दशमलव भिन्न को पढ़ना आसान है। दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में बदलना। दशमलव भिन्न का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व

पहले से ही अंदर प्राथमिक स्कूलविद्यार्थियों को भिन्नों का सामना करना पड़ता है। और फिर वे हर विषय में दिखाई देते हैं। आप इन नंबरों के साथ कार्यों को नहीं भूल सकते। इसलिए, आपको साधारण और के बारे में सारी जानकारी जानना आवश्यक है दशमलव. ये अवधारणाएँ जटिल नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि हर चीज़ को क्रम से समझना है।

भिन्नों की आवश्यकता क्यों है?

हमारे चारों ओर की दुनिया संपूर्ण वस्तुओं से बनी है। इसलिए, शेयरों की कोई आवश्यकता नहीं है. लेकिन दैनिक जीवनलोगों को लगातार वस्तुओं और चीजों के हिस्सों के साथ काम करने के लिए प्रेरित करता है।

उदाहरण के लिए, चॉकलेट में कई टुकड़े होते हैं। ऐसी स्थिति पर विचार करें जहां उसकी टाइल बारह आयतों से बनी है। यदि आप इसे दो भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 6 भाग मिलते हैं। इसे आसानी से तीन भागों में विभाजित किया जा सकता है। लेकिन पांच लोगों को पूरी संख्या में चॉकलेट के टुकड़े देना संभव नहीं होगा।

वैसे, ये टुकड़े पहले से ही भिन्न हैं। और उनके आगे के विभाजन से अधिक जटिल संख्याएँ सामने आती हैं।

"अंश" क्या है?

यह एक इकाई के भागों से बनी संख्या है। बाह्य रूप से, यह क्षैतिज या स्लैश द्वारा अलग की गई दो संख्याओं जैसा दिखता है। इस विशेषता को भिन्नात्मक कहा जाता है। सबसे ऊपर (बायीं ओर) लिखी संख्या को अंश कहा जाता है। नीचे (दाएं) जो है वह हर है।

मूलतः, स्लैश एक विभाजन चिन्ह बन जाता है। अर्थात् अंश को भाज्य और हर को भाजक कहा जा सकता है।

वहां कौन-कौन से भिन्न हैं?

गणित में केवल दो प्रकार होते हैं: साधारण और दशमलव भिन्न। सबसे पहले स्कूली बच्चे मिलते हैं प्राथमिक स्कूल, उन्हें बस "अंश" कहते हैं। बाद वाला 5वीं कक्षा में सीखा जाएगा। तभी ये नाम सामने आते हैं.

सामान्य भिन्न वे सभी भिन्न हैं जिन्हें एक रेखा से अलग की गई दो संख्याओं के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 4/7. दशमलव एक संख्या है जिसमें भिन्नात्मक भाग में एक स्थितिगत अंकन होता है और इसे पूर्ण संख्या से अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 4.7. छात्रों को यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि दिए गए दो उदाहरण पूरी तरह से अलग-अलग संख्याएँ हैं।

प्रत्येक साधारण अंशदशमलव रूप में लिखा जा सकता है. यह कथन लगभग हमेशा विपरीत रूप से सत्य होता है। ऐसे नियम हैं जो आपको दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न के रूप में लिखने की अनुमति देते हैं।

इस प्रकार के भिन्नों के क्या उपप्रकार होते हैं?

इसमें शुरुआत करना बेहतर है कालानुक्रमिक क्रम में, जैसा कि उनका अध्ययन किया जा रहा है। सामान्य भिन्न पहले आते हैं। उनमें से, 5 उप-प्रजातियों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

सही। इसका अंश सदैव हर से छोटा होता है।

गलत। इसका अंश इसके हर से बड़ा या उसके बराबर है।

कम करने योग्य/अघुलनशील। यह या तो सही या ग़लत हो सकता है। एक और महत्वपूर्ण बात यह है कि क्या अंश और हर में सामान्य गुणनखंड हैं। यदि हैं तो भिन्न के दोनों भागों को उनसे विभाजित करना अर्थात् घटाना आवश्यक है।

मिश्रित। एक पूर्णांक संख्या इसके सामान्य नियमित (गलत) भिन्नात्मक भाग को निर्दिष्ट की जाती है। इसके अलावा, यह हमेशा बाईं ओर होता है।

समग्र. यह दो भिन्नों को एक दूसरे से विभाजित करने पर बनता है। अर्थात् इसमें एक साथ तीन भिन्नात्मक रेखाएँ होती हैं।

दशमलव भिन्नों के केवल दो उपप्रकार होते हैं:

परिमित, अर्थात जिसका भिन्नात्मक भाग सीमित है (जिसका अंत है);

अनंत - एक संख्या जिसके अंक दशमलव बिंदु के बाद समाप्त नहीं होते (उन्हें अंतहीन रूप से लिखा जा सकता है)।

दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?

यदि यह एक सीमित संख्या है, तो नियम के आधार पर एक जुड़ाव लागू किया जाता है - जैसा मैं सुनता हूं, वैसा ही लिखता हूं। यानी, आपको इसे सही ढंग से पढ़ने और लिखने की ज़रूरत है, लेकिन अल्पविराम के बिना, लेकिन एक भिन्नात्मक पट्टी के साथ।

आवश्यक हर के बारे में संकेत के रूप में, आपको यह याद रखना होगा कि यह हमेशा एक और कई शून्य होता है। आपको उत्तरार्द्ध में से उतने ही लिखने की आवश्यकता है जितने कि प्रश्न में संख्या के भिन्नात्मक भाग में अंक हैं।

दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में कैसे बदलें यदि संपूर्ण भागअनुपस्थित अर्थात् शून्य के बराबर? उदाहरण के लिए, 0.9 या 0.05. निर्दिष्ट नियम को लागू करने के बाद, यह पता चलता है कि आपको शून्य पूर्णांक लिखने की आवश्यकता है। लेकिन इसका संकेत नहीं दिया गया है. जो कुछ बचा है वह भिन्नात्मक भागों को लिखना है। पहली संख्या का हर 10 होगा, दूसरे का हर 100 होगा। यानी, दिए गए उदाहरणों में उत्तर के रूप में निम्नलिखित संख्याएँ होंगी: 9/10, 5/100। इसके अलावा, यह पता चला है कि बाद वाले को 5 से कम किया जा सकता है। इसलिए, इसका परिणाम 1/20 के रूप में लिखा जाना चाहिए।

यदि किसी दशमलव अंश का पूर्णांक भाग शून्य से भिन्न है तो आप उसे साधारण भिन्न में कैसे परिवर्तित कर सकते हैं? उदाहरण के लिए, 5.23 या 13.00108. दोनों उदाहरणों में पूरा भाग पढ़ा जाता है और उसका मान लिखा जाता है। पहले मामले में यह 5 है, दूसरे में यह 13 है। फिर आपको भिन्नात्मक भाग पर आगे बढ़ने की जरूरत है। उनके साथ भी यही ऑपरेशन किया जाना है। पहला नंबर 23/100 दिखाई देता है, दूसरा - 108/100000। दूसरे मान को फिर से कम करने की जरूरत है। उत्तर निम्नलिखित मिश्रित भिन्न देता है: 5 23/100 और 13 27/25000।

अनंत दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में कैसे बदलें?

यदि यह गैर-आवधिक है, तो ऐसा ऑपरेशन संभव नहीं होगा। यह तथ्य इस तथ्य के कारण है कि प्रत्येक दशमलव अंश हमेशा या तो एक परिमित या आवधिक भिन्न में परिवर्तित हो जाता है।

ऐसे भिन्न के साथ आप केवल इतना ही कर सकते हैं कि उसे गोल कर लें। लेकिन तब दशमलव लगभग उस अनंत के बराबर होगा। इसे पहले से ही सामान्य में बदला जा सकता है। लेकिन विपरीत प्रक्रिया: दशमलव में परिवर्तित करने से कभी भी प्रारंभिक मान नहीं मिलेगा। अर्थात् अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं किया जाता है। इसे याद रखने की जरूरत है.

एक अनंत आवर्त भिन्न को साधारण भिन्न के रूप में कैसे लिखें?

इन संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद हमेशा एक या अधिक अंक होते हैं जिन्हें दोहराया जाता है। इन्हें काल कहा जाता है. उदाहरण के लिए, 0.3(3). यहाँ "3" आवर्त में है। उन्हें तर्कसंगत के रूप में वर्गीकृत किया गया है क्योंकि उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है।

जिन लोगों ने आवधिक भिन्नों का सामना किया है वे जानते हैं कि वे शुद्ध या मिश्रित हो सकते हैं। पहले मामले में, अवधि तुरंत अल्पविराम से शुरू होती है। दूसरे में, भिन्नात्मक भाग कुछ संख्याओं से शुरू होता है, और फिर दोहराव शुरू होता है।

वह नियम जिसके द्वारा आपको एक अनंत दशमलव को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखना होगा, संकेतित दो प्रकार की संख्याओं के लिए भिन्न होगा। शुद्ध आवर्त भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में लिखना काफी आसान है। परिमित लोगों की तरह, उन्हें परिवर्तित करने की आवश्यकता है: अंश में अवधि लिखें, और हर संख्या 9 होगी, जिसे अवधि में अंकों की संख्या जितनी बार दोहराया जाएगा।

उदाहरण के लिए, 0,(5). संख्या में पूर्णांक भाग नहीं है, इसलिए आपको तुरंत भिन्नात्मक भाग से शुरुआत करने की आवश्यकता है। अंश के रूप में 5 और हर के रूप में 9 लिखें, अर्थात उत्तर भिन्न 5/9 होगा।

मिश्रित साधारण दशमलव आवर्त भिन्न को लिखने का नियम।

अवधि की लंबाई देखें. हर में कितने 9 होंगे।

हर को लिखें: पहले नौ, फिर शून्य।

अंश निर्धारित करने के लिए, आपको दो संख्याओं का अंतर लिखना होगा। दशमलव बिंदु के बाद की सभी संख्याएँ, अवधि सहित, छोटी कर दी जाएंगी। कटौती योग्य - यह बिना किसी अवधि के है।

उदाहरण के लिए, 0.5(8) - आवधिक दशमलव भिन्न को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखें। अवधि से पहले भिन्नात्मक भाग में एक अंक होता है। तो एक शून्य होगा. आवर्त में भी एक ही संख्या है - 8. अर्थात् नौ ही एक है। यानी आपको हर में 90 लिखना होगा.

अंश निर्धारित करने के लिए, आपको 58 में से 5 घटाना होगा। परिणाम 53 होगा। उदाहरण के लिए, आपको उत्तर 53/90 लिखना होगा।

भिन्नों को दशमलव में कैसे बदला जाता है?

सबसे सरल विकल्पएक ऐसी संख्या बनती है जिसका हर संख्या 10, 100, आदि है। तब हर को आसानी से हटा दिया जाता है, और भिन्नात्मक और पूर्णांक भागों के बीच एक अल्पविराम लगा दिया जाता है।

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब हर आसानी से 10, 100 आदि में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 5, 20, 25। उन्हें क्रमशः 2, 5 और 4 से गुणा करना पर्याप्त है। आपको बस हर को ही नहीं, बल्कि अंश को भी उसी संख्या से गुणा करना होगा।

अन्य सभी मामलों के लिए, एक सरल नियम उपयोगी है: अंश को हर से विभाजित करें। इस मामले में, आपको दो संभावित उत्तर मिल सकते हैं: एक परिमित या आवधिक दशमलव अंश।

साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाएँ

जोड़ना और घटाना

छात्र दूसरों की तुलना में उनसे पहले परिचित हो जाते हैं। इसके अलावा, पहले भिन्नों के हर समान होते हैं, और फिर उनके अलग-अलग होते हैं। सामान्य नियमऐसी योजना तक कम किया जा सकता है।

हरों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

सभी साधारण भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणनखंड लिखें।

अंशों और हरों को उनके लिए निर्दिष्ट कारकों से गुणा करें।

भिन्नों के अंशों को जोड़ें (घटाएँ) और उभयनिष्ठ हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

यदि मीनुएंड का अंश उपट्रेंड से कम है, तो हमें यह पता लगाना होगा कि क्या हमारे पास मिश्रित संख्या है या उचित भिन्न है।

पहले मामले में, आपको पूरे हिस्से में से एक उधार लेना होगा। भिन्न के अंश में हर जोड़ें। और फिर घटाव करो.

दूसरे में छोटी संख्या में से बड़ी संख्या घटाने का नियम लागू करना आवश्यक है। यानी सबट्रेंड के मॉड्यूल से मीनूएंड के मॉड्यूल को घटाएं और जवाब में "-" चिन्ह लगाएं।

जोड़ (घटाने) के परिणाम को ध्यान से देखिये। यदि आपको अनुचित भिन्न मिलता है, तो आपको संपूर्ण भाग का चयन करना होगा। अर्थात् अंश को हर से भाग दें।

गुणन और भाग

इन्हें निष्पादित करने के लिए भिन्नों को कम करने की आवश्यकता नहीं है आम विभाजक. इससे कार्रवाई करना आसान हो जाता है. लेकिन फिर भी उनसे अपेक्षा की जाती है कि आप नियमों का पालन करें।

भिन्नों को गुणा करते समय, आपको अंश और हर में संख्याओं को देखना होगा। यदि किसी अंश और हर में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो तो उन्हें कम किया जा सकता है।

अंशों को गुणा करें.

हरों को गुणा करें.

यदि परिणाम एक कम करने योग्य अंश है, तो इसे फिर से सरलीकृत किया जाना चाहिए।

विभाजित करते समय, आपको पहले भाग को गुणन से और भाजक (दूसरा अंश) को व्युत्क्रम भिन्न (अंश और हर को बदलें) से बदलना होगा।

फिर गुणा की तरह आगे बढ़ें (बिंदु 1 से शुरू करके)।

उन कार्यों में जहां आपको पूर्णांक से गुणा (विभाजित) करने की आवश्यकता होती है, बाद वाले को फॉर्म में लिखा जाना चाहिए नहीं उचित अंश. यानी, 1 के हर के साथ। फिर ऊपर बताए अनुसार कार्य करें।



दशमलव के साथ संचालन

जोड़ना और घटाना

बेशक, आप दशमलव को हमेशा भिन्न में बदल सकते हैं। और पहले से बताई गई योजना के अनुसार कार्य करें। लेकिन कभी-कभी इस अनुवाद के बिना कार्य करना अधिक सुविधाजनक होता है। फिर उनके जोड़-घटाव के नियम बिल्कुल एक जैसे होंगे.

संख्या के भिन्नात्मक भाग में, अर्थात् दशमलव बिंदु के बाद, अंकों की संख्या को बराबर करें। इसमें शून्य की लुप्त संख्या जोड़ें।

भिन्नों को इस प्रकार लिखें कि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह जोड़ें (घटाएँ)।

अल्पविराम हटाएँ.

गुणन और भाग

गौरतलब है कि आपको यहां शून्य जोड़ने की जरूरत नहीं है. भिन्नों को वैसे ही छोड़ देना चाहिए जैसे वे उदाहरण में दिए गए हैं। और फिर योजना के अनुसार चलें.

गुणा करने के लिए, आपको अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए भिन्नों को एक के नीचे एक लिखना होगा।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह गुणा करें.

उत्तर में अल्पविराम लगाएं, उत्तर के दाएँ छोर से उतने अंक गिनें जितने दोनों कारकों के भिन्नात्मक भागों में हों।

विभाजित करने के लिए, आपको पहले भाजक को बदलना होगा: इसे एक प्राकृतिक संख्या बनाना होगा। अर्थात्, भाजक के भिन्नात्मक भाग में कितने अंक हैं, इसके आधार पर इसे 10, 100 आदि से गुणा करें।

लाभांश को उसी संख्या से गुणा करें।

दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें।

अपने उत्तर में उस समय अल्पविराम लगाएं जब पूरे भाग का विभाजन समाप्त हो जाए।



यदि एक उदाहरण में दोनों प्रकार के भिन्न हों तो क्या होगा?

हाँ, गणित में अक्सर ऐसे उदाहरण मिलते हैं जिनमें आपको साधारण और दशमलव भिन्नों पर संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है। ऐसे कार्यों में दो संभावित समाधान हैं. आपको निष्पक्ष रूप से संख्याओं को तौलना होगा और इष्टतम संख्या को चुनना होगा।

पहला तरीका: साधारण दशमलवों को निरूपित करें

यह उपयुक्त है यदि, विभाजित करते समय या अनुवाद करते समय, आपको मिलता है अंतिम अंश. यदि कम से कम एक संख्या आवधिक भाग देती है, तो यह तकनीक निषिद्ध है। इसलिए, भले ही आपको साधारण भिन्नों के साथ काम करना पसंद न हो, फिर भी आपको उन्हें गिनना होगा।

दूसरा तरीका: दशमलव भिन्नों को साधारण के रूप में लिखें

यदि दशमलव बिंदु के बाद के भाग में 1-2 अंक हों तो यह तकनीक सुविधाजनक हो जाती है। यदि उनमें से अधिक हैं, तो आप एक बहुत बड़े सामान्य अंश के साथ समाप्त हो सकते हैं और दशमलव अंकन कार्य को तेज और गणना करने में आसान बना देगा। इसलिए, आपको हमेशा कार्य का गंभीरता से मूल्यांकन करने और सबसे सरल समाधान विधि चुनने की आवश्यकता है।

भिन्नों को 0.8 के रूप में लिखा जाता है; 0.13; 2.856; 5.2; 0.04 को दशमलव कहा जाता है. वास्तव में, दशमलव साधारण भिन्नों के लिए एक सरलीकृत अंकन है। यह अंकन उन सभी भिन्नों के लिए उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है जिनके हर 10, 100, 1000, इत्यादि हैं।

आइए उदाहरण देखें (0.5 को शून्य दशमलव पाँच पढ़ा जाता है);

(0.15 इस प्रकार पढ़ें, शून्य दशमलव पंद्रह);

(5.3 इस प्रकार पढ़ें, पाँच दशमलव तीन)।

कृपया ध्यान दें कि दशमलव भिन्न के अंकन में, अल्पविराम किसी संख्या के पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करता है, उचित भिन्न का पूर्णांक भाग 0 होता है। दशमलव भिन्न के भिन्नात्मक भाग के अंकन में उतने ही अंक होते हैं जितने संगत साधारण भिन्न के हर के अंकन में शून्य होते हैं।

आइए एक उदाहरण देखें, , , .

कुछ मामलों में, किसी प्राकृतिक संख्या को दशमलव मानना ​​आवश्यक हो सकता है जिसका भिन्नात्मक भाग शून्य है। यह लिखने की प्रथा है कि 5 = 5.0; 245 = 245.0 इत्यादि। ध्यान दें कि किसी प्राकृतिक संख्या के दशमलव अंकन में, सबसे कम महत्वपूर्ण अंक की इकाई आसन्न सबसे महत्वपूर्ण अंक की इकाई से 10 गुना कम होती है। दशमलव भिन्न लिखने का गुण समान होता है। इसलिए, दशमलव बिंदु के तुरंत बाद दसवां स्थान होता है, फिर सौवां स्थान होता है, फिर हज़ारवां स्थान होता है, इत्यादि। नीचे संख्या 31.85431 के अंकों के नाम दिए गए हैं, पहले दो स्तंभ पूर्णांक भाग हैं, शेष स्तंभ भिन्नात्मक भाग हैं।

यह अंश इकतीस दशमलव पचासी हजार चार सौ इकतीस सौ हजारवां पढ़ा जाता है।

दशमलव को जोड़ना और घटाना

पहला तरीका दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलना और जोड़ करना है।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, यह विधि बहुत असुविधाजनक है और दशमलव अंशों को सामान्य अंशों में परिवर्तित किए बिना, दूसरी विधि का उपयोग करना बेहतर है, जो अधिक सही है। दो दशमलव भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको यह करना होगा:

• पदों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या को बराबर करना;
• पदों को एक के नीचे एक लिखें ताकि दूसरे पद का प्रत्येक अंक पहले पद के संगत अंक के नीचे हो;
• परिणामी संख्याओं को उसी प्रकार जोड़ें जैसे आप प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ते हैं;
• पदों में अल्पविराम के नीचे परिणामी योग में अल्पविराम लगाएं।

आइए उदाहरण देखें:

• मिनटेंड और सबट्रेंड में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या को बराबर करना;
• सबट्रेंड को मीनूएंड के नीचे लिखें ताकि सबट्रेंड का प्रत्येक अंक मीनूएंड के संबंधित अंक के अंतर्गत हो;
• घटाव उसी प्रकार करें जैसे प्राकृतिक संख्याओं को घटाया जाता है;
• मीनूएंड और सबट्रैहेंड में अल्पविराम के नीचे परिणामी अंतर में अल्पविराम लगाएं।

आइए उदाहरण देखें:

ऊपर चर्चा किए गए उदाहरणों में, यह देखा जा सकता है कि दशमलव अंशों का जोड़ और घटाव थोड़ा-थोड़ा करके किया गया था, अर्थात, उसी तरह जैसे हमने प्राकृतिक संख्याओं के साथ समान संचालन किया था। भिन्नों को दशमलव रूप में लिखने का यह मुख्य लाभ है।

दशमलव को गुणा करना

किसी दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000 इत्यादि से गुणा करने के लिए, आपको इस भिन्न में दशमलव बिंदु को क्रमशः 1, 2, 3 इत्यादि से दाईं ओर ले जाना होगा। इसलिए, यदि अल्पविराम को 1, 2, 3 और इसी तरह के अंकों से दाईं ओर ले जाया जाता है, तो अंश तदनुसार 10, 100, 1000 और इसी तरह कई गुना बढ़ जाएगा। दो दशमलव भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको यह करना होगा:

• अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के रूप में गुणा करें;
• परिणामी उत्पाद में, दाईं ओर अल्पविराम से उतने अंकों को अलग करें जितने दोनों कारकों में अल्पविराम के बाद होते हैं।

ऐसे मामले होते हैं जब किसी कार्य में अल्पविराम से अलग किए जाने की आवश्यकता से कम अंक होते हैं, उन्हें इस कार्य से पहले बाईं ओर जोड़ा जाता है; आवश्यक मात्राशून्य, और फिर अंकों की आवश्यक संख्या से अल्पविराम को बाईं ओर ले जाएँ।

आइए उदाहरण देखें: 2 * 4 = 8, फिर 0.2 * 0.4 = 0.08; 23 * 35 = 805, फिर 0.023 * 0.35 = 0.00805।

ऐसे मामले हैं जब गुणकों में से एक 0.1 के बराबर है; 0.01; 0.001 और इसी तरह, निम्नलिखित नियम का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

• दशमलव को 0.1 से गुणा करने के लिए; 0.01; 0.001 और इसी तरह, आपको इस दशमलव अंश में दशमलव बिंदु को क्रमशः 1, 2, 3, और इसी तरह बाईं ओर ले जाना होगा।

आइए उदाहरण देखें: 2.65 * 0.1 = 0.265; 457.6 * 0.01 = 4.576.

गुणन के गुण प्राकृतिक संख्यादशमलव भिन्नों के लिए भी किया जाता है।

• अब = बा- गुणन की क्रमविनिमेय संपत्ति;
• (एबी) सी = ए (बीसी)- गुणन की साहचर्य संपत्ति;
• ए (बी + सी) = एबी + एसीजोड़ के सापेक्ष गुणन का एक वितरणात्मक गुण है।

दशमलव विभाजन

यह ज्ञात है कि यदि आप किसी प्राकृत संख्या को विभाजित करते हैं एएक प्राकृतिक संख्या के लिए बीऐसी प्राकृत संख्या ज्ञात करना सी, जिसे जब गुणा किया जाता है बीएक नंबर देता है ए. यदि कम से कम एक संख्या हो तो यह नियम सत्य रहता है ए, बी, सीएक दशमलव अंश है.

आइए एक उदाहरण देखें: आपको अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, एक कोने से 43.52 को 17 से विभाजित करना होगा। इस मामले में, लाभांश में दशमलव बिंदु का उपयोग करने के बाद भागफल में अल्पविराम को पहले अंक से तुरंत पहले रखा जाना चाहिए।

ऐसे मामले होते हैं जब लाभांश भाजक से कम होता है, तो भागफल का पूर्णांक भाग शून्य के बराबर होता है। आइए एक उदाहरण देखें:

आइए एक और दिलचस्प उदाहरण देखें.

विभाजन की प्रक्रिया रुक गई है क्योंकि लाभांश के अंक समाप्त हो गए हैं और शेष में शून्य नहीं है। यह ज्ञात है कि दशमलव अंश में दाईं ओर कोई भी संख्या में शून्य जोड़ने पर कोई बदलाव नहीं आएगा। तब यह स्पष्ट हो जाता है कि लाभांश की संख्या समाप्त नहीं हो सकती।

किसी दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000, इत्यादि से विभाजित करने के लिए, आपको इस भिन्न में दशमलव बिंदु को 1, 2, 3, इत्यादि अंकों से बाईं ओर ले जाना होगा। आइए एक उदाहरण देखें: 5.14: 10 = 0.514; 2: 100 = 0.02; 37.51: 1000 = 0.03751.

यदि लाभांश और भाजक को एक साथ 10, 100, 1000 और इसी तरह कई बार बढ़ाया जाए, तो भागफल नहीं बदलेगा।

एक उदाहरण पर विचार करें: 39.44: 1.6 = 24.65, लाभांश और भाजक को 10 गुना बढ़ाएँ 394.4: 16 = 24.65 यह ध्यान रखना उचित है कि दूसरे उदाहरण में दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना आसान है।

दशमलव अंश को दशमलव से विभाजित करने के लिए, आपको यह करना होगा:

• भाज्य और भाजक में अल्पविरामों को उतने अंकों तक दाईं ओर ले जाएँ जितने भाजक में दशमलव बिंदु के बाद हों;
• एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें.

आइए एक उदाहरण पर विचार करें: 23.6: 0.02, ध्यान दें कि भाजक में दो दशमलव स्थान हैं, इसलिए हम दोनों संख्याओं को 100 से गुणा करते हैं, हमें 2360: 2 = 1180 मिलता है, परिणाम को 100 से विभाजित करें और उत्तर प्राप्त करें 11.80 या 23.6: 0, 02 = 11.8.

दशमलव की तुलना

दशमलव की तुलना करने के दो तरीके हैं। विधि एक, आपको दो दशमलव अंशों 4.321 और 4.32 की तुलना करने की आवश्यकता है, दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करें और स्थान दर स्थान, दसवें को दसवें के साथ, सौवें को सौवें के साथ तुलना करना शुरू करें, और इसी तरह, अंत में हमें 4.321 > 4.320 मिलता है।

दशमलव भिन्नों की तुलना करने का दूसरा तरीका गुणन का उपयोग करके किया जाता है; उपरोक्त उदाहरण को 1000 से गुणा करें और 4321 > 4320 की तुलना करें। कौन सी विधि अधिक सुविधाजनक है, हर कोई अपने लिए चुनता है।

सिलाई कार्यशाला में रिबन के 5 रंग थे। नीले रंग की तुलना में लालफीताशाही 2.4 मीटर अधिक थी, लेकिन हरे रंग की तुलना में 3.8 मीटर कम थी। सफेद टेप काले टेप से 1.5 मीटर अधिक था, लेकिन हरे टेप से 1.9 मीटर कम था। यदि सफ़ेद टेप 7.3 मीटर था तो वर्कशॉप में कुल कितने मीटर टेप थे?

समाधान
• 1) 7.3 + 1.9 = 9.2 (एम) हरा टेप कार्यशाला में था;
• 2) 7.3 – 1.5 = 5.8 (एम) काला टेप;
• 3) 9.2 – 3.8 = 5.4 (एम) लाल रिबन;
• 4) 5.4 - 2.4 = 3 (एम) नीला रिबन;
• 5) 7.3 + 9.2 + 5.8 + 5.4 + 3 = 30.7 (एम)।
• उत्तर: वर्कशॉप में कुल 30.7 मीटर टेप था।

समस्या 2

आयताकार खंड की लंबाई 19.4 मीटर और चौड़ाई 2.8 मीटर कम है। साइट की परिधि की गणना करें.

समाधान
• 1) 19.4 – 2.8 = 16.6 (एम) क्षेत्र की चौड़ाई;
• 2) 16.6 * 2 + 19.4 * 2 = 33.2 + 38.8 = 72(एम)।
• उत्तर: स्थल की परिधि 72 मीटर है।

समस्या 3

कंगारू की छलांग की लंबाई 13.5 मीटर तक पहुंच सकती है। किसी व्यक्ति का विश्व रिकॉर्ड 8.95 मीटर है। कंगारू कितनी दूर तक छलांग लगा सकता है?

समाधान
• 1) 13.5 - 8.95 = 4.55 (एम)।
• 2) उत्तर: कंगारू 4.55 मीटर आगे तक छलांग लगाता है।

समस्या 4

ग्रह पर सबसे कम तापमान 21 जुलाई, 1983 की गर्मियों में अंटार्कटिका के वोस्तोक स्टेशन पर दर्ज किया गया था और यह -89.2 डिग्री सेल्सियस था, और 13 सितंबर, 1922 को अल-अज़ीज़िया शहर में सबसे गर्म तापमान +57.8 डिग्री सेल्सियस था। तापमान के बीच अंतर की गणना करें.

समाधान
• 1) 89.2 + 57.8 = 147° सेल्सियस।
• उत्तर: तापमान के बीच का अंतर 147°C है।



समस्या 5

गज़ेल वैन की वहन क्षमता 1.5 टन है, और बेलाज़ खनन डंप ट्रक 24 गुना अधिक है। BelAZ डंप ट्रक की वहन क्षमता की गणना करें।

समाधान
• 1) 1.5 * 24 = 36 (टन)।
• उत्तर: BelAZ की वहन क्षमता 36 टन है।

समस्या 6

अपनी कक्षा में पृथ्वी की अधिकतम गति 30.27 किमी/सेकंड है, और बुध की गति 17.73 किमी अधिक है। बुध अपनी कक्षा में किस गति से घूमता है?

समाधान
• 1) 30.27 + 17.73 = 48 (किमी/सेकंड)।
• उत्तर: बुध की कक्षीय गति 48 किमी/सेकंड है।

समस्या 7

गहराई मारियाना ट्रेंच 11.023 किमी है, और ऊंचाई सबसे अधिक है ऊंचे पहाड़विश्व में - चोमोलुंगमा समुद्र तल से 8,848 कि.मी. ऊपर। इन दोनों बिंदुओं के बीच अंतर की गणना करें।

समाधान
• 1) 11.023 + 8.848 = 19.871(किमी)।
• उत्तर: 19,871 किमी.

समस्या 8

कोल्या के लिए, किसी के लिए भी स्वस्थ व्यक्ति, सामान्य शरीर का तापमान 36.6 डिग्री सेल्सियस है, और उसके लिए चार पैर वाला दोस्तगेंद 2.2°C बड़ी है. शारिक के लिए कौन सा तापमान सामान्य माना जाता है?

समाधान
• 1) 36.6 + 2.2 = 38.8° सेल्सियस।
• उत्तर: शारिक के शरीर का सामान्य तापमान 38.8° C है।

समस्या 9

चित्रकार ने 1 दिन में 18.6 वर्ग मीटर बाड़ को चित्रित किया, और उसके सहायक ने 4.4 वर्ग मीटर कम चित्रित किया। एक कार्य सप्ताह में, यदि यह पाँच दिन का हो, तो चित्रकार और उसका सहायक कितने वर्ग मीटर की बाड़ को पेंट करेंगे?

समाधान
• 1) 18.6 - 4.4 = 14.2 (वर्ग मीटर) को एक चित्रकार के सहायक द्वारा 1 दिन में चित्रित किया जाएगा;
• 2) 14.2 + 18.6 = 32.8 (एम²) एक साथ 1 दिन में पेंट किया जाएगा;
• 3) 32.8 *5 = 164 (वर्ग मीटर)।
• उत्तर: एक कार्य सप्ताह में, चित्रकार और उसका सहायक मिलकर 164 वर्ग मीटर बाड़ को पेंट करेंगे।

समस्या 10

दो नावें एक साथ दो घाटों से एक दूसरे की ओर रवाना हुईं। एक नाव की गति 42.2 किमी/घंटा है, दूसरी की गति 6 किमी/घंटा अधिक है। यदि घाटों के बीच की दूरी 140.5 किमी है तो 2.5 घंटे के बाद नावों के बीच की दूरी क्या होगी?

समाधान
• 1) 42.2 + 6 = 48.2 (किमी/घंटा) दूसरी नाव की गति;
• 2) 42.2 * 2.5 = 105.5 (किमी) पहली नाव द्वारा 2.5 घंटे में तय की जाएगी;
• 3) 48.2 * 2.5 = 120.5 (किमी) 2.5 घंटे में दूसरी नाव द्वारा तय किया जाएगा;
• 4) 140.5 - 105.5 = 35 (किमी) पहली नाव से विपरीत घाट तक की दूरी;
• 5) 140.5 – 120. 5 = 20 (किमी) दूसरी नाव से विपरीत घाट तक की दूरी;
• 6) 35 + 20 = 55 (किमी);
• 7) 140 – 55 = 85 (किमी).
• उत्तर: नावों के बीच 85 किमी की दूरी होगी।

समस्या 11

प्रतिदिन एक साइकिल चालक 30.2 किमी की दूरी तय करता है। यदि एक मोटरसाइकिल चालक उतना ही समय व्यतीत करता है, तो वह एक साइकिल चालक की तुलना में 2.5 गुना अधिक दूरी तय करेगा। एक मोटरसाइकिल चालक 4 दिनों में कितनी दूरी तय कर सकता है?

समाधान
• 1) 30.2 * 2.5 = 75.5 (किमी) एक मोटरसाइकिल चालक 1 दिन में तय करेगा;
• 2) 75.5 * 4 = 302 (किमी)।
• उत्तर: एक मोटरसाइकिल चालक 4 दिनों में 302 किमी की दूरी तय कर सकता है।

समस्या 12

1 दिन में, स्टोर ने 18.3 किलोग्राम कुकीज़ और 2.4 किलोग्राम कम कैंडी बेचीं। उस दिन स्टोर में कुल मिलाकर कितनी कैंडी और कुकीज़ बेची गईं?

समाधान
• 1) 18.3 - 2.4 = 15.9 (किलो) मिठाइयाँ दुकान में बेची गईं;
• 2) 15.9 + 18.3 = 34.2 (किग्रा)।
• उत्तर: कुल 34.2 किलोग्राम मिठाइयाँ और कुकीज़ बेची गईं।



§ 31. दशमलव भिन्नों के साथ सभी संक्रियाओं के लिए समस्याएँ और उदाहरण।

इन चरणों का पालन करें:

767. विभाजन का भागफल ज्ञात कीजिए:

772. गणना करें:

खोजो एक्स , अगर:

776. अज्ञात संख्या को संख्या 1 और 0.57 के बीच के अंतर से गुणा किया गया और उत्पाद 3.44 था। अज्ञात नंबर खोजें.

777. अज्ञात संख्या और 0.9 के योग को 1 और 0.4 के बीच के अंतर से गुणा किया गया और उत्पाद 2.412 था। अज्ञात नंबर खोजें.

778. आरएसएफएसआर (चित्र 36) में लौह गलाने के बारे में आरेख से डेटा का उपयोग करके, एक समस्या बनाएं जिसे हल करने के लिए आपको जोड़, घटाव और विभाजन की क्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता है।

779. 1) स्वेज नहर की लंबाई 165.8 किमी है, पनामा नहर की लंबाई स्वेज नहर से 84.7 किमी कम है, और व्हाइट सी-बाल्टिक नहर की लंबाई पनामा नहर की लंबाई से 145.9 किमी अधिक है। व्हाइट सी-बाल्टिक नहर की लंबाई कितनी है?

2) मॉस्को मेट्रो (1959 तक) 5 चरणों में बनाई गई थी। मेट्रो के पहले चरण की लंबाई 11.6 किमी, दूसरे की -14.9 किमी, तीसरे की लंबाई दूसरे चरण की लंबाई से 1.1 किमी कम, चौथे चरण की लंबाई तीसरे चरण की लंबाई से 9.6 किमी अधिक है। , और पांचवें चरण की लंबाई चौथे से 11.5 किमी कम है। 1959 की शुरुआत में मॉस्को मेट्रो की लंबाई कितनी थी?

780. 1) सबसे बड़ी गहराई अटलांटिक महासागर 8.5 किमी, प्रशांत महासागर की सबसे बड़ी गहराई अटलांटिक महासागर की गहराई से 2.3 किमी अधिक है, और आर्कटिक महासागर की सबसे बड़ी गहराई प्रशांत महासागर की सबसे बड़ी गहराई से 2 गुना कम है। आर्कटिक महासागर की सबसे बड़ी गहराई क्या है?

2) मोस्कविच कार प्रति 100 किमी में 9 लीटर गैसोलीन की खपत करती है, पोबेडा कार मोस्कविच से 4.5 लीटर अधिक और वोल्गा पोबेडा से 1.1 गुना अधिक खपत करती है। वोल्गा कार प्रति 1 किमी यात्रा में कितना गैसोलीन खर्च करती है? (निकटतम 0.01 लीटर तक गोल उत्तर)

781. 1)छात्र छुट्टियों में अपने दादा के पास गया। उन्होंने रेल से 8.5 घंटे और स्टेशन से 1.5 घंटे तक घोड़े से यात्रा की। कुल मिलाकर उन्होंने 440 किमी की यात्रा की। यदि छात्र 10 किमी प्रति घंटे की गति से घोड़ों की सवारी करता है तो उसने रेलमार्ग पर किस गति से यात्रा की?

2) सामूहिक किसान को अपने घर से 134.7 किमी की दूरी पर स्थित एक बिंदु पर होना था। उन्होंने 2.4 घंटे तक 55 किमी प्रति घंटे की औसत गति से बस चलाई, और बाकी रास्ता 4.5 किमी प्रति घंटे की गति से चले। वह कितनी देर तक चला?

782. 1) गर्मियों में, एक गोफर लगभग 0.12 सेंटीमीटर रोटी नष्ट कर देता है। वसंत ऋतु में, अग्रदूतों ने 37.5 हेक्टेयर भूमि पर 1,250 ज़मीनी गिलहरियों को नष्ट कर दिया। स्कूली बच्चों ने सामूहिक खेत के लिए कितनी रोटी बचाई? प्रति 1 हेक्टेयर में कितनी बची हुई रोटी होती है?

2) सामूहिक फार्म ने गणना की कि 15 हेक्टेयर कृषि योग्य भूमि पर गोफ़र्स को नष्ट करके, स्कूली बच्चों ने 3.6 टन अनाज बचाया। यदि एक गोफर गर्मियों में 0.012 टन अनाज को नष्ट कर देता है, तो प्रति 1 हेक्टेयर भूमि पर औसतन कितने गोफर नष्ट हो जाते हैं?

783. 1) गेहूं को पीसकर आटा बनाते समय उसके वजन का 0.1 भाग कम हो जाता है और पकाते समय आटे के वजन के 0.4 के बराबर बेकिंग प्राप्त होती है। 2.5 टन गेहूं से कितनी बेक्ड ब्रेड तैयार होगी?

2) सामूहिक फार्म में 560 टन सूरजमुखी के बीज एकत्र किये गये। यदि अनाज का वजन सूरजमुखी के बीज के वजन का 0.7 है और परिणामस्वरूप तेल का वजन अनाज के वजन का 0.25 है, तो एकत्रित अनाज से कितना सूरजमुखी तेल उत्पन्न होगा?

784. 1) दूध से क्रीम की उपज दूध के वजन का 0.16 है, और क्रीम से मक्खन की उपज क्रीम के वजन का 0.25 है। 1 क्विंटल मक्खन बनाने के लिए कितना दूध (वजन के अनुसार) आवश्यक है?

2) 1 किलो सूखे मशरूम प्राप्त करने के लिए कितने किलोग्राम पोर्सिनी मशरूम एकत्र करना होगा, यदि सुखाने की तैयारी के दौरान वजन का 0.5 हिस्सा रहता है, और सुखाने के दौरान संसाधित मशरूम के वजन का 0.1 रहता है?

785. 1) सामूहिक फार्म को आवंटित भूमि का उपयोग निम्नानुसार किया जाता है: इसका 55% कृषि योग्य भूमि पर है, 35% घास के मैदान पर है, और शेष 330.2 हेक्टेयर भूमि सामूहिक फार्म उद्यान और के लिए आवंटित की गई है। सामूहिक किसानों की संपत्ति। सामूहिक फार्म पर कितनी जमीन है?

2) सामूहिक खेत में कुल बोए गए क्षेत्र का 75% अनाज फसलों के साथ, 20% सब्जियों के साथ, और शेष क्षेत्र में चारा घास बोया गया। यदि सामूहिक खेत में 60 हेक्टेयर में चारा घास बोई गई तो उसके पास कितना बोया गया क्षेत्र था?

786. 1) यदि प्रति 1 हेक्टेयर में 1.5 क्विंटल बीज बोया जाए तो 875 मीटर लंबे और 640 मीटर चौड़े आयताकार आकार के खेत में बुआई के लिए कितने क्विंटल बीज की आवश्यकता होगी?

2) यदि एक आयताकार खेत की परिधि 1.6 किमी है तो उसे बोने के लिए कितने क्विंटल बीज की आवश्यकता होगी? खेत की चौड़ाई 300 मीटर है। 1 हेक्टेयर बुआई के लिए 1.5 क्विंटल बीज की आवश्यकता होती है।

787. 0.2 dm भुजा वाली कितनी वर्गाकार प्लेटें 0.4 dm x 10 dm मापने वाले आयत में फिट होंगी?

788. वाचनालय का आयाम 9.6 mx 5 mx 4.5 m है। इसे कितनी सीटों के लिए डिज़ाइन किया गया है? वचनालय, यदि प्रत्येक व्यक्ति को 3 घन मीटर की आवश्यकता है। हवा का मी?

789. 1) यदि प्रत्येक घास काटने की मशीन की कार्यशील चौड़ाई 1.56 मीटर है और ट्रैक्टर की गति 4.5 किमी प्रति घंटा है, तो चार घास काटने वाली मशीनों के ट्रेलर वाला ट्रैक्टर 8 घंटे में घास के किस क्षेत्र की घास काटेगा? (स्टॉप के लिए समय को ध्यान में नहीं रखा गया है।) (उत्तर को निकटतम 0.1 हेक्टेयर तक पूर्णांकित करें।)

2) ट्रैक्टर वेजिटेबल सीडर की कार्यशील चौड़ाई 2.8 मीटर है। इस सीडर से 8 घंटे में कितने क्षेत्र में बुआई की जा सकती है। 5 किमी प्रति घंटे की रफ्तार से काम करें?

790. 1) 10 घंटे में तीन-फ़रो ट्रैक्टर हल का आउटपुट ज्ञात करें। कार्य, यदि ट्रैक्टर की गति 5 किमी प्रति घंटा है, तो एक शरीर की पकड़ 35 सेमी है, और समय की बर्बादी कुल खर्च किए गए समय का 0.1 थी। (उत्तर को निकटतम 0.1 हेक्टेयर तक पूर्णांकित करें।)

2) 6 घंटे में पांच-फ़रो ट्रैक्टर हल का आउटपुट ज्ञात करें। कार्य, यदि ट्रैक्टर की गति 4.5 किमी प्रति घंटा है, तो एक शरीर की पकड़ 30 सेमी है, और समय की बर्बादी कुल खर्च किए गए समय का 0.1 थी। (उत्तर को निकटतम 0.1 हेक्टेयर तक पूर्णांकित करें।)

791. एक यात्री ट्रेन के स्टीम लोकोमोटिव के लिए प्रति 5 किमी की यात्रा में पानी की खपत 0.75 टन है। टेंडर के पानी के टैंक में 16.5 टन पानी होता है। यदि ट्रेन की टंकी उसकी क्षमता का 0.9 तक भरी हो तो ट्रेन में कितने किलोमीटर की दूरी तय करने के लिए पर्याप्त पानी होगा?

792. केवल 120 मालवाहक कारें 7.6 मीटर की औसत कार लंबाई के साथ साइडिंग पर फिट हो सकती हैं। इस ट्रैक पर कितनी चार-एक्सल कारें फिट हो सकती हैं? यात्री कारेंप्रत्येक 19.2 मीटर लंबा, यदि इस ट्रैक पर 24 और मालवाहक कारें रखी जाएं?

793. रेलवे तटबंध की मजबूती सुनिश्चित करने के लिए, मैदानी घास बोकर ढलानों को मजबूत करने की सिफारिश की जाती है। तटबंध के प्रत्येक वर्ग मीटर के लिए 2.8 ग्राम बीज की आवश्यकता होती है, जिसकी लागत 0.25 रूबल है। 1 किलो के लिए. यदि कार्य की लागत बीज की लागत का 0.4 है तो 1.02 हेक्टेयर ढलानों को बोने में कितना खर्च आएगा? (उत्तर को निकटतम 1 रूबल तक पूर्णांकित करें।)

794. ईंट फैक्ट्री को स्टेशन पर पहुंचाया गया रेलवेईंटें. ईंटों के परिवहन के लिए 25 घोड़ों और 10 ट्रकों ने काम किया। प्रत्येक घोड़े ने प्रति यात्रा 0.7 टन वजन उठाया और प्रति दिन 4 यात्राएं कीं। प्रत्येक वाहन ने प्रति यात्रा 2.5 टन का परिवहन किया और प्रति दिन 15 यात्राएँ कीं। परिवहन 4 दिनों तक चला। यदि थाने पर कितनी ईंटें पहुंचाई गईं औसत वजनएक ईंट 3.75 किलो? (उत्तर को निकटतम 1 हजार इकाइयों तक पूर्णांकित करें।)

795. आटे का स्टॉक तीन बेकरियों के बीच वितरित किया गया था: पहले को कुल स्टॉक का 0.4, दूसरे को शेष का 0.4, और तीसरी बेकरी को पहले की तुलना में 1.6 टन कम आटा मिला। कुल कितना आटा वितरित किया गया?

796. संस्थान के दूसरे वर्ष में 176 छात्र हैं, तीसरे वर्ष में यह संख्या 0.875 है, और पहले वर्ष में तीसरे वर्ष की तुलना में डेढ़ गुना अधिक हैं। इस संस्थान के प्रथम, द्वितीय एवं तृतीय वर्ष में छात्रों की संख्या कुल छात्रों की संख्या का 0.75 थी। संस्थान में कितने छात्र थे?

___________

797. अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए:

1) दो संख्याएँ: 56.8 और 53.4; 705.3 और 707.5;

2) तीन नंबर: 46.5; 37.8 और 36; 0.84; 0.69 और 0.81;

3) चार नंबर: 5.48; 1.36; 3.24 और 2.04.

798. 1) सुबह का तापमान 13.6°, दोपहर का 25.5° और शाम का 15.2° रहा। इस दिन के औसत तापमान की गणना करें।

2) सप्ताह का औसत तापमान क्या है, यदि सप्ताह के दौरान थर्मामीटर ने दिखाया: 21°; 20.3°; 22.2°; 23.5°; 21.1°; 22.1°; 20.8°?

799. 1) स्कूल टीम ने पहले दिन 4.2 हेक्टेयर, दूसरे दिन 3.9 हेक्टेयर और तीसरे दिन 4.5 हेक्टेयर चुकंदर की निराई की। प्रति दिन टीम का औसत आउटपुट निर्धारित करें।

2) नए हिस्से के निर्माण के लिए मानक समय स्थापित करने के लिए, 3 टर्नर की आपूर्ति की गई थी। पहले ने 3.2 मिनट में, दूसरे ने 3.8 मिनट में और तीसरे ने 4.1 मिनट में भाग तैयार किया। उस समय मानक की गणना करें जो भाग के निर्माण के लिए निर्धारित किया गया था।

800. 1) दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 36.4 है। इनमें से एक संख्या 36.8 है। कुछ और ढूंढो.

2) हवा का तापमान दिन में तीन बार मापा गया: सुबह, दोपहर और शाम को। सुबह हवा का तापमान ज्ञात करें यदि यह दोपहर में 28.4°, शाम को 18.2° और दिन का औसत तापमान 20.4° है।

801. 1) कार ने पहले दो घंटों में 98.5 किमी और अगले तीन घंटों में 138 किमी की यात्रा की। औसत कार प्रति घंटे कितने किलोमीटर की यात्रा करती है?

2) वार्षिक कार्प को पकड़ने और तौलने के परीक्षण से पता चला कि 10 कार्प में से 4 का वजन 0.6 किलोग्राम, 3 का वजन 0.65 किलोग्राम, 2 का वजन 0.7 किलोग्राम और 1 का वजन 0.8 किलोग्राम था। एक वर्षीय कार्प का औसत वजन कितना होता है?

802. 1) 2 लीटर सिरप के लिए 1.05 रूबल की लागत। 1 लीटर के लिए 8 लीटर पानी मिलाएं। सिरप के साथ परिणामी पानी का 1 लीटर कितना खर्च होता है?

2) परिचारिका ने 36 कोपेक में डिब्बाबंद बोर्स्ट का 0.5 लीटर कैन खरीदा। और 1.5 लीटर पानी के साथ उबालें। यदि बोर्स्ट की मात्रा 0.5 लीटर है तो एक प्लेट की लागत कितनी होगी?

803. प्रयोगशाला कार्य"दो बिंदुओं के बीच की दूरी मापना"

पहली नियुक्ति. टेप माप (मापने वाला टेप) के साथ माप। कक्षा को तीन-तीन लोगों की इकाइयों में विभाजित किया गया है। सहायक उपकरण: 5-6 डंडे और 8-10 टैग।

कार्य की प्रगति: 1) बिंदु ए और बी को चिह्नित किया गया है और उनके बीच एक सीधी रेखा खींची गई है (कार्य 178 देखें); 2) टेप माप को लटकी हुई सीधी रेखा के साथ रखें और हर बार टेप माप के अंत को एक टैग से चिह्नित करें। दूसरी नियुक्ति. माप, कदम. कक्षा को तीन-तीन लोगों की इकाइयों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक छात्र अपने कदमों की संख्या गिनते हुए A से B तक की दूरी तय करता है। गुणा औसत लंबाईआपके कदम की परिणामी संख्या के आधार पर, A से B तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

तीसरी नियुक्ति. आँख से मापना. प्रत्येक विद्यार्थी चित्र बनाता है बायां हाथउठाए हुए के साथ अँगूठा(चित्र 37) और अंगूठे को ध्रुव पर बिंदु बी (चित्र में एक पेड़) पर इंगित करता है ताकि बाईं आंख (बिंदु ए), अंगूठा और बिंदु बी एक ही सीधी रेखा पर हों। स्थिति बदले बिना, अपनी बाईं आंख बंद करें और अपने दाहिने हाथ से अपने अंगूठे को देखें। परिणामी विस्थापन को आँख से मापें और इसे 10 गुना बढ़ाएँ। यह A से B तक की दूरी है.

_________________

804. 1) 1959 की जनगणना के अनुसार, यूएसएसआर की जनसंख्या 208.8 मिलियन थी, और ग्रामीण आबादीवहाँ शहर की जनसंख्या से 9.2 मिलियन अधिक लोग थे। 1959 में यूएसएसआर में कितनी शहरी और कितनी ग्रामीण आबादी थी?

2) 1913 की जनगणना के अनुसार, रूस की जनसंख्या 159.2 मिलियन थी, और शहरी जनसंख्या ग्रामीण जनसंख्या से 103.0 मिलियन कम थी। 1913 में रूस में शहरी और ग्रामीण जनसंख्या कितनी थी?

805. 1) तार की लंबाई 24.5 मीटर है। इस तार को दो भागों में काटा गया ताकि पहला भाग दूसरे से 6.8 मीटर लंबा निकले। प्रत्येक भाग कितने मीटर लंबा है?

2) दो संख्याओं का योग 100.05 है। एक संख्या दूसरी से 97.06 अधिक है। इन नंबरों को खोजें.

806. 1) तीन कोयला गोदामों में 8656.2 टन कोयला है, दूसरे गोदाम में पहले की तुलना में 247.3 टन अधिक कोयला है, और तीसरे में दूसरे की तुलना में 50.8 टन अधिक कोयला है। प्रत्येक गोदाम में कितने टन कोयला है?

2) तीन संख्याओं का योग 446.73 है। पहली संख्या दूसरी से 73.17 कम और तीसरी से 32.22 अधिक है। इन नंबरों को खोजें.

807. 1) नाव नदी के किनारे 14.5 किमी प्रति घंटे की गति से और धारा के विपरीत 9.5 किमी प्रति घंटे की गति से चली। शांत पानी में नाव की गति क्या है और नदी की धारा की गति क्या है?

2) स्टीमर ने 4 घंटे में नदी के किनारे 85.6 किमी की यात्रा की, और 3 घंटे में धारा के विपरीत 46.2 किमी की यात्रा की। शांत जल में स्टीमबोट की गति क्या है और नदी के प्रवाह की गति क्या है?

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808. 1) दो स्टीमशिप ने 3,500 टन माल पहुंचाया, और एक स्टीमशिप ने दूसरे की तुलना में 1.5 गुना अधिक माल पहुंचाया। प्रत्येक जहाज में कितना माल था?

2) दो कमरों का क्षेत्रफल 37.2 वर्ग मीटर है। मी. एक कमरे का क्षेत्रफल दूसरे से 2 गुना बड़ा है. प्रत्येक कमरे का क्षेत्रफल क्या है?

809. 1) दो बस्तियों से, जिनके बीच की दूरी 32.4 किमी है, एक मोटरसाइकिल चालक और एक साइकिल चालक एक साथ एक दूसरे की ओर चले। यदि मोटरसाइकिल चालक की गति साइकिल चालक की गति से 4 गुना है, तो बैठक से पहले उनमें से प्रत्येक कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?

2) दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 26.35 है, और एक संख्या को दूसरे से विभाजित करने का भागफल 7.5 है।

810. 1) संयंत्र ने 19.2 टन के कुल वजन के साथ तीन प्रकार के कार्गो भेजे। पहले प्रकार के कार्गो का वजन दूसरे प्रकार के कार्गो के वजन का तीन गुना था, और तीसरे प्रकार के कार्गो का वजन आधा था। पहले और दूसरे प्रकार के कार्गो के संयुक्त वजन के रूप में। प्रत्येक प्रकार के कार्गो का वजन क्या है?

2) तीन महीने में खनिकों की एक टीम ने 52.5 हजार टन लौह अयस्क निकाला. मार्च में इसका उत्पादन 1.3 गुना, फरवरी में जनवरी से 1.2 गुना ज्यादा हुआ। चालक दल ने मासिक रूप से कितना अयस्क खनन किया?

811. 1) सेराटोव-मॉस्को गैस पाइपलाइन मॉस्को नहर से 672 किमी लंबी है। यदि गैस पाइपलाइन की लंबाई मॉस्को नहर की लंबाई से 6.25 गुना अधिक है, तो दोनों संरचनाओं की लंबाई ज्ञात करें।

2) डॉन नदी की लंबाई मॉस्को नदी की लंबाई से 3.934 गुना अधिक है। यदि डॉन नदी की लंबाई मॉस्को नदी की लंबाई से 1,467 किमी अधिक है तो प्रत्येक नदी की लंबाई ज्ञात करें।

812. 1) दो संख्याओं का अंतर 5.2 है, और एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने का भागफल 5 है। इन संख्याओं को ज्ञात करें।

2) दो संख्याओं के बीच का अंतर 0.96 है, और उनका भागफल 1.2 है। इन नंबरों को खोजें.

813. 1) एक संख्या दूसरी से 0.3 कम है और उसका 0.75 है। इन नंबरों को खोजें.

2) एक संख्या दूसरी संख्या से 3.9 अधिक है। यदि छोटी संख्या को दोगुना कर दिया जाए, तो यह बड़ी संख्या का 0.5 होगा। इन नंबरों को खोजें.

814. 1) सामूहिक खेत में 2,600 हेक्टेयर भूमि पर गेहूं और राई बोया गया। यदि गेहूं बोए गए क्षेत्र का 0.8 भाग राई बोए गए क्षेत्र के 0.5 के बराबर है, तो कितनी हेक्टेयर भूमि पर गेहूं बोया गया और कितनी हेक्टेयर भूमि पर राई बोई गई?

2) दोनों लड़कों का संग्रह कुल मिलाकर 660 टिकटों का है। यदि पहले लड़के के 0.5 टिकटों का दूसरे लड़के के संग्रह के 0.6 के बराबर है, तो प्रत्येक लड़के के संग्रह में कितने टिकटें हैं?

815. दो छात्रों के पास कुल मिलाकर 5.4 रूबल थे। पहले ने अपने पैसे का 0.75 और दूसरे ने अपने पैसे का 0.8 खर्च करने के बाद, उनके पास समान राशि बची थी। प्रत्येक छात्र के पास कितना पैसा था?

816. 1) दो बंदरगाहों से दो स्टीमशिप एक दूसरे की ओर प्रस्थान करते हैं, जिनके बीच की दूरी 501.9 किमी है। यदि पहले जहाज की गति 25.5 किमी प्रति घंटा है, और दूसरे की गति 22.3 किमी प्रति घंटा है, तो उन्हें मिलने में कितना समय लगेगा?

2) दो ट्रेनें दो बिंदुओं से एक-दूसरे की ओर प्रस्थान करती हैं, जिनके बीच की दूरी 382.2 किमी है। यदि पहली ट्रेन की औसत गति 52.8 किमी प्रति घंटा थी, और दूसरी की 56.4 किमी प्रति घंटा थी, तो उन्हें मिलने में कितना समय लगेगा?

817. 1) दो कारें एक ही समय में 462 किमी की दूरी पर दो शहरों से निकलीं और 3.5 घंटे के बाद मिलीं। प्रत्येक कार की गति ज्ञात कीजिए यदि पहली कार की गति दूसरी कार की गति से 12 किमी प्रति घंटा अधिक थी।

2) दो का बस्तियों, उनके बीच की दूरी 63 किमी है, एक मोटरसाइकिल चालक और एक साइकिल चालक एक साथ एक दूसरे की ओर चले और 1.2 घंटे के बाद मिले। मोटरसाइकिल चालक की गति ज्ञात कीजिए यदि साइकिल चालक मोटरसाइकिल चालक की गति से 27.5 किमी प्रति घंटा कम गति से यात्रा कर रहा था।

818. छात्र ने देखा कि भाप इंजन और 40 डिब्बों वाली एक ट्रेन 35 सेकंड के लिए उसके पास से गुजरी। यदि लोकोमोटिव की लंबाई 18.5 मीटर है और गाड़ी की लंबाई 6.2 मीटर है तो प्रति घंटे ट्रेन की गति निर्धारित करें (उत्तर 1 किमी प्रति घंटे तक सटीक दें।)

819. 1) एक साइकिल चालक 12.4 किमी प्रति घंटे की औसत गति से A से B के लिए निकला। 3 घंटे 15 मिनट बाद. एक अन्य साइकिल चालक 10.8 किमी प्रति घंटे की औसत गति से बी से उसकी ओर निकला। यदि A और B के बीच की दूरी 0.32 76 किमी है तो वे कितने घंटे बाद और A से कितनी दूरी पर मिलेंगे?

2) शहर ए और बी से, जिनके बीच की दूरी 164.7 किमी है, शहर ए से एक ट्रक और शहर बी से एक कार एक दूसरे की ओर चली, ट्रक की गति 36 किमी है, और कार की गति 1.25 गुना है उच्चतर. यात्री कार ट्रक की तुलना में 1.2 घंटे बाद रवाना हुई। कितने समय बाद और शहर B से कितनी दूरी पर यात्री गाड़ीमाल मिलेगा?

820. दो जहाज एक ही समय में एक ही बंदरगाह से निकले और एक ही दिशा में जा रहे हैं। पहला स्टीमर हर 1.5 घंटे में 37.5 किमी की यात्रा करता है, और दूसरा स्टीमर हर 2 घंटे में 45 किमी की यात्रा करता है। पहले जहाज को दूसरे से 10 किमी दूर होने में कितना समय लगेगा?

821. एक पैदल यात्री पहले एक बिंदु से चला गया, और उसके बाहर निकलने के 1.5 घंटे बाद एक साइकिल चालक उसी दिशा में चला गया। यदि पैदल यात्री 4.25 किमी प्रति घंटे की गति से चल रहा था और साइकिल चालक 17 किमी प्रति घंटे की गति से यात्रा कर रहा था, तो साइकिल चालक ने उस बिंदु से कितनी दूरी पर पैदल यात्री को पकड़ लिया?

822. ट्रेन 6 बजे मॉस्को से लेनिनग्राद के लिए रवाना हुई. 10 मिनट. सुबह और 50 किमी प्रति घंटे की औसत गति से चला। बाद में, एक यात्री विमान ने मास्को से लेनिनग्राद के लिए उड़ान भरी और ट्रेन के आगमन के साथ ही लेनिनग्राद पहुंचा। विमान की औसत गति 325 किमी प्रति घंटा थी और मॉस्को और लेनिनग्राद के बीच की दूरी 650 किमी थी। विमान ने मास्को से कब उड़ान भरी?

823. स्टीमर ने नदी के किनारे 5 घंटे और धारा के विपरीत 3 घंटे तक यात्रा की और केवल 165 किमी की दूरी तय की। यदि नदी के प्रवाह की गति 2.5 किमी प्रति घंटा है, तो वह धारा के अनुकूल कितने किलोमीटर चला और धारा के विपरीत कितने किलोमीटर चला?

824. ट्रेन A से निकल चुकी है और B पर पहुंचने वाली है कुछ समय; आधा रास्ता तय करने और 1 मिनट में 0.8 किमी चलने के बाद ट्रेन 0.25 घंटे तक रुकी रही; प्रति 10 लाख में 100 मीटर की गति और बढ़ाने से ट्रेन समय पर बी पर पहुंच गई। A और B के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

825. सामूहिक खेत से शहर तक 23 कि.मी. एक डाकिया 12.5 किमी प्रति घंटे की गति से शहर से सामूहिक खेत तक साइकिल चलाकर गया। इसके 0.4 घंटे बाद, सामूहिक फार्म कार्यकारी डाकिया की गति के 0.6 के बराबर गति से घोड़े पर सवार होकर शहर में दाखिल हुआ। उनके जाने के कितने समय बाद सामूहिक किसान डाकिया से मिलेंगे?

826. एक कार शहर A से 234 किमी दूर शहर B के लिए 32 किमी प्रति घंटे की गति से रवाना हुई। इसके 1.75 घंटे बाद एक दूसरी कार शहर B से पहली की ओर निकली, जिसकी गति पहली की गति से 1.225 गुना अधिक थी। प्रस्थान के कितने घंटे बाद दूसरी कार पहली से मिलेगी?

827. 1) एक टाइपिस्ट एक पांडुलिपि को 1.6 घंटे में और दूसरा 2.5 घंटे में दोबारा टाइप कर सकता है। दोनों टाइपिस्टों को एक साथ काम करते हुए इस पांडुलिपि को टाइप करने में कितना समय लगेगा? (उत्तर को निकटतम 0.1 घंटे तक पूर्णांकित करें।)

2) पूल अलग-अलग शक्ति के दो पंपों से भरा हुआ है। पहला पंप, अकेले काम करते हुए, पूल को 3.2 घंटे में भर सकता है, और दूसरा 4 घंटे में। यदि ये पंप एक साथ चल रहे हों तो पूल को भरने में कितना समय लगेगा? (निकटतम 0.1 तक गोल उत्तर।)

828. 1) एक टीम किसी ऑर्डर को 8 दिनों में पूरा कर सकती है। इस ऑर्डर को पूरा करने के लिए दूसरे को 0.5 समय चाहिए। तीसरी टीम इस ऑर्डर को 5 दिनों में पूरा कर सकती है। पूरा ऑर्डर जॉइंट सहित कितने दिन में पूरा हो जाएगा तीन का कामब्रिगेड? (निकटतम 0.1 दिन का गोलमोल उत्तर।)

2) पहला कर्मचारी 4 घंटे में ऑर्डर पूरा कर सकता है, दूसरा 1.25 गुना तेजी से और तीसरा 5 घंटे में। यदि तीन कर्मचारी एक साथ काम करते हैं तो ऑर्डर पूरा करने में कितने घंटे लगेंगे? (उत्तर को निकटतम 0.1 घंटे तक पूर्णांकित करें।)

829. दो गाड़ियाँ सड़क साफ़ करने का काम कर रही हैं। उनमें से पहला पूरी सड़क को 40 मिनट में साफ कर सकता है, दूसरे को पहले के 75% समय की आवश्यकता होती है। दोनों मशीनें एक साथ काम करने लगीं। 0.25 घंटे तक एक साथ काम करने के बाद दूसरी मशीन ने काम करना बंद कर दिया। उसके कितने समय बाद पहली मशीन ने सड़क की सफाई पूरी की?

830. 1) त्रिभुज की एक भुजा 2.25 सेमी है, दूसरी पहली से 3.5 सेमी बड़ी है, और तीसरी दूसरी से 1.25 सेमी छोटी है। त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।

2) त्रिभुज की एक भुजा 4.5 सेमी है, दूसरी पहली से 1.4 सेमी कम है, और तीसरी भुजा पहली दो भुजाओं के योग के आधे के बराबर है। त्रिभुज का परिमाप क्या है?

831 . 1) त्रिभुज का आधार 4.5 सेमी है, और इसकी ऊंचाई 1.5 सेमी कम है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये.

2) त्रिभुज की ऊंचाई 4.25 सेमी है, और इसका आधार 3 गुना बड़ा है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये. (निकटतम 0.1 तक गोल उत्तर।)

832. छायांकित आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (चित्र 38)।

833. कौन सा क्षेत्रफल बड़ा है: 5 सेमी और 4 सेमी भुजाओं वाला एक आयत, 4.5 सेमी भुजाओं वाला एक वर्ग, या एक त्रिभुज जिसका आधार और ऊँचाई प्रत्येक 6 सेमी है?

834. कमरा 8.5 मीटर लंबा, 5.6 मीटर चौड़ा और 2.75 मीटर ऊंचा है, खिड़कियों, दरवाजों और स्टोव का क्षेत्रफल 0.1 है कुल क्षेत्रफलकमरे की दीवारें. यदि वॉलपेपर का एक टुकड़ा 7 मीटर लंबा और 0.75 मीटर चौड़ा है तो इस कमरे को कवर करने के लिए वॉलपेपर के कितने टुकड़ों की आवश्यकता होगी? (उत्तर को निकटतम 1 टुकड़े में पूर्णांकित करें।)

835. एक मंजिला घर के बाहरी हिस्से में प्लास्टर और सफेदी करना आवश्यक है, जिसका आयाम इस प्रकार है: लंबाई 12 मीटर, चौड़ाई 8 मीटर और ऊंचाई 4.5 मीटर। घर में 0.75 मीटर x 1.2 मीटर मापने वाली 7 खिड़कियां हैं और प्रत्येक की माप 2 हैं 0.75 मीटर x 2.5 मीटर। यदि सफेदी और पलस्तर 1 वर्ग मीटर है तो पूरे कार्य की लागत कितनी होगी? मी की लागत 24 कोपेक है? (उत्तर को निकटतम 1 रूबल तक पूर्णांकित करें।)

836. अपने कमरे की सतह और आयतन की गणना करें। मापकर कमरे का आयाम ज्ञात करें।

837. बगीचे का आकार एक आयताकार है, जिसकी लंबाई 32 मीटर है, चौड़ाई 10 मीटर है। बगीचे के पूरे क्षेत्र का 0.05 भाग गाजर के साथ बोया गया है, और बगीचे के बाकी हिस्से में आलू लगाया गया है और प्याज, और प्याज से 7 गुना बड़े क्षेत्र में आलू लगाया जाता है। व्यक्तिगत रूप से कितनी भूमि पर आलू, प्याज और गाजर बोए गए हैं?

838. वनस्पति उद्यान का आकार एक आयताकार है, जिसकी लंबाई 30 मीटर और चौड़ाई 12 मीटर है, बगीचे के पूरे क्षेत्र का 0.65 भाग आलू के साथ लगाया गया है, और बाकी गाजर और चुकंदर के साथ लगाया गया है 84 वर्ग मीटर में चुकंदर लगाए गए हैं। गाजर से भी ज्यादा मी. आलू, चुकंदर और गाजर के लिए अलग-अलग कितनी ज़मीन है?

839. 1) क्यूब के आकार का बॉक्स सभी तरफ से प्लाईवुड से ढका हुआ था। यदि घन का किनारा 8.2 डीएम है तो कितना प्लाईवुड इस्तेमाल किया गया? (उत्तर को निकटतम 0.1 वर्ग मीटर तक पूर्णांकित करें।)

2) 28 सेमी किनारे वाले एक घन को पेंट करने के लिए कितने पेंट की आवश्यकता होगी, यदि प्रति 1 वर्ग मीटर हो। सेमी क्या 0.4 ग्राम पेंट का उपयोग किया जाएगा? (उत्तर, निकटतम 0.1 किग्रा तक गोल।)

840. आयताकार समांतर चतुर्भुज के आकार में एक कच्चा लोहा बिलेट की लंबाई 24.5 सेमी, चौड़ाई 4.2 सेमी और ऊंचाई 3.8 सेमी है, यदि 1 घन है तो 200 कच्चे लोहे के बिलेट का वजन कितना होगा? कच्चे लोहे के डीएम का वजन 7.8 किलोग्राम होता है? (निकटतम 1 किग्रा का गोल उत्तर।)

841. 1) बॉक्स की लंबाई (ढक्कन के साथ), आयताकार समानांतर चतुर्भुज के आकार की, 62.4 सेमी, चौड़ाई 40.5 सेमी, ऊंचाई 30 सेमी है, यदि बेकार बोर्ड की मात्रा 0.2 है तो बॉक्स को बनाने में कितने वर्ग मीटर के बोर्ड का उपयोग किया गया वह सतह क्षेत्र जिसे बोर्डों से ढका जाना चाहिए? (उत्तर को निकटतम 0.1 वर्ग मीटर तक पूर्णांकित करें।)

2) गड्ढे की निचली और बगल की दीवारें, जिसका आकार एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज जैसा है, को बोर्डों से पंक्तिबद्ध किया जाना चाहिए। गड्ढे की लंबाई 72.5 मीटर, चौड़ाई 4.6 मीटर और ऊंचाई 2.2 मीटर है। यदि बोर्डों का अपशिष्ट उस सतह का 0.2 हिस्सा है जिसे बोर्डों से ढका जाना चाहिए, तो शीथिंग के लिए कितने वर्ग मीटर बोर्ड का उपयोग किया गया था? (उत्तर को निकटतम 1 वर्ग मीटर तक पूर्णांकित करें)

842. 1) आयताकार समांतर चतुर्भुज के आकार के तहखाने की लंबाई 20.5 मीटर है, चौड़ाई इसकी लंबाई की 0.6 मीटर है, और ऊंचाई 3.2 मीटर है। तहखाने को इसकी मात्रा के 0.8 तक आलू से भर दिया गया था। यदि 1 घन मीटर आलू का वजन 1.5 टन है तो तहखाने में कितने टन आलू फिट होंगे? (निकटतम 1 हजार तक गोल उत्तर।)

2) आयताकार समांतर चतुर्भुज के आकार के टैंक की लंबाई 2.5 मीटर है, चौड़ाई इसकी लंबाई की 0.4 मीटर है, और ऊंचाई 1.4 मीटर है। टैंक में इसकी मात्रा का 0.6 हिस्सा मिट्टी का तेल भरा हुआ है। यदि किसी आयतन में मिट्टी के तेल का भार 1 घन मीटर है तो टैंक में कितने टन मिट्टी का तेल डाला जाता है? मी 0.9 टी के बराबर है? (निकटतम 0.1 टन तक गोल उत्तर)

843. 1) 8.5 मीटर लंबे, 6 मीटर चौड़े और 3.2 मीटर ऊंचे कमरे में हवा को ताज़ा करने में कितना समय लग सकता है, यदि एक खिड़की से 1 सेकंड में। 0.1 घन मीटर गुजरता है। हवा का मी?

2) अपने कमरे में हवा को ताज़ा करने के लिए आवश्यक समय की गणना करें।

844. भवन की दीवारों के लिए कंक्रीट ब्लॉक के आयाम इस प्रकार हैं: 2.7 mx 1.4 mx 0.5 m। रिक्त स्थान ब्लॉक के आयतन का 30% बनाता है। ऐसे 100 ब्लॉक बनाने के लिए कितने घन मीटर कंक्रीट की आवश्यकता होगी?

845. ग्रेडर-एलिवेटर (खाई खोदने की मशीन) 8 घंटे में। कार्य में 30 सेमी चौड़ी, 34 सेमी गहरी और 15 किमी लंबी खाई बनाई जाती है। यदि एक खोदने वाला 0.8 घन ​​मीटर निकाल सकता है तो ऐसी मशीन कितने खोदने वालों को प्रतिस्थापित कर सकती है? मी प्रति घंटा? (परिणाम को पूर्णांकित करें।)

846. एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के आकार का बिन 12 मीटर लंबा और 8 मीटर चौड़ा है। इस डिब्बे में 1.5 मीटर की ऊंचाई तक अनाज डाला जाता है। यह पता लगाने के लिए कि सभी अनाज का वजन कितना है, उन्होंने 0.5 मीटर लंबा, 0.5 मीटर चौड़ा और 0.4 मीटर ऊंचा एक बक्सा लिया, इसे अनाज से भर दिया और उसका वजन किया। यदि डिब्बे में अनाज का वजन 80 किलो था तो डिब्बे में अनाज का वजन कितना था?

849. यूएसएसआर में शहरी आबादी की वृद्धि का एक रेखीय आरेख बनाएं, यदि 1913 में शहरी आबादी 28.1 मिलियन लोग थे, 1926 में - 24.7 मिलियन लोग, 1939 में - 56.1 मिलियन लोग और 1959 - 99.8 मिलियन लोग।

850. 1) अपनी कक्षा के नवीनीकरण के लिए एक अनुमान बनाएं, यदि आपको दीवारों और छत पर सफेदी करने और फर्श पर पेंट करने की आवश्यकता है। एक अनुमान तैयार करने के लिए स्कूल के कार्यवाहक से डेटा प्राप्त करें (कक्षा का आकार, सफेदी की लागत 1 वर्ग मीटर, फर्श को पेंट करने की लागत 1 वर्ग मीटर)।

2) बगीचे में रोपण के लिए, स्कूल ने पौधे खरीदे: 0.65 रूबल के लिए 30 सेब के पेड़। प्रति टुकड़ा, 0.4 रूबल के लिए 50 चेरी। प्रति टुकड़ा, 0.2 रूबल के लिए 40 आंवले की झाड़ियाँ। और 0.03 रूबल के लिए 100 रास्पबेरी झाड़ियाँ। एक झाड़ी के लिए. निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करके इस खरीदारी के लिए एक चालान लिखें:

जवाब

दशमलव का उपयोग तब किया जाता है जब आपको गैर-पूर्णांक संख्याओं पर संचालन करने की आवश्यकता होती है। यह अतार्किक लग सकता है. लेकिन इस प्रकार की संख्याएँ उन गणितीय कार्यों को बहुत सरल बनाती हैं जिन्हें उनके साथ निष्पादित करने की आवश्यकता होती है। यह समझ समय के साथ आती है, जब उन्हें लिखना परिचित हो जाता है, और उन्हें पढ़ने में कठिनाई नहीं होती है, और दशमलव भिन्नों के नियमों में महारत हासिल हो जाती है। इसके अलावा, सभी क्रियाएं पहले से ज्ञात क्रियाओं को दोहराती हैं, जिन्हें प्राकृतिक संख्याओं से सीखा गया है। आपको बस कुछ विशेषताएं याद रखने की जरूरत है।

दशमलव परिभाषा

दशमलव एक गैर-पूर्णांक संख्या का एक विशेष प्रतिनिधित्व है जिसमें एक हर होता है जो 10 से विभाज्य होता है, जिसका उत्तर एक और संभवतः शून्य होता है। दूसरे शब्दों में, यदि हर 10, 100, 1000, इत्यादि है, तो अल्पविराम का उपयोग करके संख्या को फिर से लिखना अधिक सुविधाजनक है। फिर संपूर्ण भाग उसके सामने स्थित होगा, और फिर भिन्नात्मक भाग। इसके अलावा, संख्या के दूसरे भाग की रिकॉर्डिंग हर पर निर्भर करेगी। भिन्नात्मक भाग में मौजूद अंकों की संख्या हर के अंक के बराबर होनी चाहिए।

उपरोक्त को इन संख्याओं से स्पष्ट किया जा सकता है:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

दशमलव का उपयोग करने के कारण

गणितज्ञों को कई कारणों से दशमलव की आवश्यकता थी:

रिकॉर्डिंग को सरल बनाना. ऐसा अंश हर और अंश के बीच डैश के बिना एक पंक्ति में स्थित होता है, जबकि स्पष्टता प्रभावित नहीं होती है।

तुलना में सरलता. यह केवल उन संख्याओं को सहसंबंधित करने के लिए पर्याप्त है जो समान स्थिति में हैं, जबकि सामान्य भिन्नों के साथ आपको उन्हें एक सामान्य हर में कम करना होगा।

गणनाओं को सरल बनाएं.

कैलकुलेटर भिन्नों को स्वीकार करने के लिए डिज़ाइन नहीं किए गए हैं; वे सभी कार्यों के लिए दशमलव अंकन का उपयोग करते हैं।

ऐसे नंबरों को सही तरीके से कैसे पढ़ें?

इसका उत्तर सरल है: एक साधारण मिश्रित संख्या की तरह जिसमें हर 10 का गुणज होता है। एकमात्र अपवाद पूर्णांक मान के बिना भिन्न है, फिर पढ़ते समय आपको "शून्य पूर्णांक" का उच्चारण करना होगा।

उदाहरण के लिए, 45/1000 का उच्चारण इस प्रकार किया जाना चाहिए पैंतालीस हज़ारवां, उसी समय 0.045 जैसा ध्वनि होगा शून्य दशमलव पैंतालीस हज़ारवां.

7 के पूर्णांक भाग और 17/100 के भिन्न के साथ एक मिश्रित संख्या, जिसे 7.17 के रूप में लिखा जाएगा, दोनों मामलों में इस प्रकार पढ़ा जाएगा सात दशमलव सत्रह.

भिन्न लिखने में अंकों की भूमिका

रैंक को सही ढंग से अंकित करना गणित की आवश्यकता है। यदि आप अंक को गलत स्थान पर लिखते हैं तो दशमलव और उनका अर्थ महत्वपूर्ण रूप से बदल सकता है। हालाँकि, यह पहले भी सच था।

दशमलव अंश के पूरे भाग के अंकों को पढ़ने के लिए, आपको बस प्राकृतिक संख्याओं के लिए ज्ञात नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता है। और दाहिनी ओर वे प्रतिबिंबित होते हैं और अलग ढंग से पढ़े जाते हैं। यदि पूरा भाग "दहाई" लगता है, तो दशमलव बिंदु के बाद यह "दसवां" होगा।

इसे इस तालिका में स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है।

दशमलव स्थानों की तालिका

कक्षा	हजारों			इकाइयां			,	आंशिक हिस्सा
स्राव होना	कक्ष	दिसम्बर	इकाइयां	कक्ष	दिसम्बर	इकाइयां		दसवां	सौवां	हज़ारवां	दस-हजारवां

किसी मिश्रित संख्या को दशमलव के रूप में सही ढंग से कैसे लिखें?

यदि हर में 10 या 100 और अन्य के बराबर कोई संख्या हो, तो भिन्न को दशमलव में कैसे बदला जाए, यह प्रश्न कठिन नहीं है। ऐसा करने के लिए, इसके सभी घटकों को अलग-अलग तरीके से फिर से लिखना पर्याप्त है। निम्नलिखित बिंदु इसमें सहायता करेंगे:

अंश के अंश को थोड़ा किनारे पर लिखें, इस समय दशमलव बिंदु अंतिम अंक के बाद दाईं ओर स्थित होता है;

अल्पविराम को बाईं ओर ले जाएं, यहां सबसे महत्वपूर्ण बात संख्याओं को सही ढंग से गिनना है - आपको इसे उतने ही स्थानों पर ले जाना होगा जितने हर में शून्य हों;

यदि वे पर्याप्त नहीं हैं, तो रिक्त स्थानों पर शून्य होना चाहिए;

अंश के अंत में जो शून्य थे, उनकी अब आवश्यकता नहीं है और उन्हें काटा जा सकता है;

अल्पविराम से पहले पूरा भाग जोड़ें, यदि नहीं था तो यहां भी शून्य होगा।

ध्यान। आप अन्य संख्याओं से घिरे शून्य को नहीं काट सकते।

आप नीचे पढ़ सकते हैं कि ऐसी स्थिति में क्या करना चाहिए जहां हर में न केवल इकाई और शून्य से मिलकर एक संख्या होती है, और भिन्न को दशमलव में कैसे परिवर्तित किया जाए। यह महत्वपूर्ण सूचना, जो निश्चित रूप से जांचने लायक है।

यदि हर एक मनमाना संख्या है तो भिन्न को दशमलव में कैसे बदलें?

यहां दो विकल्प हैं:

जब हर को एक संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है जो किसी भी घात के दस के बराबर है।

यदि ऐसा कोई ऑपरेशन नहीं किया जा सकता है.

मैं इसकी जाँच कैसे कर सकता हूँ? आपको हर का गुणनखंड करना होगा। यदि उत्पाद में केवल 2 और 5 मौजूद हैं, तो सब कुछ ठीक है, और अंश आसानी से अंतिम दशमलव में परिवर्तित हो जाता है। अन्यथा, यदि 3, 7 और अन्य अभाज्य संख्याएँ आती हैं, तो परिणाम अनंत होगा। गणितीय संक्रियाओं में उपयोग में आसानी के लिए ऐसे दशमलव अंश को गोल करने की प्रथा है। इस पर थोड़ा नीचे चर्चा की जाएगी।

पता चलता है कि दशमलव कैसे बनते हैं, 5वीं कक्षा। यहां उदाहरण बहुत मददगार होंगे.

मान लीजिए कि हर संख्याएँ हैं: 40, 24 और 75 प्रमुख कारकउनके लिए यह इस प्रकार होगा:

• 40=2·2·2·5;
• 24=2·2·2·3;
• 75=5·5·3.

इन उदाहरणों में, केवल प्रथम भिन्न को अंतिम भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

सामान्य भिन्न को अंतिम दशमलव में बदलने के लिए एल्गोरिदम

अभाज्य गुणनखंडों में हर के गुणनखंडन की जाँच करें और सुनिश्चित करें कि इसमें 2 और 5 शामिल होंगे।

इन संख्याओं में इतने 2s और 5s जोड़ें कि वे बन जाएँ बराबर मात्रा. वे अतिरिक्त गुणक का मान देंगे.

इस संख्या से हर और अंश को गुणा करें। परिणाम एक साधारण भिन्न होगा, जिसकी रेखा के नीचे कुछ हद तक 10 है।

यदि समस्या में ये क्रियाएं मिश्रित संख्या के साथ की जाती हैं, तो इसे पहले एक अनुचित अंश के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। और उसके बाद ही वर्णित परिदृश्य के अनुसार कार्य करें।

किसी भिन्न को पूर्णांकित दशमलव के रूप में प्रदर्शित करना

भिन्न को दशमलव में बदलने की यह विधि कुछ लोगों को और भी आसान लग सकती है। क्योंकि उसके पास नहीं है बड़ी मात्राकार्रवाई. आपको बस अंश को हर से विभाजित करना होगा।

दशमलव बिंदु के दाईं ओर दशमलव भाग वाली किसी भी संख्या को शून्य की अनंत संख्या निर्दिष्ट की जा सकती है। यह संपत्ति वह है जिसका आपको लाभ उठाने की आवश्यकता है।

सबसे पहले पूरा भाग लिख लें और उसके बाद अल्पविराम लगा दें। यदि भिन्न सही है तो शून्य लिखें।

फिर आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा। ताकि उनके अंकों की संख्या समान हो. अर्थात्, अंश के दाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ें।

अंकों की आवश्यक संख्या तक पहुंचने तक लंबा विभाजन करें। उदाहरण के लिए, यदि आपको सौवें तक पूर्णांक बनाने की आवश्यकता है, तो उत्तर 3 होना चाहिए। सामान्य तौर पर, आपको अंत में प्राप्त करने के लिए आवश्यक संख्या से एक अधिक संख्या होनी चाहिए।

दशमलव बिंदु के बाद मध्यवर्ती उत्तर लिखें और नियमों के अनुसार गोल करें। यदि अंतिम अंक 0 से 4 तक है, तो आपको इसे त्यागने की आवश्यकता है। और जब यह 5-9 के बराबर हो तो आखिरी वाले को छोड़कर उसके आगे वाले को एक बढ़ाना होगा।

दशमलव से सामान्य भिन्न पर लौटें

गणित में, ऐसी समस्याएँ होती हैं जब दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में प्रस्तुत करना अधिक सुविधाजनक होता है, जिसमें हर के साथ एक अंश होता है। आप राहत की सांस ले सकते हैं: यह ऑपरेशन हमेशा संभव है।

इस प्रक्रिया के लिए आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे:

पूरा भाग लिखो, यदि वह शून्य के बराबर है, तो कुछ भी लिखने की आवश्यकता नहीं है;

एक भिन्न रेखा खींचें;

इसके ऊपर दाहिनी ओर से संख्याएँ लिखें; यदि शून्य पहले आते हैं, तो उन्हें काट देना होगा;

पंक्ति के नीचे उतने ही शून्य वाले एक को लिखें जितने मूल भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद अंक हों।

दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए आपको बस इतना ही करना है।

आप दशमलव के साथ क्या कर सकते हैं?

गणित में, ये दशमलव के साथ कुछ निश्चित संक्रियाएँ होंगी जो पहले अन्य संख्याओं के लिए की जाती थीं।

वे हैं:

तुलना;

जोड़ना और घटाना;

गुणन और भाग।

पहली क्रिया, तुलना, वैसी ही है जैसे प्राकृतिक संख्याओं के लिए की गई थी। यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा बड़ा है, आपको पूरे भाग के अंकों की तुलना करने की आवश्यकता है। यदि वे बराबर हो जाते हैं, तो वे भिन्नात्मक की ओर बढ़ते हैं और अंकों के आधार पर उनकी तुलना भी करते हैं। वह संख्या जहां यह समाप्त होती है बड़ी संख्यावरिष्ठ रैंक में, और उत्तर होगा.

दशमलव को जोड़ना और घटाना

ये शायद सबसे ज़्यादा हैं सरल कदम. क्योंकि इन्हें प्राकृत संख्याओं के नियमों के अनुसार क्रियान्वित किया जाता है।



इसलिए, दशमलव भिन्नों को जोड़ने के लिए, उन्हें एक कॉलम में अल्पविराम लगाकर, एक के नीचे एक लिखना होगा। इस अंकन के साथ, पूर्ण भाग अल्पविराम के बाईं ओर और आंशिक भाग दाईं ओर दिखाई देते हैं। और अब आपको संख्याओं को थोड़ा-थोड़ा करके जोड़ना होगा, जैसा कि प्राकृतिक संख्याओं के साथ किया जाता है, अल्पविराम को नीचे ले जाकर। आपको संख्या के भिन्नात्मक भाग के सबसे छोटे अंक से जोड़ना शुरू करना होगा। यदि दाहिने आधे भाग में पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं, तो शून्य जोड़ दिया जाता है।

यही बात घटाने पर भी लागू होती है। और यहां एक नियम है जो उच्चतम रैंक से एक इकाई लेने की संभावना का वर्णन करता है। यदि घटाए जा रहे अंश में दशमलव बिंदु के बाद घटाए जा रहे अंश की तुलना में कम अंक हैं, तो इसमें शून्य जोड़ दिए जाते हैं।

उन कार्यों में स्थिति थोड़ी अधिक जटिल है जहां आपको दशमलव अंशों को गुणा और विभाजित करने की आवश्यकता होती है।

विभिन्न उदाहरणों में दशमलव भिन्न को कैसे गुणा करें?

दशमलव भिन्नों को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का नियम है:

अल्पविराम को अनदेखा करते हुए उन्हें एक कॉलम में लिखें;

ऐसे गुणा करें जैसे कि वे प्राकृतिक हों;

मूल संख्या के भिन्नात्मक भाग में जितने अंक थे, उन्हें अल्पविराम से अलग करें।

विशेष मामला वह उदाहरण है जिसमें एक प्राकृतिक संख्या किसी भी घात के 10 के बराबर होती है। फिर उत्तर पाने के लिए आपको बस दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने स्थानों तक ले जाना होगा, जितने अन्य कारक में शून्य हों। दूसरे शब्दों में, जब 10 से गुणा किया जाता है, तो दशमलव बिंदु एक अंक से बढ़ जाता है, 100 से - उनमें से दो पहले से ही होंगे, और इसी तरह। यदि भिन्नात्मक भाग में पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं, तो आपको रिक्त स्थानों पर शून्य लिखना होगा।

वह नियम जिसका उपयोग तब किया जाता है जब किसी कार्य के लिए दशमलव अंशों को किसी अन्य समान संख्या से गुणा करने की आवश्यकता होती है:

अल्पविरामों पर ध्यान न देते हुए उन्हें एक के बाद एक लिखें;

गुणा करें जैसे कि वे प्राकृतिक थे;

दोनों मूल भिन्नों के आंशिक भागों में जितने अंक थे, उन्हें अल्पविराम से अलग करें।

एक विशेष मामला ऐसे उदाहरण हैं जिनमें गुणकों में से एक 0.1 या 0.01 के बराबर है और इसी तरह। उनमें आपको प्रस्तुत गुणनखंडों में अंकों की संख्या के अनुसार दशमलव बिंदु को बाईं ओर ले जाना होगा। अर्थात यदि इसे 0.1 से गुणा किया जाए तो दशमलव बिंदु एक स्थान खिसक जाता है।

विभिन्न कार्यों में दशमलव भिन्न को कैसे विभाजित करें?

दशमलव भिन्नों को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है:

उन्हें विभाजन के लिए एक कॉलम में इस तरह लिखें जैसे कि वे प्राकृतिक हों;

सामान्य नियम के अनुसार विभाजित करें जब तक कि पूरा भाग समाप्त न हो जाए;

उत्तर में अल्पविराम लगाएं;

भिन्नात्मक घटक को तब तक विभाजित करना जारी रखें जब तक कि शेषफल शून्य न हो जाए;

यदि आवश्यक हो, तो आप आवश्यक संख्या में शून्य जोड़ सकते हैं।

यदि पूर्णांक भाग शून्य के बराबर है तो वह उत्तर में भी नहीं होगा।

अलग-अलग, दस, सौ, इत्यादि के बराबर संख्याओं में विभाजन होता है। ऐसी समस्याओं में, आपको भाजक में शून्य की संख्या से दशमलव बिंदु को बाईं ओर ले जाना होगा। ऐसा होता है कि किसी पूरे भाग में पर्याप्त संख्याएँ नहीं होती तो उसके स्थान पर शून्य का प्रयोग किया जाता है। आप देख सकते हैं कि यह ऑपरेशन 0.1 और समान संख्याओं से गुणा करने के समान है।

दशमलव को विभाजित करने के लिए, आपको इस नियम का उपयोग करना होगा:

भाजक को एक प्राकृतिक संख्या में बदलें, और ऐसा करने के लिए, इसमें अल्पविराम को दाईं ओर अंत तक ले जाएँ;

लाभांश में दशमलव बिंदु को अंकों की समान संख्या से आगे बढ़ाएं;

पिछले परिदृश्य के अनुसार कार्य करें.

0.1 से विभाजन पर प्रकाश डाला गया है; 0.01 और अन्य समान संख्याएँ। ऐसे उदाहरणों में, दशमलव बिंदु को भिन्नात्मक भाग में अंकों की संख्या से दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। यदि वे समाप्त हो जाते हैं, तो आपको शून्य की लुप्त संख्या को जोड़ना होगा। यह ध्यान देने योग्य है कि यह क्रिया 10 और समान संख्याओं से विभाजन को दोहराती है।



निष्कर्ष: यह सब अभ्यास के बारे में है

सीखने में कुछ भी आसानी से या बिना प्रयास के नहीं मिलता। नई सामग्री पर विश्वसनीय रूप से महारत हासिल करने के लिए समय और अभ्यास की आवश्यकता होती है। गणित कोई अपवाद नहीं है.

यह सुनिश्चित करने के लिए कि दशमलव भिन्नों के विषय में कठिनाई न हो, आपको उनके साथ यथासंभव अधिक से अधिक उदाहरणों को हल करने की आवश्यकता है। आख़िरकार, एक समय था जब प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ना एक गतिरोध था। और अब सब कुछ ठीक है.

इसलिए, व्याख्या करने के लिए प्रसिद्ध वाक्यांश: निर्णय लें, निर्णय लें और पुनः निर्णय लें। फिर ऐसे नंबरों वाले कार्य किसी अन्य पहेली की तरह आसानी से और स्वाभाविक रूप से पूरे हो जाएंगे।

वैसे, पहेलियों को पहले हल करना मुश्किल होता है, और फिर आपको सामान्य गतिविधियाँ करने की ज़रूरत होती है। में भी वैसा ही गणितीय उदाहरण: एक ही रास्ते पर कई बार चलने के बाद आप यह नहीं सोचेंगे कि किधर मुड़ना है।