किसी फ़ंक्शन की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता। प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिक संबंध

उदाहरण

1.6/2 = 0.8;

4/5 = 0.8;

5.6/7 = 0.8, आदि। आनुपातिकता कारकअटल रवैया आनुपातिक मात्राएँबुलाया

आनुपातिकता कारक

आनुपातिकता कारक. आनुपातिकता गुणांक दर्शाता है कि एक मात्रा की कितनी इकाइयाँ दूसरे की प्रति इकाई हैं। प्रत्यक्ष आनुपातिकता- कार्यात्मक निर्भरता, जिसमें एक निश्चित मात्रा दूसरी मात्रा पर इस प्रकार निर्भर करती है कि उनका अनुपात स्थिर रहता है। दूसरे शब्दों में, ये चर बदलते रहते हैं

आनुपातिक

, समान शेयरों में, अर्थात, यदि तर्क किसी भी दिशा में दो बार बदलता है, तो फ़ंक्शन भी उसी दिशा में दो बार बदलता है।(गणितीय रूप से, प्रत्यक्ष आनुपातिकता को एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:) = एफगणितीय रूप से, प्रत्यक्ष आनुपातिकता को एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:,एफ = एक्सएसीहेएन

एस

टीव्युत्क्रम आनुपातिकता

व्युत्क्रम आनुपातिकता - यह एक कार्यात्मक निर्भरता है, जिसमें स्वतंत्र मूल्य (तर्क) में वृद्धि से आश्रित मूल्य (फ़ंक्शन) में आनुपातिक कमी होती है।गणितीय

व्युत्क्रम आनुपातिकता

एक सूत्र के रूप में लिखा गया है:

फ़ंक्शन गुण:

सूत्रों का कहना है

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.प्रत्यक्ष आनुपातिकता की अवधारणा

प्रत्यक्ष आनुपातिकता को निम्नलिखित सूत्र से वर्णित किया जा सकता है: f(x) = a*x, और इस सूत्र में a एक स्थिर मान (a = const) है। कैंडी के बारे में हमारे उदाहरण में, कीमत एक स्थिर मूल्य है, एक स्थिरांक है। चाहे आप कितनी भी कैंडी खरीदने का निर्णय लें, इसमें वृद्धि या कमी नहीं होती है। स्वतंत्र चर (तर्क) x यह है कि आप कितने किलोग्राम कैंडी खरीदने जा रहे हैं। और निर्भर चर f(x) (फ़ंक्शन) यह है कि आप अपनी खरीदारी के लिए कितना पैसा चुकाएंगे। तो हम संख्याओं को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं: 600 रूबल। = 300 रगड़. * 2 किग्रा.

मध्यवर्ती निष्कर्ष यह है: यदि तर्क बढ़ता है, तो कार्य भी बढ़ता है, यदि तर्क घटता है, तो कार्य भी घटता है

कार्य और उसके गुण

प्रत्यक्ष आनुपातिक कार्यएक विशेष मामला है रैखिक कार्य. यदि रैखिक फलन y = k*x + b है, तो प्रत्यक्ष आनुपातिकता के लिए यह इस तरह दिखता है: y = k*x, जहां k को आनुपातिकता गुणांक कहा जाता है, और यह हमेशा एक गैर-शून्य संख्या होती है। K की गणना करना आसान है - यह एक फ़ंक्शन के भागफल और एक तर्क के रूप में पाया जाता है: k = y/x।

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए एक और उदाहरण लें। कल्पना कीजिए कि एक कार बिंदु A से बिंदु B की ओर जा रही है। इसकी स्पीड 60 किमी/घंटा है. यदि हम मान लें कि गति की गति स्थिर रहती है, तो इसे स्थिरांक के रूप में लिया जा सकता है। और फिर हम शर्तों को इस रूप में लिखते हैं: S = 60*t, और यह सूत्र प्रत्यक्ष आनुपातिकता y = k *x के फ़ंक्शन के समान है। आइए आगे एक समानांतर रेखा बनाएं: यदि k = y/x, तो कार की गति की गणना A और B के बीच की दूरी और सड़क पर बिताए गए समय को जानकर की जा सकती है: V = S /t।

और अब, प्रत्यक्ष आनुपातिकता के बारे में ज्ञान के व्यावहारिक अनुप्रयोग से, आइए इसके कार्य पर वापस लौटते हैं। जिसके गुणों में शामिल हैं:

इसकी परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं (साथ ही इसके उपसमुच्चय) का समुच्चय है;

कार्य विषम है;

चरों में परिवर्तन संख्या रेखा की पूरी लंबाई के साथ सीधे आनुपातिक होता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता और उसका ग्राफ

प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है जो मूल बिंदु को काटती है। इसे बनाने के लिए केवल एक और बिंदु को चिह्नित करना पर्याप्त है। और इसे और निर्देशांक की उत्पत्ति को एक सीधी रेखा से जोड़ दें।

ग्राफ़ के मामले में, k ढलान है। यदि ढलान शून्य से भी कम(के< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), ग्राफ़ और x-अक्ष एक न्यून कोण बनाते हैं, और फ़ंक्शन बढ़ रहा है।

और प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन के ग्राफ़ की एक और संपत्ति सीधे ढलान k से संबंधित है। मान लीजिए कि हमारे पास दो गैर-समान कार्य हैं और, तदनुसार, दो ग्राफ़ हैं। इसलिए, यदि इन कार्यों के गुणांक k बराबर हैं, तो उनके ग्राफ़ समन्वय अक्ष के समानांतर स्थित हैं। और यदि गुणांक k एक दूसरे के बराबर नहीं हैं, तो ग्राफ़ प्रतिच्छेद करते हैं।

नमूना समस्याएँ

आइए अब एक जोड़े को सुलझाएं प्रत्यक्ष आनुपातिकता की समस्या

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें।

समस्या 1: कल्पना कीजिए कि 5 मुर्गियों ने 5 दिनों में 5 अंडे दिए। और यदि 20 मुर्गियाँ हैं तो वे 20 दिनों में कितने अंडे देंगी?

समाधान: आइए अज्ञात को kx से निरूपित करें। और हम इस प्रकार तर्क देंगे: मुर्गियां कितनी गुना अधिक हो गई हैं? 20 को 5 से विभाजित करें और ज्ञात करें कि यह 4 गुना है। समान 5 दिनों में 20 मुर्गियाँ कितने गुना अधिक अंडे देंगी? साथ ही 4 गुना ज्यादा. तो, हम अपने अंडे इस प्रकार पाते हैं: 20 दिनों में 20 मुर्गियों द्वारा 5*4*4 = 80 अंडे दिए जाएंगे।

अब उदाहरण थोड़ा अधिक जटिल है, आइए समस्या को न्यूटन के "सामान्य अंकगणित" से समझें। समस्या 2: एक लेखक 8 दिनों में एक नई किताब के 14 पृष्ठ लिख सकता है। यदि उसके पास सहायक होते, तो 12 दिनों में 420 पृष्ठ लिखने में कितने लोगों की आवश्यकता होती?

समाधान: हमारा तर्क है कि यदि काम को समान समय में करना हो तो काम की मात्रा के साथ लोगों (लेखक + सहायक) की संख्या बढ़ जाती है। लेकिन कितनी बार? 420 को 14 से विभाजित करने पर हमें पता चलता है कि यह 30 गुना बढ़ जाता है। लेकिन चूँकि कार्य की शर्तों के अनुसार कार्य के लिए अधिक समय दिया जाता है, सहायकों की संख्या 30 गुना नहीं, बल्कि इस प्रकार बढ़ती है: x = 1 (लेखक) * 30 (बार): 12/8 ( दिन)। आइए परिवर्तन करें और पता लगाएं कि x = 20 लोग 12 दिनों में 420 पृष्ठ लिखेंगे।

आइए हमारे उदाहरणों के समान एक और समस्या का समाधान करें।

समस्या 3: दो कारें एक ही यात्रा पर निकलीं। एक 70 किमी/घंटा की गति से चल रहा था और उतनी ही दूरी 2 घंटे में तय की जबकि दूसरे ने 7 घंटे में तय की। दूसरी कार की गति ज्ञात कीजिए।

समाधान: जैसा कि आपको याद है, पथ गति और समय के माध्यम से निर्धारित होता है - S = V *t। चूँकि दोनों कारों ने समान दूरी तय की, इसलिए हम दोनों भावों को बराबर कर सकते हैं: 70*2 = V*7। हम कैसे पता लगाएं कि दूसरी कार की गति V = 70*2/7 = 20 किमी/घंटा है।

और प्रत्यक्ष आनुपातिकता के कार्यों वाले कार्यों के कुछ और उदाहरण। कभी-कभी समस्याओं के लिए गुणांक k खोजने की आवश्यकता होती है।

कार्य 4: फ़ंक्शन y = - x/16 और y = 5x/2 को देखते हुए, उनके आनुपातिकता गुणांक निर्धारित करें।

समाधान: जैसा कि आपको याद है, k = y/x. इसका मतलब यह है कि पहले फ़ंक्शन के लिए गुणांक -1/16 के बराबर है, और दूसरे के लिए k = 5/2 है।

आपको कार्य 5 जैसे कार्य का भी सामना करना पड़ सकता है: सूत्र के साथ प्रत्यक्ष आनुपातिकता लिखें। इसका ग्राफ़ और फ़ंक्शन y = -5x + 3 का ग्राफ़ समानांतर में स्थित हैं।

समाधान: शर्त में हमें जो फलन दिया गया है वह रैखिक है। हम जानते हैं कि प्रत्यक्ष आनुपातिकता एक रैखिक फलन का एक विशेष मामला है। और हम यह भी जानते हैं कि यदि k फ़ंक्शन के गुणांक समान हैं, तो उनके ग्राफ़ समानांतर हैं। इसका मतलब यह है कि केवल गुणांक की गणना करना आवश्यक है ज्ञात कार्यऔर हमारे परिचित सूत्र का उपयोग करके प्रत्यक्ष आनुपातिकता निर्धारित करें: y = k *x। गुणांक k = -5, प्रत्यक्ष आनुपातिकता: y = -5*x.

निष्कर्ष

अब आपने जान लिया है (या याद कर लिया है, यदि आपने पहले ही इस विषय को कवर कर लिया है) कि क्या कहा जाता है प्रत्यक्ष आनुपातिकता, और इसे देखा उदाहरण. हमने प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन और उसके ग्राफ़ के बारे में भी बात की, और कई उदाहरण समस्याओं का समाधान किया।

यदि यह लेख उपयोगी था और आपको विषय को समझने में मदद मिली, तो हमें टिप्पणियों में इसके बारे में बताएं। ताकि हम जान सकें कि क्या हम आपको फायदा पहुंचा सकते हैं।

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उदाहरण

1.6/2 = 0.8;

4/5 = 0.8;

आनुपातिक मात्राओं का स्थिर संबंध कहलाता है आनुपातिक मात्राएँबुलाया

आनुपातिकता कारक

आनुपातिक

एस

टीव्युत्क्रम आनुपातिकता

गणितीय रूप से, व्युत्क्रम आनुपातिकता को एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

व्युत्क्रम आनुपातिकता

एक सूत्र के रूप में लिखा गया है:

फ़ंक्शन गुण:

देखें अन्य शब्दकोशों में "प्रत्यक्ष आनुपातिकता" क्या है:

प्रत्यक्ष आनुपातिकता- - [ए.एस. गोल्डबर्ग। अंग्रेजी-रूसी ऊर्जा शब्दकोश। 2006] सामान्य रूप से ऊर्जा विषय एन प्रत्यक्ष अनुपात ... तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

प्रत्यक्ष आनुपातिकता- टिज़ियोगिनिस प्रोपोरसिंगुमास स्टेटसस टी स्रिटिस फ़िज़िका एटिटिकमेनिस: अंग्रेजी। प्रत्यक्ष आनुपातिकता वोक। प्रत्यक्ष आनुपातिकता, एफ रूस। प्रत्यक्ष आनुपातिकता, एफ प्रैंक। आनुपातिकता निर्देश, एफ … फ़िज़िकोस टर्मिनो ज़ोडनास

- (लैटिन आनुपातिक से आनुपातिक, आनुपातिक)। आनुपातिकता. शब्दकोष विदेशी शब्द, रूसी भाषा में शामिल है। चुडिनोव ए.एन., 1910. आनुपातिकता लैट। आनुपातिक, आनुपातिक। आनुपातिकता. स्पष्टीकरण 25000... ... रूसी भाषा के विदेशी शब्दों का शब्दकोश

आनुपातिकता, आनुपातिकता, बहुवचन। नहीं, महिला (किताब)। 1. सार संज्ञा आनुपातिक करने के लिए. भागों की आनुपातिकता. शारीरिक आनुपातिकता. 2. मात्राओं के बीच ऐसा संबंध जब वे आनुपातिक हों (आनुपातिक देखें... शब्दकोषउषाकोवा

दो परस्पर निर्भर मात्राएँ आनुपातिक कहलाती हैं यदि उनके मानों का अनुपात अपरिवर्तित रहता है। सामग्री 1 उदाहरण 2 आनुपातिकता गुणांक... विकिपीडिया

आनुपातिकता, और, महिला. 1. आनुपातिक देखें. 2. गणित में: मात्राओं के बीच ऐसा संबंध जिसमें उनमें से एक में वृद्धि से दूसरे में उसी मात्रा में परिवर्तन होता है। सीधी रेखा (एक मूल्य में वृद्धि के साथ कटौती के साथ...) ओज़ेगोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

और; और। 1. आनुपातिक (1 मान); आनुपातिकता. पी. भागों. पी. काया. पी. संसद में प्रतिनिधित्व. 2. गणित. आनुपातिक रूप से बदलती मात्राओं के बीच निर्भरता। आनुपातिकता कारक. सीधी रेखा (जिसमें... के साथ) विश्वकोश शब्दकोश

नगरपालिका गठन "सेराटोव शहर" का प्रशासन

नगर शैक्षणिक संस्थान

"माध्यमिक शैक्षिक विद्यालय संख्या 95 गहराई के साथ

व्यक्तिगत विषयों का अध्ययन"

पद्धतिगत विकास

सातवीं कक्षा में बीजगणित का पाठ

विषय पर:

"प्रत्यक्ष आनुपातिकता

और उसका शेड्यूल।"

गणित शिक्षक

1 योग्यता श्रेणी

गोर्युनोवा ई.वी.

2014 – 2015 शैक्षणिक वर्ष

व्याख्यात्मक नोट

विषय पर एक पाठ के लिए:

"प्रत्यक्ष आनुपातिकता और उसका ग्राफ।"

गणित की शिक्षिका ऐलेना विक्टोरोव्ना गोर्युनोवा।

हम आपके ध्यान में 7वीं कक्षा का एक पाठ प्रस्तुत करते हैं। शिक्षक मुख्य के नमूना कार्यक्रमों के आधार पर संकलित कार्यक्रम के अनुसार कार्य करता है सामान्य शिक्षाऔर शैक्षणिक संस्थानों के लिए लेखक का कार्यक्रम यू.एन. मकर्यचेव। बीजगणित.7-9 ग्रेड //बीजगणित ग्रेड 7-9 के लिए कार्यक्रमों का संग्रह। एम. एजुकेशन, 2009 टी.ए. द्वारा संकलित। बर्मिस्ट्रोवा। कार्यक्रम यू.एन. द्वारा बीजगणित पाठ्यपुस्तक से मेल खाता है। माकार्यचेव, एन.जी. मिंड्युक, के.आई. नेशकोव।, एस.बी. सुवोरोवा।, एस.ए. द्वारा संपादित। तेल्याकोवस्की "बीजगणित 7वीं कक्षा" (प्रोस्वेशचेनिये पब्लिशिंग हाउस, 2009)।

"फ़ंक्शन" विषय का अध्ययन करने के लिए 14 घंटे आवंटित किए जाते हैं, जिसमें से "फ़ंक्शन और उनके ग्राफ़" अनुभाग के लिए 6 घंटे, "प्रत्यक्ष आनुपातिकता और उसके ग्राफ़" अनुभाग के लिए 3 घंटे, "रैखिक फ़ंक्शन और उसके ग्राफ़" अनुभाग के लिए 4 घंटे दिए जाते हैं। ” और 1 घंटा K/R.

लक्ष्य:

शैक्षिक:

3. छात्रों को आत्म-नियंत्रण और आपसी नियंत्रण के लिए प्रोत्साहित करें।

शैक्षिक:

सहपाठियों के प्रति सम्मान की भावना पैदा करें, शब्दों पर ध्यान दें, चित्र बनाते समय स्वतंत्रता, जिम्मेदारी और सटीकता को बढ़ावा दें

इन लक्ष्यों को प्राप्त करना कार्यों की एक श्रृंखला के माध्यम से पूरा किया जाता है:

पाठ उपकरण:

पाठ में कार्यों के साथ व्यक्तिगत कार्ड और एक मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर का उपयोग किया गया, आर. डेसकार्टेस के बारे में सभी तथ्य शिक्षक द्वारा इंटरनेट पर आधिकारिक मीडिया साइटों से लिया गया और विशेष रूप से संसाधित किया गया यह सबकपाठ, पाठ्यपुस्तक के विषय को ध्यान में रखते हुए।

पाठ का प्रकार और संरचना:

यह सबक नए ज्ञान और कौशल (वी.ए. ओनिश्चुक के अनुसार पाठों के प्रकार) में महारत हासिल करने का एक पाठ है, इसलिए अनुसंधान गतिविधि के तत्वों को लागू करना तर्कसंगत था।

प्रशिक्षण सिद्धांतों का कार्यान्वयन:

पाठ में निम्नलिखित सिद्धांत लागू किए गए:

सीखने का विज्ञान.

पहले से अध्ययन की गई सामग्री पर निरंतर निर्भरता के साथ व्यवस्थित और सुसंगत शिक्षण के सिद्धांत को लागू किया गया था।

की सहायता से संज्ञानात्मक गतिविधि की उत्तेजना के रूप में छात्रों की चेतना, गतिविधि और स्वतंत्रता प्राप्त की गई प्रभावी तकनीकेंऔर दृश्य सामग्री (जैसे स्लाइड शो, प्रदान करना)। ऐतिहासिक तथ्यऔर गणितज्ञ और दार्शनिक आर. डेसकार्टेस के जीवन से संबंधित जानकारी, छात्रों के लिए व्यक्तिगत मुद्रित शीट।

पाठ में आराम के सिद्धांत को लागू किया गया।

शिक्षण के रूप और तरीके:

पाठ के दौरान, प्रशिक्षण के विभिन्न रूपों का उपयोग किया गया - व्यक्तिगत और ललाट कार्य, पारस्परिक परीक्षण। इस प्रकार के पाठ के लिए ऐसे रूप अधिक तर्कसंगत हैं, क्योंकि वे बच्चे को स्वतंत्र सोच, विचार की आलोचना, अपनी बात का बचाव करने की क्षमता, तुलना करने और निष्कर्ष निकालने की क्षमता विकसित करने की अनुमति देते हैं।

इस पाठ की मुख्य विधि आंशिक खोज विधि है, जो समस्याग्रस्त संज्ञानात्मक समस्याओं को हल करने में छात्रों के काम की विशेषता है।

भौतिक. एक ही समय में दर्शाया गया मिनट शारीरिक व्यायामऔर अभी सीखी गई सामग्री का समेकन।

पाठ के अंत में, पाठ में किए गए कार्य का सारांश प्रस्तुत करना उचित है।

पाठ के सामान्य परिणाम:

मेरा मानना है कि पाठ के लिए निर्धारित उद्देश्यों को क्रियान्वित किया गया, बच्चों ने ज्ञान का प्रयोग किया नई स्थिति, हर कोई अपनी बात व्यक्त कर सकता था। छात्रों के लिए प्रस्तुतियों और व्यक्तिगत मुद्रित शीटों के रूप में दृश्य सहायता का उपयोग करने से आप पाठ के हर चरण में छात्रों को प्रेरित कर सकते हैं और छात्रों को ओवरलोडिंग और अत्यधिक थकाने से बचा सकते हैं।

पाठ विषय:

उपदेशात्मक कार्य:प्रत्यक्ष आनुपातिकता और उसके ग्राफ के निर्माण से परिचित होना।

लक्ष्य:

शैक्षिक:

1. "प्रत्यक्ष आनुपातिकता और उसका ग्राफ" विषय को समझने और प्राथमिक समेकन पर छात्रों की गतिविधियों को व्यवस्थित करें: प्रत्यक्ष आनुपातिकता को परिभाषित करना और उसका ग्राफ बनाना, सक्षम रूप से ग्राफ बनाने में कौशल विकसित करना

2. छात्रों की स्मृति में एक प्रणाली बनाने के लिए परिस्थितियाँ बनाएँ पृष्ठभूमि ज्ञानऔर कौशल, उत्तेजित करें खोज गतिविधि

शैक्षिक:

1. विश्लेषणात्मक-संश्लेषण सोच विकसित करें (अवलोकन के विकास को बढ़ावा दें, विश्लेषण करने की क्षमता, तथ्यों को वर्गीकृत करने की क्षमता का विकास, सामान्यीकरण निष्कर्ष निकालें)।

2. अमूर्त सोच विकसित करें (सामान्य और आवश्यक विशेषताओं की पहचान करने की क्षमता विकसित करना, महत्वहीन विशेषताओं को अलग करना और उनसे विचलित होना)।

3. छात्रों को आत्म-नियंत्रण और आपसी नियंत्रण के लिए प्रोत्साहित करें

शैक्षिक:

सहपाठियों के प्रति सम्मान की भावना पैदा करना, शब्दों पर ध्यान देना, चित्र बनाते समय स्वतंत्रता, जिम्मेदारी और सटीकता को बढ़ावा देना।

उपकरण:प्रत्येक छात्र के लिए कार्यों के साथ कंप्यूटर, प्रस्तुतिकरण, मुद्रित कार्ड।

शिक्षण योजना:

1. संगठनात्मक क्षण.

2.पाठ प्रेरणा.

3. ज्ञान को अद्यतन करना।

4. नई सामग्री सीखना.

5. सामग्री को ठीक करना.

6. पाठ सारांश.

पाठ की प्रगति.

1. संगठनात्मक क्षण.

शुभ प्रभात, दोस्तो! मैं पाठ की शुरुआत निम्नलिखित शब्दों से करना चाहूँगा। (स्लाइड 1)

फ्रांसीसी वैज्ञानिक रेने डेसकार्टेस ने एक बार टिप्पणी की थी: "मैं सोचता हूं, इसलिए मैं हूं।"

लोगों ने फ्रांसीसी वैज्ञानिक आर. डेसकार्टेस के बारे में एक रिपोर्ट तैयार की।

रेने डेसकार्टेस के रूप में अधिक जाना जाता है महान दार्शनिकएक गणितज्ञ की तुलना में. लेकिन वह वही थे जो आधुनिक गणित के प्रणेता थे, और इस क्षेत्र में उनकी उपलब्धियाँ इतनी महान हैं कि उन्हें हमारे समय के महान गणितज्ञों में शामिल किया जाता है।

छात्र संदेश:(स्लाइड 2)

डेसकार्टेस का जन्म फ्रांस के छोटे शहर लाई में हुआ था। उनके पिता एक वकील थे, जब रेने 1 वर्ष की थी तब उनकी माँ की मृत्यु हो गई। कुलीन परिवारों के बेटों के लिए एक कॉलेज से स्नातक होने के बाद, उन्होंने अपने भाई के उदाहरण का अनुसरण करते हुए कानून का अध्ययन करना शुरू किया। 22 साल की उम्र में, उन्होंने फ्रांस छोड़ दिया और 13 साल के युद्ध में भाग लेने वाले विभिन्न सैन्य नेताओं की टुकड़ियों में एक स्वयंसेवक अधिकारी के रूप में कार्य किया। डेसकार्टेस अपने में दार्शनिक शिक्षणसर्वशक्तिमानता का विचार विकसित किया मानव मन, और इसलिए सताया गया कैथोलिक चर्च. दर्शन और गणित पर शांत काम के लिए आश्रय ढूंढना चाहते थे, जिसमें उनकी बचपन से रुचि थी, डेसकार्टेस 1629 में हॉलैंड में बस गए, जहां वे अपने जीवन के अंत तक रहे। दर्शनशास्त्र, गणित, भौतिकी, ब्रह्मांड विज्ञान और शरीर विज्ञान पर डेसकार्टेस के सभी प्रमुख कार्य उनके द्वारा हॉलैंड में लिखे गए थे।

डेसकार्टेस के गणितीय कार्य उनकी पुस्तक "ज्यामिति" (1637) में संग्रहीत हैं। "ज्यामिति" में डेसकार्टेस ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति और बीजगणित की नींव दी। डेसकार्टेस गणित में एक परिवर्तनीय फ़ंक्शन की अवधारणा को पेश करने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने इस तथ्य की ओर ध्यान आकर्षित किया कि एक समतल पर एक वक्र को एक समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें यह गुण होता है कि इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। उन्होंने दिए गए वक्रों को विभाजित कर दिया बीजगणितीय समीकरण, समीकरण में अज्ञात मात्रा की सबसे बड़ी शक्ति के आधार पर वर्गों में। डेसकार्टेस ने गणित में सकारात्मक और नकारात्मक मात्राओं को दर्शाने के लिए प्लस और माइनस चिह्न, डिग्री के अंकन और एक असीम रूप से बड़ी मात्रा को दर्शाने वाले चिह्न की शुरुआत की। चर और अज्ञात मात्राओं के लिए, डेसकार्टेस ने अंकन x, y, z को अपनाया और ज्ञात और स्थिर मात्राओं के लिए -a .b .c, जैसा कि ज्ञात है, इन अंकन का उपयोग पहले गणित में किया जाता है आज. इस तथ्य के बावजूद कि डेसकार्टेस विश्लेषणात्मक ज्यामिति के क्षेत्र में बहुत आगे नहीं बढ़े, उनके कार्यों का निर्णायक प्रभाव पड़ा इससे आगे का विकासअंक शास्त्र। 150 वर्षों तक, गणित का विकास डेसकार्टेस द्वारा बताए गए रास्तों पर हुआ।

आइये वैज्ञानिक की सलाह मानें. हम सक्रिय, चौकस रहेंगे, हम तर्क करेंगे, सोचेंगे और नई चीजें सीखेंगे, क्योंकि ज्ञान आपके लिए बाद के जीवन में उपयोगी होगा और मैं आर. डेसकार्टेस के इन शब्दों (स्लाइड 3) को हमारे पाठ के आदर्श वाक्य के रूप में प्रस्तावित करना चाहूंगा। : "दूसरों का सम्मान स्वयं का सम्मान करने का कारण देता है।"

2.प्रेरणा.

आइए देखें कि आप किस मूड में कक्षा में आए। हाशिये पर एक स्माइली चेहरा बनाएं।

कार्ड ले लो. आर. डेसकार्टेस के शब्द भी यहाँ लिखे गए हैं: “ अपने दिमाग को बेहतर बनाने के लिए, आपको याद रखने से ज्यादा तर्क करने की जरूरत है। ये शब्द हमें हमारे काम में मार्गदर्शन देंगे।

कार्य संख्या 1 गणितीय शब्दों के साथ जिनका हम कक्षा में उपयोग करेंगे। इन शब्दों की वर्तनी में हुई किसी भी गलती को सुधारें। (स्लाइड 4)

एक्सचेंज पत्तियां और जांचें कि क्या सभी त्रुटियां ठीक हो गई हैं। (स्लाइड 5) -आपने क्या नोटिस किया? किस शब्द में कोई गलती नहीं है? (फ़ंक्शन, शेड्यूल)

3. ज्ञान को अद्यतन करना।

क) हम पिछले पाठों में "फ़ंक्शन" की अवधारणा से परिचित हो गए थे। आइए इस विषय पर बुनियादी अवधारणाओं और परिभाषाओं को याद रखें।

हमने फ़ंक्शन ग्राफ़ के साथ भी काम किया। "फ़ंक्शंस के ग्राफ़" विषय पर काम करते समय हमने कौन से श्रुतलेख शब्दों का उपयोग किया था? उनका क्या मतलब है?

इस स्लाइड पर निर्धारित करें कि कौन सी रेखा फ़ंक्शन का ग्राफ़ होगी? (स्लाइड 6)

हमें कौन बता सकता है कि इस पाठ में हम किस बारे में बात करेंगे? हम पाठ के लिए क्या लक्ष्य निर्धारित करेंगे? (स्लाइड7)

छात्र शीट पर संख्या लिखें और पाठ का विषय लिखें: "प्रत्यक्ष आनुपातिकता और उसका ग्राफ"

आइए पिछले पाठों की सामग्री को याद करें

निम्नलिखित समस्याओं को हल करने के लिए सूत्र बनाएँ। (स्लाइड 9,10)

कौन से चर आश्रित और स्वतंत्र हैं? क्या किस पर निर्भर करता है? कैसी लत? (फिसलना)

कौन सा फॉर्मूला दूसरों से अलग है? (फिसलना)

ग) आप सूत्र कैसे लिख सकते हैं? सामान्य रूप से देखें? (फिसलना)

y =kx, y - आश्रित चर

एक्स - स्वतंत्र चर

k - स्थिर संख्या (गुणांक)

हमने सूत्र लिखा, और यह किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के तरीकों में से एक है। प्रत्यक्ष आनुपातिक निर्भरता एक कार्य है।

4. नई सामग्री सीखना.

परिभाषा। प्रत्यक्ष आनुपातिकता एक फ़ंक्शन है जिसे सूत्र y = kx द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, जहां x एक स्वतंत्र चर है, और k एक निश्चित संख्या है जो शून्य के बराबर नहीं है, प्रत्यक्ष आनुपातिकता का गुणांक (आनुपातिक मात्राओं का एक स्थिर अनुपात)

आइए पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 65 पर नियम पढ़ें

इस फ़ंक्शन का दायरा क्या है? (सभी संख्याओं का समुच्चय)

सामग्री को ठीक करना.

शीट संख्या 4 (स्लाइड) में कार्य पूरा करें पाठ के विषय के अनुसार सूत्रों को 2 समूहों में वितरित करें: (पाठ्यपुस्तक में पृष्ठ 65 पर नियम पढ़ें)

y=2x, y=3x-7, y=-0.2x, y=x, y=x², y=x, y=-5.8+3x, y=-x, y=50x,

समूह 1:____________________________________________________________________

समूह 2:____________________________________________________________________

प्रत्यक्ष आनुपातिकता के गुणांक को रेखांकित करें।

हम पृष्ठ 68 (मौखिक रूप से) पर संख्या 298 का पालन करते हैं, मैं निर्देश देता हूं, आप कान से आनुपातिकता का सूत्र निर्धारित करें और अपनी आंखों को झुकाएं, यदि आनुपातिकता से नहीं, तो अपनी आंखों को बाएं से दाएं घुमाएं।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता के फलन के लिए 4 सूत्र खोजें और लिखें:

1) y=_________2) y=_________3) y=_________4) y=__________

नई सामग्री सीखना

इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ क्या है? जानना चाहते हैं?

हमने पहले ही कार्य संख्या 2 में एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ बना लिया है, क्या हम इस फ़ंक्शन को आनुपातिकता कह सकते हैं? इसका मतलब है कि हमने पहले ही आनुपातिकता का एक ग्राफ बना लिया है। नियम पाठ्यपुस्तक में पृष्ठ 67 पर है।

आइए देखें कि हम इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसे बनाते हैं (स्लाइड)

सामग्री को ठीक करना.

आइए छात्र शीट पर ग्राफ़ नंबर 7 बनाएं (स्लाइड)

आनुपातिकता के किसी ग्राफ़ में हमारा क्या बिंदु होगा?

हम तैयार चित्रों के अनुसार काम करते हैं। (फिसलना)

निष्कर्ष: ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

टी.के. ग्राफ़ एक सीधी रेखा है, तो इसे बनाने के लिए कितने बिंदुओं की आवश्यकता है? वहाँ पहले से ही एक है (0;0)

हम नंबर 300 को अंजाम देते हैं

पाठ सारांश.आइए आज के पाठ (स्लाइड) में कार्य का सारांश प्रस्तुत करें। सब कुछ हो गया. आपने क्या योजना बनाई है?

प्रतिबिंब। (फिसलना)

पाठ के अंत में छात्रों की मनोदशा की जाँच करें (स्माइली) (स्लाइड)

सूत्रों का कहना है

कल्पना करें कि आप अपनी पसंदीदा कैंडीज़ (या कुछ भी जो आपको वास्तव में पसंद है) खरीदने की योजना बना रहे हैं। दुकान में मिठाइयों की अपनी कीमत होती है। मान लीजिए 300 रूबल प्रति किलोग्राम। आप जितनी अधिक कैंडीज खरीदेंगे, आपको उतने ही अधिक पैसे चुकाने होंगे। यानी, यदि आप 2 किलोग्राम चाहते हैं, तो 600 रूबल का भुगतान करें, लेकिन यदि आप 3 किलोग्राम चाहते हैं, तो 900 रूबल का भुगतान करें। ऐसा लगता है कि यह सब स्पष्ट है, है ना?

कार्य और उसके गुण

प्रत्यक्ष आनुपातिक कार्यएक रैखिक फलन का एक विशेष मामला है। यदि रैखिक फलन y = k*x + b है, तो प्रत्यक्ष आनुपातिकता के लिए यह इस तरह दिखता है: y = k*x, जहां k को आनुपातिकता गुणांक कहा जाता है, और यह हमेशा एक गैर-शून्य संख्या होती है। K की गणना करना आसान है - यह एक फ़ंक्शन के भागफल और एक तर्क के रूप में पाया जाता है: k = y/x।

कार्य विषम है;

चरों में परिवर्तन संख्या रेखा की पूरी लंबाई के साथ सीधे आनुपातिक होता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता और उसका ग्राफ

ग्राफ़ के मामले में, k ढलान है। यदि ढलान शून्य से कम है (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), ग्राफ़ और x-अक्ष एक न्यून कोण बनाते हैं, और फ़ंक्शन बढ़ रहा है।

नमूना समस्याएँ

आइए अब एक जोड़े को सुलझाएं प्रत्यक्ष आनुपातिकता की समस्या

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें।

आइए हमारे उदाहरणों के समान एक और समस्या का समाधान करें।

समाधान: शर्त में हमें जो फलन दिया गया है वह रैखिक है। हम जानते हैं कि प्रत्यक्ष आनुपातिकता एक रैखिक फलन का एक विशेष मामला है। और हम यह भी जानते हैं कि यदि k फ़ंक्शन के गुणांक समान हैं, तो उनके ग्राफ़ समानांतर हैं। इसका मतलब यह है कि किसी ज्ञात फ़ंक्शन के गुणांक की गणना करना और हमारे परिचित सूत्र का उपयोग करके प्रत्यक्ष आनुपातिकता निर्धारित करना आवश्यक है: y = k *x। गुणांक k = -5, प्रत्यक्ष आनुपातिकता: y = -5*x.

निष्कर्ष

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