि कई तरीकों को एक साथ लागू करने की आवश्यकता होती है।

यह विषय का सारांश है "कारकीकरण". चुनें कि आगे क्या करना है:

• अगले सारांश पर जाएँ:

क्या हुआ? गुणनखंडन?यह एक असुविधाजनक और जटिल उदाहरण को सरल और सुंदर उदाहरण में बदलने का एक तरीका है।) एक बहुत शक्तिशाली तकनीक! यह प्रारंभिक और उच्च गणित दोनों में हर कदम पर पाया जाता है।

गणितीय भाषा में ऐसे परिवर्तनों को भावों का समरूप रूपान्तरण कहा जाता है। जो लोग नहीं जानते, वे लिंक पर नज़र डालें। वहाँ बहुत कम है, सरल और उपयोगी।) किसी भी पहचान परिवर्तन का अर्थ अभिव्यक्ति की रिकॉर्डिंग है दूसरे रूप मेंइसके सार को बनाए रखते हुए.

अर्थ गुणनअत्यंत सरल और स्पष्ट. नाम से ही सही. आप भूल सकते हैं (या नहीं जानते) कि गुणक क्या है, लेकिन आप यह पता लगा सकते हैं कि यह शब्द "गुणा" शब्द से आया है?) फैक्टरिंग का अर्थ है: किसी चीज़ को किसी चीज़ से गुणा करने के रूप में एक अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करें। गणित और रूसी भाषा मुझे माफ कर दें...) बस इतना ही।

उदाहरण के लिए, आपको संख्या 12 का विस्तार करने की आवश्यकता है। आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

इसलिए हमने संख्या 12 को 3 बटा 4 के गुणन के रूप में प्रस्तुत किया। कृपया ध्यान दें कि दाईं ओर की संख्याएं (3 और 4) बाईं ओर की संख्या (1 और 2) से पूरी तरह से अलग हैं। लेकिन हम अच्छी तरह समझते हैं कि 12 और 3 4 एक ही बात।परिवर्तन से संख्या 12 का सार नहीं बदला है.

क्या 12 को अलग-अलग तरीके से विघटित करना संभव है? आसानी से!

12=3·4=2·6=3·2·2=0.5·24=........

विघटन के विकल्प अनंत हैं।

संख्याओं का गुणनखंडन एक उपयोगी चीज़ है। उदाहरण के लिए, जड़ों के साथ काम करते समय यह बहुत मदद करता है। लेकिन बीजीय व्यंजकों का गुणनखंडन न केवल उपयोगी है, बल्कि उपयोगी भी है ज़रूरी!उदाहरण के लिए:

सरल बनाएं:

जो लोग यह नहीं जानते कि किसी अभिव्यक्ति का मूल्यांकन कैसे किया जाए, वे हाशिए पर हैं। जो लोग जानते हैं कि कैसे - सरल बनाएं और प्राप्त करें:

प्रभाव अद्भुत है, है ना?) वैसे, समाधान काफी सरल है। आप स्वयं नीचे देखेंगे. या, उदाहरण के लिए, यह कार्य:

प्रश्न हल करें:

एक्स 5 - एक्स 4 = 0

वैसे तो ये मन में ही तय होता है. गुणनखंडन का उपयोग करना. हम इस उदाहरण को नीचे हल करेंगे। उत्तर: एक्स 1 = 0; एक्स 2 = 1.

या, वही बात, लेकिन पुराने लोगों के लिए):

प्रश्न हल करें:

इन उदाहरणों में मैंने दिखाया मुख्य उद्देश्यगुणनखंडन: भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को सरल बनाना और कुछ प्रकार के समीकरणों को हल करना। यहाँ याद रखने योग्य एक सामान्य नियम है:

यदि हमारे सामने कोई डरावनी भिन्नात्मक अभिव्यक्ति है, तो हम अंश और हर का गुणनखंड करने का प्रयास कर सकते हैं। बहुत बार भिन्न को छोटा और सरल बना दिया जाता है।

यदि हमारे सामने एक समीकरण है, जहां दाईं ओर शून्य है, और बाईं ओर - मुझे समझ नहीं आ रहा है, तो हम बाईं ओर का गुणनखंड करने का प्रयास कर सकते हैं। कभी-कभी यह मदद करता है)।

गुणनखंडन की मूल विधियाँ।

यहाँ वे हैं, सबसे लोकप्रिय तरीके:

4. द्विघात त्रिपद का विस्तार।

इन तरीकों को जरूर याद रखना चाहिए. बिल्कुल उसी क्रम में. जटिल उदाहरणों की जाँच की जाती है सभी संभावित अपघटन विधियों के लिए.और क्रम में जांच करना बेहतर है ताकि भ्रमित न हों... तो चलिए क्रम से शुरू करते हैं।)

1. सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना।

एक सरल और विश्वसनीय तरीका. उससे कुछ भी बुरा नहीं होता! ऐसा या तो ठीक से होता है या बिल्कुल नहीं होता।) इसीलिए वह पहले स्थान पर आता है। आइए इसका पता लगाएं।

हर कोई जानता है (मुझे विश्वास है!) नियम:

ए(बी+सी) = एबी+एसी

या अधिक सामान्य रूप से देखें:

a(b+c+d+...) = ab+ac+ad+....

सभी समानताएँ बाएँ से दाएँ और इसके विपरीत, दाएँ से बाएँ दोनों तरह से काम करती हैं। आप लिख सकते हो:

एबी+एसी = ए(बी+सी)

एबी+एसी+विज्ञापन+.... = ए(बी+सी+डी+...)

सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने का पूरा उद्देश्य यही है।

बायीं तरफ पर ए - सामान्य गुणकसभी शर्तों के लिए. जो कुछ भी मौजूद है उससे गुणा किया गया)। दाहिनी ओर सबसे अधिक है एपहले से ही स्थित है कोष्ठक के बाहर.

व्यावहारिक अनुप्रयोगआइए उदाहरणों का उपयोग करके विधि को देखें। पहले तो विकल्प सरल है, यहाँ तक कि आदिम भी।) लेकिन इस विकल्प पर मैं ध्यान दूँगा ( हरा) बहुत महत्वपूर्ण बिंदुकिसी भी गुणनखंडन के लिए.

गुणनखंड:

आह+9x

कौन सामान्यक्या गुणक दोनों पदों में प्रकट होता है? एक्स, बिल्कुल! हम इसे कोष्ठक से बाहर निकाल देंगे. आओ इसे करें। हम तुरंत कोष्ठक के बाहर X लिखते हैं:

कुल्हाड़ी+9x=x(

और कोष्ठक में हम विभाजन का परिणाम लिखते हैं प्रत्येक पदइसी एक्स पर. क्रम में:

इतना ही। निःसंदेह, इसका इतना विस्तार से वर्णन करने की आवश्यकता नहीं है, यह मन ही मन किया जाता है। लेकिन यह समझने की सलाह दी जाती है कि क्या है)। हम स्मृति में रिकॉर्ड करते हैं:

हम सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक के बाहर लिखते हैं। कोष्ठक में हम सभी पदों को इस सामान्य गुणनखंड से विभाजित करने के परिणाम लिखते हैं। क्रम में।

इसलिए हमने अभिव्यक्ति का विस्तार किया है आह+9xगुणक द्वारा. इसे x से गुणा करने में बदल दिया (ए+9).मैं ध्यान देता हूं कि मूल अभिव्यक्ति में गुणा भी था, यहां तक ​​कि दो भी: a·x और 9·x.लेकिन यह गुणनखंडित नहीं किया गया था!क्योंकि इस अभिव्यक्ति में गुणन के अलावा जोड़, "+" चिन्ह भी शामिल था! और अभिव्यक्ति में एक्स(ए+9) गुणा के अलावा कुछ भी नहीं है!

ऐसा कैसे!? - मुझे लोगों की क्रोध भरी आवाज़ सुनाई देती है - और कोष्ठक में!?)

हाँ, कोष्ठक के अंदर जोड़ है। लेकिन चाल यह है कि जब तक कोष्ठक खुले नहीं होते, हम उन पर विचार करते हैं एक अक्षर की तरह.और हम सभी क्रियाएं पूरी तरह से कोष्ठक के साथ करते हैं, जैसे एक अक्षर के साथ.इस अर्थ में, अभिव्यक्ति में एक्स(ए+9)गुणा के अलावा कुछ भी नहीं है. यह गुणनखंडन का संपूर्ण बिंदु है।

वैसे, क्या किसी तरह यह जांचना संभव है कि हमने सब कुछ सही ढंग से किया है या नहीं? आसानी से! आपने जो लिखा है (x) उसे कोष्ठक से गुणा करना और देखना कि क्या यह काम करता है, पर्याप्त है मूलअभिव्यक्ति? अगर यह काम करता है, तो सब कुछ बढ़िया है!)

x(a+9)=ax+9x

इसने काम किया।)

इस आदिम उदाहरण में कोई समस्या नहीं है. लेकिन अगर कई शब्द हों, और यहां तक ​​कि अलग-अलग संकेतों के साथ भी... संक्षेप में, हर तीसरा छात्र गड़बड़ करता है)। इसलिए:

यदि आवश्यक हो, व्युत्क्रम गुणन द्वारा गुणनखंडन की जाँच करें।

गुणनखंड:

3ax+9x

हम एक सामान्य कारक की तलाश कर रहे हैं। खैर, एक्स के साथ सब कुछ स्पष्ट है, इसे बाहर निकाला जा सकता है। क्या यहां और है सामान्यकारक? हाँ! यह तीन है. आप अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिख सकते हैं:

3ax+3 3x

यहां यह तुरंत स्पष्ट है कि सामान्य कारक क्या होगा 3x. यहां हम इसे निकालते हैं:

3ax+3 3x=3x(a+3)

छितराया हुआ।

अगर आप इसे बाहर निकालेंगे तो क्या होगा केवल एक्स?कुछ भी खास नहीं:

3ax+9x=x(3a+9)

यह भी एक गुणनखंड होगा. लेकिन इस आकर्षक प्रक्रिया में, अवसर होने पर हर चीज़ को सीमा तक रखने की प्रथा है। यहां कोष्ठक में तीन को बाहर निकालने का अवसर है। यह निकलेगा:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

वही बात, केवल एक अतिरिक्त कार्रवाई के साथ।) याद रखें:

सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालते समय, हम निकालने का प्रयास करते हैं अधिकतमसामान्य कारक.

क्या हमें मज़ा जारी रखना चाहिए?)

अभिव्यक्ति का कारक:

3एख+9х-8ए-24

हम क्या छीन लेंगे? तीन, एक्स? नहीं... आप नहीं कर सकते. मैं आपको याद दिलाता हूं कि आप केवल बाहर ही निकाल सकते हैं सामान्यगुणक अर्थात सभी मेंअभिव्यक्ति की शर्तें. इसीलिए वह सामान्य।यहां ऐसा कोई गुणक नहीं है... क्या, आपको इसका विस्तार नहीं करना पड़ेगा!? अच्छा, हाँ, हम बहुत खुश थे... मिलें:

2. समूहीकरण।

दरअसल, समूह का नाम बताना कठिन है स्वतंत्र तरीके सेगुणनखंडन. यह बाहर निकलने का एक तरीका है जटिल उदाहरण.) हमें शर्तों को समूहीकृत करने की आवश्यकता है ताकि सब कुछ ठीक से काम कर सके। इसे केवल उदाहरण द्वारा ही दर्शाया जा सकता है। तो, हमारे पास अभिव्यक्ति है:

3एख+9х-8ए-24

यह देखा जा सकता है कि कुछ सामान्य अक्षर और संख्याएँ हैं। लेकिन... सामान्यसभी शर्तों में कोई गुणक नहीं है। आइए हिम्मत न हारें और अभिव्यक्ति को टुकड़ों में तोड़ दो.आइए समूह बनाएं. ताकि प्रत्येक टुकड़े में एक सामान्य कारक हो, दूर ले जाने के लिए कुछ न कुछ हो। हम इसे कैसे तोड़ें? हां, हम सिर्फ कोष्ठक लगाते हैं।

मैं आपको याद दिला दूं कि कोष्ठक कहीं भी और जैसे भी आप चाहें, लगाए जा सकते हैं। बस उदाहरण का सार नहीं बदला है.उदाहरण के लिए, आप यह कर सकते हैं:

3एख+9х-8ए-24=(3ах+9х)-(8а+24)

कृपया दूसरे कोष्ठक पर ध्यान दें! उनके पहले एक ऋण चिह्न होता है, और 8एऔर 24 सकारात्मक हो गया! यदि, जाँच करने के लिए, हम कोष्ठक को वापस खोलते हैं, तो संकेत बदल जाएंगे, और हमें मिल जाएगा मूलअभिव्यक्ति। वे। कोष्ठक से अभिव्यक्ति का सार नहीं बदला है.

लेकिन यदि आपने चिह्न के परिवर्तन को ध्यान में रखे बिना कोष्ठक डाला है, उदाहरण के लिए, इस तरह:

3एख+9х-8ए-24=(3ax+9x) -(8ए-24 )

यह एक गलती होगी. दाईं ओर - पहले से ही अन्यअभिव्यक्ति। कोष्ठक खोलो और सब कुछ दिखाई देने लगेगा। आपको आगे निर्णय लेने की ज़रूरत नहीं है, हाँ...)

लेकिन आइए गुणनखंडन पर वापस लौटें। आइए पहले कोष्ठक को देखें (3ax+9x)और हम सोचते हैं, क्या ऐसा कुछ है जिसे हम निकाल सकते हैं? खैर, हमने ऊपर इस उदाहरण को हल कर लिया है, हम इसे ले सकते हैं 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

आइए दूसरे कोष्ठक का अध्ययन करें, हम वहां आठ जोड़ सकते हैं:

(8ए+24)=8(ए+3)

हमारी संपूर्ण अभिव्यक्ति होगी:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

गुणनखंडित? नहीं। विघटन का परिणाम होना चाहिए केवल गुणालेकिन हमारे यहां माइनस साइन सब कुछ खराब कर देता है। लेकिन... दोनों शब्दों में एक सामान्य कारक है! यह (ए+3). यह अकारण नहीं था कि मैंने कहा कि संपूर्ण कोष्ठक मानों एक ही अक्षर हैं। इसका मतलब यह है कि इन कोष्ठकों को कोष्ठकों से बाहर निकाला जा सकता है। हाँ, बिल्कुल ऐसा ही लगता है।)

जैसा ऊपर बताया गया है हम वैसा ही करते हैं। हम उभयनिष्ठ गुणनखंड लिखते हैं (ए+3), दूसरे कोष्ठक में हम पदों को विभाजित करने के परिणाम लिखते हैं (ए+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

सभी! दायीं ओर गुणा के अलावा कुछ भी नहीं है! इसका मतलब है कि गुणनखंडन सफलतापूर्वक पूरा हो गया है!) यहाँ यह है:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

आइए संक्षेप में समूह का सार दोहराएँ।

यदि अभिव्यक्ति नहीं होती सामान्यके लिए गुणक सब लोगशब्दों में, हम व्यंजक को कोष्ठक में तोड़ते हैं ताकि कोष्ठक के अंदर उभयनिष्ठ गुणनखंड हो था।हम इसे बाहर निकालते हैं और देखते हैं कि क्या होता है। यदि आप भाग्यशाली हैं और कोष्ठक में बिल्कुल समान अभिव्यक्तियाँ बची हैं, तो हम इन कोष्ठकों को कोष्ठक से बाहर निकाल देते हैं।

मैं यह भी जोड़ूंगा कि समूहीकरण एक रचनात्मक प्रक्रिया है)। यह हमेशा पहली बार काम नहीं करता. कोई बात नहीं। कभी-कभी आपको शर्तों को बदलना पड़ता है और विचार करना पड़ता है विभिन्न विकल्पएक सफल समूह मिलने तक समूह बनाएं। यहां मुख्य बात हिम्मत हारना नहीं है!)

उदाहरण.

अब, अपने आप को ज्ञान से समृद्ध करके, आप ऐसा कर सकते हैं पेचीदा उदाहरणनिर्णय लें।) पाठ की शुरुआत में इनमें से तीन थे...

सरल बनाएं:

संक्षेप में, हम इस उदाहरण को पहले ही हल कर चुके हैं। अपने आप से अनभिज्ञ।) मैं आपको याद दिलाता हूं: यदि हमें एक भयानक भिन्न दिया जाता है, तो हम अंश और हर का गुणनखंड करने का प्रयास करते हैं। अन्य सरलीकरण विकल्प बस नहीं.

खैर, यहां हर का विस्तार नहीं किया गया है, लेकिन अंश का... हमने पाठ के दौरान अंश का विस्तार पहले ही कर दिया है! इस कदर:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

हम विस्तार के परिणाम को भिन्न के अंश में लिखते हैं:

भिन्नों को कम करने के नियम (अंश का मुख्य गुण) के अनुसार, हम अंश और हर को एक ही संख्या या अभिव्यक्ति से (एक ही समय में!) विभाजित कर सकते हैं। इससे अंश नहीं बदलता.इसलिए हम अंश और हर को व्यंजक से विभाजित करते हैं (3x-8). और यहां-वहां हमें मिल जाएंगे. सरलीकरण का अंतिम परिणाम:

मैं विशेष रूप से इस बात पर जोर देना चाहूंगा: किसी भिन्न को कम करना तभी संभव है जब भावों को गुणा करने के अलावा अंश और हर में भी हो वहां कुछ भी नहीं है।इसीलिए योग (अंतर) का परिवर्तन गुणासरलीकरण के लिए बहुत महत्वपूर्ण है. बेशक, अगर अभिव्यक्तियाँ अलग,फिर कुछ भी कम नहीं होगा. ऐसा होगा. लेकिन गुणनखंडीकरण मौका देता है.विघटन के बिना यह संभावना ही नहीं है।

समीकरण के साथ उदाहरण:

प्रश्न हल करें:

एक्स 5 - एक्स 4 = 0

हम सामान्य कारक निकालते हैं एक्स 4कोष्ठक से बाहर. हम पाते हैं:

x 4 (x-1)=0

हम समझते हैं कि कारकों का गुणनफल शून्य के बराबर है तब और केवल तभी,जब उनमें से कोई भी शून्य हो. यदि संदेह है, तो मुझे कुछ गैर-शून्य संख्याएँ खोजें, जिन्हें गुणा करने पर शून्य मिलेगा।) तो हम लिखते हैं, पहले पहला गुणनखंड:

ऐसी समानता के साथ, दूसरा कारक हमें चिंतित नहीं करता है। कोई भी हो सकता है, लेकिन अंत में वह शून्य ही होगा। शून्य चौथी घात को कौन सी संख्या देता है? केवल शून्य! और कोई अन्य नहीं... इसलिए:

हमने पहले कारक का पता लगाया और एक मूल पाया। आइए दूसरे कारक पर नजर डालें। अब हमें पहले कारक की कोई परवाह नहीं है।):

यहां हमें एक समाधान मिला: एक्स 1 = 0; एक्स 2 = 1. इनमें से कोई भी मूल हमारे समीकरण में फिट बैठता है।

बहुत महत्वपूर्ण नोट. कृपया ध्यान दें कि हमने समीकरण हल कर लिया है टुकड़ा दर टुकड़ा!प्रत्येक कारक शून्य के बराबर था, अन्य कारकों की परवाह किए बिना.वैसे, यदि ऐसे समीकरण में हमारे जैसे दो कारक नहीं हैं, बल्कि तीन, पांच, जितने चाहें उतने कारक हैं, हम हल कर देंगे ठीक वैसा।टुकड़ा दर टुकड़ा. उदाहरण के लिए:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

जो कोई भी कोष्ठक खोलता है और सब कुछ गुणा करता है वह इस समीकरण पर हमेशा के लिए अटक जाएगा।) एक सही छात्र तुरंत देखेगा कि गुणा के अलावा बाईं ओर कुछ भी नहीं है, और दाईं ओर शून्य है। और वह (अपने दिमाग में!) सभी कोष्ठकों को शून्य के बराबर करना शुरू कर देगा। और उसे (10 सेकंड में!) सही समाधान मिल जाएगा: एक्स 1 = 1; एक्स 2 = -5; एक्स 3 = 3; x 4 = -2.

बढ़िया, ठीक है?) यदि समीकरण बाईं ओर है तो ऐसा सुंदर समाधान संभव है गुणनखंडित।संकेत मिल गया?)

खैर, एक आखिरी उदाहरण, पुराने लोगों के लिए):

प्रश्न हल करें:

यह कुछ हद तक पिछले वाले के समान है, क्या आपको नहीं लगता?) बिल्कुल। यह याद रखने का समय है कि सातवीं कक्षा में बीजगणित, साइन, लघुगणक और कुछ भी अक्षरों के नीचे छिपाया जा सकता है! पूरे गणित में फैक्टरिंग काम करती है।

हम सामान्य कारक निकालते हैं एलजी 4 एक्सकोष्ठक से बाहर. हम पाते हैं:

लॉग 4 x=0

यह एक जड़ है. आइए दूसरे कारक पर नजर डालें।

यहाँ अंतिम उत्तर है: एक्स 1 = 1; x 2 = 10.

मुझे आशा है कि आपको भिन्नों को सरल बनाने और समीकरणों को हल करने में गुणनखंडन की शक्ति का एहसास हो गया होगा।)

इस पाठ में हमने सामान्य गुणनखंडन और समूहन के बारे में सीखा। संक्षिप्त गुणन और द्विघात त्रिपद के सूत्रों को समझना बाकी है।

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किसी समीकरण का गुणनखंडन उन पदों या अभिव्यक्तियों को खोजने की प्रक्रिया है, जिन्हें गुणा करने पर प्रारंभिक समीकरण प्राप्त होता है। बुनियादी बीजगणितीय समस्याओं को हल करने के लिए फैक्टरिंग एक उपयोगी कौशल है, और द्विघात समीकरणों और अन्य बहुपदों के साथ काम करते समय यह लगभग आवश्यक हो जाता है। फैक्टरिंग का उपयोग बीजगणितीय समीकरणों को सरल बनाने के लिए किया जाता है ताकि उन्हें हल करना आसान हो सके। किसी समीकरण को हाथ से हल करने की तुलना में फैक्टरिंग आपको कुछ संभावित उत्तरों को तेजी से खत्म करने में मदद कर सकता है।

कदम

गुणनखंड संख्याएँ और बुनियादी बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ

1. फैक्टरिंग नंबर.फैक्टरिंग की अवधारणा सरल है, लेकिन व्यवहार में, फैक्टरिंग चुनौतीपूर्ण हो सकती है (यदि कोई जटिल समीकरण दिया गया हो)। इसलिए, सबसे पहले, आइए एक उदाहरण के रूप में संख्याओं का उपयोग करके गुणनखंडन की अवधारणा को देखें और आगे बढ़ें सरल समीकरण, और फिर जटिल समीकरणों की ओर बढ़ें। मल्टीप्लायरों दिया गया नंबर- ये वे संख्याएँ हैं जिन्हें गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 12 के गुणनखंड संख्याएँ हैं: 1, 12, 2, 6, 3, 4, चूँकि 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12।

   • इसी तरह, आप किसी संख्या के गुणनखंडों को उसके भाजक के रूप में सोच सकते हैं, यानी वे संख्याएँ जिनसे वह संख्या विभाज्य है।
   • संख्या 60 के सभी गुणनखंड ज्ञात कीजिए। हम अक्सर संख्या 60 का उपयोग करते हैं (उदाहरण के लिए, एक घंटे में 60 मिनट, एक मिनट में 60 सेकंड, आदि) और यह संख्या काफी है बड़ी संख्यागुणक.
     • 60 गुणक: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 और 60।

2. याद करना:एक गुणांक (संख्या) और एक चर वाले अभिव्यक्ति के पदों को भी गुणनखंडित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, चर के गुणांक कारक ज्ञात करें। समीकरणों के पदों को गुणनखंडित करने का तरीका जानकर, आप इस समीकरण को आसानी से सरल बना सकते हैं।

   • उदाहरण के लिए, पद 12x को 12 और x के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। आप 12x को 3(4x), 2(6x), आदि के रूप में भी लिख सकते हैं, 12 को उन कारकों में विभाजित कर सकते हैं जो आपके लिए सबसे अच्छा काम करते हैं।
     • आप लगातार 12x बार डील कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, आपको 3(4x) या 2(6x) पर नहीं रुकना चाहिए; विस्तार जारी रखें: 3(2(2x)) या 2(3(2x)) (स्पष्ट रूप से 3(4x)=3(2(2x)), आदि)

3. गुणन के वितरण गुण को गुणनखंड बीजगणितीय समीकरणों पर लागू करें।यह जानकर कि संख्याओं और अभिव्यक्तियों की शर्तों (चर के साथ गुणांक) का गुणनखंड कैसे किया जाता है, आप सरल बना सकते हैं बीजगणितीय समीकरण, अभिव्यक्ति की संख्या और पद का सामान्य गुणनखंड ज्ञात करना। आमतौर पर, किसी समीकरण को सरल बनाने के लिए, आपको सबसे बड़ा सामान्य कारक (जीसीडी) खोजने की आवश्यकता होती है। यह सरलीकरण गुणन के वितरण गुण के कारण संभव है: किसी भी संख्या a, b, c के लिए, समानता a(b+c) = ab+ac सत्य है।

   • उदाहरण। समीकरण 12x + 6 का गुणनखंड करें। सबसे पहले, 12x और 6 की जीसीडी ज्ञात करें। 6 है सबसे बड़ी संख्या, जो 12x और 6 दोनों को विभाजित करता है, इसलिए आप इस समीकरण को 6(2x+1) में विभाजित कर सकते हैं।
   • यह प्रक्रिया उन समीकरणों के लिए भी सत्य है जिनमें ऋणात्मक और भिन्नात्मक पद हैं। उदाहरण के लिए, x/2+4 को 1/2(x+8) में विभाजित किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, -7x+(-21) को -7(x+3) में विभाजित किया जा सकता है।

   द्विघात समीकरणों का गुणनखंडन

   1. सुनिश्चित करें कि समीकरण द्विघात रूप (ax 2 + bx + c = 0) में दिया गया है।द्विघात समीकरणों का रूप है: ax 2 + bx + c = 0, जहां a, b, c 0 के अलावा अन्य संख्यात्मक गुणांक हैं। यदि आपको एक चर (x) वाला समीकरण दिया गया है और इस समीकरण में एक या अधिक पद हैं दूसरे क्रम के चर के साथ, आप समीकरण के सभी पदों को समीकरण के एक तरफ ले जा सकते हैं और इसे शून्य के बराबर सेट कर सकते हैं।

      • उदाहरण के लिए, समीकरण दिया गया है: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. इसे समीकरण x 2 + 6x + 9 = 0 में परिवर्तित किया जा सकता है, जो एक द्विघात समीकरण है।
      • बड़े ऑर्डर के चर x वाले समीकरण, उदाहरण के लिए, x 3, x 4, आदि। द्विघात समीकरण नहीं हैं. ये घन समीकरण, चौथे क्रम के समीकरण और इसी तरह के अन्य समीकरण हैं (जब तक कि ऐसे समीकरणों को चर x की घात 2 तक बढ़ाकर द्विघात समीकरणों में सरलीकृत नहीं किया जा सकता)।

   2. द्विघात समीकरण, जहां a = 1, को (x+d)(x+e) में विस्तारित किया जाता है, जहां d*e=c और d+e=b।यदि आपको दिए गए द्विघात समीकरण का रूप है: x 2 + bx + c = 0 (अर्थात्, x 2 का गुणांक 1 है), तो ऐसे समीकरण को उपरोक्त कारकों में विस्तारित किया जा सकता है (लेकिन इसकी गारंटी नहीं है)। ऐसा करने के लिए, आपको दो संख्याएं ढूंढनी होंगी, जिन्हें गुणा करने पर "सी" और जोड़ने पर "बी" मिलता है। एक बार जब आपको ये दो संख्याएँ (d और e) मिल जाएँ, तो उन्हें निम्नलिखित अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें: (x+d)(x+e), जो, कोष्ठक खोलने पर, मूल समीकरण की ओर ले जाती है।

      • उदाहरण के लिए, एक द्विघात समीकरण x 2 + 5x + 6 = 0 दिया गया है। 3*2=6 और 3+2=5, तो आप इस समीकरण को (x+3)(x+2) में गुणनखंडित कर सकते हैं।
      • नकारात्मक शब्दों के लिए, गुणनखंडन प्रक्रिया में निम्नलिखित छोटे बदलाव करें:
        • यदि किसी द्विघात समीकरण का रूप x 2 -bx+c है, तो इसका विस्तार: (x-_)(x-_) में होता है।
        • यदि किसी द्विघात समीकरण का रूप x 2 -bx-c है, तो इसका विस्तार इस प्रकार होता है: (x+_)(x-_).
      • नोट: रिक्त स्थान को भिन्नों या से बदला जा सकता है दशमलव संख्याएं. उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + (21/2)x + 5 = 0 को (x+10)(x+1/2) में विस्तारित किया गया है।

   3. परीक्षण और त्रुटि द्वारा गुणनखंडन।सरल द्विघातीय समीकरणजब तक आपको समाधान नहीं मिल जाता तब तक संभावित समाधानों में संख्याओं को जोड़कर गुणनखंडन किया जा सकता है सही निर्णय. यदि समीकरण का रूप ax 2 +bx+c है, जहां a>1 है, तो संभावित समाधान (dx +/- _)(ex +/- _) के रूप में लिखे जाते हैं, जहां d और e गैर-शून्य संख्यात्मक गुणांक हैं , जिसे गुणा करने पर a मिलता है। या तो d या e (या दोनों गुणांक) 1 के बराबर हो सकते हैं। यदि दोनों गुणांक 1 के बराबर हैं, तो ऊपर वर्णित विधि का उपयोग करें।

      • उदाहरण के लिए, समीकरण 3x 2 - 8x + 4 दिया गया है। यहां 3 में केवल दो गुणनखंड (3 और 1) हैं, इसलिए संभावित समाधान (3x +/- _)(x +/- _) के रूप में लिखे गए हैं। इस मामले में, रिक्त स्थान के लिए -2 प्रतिस्थापित करने पर, आपको सही उत्तर मिलेगा: -2*3x=-6x और -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x और -2*-2=4, यानी कोष्ठक खोलने पर ऐसा विस्तार मूल समीकरण के पदों को जन्म देगा।

बहुपदों के गुणन पर विचार करते हुए, हमें कई सूत्र याद आए, अर्थात्: (ए + बी)² के लिए सूत्र, (ए - बी)² के लिए, (ए + बी) के लिए (ए - बी), (ए + बी)³ के लिए और (ए - बी)³ के लिए।

यदि कोई दिया गया बहुपद इन सूत्रों में से किसी एक के साथ मेल खाता है, तो इसका गुणनखंड बनाना संभव होगा। उदाहरण के लिए, बहुपद a² – 2ab + b², हम जानते हैं, (a – b)² [या (a – b) · (a – b) के बराबर है, यानी हम a² – 2ab + b² को 2 कारकों में विभाजित करने में कामयाब रहे ]; भी

आइए इनमें से दूसरे उदाहरण को देखें। हम देखते हैं कि यहां दिया गया बहुपद दो संख्याओं के अंतर का वर्ग करके प्राप्त सूत्र में फिट बैठता है (पहली संख्या का वर्ग, पहली संख्या और दूसरे के गुणनफल को घटाकर, दूसरी संख्या का वर्ग जोड़कर): x 6 पहली संख्या का वर्ग है, और इसलिए, पहली संख्या स्वयं x 3 है, दूसरी संख्या का वर्ग दिए गए बहुपद का अंतिम पद है, यानी 1, दूसरी संख्या स्वयं, इसलिए, 1 भी है; पहली संख्या और दूसरी संख्या से दो का गुणनफल पद -2x 3 है, क्योंकि 2x 3 = 2 x 3 1. इसलिए, हमारा बहुपद संख्या x 3 और 1 के अंतर का वर्ग करके प्राप्त किया गया था, अर्थात यह बराबर है (x 3 – 1) 2. आइए एक और चौथा उदाहरण देखें। हम देखते हैं कि इस बहुपद a 2 b 2 – 25 को दो संख्याओं के वर्गों का अंतर माना जा सकता है, अर्थात् पहली संख्या का वर्ग a 2 b 2 है, इसलिए, पहली संख्या स्वयं ab है, जिसका वर्ग है दूसरी संख्या 25 है, तो दूसरी संख्या 5 ही क्यों है? इसलिए, हमारे बहुपद को दो संख्याओं के योग को उनके अंतर से गुणा करने से प्राप्त माना जा सकता है, अर्थात

(ab + 5) (ab – 5).

कभी-कभी ऐसा होता है कि किसी दिए गए बहुपद में पद उस क्रम में व्यवस्थित नहीं होते हैं जिसके हम आदी हैं, उदाहरण के लिए।

9ए 2 + बी 2 + 6एबी - मानसिक रूप से हम दूसरे और तीसरे पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं, और तब हमें यह स्पष्ट हो जाएगा कि हमारा त्रिपद = (3ए + बी) 2।

... (हम मानसिक रूप से पहले और दूसरे शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं)।

25ए 6 + 1 - 10x 3 = (5x 3 - 1) 2, आदि।

आइए एक अन्य बहुपद पर विचार करें

ए 2 + 2एबी + 4बी 2।

हम देखते हैं कि इसका पहला पद संख्या a का वर्ग है और तीसरा पद संख्या 2b का वर्ग है, लेकिन दूसरा पद पहली संख्या और दूसरे दो का गुणनफल नहीं है - ऐसा गुणनफल बराबर होगा 2 ए 2बी = 4एबी. इसलिए, इस बहुपद पर दो संख्याओं के योग के वर्ग का सूत्र लागू करना असंभव है। यदि किसी ने लिखा है कि a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, तो यह गलत होगा - किसी को सूत्रों का उपयोग करके गुणनखंड लागू करने से पहले बहुपद के सभी पदों पर सावधानीपूर्वक विचार करना चाहिए।

40. दोनों तकनीकों का संयोजन. कभी-कभी, बहुपदों का गुणनखंड करते समय, आपको सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने की तकनीक और सूत्रों का उपयोग करने की तकनीक दोनों को जोड़ना पड़ता है। यहाँ उदाहरण हैं:

1. 2ए 3 - 2एबी 2. आइए सबसे पहले सामान्य गुणनखंड 2a को कोष्ठक से बाहर निकालें, और हमें 2a (a 2 - b 2) मिलता है। कारक a 2 - b 2, बदले में, सूत्र के अनुसार कारकों (a + b) और (a - b) में विघटित हो जाता है।

कभी-कभी आपको सूत्र अपघटन तकनीक का कई बार उपयोग करना पड़ता है:

1. ए 4 - बी 4 = (ए 2 + बी 2) (ए 2 - बी 2)

हम देखते हैं कि पहला कारक a 2 + b 2 किसी भी परिचित सूत्र में फिट नहीं बैठता है; इसके अलावा, विभाजन के विशेष मामलों (आइटम 37) को याद करते हुए, हम स्थापित करेंगे कि ए 2 + बी 2 (दो संख्याओं के वर्गों का योग) को बिल्कुल भी गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है। परिणामी गुणनखंडों में से दूसरा गुणनखंड a 2 – b 2 (दो संख्याओं के वर्ग का अंतर) गुणनखंड (a + b) और (a – b) में विघटित हो जाता है। इसलिए,

41. विभाजन के विशेष मामलों का अनुप्रयोग. अनुच्छेद 37 के आधार पर, हम तुरंत यह लिख सकते हैं, उदाहरण के लिए,

एक बहुपद का गुणनखंडन. भाग ---- पहला

गुणनएक सार्वभौमिक तकनीक है जो जटिल समीकरणों और असमानताओं को हल करने में मदद करती है। ऐसे समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय पहला विचार जो मन में आना चाहिए, जिसमें दाईं ओर शून्य है, बाईं ओर का गुणनखंड करने का प्रयास करना है।

आइए मुख्य सूचीबद्ध करें बहुपद का गुणनखंड करने के तरीके:

• सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखना
• संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना
• द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन करने के लिए सूत्र का उपयोग करना
• समूहीकरण विधि
• एक बहुपद को एक द्विपद से विभाजित करना
• अनिश्चित गुणांक की विधि

इस लेख में हम पहले तीन तरीकों पर विस्तार से चर्चा करेंगे, बाकी पर हम बाद के लेखों में विचार करेंगे।

1. सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना।

सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने के लिए, आपको पहले उसे खोजना होगा। सामान्य गुणक कारकसभी गुणांकों के सबसे बड़े सामान्य भाजक के बराबर।

पत्र भागसामान्य गुणनखंड सबसे छोटे घातांक वाले प्रत्येक पद में शामिल भावों के गुणनफल के बराबर होता है।

एक सामान्य गुणक निर्दिष्ट करने की योजना इस प्रकार है:

ध्यान!
कोष्ठक में शब्दों की संख्या मूल अभिव्यक्ति में शब्दों की संख्या के बराबर है। यदि कोई एक पद उभयनिष्ठ गुणनखंड से मेल खाता है, तो उसे उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करने पर हमें एक प्राप्त होता है।

उदाहरण 1.

बहुपद का गुणनखंड करें:

आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें। ऐसा करने के लिए, हम पहले इसे ढूंढेंगे।

1. बहुपद के सभी गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए, अर्थात। संख्या 20, 35 और 15. यह 5 के बराबर है।

2. हम स्थापित करते हैं कि चर सभी पदों में समाहित है, और इसका सबसे छोटा घातांक 2 के बराबर है। चर सभी पदों में समाहित है, और इसका सबसे छोटा घातांक 3 है।

चर केवल दूसरे पद में समाहित है, इसलिए यह सामान्य कारक का हिस्सा नहीं है।

तो कुल कारक है

3. हम ऊपर दिए गए चित्र का उपयोग करके गुणक को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं:

उदाहरण 2.प्रश्न हल करें:

समाधान। आइए समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें। आइए कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:

तो हमें समीकरण मिलता है

आइए प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर करें:

हमें मिलता है - पहले समीकरण का मूल।

जड़ें:

उत्तर:-1, 2, 4

2. संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके गुणनखंडन।

यदि हम जिस बहुपद का गुणनखंड करने जा रहे हैं उसमें पदों की संख्या तीन से कम या उसके बराबर है, तो हम संक्षिप्त गुणन सूत्रों को लागू करने का प्रयास करते हैं।

1. यदि बहुपद हैदो पदों का अंतर, फिर हम आवेदन करने का प्रयास करते हैं वर्ग अंतर सूत्र:

या घन सूत्र का अंतर:

यहाँ पत्र हैं और किसी संख्या या बीजगणितीय अभिव्यक्ति को निरूपित करें।

2. यदि एक बहुपद दो पदों का योग है, तो संभवतः इसका उपयोग करके गुणनखंड किया जा सकता है घन सूत्रों का योग:

3. यदि एक बहुपद में तीन पद होते हैं, तो हम लागू करने का प्रयास करते हैं वर्ग योग सूत्र:

या वर्ग अंतर सूत्र:

या हम इसके द्वारा गुणनखंड करने का प्रयास करते हैं द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन करने का सूत्र:

यहाँ और द्विघात समीकरण की जड़ें हैं

उदाहरण 3.अभिव्यक्ति का कारक:

समाधान। हमारे सामने दो पदों का योग है। आइए घनों के योग के लिए सूत्र लागू करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, आपको पहले प्रत्येक पद को किसी अभिव्यक्ति के घन के रूप में प्रस्तुत करना होगा, और फिर घनों के योग के लिए सूत्र लागू करना होगा:

उदाहरण 4.अभिव्यक्ति का कारक:

फ़ैसला। यहां हमारे पास दो भावों के वर्गों का अंतर है। पहली अभिव्यक्ति: , दूसरी अभिव्यक्ति:

आइए वर्गों के अंतर के लिए सूत्र लागू करें:

आइए कोष्ठक खोलें और समान शब्द जोड़ें, हमें मिलता है: