समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ऑनलाइन ज्ञात करना। समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

और । अब हम इस प्रश्न पर विचार करना शुरू कर सकते हैं कि समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। यह कार्य रोजमर्रा की जिंदगी में बहुत कम ही उठता है, लेकिन कभी-कभी यह आवश्यक हो जाता है, उदाहरण के लिए, एक ट्रेपोजॉइड के आकार में एक कमरे का क्षेत्रफल ज्ञात करना, जिसका उपयोग आधुनिक अपार्टमेंट के निर्माण में तेजी से किया जा रहा है, या डिज़ाइन नवीनीकरण परियोजनाएँ।

समलम्बाकार है ज्यामितीय आकृति, चार प्रतिच्छेदी खंडों द्वारा गठित, जिनमें से दो एक दूसरे के समानांतर हैं और एक ट्रेपेज़ॉइड के आधार कहलाते हैं। अन्य दो खंडों को समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ कहा जाता है। इसके अलावा, हमें बाद में एक और परिभाषा की आवश्यकता होगी। यह ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा है, जो पक्षों के मध्य बिंदुओं और ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई को जोड़ने वाला एक खंड है, जो आधारों के बीच की दूरी के बराबर है।
त्रिभुजों की तरह, समलंब चतुर्भुज के विशेष प्रकार होते हैं, एक समद्विबाहु (समबाहु) समलंब, जिसमें भुजाओं की लंबाई समान होती है, और एक आयताकार समलंब, जिसमें एक भुजा आधारों के साथ समकोण बनाती है।

ट्रैपेज़ में कुछ दिलचस्प गुण हैं:

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के योग के आधे के बराबर है और उनके समानांतर है।
समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ समान होती हैं और वे आधारों के साथ कोण बनाते हैं।
किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों का मध्यबिंदु और उसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर होते हैं।
यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं का योग आधारों के योग के बराबर है, तो उसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है
यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं द्वारा इसके किसी भी आधार पर बने कोणों का योग 90 है, तो आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई उनके आधे-अंतर के बराबर है।
एक समद्विबाहु समलंब को एक वृत्त द्वारा वर्णित किया जा सकता है। और इसके विपरीत। यदि एक समलम्ब चतुर्भुज एक वृत्त में फिट बैठता है, तो यह समद्विबाहु है।
आधारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरने वाला एक खंड समद्विबाहु समलम्बाकारइसके आधारों पर लंबवत होगा और समरूपता की धुरी का प्रतिनिधित्व करता है।

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें.

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों के योग को उसकी ऊँचाई से गुणा करने के आधे के बराबर होगा। सूत्र रूप में, इसे एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखा गया है:

जहाँ S समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, a, b समलम्ब चतुर्भुज के प्रत्येक आधार की लंबाई है, h समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है।

इस फॉर्मूले को आप इस प्रकार समझ और याद रख सकते हैं. नीचे दिए गए चित्र के अनुसार, केंद्र रेखा का उपयोग करके, एक समलंब को एक आयत में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसकी लंबाई आधारों के योग के आधे के बराबर होगी।

आप किसी भी समलंब को और अधिक विस्तारित भी कर सकते हैं सरल आंकड़े: एक आयत और एक या दो त्रिभुज, और यदि यह आपके लिए आसान है, तो समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके घटक आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में ज्ञात करें।

वहाँ एक और है सरल सूत्रइसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए. इसके अनुसार, एक समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी मध्य रेखा और समलंब की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है: S = m*h, जहां S क्षेत्रफल है, m लंबाई है मध्य रेखा, h समलंब चतुर्भुज की ऊंचाई है। यह सूत्र रोजमर्रा की समस्याओं की तुलना में गणित की समस्याओं के लिए अधिक उपयुक्त है, क्योंकि वास्तविक परिस्थितियों में आप प्रारंभिक गणना के बिना केंद्र रेखा की लंबाई नहीं जान पाएंगे। और आपको केवल आधारों और भुजाओं की लंबाई ही पता चलेगी।

इस मामले में, ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

एस = ((ए+बी)/2)*√सी 2 -((बी-ए) 2 +सी 2 -डी 2 /2(बी-ए)) 2

जहाँ S क्षेत्रफल है, a, b आधार हैं, c, d समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ हैं।

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के कई अन्य तरीके हैं। लेकिन, वे पिछले फॉर्मूले की तरह ही असुविधाजनक हैं, जिसका अर्थ है कि उन पर ध्यान देने का कोई मतलब नहीं है। इसलिए, हम अनुशंसा करते हैं कि आप लेख से पहले सूत्र का उपयोग करें और चाहते हैं कि आपको हमेशा सटीक परिणाम प्राप्त हों।

पिछले वर्ष की एकीकृत राज्य परीक्षा और राज्य परीक्षा के अभ्यास से पता चलता है कि ज्यामिति की समस्याएँ कई स्कूली बच्चों के लिए कठिनाइयाँ पैदा करती हैं। यदि आप सभी आवश्यक सूत्रों को याद रखते हैं और समस्याओं को हल करने का अभ्यास करते हैं तो आप आसानी से उनका सामना कर सकते हैं।

इस लेख में आप समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र, साथ ही समाधान वाली समस्याओं के उदाहरण देखेंगे। प्रमाणन परीक्षाओं के दौरान या ओलंपियाड में आपको केआईएम में ये समान मिल सकते हैं। इसलिए, उनके साथ सावधानी से व्यवहार करें।

ट्रैपेज़ॉइड के बारे में आपको क्या जानने की आवश्यकता है?

आरंभ करने के लिए, आइए इसे याद रखें चतुर्भुजचतुर्भुज को चतुर्भुज कहा जाता है जिसमें दो विपरीत भुजाएँ, जिन्हें आधार भी कहा जाता है, समानांतर होती हैं, और अन्य दो नहीं होती हैं।

एक ट्रेपेज़ॉइड में, ऊँचाई (आधार से लंबवत) को भी कम किया जा सकता है। मध्य रेखा खींची गई है - यह एक सीधी रेखा है जो आधारों के समानांतर है और उनके योग के आधे के बराबर है। साथ ही विकर्ण जो प्रतिच्छेद कर सकते हैं, न्यून और अधिक कोण बनाते हैं। या, कुछ मामलों में, समकोण पर। इसके अलावा, यदि ट्रेपेज़ॉइड समद्विबाहु है, तो इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। और इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें।

समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र

सबसे पहले, आइए एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के मानक सूत्रों को देखें। हम नीचे समद्विबाहु और वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के तरीकों पर विचार करेंगे।

तो, कल्पना करें कि आपके पास आधार ए और बी के साथ एक ट्रेपेज़ॉइड है, जिसमें ऊंचाई एच को बड़े आधार से कम किया गया है। इस मामले में किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना नाशपाती के गोले जितना आसान है। आपको बस आधारों की लंबाई के योग को दो से विभाजित करना होगा और परिणाम को ऊंचाई से गुणा करना होगा: एस = 1/2(ए + बी)*एच.

चलिए एक और मामला लेते हैं: मान लीजिए कि एक ट्रेपेज़ॉइड में, ऊंचाई के अलावा, एक मध्य रेखा एम है। हम मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र जानते हैं: m = 1/2(a + b)। इसलिए, हम समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र को निम्नलिखित रूप में सरल रूप से सरल बना सकते हैं: एस = एम*एच. दूसरे शब्दों में, एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको केंद्र रेखा को ऊँचाई से गुणा करना होगा।

आइए एक अन्य विकल्प पर विचार करें: ट्रेपेज़ॉइड में विकर्ण डी 1 और डी 2 हैं, जो समकोण α पर प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। ऐसे समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको विकर्णों के गुणनफल को दो से विभाजित करना होगा और परिणाम को उनके बीच के कोण के पाप से गुणा करना होगा: एस= 1/2डी 1 डी 2 *sinα.

अब एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र पर विचार करें यदि इसके सभी पक्षों की लंबाई के अलावा इसके बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है: ए, बी, सी और डी। यह एक बोझिल और जटिल सूत्र है, लेकिन इसे याद रखना आपके लिए उपयोगी होगा: एस = 1/2(ए + बी) * √सी 2 - ((1/2(बी - ए)) * ((बी - ए) 2 + सी 2 - डी 2)) 2.

वैसे, उपरोक्त उदाहरण उस स्थिति के लिए भी सत्य हैं जब आपको एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र की आवश्यकता होती है। यह एक समलम्ब चतुर्भुज है, जिसका किनारा समकोण पर आधारों से जुड़ता है।

समद्विबाहु समलम्बाकार

एक समलम्ब चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ बराबर होती हैं, समद्विबाहु कहलाता है। हम समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र के लिए कई विकल्पों पर विचार करेंगे।

पहला विकल्प: उस स्थिति के लिए जब त्रिज्या r वाला एक वृत्त एक समद्विबाहु समलम्बाकार के अंदर अंकित होता है, और पक्ष और बड़ा आधार एक न्यून कोण α बनाते हैं। एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, बशर्ते कि उसके आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर हो।

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है: अंकित वृत्त की त्रिज्या के वर्ग को चार से गुणा करें और इसे पाप से विभाजित करें: S = 4r 2 /sinα. एक अन्य क्षेत्र सूत्र उस विकल्प के लिए एक विशेष मामला है जब बड़े आधार और किनारे के बीच का कोण 30 0 है: एस = 8आर2.

दूसरा विकल्प: इस बार हम एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज लेते हैं, जिसमें विकर्ण d 1 और d 2 के अलावा ऊँचाई h भी खींची जाती है। यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, तो ऊँचाई आधारों के योग की आधी है: h = 1/2(a + b)। यह जानने के बाद, ट्रैपेज़ॉइड के क्षेत्र के लिए सूत्र को इस रूप में बदलना आसान है जो पहले से ही आपसे परिचित है: एस = एच 2.

एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र

आइए यह पता लगाकर शुरू करें कि घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड क्या है। एक समन्वय अक्ष और एक सतत और गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन f के ग्राफ़ की कल्पना करें जो x-अक्ष पर दिए गए खंड के भीतर चिह्न नहीं बदलता है। एक वक्रीय समलम्बाकार फलन y = f(x) के ग्राफ द्वारा बनता है - शीर्ष पर, x अक्ष नीचे (खंड) पर है, और किनारों पर - बिंदु a और b और ग्राफ के बीच खींची गई सीधी रेखाएँ हैं समारोह.

उपरोक्त विधियों का उपयोग करके ऐसी गैर-मानक आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना असंभव है। यहां आपको गणितीय विश्लेषण लागू करने और इंटीग्रल का उपयोग करने की आवश्यकता है। अर्थात्: न्यूटन-लीबनिज सूत्र - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). इस सूत्र में, F चयनित खंड पर हमारे फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन है। और क्षेत्र घुमावदार समलम्बाकारकिसी दिए गए खंड पर प्रतिअवकलन की वृद्धि से मेल खाती है।

नमूना समस्याएँ

इन सभी सूत्रों को आपके दिमाग में समझना आसान बनाने के लिए, यहां समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्याओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। यह सबसे अच्छा होगा यदि आप पहले स्वयं समस्याओं को हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही प्राप्त उत्तर की तुलना तैयार समाधान से करें।

कार्य #1:एक समलम्ब चतुर्भुज दिया गया है। इसका बड़ा आधार 11 सेमी, छोटा 4 सेमी है। ट्रेपेज़ॉइड में विकर्ण हैं, एक 12 सेमी लंबा, दूसरा 9 सेमी।

समाधान: एक समलम्ब चतुर्भुज AMRS का निर्माण करें। शीर्ष P से होकर एक सीधी रेखा РХ खींचिए ताकि वह विकर्ण MC के समानांतर हो और सीधी रेखा AC को बिंदु X पर प्रतिच्छेद करे। आपको एक त्रिभुज APХ मिलेगा।

हम इन जोड़तोड़ों के परिणामस्वरूप प्राप्त दो आंकड़ों पर विचार करेंगे: त्रिभुज APX और समांतर चतुर्भुज CMRX।

समांतर चतुर्भुज के लिए धन्यवाद, हम सीखते हैं कि PX = MC = 12 सेमी और CX = MR = 4 सेमी। जहाँ से हम त्रिभुज ARX की भुजा AX की गणना कर सकते हैं: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 सेमी।

हम यह भी सिद्ध कर सकते हैं कि त्रिभुज APX समकोण है (ऐसा करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय - AX 2 = AP 2 + PX 2 लागू करें)। और इसके क्षेत्रफल की गणना करें: एस एपीएक्स = 1/2(एपी * पीएक्स) = 1/2(9 * 12) = 54 सेमी 2।

आगे आपको यह सिद्ध करना होगा कि त्रिभुज AMP और PCX क्षेत्रफल में बराबर हैं। आधार एमआर और सीएक्स (पहले से ही ऊपर सिद्ध) पार्टियों की समानता होगी। और इन किनारों पर आप जो ऊंचाई कम करते हैं - वे एएमआरएस ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई के बराबर हैं।

यह सब आपको यह कहने की अनुमति देगा कि एस एएमपीसी = एस एपीएक्स = 54 सेमी 2।

कार्य #2:समलम्बाकार KRMS दिया गया है। इसके पार्श्व पक्षों पर बिंदु O और E हैं, जबकि OE और KS समानांतर हैं। यह भी ज्ञात है कि समलम्बाकार ORME और OKSE का क्षेत्रफल 1:5 के अनुपात में है। आरएम = ए और केएस = बी। आपको OE ढूंढ़ना होगा.

समाधान: बिंदु M से होकर RK के समानांतर एक रेखा खींचें और OE के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को T के रूप में निर्दिष्ट करें। आधार KS के साथ RK के समानांतर बिंदु E से होकर खींची गई रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु A है।

आइए एक और संकेतन का परिचय दें - OE = x। और त्रिभुज TME के लिए ऊँचाई h 1 और त्रिभुज AEC के लिए ऊँचाई h 2 (आप स्वतंत्र रूप से इन त्रिभुजों की समानता साबित कर सकते हैं)।

हम मान लेंगे कि b > a. समलम्ब चतुर्भुज ORME और OKSE का क्षेत्रफल 1:5 के अनुपात में है, जो हमें निम्नलिखित समीकरण बनाने का अधिकार देता है: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a))।

चूँकि त्रिभुज TME और AEC समरूप हैं, हमारे पास h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x) है। आइए दोनों प्रविष्टियों को संयोजित करें और प्राप्त करें: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

इस प्रकार, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6।

निष्कर्ष

ज्यामिति विज्ञान सबसे आसान नहीं है, लेकिन आप निश्चित रूप से परीक्षा के प्रश्नों का सामना कर सकते हैं। तैयारी में थोड़ी सी दृढ़ता दिखाने के लिए यह काफी है। और, निःसंदेह, सभी आवश्यक सूत्र याद रखें।

हमने समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सभी सूत्रों को एक स्थान पर एकत्रित करने का प्रयास किया ताकि आप परीक्षा की तैयारी करते समय और सामग्री को दोहराते समय उनका उपयोग कर सकें।

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समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने से पहले, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है ज्ञात तत्वसमलम्ब चतुर्भुज। ट्रैपेज़ॉइड एक ज्यामितीय वस्तु है, अर्थात् एक चतुर्भुज जिसकी दो समानांतर भुजाएँ (दो आधार) हैं। अन्य दो भुजाएँ पार्श्व हैं। यदि चतुर्भुज की ये दोनों भुजाएँ भी समानांतर हों, तो यह एक समलम्ब चतुर्भुज नहीं, बल्कि एक समांतर चतुर्भुज होगा। यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज का कम से कम एक कोण 90 डिग्री का हो तो ऐसे समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है। हम बाद में देखेंगे कि आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें। एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज भी है, जिसका नाम स्वयं ही बताता है: ऐसे समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं। किसी समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के बीच की दूरी को ऊँचाई कहा जाता है, और ऊँचाई का उपयोग अक्सर क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है। ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा एक खंड है जो पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है।

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के मूल सूत्र

एस= एच*(ए+बी)/2
जहां h समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई है, a, b आधार हैं। ट्रैपेज़ॉइड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला सूत्र आधारों के योग को ऊंचाई से गुणा करने का आधा है।
एस = एम*एच
जहाँ m समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा है, h ऊँचाई है। एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल भी समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा और उसकी ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
S=1/2*d1*d2*sin(d1^d2)
जहां d1, d2 समलंब चतुर्भुज के विकर्ण हैं, वहीं पाप(d1^d2) समलंब चतुर्भुज के विकर्णों के बीच के कोण की ज्या है।

बुनियादी सूत्रों से प्राप्त विभिन्न सूत्र भी हैं, साथ ही एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए एक सूत्र भी है जब इसकी सभी भुजाएँ ज्ञात हों। हालाँकि, यह सूत्र काफी बोझिल है और इसका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, क्योंकि, ट्रेपेज़ॉइड के सभी पक्षों को जानकर, आप आसानी से ऊंचाई या इसकी मध्य रेखा निर्धारित कर सकते हैं। आप समद्विबाहु समलंब में एक वृत्त भी अंकित कर सकते हैं। इस मामले में, ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाएगी: 8*वृत्त की त्रिज्या वर्ग।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है यदि इसमें कम से कम एक समकोण हो। ऐसे समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना बहुत सरल है। मूल रूप से, एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, नियमित समलम्ब चतुर्भुज के समान सूत्रों का उपयोग किया जाता है। हालाँकि, यह याद रखने योग्य है कि ऐसे ट्रेपोज़ॉइड के पक्षों में से एक की ऊंचाई होगी। साथ ही, अक्सर एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्याओं को हल करने के लिए छोड़ी गई ऊँचाई से बने आयत और त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना आता है। ऐसे कार्य काफी सरल हैं.

ट्रैपेज़ॉइड के बारे में आपको क्या जानने की आवश्यकता है?

समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र

समद्विबाहु समलम्बाकार

एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र

उपरोक्त विधियों का उपयोग करके ऐसी गैर-मानक आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना असंभव है। यहां आपको गणितीय विश्लेषण लागू करने और इंटीग्रल का उपयोग करने की आवश्यकता है। अर्थात्: न्यूटन-लीबनिज सूत्र - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). इस सूत्र में, F चयनित खंड पर हमारे फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन है। और एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र किसी दिए गए खंड पर एंटीडेरिवेटिव की वृद्धि से मेल खाता है।

नमूना समस्याएँ

यह सब आपको यह कहने की अनुमति देगा कि एस एएमपीसी = एस एपीएक्स = 54 सेमी 2।

इस प्रकार, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6।

निष्कर्ष

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एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल. अभिवादन! इस प्रकाशन में हम इस सूत्र को देखेंगे। आखिर वह ऐसी क्यों है और उसे कैसे समझें। अगर समझ है तो उसे सिखाने की जरूरत नहीं है. यदि आप केवल इस फॉर्मूले को देखना चाहते हैं और तत्काल चाहते हैं, तो आप तुरंत पृष्ठ को नीचे स्क्रॉल कर सकते हैं))

अब विस्तार से और क्रम से.

एक समलंब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है, इस चतुर्भुज की दो भुजाएँ समानांतर हैं, अन्य दो नहीं हैं। जो समानांतर नहीं हैं वे समलम्ब चतुर्भुज के आधार हैं। अन्य दो को भुजाएँ कहा जाता है।

यदि भुजाएँ समान हों, तो समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु कहा जाता है। यदि कोई एक भुजा आधारों पर लंबवत है, तो ऐसे समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है।

अपने क्लासिक रूप में, एक ट्रेपेज़ॉइड को इस प्रकार दर्शाया गया है - बड़ा आधार क्रमशः नीचे है, छोटा आधार शीर्ष पर है। लेकिन कोई भी उसका चित्रण करने से मना नहीं करता और इसके विपरीत भी। यहाँ रेखाचित्र हैं:

अगली महत्वपूर्ण अवधारणा.
ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा एक खंड है जो पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है। मध्य रेखा समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर और उनके आधे योग के बराबर है।

अब आइए गहराई से जानें। ऐसा क्यों है?

आधारों वाले एक समलम्ब चतुर्भुज पर विचार करें ए और बीऔर मध्य रेखा के साथ एल, और कुछ अतिरिक्त निर्माण करें: आधारों के माध्यम से सीधी रेखाएं खींचें, और मध्य रेखा के सिरों के माध्यम से लंबवत तब तक खींचें जब तक कि वे आधारों के साथ प्रतिच्छेद न करें:

*अनावश्यक पदनामों से बचने के लिए शीर्षों और अन्य बिंदुओं के लिए अक्षर पदनाम जानबूझकर शामिल नहीं किए गए हैं।

देखिए, त्रिभुजों की समानता के दूसरे चिह्न के अनुसार त्रिभुज 1 और 2 बराबर हैं, त्रिभुज 3 और 4 भी समान हैं। त्रिभुजों की समानता से तत्वों की समानता का पता चलता है, अर्थात् पैर (उन्हें क्रमशः नीले और लाल रंग में दर्शाया गया है)।

अब ध्यान दें! यदि हम मानसिक रूप से निचले आधार से नीले और लाल खंडों को "काट" देते हैं, तो हमारे पास मध्य रेखा के बराबर एक खंड (यह आयत का किनारा है) रह जाएगा। इसके बाद, यदि हम कटे हुए नीले और लाल खंडों को ट्रेपेज़ॉइड के ऊपरी आधार पर "गोंद" देते हैं, तो हमें ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा के बराबर एक खंड (यह आयत का पक्ष भी है) मिलेगा।

समझ गया? इससे पता चलता है कि आधारों का योग समलम्ब चतुर्भुज की दो मध्य रेखाओं के बराबर होगा:

एक और स्पष्टीकरण देखें

आइए निम्नलिखित कार्य करें - ट्रेपेज़ॉइड के निचले आधार से गुजरने वाली एक सीधी रेखा बनाएं और एक सीधी रेखा बनाएं जो बिंदु ए और बी से होकर गुजरेगी:

हमें त्रिभुज 1 और 2 मिलते हैं, वे भुजाओं और आसन्न कोणों के अनुदिश बराबर होते हैं (त्रिकोणों की समानता का दूसरा चिह्न)। इसका मतलब यह है कि परिणामी खंड (स्केच में इसे नीले रंग में दर्शाया गया है) ट्रेपेज़ॉइड के ऊपरी आधार के बराबर है।

अब त्रिभुज पर विचार करें:

*इस समलंब की मध्य रेखा और त्रिभुज की मध्य रेखा संपाती हैं।

यह ज्ञात है कि एक त्रिभुज अपने समानांतर आधार के आधे के बराबर होता है, अर्थात:

ठीक है, हमने इसका पता लगा लिया। अब समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बारे में।

समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र:

वे कहते हैं: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है।

अर्थात्, यह पता चलता है कि यह केंद्र रेखा और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर है:

आपने शायद पहले ही नोटिस कर लिया होगा कि यह स्पष्ट है। ज्यामितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: यदि हम मानसिक रूप से त्रिभुज 2 और 4 को समलंब से काट दें और उन्हें क्रमशः त्रिभुज 1 और 3 पर रखें:

तब हमें क्षेत्रफल में एक आयत मिलता है क्षेत्रफल के बराबरहमारा ट्रेपोज़ॉइड। इस आयत का क्षेत्रफल केंद्र रेखा और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होगा, अर्थात हम लिख सकते हैं:

लेकिन बेशक यहां बात लिखने की नहीं, बल्कि समझने की है।

लेख सामग्री को *पीडीएफ प्रारूप में डाउनलोड करें (देखें)।

बस इतना ही। आप सौभाग्यशाली हों!

सादर, अलेक्जेंडर।