किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विखंडित करने का उपयोग। किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विखंडित करना

नंबर दर्ज करें:

सभी प्राकृतिक संख्याएँ विभाज्य हैं सरलऔर कम्पोजिट. पहले वाले इस मायने में भिन्न हैं कि उन्हें केवल स्वयं और एक में विभाजित किया जा सकता है। बहुत सारी अभाज्य संख्याएँ हैं। हम आपको उनमें से केवल पहला प्रस्तुत करते हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, आदि।

लेकिन एक भाज्य संख्या को कई अभाज्य संख्याओं को एक साथ गुणा करने पर लिखा जा सकता है।

प्रमेय कहता है कि यदि हम एक निश्चित भाज्य संख्या को इस प्रकार निर्दिष्ट करते हैं एन, और इसका संभावित अभाज्य भाजक इस प्रकार है आर, तो बाद वाले (सेट में से कम से कम एक) में निम्नलिखित विशेषता हो सकती है: р 2 ≤ एन.

इसके अलावा, 1 को न तो अभाज्य संख्या माना जाता है और न ही भाज्य संख्या। ऐसा लगता है कि वह अकेली है।

किसी भाज्य संख्या के गुणनखंडन की प्रक्रिया कहलाती है गुणन.

आप किसी भाज्य संख्या का गुणनखंड कैसे कर सकते हैं? इसके कई तरीके हैं:

1. छोटी संख्याओं का गुणनखंड करने के लिए, आप गुणन सारणी का उपयोग कर सकते हैं।
2. बड़ी संख्याओं का गुणनखंड करने के लिए, अभाज्य संख्या तालिका का उपयोग करें।

   यह इस तरह काम करता है: मान लीजिए आपके पास कोई चार अंकों की संख्या है। तालिका में इसका सबसे छोटा विभाजक ज्ञात कीजिए। अपनी संख्या को इस भाजक से विभाजित करें - आपको एक निश्चित तीन अंकों की संख्या मिलती है। अब तालिका में संख्याओं पर गौर करें और इसके लिए विभाजक खोजें तीन अंकों की संख्या. और इसी तरह अंत तक आपके पास एक अभाज्य संख्या रह जाती है, जिसे, परिभाषा के अनुसार, गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है। आपके द्वारा पाई गई सभी संख्याओं का गुणनफल मूल संख्या का अभाज्य गुणनखंड है।

   आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:

3. आप किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड में ऑनलाइन गुणनखंड करने के लिए हमारे कैलकुलेटर का उपयोग भी कर सकते हैं

प्रोग्राम को किसी भी जटिलता की समग्र संख्या दें - यह आसानी से और जल्दी से इसे सरल कारकों में विभाजित कर देगा और आपको परिणाम प्रस्तुत करेगा। आप स्वयं का परीक्षण करने के लिए प्रोग्राम का उपयोग कर सकते हैं। या होमवर्क में तेजी लाने के लिए.

यह अभाज्य संख्याओं की तालिका में संख्याओं के माध्यम से जाने की तुलना में बहुत तेज़ है। और यह आपके दिमाग में गणना करने से अधिक सुविधाजनक है।

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फैक्टरिंग का क्या मतलब है? यह कैसे करें? किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड में विभाजित करने से आप क्या सीख सकते हैं? इन प्रश्नों के उत्तर विशिष्ट उदाहरणों द्वारा दर्शाए गए हैं।

परिभाषाएँ:

वह संख्या जिसमें बिल्कुल दो भिन्न भाजक हों, अभाज्य कहलाती है।

वह संख्या जिसमें दो से अधिक भाजक हों, भाज्य कहलाती है।

बढ़ाना प्राकृतिक संख्यागुणनखंड का अर्थ है इसे प्राकृतिक संख्याओं के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना।

किसी प्राकृतिक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने का अर्थ है इसे अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना।

टिप्पणियाँ:

• अभाज्य संख्या के विस्तार में, कारकों में से एक एक के बराबर, और दूसरा - इस नंबर पर ही।
• फैक्टरिंग यूनिटी के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है।
• एक भाज्य संख्या को गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक 1 से भिन्न होता है।

	आइए संख्या 150 का गुणनखंड करें। उदाहरण के लिए, 150 15 गुना 10 है। 15 एक भाज्य संख्या है. इसे 5 और 3 के अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है। 10 एक भाज्य संख्या है. इसे 5 और 2 के अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है। उनके अपघटन को 15 और 10 के बजाय अभाज्य गुणनखंडों में लिखने से, हमें संख्या 150 का अपघटन प्राप्त हुआ।
	संख्या 150 को दूसरे तरीके से गुणनखंडित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 150 संख्या 5 और 30 का गुणनफल है। 5 एक अभाज्य संख्या है. 30 एक भाज्य संख्या है. इसे 10 और 3 का गुणनफल माना जा सकता है। 10 एक भाज्य संख्या है. इसे 5 और 2 के अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है। हमने 150 का गुणनखंडन एक अलग तरीके से अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त किया।
	ध्यान दें कि पहला और दूसरा विस्तार समान हैं। वे केवल कारकों के क्रम में भिन्न होते हैं। गुणनखंडों को आरोही क्रम में लिखने की प्रथा है।
प्रत्येक भाज्य संख्या को गुणनखंडों के क्रम तक, अनूठे तरीके से अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है।

बड़ी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते समय, स्तंभ संकेतन का उपयोग करें:

	216 से विभाज्य सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है। 216 को 2 से विभाजित करने पर हमें 108 प्राप्त होता है।
	परिणामी संख्या 108 को 2 से विभाजित किया जाता है। चलिए बंटवारा करते हैं. नतीजा 54 है.
	2 से विभाज्यता के परीक्षण के अनुसार, संख्या 54 2 से विभाज्य है। भाग देने पर हमें 27 प्राप्त होता है।
	संख्या 27 विषम अंक 7 पर समाप्त होती है। यह 2 से विभाज्य नहीं। अगली अभाज्य संख्या 3 है। 27 को 3 से विभाजित करें। हमें 9 प्राप्त होता है। लघुतम अभाज्य जिस संख्या से 9 को विभाजित किया जाता है वह संख्या 3 होती है। तीन स्वयं है प्रधान संख्या, यह स्वयं और एक से विभाज्य है। आइए 3 को आपस में विभाजित करें। अंत में हमें 1 मिला.

• कोई संख्या केवल उन अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होती है जो उसके अपघटन का हिस्सा होती हैं।
• कोई संख्या केवल उन्हीं भाज्य संख्याओं में विभाज्य होती है जिनका अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होना पूर्णतया उसमें निहित होता है।

आइए उदाहरण देखें:

	4900 अभाज्य संख्या 2, 5 और 7 से विभाज्य है (वे संख्या 4900 के विस्तार में शामिल हैं), लेकिन उदाहरण के लिए, 13 से विभाज्य नहीं है।
	11 550 75. ऐसा इसलिए है क्योंकि संख्या 75 का अपघटन पूरी तरह से संख्या 11550 के अपघटन में निहित है। विभाजन का परिणाम कारक 2, 7 और 11 का गुणनफल होगा। 11550 4 से विभाज्य नहीं है क्योंकि चार के विस्तार में दो अतिरिक्त हैं।

संख्या a को संख्या b से विभाजित करने का भागफल ज्ञात कीजिए, यदि इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में इस प्रकार विघटित किया जाए: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	संख्या बी का अपघटन पूरी तरह से संख्या ए के अपघटन में निहित है।
	a को b से विभाजित करने का परिणाम a के विस्तार में शेष तीन संख्याओं का गुणनफल होता है। तो उत्तर है: 30.

संदर्भ

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेसनोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. - एम.: मेनेमोसिन, 2012।
2. मर्ज़लियाक ए.जी., पोलोनस्की वी.वी., याकिर एम.एस. गणित छठी कक्षा. - व्यायामशाला। 2006.
3. डेपमैन आई.वाई.ए., विलेनकिन एन.वाई.ए. गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। - एम.: शिक्षा, 1989।
4. रुरुकिन ए.एन., त्चिकोवस्की आई.वी. ग्रेड 5-6 के लिए गणित पाठ्यक्रम के लिए असाइनमेंट। - एम.: जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।
5. रुरुकिन ए.एन., सोचिलोव एस.वी., त्चिकोवस्की के.जी. गणित 5-6. एमईपीएचआई पत्राचार विद्यालय में छठी कक्षा के छात्रों के लिए एक मैनुअल। - एम.: जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।
6. शेवरिन एल.एन., गेइन ए.जी., कोर्याकोव आई.ओ., वोल्कोव एम.वी. गणित: ग्रेड 5-6 के लिए पाठ्यपुस्तक-वार्ताकार हाई स्कूल. - एम.: शिक्षा, गणित शिक्षक पुस्तकालय, 1989।

1. इंटरनेट पोर्टल Matematica-na.ru ()।
2. इंटरनेट पोर्टल Math-portal.ru ()।

गृहकार्य

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. - एम.: मेनेमोसिन, 2012. नंबर 127, नंबर 129, नंबर 141।
2. अन्य कार्य: क्रमांक 133, क्रमांक 144.

किसी भी भाज्य संख्या को उसके अभाज्य भाजक के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है:

28 = 2 2 7

परिणामी समानताओं के दाएँ हाथ वाले पक्ष कहलाते हैं मुख्य गुणनखंड प्रक्रियासंख्या 15 और 28.

किसी दी गई समग्र संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने का अर्थ है इस संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना।

सड़न दिया गया नंबरअभाज्य कारकों द्वारा इस प्रकार किया जाता है:

1. सबसे पहले आपको अभाज्य संख्याओं की तालिका से सबसे छोटी अभाज्य संख्या का चयन करना होगा जो दी गई समग्र संख्या को बिना किसी शेषफल के विभाजित करती है, और विभाजन करती है।
2. इसके बाद, आपको फिर से सबसे छोटी अभाज्य संख्या का चयन करना होगा जिससे पहले से प्राप्त भागफल को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाएगा।
3. दूसरी क्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि भागफल एक इकाई उत्पन्न न कर दे।

उदाहरण के तौर पर, आइए संख्या 940 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें। सबसे छोटी अभाज्य संख्या ज्ञात करें जो 940 को विभाजित करती है। यह संख्या 2 है:

अब हम सबसे छोटी अभाज्य संख्या चुनते हैं जो 470 से विभाज्य है। यह संख्या फिर से 2 है:

235 से विभाज्य सबसे छोटी अभाज्य संख्या 5 है:

संख्या 47 अभाज्य है, जिसका अर्थ है कि सबसे छोटी अभाज्य संख्या जिसे 47 से विभाजित किया जा सकता है वह संख्या ही है:

इस प्रकार, हमें अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित संख्या 940 प्राप्त होती है:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

यदि किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने से कई समान गुणनखंड बनते हैं, तो संक्षिप्तता के लिए, उन्हें घात के रूप में लिखा जा सकता है:

940 = 2 2 5 47

अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में इस प्रकार लिखना सबसे सुविधाजनक है: पहले हम इस भाज्य संख्या को लिखते हैं और इसके दाईं ओर एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचते हैं:

रेखा के दाईं ओर हम सबसे छोटा अभाज्य भाजक लिखते हैं जिससे दी गई भाज्य संख्या विभाजित होती है:

हम विभाजन करते हैं और परिणामी भागफल को लाभांश के अंतर्गत लिखते हैं:

हम भागफल के साथ उसी तरह कार्य करते हैं जैसे दी गई भाज्य संख्या के साथ करते हैं, यानी, हम सबसे छोटी अभाज्य संख्या का चयन करते हैं जिससे वह बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है और विभाजन करते हैं। और हम इसे तब तक दोहराते हैं जब तक हमें भागफल में एक इकाई नहीं मिल जाती:

कृपया ध्यान दें कि कभी-कभी किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करना काफी कठिन हो सकता है, क्योंकि गुणनखंडन करते समय हमें सामना करना पड़ सकता है एक लंबी संख्या, जिसका तुरंत निर्धारण करना कठिन है कि यह सरल है या यौगिक। और यदि यह समग्र है, तो इसका सबसे छोटा अभाज्य भाजक खोजना हमेशा आसान नहीं होता है।

आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 5106 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने का प्रयास करें:

भागफल 851 तक पहुँचने के बाद, इसका सबसे छोटा भाजक तुरंत निर्धारित करना कठिन है। हम अभाज्य संख्याओं की तालिका की ओर मुड़ते हैं। यदि इसमें कोई ऐसी संख्या है जो हमें कठिनाई में डालती है तो वह केवल स्वयं और एक से विभाज्य होती है। संख्या 851 अभाज्य संख्याओं की तालिका में नहीं है, जिसका अर्थ है कि यह संयुक्त है। जो कुछ बचा है उसे क्रमिक खोज द्वारा अभाज्य संख्याओं में विभाजित करना है: 3, 7, 11, 13, ..., और इसी तरह जब तक हमें एक उपयुक्त अभाज्य भाजक नहीं मिल जाता। बलपूर्वक हम पाते हैं कि 851 संख्या 23 से विभाज्य है।

किसी भी भाज्य संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है। विघटन की अनेक विधियाँ हो सकती हैं। कोई भी विधि समान परिणाम उत्पन्न करती है।

सबसे सुविधाजनक तरीके से किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में कैसे विभाजित करें? आइए देखें कि विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके इसे सर्वोत्तम तरीके से कैसे किया जाए।

उदाहरण.

1400, 2 से विभाज्य है। 2 एक अभाज्य संख्या है, इसका गुणनखंड करने की कोई आवश्यकता नहीं है। हमें 700 प्राप्त होता है। इसे 2 से विभाजित करें। हमें 350 प्राप्त होता है। हम 350 को भी 2 से विभाजित करते हैं। परिणामी संख्या 175 को 5 से विभाजित किया जा सकता है। परिणाम 35 है - हम इसे फिर से 5 से विभाजित करते हैं। कुल योग 7 है 7 से विभाजित करने पर हमें 1 प्राप्त होता है, विभाजन समाप्त।

एक ही संख्या को अलग-अलग तरीके से गुणनखंडित किया जा सकता है:

1400 को 10 से विभाजित करना सुविधाजनक है। 10 एक अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए इसे अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने की आवश्यकता है: 10=2∙5। परिणाम 140 है। हम इसे फिर से 10=2∙5 से विभाजित करते हैं। हमें 14 मिलता है। यदि 14 को 14 से विभाजित किया जाता है, तो इसे भी अभाज्य गुणनखंडों के उत्पाद में विघटित किया जाना चाहिए: 14=2∙7।

इस प्रकार, हम फिर से पहले मामले की तरह ही विघटन पर आ गए, लेकिन तेजी से।

निष्कर्ष: किसी संख्या को विघटित करते समय, इसे केवल अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना आवश्यक नहीं है। हम जो अधिक सुविधाजनक है उससे विभाजित करते हैं, उदाहरण के लिए, 10 से। आपको केवल यौगिक भाजक को सरल कारकों में विघटित करना याद रखना होगा।

2) संख्या 1620 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

संख्या 1620 को 10 से विभाजित करने का सबसे सुविधाजनक तरीका है। चूँकि 10 एक अभाज्य संख्या नहीं है, हम इसे अभाज्य गुणनखंडों के उत्पाद के रूप में दर्शाते हैं: 10=2∙5। हमें 162 प्राप्त हुआ। इसे 2 से विभाजित करना सुविधाजनक है। परिणाम 81 है। संख्या 81 को 3 से विभाजित किया जा सकता है, लेकिन 9 से यह अधिक सुविधाजनक है। चूँकि 9 एक अभाज्य संख्या नहीं है, हम इसे 9=3∙3 के रूप में विस्तारित करते हैं। हमें 9 मिलता है। हम इसे 9 से भी विभाजित करते हैं और इसे अभाज्य कारकों के उत्पाद में विस्तारित करते हैं।

एक को छोड़कर प्रत्येक प्राकृत संख्या में दो या दो से अधिक भाजक होते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 7 बिना किसी शेषफल के केवल 1 और 7 से विभाज्य है, अर्थात इसमें दो भाजक हैं। और संख्या 8 में भाजक 1, 2, 4, 8 हैं, यानी एक साथ 4 भाजक।

अभाज्य और भाज्य संख्याओं में क्या अंतर है?

वे संख्याएँ जिनमें दो से अधिक भाजक होते हैं, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। वे संख्याएँ जिनमें केवल दो भाजक होते हैं: एक और स्वयं संख्या अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

संख्या 1 का केवल एक ही विभाजन होता है, अर्थात संख्या। एक न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य संख्या।

• उदाहरण के लिए, संख्या 7 अभाज्य है और संख्या 8 भाज्य है।

प्रथम 10 अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. संख्या 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है, अन्य सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।

संख्या 78 संयुक्त है, क्योंकि 1 और स्वयं के अलावा, यह 2 से भी विभाज्य है। 2 से विभाजित करने पर, हमें 39 प्राप्त होता है। अर्थात, 78 = 2*39। ऐसे मामलों में, वे कहते हैं कि संख्या को 2 और 39 के गुणनखंडों में विभाजित किया गया था।

किसी भी भाज्य संख्या को दो गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक 1 से बड़ा होता है। यह युक्ति अभाज्य संख्या के साथ काम नहीं करेगी। इस तरह की चीज़ें।

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना

जैसा कि ऊपर बताया गया है, किसी भी भाज्य संख्या को दो कारकों में विभाजित किया जा सकता है। आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 210 लें। इस संख्या को दो गुणनखंडों 21 और 10 में विघटित किया जा सकता है। लेकिन संख्याएँ 21 और 10 भी मिश्रित हैं, आइए उन्हें दो गुणनखंडों में विघटित करें। हमें 10 = 2*5, 21=3*7 प्राप्त होता है। और परिणामस्वरूप, संख्या 210 4 कारकों में विघटित हो गई: 2,3,5,7। ये संख्याएँ पहले से ही अभाज्य हैं और इनका विस्तार नहीं किया जा सकता। अर्थात्, हमने संख्या 210 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया है।

भाज्य संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते समय, उन्हें आमतौर पर आरोही क्रम में लिखा जाता है।

यह याद रखना चाहिए कि किसी भी भाज्य संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में और अनूठे तरीके से क्रमपरिवर्तन तक गुणनखंडित किया जा सकता है।

• आमतौर पर, किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते समय, विभाज्यता मानदंड का उपयोग किया जाता है।

आइए संख्या 378 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करें

हम संख्याओं को एक ऊर्ध्वाधर रेखा से अलग करते हुए लिखेंगे। संख्या 378 2 से विभाज्य है, क्योंकि यह 8 पर समाप्त होती है। विभाजित करने पर, हमें संख्या 189 प्राप्त होती है। संख्या 189 के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या 189 स्वयं 3 से विभाज्य है। परिणाम 63 है.

विभाज्यता के अनुसार संख्या 63 भी 3 से विभाज्य है। हमें 21 प्राप्त होता है, संख्या 21 को पुनः 3 से विभाजित किया जा सकता है, हमें 7 प्राप्त होता है। सात को केवल स्वयं से विभाजित किया जाता है, हमें एक प्राप्त होता है। यह विभाजन पूरा करता है. रेखा के बाद दाईं ओर वे अभाज्य गुणनखंड हैं जिनमें संख्या 378 विघटित होती है।

378|2
189|3
63|3
21|3