दशमलव भिन्नों के विषय पर उदाहरण. एक दशमलव और एक पूर्ण संख्या को एक पूर्ण संख्या और एक दशमलव से विभाजित करना। दशमलव घटाना

भिन्नों को 0.8 के रूप में लिखा जाता है; 0.13; 2.856; 5.2; 0.04 को दशमलव कहा जाता है. वास्तव में, दशमलव साधारण भिन्नों के लिए एक सरलीकृत अंकन है। यह अंकन उन सभी भिन्नों के लिए उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है जिनके हर 10, 100, 1000, इत्यादि हैं।

आइए उदाहरण देखें (0.5 को शून्य दशमलव पाँच पढ़ा जाता है);

(0.15 इस प्रकार पढ़ें, शून्य दशमलव पंद्रह);

(5.3 इस प्रकार पढ़ें, पाँच दशमलव तीन)।

कृपया ध्यान दें कि दशमलव अंश लिखते समय, अल्पविराम संख्या के पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग, पूर्णांक भाग से अलग करता है उचित अंशघाव 0. दशमलव भिन्न के भिन्नात्मक भाग के निरूपण में उतने ही अंक होते हैं जितने संबंधित सामान्य भिन्न के हर की प्रविष्टि में शून्य होते हैं।

आइए एक उदाहरण देखें, , , .

कुछ मामलों में, किसी प्राकृतिक संख्या को दशमलव मानना आवश्यक हो सकता है जिसका भिन्नात्मक भाग शून्य है। यह लिखने की प्रथा है कि 5 = 5.0; 245 = 245.0 इत्यादि। ध्यान दें कि किसी प्राकृतिक संख्या के दशमलव अंकन में, सबसे कम महत्वपूर्ण अंक की इकाई आसन्न सबसे महत्वपूर्ण अंक की इकाई से 10 गुना कम होती है। दशमलव भिन्न लिखने का गुण समान होता है। इसलिए, दशमलव बिंदु के तुरंत बाद दसवां स्थान होता है, फिर सौवां स्थान होता है, फिर हजारवां स्थान होता है, इत्यादि। नीचे संख्या 31.85431 के अंकों के नाम दिए गए हैं, पहले दो स्तंभ पूर्णांक भाग हैं, शेष स्तंभ भिन्नात्मक भाग हैं।

यह अंश इकतीस दशमलव पचासी हजार चार सौ इकतीस सौ हजारवां पढ़ा जाता है।

दशमलव को जोड़ना और घटाना

पहला तरीका दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलना और योग करना है।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, यह विधि बहुत असुविधाजनक है और दशमलव अंशों को सामान्य अंशों में परिवर्तित किए बिना, दूसरी विधि का उपयोग करना बेहतर है, जो अधिक सही है। दो दशमलव भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको यह करना होगा:

पदों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या को बराबर करना;
पदों को एक के नीचे एक लिखें ताकि दूसरे पद का प्रत्येक अंक पहले पद के संगत अंक के नीचे हो;
परिणामी संख्याओं को उसी प्रकार जोड़ें जैसे आप प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ते हैं;
पदों में अल्पविराम के नीचे परिणामी योग में अल्पविराम लगाएं।

आइए उदाहरण देखें:

मिनटेंड और सबट्रेंड में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या को बराबर करना;
सबट्रेंड को मीनूएंड के नीचे लिखें ताकि सबट्रेंड का प्रत्येक अंक मीनूएंड के संबंधित अंक के अंतर्गत हो;
घटाव उसी प्रकार करें जैसे प्राकृतिक संख्याओं को घटाया जाता है;
मीनूएंड और सबट्रैहेंड में अल्पविराम के नीचे परिणामी अंतर में अल्पविराम लगाएं।

आइए उदाहरण देखें:

ऊपर चर्चा किए गए उदाहरणों में, यह देखा जा सकता है कि दशमलव अंशों का जोड़ और घटाव थोड़ा-थोड़ा करके किया गया था, अर्थात, उसी तरह जैसे हमने प्राकृतिक संख्याओं के साथ समान संचालन किया था। भिन्नों को दशमलव रूप में लिखने का यह मुख्य लाभ है।

दशमलव को गुणा करना

किसी दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000 इत्यादि से गुणा करने के लिए, आपको इस भिन्न में दशमलव बिंदु को क्रमशः 1, 2, 3 इत्यादि से दाईं ओर ले जाना होगा। इसलिए, यदि अल्पविराम को 1, 2, 3 और इसी तरह के अंकों से दाईं ओर ले जाया जाता है, तो अंश तदनुसार 10, 100, 1000 और इसी तरह कई गुना बढ़ जाएगा। दो दशमलव भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको यह करना होगा:

अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के रूप में गुणा करें;
परिणामी उत्पाद में, दाईं ओर उतने अंकों को अल्पविराम से अलग करें, जितने दोनों कारकों में अल्पविराम के बाद होते हैं।

ऐसे मामले होते हैं जब किसी कार्य में अल्पविराम से अलग किए जाने की आवश्यकता से कम अंक होते हैं, उन्हें इस कार्य से पहले बाईं ओर जोड़ा जाता है; आवश्यक मात्राशून्य, और फिर अंकों की आवश्यक संख्या से अल्पविराम को बाईं ओर ले जाएँ।

आइए उदाहरण देखें: 2 * 4 = 8, फिर 0.2 * 0.4 = 0.08; 23 * 35 = 805, फिर 0.023 * 0.35 = 0.00805।

ऐसे मामले हैं जब गुणकों में से एक 0.1 के बराबर है; 0.01; 0.001 और इसी तरह, निम्नलिखित नियम का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

दशमलव को 0.1 से गुणा करने के लिए; 0.01; 0.001 और इसी तरह, आपको इस दशमलव अंश में दशमलव बिंदु को क्रमशः 1, 2, 3, और इसी तरह बाईं ओर ले जाना होगा।

आइए उदाहरण देखें: 2.65 * 0.1 = 0.265; 457.6 * 0.01 = 4.576.

प्राकृतिक संख्याओं के गुणन के गुण दशमलव भिन्नों पर भी लागू होते हैं।

अब = बा- गुणन की क्रमविनिमेय संपत्ति;
(एबी) सी = ए (बीसी)- गुणन की साहचर्य संपत्ति;
ए (बी + सी) = एबी + एसीजोड़ के सापेक्ष गुणन का एक वितरणात्मक गुण है।

दशमलव विभाजन

यह ज्ञात है कि यदि आप किसी प्राकृत संख्या को विभाजित करते हैं एएक प्राकृतिक संख्या के लिए बीऐसी प्राकृत संख्या ज्ञात करना सी, जिसे जब गुणा किया जाता है बीएक नंबर देता है ए. यदि कम से कम एक संख्या हो तो यह नियम सत्य रहता है ए, बी, सीएक दशमलव अंश है.

आइए एक उदाहरण देखें: आपको अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, एक कोने से 43.52 को 17 से विभाजित करना होगा। इस मामले में, लाभांश में दशमलव बिंदु का उपयोग करने के बाद भागफल में अल्पविराम को पहले अंक से तुरंत पहले रखा जाना चाहिए।

ऐसे मामले होते हैं जब लाभांश भाजक से कम होता है, तो भागफल का पूर्णांक भाग शून्य के बराबर होता है। आइए एक उदाहरण देखें:

आइए एक और दिलचस्प उदाहरण देखें.

विभाजन की प्रक्रिया रुक गई है क्योंकि लाभांश के अंक समाप्त हो गए हैं और शेष में शून्य नहीं है। यह ज्ञात है कि दशमलव अंश में दाईं ओर कोई भी संख्या में शून्य जोड़ने पर कोई बदलाव नहीं आएगा। तब यह स्पष्ट हो जाता है कि लाभांश की संख्या समाप्त नहीं हो सकती।

किसी दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000, इत्यादि से विभाजित करने के लिए, आपको इस भिन्न में दशमलव बिंदु को 1, 2, 3, इत्यादि अंकों से बाईं ओर ले जाना होगा। आइए एक उदाहरण देखें: 5.14: 10 = 0.514; 2: 100 = 0.02; 37.51: 1000 = 0.03751.

यदि लाभांश और भाजक को एक साथ 10, 100, 1000 और इसी तरह कई बार बढ़ाया जाए, तो भागफल नहीं बदलेगा।

एक उदाहरण पर विचार करें: 39.44: 1.6 = 24.65, लाभांश और भाजक को 10 गुना बढ़ाएँ 394.4: 16 = 24.65 यह ध्यान रखना उचित है कि दूसरे उदाहरण में दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना आसान है।

किसी दशमलव भिन्न को दशमलव से विभाजित करने के लिए, आपको यह करना होगा:

भाज्य और भाजक में अल्पविरामों को उतने अंकों तक दाईं ओर ले जाएँ जितने भाजक में दशमलव बिंदु के बाद हों;
एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें.

आइए एक उदाहरण पर विचार करें: 23.6: 0.02, ध्यान दें कि भाजक में दो दशमलव स्थान हैं, इसलिए हम दोनों संख्याओं को 100 से गुणा करते हैं और 2360: 2 = 1180 प्राप्त करते हैं, परिणाम को 100 से विभाजित करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं 11.80 या 23.6: 0, 02 = 11.8.

दशमलव की तुलना

दशमलव की तुलना करने के दो तरीके हैं। विधि एक, आपको दो दशमलव अंशों 4.321 और 4.32 की तुलना करने की आवश्यकता है, दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करें और स्थान दर स्थान, दसवें को दसवें के साथ, सौवें को सौवें के साथ तुलना करना शुरू करें, और इसी तरह, अंत में हमें 4.321 > 4.320 मिलता है।

दशमलव भिन्नों की तुलना करने का दूसरा तरीका गुणन का उपयोग करके किया जाता है; उपरोक्त उदाहरण को 1000 से गुणा करें और 4321 > 4320 की तुलना करें। कौन सी विधि अधिक सुविधाजनक है, हर कोई अपने लिए चुनता है।

प्रपत्र में:

± डी एम … डी 1 डी 0 , डी -1 डी -2 …

जहां ± भिन्न चिह्न है: या तो +, या -,

, एक दशमलव बिंदु है जो किसी संख्या के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के बीच विभाजक के रूप में कार्य करता है,

डीके- दशमलव संख्याएं।

साथ ही, दशमलव बिंदु से पहले (इसके बाईं ओर) संख्याओं के क्रम का अंत होता है (प्रति अंक न्यूनतम 1 के रूप में), और दशमलव बिंदु के बाद (दाईं ओर) यह दोनों परिमित हो सकता है (वैकल्पिक रूप से, वहां) दशमलव बिंदु के बाद कोई अंक नहीं हो सकता) और अनंत।

दशमलव मान ± डी एम … डी 1 डी 0 , डी -1 डी -2 … एक वास्तविक संख्या है:

जो कि किसी परिमित या अनंत संख्या के पदों के योग के बराबर होता है।

दशमलव भिन्नों का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करना पूर्णांक लिखने का एक सामान्यीकरण है दशमलव प्रणालीहिसाब-किताब. पूर्णांक के दशमलव प्रतिनिधित्व में दशमलव बिंदु के बाद कोई अंक नहीं होता है, इसलिए प्रतिनिधित्व इस तरह दिखता है:

± डी एम … डी 1 डी 0 ,

और यह हमारी संख्या को दशमलव संख्या प्रणाली में लिखने से मेल खाता है।

दशमलव- यह 1 को 10, 100, 1000 इत्यादि भागों में विभाजित करने का परिणाम है। ये भिन्न गणना के लिए काफी सुविधाजनक हैं, क्योंकि... वे उसी स्थितीय प्रणाली पर आधारित हैं जिस पर पूर्णांकों की गिनती और रिकॉर्डिंग आधारित होती है। इसके लिए धन्यवाद, रिकॉर्डिंग और कार्रवाई के नियम दशमलवलगभग पूर्णांकों के समान ही।

दशमलव भिन्न लिखते समय, आपको हर को चिह्नित करने की आवश्यकता नहीं होती है; यह संबंधित अंक द्वारा लिए गए स्थान से निर्धारित होता है। पहले हम संख्या का पूरा भाग लिखते हैं, फिर दाईं ओर दशमलव बिंदु लगाते हैं। दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक दसवें की संख्या को इंगित करता है, दूसरा - सौवें की संख्या को, तीसरा - हजारवें की संख्या को, इत्यादि। दशमलव बिंदु के बाद स्थित संख्याएँ हैं दशमलव.

उदाहरण के लिए:

दशमलव भिन्नों का एक लाभ यह है कि उन्हें बहुत आसानी से साधारण भिन्नों में बदला जा सकता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्या (हमारे लिए यह 5047 है) है मीटर; भाजकके बराबर होती है एन-10 की घात, कहाँ एन- दशमलव स्थानों की संख्या (हमारे लिए यह है एन=4):

जब दशमलव अंश में कोई पूर्णांक भाग नहीं होता है, तो हम दशमलव बिंदु से पहले एक शून्य लगाते हैं:

दशमलव भिन्नों के गुण.

1. दाईं ओर शून्य जोड़ने पर दशमलव नहीं बदलता है:

13.6 =13.6000.

2. दशमलव के अंत में शून्य हटा देने पर दशमलव नहीं बदलता है:

0.00123000 = 0.00123.

ध्यान!आप वे शून्य नहीं हटा सकते जो दशमलव अंश के अंत में स्थित नहीं हैं!

3. जब हम दशमलव बिंदु को दाईं ओर क्रमशः 1, 2, 2 और इसी तरह के पदों पर ले जाते हैं तो दशमलव भिन्न 10, 100, 1000 और इसी तरह कई बार बढ़ जाती है:

3.675 → 367.5 (अंश सौ गुना बढ़ गया)।

4. जब हम दशमलव बिंदु को बाईं ओर क्रमशः 1, 2, 3, इत्यादि स्थानों पर ले जाते हैं तो दशमलव अंश दस, एक सौ, हजार और इसी तरह कई गुना छोटा हो जाता है:

1536.78 → 1.53678 (अंश एक हजार गुना छोटा हो गया)।

दशमलव भिन्नों के प्रकार.

दशमलव भिन्नों को विभाजित किया गया है अंतिम, अंतहीनऔर आवधिक दशमलव.

अंतिम दशमलव अंश हैयह एक भिन्न है जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक सीमित संख्या होती है (या बिल्कुल भी नहीं होते हैं), यानी। इस तरह दिखता है:

एक वास्तविक संख्या को एक परिमित दशमलव अंश के रूप में तभी दर्शाया जा सकता है जब यह संख्या तर्कसंगत हो और जब इसे एक अघुलनशील अंश के रूप में लिखा जाए पी/क्यूभाजक क्यू 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है।

अनंत दशमलव.

इसमें संख्याओं का एक अनंत रूप से दोहराया जाने वाला समूह शामिल है जिसे कहा जाता है अवधि. अवधि कोष्ठक में लिखी गई है। उदाहरण के लिए, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

आवधिक दशमलव अंश- यह एक अनंत दशमलव अंश है जिसमें दशमलव बिंदु के बाद के अंकों का क्रम, एक निश्चित स्थान से शुरू होकर, अंकों का समय-समय पर दोहराया जाने वाला समूह होता है। दूसरे शब्दों में, आवधिक अंश- एक दशमलव अंश जो इस तरह दिखता है:

ऐसा भिन्न आमतौर पर संक्षेप में इस प्रकार लिखा जाता है:

संख्याओं का समूह बी 1 … बी एल, जो दोहराता है, है अंश की अवधि, इस समूह में अंकों की संख्या है अवधि.

जब किसी आवर्ती भिन्न में दशमलव बिंदु के तुरंत बाद आवर्त आता है, तो इसका अर्थ है कि भिन्न है शुद्ध आवधिक. जब दशमलव बिंदु और प्रथम आवर्त के बीच संख्याएँ हों, तो भिन्न होती है मिश्रित आवधिक, और दशमलव बिंदु के बाद अवधि के पहले अंक तक अंकों का समूह है अंश पूर्वकाल.

उदाहरण के लिए, भिन्न 1,(23) = 1.2323... शुद्ध आवर्त है, और भिन्न 0.1(23) = 0.12323... मिश्रित आवर्त है।

आवर्त भिन्नों का मुख्य गुण, जिसके कारण वे दशमलव अंशों के पूरे सेट से अलग होते हैं, इस तथ्य में निहित है कि आवधिक अंश और केवल वे तर्कसंगत संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। अधिक सटीक रूप से, निम्नलिखित होता है:

कोई भी अपरिमित आवर्त दशमलव अंश दर्शाता है तर्कसंगत संख्या. इसके विपरीत, जब एक परिमेय संख्या को अनंत दशमलव अंश में विस्तारित किया जाता है, तो इसका मतलब है कि यह अंश आवर्त होगा।

पहले से ही अंदर प्राथमिक स्कूलविद्यार्थियों को भिन्नों का सामना करना पड़ता है। और फिर वे हर विषय में दिखाई देते हैं। आप इन नंबरों के साथ कार्यों को नहीं भूल सकते। इसलिए, आपको साधारण और दशमलव भिन्नों के बारे में सारी जानकारी जानना आवश्यक है। ये अवधारणाएँ जटिल नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि हर चीज़ को क्रम से समझना है।

भिन्नों की आवश्यकता क्यों है?

हमारे चारों ओर की दुनिया संपूर्ण वस्तुओं से बनी है। इसलिए, शेयरों की कोई आवश्यकता नहीं है. लेकिन दैनिक जीवनलोगों को लगातार वस्तुओं और चीजों के हिस्सों के साथ काम करने के लिए प्रेरित करता है।

उदाहरण के लिए, चॉकलेट में कई टुकड़े होते हैं। ऐसी स्थिति पर विचार करें जहां उसकी टाइल बारह आयतों से बनी है। यदि आप इसे दो भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 6 भाग मिलते हैं। इसे आसानी से तीन भागों में विभाजित किया जा सकता है। लेकिन पांच लोगों को पूरी संख्या में चॉकलेट के टुकड़े देना संभव नहीं होगा।

वैसे, ये टुकड़े पहले से ही भिन्न हैं। और उनके आगे के विभाजन से अधिक जटिल संख्याएँ सामने आती हैं।

"अंश" क्या है?

यह एक के हिस्सों से बनी संख्या है. बाह्य रूप से, यह क्षैतिज या स्लैश द्वारा अलग की गई दो संख्याओं जैसा दिखता है। इस विशेषता को भिन्नात्मक कहा जाता है। सबसे ऊपर (बायीं ओर) लिखी संख्या को अंश कहा जाता है। नीचे (दाएं) जो है वह हर है।

मूलतः, स्लैश एक विभाजन चिन्ह बन जाता है। अर्थात् अंश को भाज्य और हर को भाजक कहा जा सकता है।

वहां कौन-कौन से भिन्न हैं?

गणित में केवल दो प्रकार होते हैं: साधारण और दशमलव भिन्न। सबसे पहले स्कूली बच्चे मिलते हैं प्राथमिक स्कूल, उन्हें बस "अंश" कहते हैं। बाद वाला 5वीं कक्षा में सीखा जाएगा। तभी ये नाम सामने आते हैं.

सामान्य भिन्न वे सभी भिन्न हैं जिन्हें एक रेखा से अलग की गई दो संख्याओं के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 4/7. दशमलव एक संख्या है जिसमें भिन्नात्मक भाग में एक स्थितीय अंकन होता है और इसे पूर्ण संख्या से अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 4.7. छात्रों को यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि दिए गए दो उदाहरण पूरी तरह से अलग-अलग संख्याएँ हैं।

प्रत्येक साधारण भिन्न को दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है। यह कथन लगभग हमेशा विपरीत रूप से सत्य होता है। ऐसे नियम हैं जो आपको दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न के रूप में लिखने की अनुमति देते हैं।

इस प्रकार के भिन्नों के क्या उपप्रकार होते हैं?

इसमें शुरुआत करना बेहतर है कालानुक्रमिक क्रम में, जैसा कि उनका अध्ययन किया जा रहा है। सामान्य भिन्न पहले आते हैं। उनमें से, 5 उप-प्रजातियों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

सही। इसका अंश सदैव हर से छोटा होता है।

गलत। इसका अंश इसके हर से बड़ा या उसके बराबर है।

कम करने योग्य/अघुलनशील। यह या तो सही या ग़लत हो सकता है। एक और महत्वपूर्ण बात यह है कि क्या अंश और हर में सामान्य गुणनखंड हैं। यदि हैं तो भिन्न के दोनों भागों को उनसे विभाजित करना अर्थात् घटाना आवश्यक है।

मिश्रित। एक पूर्णांक संख्या इसके सामान्य नियमित (गलत) भिन्नात्मक भाग को निर्दिष्ट की जाती है। इसके अलावा, यह हमेशा बाईं ओर होता है।

समग्र. यह दो भिन्नों को एक दूसरे से विभाजित करने पर बनता है। अर्थात् इसमें एक साथ तीन भिन्नात्मक रेखाएँ होती हैं।

दशमलव भिन्नों के केवल दो उपप्रकार होते हैं:

परिमित, अर्थात जिसका भिन्नात्मक भाग सीमित है (जिसका अंत है);

अनंत - एक संख्या जिसके अंक दशमलव बिंदु के बाद समाप्त नहीं होते (उन्हें अंतहीन रूप से लिखा जा सकता है)।

दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?

यदि यह एक सीमित संख्या है, तो नियम के आधार पर एक संघ लागू किया जाता है - जैसा मैं सुनता हूं, वैसा ही लिखता हूं। यानी, आपको इसे सही ढंग से पढ़ने और लिखने की ज़रूरत है, लेकिन अल्पविराम के बिना, लेकिन एक भिन्नात्मक पट्टी के साथ।

आवश्यक हर के बारे में संकेत के रूप में, आपको यह याद रखना होगा कि यह हमेशा एक और कई शून्य होता है। आपको उत्तरार्द्ध में से उतने ही लिखने की आवश्यकता है जितने कि प्रश्न में संख्या के भिन्नात्मक भाग में अंक हैं।

दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में कैसे परिवर्तित करें यदि उनका पूर्णांक भाग गायब है, अर्थात शून्य के बराबर है? उदाहरण के लिए, 0.9 या 0.05. निर्दिष्ट नियम को लागू करने के बाद, यह पता चलता है कि आपको शून्य पूर्णांक लिखने की आवश्यकता है। लेकिन इसका संकेत नहीं दिया गया है. जो कुछ बचा है वह भिन्नात्मक भागों को लिखना है। पहली संख्या का हर 10 होगा, दूसरे का हर 100 होगा। यानी, दिए गए उदाहरणों में उत्तर के रूप में निम्नलिखित संख्याएँ होंगी: 9/10, 5/100। इसके अलावा, यह पता चला है कि बाद वाले को 5 से कम किया जा सकता है। इसलिए, इसका परिणाम 1/20 के रूप में लिखा जाना चाहिए।

यदि किसी दशमलव अंश का पूर्णांक भाग शून्य से भिन्न है तो आप उसे साधारण भिन्न में कैसे परिवर्तित कर सकते हैं? उदाहरण के लिए, 5.23 या 13.00108. दोनों उदाहरणों में पूरा भाग पढ़ा जाता है और उसका मान लिखा जाता है। पहले मामले में यह 5 है, दूसरे में यह 13 है। फिर आपको भिन्नात्मक भाग पर आगे बढ़ने की जरूरत है। उनके साथ भी यही ऑपरेशन किया जाना है। पहला नंबर 23/100 दिखाई देता है, दूसरा - 108/100000। दूसरे मान को फिर से कम करने की जरूरत है। उत्तर निम्नलिखित मिश्रित भिन्न देता है: 5 23/100 और 13 27/25000।

अनंत दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में कैसे बदलें?

यदि यह गैर-आवधिक है, तो ऐसा ऑपरेशन संभव नहीं होगा। यह तथ्य इस तथ्य के कारण है कि प्रत्येक दशमलव अंश हमेशा या तो एक परिमित या आवधिक भिन्न में परिवर्तित हो जाता है।

ऐसे भिन्न के साथ आप केवल इतना ही कर सकते हैं कि उसे गोल कर लें। लेकिन तब दशमलव लगभग उस अनंत के बराबर होगा। इसे पहले से ही सामान्य में बदला जा सकता है। लेकिन विपरीत प्रक्रिया: दशमलव में परिवर्तित करने से कभी भी प्रारंभिक मान नहीं मिलेगा। अर्थात् अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं किया जाता है। इसे याद रखने की जरूरत है.

एक अनंत आवर्त भिन्न को साधारण भिन्न के रूप में कैसे लिखें?

इन संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद हमेशा एक या अधिक अंक होते हैं जिन्हें दोहराया जाता है। इन्हें काल कहा जाता है. उदाहरण के लिए, 0.3(3). यहाँ "3" आवर्त में है। उन्हें तर्कसंगत के रूप में वर्गीकृत किया गया है क्योंकि उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है।

जिन लोगों ने आवधिक भिन्नों का सामना किया है वे जानते हैं कि वे शुद्ध या मिश्रित हो सकते हैं। पहले मामले में, अवधि तुरंत अल्पविराम से शुरू होती है। दूसरे में, भिन्नात्मक भाग कुछ संख्याओं से शुरू होता है, और फिर दोहराव शुरू होता है।

वह नियम जिसके द्वारा आपको एक अनंत दशमलव को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखना होगा, संकेतित दो प्रकार की संख्याओं के लिए भिन्न होगा। शुद्ध आवर्त भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में लिखना काफी आसान है। परिमित लोगों की तरह, उन्हें परिवर्तित करने की आवश्यकता है: अंश में अवधि लिखें, और हर संख्या 9 होगी, जिसे अवधि में अंकों की संख्या जितनी बार दोहराया जाएगा।

उदाहरण के लिए, 0,(5). संख्या में पूर्णांक भाग नहीं है, इसलिए आपको तुरंत भिन्नात्मक भाग से शुरुआत करने की आवश्यकता है। अंश के रूप में 5 और हर के रूप में 9 लिखें, अर्थात उत्तर भिन्न 5/9 होगा।

मिश्रित साधारण दशमलव आवर्त भिन्न को लिखने का नियम।

अवधि की लंबाई देखें. हर में कितने 9 होंगे।

हर को लिखें: पहले नौ, फिर शून्य।

अंश निर्धारित करने के लिए, आपको दो संख्याओं का अंतर लिखना होगा। दशमलव बिंदु के बाद की सभी संख्याएँ, अवधि सहित, छोटी कर दी जाएंगी। कटौती योग्य - यह बिना किसी अवधि के है।

उदाहरण के लिए, 0.5(8) - आवधिक दशमलव भिन्न को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखें। अवधि से पहले भिन्नात्मक भाग में एक अंक होता है। तो एक शून्य होगा. आवर्त में भी एक ही संख्या है - 8. अर्थात् नौ ही एक है। यानी आपको हर में 90 लिखना होगा.

अंश निर्धारित करने के लिए, आपको 58 में से 5 घटाना होगा। परिणाम 53 होगा। उदाहरण के लिए, आपको उत्तर 53/90 लिखना होगा।

भिन्नों को दशमलव में कैसे बदला जाता है?

सबसे सरल विकल्पएक ऐसी संख्या बनती है जिसके हर में 10, 100, आदि संख्याएँ होती हैं। फिर हर को आसानी से हटा दिया जाता है, और भिन्नात्मक और पूर्णांक भागों के बीच एक अल्पविराम लगा दिया जाता है।

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब हर आसानी से 10, 100 आदि में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 5, 20, 25। उन्हें क्रमशः 2, 5 और 4 से गुणा करना पर्याप्त है। आपको बस हर को ही नहीं, बल्कि अंश को भी उसी संख्या से गुणा करना होगा।

अन्य सभी मामलों के लिए, एक सरल नियम उपयोगी है: अंश को हर से विभाजित करें। इस मामले में, आपको दो संभावित उत्तर मिल सकते हैं: एक परिमित या आवधिक दशमलव अंश।

साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाएँ

जोड़ना और घटाना

छात्र दूसरों की तुलना में उनसे पहले परिचित हो जाते हैं। इसके अलावा, पहले भिन्नों के हर समान होते हैं, और फिर उनके अलग-अलग होते हैं। इस योजना में सामान्य नियमों को कम किया जा सकता है।

हरों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

सभी साधारण भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणनखंड लिखें।

अंशों और हरों को उनके लिए निर्दिष्ट कारकों से गुणा करें।

भिन्नों के अंशों को जोड़ें (घटाएँ) और उभयनिष्ठ हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

यदि मीनुएंड का अंश उपट्रेंड से कम है, तो हमें अपने से पहले यह पता लगाना होगा मिश्रित संख्याया एक उचित अंश.

पहले मामले में, आपको पूरे हिस्से में से एक उधार लेना होगा। भिन्न के अंश में हर जोड़ें। और फिर घटाव करो.

दूसरे में छोटी संख्या में से बड़ी संख्या घटाने का नियम लागू करना आवश्यक है। यानी सबट्रेंड के मॉड्यूल से मीनूएंड के मॉड्यूल को घटाएं और जवाब में "-" चिन्ह लगाएं।

जोड़ (घटाने) के परिणाम को ध्यान से देखिये। अगर यह काम करता है अनुचित अंश, तो संपूर्ण भाग का चयन करना आवश्यक है। अर्थात् अंश को हर से भाग दें।

गुणन और भाग

इन्हें निष्पादित करने के लिए भिन्नों को कम करने की आवश्यकता नहीं है आम विभाजक. इससे कार्रवाई करना आसान हो जाता है. लेकिन फिर भी उनसे अपेक्षा की जाती है कि आप नियमों का पालन करें।

भिन्नों को गुणा करते समय, आपको अंश और हर में संख्याओं को देखना होगा। यदि किसी अंश और हर में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो तो उन्हें कम किया जा सकता है।

अंशों को गुणा करें.

हरों को गुणा करें.

यदि परिणाम एक कम करने योग्य अंश है, तो इसे फिर से सरलीकृत किया जाना चाहिए।

विभाजित करते समय, आपको पहले भाग को गुणन से और भाजक (दूसरा अंश) को व्युत्क्रम भिन्न (अंश और हर को बदलें) से बदलना होगा।

फिर गुणा की तरह आगे बढ़ें (बिंदु 1 से शुरू करके)।

ऐसे कार्यों में जहां आपको किसी पूर्ण संख्या से गुणा (विभाजित) करने की आवश्यकता होती है, बाद वाली संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में लिखा जाना चाहिए। अर्थात्, 1 के हर के साथ। फिर ऊपर बताए अनुसार कार्य करें।

दशमलव के साथ संचालन

जोड़ना और घटाना

बेशक, आप दशमलव को हमेशा भिन्न में बदल सकते हैं। और पहले से बताई गई योजना के अनुसार कार्य करें। लेकिन कभी-कभी इस अनुवाद के बिना कार्य करना अधिक सुविधाजनक होता है। फिर उनके जोड़ और घटाव के नियम बिल्कुल एक जैसे होंगे।

संख्या के भिन्नात्मक भाग में, अर्थात् दशमलव बिंदु के बाद, अंकों की संख्या को बराबर करें। इसमें शून्य की लुप्त संख्या जोड़ें।

भिन्नों को इस प्रकार लिखें कि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह जोड़ें (घटाएँ)।

अल्पविराम हटाएँ.

गुणन और भाग

गौरतलब है कि यहां आपको शून्य जोड़ने की जरूरत नहीं है. भिन्नों को वैसे ही छोड़ देना चाहिए जैसे वे उदाहरण में दिए गए हैं। और फिर योजना के अनुसार चलें.

गुणा करने के लिए, आपको अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए भिन्नों को एक के नीचे एक लिखना होगा।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह गुणा करें.

उत्तर में अल्पविराम लगाएं, उत्तर के दाएँ छोर से उतने अंक गिनें जितने दोनों कारकों के भिन्नात्मक भागों में हों।

विभाजित करने के लिए आपको पहले भाजक को परिवर्तित करना होगा: इसे बनाएं प्राकृतिक संख्या. अर्थात्, भाजक के भिन्नात्मक भाग में कितने अंक हैं, इसके आधार पर इसे 10, 100 आदि से गुणा करें।

लाभांश को उसी संख्या से गुणा करें।

दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें।

अपने उत्तर में उस समय अल्पविराम लगाएं जब पूरे भाग का विभाजन समाप्त हो जाए।

यदि एक उदाहरण में दोनों प्रकार के भिन्न हों तो क्या होगा?

हाँ, गणित में अक्सर ऐसे उदाहरण मिलते हैं जिनमें आपको साधारण और दशमलव भिन्नों पर संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है। ऐसे कार्यों में दो संभावित समाधान हैं. आपको निष्पक्ष रूप से संख्याओं को तौलना होगा और इष्टतम संख्या को चुनना होगा।

पहला तरीका: साधारण दशमलवों को निरूपित करें

यह उपयुक्त है यदि, विभाजित करते समय या अनुवाद करते समय, आपको मिलता है अंतिम अंश. यदि कम से कम एक संख्या आवधिक भाग देती है, तो यह तकनीक निषिद्ध है। इसलिए, भले ही आपको साधारण भिन्नों के साथ काम करना पसंद न हो, फिर भी आपको उन्हें गिनना होगा।

दूसरा तरीका: दशमलव भिन्नों को साधारण के रूप में लिखें

यदि दशमलव बिंदु के बाद के भाग में 1-2 अंक हों तो यह तकनीक सुविधाजनक हो जाती है। यदि उनमें से अधिक हैं, तो आप एक बहुत बड़े सामान्य अंश के साथ समाप्त हो सकते हैं और दशमलव अंकन कार्य को तेज और गणना करने में आसान बना देगा। इसलिए, आपको हमेशा कार्य का गंभीरता से मूल्यांकन करने और सबसे सरल समाधान विधि चुनने की आवश्यकता है।

दशमलव भिन्न सामान्य भिन्न के समान ही होते हैं, लेकिन तथाकथित दशमलव अंकन में। दशमलव अंकन का उपयोग 10, 100, 1000, आदि हर वाले भिन्नों के लिए किया जाता है। भिन्नों के बजाय, 1/10; 1/100; 1/1000; ... 0.1 लिखें; 0.01; 0.001;... .

उदाहरण के लिए, 0.7 ( शून्य दशमलव सात) एक भिन्न 7/10 है; 5.43 ( पांच दशमलव तैंतालीस) एक मिश्रित भिन्न 5 43/100 है (या, जो समान है, एक अनुचित भिन्न 543/100)।

ऐसा हो सकता है कि दशमलव बिंदु के तुरंत बाद एक या अधिक शून्य हों: 1.03 भिन्न 1 3/100 है; 17.0087 भिन्न 17 87/10000 है। सामान्य नियमक्या यह: एक सामान्य भिन्न के हर में उतने ही शून्य होने चाहिए जितने दशमलव भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं.

एक दशमलव अंश एक या अधिक शून्य में समाप्त हो सकता है। यह पता चला है कि ये शून्य "अतिरिक्त" हैं - इन्हें आसानी से हटाया जा सकता है: 1.30 = 1.3; 5.4600 = 5.46; 3,000 = 3. पता लगाएँ कि ऐसा क्यों है?

"गोल" संख्याओं से विभाजित करने पर दशमलव स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं - 10, 100, 1000, ... निम्नलिखित उदाहरणों को अवश्य समझें:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

क्या आपको यहां कोई पैटर्न नजर आया? इसे तैयार करने का प्रयास करें. यदि आप दशमलव अंश को 10, 100, 1000 से गुणा करते हैं तो क्या होता है?

एक साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, आपको इसे कुछ "गोल" हर में घटाना होगा:

2/5 = 4/10 = 0.4; 11/20 = 55/100 = 0.55; 9/2 = 45/10 = 4.5, आदि।

भिन्नों को जोड़ने की तुलना में दशमलव जोड़ना बहुत आसान है। जोड़ सामान्य संख्याओं की तरह ही किया जाता है - संबंधित अंकों के अनुसार। किसी कॉलम में जोड़ते समय, शब्दों को इस प्रकार लिखा जाना चाहिए कि उनके अल्पविराम एक ही ऊर्ध्वाधर पर हों। योग का अल्पविराम भी उसी ऊर्ध्वाधर पर होगा। दशमलव भिन्नों का घटाव बिल्कुल उसी प्रकार किया जाता है।

यदि किसी एक भिन्न में जोड़ने या घटाने पर दशमलव बिंदु के बाद के अंकों की संख्या दूसरे से कम हो तो इस भिन्न के अंत में आवश्यक शून्य संख्या जोड़नी चाहिए। आप इन शून्यों को जोड़ नहीं सकते, बल्कि बस अपने मन में इनकी कल्पना कर सकते हैं।

दशमलव भिन्नों को गुणा करते समय, उन्हें फिर से सामान्य संख्याओं के रूप में गुणा किया जाना चाहिए (इस मामले में, दशमलव बिंदु के नीचे अल्पविराम लिखना आवश्यक नहीं है)। परिणामी परिणाम में, आपको दोनों कारकों में दशमलव स्थानों की कुल संख्या के बराबर अंकों की संख्या को अल्पविराम से अलग करना होगा।

दशमलव भिन्नों को विभाजित करते समय, आप एक साथ लाभांश और भाजक में दशमलव बिंदु को समान संख्या में दाईं ओर ले जा सकते हैं: इससे भागफल नहीं बदलेगा:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

बताएं कि ऐसा क्यों है?

एक 10x10 वर्ग बनाएं. इसके कुछ भाग पर बराबर पेंट करें: a) 0.02; बी) 0.7; ग) 0.57; घ) 0.91; ई) पूरे वर्ग का 0.135 क्षेत्रफल।
2.43 वर्ग क्या है? इसे एक चित्र में बनाएं.
संख्या 37 को 10 से विभाजित करें; 795; 4; 2.3; 65.27; 0.48 और परिणाम को दशमलव अंश के रूप में लिखें। समान संख्याओं को 100 और 1000 से विभाजित करें।
संख्याओं 4.6 को 10 से गुणा करें; 6.52; 23.095; 0.01999. समान संख्याओं को 100 और 1000 से गुणा करें।
दशमलव को भिन्न के रूप में निरूपित करें और इसे घटाएँ:
ए) 0.5; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8;
बी) 0.25; 0.75; 0.05; 0.35; 0.025;
ग) 0.125; 0.375; 0.625; 0.875;
घ) 0.44; 0.26; 0.92; 0.78; 0.666; 0.848.
मिश्रित अंश के रूप में प्रस्तुत करें: 1.5; 3.2; 6.6; 2.25; 10.75; 4.125; 23.005; 7.0125.
किसी भिन्न को दशमलव के रूप में व्यक्त करें:
ए) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
बी) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
ग) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
घ) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
योग ज्ञात कीजिए: a) 7.3+12.8; बी) 65.14+49.76; ग) 3.762+12.85; घ) 85.4+129.756; ई) 1.44+2.56।
एक को दो दशमलव के योग के रूप में सोचें। इस प्रतिनिधित्व के बीस और तरीके खोजें।
अंतर ज्ञात करें: ए) 13.4–8.7; बी) 74.52-27.04; ग) 49.736-43.45; घ) 127.24–93.883; ई) 67-52.07; ई) 35.24-34.9975।
उत्पाद ढूंढें: ए) 7.6·3.8; बी) 4.8·12.5; ग) 2.39·7.4; घ) 3.74·9.65.

निर्देश

दशमलव को परिवर्तित करना सीखें अंशोंसामान्य लोगों के लिए. गिनें कि कितने वर्ण अल्पविराम से अलग किए गए हैं। दशमलव बिंदु के दाईं ओर एक अंक का मतलब है कि हर 10 है, दो का मतलब 100 है, तीन का मतलब 1000 है, इत्यादि। उदाहरण के लिए, दशमलव अंश 6.8 "छह दशमलव आठ" जैसा है। इसे परिवर्तित करते समय सबसे पहले पूर्ण इकाइयों की संख्या लिखें - 6. हर में 10 लिखें, अंश में 8 संख्या आएगी। संक्षिप्तीकरण के नियम याद रखें. यदि अंश और हर एक ही संख्या से विभाज्य हैं, तो भिन्न को एक सामान्य भाजक द्वारा कम किया जा सकता है। में इस मामले मेंयह संख्या 2 है। 6 8/10 = 6 2/5।

दशमलव जोड़ने का प्रयास करें अंशों. अगर आप एक कॉलम में ऐसा करते हैं तो सावधान हो जाइए. सभी संख्याओं के अंक एक दूसरे से बिल्कुल नीचे - अल्पविराम के नीचे होने चाहिए। जोड़ने के नियम बिल्कुल वही हैं जो इसके साथ संचालन करते समय होते हैं। उसी संख्या 6.8 में एक और दशमलव अंश जोड़ें - उदाहरण के लिए, 7.3। आठ के नीचे तीन, अल्पविराम के नीचे अल्पविराम और छह के नीचे सात लिखें। अंतिम अंक से जोड़ना प्रारंभ करें. 3+8=11, यानी 1 लिखो, 1 याद रखो. इसके बाद, 6+7 जोड़ें, आपको 13 मिलता है। आपके दिमाग में जो बचा था उसे जोड़ें और परिणाम लिखें - 14.1।

घटाव उसी सिद्धांत का पालन करता है। अंकों को एक दूसरे के नीचे और अल्पविराम को अल्पविराम के नीचे लिखें। इसे हमेशा एक मार्गदर्शक के रूप में उपयोग करें, खासकर यदि मीनूएंड में इसके बाद अंकों की संख्या सबट्रेंड की तुलना में कम हो। दी गई संख्या में से घटाएँ, उदाहरण के लिए, 2.139। दो को छह के नीचे, एक को आठ के नीचे और शेष दो अंकों को अगले अंकों के नीचे लिखें, जिन्हें शून्य निर्दिष्ट किया जा सकता है। यह पता चला कि न्यूनतम 6.8 नहीं, बल्कि 6.800 है। इस क्रिया को करने पर आपको कुल 4.661 प्राप्त होंगे।

ऋणात्मक संख्याओं के साथ क्रियाएँ उसी तरह की जाती हैं जैसे संख्याओं के साथ की जाती हैं। जोड़ते समय, ऋण को कोष्ठक के बाहर रखा जाता है, और दी गई संख्याएँ कोष्ठक में होती हैं, और उनके बीच एक प्लस रखा जाता है। अंत में बात बन ही जाती है. यानी, जब आप -6.8 और -7.3 जोड़ते हैं तो आपको 14.1 का समान परिणाम मिलेगा, लेकिन इसके सामने "-" चिह्न होगा। यदि सबट्रेंड मीनूएंड से बड़ा है, तो माइनस को भी कोष्ठक से बाहर निकाल दिया जाता है अधिकउतना ही कम काटा जाता है. 6.8 में से -7.3 घटाएँ। अभिव्यक्ति को इस प्रकार रूपांतरित करें। 6.8 - 7.3= -(7.3 - 6.8) = -0.5.

दशमलव को गुणा करना अंशों, अभी के लिए अल्पविराम के बारे में भूल जाइए। इन्हें इस प्रकार गुणा करें कि आपके सामने पूर्णांक आ जाएं। इसके बाद दोनों कारकों में दशमलव बिंदु के बाद दाईं ओर के अंकों की संख्या गिनें। कार्य में समान संख्या में वर्ण अलग करें। 6.8 और 7.3 को गुणा करने पर, आपको 49.64 प्राप्त होता है। यानी दशमलव बिंदु के दाईं ओर आपके पास 2 चिह्न होंगे, जबकि गुणक और गुणक में एक-एक थे।

दिए गए भिन्न को किसी पूर्णांक से विभाजित करें। यह क्रिया बिल्कुल उसी तरह से की जाती है जैसे पूर्णांकों के साथ की जाती है। मुख्य बात यह है कि अल्पविराम के बारे में न भूलें और शुरुआत में 0 लगाएं यदि पूर्ण इकाइयों की संख्या भाजक द्वारा विभाज्य नहीं है। उदाहरण के लिए, उसी 6.8 को 26 से विभाजित करने का प्रयास करें। शुरुआत में 0 लगाएं, क्योंकि 6, 26 से कम है। इसे अल्पविराम से अलग करें, फिर दसवां और सौवां भाग आएगा। परिणाम लगभग 0.26 होगा. वास्तव में, इस मामले में, एक अनंत गैर-आवधिक अंश प्राप्त होता है, जिसे सटीकता की वांछित डिग्री तक पूर्णांकित किया जा सकता है।

दो दशमलव भिन्नों को विभाजित करते समय, इस गुण का उपयोग करें कि जब आप लाभांश और भाजक को एक ही संख्या से गुणा करते हैं, तो भागफल नहीं बदलता है। अर्थात् दोनों को रूपान्तरित कर दो अंशोंपूर्णांकों में, यह इस पर निर्भर करता है कि वहां कितने दशमलव स्थान हैं। यदि आप 6.8 को 7.3 से विभाजित करना चाहते हैं, तो बस दोनों संख्याओं को 10 से गुणा करें। यह पता चलता है कि आपको 68 को 73 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यदि किसी संख्या में दशमलव स्थान अधिक हैं, तो इसे पहले पूर्णांक में बदलें, और फिर दूसरी संख्या में। इसे उसी संख्या से गुणा करें. यानी 6.8 को 4.136 से विभाजित करते समय लाभांश और भाजक को 10 से नहीं, बल्कि 1000 गुना बढ़ा दें। 4.735 प्राप्त करने के लिए 6800 को 1436 से विभाजित करें।