मात्राओं की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता। प्रत्यक्ष आनुपातिकता और उसका ग्राफ

आनुपातिकता दो मात्राओं के बीच एक संबंध है, जिसमें उनमें से एक में परिवर्तन से दूसरे में उसी मात्रा में परिवर्तन होता है।

आनुपातिकता प्रत्यक्ष या व्युत्क्रम हो सकती है। में यह सबकहम उनमें से प्रत्येक को देखेंगे।

पाठ सामग्री

प्रत्यक्ष आनुपातिकता

मान लीजिए कि कार 50 किमी/घंटा की गति से चल रही है। हमें याद है कि गति प्रति इकाई समय (1 घंटा, 1 मिनट या 1 सेकंड) तय की गई दूरी है। हमारे उदाहरण में, कार 50 किमी/घंटा की गति से चल रही है, यानी एक घंटे में वह पचास किलोमीटर की दूरी तय करेगी।

आइए चित्र में कार द्वारा 1 घंटे में तय की गई दूरी को दर्शाएं।

कार को पचास किलोमीटर प्रति घंटे की समान गति से एक और घंटे तक चलने दें। फिर पता चलता है कि कार 100 किलोमीटर चलेगी

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, समय दोगुना करने से तय की गई दूरी में उतनी ही वृद्धि हो गई, यानी दोगुनी।

समय और दूरी जैसी मात्राएँ सीधे आनुपातिक कहलाती हैं। और ऐसी मात्राओं के बीच का संबंध कहलाता है प्रत्यक्ष आनुपातिकता.

प्रत्यक्ष आनुपातिकता दो मात्राओं के बीच का संबंध है जिसमें उनमें से एक में वृद्धि से दूसरे में समान मात्रा में वृद्धि होती है।

और इसके विपरीत, यदि एक मात्रा कम हो जाती है निश्चित संख्यागुना, तो दूसरा भी उतनी ही मात्रा से घटता है।

आइए मान लें कि मूल योजना 2 घंटे में 100 किलोमीटर कार चलाने की थी, लेकिन 50 किलोमीटर गाड़ी चलाने के बाद ड्राइवर ने आराम करने का फैसला किया। फिर पता चलता है कि दूरी आधी कम करने से समय भी उतना ही कम हो जाएगा। दूसरे शब्दों में, तय की गई दूरी कम करने से समय में उतनी ही कमी आएगी।

सीधे आनुपातिक मात्राओं की एक दिलचस्प विशेषता यह है कि उनका अनुपात हमेशा स्थिर रहता है। अर्थात् जब सीधे आनुपातिक मात्राओं का मान बदलता है तो उनका अनुपात अपरिवर्तित रहता है।

विचारित उदाहरण में, शुरुआत में दूरी 50 किमी थी और समय एक घंटा था। दूरी और समय का अनुपात 50 है।

लेकिन हमने यात्रा का समय दो गुना बढ़ाकर दो घंटे के बराबर कर दिया। परिणामस्वरूप, तय की गई दूरी उतनी ही बढ़ गई, यानी 100 किमी के बराबर हो गई। एक सौ किलोमीटर और दो घंटे का अनुपात फिर से 50 की संख्या है

50 नंबर कहा जाता है प्रत्यक्ष आनुपातिकता का गुणांक. इससे पता चलता है कि प्रति घंटे की आवाजाही में कितनी दूरी है। में इस मामले मेंगुणांक गति की गति की भूमिका निभाता है, क्योंकि गति तय की गई दूरी और समय का अनुपात है।

अनुपात सीधे आनुपातिक मात्राओं से बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अनुपात अनुपात बनाते हैं:

पचास किलोमीटर का मतलब एक घंटा है और सौ किलोमीटर का मतलब दो घंटे है।

उदाहरण 2. खरीदे गए सामान की लागत और मात्रा सीधे आनुपातिक होती है। यदि 1 किलो मिठाई की कीमत 30 रूबल है, तो उसी मिठाई के 2 किलो की कीमत 60 रूबल, 3 किलो 90 रूबल होगी। जैसे-जैसे खरीदे गए उत्पाद की कीमत बढ़ती है, उसकी मात्रा भी उतनी ही बढ़ जाती है।

चूँकि किसी उत्पाद की लागत और उसकी मात्रा सीधे आनुपातिक मात्राएँ हैं, उनका अनुपात हमेशा स्थिर रहता है।

आइए लिखें कि तीस रूबल और एक किलोग्राम का अनुपात क्या है

अब आइए लिखें कि साठ रूबल और दो किलोग्राम का अनुपात क्या है। यह अनुपात पुनः तीस के बराबर होगा:

यहां प्रत्यक्ष आनुपातिकता का गुणांक संख्या 30 है। यह गुणांक दर्शाता है कि प्रति किलोग्राम मिठाई में कितने रूबल हैं। में इस उदाहरण मेंगुणांक एक किलोग्राम माल की कीमत की भूमिका निभाता है, क्योंकि कीमत माल की लागत और उसकी मात्रा का अनुपात है।

व्युत्क्रम आनुपातिकता

आइए विचार करें अगला उदाहरण. दोनों शहरों के बीच की दूरी 80 किमी है. मोटरसाइकिल चालक पहले शहर से निकला और 20 किमी/घंटा की गति से 4 घंटे में दूसरे शहर तक पहुंच गया।

यदि किसी मोटरसाइकिल चालक की गति 20 किमी/घंटा थी, तो इसका मतलब है कि उसने हर घंटे बीस किलोमीटर की दूरी तय की। आइए चित्र में मोटरसाइकिल चालक द्वारा तय की गई दूरी और उसके चलने के समय को दर्शाएं:

वापस जाते समय, मोटरसाइकिल चालक की गति 40 किमी/घंटा थी, और उसने उसी यात्रा में 2 घंटे बिताए।

यह नोटिस करना आसान है कि जब गति बदलती है, तो गति का समय भी उसी मात्रा में बदलता है। इसके अलावा, इसमें बदलाव आया है विपरीत पक्ष- यानी, गति बढ़ गई, लेकिन इसके विपरीत, समय कम हो गया।

गति और समय जैसी मात्राओं को व्युत्क्रमानुपाती कहा जाता है। और ऐसी मात्राओं के बीच का संबंध कहलाता है व्युत्क्रम आनुपातिकता.

व्युत्क्रम आनुपातिकता दो मात्राओं के बीच का संबंध है जिसमें उनमें से एक में वृद्धि दूसरे में उसी मात्रा में कमी लाती है।

और इसके विपरीत, यदि एक मात्रा एक निश्चित संख्या से घटती है, तो दूसरी उतनी ही बार बढ़ती है।

उदाहरण के लिए, यदि वापस लौटते समय मोटरसाइकिल चालक की गति 10 किमी/घंटा थी, तो वह वही 80 किमी की दूरी 8 घंटे में तय करेगा:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, गति में कमी के कारण गति के समय में उतनी ही वृद्धि हुई।

व्युत्क्रमानुपाती मात्राओं की विशेषता यह है कि उनका उत्पाद सदैव स्थिर रहता है। अर्थात्, जब व्युत्क्रमानुपाती मात्राओं का मान बदलता है, तो उनका उत्पाद अपरिवर्तित रहता है।

विचारित उदाहरण में, शहरों के बीच की दूरी 80 किमी थी। जब मोटरसाइकिल चालक की गति और चलने का समय बदल गया, तो यह दूरी हमेशा अपरिवर्तित रही

एक मोटरसाइकिल चालक इस दूरी को 20 किमी/घंटा की गति से 4 घंटे में, 40 किमी/घंटा की गति से 2 घंटे में और 10 किमी/घंटा की गति से 8 घंटे में तय कर सकता है। सभी मामलों में, गति और समय का गुणनफल 80 किमी के बराबर था

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रैखिक कार्य

रैखिक कार्यएक फ़ंक्शन है जिसे सूत्र y = kx + b द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है,

जहाँ x स्वतंत्र चर है, k और b कुछ संख्याएँ हैं।

अनुसूची रैखिक कार्यसीधा है.

संख्या k को कहा जाता है एक सीधी रेखा का ढलान– फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = kx + b.

यदि k > 0, तो सीधी रेखा y = kx + b के अक्ष पर झुकाव का कोण एक्समसालेदार; यदि के< 0, то этот угол тупой.

यदि दो रैखिक फलनों के ग्राफ़ वाली रेखाओं का ढलान अलग-अलग हो, तो ये रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। और यदि कोणीय गुणांक समान हैं, तो रेखाएँ समानांतर हैं।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ आप=केएक्स +बी, जहां k ≠ 0, रेखा y = kx के समानांतर एक रेखा है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता.

प्रत्यक्ष आनुपातिकताएक फ़ंक्शन है जिसे सूत्र y = kx द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, जहां x एक स्वतंत्र चर है, k एक गैर-शून्य संख्या है। संख्या k को कहा जाता है प्रत्यक्ष आनुपातिकता का गुणांक.

प्रत्यक्ष आनुपातिकता का ग्राफ निर्देशांक के मूल से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा है (चित्र देखें)।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता एक रैखिक फलन का एक विशेष मामला है।

कार्य गुणआप=केएक्स:

व्युत्क्रम आनुपातिकता

व्युत्क्रम आनुपातिकताएक फ़ंक्शन कहा जाता है जिसे सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है:

के
आप = -
एक्स

कहाँ एक्सस्वतंत्र चर है, और के- एक गैर-शून्य संख्या.

व्युत्क्रम आनुपातिकता का ग्राफ एक वक्र कहलाता है अतिशयोक्ति(तस्वीर देखने)।

एक वक्र के लिए जो इस फ़ंक्शन का ग्राफ है, अक्ष एक्सऔर यस्पर्शोन्मुख के रूप में कार्य करें। अनंतस्पर्शी- यह वह सीधी रेखा है जिस पर वक्र के बिंदु तब पहुंचते हैं जब वे अनंत की ओर दूर जाते हैं।

के
कार्य गुणआप = -:
एक्स

निर्भरता के प्रकार

आइए बैटरी चार्ज करने पर नजर डालें। पहली मात्रा के रूप में, आइए चार्ज होने में लगने वाले समय को लें। दूसरा मान वह समय है जब यह चार्ज करने के बाद काम करेगा। आप बैटरी को जितनी देर तक चार्ज करेंगे, वह उतनी ही देर तक चलेगी। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहेगी जब तक बैटरी पूरी तरह चार्ज न हो जाए।

बैटरी के संचालन समय की निर्भरता उसके चार्ज होने के समय पर होती है

नोट 1

इस निर्भरता को कहा जाता है प्रत्यक्ष:

जैसे ही एक मान बढ़ता है, वैसे ही दूसरा भी बढ़ता है। जैसे ही एक मान घटता है, दूसरा मान भी घट जाता है।

आइए एक और उदाहरण देखें.

एक छात्र जितनी अधिक किताबें पढ़ेगा, श्रुतलेख में वह उतनी ही कम गलतियाँ करेगा। या फिर आप पहाड़ों में जितना ऊपर उठेंगे, वायुमंडलीय दबाव उतना ही कम होगा।

नोट 2

इस निर्भरता को कहा जाता है रिवर्स:

जैसे ही एक मान बढ़ता है, दूसरा घट जाता है। जैसे ही एक मान घटता है, दूसरा मान बढ़ता है।

इस प्रकार, मामले में प्रत्यक्ष निर्भरतादोनों मात्राएँ समान रूप से बदलती हैं (दोनों या तो बढ़ती हैं या घटती हैं), और मामले में विपरीत रिश्ते– विपरीत (एक बढ़ता है और दूसरा घटता है, या इसके विपरीत)।

मात्राओं के बीच निर्भरता का निर्धारण

उदाहरण 1

किसी मित्र से मिलने में लगने वाला समय $20$ मिनट है। यदि गति (पहला मान) $2$ गुना बढ़ जाती है, तो हम पाएंगे कि मित्र के रास्ते पर खर्च किया जाने वाला समय (दूसरा मान) कैसे बदल जाता है।

जाहिर है, समय $2$ गुना कम हो जाएगा।

नोट 3

इस निर्भरता को कहा जाता है आनुपातिक:

एक मात्रा जितनी बार बदलती है, उतनी ही बार दूसरी मात्रा बदलती है।

उदाहरण 2

स्टोर में $2$ की रोटियों के लिए आपको 80 रूबल का भुगतान करना होगा। यदि आपको $4$ की रोटियाँ खरीदनी हैं (रोटी की मात्रा $2$ गुना बढ़ जाती है), तो आपको कितनी गुना अधिक भुगतान करना होगा?

जाहिर है लागत भी 2$ गुना बढ़ जाएगी। हमारे पास एक उदाहरण है आनुपातिक निर्भरता.

दोनों उदाहरणों में, आनुपातिक निर्भरता पर विचार किया गया। लेकिन रोटियों के उदाहरण में, मात्राएँ एक दिशा में बदलती हैं, इसलिए, निर्भरता है प्रत्यक्ष. और किसी मित्र के घर जाने के उदाहरण में, गति और समय के बीच संबंध है रिवर्स. इस प्रकार वहाँ है सीधे आनुपातिक संबंधऔर व्युत्क्रमानुपाती संबंध.

प्रत्यक्ष आनुपातिकता

$2$ पर विचार करें आनुपातिक मात्राएँ: रोटियों की संख्या और उनकी कीमत। माना कि $2$ की रोटी की कीमत $80$ रूबल है। यदि बन्स की संख्या $4$ गुना ($8$ बन्स) बढ़ जाती है, तो उनकी कुल लागत $320$ रूबल होगी।

बन्स की संख्या का अनुपात: $\frac(8)(2)=4$.

बन लागत अनुपात: $\frac(320)(80)=$4.

जैसा कि आप देख सकते हैं, ये संबंध एक दूसरे के बराबर हैं:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

परिभाषा 1

दो अनुपातों की समानता कहलाती है अनुपात.

सीधे आनुपातिक निर्भरता के साथ, एक संबंध तब प्राप्त होता है जब पहली और दूसरी मात्रा में परिवर्तन मेल खाता है:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

परिभाषा 2

दो मात्राएँ कहलाती हैं सीधे आनुपातिक, यदि जब उनमें से एक बदलता है (बढ़ता या घटता है), तो दूसरा मूल्य भी उसी मात्रा में बदलता है (क्रमशः बढ़ता या घटता है)।

उदाहरण 3

कार ने $2$ घंटे में $180$ किमी की यात्रा की। वह समय ज्ञात कीजिए जिसके दौरान वह समान गति से $2$ गुना दूरी तय करेगा।

समाधान.

समय सीधे दूरी के समानुपाती होता है:

$t=\frac(S)(v)$.

स्थिर गति से दूरी कितनी गुना बढ़ जाएगी, उसी गति से समय बढ़ जाएगा:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

कार ने $2$ घंटे में $180$ किमी की यात्रा की

कार $180 \cdot 2=360$ किमी - $x$ घंटों में तय करेगी

कार जितनी दूर तक यात्रा करेगी, उसे उतना ही अधिक समय लगेगा। नतीजतन, मात्राओं के बीच संबंध सीधे आनुपातिक है।

आइए एक अनुपात बनाएं:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

उत्तर: कार को $4$ घंटे की आवश्यकता होगी।

व्युत्क्रम आनुपातिकता

परिभाषा 3

समाधान.

समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है:

$t=\frac(S)(v)$.

एक ही पथ पर गति कितनी गुना बढ़ जाती है, समय भी उसी मात्रा में घट जाता है:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

आइए समस्या की स्थिति को एक तालिका के रूप में लिखें:

कार ने $60$ किमी की यात्रा $6$ घंटों में की

कार $120$ किमी की यात्रा करेगी - $x$ घंटों में

कार की गति जितनी तेज़ होगी, समय उतना ही कम लगेगा। परिणामस्वरूप, मात्राओं के बीच का संबंध व्युत्क्रमानुपाती होता है।

चलिए एक अनुपात बनाते हैं.

क्योंकि आनुपातिकता व्युत्क्रम है, अनुपात में दूसरा संबंध उलटा है:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

उत्तर: कार को $3$ घंटे की आवश्यकता होगी।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता की अवधारणा

कल्पना करें कि आप अपनी पसंदीदा कैंडीज़ (या कुछ भी जो आपको वास्तव में पसंद है) खरीदने की योजना बना रहे हैं। दुकान में मिठाइयों की अपनी कीमत होती है। मान लीजिए 300 रूबल प्रति किलोग्राम। आप जितनी अधिक कैंडीज खरीदेंगे, उतनी अधिक पैसेवेतन। यानी, यदि आप 2 किलोग्राम चाहते हैं, तो 600 रूबल का भुगतान करें, लेकिन यदि आप 3 किलोग्राम चाहते हैं, तो 900 रूबल का भुगतान करें। ऐसा लगता है कि यह सब स्पष्ट है, है ना?

यदि हाँ, तो अब यह आपके लिए स्पष्ट है कि प्रत्यक्ष आनुपातिकता क्या है - यह एक अवधारणा है जो एक दूसरे पर निर्भर दो मात्राओं के संबंध का वर्णन करती है। और इन मात्राओं का अनुपात अपरिवर्तित और स्थिर रहता है: उनमें से एक कितने भागों में बढ़ता या घटता है, उसी अनुपात में दूसरा भाग बढ़ता या घटता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता को निम्नलिखित सूत्र से वर्णित किया जा सकता है: f(x) = a*x, और इस सूत्र में a एक स्थिर मान (a = const) है। कैंडी के बारे में हमारे उदाहरण में, कीमत एक स्थिर मूल्य है, एक स्थिरांक है। चाहे आप कितनी भी कैंडी खरीदने का निर्णय लें, इसमें वृद्धि या कमी नहीं होती है। स्वतंत्र चर (तर्क)x यह है कि आप कितने किलोग्राम कैंडी खरीदने जा रहे हैं। और आश्रित चर f(x) (फ़ंक्शन) यह है कि आप अपनी खरीदारी के लिए कितना पैसा चुकाते हैं। तो हम संख्याओं को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं: 600 रूबल। = 300 रगड़. * 2 किग्रा.

मध्यवर्ती निष्कर्ष यह है: यदि तर्क बढ़ता है, तो कार्य भी बढ़ता है, यदि तर्क घटता है, तो कार्य भी घटता है

कार्य और उसके गुण

प्रत्यक्ष आनुपातिक कार्यएक रैखिक फलन का एक विशेष मामला है। यदि रैखिक फलन y = k*x + b है, तो प्रत्यक्ष आनुपातिकता के लिए यह इस तरह दिखता है: y = k*x, जहां k को आनुपातिकता गुणांक कहा जाता है, और यह हमेशा एक गैर-शून्य संख्या होती है। K की गणना करना आसान है - यह एक फ़ंक्शन के भागफल और एक तर्क के रूप में पाया जाता है: k = y/x।

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए एक और उदाहरण लें। कल्पना कीजिए कि एक कार बिंदु A से बिंदु B की ओर जा रही है। इसकी स्पीड 60 किमी/घंटा है. यदि हम मान लें कि गति की गति स्थिर रहती है, तो इसे स्थिरांक के रूप में लिया जा सकता है। और फिर हम शर्तों को इस रूप में लिखते हैं: S = 60*t, और यह सूत्र प्रत्यक्ष आनुपातिकता y = k *x के फ़ंक्शन के समान है। आइए आगे एक समानांतर रेखा बनाएं: यदि k = y/x, तो कार की गति की गणना A और B के बीच की दूरी और सड़क पर बिताए गए समय को जानकर की जा सकती है: V = S /t।

और अब, प्रत्यक्ष आनुपातिकता के बारे में ज्ञान के व्यावहारिक अनुप्रयोग से, आइए इसके कार्य पर वापस लौटते हैं। जिसके गुणों में शामिल हैं:

इसकी परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं (साथ ही इसके उपसमुच्चय) का समुच्चय है;

कार्य विषम है;

चरों में परिवर्तन संख्या रेखा की पूरी लंबाई के साथ सीधे आनुपातिक होता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता और उसका ग्राफ

प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है जो मूल बिंदु को काटती है। इसे बनाने के लिए केवल एक और बिंदु को चिह्नित करना पर्याप्त है। और इसे और निर्देशांक की उत्पत्ति को एक सीधी रेखा से जोड़ दें।

ग्राफ़ के मामले में, k ढलान है। यदि ढलान शून्य से भी कम(के< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), ग्राफ़ और x-अक्ष एक न्यून कोण बनाते हैं, और फ़ंक्शन बढ़ रहा है।

और प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन के ग्राफ़ की एक और संपत्ति सीधे ढलान k से संबंधित है। मान लीजिए कि हमारे पास दो गैर-समान कार्य हैं और, तदनुसार, दो ग्राफ़ हैं। इसलिए, यदि इन कार्यों के गुणांक k बराबर हैं, तो उनके ग्राफ़ समन्वय अक्ष के समानांतर स्थित हैं। और यदि गुणांक k एक दूसरे के बराबर नहीं हैं, तो ग्राफ़ प्रतिच्छेद करते हैं।

समस्याओं के उदाहरण

आइए अब एक जोड़े को सुलझाएं प्रत्यक्ष आनुपातिकता की समस्या

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें।

समस्या 1: कल्पना कीजिए कि 5 मुर्गियों ने 5 दिनों में 5 अंडे दिए। और यदि 20 मुर्गियाँ हैं तो वे 20 दिनों में कितने अंडे देंगी?

समाधान: आइए अज्ञात को kx से निरूपित करें। और हम इस प्रकार तर्क देंगे: मुर्गियां कितनी गुना अधिक हो गई हैं? 20 को 5 से विभाजित करें और ज्ञात करें कि यह 4 गुना है। समान 5 दिनों में 20 मुर्गियाँ कितने गुना अधिक अंडे देंगी? साथ ही 4 गुना ज्यादा. तो, हम अपने अंडे इस प्रकार पाते हैं: 20 दिनों में 20 मुर्गियों द्वारा 5*4*4 = 80 अंडे दिए जाएंगे।

अब उदाहरण थोड़ा अधिक जटिल है, आइए समस्या को न्यूटन के "सामान्य अंकगणित" से समझें। समस्या 2: एक लेखक 8 दिनों में एक नई किताब के 14 पृष्ठ लिख सकता है। यदि उसके पास सहायक होते, तो 12 दिनों में 420 पृष्ठ लिखने में कितने लोगों की आवश्यकता होती?

समाधान: हमारा तर्क है कि यदि काम को समान समय में करना हो तो काम की मात्रा के साथ लोगों (लेखक + सहायक) की संख्या बढ़ जाती है। लेकिन कितनी बार? 420 को 14 से विभाजित करने पर हमें पता चलता है कि यह 30 गुना बढ़ जाता है। लेकिन चूँकि कार्य की शर्तों के अनुसार कार्य के लिए अधिक समय दिया जाता है, सहायकों की संख्या 30 गुना नहीं, बल्कि इस प्रकार बढ़ती है: x = 1 (लेखक) * 30 (बार): 12/8 ( दिन)। आइए परिवर्तन करें और पता लगाएं कि x = 20 लोग 12 दिनों में 420 पृष्ठ लिखेंगे।

आइए हमारे उदाहरणों के समान एक और समस्या का समाधान करें।

समस्या 3: दो कारें एक ही यात्रा पर निकलीं। एक 70 किमी/घंटा की गति से चल रहा था और उतनी ही दूरी 2 घंटे में तय की जबकि दूसरे ने 7 घंटे में तय की। दूसरी कार की गति ज्ञात कीजिए।

समाधान: जैसा कि आपको याद है, पथ गति और समय के माध्यम से निर्धारित होता है - S = V *t। चूँकि दोनों कारों ने समान दूरी तय की, इसलिए हम दोनों भावों को बराबर कर सकते हैं: 70*2 = V*7। हम कैसे पता लगाएं कि दूसरी कार की गति V = 70*2/7 = 20 किमी/घंटा है।

और प्रत्यक्ष आनुपातिकता के कार्यों वाले कार्यों के कुछ और उदाहरण। कभी-कभी समस्याओं के लिए गुणांक k खोजने की आवश्यकता होती है।

कार्य 4: फ़ंक्शन y = - x/16 और y = 5x/2 को देखते हुए, उनके आनुपातिकता गुणांक निर्धारित करें।

समाधान: जैसा कि आपको याद है, k = y/x. इसका मतलब यह है कि पहले फ़ंक्शन के लिए गुणांक -1/16 के बराबर है, और दूसरे के लिए k = 5/2 है।

आपको कार्य 5 जैसे कार्य का भी सामना करना पड़ सकता है: सूत्र के साथ प्रत्यक्ष आनुपातिकता लिखें। इसका ग्राफ़ और फ़ंक्शन y = -5x + 3 का ग्राफ़ समानांतर में स्थित हैं।

समाधान: शर्त में हमें जो फलन दिया गया है वह रैखिक है। हम जानते हैं कि प्रत्यक्ष आनुपातिकता एक रैखिक फलन का एक विशेष मामला है। और हम यह भी जानते हैं कि यदि k फ़ंक्शन के गुणांक समान हैं, तो उनके ग्राफ़ समानांतर हैं। इसका मतलब यह है कि केवल गुणांक की गणना करना आवश्यक है ज्ञात कार्यऔर हमारे परिचित सूत्र का उपयोग करके प्रत्यक्ष आनुपातिकता निर्धारित करें: y = k *x। गुणांक k = -5, प्रत्यक्ष आनुपातिकता: y = -5*x.

निष्कर्ष

अब आपने जान लिया है (या याद कर लिया है, यदि आपने पहले ही इस विषय को कवर कर लिया है) कि क्या कहा जाता है प्रत्यक्ष आनुपातिकता, और इसे देखा उदाहरण. हमने प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन और उसके ग्राफ़ के बारे में भी बात की, और कई उदाहरण समस्याओं का समाधान किया।

यदि यह लेख उपयोगी था और आपको विषय को समझने में मदद मिली, तो हमें टिप्पणियों में इसके बारे में बताएं। ताकि हम जान सकें कि क्या हम आपको फायदा पहुंचा सकते हैं।

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