गणितीय प्रेरण का सिद्धांत. उदाहरणों को हल करना. उदाहरण

गणितीय प्रेरण की विधि

रूसी में इंडक्शन शब्द का अर्थ मार्गदर्शन होता है, और अवलोकनों, प्रयोगों पर आधारित निष्कर्षों को इंडक्टिव कहा जाता है। विशेष से सामान्य तक अनुमान द्वारा प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण के लिए, हर दिन हम देखते हैं कि सूर्य पूर्व से उगता है। इसलिए, आप निश्चिंत हो सकते हैं कि कल यह पूर्व में दिखाई देगा, न कि पश्चिम में। हम आकाश में सूर्य की गति के कारण के बारे में किसी भी धारणा का सहारा लिए बिना यह निष्कर्ष निकालते हैं (इसके अलावा, यह गति स्वयं स्पष्ट हो जाती है, क्योंकि यह वास्तव में गति करती है) ग्लोब). और फिर भी यह आगमनात्मक निष्कर्ष उन टिप्पणियों का सही ढंग से वर्णन करता है जो हम कल करेंगे।

प्रायोगिक विज्ञान में आगमनात्मक निष्कर्षों की भूमिका बहुत महान है। वे वे प्रावधान देते हैं जिनसे कटौती के माध्यम से आगे के निष्कर्ष निकाले जाते हैं। और यद्यपि सैद्धांतिक यांत्रिकीन्यूटन के गति के तीन नियमों पर आधारित है; ये नियम स्वयं प्रायोगिक डेटा के माध्यम से गहन सोच का परिणाम थे, विशेष रूप से केपलर के ग्रहों की गति के नियम, जो उन्होंने डेनिश खगोलशास्त्री टाइको ब्राहे द्वारा कई वर्षों के अवलोकन के प्रसंस्करण से प्राप्त किए थे। भविष्य में बनाई गई धारणाओं को स्पष्ट करने के लिए अवलोकन और प्रेरण उपयोगी साबित होते हैं। गतिमान माध्यम में प्रकाश की गति को मापने पर माइकलसन के प्रयोगों के बाद, भौतिकी के नियमों को स्पष्ट करना और सापेक्षता के सिद्धांत का निर्माण करना आवश्यक हो गया।

गणित में, प्रेरण की भूमिका काफी हद तक यह है कि यह चयनित स्वयंसिद्धता को रेखांकित करता है। लंबे समय तक अभ्यास से पता चला कि एक सीधा रास्ता हमेशा घुमावदार या टूटे हुए रास्ते से छोटा होता है, एक स्वयंसिद्ध सूत्र बनाना स्वाभाविक था: किन्हीं तीन बिंदुओं ए, बी और सी के लिए, असमानता

निम्नलिखित की अवधारणा, जो अंकगणित का आधार है, सैनिकों, जहाजों और अन्य आदेशित सेटों के गठन के अवलोकन से भी प्रकट हुई।

हालाँकि, किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि इससे गणित में प्रेरण की भूमिका समाप्त हो जाती है। बेशक, हमें प्रयोगात्मक रूप से स्वयंसिद्धों से निकाले गए प्रमेयों का परीक्षण नहीं करना चाहिए: यदि व्युत्पत्ति के दौरान कोई तार्किक त्रुटियां नहीं हुई हैं, तो वे तब तक सत्य हैं जब तक हमारे द्वारा स्वीकार किए गए स्वयंसिद्ध सत्य हैं। लेकिन स्वयंसिद्धों की इस प्रणाली से बहुत सारे कथन निकाले जा सकते हैं। और उन कथनों का चयन जिन्हें सिद्ध करने की आवश्यकता है, फिर से प्रेरण द्वारा सुझाया गया है। यह वह है जो आपको उपयोगी प्रमेयों को बेकार प्रमेयों से अलग करने की अनुमति देता है, इंगित करता है कि कौन से प्रमेय सत्य हो सकते हैं, और यहां तक कि प्रमाण के पथ को रेखांकित करने में भी मदद करता है।

विधि का सार गणितीय प्रेरण

अंकगणित, बीजगणित, ज्यामिति और विश्लेषण की कई शाखाओं में, प्राकृतिक चर के आधार पर वाक्य ए (एन) की सत्यता को साबित करना आवश्यक है। किसी चर के सभी मानों के लिए प्रस्ताव A(n) की सत्यता का प्रमाण अक्सर गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा किया जा सकता है, जो निम्नलिखित सिद्धांत पर आधारित है।

यदि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं तो प्रस्ताव A(n) को चर के सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए सत्य माना जाता है:

प्रस्ताव A(n) n=1 के लिए सत्य है।

इस धारणा से कि A(n) n=k (जहाँ k कोई प्राकृतिक संख्या है) के लिए सत्य है, यह इस प्रकार है कि यह अगले मान n=k+1 के लिए सत्य है।

इस सिद्धांत को गणितीय प्रेरण का सिद्धांत कहा जाता है। इसे आमतौर पर संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला को परिभाषित करने वाले सिद्धांतों में से एक के रूप में चुना जाता है, और इसलिए इसे बिना प्रमाण के स्वीकार किया जाता है।

गणितीय प्रेरण की विधि का तात्पर्य प्रमाण की निम्नलिखित विधि से है। यदि आप किसी वाक्य A(n) की सत्यता को सभी प्राकृतिक n के लिए सिद्ध करना चाहते हैं, तो, सबसे पहले, आपको कथन A(1) की सत्यता की जांच करनी चाहिए और, दूसरी बात, कथन A(k) की सत्यता को मानते हुए, यह सिद्ध करने का प्रयास करें कि कथन A(k +1) सत्य है। यदि इसे सिद्ध किया जा सकता है, और प्रमाण k के प्रत्येक प्राकृतिक मान के लिए मान्य रहता है, तो, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, प्रस्ताव A(n) को n के सभी मानों के लिए सत्य माना जाता है।

गणितीय प्रेरण की विधि का व्यापक रूप से प्रमेयों, सर्वसमिकाओं, असमानताओं को सिद्ध करने, विभाज्यता समस्याओं को हल करने, कुछ ज्यामितीय और कई अन्य समस्याओं को हल करने में उपयोग किया जाता है।

समस्याओं को हल करने में गणितीय प्रेरण की विधि

भाजकत्व

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, आप प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के संबंध में विभिन्न कथनों को सिद्ध कर सकते हैं।

निम्नलिखित कथन को अपेक्षाकृत सरलता से सिद्ध किया जा सकता है। आइए हम दिखाएं कि गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके इसे कैसे प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण 1. यदि n एक प्राकृत संख्या है, तो वह संख्या सम है।

जब n=1 हमारा कथन सत्य है: - एक सम संख्या। आइए मान लें कि यह एक सम संख्या है. चूँकि, 2k एक सम संख्या है यहां तक की। तो, n=1 के लिए समता सिद्ध है, समता समता से निकाली जाती है .इसका मतलब यह है कि यह n के सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए भी है।

उदाहरण 2.वाक्य की सत्यता सिद्ध करें

A(n)=(संख्या 5, 19 का गुणज है), n एक प्राकृतिक संख्या है।

समाधान।

कथन A(1)=(19 से विभाज्य संख्या) सत्य है।

मान लीजिए कि कुछ मान n=k के लिए

A(k)=(19 से विभाज्य संख्या) सत्य है। तब से

जाहिर है, A(k+1) भी सत्य है। वास्तव में, पहला पद इस धारणा के कारण 19 से विभाज्य है कि A(k) सत्य है; दूसरा पद भी 19 से विभाज्य है क्योंकि इसमें 19 का गुणनखंड शामिल है। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए, प्रस्ताव ए (एन) एन के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग

संक्षेप श्रृंखला

उदाहरण 1.सूत्र सिद्ध करें

, n एक प्राकृतिक संख्या है.

समाधान।

जब n=1, समानता के दोनों पक्ष एक में बदल जाते हैं और इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की पहली शर्त संतुष्ट होती है।

आइए मान लें कि सूत्र n=k के लिए सही है, यानी।

आइए इस समानता और परिवर्तन के दोनों पक्षों को जोड़ें दाहिनी ओर. फिर हमें मिलता है

इस प्रकार, इस तथ्य से कि सूत्र n=k के लिए सत्य है, यह निम्नानुसार है कि यह n=k+1 के लिए भी सत्य है। यह कथन k के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए सत्य है। अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत की दूसरी शर्त भी पूरी होती है। सूत्र सिद्ध है.

उदाहरण 2.सिद्ध कीजिए कि प्राकृतिक श्रृंखला की पहली n संख्याओं का योग बराबर होता है।

समाधान।

आइए हम आवश्यक राशि को निरूपित करें, अर्थात्। .

जब n=1 परिकल्पना सत्य है।

होने देना . चलिए वो दिखाते हैं .

वास्तव में,

समस्या हल हो गई है.

उदाहरण 3.सिद्ध कीजिए कि प्राकृत श्रृंखला की प्रथम n संख्याओं के वर्गों का योग बराबर होता है .

समाधान।

होने देना ।

चलिए मान लेते हैं . तब

और अंत में।

उदाहरण 4.साबित करें कि ।

समाधान।

यदि , तो

उदाहरण 5.साबित करें कि

समाधान।

जब n=1 परिकल्पना स्पष्ट रूप से सत्य है।

होने देना ।

आइए इसे साबित करें.

वास्तव में,

गणितीय प्रेरण की विधि को लागू करने के उदाहरण

असमानताओं का प्रमाण

उदाहरण 1.किसी भी प्राकृतिक संख्या n>1 के लिए सिद्ध करें

समाधान।

आइए हम असमानता के बाईं ओर को निरूपित करें।

इसलिए, n=2 के लिए असमानता सत्य है।

चलो कुछ के लिए. आइए हम इसे साबित करें और। हमारे पास है , .

और की तुलना करते हुए, हमारे पास है , यानी .

किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए, अंतिम समानता का दाहिना भाग धनात्मक होता है। इसीलिए । लेकिन इसका मतलब यह भी है.

उदाहरण 2.तर्क में त्रुटि खोजें.

कथन। किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए असमानता सत्य है।

सबूत।

. (1)

आइए हम साबित करें कि असमानता n=k+1 के लिए भी मान्य है, यानी।

दरअसल, किसी भी प्राकृतिक k के लिए 2 से कम नहीं। आइए असमानता के बाईं ओर (1) और दाईं ओर 2 जोड़ें। हमें एक उचित असमानता मिलती है, या . कथन सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण 3.साबित करें कि , जहां >-1, , n 1 से बड़ी एक प्राकृतिक संख्या है।

समाधान।

n=2 के लिए असमानता सत्य है, क्योंकि।

मान लीजिए कि n=k के लिए असमानता सत्य है, जहां k कुछ प्राकृतिक संख्या है, अर्थात।

. (1)

आइए हम दिखाते हैं कि असमानता n=k+1 के लिए भी मान्य है, यानी।

. (2)

वास्तव में, शर्त के अनुसार, इसलिए असमानता सत्य है

, (3)

असमानता (1) से प्रत्येक भाग को गुणा करके प्राप्त किया जाता है। आइए हम असमानता (3) को इस प्रकार फिर से लिखें:। अंतिम असमानता के दाईं ओर सकारात्मक शब्द को त्यागने पर, हमें उचित असमानता (2) प्राप्त होती है।

उदाहरण 4.साबित करें कि

(1)

जहाँ , , n 1 से बड़ी एक प्राकृत संख्या है।

समाधान।

n=2 के लिए असमानता (1) का रूप लेती है

. (2)

चूँकि, तब असमानता सत्य है

. (3)

असमानता के प्रत्येक भाग में (3) जोड़ने पर हमें असमानता (2) प्राप्त होती है।

इससे सिद्ध होता है कि n=2 के लिए असमानता (1) सत्य है।

मान लीजिए असमानता (1) n=k के लिए सत्य है, जहां k कुछ प्राकृतिक संख्या है, अर्थात।

. (4)

आइए हम सिद्ध करें कि तब असमानता (1) n=k+1 के लिए भी सत्य होनी चाहिए, अर्थात।

(5)

आइए असमानता (4) के दोनों पक्षों को a+b से गुणा करें। चूँकि, शर्त के अनुसार, हम निम्नलिखित उचित असमानता प्राप्त करते हैं:

. (6)

असमानता (5) की वैधता सिद्ध करने के लिए इतना ही पर्याप्त है

, (7)

या, वही क्या है,

. (8)

असमानता (8) असमानता के बराबर है

. (9)

यदि, तो, और असमानता के बाईं ओर (9) हमारे पास दो सकारात्मक संख्याओं का गुणनफल है। यदि, तो, और असमानता के बाईं ओर (9) हमारे पास दो नकारात्मक संख्याओं का गुणनफल है। दोनों ही मामलों में, असमानता (9) सत्य है।

इससे साबित होता है कि n=k के लिए असमानता (1) की वैधता n=k+1 के लिए इसकी वैधता को दर्शाती है।

गणितीय प्रेरण की विधि दूसरों पर लागू होती है

कार्य

ज्यामिति में गणितीय प्रेरण की विधि का सबसे स्वाभाविक अनुप्रयोग, संख्या सिद्धांत और बीजगणित में इस विधि के उपयोग के करीब, ज्यामितीय गणना समस्याओं को हल करने के लिए इसका अनुप्रयोग है। आइए कुछ उदाहरण देखें.

उदाहरण 1.त्रिज्या R के एक वृत्त में अंकित एक नियमित वर्ग की भुजा की गणना करें।

समाधान।

जब n=2 सही 2एन - एक वर्ग एक वर्ग है; उसका पक्ष. आगे, दोहरीकरण फार्मूले के अनुसार

हम पाते हैं कि यह एक नियमित अष्टभुज की भुजा है , एक नियमित षट्भुज की भुजा , एक नियमित बत्तीस त्रिभुज की भुजा . इसलिए हम यह मान सकते हैं कि सही पक्ष 2 अंकित हैएन - किसी भी बराबर के लिए वर्ग

. (1)

आइए मान लें कि एक नियमित उत्कीर्ण वर्ग की भुजा सूत्र (1) द्वारा व्यक्त की जाती है। इस मामले में, दोहरीकरण सूत्र के अनुसार

जहाँ से यह निष्कर्ष निकलता है कि सूत्र (1) सभी n के लिए मान्य है।

उदाहरण 2.एक एन-गॉन (आवश्यक रूप से उत्तल नहीं) को उसके असंयुक्त विकर्णों द्वारा कितने त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है?

समाधान।

एक त्रिभुज के लिए, यह संख्या एक के बराबर होती है (एक त्रिभुज में एक भी विकर्ण नहीं खींचा जा सकता); चतुर्भुज के लिए यह संख्या स्पष्टतः दो है।

मान लीजिए कि हम पहले से ही जानते हैं कि प्रत्येक के-गॉन, जहां के 1 ए 2 ...ए एन त्रिकोणों में.

एक

ए 1 ए 2

माना A 1 A k इस विभाजन के विकर्णों में से एक है; यह n-gon A 1 A 2 ...A n को k-gon A 1 A 2 ...A k और (n-k+2)-gon A 1 A k A k+1 .. में विभाजित करता है। ।एक । बनाई गई धारणा के कारण, विभाजन में त्रिभुजों की कुल संख्या बराबर होगी

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

इस प्रकार, हमारा कथन सभी n के लिए सिद्ध होता है।

उदाहरण 3.उन तरीकों की संख्या P(n) की गणना करने का नियम बताएं, जिसमें एक उत्तल n-गॉन को असंयुक्त विकर्णों द्वारा त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।

समाधान।

एक त्रिभुज के लिए, यह संख्या स्पष्ट रूप से एक के बराबर है: P(3)=1.

आइए मान लें कि हमने सभी k के लिए संख्या P(k) पहले ही निर्धारित कर ली है 1 ए 2 ...ए एन . जब भी इसे त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है, तो भुजा A 1 ए 2 विभाजन त्रिभुजों में से एक की एक भुजा होगी, इस त्रिभुज का तीसरा शीर्ष प्रत्येक बिंदु A के साथ संपाती हो सकता है 3, ए 4, …, ए एन . एन-गॉन को विभाजित करने के तरीकों की संख्या जिसमें यह शीर्ष बिंदु ए के साथ मेल खाता है 3 , (n-1)-गोन A को त्रिभुजों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या के बराबर है 1 ए 3 ए 4…ए एन , यानी P(n-1) के बराबर है। विभाजन विधियों की संख्या जिसमें यह शीर्ष A के साथ मेल खाता है 4 , (n-2)-गोन ए को विभाजित करने के तरीकों की संख्या के बराबर है 1 ए 4 ए 5…ए एन , यानी बराबर P(n-2)=P(n-2)P(3); विभाजन विधियों की संख्या जिसमें यह ए के साथ मेल खाता है 5 , P(n-3)P(4) के बराबर है, क्योंकि (n-3)-गोन A के प्रत्येक विभाजन 1 ए 5 ...ए एन चतुर्भुज A के प्रत्येक विभाजन के साथ जोड़ा जा सकता है 2 ए 3 ए 4 ए 5 , वगैरह। इस प्रकार, हम निम्नलिखित संबंध पर पहुंचते हैं:

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+...+P(3)P(n-2)+P(n -1).

इस सूत्र का उपयोग करके हम लगातार प्राप्त करते हैं:

पी(4)=पी(3)+पी(3)=2,

पी(5)=पी(4)+पी(3)पी(3)+पी(4)+5,

P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14

वगैरह।

आप गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके ग्राफ़ की समस्याओं को भी हल कर सकते हैं।

मान लीजिए कि समतल पर रेखाओं का एक जाल है जो कुछ बिंदुओं को जोड़ता है और कोई अन्य बिंदु नहीं है। हम रेखाओं के ऐसे नेटवर्क को एक मानचित्र कहेंगे, जिसमें इसके शीर्ष के रूप में बिंदु दिए गए हैं, दो आसन्न शीर्षों के बीच वक्र के खंड - मानचित्र की सीमाएं, समतल के वे हिस्से जिनमें यह सीमाओं द्वारा विभाजित है - मानचित्र के देश।

प्लेन पर कोई नक्शा दिया जाए. हम कहेंगे कि यह सही ढंग से रंगा हुआ है यदि इसके प्रत्येक देश को एक निश्चित रंग से रंगा जाए, और किन्हीं दो देशों जिनकी सीमा समान हो, को अलग-अलग रंगों से रंगा जाए।

उदाहरण 4.समतल पर n वृत्त हैं। सिद्ध करें कि इन वृत्तों की किसी भी व्यवस्था के लिए, उनके द्वारा बनाए गए मानचित्र को दो रंगों से सही ढंग से रंगा जा सकता है।

समाधान।

n=1 के लिए हमारा कथन स्पष्ट है।

आइए मान लें कि हमारा कथन n वृत्तों द्वारा निर्मित किसी भी मानचित्र के लिए सत्य है, और मान लीजिए कि समतल पर n+1 वृत्त हैं। इन वृत्तों में से एक को हटाकर, हमें एक नक्शा मिलता है, जो कि की गई धारणा के आधार पर, दो रंगों, उदाहरण के लिए, काले और सफेद, के साथ सही ढंग से रंगा जा सकता है।

यदि प्रस्ताव ए(एन), पर निर्भर करता है प्राकृतिक संख्या n, n=1 के लिए सत्य है और इस तथ्य से कि यह n=k (जहाँ k कोई प्राकृतिक संख्या है) के लिए सत्य है, यह इस प्रकार है कि यह अगली संख्या n=k+1 के लिए सत्य है, तो धारणा A(n) किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए सत्य है।

यदि प्रस्ताव A(n) n=p के लिए सत्य है और यदि A(k) ≈ A(k+1) किसी भी k>p के लिए है, तो प्रस्ताव A(n) किसी भी n>p के लिए सत्य है।

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करते हुए प्रमाण निम्नानुसार किया जाता है। सबसे पहले, सिद्ध किए जाने वाले कथन को n=1 के लिए जाँचा जाता है, अर्थात। कथन A(1) की सत्यता स्थापित हो गई है। प्रमाण के इस भाग को प्रेरण आधार कहा जाता है। इसके बाद प्रमाण का वह भाग आता है जिसे प्रेरण चरण कहा जाता है। इस भाग में, वे n=k (प्रेरण धारणा) के लिए कथन की वैधता की धारणा के तहत n=k+1 के लिए कथन की वैधता साबित करते हैं, यानी। साबित करें कि A(k) 1 A(k+1)

सिद्ध कीजिए कि 1+3+5+…+(2n-1)=n 2.

1) हमारे पास n=1=1 2 है। इसलिए, कथन n=1 के लिए सत्य है, अर्थात। ए(1) सत्य
2) आइए हम साबित करें कि A(k) ≥ A(k+1)

मान लीजिए कि k कोई प्राकृत संख्या है और यह कथन n=k के लिए सत्य है, अर्थात्।

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

आइए हम साबित करें कि यह कथन अगली प्राकृतिक संख्या n=k+1 के लिए भी सत्य है, अर्थात। क्या

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 वास्तव में,
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

तो, A(k) 1 A(k+1). गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि धारणा A(n) किसी भी n O N के लिए सत्य है

साबित करें कि

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), जहां x संख्या 1

1) n=1 के लिए हमें मिलता है
1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

इसलिए, n=1 के लिए सूत्र सही है; ए(1) सत्य

2) मान लीजिए कि k कोई प्राकृत संख्या है और सूत्र n=k के लिए सत्य है,
1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

आइए हम सिद्ध करें कि तब समानता कायम रहती है

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) वास्तव में
1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

तो, A(k) 1 A(k+1). गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है

सिद्ध कीजिए कि उत्तल n-गॉन के विकर्णों की संख्या n(n-3)/2 है

समाधान: 1) n=3 के लिए कथन सत्य है, क्योंकि त्रिभुज में

ए 3 =3(3-3)/2=0 विकर्ण; ए 2 ए(3) सत्य

2) मान लीजिए कि प्रत्येक उत्तल k-गॉन में A 1 x A k =k(k-3)/2 विकर्ण हैं। A k आइए सिद्ध करें कि उत्तल A k+1 (k+1)-gon में विकर्णों की संख्या A k+1 =(k+1)(k-2)/2 है।

मान लीजिए A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 एक उत्तल (k+1)-गोन है। आइए इसमें एक विकर्ण A 1 A k बनाएं। इस (k+1)-गोन के विकर्णों की कुल संख्या की गणना करने के लिए, आपको k-gon A 1 A 2 ...A k में विकर्णों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है, परिणामी संख्या में k-2 जोड़ें, यानी। शीर्ष A k+1 से निकलने वाले (k+1)-गोन के विकर्णों की संख्या, और, इसके अलावा, विकर्ण A 1 A k को ध्यान में रखा जाना चाहिए

इस प्रकार,

G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

तो, A(k) 1 A(k+1). गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के कारण, यह कथन किसी भी उत्तल एन-गॉन के लिए सत्य है।

साबित करें कि किसी भी n के लिए निम्नलिखित कथन सत्य है:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

समाधान: 1) मान लीजिए n=1, तो

एक्स 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

2) मान लें कि n=k

एक्स के =के 2 =के(के+1)(2के+1)/6

3) n=k+1 के लिए इस कथन पर विचार करें

एक्स के+1 =(के+1)(के+2)(2के+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

हमने n=k+1 के लिए समानता को सत्य साबित कर दिया है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।

साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए निम्नलिखित समानता है:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4

समाधान: 1) मान लीजिए n=1

फिर एक्स 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1. हम देखते हैं कि n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लीजिए कि समानता n=k के लिए सत्य है

एक्स के =के 2 (के+1) 2 /4

3) आइए n=k+1 के लिए इस कथन की सत्यता सिद्ध करें, अर्थात।

एक्स के+1 =(के+1) 2 (के+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4

उपरोक्त प्रमाण से यह स्पष्ट है कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है, इसलिए, समानता किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है

साबित करें कि

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ґ ... ґ ((एन 3 +1)/(एन 3 -1) )= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), जहां n>2

समाधान: 1) n=2 के लिए पहचान इस तरह दिखती है:

(2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ґ 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), अर्थात्। यह सच है
2) मान लें कि अभिव्यक्ति n=k के लिए सत्य है
(2 3 +1)/(2 3 -1) ґ … ґ (k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1)
3) आइए हम n=k+1 के लिए अभिव्यक्ति की वैधता साबित करें
(((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ … ґ ((k 3 +1)/(k 3 -1))) ґ (((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ґ ((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ

ґ ((k+1) 2 +(k+1)+1)

हमने n=k+1 के लिए समानता को सत्य साबित कर दिया है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन किसी भी n>2 के लिए सत्य है

साबित करें कि

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) किसी प्राकृत संख्या n के लिए

समाधान: 1) मान लीजिए n=1, तो

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
2) मान लीजिए कि n=k, तो
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
3) आइए n=k+1 के लिए इस कथन की सत्यता सिद्ध करें
(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

n=k+1 के लिए समानता की वैधता भी सिद्ध हो चुकी है, इसलिए यह कथन किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।

साबित करें कि पहचान सही है

(1 2 /1 ґ 3)+(2 2 /3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) किसी भी प्राकृतिक एन के लिए

1) n=1 के लिए पहचान सत्य है 1 2 /1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
2) मान लीजिए कि n=k के लिए
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) ґ (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
3) आइए हम साबित करें कि पहचान n=k+1 के लिए सत्य है
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (के+2)/2(2(के+1)+1)

उपरोक्त प्रमाण से यह स्पष्ट है कि कथन किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि (11 n+2 +12 2n+1) बिना किसी शेषफल के 133 से विभाज्य है

समाधान: 1) मान लीजिए n=1, तो

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

लेकिन (23 ґ 133) बिना किसी शेषफल के 133 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि n=1 के लिए कथन सत्य है; ए(1) सत्य है.

2) मान लीजिए कि (11 k+2 +12 2k+1) बिना किसी शेषफल के 133 से विभाज्य है
3) आइए हम साबित करें कि इस मामले में (11 k+3 +12 2k+3) बिना किसी शेषफल के 133 से विभाज्य है। वास्तव में
11 k+3 +12 2l+3 =11 ґ 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 ґ 11 k+2 +

+(11+133) ґ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

परिणामी योग को बिना किसी शेषफल के 133 से विभाजित किया जाता है, क्योंकि इसका पहला पद अनुमान के आधार पर बिना किसी शेषफल के 133 से विभाज्य है, और दूसरे में कारकों में से एक 133 है। तो, A(k) 1 A(k+1)। गणितीय आगमन विधि के आधार पर कथन सिद्ध होता है

साबित करें कि किसी भी n 7 के लिए n -1 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है

1) मान लीजिए n=1, तो X 1 =7 1 -1=6 को बिना किसी शेषफल के 6 से विभाजित किया जाता है। इसका मतलब यह है कि n=1 के लिए कथन सत्य है
2) मान लीजिए कि जब n=k 7 k -1 को बिना किसी शेषफल के 6 से विभाजित किया जाता है
3) आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है

X k+1 =7 k+1 -1=7 ґ 7 k -7+6=7(7 k -1)+6

पहला पद 6 से विभाज्य है, क्योंकि 7 k -1 धारणा के अनुसार 6 से विभाज्य है, और दूसरा पद 6 है। इसका मतलब है कि 7 n -1 किसी भी प्राकृतिक n के लिए 6 का गुणज है। गणितीय आगमन विधि के आधार पर कथन सिद्ध होता है।

सिद्ध करें कि एक मनमानी प्राकृतिक संख्या n के लिए 3 3n-1 +2 4n-3 11 से विभाज्य है।

1) मान लीजिए n=1, तो

एक्स 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 को बिना किसी शेषफल के 11 से विभाजित किया जाता है।

इसका मतलब यह है कि n=1 के लिए कथन सत्य है

2) मान लीजिए कि जब n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 को बिना किसी शेषफल के 11 से विभाजित किया जाता है
3) आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 ґ 3 3k-1 +2 4 ґ 2 4k-3 =

27 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =(16+11) ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16 ґ 3 3k-1 +

11 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 ґ 3 3k-1

पहला पद बिना किसी शेषफल के 11 से विभाज्य है, क्योंकि 3 3k-1 +2 4k-3 अनुमान के अनुसार 11 से विभाज्य है, दूसरा 11 से विभाज्य है, क्योंकि इसका एक गुणनखंड संख्या 11 है। इसका मतलब है कि योग किसी प्राकृत संख्या n के शेषफल के बिना 11 से विभाज्य है। गणितीय आगमन विधि के आधार पर कथन सिद्ध होता है।

साबित करें कि एक मनमानी प्राकृतिक संख्या n के लिए 11 2n -1 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है

1) मान लीजिए n=1, तो 11 2 -1=120 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है। इसका मतलब यह है कि n=1 के लिए कथन सत्य है
2) मान लीजिए कि जब n=k 1 2k -1 को बिना किसी शेषफल के 6 से विभाजित किया जाता है
11 2(के+1) -1=121 ґ 11 2के -1=120 ґ 11 2के +(11 2के -1)

दोनों पद बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य हैं: पहले में 6, 120 का गुणज है, और दूसरे में अनुमान के आधार पर बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है। इसका मतलब यह है कि योग बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है। गणितीय आगमन विधि के आधार पर कथन सिद्ध होता है।

साबित करें कि एक मनमानी प्राकृतिक संख्या n के लिए 3 3n+3 -26n-27 बिना किसी शेषफल के 26 2 (676) से विभाज्य है

आइए पहले हम सिद्ध करें कि 3 3n+3 -1 बिना किसी शेषफल के 26 से विभाज्य है

1. जब n=0
3 3 -1=26 को 26 से विभाजित किया जाता है
2. मान लीजिए कि n=k के लिए
3 3k+3 -1, 26 से विभाज्य है
3. आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है
3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3л+3 +(3 3k+3 -1) -26 से विभाजित

आइए अब समस्या कथन में दिए गए कथन को सिद्ध करें

1) जाहिर है, n=1 के लिए कथन सत्य है
3 3+3 -26-27=676
2) मान लीजिए कि n=k के लिए अभिव्यक्ति 3 3k+3 -26k-27 को बिना किसी शेषफल के 26 2 से विभाजित किया जाता है
3) आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है
3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

दोनों पद 26 2 से विभाज्य हैं; पहला 26 2 से विभाज्य है क्योंकि हमने कोष्ठक में अभिव्यक्ति की विभाज्यता 26 से सिद्ध कर दी है, और दूसरा प्रेरण परिकल्पना द्वारा विभाज्य है। गणितीय आगमन विधि के आधार पर कथन सिद्ध होता है

साबित करें कि यदि n>2 और x>0, तो असमानता (1+x) n >1+n ґ x सत्य है

1) n=2 के लिए असमानता वैध है
(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

अतः A(2) सत्य है

2) आइए हम सिद्ध करें कि A(k) ≈ A(k+1), यदि k> 2. मान लें कि A(k) सत्य है, अर्थात असमानता
(1+x) k >1+k ґ x. (3)

आइए हम सिद्ध करें कि तब A(k+1) भी सत्य है, अर्थात असमानता

(1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x

वास्तव में, असमानता के दोनों पक्षों (3) को सकारात्मक संख्या 1+x से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

अंतिम असमानता के दाहिने पक्ष पर विचार करें; हमारे पास है

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x

परिणामस्वरूप, हमें वह मिलता है (1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x

तो, A(k) 1 A(k+1). गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि बर्नौली की असमानता किसी भी n> 2 के लिए मान्य है

साबित करें कि असमानता (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 for a> 0 सत्य है

समाधान: 1) जब m=1

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 दोनों भुजाएं बराबर हैं
2) मान लीजिए कि m=k के लिए
(1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
3) आइए हम सिद्ध करें कि m=k+1 के लिए असमानता सत्य है
(1+ए+ए 2) के+1 =(1+ए+ए 2)(1+ए+ए 2) के >(1+ए+ए 2)(1+के ґ ए+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((k+1)(k+2)/2) ґ a 2

हमने असमानता को m=k+1 के लिए सत्य साबित कर दिया है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, असमानता किसी भी प्राकृतिक संख्या m के लिए मान्य है

साबित करें कि n>6 के लिए असमानता 3 n >n ґ 2 n+1 सत्य है

आइए असमानता को (3/2) n >2n के रूप में फिर से लिखें

1. n=7 के लिए हमारे पास 3 7 /2 7 =2187/128>14=2 ґ 7 है, असमानता सत्य है
2. मान लीजिए कि n=k (3/2) k >2k के लिए
3) आइए n=k+1 के लिए असमानता सिद्ध करें
3 k+1 /2 k+1 =(3 k /2 k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

चूँकि k>7, अंतिम असमानता स्पष्ट है।

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, असमानता किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए मान्य है

साबित करें कि n>2 के लिए असमानता सत्य है

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/एन 2)<1,7-(1/n)

1) n=3 के लिए असमानता सत्य है
1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
2. मान लीजिए कि n=k के लिए
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k)
3) आइए हम n=k+1 के लिए असमानता की वैधता साबित करें
(1+(1/2 2)+…+(1/के 2))+(1/(के+1) 2)

आइए हम सिद्ध करें कि 1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

एस (1/(के+1) 2)+(1/के+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

ы k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

उत्तरार्द्ध स्पष्ट है, और इसलिए

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर असमानता सिद्ध होती है।

परिचय

मुख्य भाग

1. पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण

2. गणितीय प्रेरण का सिद्धांत

3. गणितीय प्रेरण की विधि

4. उदाहरणों को हल करना

5. समानताएं

6. संख्याओं का विभाजन

7. असमानताएँ

निष्कर्ष

प्रयुक्त साहित्य की सूची

परिचय

किसी भी गणितीय शोध का आधार निगमनात्मक और आगमनात्मक विधियाँ हैं। तर्क की निगमनात्मक विधि सामान्य से विशिष्ट की ओर तर्क करना है, अर्थात। तर्क, जिसका प्रारंभिक बिंदु सामान्य परिणाम है, और अंतिम बिंदु विशेष परिणाम है। विशेष परिणामों से सामान्य परिणामों की ओर बढ़ते समय प्रेरण का उपयोग किया जाता है, अर्थात। निगमनात्मक विधि के विपरीत है।

गणितीय प्रेरण की विधि की तुलना प्रगति से की जा सकती है। हम निम्नतम से शुरू करते हैं, और तार्किक सोच के परिणामस्वरूप हम उच्चतम पर आते हैं। मनुष्य ने सदैव प्रगति के लिए, अपने विचारों को तार्किक रूप से विकसित करने की क्षमता के लिए प्रयास किया है, जिसका अर्थ है कि प्रकृति ने ही उसे आगमनात्मक रूप से सोचने के लिए नियुक्त किया है।

यद्यपि गणितीय प्रेरण की विधि के अनुप्रयोग का दायरा बढ़ गया है, लेकिन स्कूली पाठ्यक्रम में इसके लिए बहुत कम समय दिया जाता है। खैर, मुझे बताएं कि वे दो या तीन पाठ एक व्यक्ति के लिए उपयोगी होंगे, जिसके दौरान वह सिद्धांत के पांच शब्द सुनेंगे, पांच आदिम समस्याओं को हल करेंगे, और परिणामस्वरूप, इस तथ्य के लिए ए प्राप्त करेंगे कि वह कुछ भी नहीं जानता है।

लेकिन आगमनात्मक ढंग से सोचने में सक्षम होना बहुत महत्वपूर्ण है।

मुख्य भाग

अपने मूल अर्थ में, "प्रेरण" शब्द का उपयोग तर्क के लिए किया जाता है जिसके माध्यम से कई विशिष्ट कथनों के आधार पर सामान्य निष्कर्ष प्राप्त किए जाते हैं। इस प्रकार के तर्क की सबसे सरल विधि पूर्ण प्रेरण है। यहां ऐसे तर्क का एक उदाहरण दिया गया है.

यह स्थापित करना आवश्यक है कि प्रत्येक सम प्राकृत संख्या n 4 के भीतर है< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

ये नौ समानताएँ दर्शाती हैं कि जिन संख्याओं में हम रुचि रखते हैं उनमें से प्रत्येक को वास्तव में दो सरल शब्दों के योग के रूप में दर्शाया गया है।

इस प्रकार, पूर्ण प्रेरण में प्रत्येक सीमित संख्या में संभावित मामलों में सामान्य कथन को अलग से साबित करना शामिल है।

कभी-कभी सामान्य परिणाम की भविष्यवाणी सभी पर नहीं, बल्कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में विशेष मामलों (तथाकथित अपूर्ण प्रेरण) पर विचार करने के बाद की जा सकती है।

हालाँकि, अपूर्ण प्रेरण द्वारा प्राप्त परिणाम केवल एक परिकल्पना ही रहता है जब तक कि इसे सभी विशेष मामलों को कवर करते हुए सटीक गणितीय तर्क द्वारा सिद्ध नहीं किया जाता है। दूसरे शब्दों में, गणित में अपूर्ण प्रेरण को कठोर प्रमाण की वैध विधि नहीं माना जाता है, बल्कि यह नई सच्चाइयों की खोज के लिए एक शक्तिशाली विधि है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आप पहली n क्रमागत विषम संख्याओं का योग ज्ञात करना चाहते हैं। आइए विशेष मामलों पर विचार करें:

1+3+5+7+9=25=5 2

इन कुछ विशेष मामलों पर विचार करने के बाद, निम्नलिखित सामान्य निष्कर्ष स्वयं सुझाता है:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

वे। पहली n क्रमागत विषम संख्याओं का योग n 2 है

बेशक, किया गया अवलोकन अभी भी दिए गए सूत्र की वैधता के प्रमाण के रूप में काम नहीं कर सकता है।

पूर्ण प्रेरण का गणित में केवल सीमित अनुप्रयोग है। कई दिलचस्प गणितीय कथन अनंत संख्या में विशेष मामलों को कवर करते हैं, लेकिन हम अनंत मामलों के लिए उनका परीक्षण करने में सक्षम नहीं हैं। अपूर्ण प्रेरण के कारण अक्सर गलत परिणाम सामने आते हैं।

कई मामलों में, इस तरह की कठिनाई से बाहर निकलने का रास्ता तर्क की एक विशेष विधि का सहारा लेना है, जिसे गणितीय प्रेरण की विधि कहा जाता है। यह इस प्रकार है.

मान लीजिए आपको किसी प्राकृत संख्या n के लिए किसी कथन की वैधता सिद्ध करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए, आपको यह सिद्ध करने की आवश्यकता है कि पहली n विषम संख्याओं का योग n 2 के बराबर है)। n के प्रत्येक मान के लिए इस कथन का प्रत्यक्ष सत्यापन असंभव है, क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय अनंत है। इस कथन को सिद्ध करने के लिए, पहले n=1 के लिए इसकी वैधता की जाँच करें। फिर वे साबित करते हैं कि k के किसी भी प्राकृतिक मूल्य के लिए, n=k के लिए विचाराधीन कथन की वैधता n=k+1 के लिए इसकी वैधता को दर्शाती है।

तब कथन सभी n के लिए सिद्ध माना जाता है। वास्तव में, कथन n=1 के लिए सत्य है। लेकिन फिर यह अगली संख्या n=1+1=2 के लिए भी सत्य है। n=2 के लिए कथन की वैधता n=2+ के लिए इसकी वैधता को दर्शाती है

1=3. इससे n=4, आदि के लिए कथन की वैधता का पता चलता है। यह स्पष्ट है कि, अंत में, हम किसी प्राकृत संख्या n तक पहुँच जायेंगे। इसका मतलब यह है कि कथन किसी भी n के लिए सत्य है।

जो कहा गया है उसका सारांश देते हुए, हम निम्नलिखित सामान्य सिद्धांत तैयार करते हैं।

गणितीय प्रेरण का सिद्धांत.

यदि प्रस्ताव ए( एन ), प्राकृतिक संख्या पर निर्भर करता है एन , के लिए सच है एन =1 और इस तथ्य से कि यह सत्य है एन=के (कहाँ के -कोई भी प्राकृत संख्या), इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यह अगली संख्या के लिए सत्य है n=k+1 , फिर धारणा ए( एन ) किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है एन .

कई मामलों में, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल n>p के लिए एक निश्चित कथन की वैधता साबित करना आवश्यक हो सकता है, जहां p एक निश्चित प्राकृतिक संख्या है। इस मामले में, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया गया है। यदि प्रस्ताव ए( एन ) के लिए सच है एन=पी और यदि ए( के ) Þ ए( क+1) किसी के लिए भी के>पी, फिर वाक्य A( एन) किसी के लिए भी सच है एन>पी.

उदाहरण 1

सिद्ध कीजिए कि 1+3+5+…+(2n-1)=n 2.

समाधान: 1) हमारे पास n=1=1 2 है। इस तरह,

कथन n=1 के लिए सत्य है, अर्थात्। ए(1) सत्य है.

2) आइए हम साबित करें कि A(k)ÞA(k+1).

मान लीजिए कि k कोई प्राकृत संख्या है और यह कथन n=k के लिए सत्य है, अर्थात्।

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

वास्तव में,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

तो, A(k)ÞA(k+1). गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि धारणा A(n) किसी भी nÎN के लिए सत्य है।

उदाहरण 2

साबित करें कि

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), जहां x¹1

समाधान: 1) n=1 के लिए हमें मिलता है

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

इसलिए, n=1 के लिए सूत्र सही है; ए(1) सत्य है.

2) मान लीजिए कि k कोई प्राकृत संख्या है और सूत्र n=k के लिए सत्य है, अर्थात।

1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1).

आइए हम सिद्ध करें कि तब समानता कायम रहती है

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

वास्तव में

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

तो, A(k)ÞA(k+1). गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।

उदाहरण 3

सिद्ध करें कि उत्तल n-गॉन के विकर्णों की संख्या n(n-3)/2 के बराबर है।

समाधान: 1) n=3 के लिए कथन सत्य है

और 3 अर्थपूर्ण है, क्योंकि एक त्रिभुज में

 A 3 =3(3-3)/2=0 विकर्ण;

ए 2 ए(3) सत्य है।

2) आइए मान लें कि प्रत्येक में

एक उत्तल k-गॉन है-

A 1 x A k =k(k-3)/2 विकर्ण।

और k आइए हम इसे उत्तल में सिद्ध करें

(k+1)-गॉन संख्या

विकर्ण A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

इस प्रकार,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

तो, A(k)ÞA(k+1). गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के कारण, यह कथन किसी भी उत्तल एन-गॉन के लिए सत्य है।

उदाहरण 4

साबित करें कि किसी भी n के लिए निम्नलिखित कथन सत्य है:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

समाधान: 1) मान लीजिए n=1, तो

एक्स 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1.

इसका मतलब यह है कि n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि n=k

एक्स के =के 2 =के(के+1)(2के+1)/6.

3) n=k+1 के लिए इस कथन पर विचार करें

एक्स के+1 =(के+1)(के+2)(2के+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

उदाहरण 5

साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए समानता सत्य है:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

समाधान: 1) मान लीजिए n=1.

फिर एक्स 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

हम देखते हैं कि n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लीजिए कि समानता n=k के लिए सत्य है

पीनो के अभिगृहीत 4 पर आधारित प्रमाण विधि का उपयोग कई गणितीय गुणों और विभिन्न कथनों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। इसका आधार निम्नलिखित प्रमेय है।

प्रमेय. यदि कथन ए(एन)प्राकृतिक चर के साथ एनके लिए सच है एन= 1 और इस तथ्य से कि यह सत्य है एन = के, इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यह अगले नंबर के लिए सत्य है एन=के,फिर बयान ए(एन) एन.

सबूत. आइए हम इसे निरूपित करें एमउन और केवल उन प्राकृत संख्याओं का समुच्चय जिनके लिए कथन है ए(एन)सत्य। फिर प्रमेय की शर्तों से हमारे पास है: 1) 1 एम; 2) के एमकेएम. यहां से, अभिगृहीत 4 के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं एम =एन, यानी कथन ए(एन)किसी भी प्राकृतिक के लिए सच है एन.

इस प्रमेय पर आधारित प्रमाण विधि कहलाती है गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा,और अभिगृहीत प्रेरण का अभिगृहीत है। इस प्रमाण में दो भाग हैं:

1) कथन को सिद्ध करें ए(एन)के लिए सच है एन= ए(1);

2) मान लीजिए कि कथन ए(एन)के लिए सच है एन = के, और, इस धारणा के आधार पर, कथन को सिद्ध करें एक)के लिए सच है एन = के + 1, यानी कि कथन सत्य है ए(के) ए(के +)। 1).

अगर ए( 1) ए(के) ए(के +)। 1) - सत्य कथन, तब वे निष्कर्ष निकालते हैं कि कथन एक)किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है एन.

गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रमाण न केवल कथन की सत्यता की पुष्टि के साथ शुरू हो सकता है एन= 1, लेकिन किसी प्राकृत संख्या से भी एम. इस मामले में बयान ए(एन)सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सिद्ध किया जाएगा एनएम.

समस्या: आइए हम सिद्ध करें कि किसी भी प्राकृत संख्या के लिए समानता 1 + 3 + 5… + (2) है एन- 1) = एन।

समाधान।समानता 1 + 3 + 5… + (2 एन- 1) = एनएक सूत्र है जिसका उपयोग पहली लगातार विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (योग में 4 पद हैं), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (योग में 6 पद हैं); यदि इस योग में संकेतित प्रकार के 20 पद हैं, तो यह 20 = 400, आदि के बराबर है। इस समानता की सत्यता को सिद्ध करने के बाद, हम सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट प्रकार के किसी भी संख्या के पदों का योग ज्ञात करने में सक्षम होंगे।

1) आइए हम इस समानता की सत्यता को सत्यापित करें एन= 1. कब एन= 1 समानता के बाएँ पक्ष में 1 के बराबर एक पद होता है, दाएँ पक्ष 1= 1 के बराबर होता है। चूँकि 1 = 1, तो के लिए एन= 1 यह समानता सत्य है।

2) मान लीजिए कि यह समानता सत्य है एन = के, यानी वह 1 + 3 + 5 + … + (2 के- 1) = के.इस धारणा के आधार पर, हम साबित करते हैं कि यह सच है एन = के + 1, यानी 1 + 3 + 5 +… + (2 के- 1) + (2(के+ 1) - 1) = (के+ 1).

आइए अंतिम समानता के बाईं ओर देखें।

अनुमान से, पहले का योग केपद बराबर है केऔर इसलिए 1 + 3 + 5 + … + (2 के- 1) + (2(के+ 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2के- 1) + (2के+ 1)=

= क+(2के+ 1) = क+ 2के+ 1. अभिव्यक्ति क+ 2के+ 1 बिल्कुल अभिव्यक्ति के बराबर है ( के+ 1).

इसलिए, इस समानता की सच्चाई के लिए एन = के + 1 सिद्ध हो चुका है.

इस प्रकार, यह समानता सत्य है एन= 1 और इसके सत्य से एन = केके लिए सच होना चाहिए एन = के + 1.

इससे सिद्ध होता है कि यह समानता किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है।

गणितीय प्रेरण की विधि का प्रयोग करके आप न केवल समानताओं, बल्कि असमानताओं की भी सत्यता सिद्ध कर सकते हैं।

काम। सिद्ध करो कि, कहाँ एन.एन.

समाधान।आइए असमानता की सच्चाई की जाँच करें एन= 1. हमारे पास - सच्ची असमानता है।

आइए मान लें कि असमानता सत्य है एन = के,वे। - सच्ची असमानता. आइए हम इस धारणा के आधार पर साबित करें कि यह भी सच है एन = के + 1, यानी (*).

आइए इसे ध्यान में रखते हुए असमानता (*) के बाईं ओर को रूपांतरित करें:।

लेकिन , मतलब .

अतः यह असमानता सत्य है एन= 1, और, इस तथ्य से कि असमानता कुछ के लिए सत्य है एन= के, हमने पाया कि यह भी सच है एन= के+ 1.

इस प्रकार, अभिगृहीत 4 का उपयोग करके, हमने साबित किया कि यह असमानता किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य है।

अन्य कथनों को गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

काम। साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए कथन सत्य है।

समाधान. आइए जांचते हैं कि बयान में कितनी सच्चाई है एन= 1:- सत्य कथन.

आइए मान लें कि यह कथन सत्य है एन = के: . आइए इसका उपयोग करके दिखाते हैं कि कथन की सत्यता कब है एन = के + 1: .

आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें: . आइए अंतर खोजें केऔर क+ 1 सदस्य. यदि यह पता चलता है कि परिणामी अंतर 7 का गुणज है, और अनुमान के अनुसार उपप्रकार 7 से विभाज्य है, तो न्यूनतम अंतर भी 7 का गुणज है:

इसलिए, गुणनफल 7 का गुणज है।

इस प्रकार, यह कथन सत्य है एन= 1 और इसके सत्य से एन = केके लिए सच होना चाहिए एन = के + 1.

इससे सिद्ध होता है कि यह कथन किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है।

काम। किसी भी प्राकृत संख्या के लिए इसे सिद्ध करें एन 2 कथन (7-1)24 सत्य है।

समाधान। 1) आइए जांचें कि कथन की सत्यता कब है एन=2:- सत्य कथन.

गणितीय प्रेरण गणितीय प्रमाण के सबसे सामान्य तरीकों में से एक का आधार है। इसकी सहायता से आप प्राकृतिक संख्याओं n वाले अधिकांश सूत्रों को सिद्ध कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रगति के प्रथम पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र S n = 2 a 1 + n - 1 d 2 · n, न्यूटन का द्विपद सूत्र ए + बी एन = सी एन 0 · ए एन · सी एन 1 · ए एन - 1 · बी +। . . + सी एन एन - 1 · ए · बी एन - 1 + सी एन एन · बी एन।

पहले पैराग्राफ में, हम बुनियादी अवधारणाओं का विश्लेषण करेंगे, फिर विधि की मूल बातों पर विचार करेंगे, और फिर आपको बताएंगे कि समानता और असमानताओं को साबित करने के लिए इसका उपयोग कैसे करें।

Yandex.RTB R-A-339285-1

प्रेरण और कटौती की अवधारणाएँ

सबसे पहले, आइए देखें कि आम तौर पर प्रेरण और कटौती क्या हैं।

परिभाषा 1

प्रेरणविशेष से सामान्य की ओर एक संक्रमण है, और कटौतीइसके विपरीत - सामान्य से विशिष्ट की ओर।

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक कथन है: 254 को दो से विभाजित किया जा सकता है। इससे हम कई निष्कर्ष निकाल सकते हैं, जिनमें सत्य और असत्य दोनों शामिल हैं। उदाहरण के लिए, यह कथन कि संख्या 4 पर समाप्त होने वाले सभी पूर्णांकों को बिना किसी शेषफल के दो से विभाजित किया जा सकता है, सत्य है, लेकिन यह कथन कि तीन अंकों की कोई भी संख्या 2 से विभाज्य है, गलत है।

सामान्यतः यह कहा जा सकता है कि आगमनात्मक तर्क की सहायता से एक ही ज्ञात या स्पष्ट तर्क से कई निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। गणितीय प्रेरण हमें यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि ये निष्कर्ष कितने वैध हैं।

मान लीजिए कि हमारे पास 1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1 4 5, रूप की संख्याओं का एक क्रम है। . . , 1 n (n + 1) , जहां n किसी प्राकृतिक संख्या को दर्शाता है। इस मामले में, अनुक्रम के पहले तत्वों को जोड़ने पर, हमें निम्नलिखित मिलता है:

एस 1 = 1 1 2 = 1 2, एस 2 = 1 1 2 + 1 2 3 = 2 3, एस 3 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 = 3 4, एस 4 = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + 1 3 · 4 + 1 4 · 5 = 4 5 , . . .

प्रेरण का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि S n = n n + 1। तीसरे भाग में हम इस सूत्र को सिद्ध करेंगे।

गणितीय प्रेरण की विधि क्या है?

यह विधि इसी नाम के सिद्धांत पर आधारित है। इसे इस प्रकार तैयार किया गया है:

परिभाषा 2

एक निश्चित कथन एक प्राकृतिक मान n के लिए सत्य होगा जब 1) यह n = 1 और 2 के लिए सत्य होगा) इस तथ्य से कि यह अभिव्यक्ति एक मनमाना प्राकृतिक मान n = k के लिए मान्य है, यह निम्नानुसार है कि यह n = 1 और 2 के लिए सत्य होगा एन = के + 1 .

गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग 3 चरणों में किया जाता है:

सबसे पहले, हम n के मनमाने प्राकृतिक मान के मामले में मूल कथन की वैधता की जाँच करते हैं (आमतौर पर जाँच एकता के लिए की जाती है)।
इसके बाद हम n = k होने पर वैधता की जांच करते हैं।
और फिर हम कथन की वैधता सिद्ध करते हैं यदि n = k + 1.

असमानताओं और समीकरणों को हल करने के लिए गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग कैसे करें

आइए उस उदाहरण को लें जिसके बारे में हमने पहले बात की थी।

उदाहरण 1

सूत्र S n = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + सिद्ध करें। . . + 1 एन (एन + 1) = एन एन + 1।

समाधान

जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, गणितीय प्रेरण की विधि को लागू करने के लिए तीन क्रमिक चरणों का पालन करना होगा।

सबसे पहले, हम जाँचते हैं कि क्या यह समानता एक के बराबर n के लिए मान्य होगी। हमें S 1 = 1 1 · 2 = 1 1 + 1 = 1 2 मिलता है। यहां सब कुछ सही है.
इसके बाद, हम यह धारणा बनाते हैं कि सूत्र S k = k k + 1 सही है।
तीसरे चरण में, हमें पिछली समानता की वैधता के आधार पर यह साबित करना होगा कि S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2।

हम k + 1 को मूल अनुक्रम के प्रथम पदों के योग के रूप में निरूपित कर सकते हैं और k + 1:

एस के + 1 = एस के + 1 के + 1 (के + 2)

चूँकि दूसरी क्रिया में हमें प्राप्त हुआ कि S k = k k + 1, हम निम्नलिखित लिख सकते हैं:

एस के + 1 = एस के + 1 के + 1 (के + 2) .

अब हम आवश्यक परिवर्तन करते हैं। हमें भिन्न को एक सामान्य हर में कम करना होगा, समान पदों को कम करना होगा, संक्षिप्त गुणन सूत्र को लागू करना होगा और जो हमें मिलता है उसे कम करना होगा:

एस के + 1 = एस के + 1 के + 1 (के + 2) = के के + 1 + 1 के + 1 (के + 2) = = के (के + 2) + 1 के + 1 (के + 2) = के 2 + 2 के + 1 के + 1 (के + 2) = (के + 1) 2 के + 1 (के + 2) = के + 1 के + 2

इस प्रकार, हमने गणितीय आगमन विधि के तीनों चरणों को पूरा करके तीसरे बिंदु में समानता सिद्ध कर दी है।

उत्तर:सूत्र S n = n n + 1 के बारे में धारणा सही है।

आइए त्रिकोणमितीय फलनों से संबंधित एक अधिक जटिल समस्या को लें।

उदाहरण 2

पहचान का प्रमाण दें cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 n α = पाप 2 n + 1 α 2 n पाप 2 α।

समाधान

जैसा कि हमें याद है, पहला कदम समानता की वैधता की जांच करना होना चाहिए जब n एक के बराबर हो। इसका पता लगाने के लिए, हमें बुनियादी त्रिकोणमितीय सूत्रों को याद रखना होगा।

cos 2 1 = cos 2 α पाप 2 1 + 1 α 2 1 पाप 2 α = पाप 4 α 2 पाप 2 α = 2 पाप 2 α क्योंकि 2 α 2 पाप 2 α = क्योंकि 2 α

इसलिए, n के बराबर एक के लिए, पहचान सत्य होगी।

अब मान लेते हैं कि इसकी वैधता n = k के लिए सत्य है, अर्थात। यह सत्य होगा कि cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 k α = पाप 2 k + 1 α 2 k पाप 2 α।

हम समानता cos 2 α · cos 4 α · सिद्ध करते हैं। . . · cos 2 k + 1 α = syn 2 k + 2 α 2 k + 1 syn 2 α उस स्थिति के लिए जब n = k + 1, पिछली धारणा को आधार के रूप में लेते हुए।

त्रिकोणमितीय सूत्र के अनुसार,

पाप 2 k + 1 α cos 2 k + 1 α = = 1 2 (sin (2 k + 1 α + 2 k + 1 α) + पाप (2 k + 1 α - 2 k + 1 α)) = = 1 2 पाप (2 2 के + 1 α) + पाप 0 = 1 2 पाप 2 के + 2 α

इस तरह,

cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 k + 1 α = = cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 k α · cos 2 k + 1 α = = पाप 2 k + 1 α 2 k पाप 2 α · cos 2 k + 1 α = 1 2 · पाप 2 k + 1 α 2 k पाप 2 α = पाप 2 के + 2 α 2 के + 1 पाप 2 α

हमने न्यूनतम वर्ग विधि के बारे में लेख में इस विधि का उपयोग करके असमानता साबित करने के लिए एक समस्या को हल करने का एक उदाहरण दिया है। वह अनुच्छेद पढ़ें जहां सन्निकटन गुणांक ज्ञात करने के सूत्र निकाले गए हैं।

यदि आपको पाठ में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएँ