तर्क और प्रमाण। प्रमाण: प्रत्यक्ष, व्युत्क्रम, विरोधाभास द्वारा। गणितीय प्रेरण की विधि। विरोधाभास द्वारा विधि

गणितीय शब्दों का व्याख्यात्मक शब्दकोश एक प्रमेय के विरोधाभास द्वारा एक प्रमाण को परिभाषित करता है, एक विपरीत प्रमेय के विपरीत। “विरोधाभास द्वारा प्रमाण एक प्रमेय (प्रस्ताव) को सिद्ध करने की एक विधि है, जिसमें स्वयं प्रमेय को नहीं, बल्कि उसके समतुल्य (समतुल्य) प्रमेय को सिद्ध करना शामिल है। जब भी प्रत्यक्ष प्रमेय को सिद्ध करना कठिन होता है, तो विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग किया जाता है, लेकिन विपरीत प्रमेय को सिद्ध करना आसान होता है। विरोधाभास द्वारा एक प्रमाण में, प्रमेय के निष्कर्ष को उसके निषेध द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और तर्क के माध्यम से कोई शर्तों के निषेध पर पहुंचता है, अर्थात। विरोधाभास के लिए, विपरीत के लिए (जो दिया गया है उसके विपरीत; बेतुकेपन में यह कमी प्रमेय को सिद्ध करती है।"

गणित में विरोधाभास द्वारा प्रमाण का प्रयोग अक्सर किया जाता है। विरोधाभास द्वारा प्रमाण बहिष्कृत मध्य के कानून पर आधारित है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि दो कथनों (कथनों) ए और ए (ए का निषेध) में से एक सत्य है और दूसरा गलत है।/गणितीय शब्दों का व्याख्यात्मक शब्दकोश: शिक्षकों के लिए एक मैनुअल/ओ। वी. मंटुरोव [आदि]; द्वारा संपादित वी. ए. डिटकिना.- एम.: शिक्षा, 1965.- 539 पी.: बीमार.-सी.112/.

खुले तौर पर यह घोषित करना बेहतर नहीं होगा कि विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि गणितीय विधि नहीं है, हालांकि इसका उपयोग गणित में किया जाता है, कि यह एक तार्किक विधि है और तर्क से संबंधित है। क्या यह कहना स्वीकार्य है कि विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग "जब भी किया जाता है जब प्रत्यक्ष प्रमेय को साबित करना मुश्किल होता है", जबकि वास्तव में इसका उपयोग तब किया जाता है, और केवल तभी जब, कोई विकल्प नहीं होता है।

हकदार विशेष ध्यानऔर प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों के एक दूसरे से संबंध की विशेषता। “किसी दिए गए प्रमेय (या किसी दिए गए प्रमेय) के लिए व्युत्क्रम प्रमेय एक प्रमेय है जिसमें स्थिति निष्कर्ष है, और निष्कर्ष दिए गए प्रमेय की स्थिति है। व्युत्क्रम प्रमेय के संबंध में इस प्रमेय को प्रत्यक्ष प्रमेय (मूल) कहा जाता है। उसी समय, व्युत्क्रम प्रमेय का व्युत्क्रम प्रमेय दिया गया प्रमेय होगा; इसलिए, प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों को परस्पर व्युत्क्रम कहा जाता है। यदि प्रत्यक्ष (दिया गया) प्रमेय सत्य है, तो विपरीत प्रमेय हमेशा सत्य नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि एक चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है, तो इसके विकर्ण परस्पर लंबवत (प्रत्यक्ष प्रमेय) होते हैं। यदि किसी चतुर्भुज में विकर्ण परस्पर लंबवत हों, तो चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है - यह असत्य है, अर्थात व्युत्क्रम प्रमेय असत्य है।”/गणितीय शब्दों का व्याख्यात्मक शब्दकोश: शिक्षकों के लिए एक मैनुअल/ओ। वी. मंटुरोव [आदि]; द्वारा संपादित वी. ए. डिटकिना.- एम.: शिक्षा, 1965.- 539 पी.: बीमार.-सी.261/.

यह विशेषताप्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेय के बीच संबंध इस तथ्य को ध्यान में नहीं रखता है कि प्रत्यक्ष प्रमेय की स्थिति को बिना प्रमाण के स्वीकार कर लिया जाता है, इसलिए इसकी शुद्धता की गारंटी नहीं है। व्युत्क्रम प्रमेय की शर्त दी गई अनुसार स्वीकार नहीं की जाती है, क्योंकि यह सिद्ध प्रत्यक्ष प्रमेय का निष्कर्ष है। इसकी सत्यता की पुष्टि प्रत्यक्ष प्रमेय के प्रमाण से होती है। प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों की स्थितियों में यह आवश्यक तार्किक अंतर इस प्रश्न में निर्णायक साबित होता है कि कौन से प्रमेय विरोधाभास द्वारा तार्किक विधि से सिद्ध किए जा सकते हैं और कौन से नहीं।

आइए मान लें कि मन में एक प्रत्यक्ष प्रमेय है, जिसे सामान्य गणितीय विधि का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, लेकिन कठिन है। आइए हम इसे तैयार करें सामान्य रूप से देखेंसंक्षिप्त रूप में इस प्रकार: से एचाहिए इ . प्रतीक ए प्रमेय की दी गई स्थिति का अर्थ है, बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया। प्रतीक इ जो बात मायने रखती है वह प्रमेय का निष्कर्ष है जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

हम प्रत्यक्ष प्रमेय को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करेंगे, तार्किकतरीका। किसी प्रमेय को सिद्ध करने के लिए तार्किक विधि का प्रयोग किया जाता है गणितीय नहींहालत, और तार्किकस्थिति। इसे प्रमेय की गणितीय स्थिति से प्राप्त किया जा सकता है से एचाहिए इ , बिल्कुल विपरीत स्थिति के साथ पूरक से एइसे नहीं करें इ .

परिणाम नए प्रमेय की एक तार्किक विरोधाभासी स्थिति थी, जिसमें दो भाग थे: से एचाहिए इ और से एइसे नहीं करें इ . नए प्रमेय की परिणामी स्थिति बहिष्कृत मध्य के तार्किक नियम से मेल खाती है और विरोधाभास द्वारा प्रमेय के प्रमाण से मेल खाती है।

कानून के अनुसार, विरोधाभासी स्थिति का एक भाग गलत है, दूसरा भाग सत्य है, और तीसरा भाग बाहर रखा गया है। विरोधाभास द्वारा प्रमाण का कार्य और उद्देश्य यह स्थापित करना है कि प्रमेय की स्थिति के दो भागों में से कौन सा भाग गलत है। एक बार जब स्थिति का गलत भाग निर्धारित हो जाता है, तो दूसरे भाग को सही भाग माना जाता है, और तीसरे को बाहर कर दिया जाता है।

के अनुसार व्याख्यात्मक शब्दकोशगणितीय शब्द, "प्रमाण वह तर्क है जिसके दौरान किसी कथन (निर्णय, कथन, प्रमेय) की सत्यता या असत्यता स्थापित की जाती है". सबूत विरोधाभास सेएक तर्क है जिसके दौरान यह स्थापित होता है असत्यता(बेतुकापन) से उत्पन्न निष्कर्ष असत्यसिद्ध करने के लिए प्रमेय की शर्तें।

दिया गया: से एचाहिए इऔर से एइसे नहीं करें इ .

सिद्ध करना: से एचाहिए इ .

सबूत: प्रमेय की तार्किक स्थिति में एक विरोधाभास है जिसके समाधान की आवश्यकता है। स्थिति के विरोधाभास को प्रमाण और उसके परिणाम में अपना समाधान खोजना होगा। दोषरहित एवं त्रुटिरहित तर्क से परिणाम मिथ्या सिद्ध होता है। तार्किक रूप से सही तर्क में गलत निष्कर्ष का कारण केवल एक विरोधाभासी स्थिति हो सकती है: से एचाहिए इ और से एइसे नहीं करें इ .

इसमें कोई संदेह नहीं है कि शर्त का एक हिस्सा गलत है, और इस मामले में दूसरा सच है। स्थिति के दोनों भागों की उत्पत्ति समान है, उन्हें डेटा के रूप में स्वीकार किया जाता है, माना जाता है, समान रूप से संभव है, समान रूप से स्वीकार्य है, आदि। तार्किक तर्क के दौरान, एक भी तार्किक विशेषता की खोज नहीं की गई जो स्थिति के एक भाग को दूसरे से अलग कर सके। . अत: यह उसी सीमा तक हो सकता है से एचाहिए इ और शायद से एइसे नहीं करें इ . कथन से एचाहिए इ शायद असत्य, फिर कथन से एइसे नहीं करें इ सच होगा. कथन से एइसे नहीं करें इ गलत हो सकता है, फिर कथन से एचाहिए इ सच होगा.

परिणामस्वरूप, किसी प्रत्यक्ष प्रमेय को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करना असंभव है।

अब हम सामान्य गणितीय विधि का उपयोग करके इसी प्रत्यक्ष प्रमेय को सिद्ध करेंगे।

दिया गया: ए .

सिद्ध करना: से एचाहिए इ .

सबूत।

1. से एचाहिए बी

2. से बीचाहिए में (पूर्व सिद्ध प्रमेय के अनुसार))।

3. से मेंचाहिए जी (पूर्व सिद्ध प्रमेय के अनुसार)।

4. से जीचाहिए डी (पूर्व सिद्ध प्रमेय के अनुसार)।

5. से डीचाहिए इ (पूर्व सिद्ध प्रमेय के अनुसार)।

परिवर्तनशीलता के नियम के आधार पर, से एचाहिए इ . प्रत्यक्ष प्रमेय को सामान्य विधि से सिद्ध किया जाता है।

मान लीजिए कि सिद्ध प्रत्यक्ष प्रमेय का एक सही व्युत्क्रम प्रमेय है: से इचाहिए ए .

आइए इसे सामान्य रूप से सिद्ध करें गणितीयतरीका। व्युत्क्रम प्रमेय के प्रमाण को गणितीय संक्रियाओं के एल्गोरिदम के रूप में प्रतीकात्मक रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

दिया गया: इ

सिद्ध करना: से इचाहिए ए .

सबूत।

!. से इचाहिए डी

1. से डीचाहिए जी (पहले सिद्ध व्युत्क्रम प्रमेय के अनुसार)।

2. से जीचाहिए में (पहले सिद्ध व्युत्क्रम प्रमेय के अनुसार)।

3. से मेंइसे नहीं करें बी (विपरीत प्रमेय सत्य नहीं है)। इसीलिए से बीइसे नहीं करें ए .

इस स्थिति में, विपरीत प्रमेय के गणितीय प्रमाण को जारी रखने का कोई मतलब नहीं है। स्थिति का कारण तार्किक है. एक गलत व्युत्क्रम प्रमेय को किसी भी चीज़ से प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता है। इसलिए, सामान्य गणितीय विधि का उपयोग करके इस व्युत्क्रम प्रमेय को सिद्ध करना असंभव है। सारी आशा इस व्युत्क्रम प्रमेय को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करने की है।

इसे विरोधाभास द्वारा सिद्ध करने के लिए इसकी गणितीय स्थिति को तार्किक विरोधाभासी स्थिति से बदलना आवश्यक है, जिसके अर्थ में दो भाग होते हैं - असत्य और सत्य।

व्युत्क्रम प्रमेयबताता है: से इइसे नहीं करें ए . उसकी हालत इ , जिससे निष्कर्ष निकलता है ए , सामान्य गणितीय पद्धति का उपयोग करके प्रत्यक्ष प्रमेय को सिद्ध करने का परिणाम है। इस शर्त को संरक्षित किया जाना चाहिए और कथन के साथ पूरक किया जाना चाहिए से इचाहिए ए . जोड़ के परिणामस्वरूप, हमें नए व्युत्क्रम प्रमेय की विरोधाभासी स्थिति प्राप्त होती है: से इचाहिए ए और से इइसे नहीं करें ए . इस पर आधारित तर्क मेंविरोधाभासी स्थिति में, विपरीत प्रमेय को सही के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है तार्किककेवल और केवल तर्क, तार्किकविरोधाभास द्वारा विधि. विरोधाभास द्वारा प्रमाण में, कोई भी गणितीय क्रियाएं और संक्रियाएं तार्किक क्रियाओं के अधीन होती हैं और इसलिए उनकी गणना नहीं की जाती है।

विरोधाभासी बयान के पहले भाग में से इचाहिए ए स्थिति इ प्रत्यक्ष प्रमेय के प्रमाण से सिद्ध हुआ। दूसरे भाग में से इइसे नहीं करें ए स्थिति इ बिना प्रमाण के मान लिया गया और स्वीकार कर लिया गया। उनमें से एक झूठ है, और दूसरा सच है. आपको यह साबित करना होगा कि कौन सा झूठ है।

हम इसे सही साबित करते हैं तार्किकतर्क करें और पता लगाएं कि इसका परिणाम एक गलत, बेतुका निष्कर्ष है। गलत तार्किक निष्कर्ष का कारण प्रमेय की विरोधाभासी तार्किक स्थिति है, जिसमें दो भाग होते हैं - गलत और सत्य। मिथ्या भाग केवल एक कथन हो सकता है से इइसे नहीं करें ए , जिसमें इ बिना प्रमाण के स्वीकार कर लिया गया। यही बात इसे अलग बनाती है इ कथन से इचाहिए ए , जो प्रत्यक्ष प्रमेय के प्रमाण से सिद्ध होता है।

इसलिए, कथन सत्य है: से इचाहिए ए , जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

निष्कर्ष: तार्किक विधि से केवल व्युत्क्रम प्रमेय ही विरोधाभास द्वारा सिद्ध होता है, जिसमें गणितीय विधि से प्रत्यक्ष प्रमेय सिद्ध होता है और जिसे गणितीय विधि से सिद्ध नहीं किया जा सकता।

प्राप्त निष्कर्ष फ़र्मेट के महान प्रमेय के विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि के संबंध में असाधारण महत्व प्राप्त करता है। इसे साबित करने के अधिकांश प्रयास सामान्य गणितीय पद्धति पर नहीं, बल्कि विरोधाभास द्वारा प्रमाण की तार्किक पद्धति पर आधारित हैं। विल्स का फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का प्रमाण कोई अपवाद नहीं है।

दूसरे शब्दों में, गेरहार्ड फ्रे ने फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का सुझाव दिया एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ एन > 2 , का समाधान धनात्मक पूर्णांकों में है। फ्रे की धारणा के अनुसार, ये वही समाधान उसके समीकरण के समाधान हैं
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , जो इसके अण्डाकार वक्र द्वारा दिया गया है।

एंड्रयू विल्स ने फ्रे की इस उल्लेखनीय खोज को स्वीकार किया और इसकी मदद से, गणितीयविधि ने सिद्ध कर दिया कि यह खोज, अर्थात् फ्रे अण्डाकार वक्र, अस्तित्व में नहीं है। इसलिए, ऐसा कोई समीकरण और उसका समाधान नहीं है जो गैर-मौजूद अण्डाकार वक्र द्वारा दिया गया हो, इसलिए, विल्स को इस निष्कर्ष को स्वीकार करना चाहिए कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय और फ़र्मेट के प्रमेय का कोई समीकरण नहीं है। हालाँकि, वह अधिक विनम्र निष्कर्ष को स्वीकार करते हैं कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का सकारात्मक पूर्णांक में कोई समाधान नहीं है।

एक अकाट्य तथ्य यह हो सकता है कि विल्स ने एक ऐसी धारणा अपनाई जो फ़र्मेट के महान प्रमेय द्वारा बताए गए अर्थ के बिल्कुल विपरीत है। यह विल्स को फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करने के लिए बाध्य करता है। आइए हम उनके उदाहरण का अनुसरण करें और देखें कि इस उदाहरण का क्या परिणाम निकलता है।

फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय बताता है कि समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ एन > 2

विरोधाभास द्वारा प्रमाण की तार्किक विधि के अनुसार, इस कथन को बरकरार रखा जाता है, बिना प्रमाण के दिए गए रूप में स्वीकार किया जाता है, और फिर एक विपरीत कथन के साथ पूरक किया जाता है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ एन > 2 , का समाधान धनात्मक पूर्णांकों में है।

बिना प्रमाण के भी अनुमानात्मक कथन को वैसे ही स्वीकार कर लिया जाता है जैसे दिया गया है। तर्क के बुनियादी नियमों की दृष्टि से विचार करने पर दोनों कथन समान रूप से वैध, समान रूप से मान्य और समान रूप से संभव हैं। सही तर्क के माध्यम से, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि कौन सा कथन गलत है ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि दूसरा कथन सत्य है।

सही तर्क का अंत एक गलत, बेतुके निष्कर्ष में होता है, जिसका तार्किक कारण सिद्ध होने वाले प्रमेय की विरोधाभासी स्थिति ही हो सकती है, जिसमें सीधे विपरीत अर्थ के दो भाग होते हैं। वे बेतुके निष्कर्ष के तार्किक कारण थे, विरोधाभास द्वारा प्रमाण का परिणाम थे।

हालाँकि, तार्किक रूप से सही तर्क के दौरान, एक भी संकेत नहीं मिला जिससे यह स्थापित किया जा सके कि कौन सा विशेष कथन गलत है। यह एक कथन हो सकता है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ एन > 2 , का समाधान धनात्मक पूर्णांकों में है। उसी आधार पर, यह निम्नलिखित कथन हो सकता है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ एन > 2 , का धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

तर्क के परिणामस्वरूप, केवल एक ही निष्कर्ष हो सकता है: फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय विरोधाभास से सिद्ध नहीं किया जा सकता.

यह पूरी तरह से अलग बात होगी यदि फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय एक व्युत्क्रम प्रमेय होता, जिसमें सामान्य गणितीय विधि द्वारा सिद्ध प्रत्यक्ष प्रमेय होता। इस मामले में, इसे विरोधाभास द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। और चूँकि यह एक प्रत्यक्ष प्रमेय है, इसलिए इसका प्रमाण विरोधाभास द्वारा प्रमाण की तार्किक विधि पर नहीं, बल्कि सामान्य गणितीय विधि पर आधारित होना चाहिए।

डी. अब्रारोव के अनुसार, आधुनिक रूसी गणितज्ञों में सबसे प्रसिद्ध, शिक्षाविद् वी. आई. अर्नोल्ड ने, विल्स के प्रमाण पर "सक्रिय रूप से संदेहपूर्ण" प्रतिक्रिया व्यक्त की। शिक्षाविद् ने कहा: "यह वास्तविक गणित नहीं है - वास्तविक गणित ज्यामितीय है और इसका भौतिकी के साथ मजबूत संबंध है।" शिक्षाविद का कथन विल्स के फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के गैर-गणितीय प्रमाण के सार को व्यक्त करता है।

विरोधाभास से यह साबित करना असंभव है कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का कोई समाधान नहीं है या इसका समाधान है। विल्स की गलती गणितीय नहीं है, बल्कि तार्किक है - विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग जहां इसके उपयोग का कोई मतलब नहीं है और फ़र्मेट का महान प्रमेय सिद्ध नहीं होता है।

फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को सामान्य प्रयोग से सिद्ध नहीं किया जा सकता गणितीय विधि, यदि इसमें दिया गया: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ एन > 2 , सकारात्मक पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है, और यदि इसमें है सिद्ध करने की जरूरत है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ एन > 2 , का धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है। इस रूप में कोई प्रमेय नहीं है, बल्कि अर्थहीन एक तनातनी है।

विपरीत विधि

अपागॉजी- एक तार्किक तकनीक जो किसी राय की असंगति को इस तरह साबित करती है कि या तो उसमें ही, या उससे आवश्यक रूप से उत्पन्न होने वाले परिणामों में, हमें एक विरोधाभास का पता चलता है।

इसलिए, क्षमाप्रार्थी प्रमाण अप्रत्यक्ष प्रमाण है: यहां नीतिवचन पहले अपनी असंगतता दिखाने के लिए विपरीत स्थिति में जाता है, और फिर, तीसरे के बहिष्करण के कानून के अनुसार, जो सिद्ध करने की आवश्यकता थी उसकी वैधता के बारे में निष्कर्ष निकालता है। इस प्रकार के प्रमाण को निरर्थकता में कमी भी कहा जाता है। इसका आवश्यक घटक यह तर्क है कि तीसरे का अस्तित्व नहीं है, अर्थात, राय के अलावा, जिसकी वैधता सिद्ध होनी चाहिए, और दूसरा, इसके विपरीत, जो प्रमाण के शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य करता है, कोई तीसरा तथ्य नहीं है अनुमति दी है। इसलिए, अप्रत्यक्ष साक्ष्य उस तथ्य से आता है जो उस स्थिति को नकारता है, जिसकी वैधता सिद्ध होनी चाहिए।

उदाहरण

यह सभी देखें

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.

देखें अन्य शब्दकोशों में "विरोधाभास द्वारा विधि" क्या है:

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विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि क्या है?

विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि का सार दो चरणों से बना है। पहला है प्रमाण के अस्तित्व को सिद्ध करना और दूसरा है प्रमाण की विशिष्टता को सिद्ध करना। मैंने इसका वर्णन अनाड़ी ढंग से किया, लेकिन मैं निम्नलिखित कहना चाहता था। इस पद्धति का उपयोग करके प्रमेयों को सिद्ध करते समय, आपको यह दिखाना होगा कि किसी दी गई समस्या या प्रमेय का एक समाधान है, और फिर साबित करें कि यह समाधान अद्वितीय होगा। यह प्रमेयों को सिद्ध करने में उपयोग की जाने वाली एकमात्र विधि नहीं है, बल्कि गणितीय और तार्किक उपकरण के रूप में यह रुचि से रहित नहीं है।

विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि का उपयोग न केवल गणित में किया जाता है, हालाँकि वहाँ इसे काफी कुछ प्राप्त हुआ है व्यापक उपयोगव्यक्तिगत समस्याओं और प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए एक उपकरण के रूप में।

वास्तव में, यह किसी भी कथन को सिद्ध करने की एक तार्किक विधि है जिसे ज्ञान के किसी भी क्षेत्र में लागू किया जा सकता है। यहां तक ​​कि मानविकी में भी और सामाजिक विज्ञान. यह सिर्फ इतना है कि तकनीकी विज्ञान में हम संख्याओं से निपटते हैं, और कई लोग इन प्रतीकों की उपस्थिति से आश्वस्त हैं, लेकिन तर्क की दुनिया में हम उन निष्कर्षों के साथ काम करते हैं जिन्हें कभी भी पूर्ण सत्य नहीं माना जा सकता है।

हमने स्कूल में मिडिल ग्रेड में प्रमाण की इस पद्धति का अध्ययन किया, जब वे किसी ऐसे कथन को आधार बनाते हैं जिसे किसी भी तरह से सिद्ध नहीं किया जा सकता है, इसके बजाय वे बिल्कुल विपरीत कथन लेते हैं और साबित करते हैं कि यह गलत है, इसलिए, जो हम साबित नहीं कर सकते हैं वह है सच है, और यही इस समस्या का एकमात्र सही समाधान है।

जीवन में हम किसी चीज़ के बारे में बात करते हैं, हम इसे साबित नहीं कर सकते हैं, लेकिन हम विपरीत उदाहरण देते हैं और साबित करते हैं कि यह गलत है: छिपने की जगह से पैसा चुराया गया था, वास्या और पेट्या को इसके बारे में पता था, लेकिन पेट्या के पास एक बहाना है - वह चला गया पूरे सप्ताह के लिए दचा में, जिसका अर्थ है, वास्या ने पैसे चुराए।

विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि एक ऐसी विधि है जिसमें एक अप्रमाणित सत्य केवल इसलिए सत्य हो जाता है क्योंकि कुछ और हमेशा गलत होता है - और यही वास्तव में सिद्ध करने योग्य है। तदनुसार, इस पद्धति के परिणामस्वरूप, अप्रत्यक्ष रूप से ही सही, हमने एक अप्रमाणित सत्य साबित कर दिया

यह कानून दोहरे निषेध के नियम पर आधारित है: यदि A सत्य नहीं है, तो A सत्य है।

उदाहरण के लिए, आप क्या सोचते हैं, क्या आपको अल्सर है? आपका डॉक्टर, इस निर्णय का खंडन करने के लिए, आपको उस बात का खंडन करके साबित करता है जिसके बारे में आप निश्चित हैं, अर्थात आपका कथन और कहता है कि आपको अल्सर नहीं है क्योंकि गैस्ट्रोस्कोपी से पता चला है कि पेट की गुहा में कोई क्षति नहीं है, आप ऐसा करते हैं वजन कम नहीं होता और आप जो चाहें सब कुछ खा सकते हैं।

एक मानक तकनीक, उदाहरण के लिए, गणित में। कथन A को सिद्ध करना आवश्यक है और यह कठिन है। फिर वे बिल्कुल विपरीत कथन बी लेते हैं, और साबित करते हैं कि यह गलत है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि A सत्य है। जीवन में भी ऐसा ही है. एक सरल उदाहरण: कोई कहता है: मिस्टर एक्स एक चोर है। उसका विरोधी: लेकिन इसे साबित कैसे करें? पहला: मान लेते हैं कि वह एक ईमानदार व्यक्ति हैं. दूसरा: हाँ, यह मुर्गियों का मज़ाक है! पहला: तो हमने साबित कर दिया है कि एक्स एक चोर है :)))

अव्य. रिडक्टियो एड एब्सर्डम) एक प्रकार का प्रमाण है जिसमें एक निश्चित निर्णय (प्रमाण की थीसिस) की वैधता उस निर्णय के खंडन के माध्यम से की जाती है जो इसका खंडन करता है - प्रतिपक्षी। किसी ज्ञात सत्य प्रस्ताव के साथ इसकी असंगति स्थापित करके प्रतिपक्षी का खंडन प्राप्त किया जाता है। अक्सर विरोधाभास द्वारा प्रमाण दोहरे मूल्य वाले सिद्धांत पर आधारित होता है।

बहुत बढ़िया परिभाषा

अपूर्ण परिभाषा ↓

इसके विपरीत साक्ष्य

"बेतुकेपन को कम करने" (रिडक्टियो एड एब्सर्डम) की विधि द्वारा खंडन करके किसी निर्णय की पुष्टि, कुछ अन्य निर्णय, अर्थात् जो उचित ठहराए जाने का निषेध है (डी. प्रकार के आइटम 1 से) या जो उचित का निषेध है (डी. प्रकार के आइटम 2 से); "बेतुकेपन में कमी" में एक अस्वीकृत प्रस्ताव से एक s.-l निकालना शामिल है। एक स्पष्ट रूप से गलत निष्कर्ष (उदाहरण के लिए, एक औपचारिक तार्किक विरोधाभास), जो इस निर्णय की मिथ्याता को इंगित करता है। खंड से दो प्रकार के डी को अलग करने की आवश्यकता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि उनमें से एक में (अर्थात्, डी में पहले प्रकार के खंड से) निर्णय के दोहरे निषेध से इस की पुष्टि तक एक तार्किक संक्रमण होता है निर्णय (अर्थात दोहरे निषेध को हटाने के लिए तथाकथित नियम, ए से ए में संक्रमण की अनुमति, दोहरा निषेध कानून देखें), जबकि दूसरे में ऐसा कोई संक्रमण नहीं है। प्रकार के आइटम 1 से डी में तर्क का कोर्स: प्रस्ताव ए को साबित करना आवश्यक है; सबूत के प्रयोजन के लिए, हम मानते हैं कि निर्णय ए गलत है, यानी। कि उसका इनकार सच है: ? (नहीं-ए), और, इस धारणा के आधार पर, हम तार्किक रूप से k.-l निकालते हैं। गलत निर्णय, उदा. विरोधाभास, - हम निर्णय ए की "बेतुकापन में कमी" करते हैं; यह हमारी धारणा की मिथ्याता को इंगित करता है, अर्थात दोहरे नकारात्मक की सच्चाई को साबित करता है: ए; ए पर दोहरे निषेध को हटाने के लिए नियम को लागू करने से ए के प्रस्ताव का प्रमाण पूरा हो जाता है। दूसरे प्रकार के आइटम 2 से डी में तर्क का कोर्स: क्या प्रस्ताव को साबित करना आवश्यक है?; प्रमाण के प्रयोजन के लिए, हम मानते हैं कि निर्णय ए सत्य है और इस धारणा को बेतुकेपन में बदल देते हैं; इस आधार पर हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि A गलत है, अर्थात क्या सच है? पी से दो प्रकार के तर्क के बीच अंतर करना महत्वपूर्ण है क्योंकि तथाकथित अंतर्ज्ञानवादी (रचनात्मक) तर्क में दोहरे निषेध को हटाने का कानून नहीं होता है, जिसके परिणामस्वरूप पी से तर्क अनिवार्य रूप से इसके अनुप्रयोग से संबंधित होते हैं तार्किक कानून की अनुमति नहीं है. परिस्थितिजन्य साक्ष्य भी देखें। लिट.:टार्स्की?, निगमनात्मक विज्ञान के तर्क और कार्यप्रणाली का परिचय, ट्रांस। अंग्रेजी से, एम., 1948; असमस वी.एफ., प्रमाण और खंडन के बारे में तर्क का सिद्धांत, [एम.], 1954; क्लेन एस.के., मेटामैथेमेटिक्स का परिचय, ट्रांस। अंग्रेजी से, एम., 1957; चर्च?., गणित का परिचय. तर्क, ट्रांस. अंग्रेजी से, [वॉल्यूम] 1, एम., 1960।

विरोधाभास द्वारा प्रमाण गणित में एक शक्तिशाली और अक्सर उपयोग की जाने वाली विधि है। यह मान लेने पर कि कोई तथ्य (वस्तु) सत्य है (अस्तित्व में है), और विरोधाभास पर आने पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि तथ्य गलत है (वस्तु अस्तित्व में नहीं है)। आइए कुछ उदाहरण देखें.

यूक्लिड का प्रमेयअनंत के बारे में प्रमुख संख्याविरोधाभास द्वारा क्लासिक और सरलतम तर्क है:

कोई सबसे बड़ी अभाज्य संख्या नहीं है.

: ऐसा न हो और सबसे बड़ी अभाज्य संख्या मौजूद हो। आइए एक संख्या बनाएं. यह किसी भी या उससे अधिक से विभाज्य नहीं है। हम एक विरोधाभास पर पहुंच गए हैं, इसलिए, सबसे बड़ी अभाज्य संख्या (एक वस्तु के रूप में!) मौजूद नहीं है और अनंत रूप से कई अभाज्य संख्याएं हैं।

ध्यान दें कि यह आवश्यक रूप से अभाज्य नहीं है, क्योंकि इसका अभाज्य गुणनखंड और के बीच हो सकता है, लेकिन फिर भी बड़ा होगा।

अतार्किकता प्रमेय

कोई भी प्राकृतिक और ऐसा नहीं है .

: ऐसा न हो. आइए, के सामान्य गुणनखंडों को कम करें और हर चीज़ का वर्ग करें:। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यह एक सम संख्या है, इसलिए यह भी सम है और किसी प्राकृतिक संख्या, जैसे . का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है। मूल संबंध में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं, और, इसलिए, सम। लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि हमने सभी सामान्य कारकों को कम कर दिया है, जिसका अर्थ है कि ऐसे कारक मौजूद नहीं हैं।

दोनों साक्ष्यों की मनोवैज्ञानिक प्रेरकता संदेह से परे है। हालाँकि, यह याद रखना चाहिए कि विरोधाभास प्राप्त होने पर, हम हमेशा उसे साबित नहीं करते हैं हम चाहते हैंसिद्ध करना। विरोधाभास आवश्यक रूप से यह संकेत नहीं देता कि मूल आधार ग़लत है। इसे प्रमाण में प्रयुक्त किसी भी कथन द्वारा दिया जा सकता है। अतार्किकता प्रमेय में उनमें से विशेष रूप से बहुत सारे हैं। हालाँकि, वे इतने "स्पष्ट" हैं कि हम प्रारंभिक आधार को ग़लत मानते हैं।

यह देखा जा सकता है कि उपरोक्त प्रमेयों के लिए प्रमाण योजना समान है। हम दिखाते हैं कि कोई वस्तु अस्तित्व में नहीं है यदि उसके अस्तित्व की धारणा विरोधाभास की ओर ले जाती है।

नाई की समस्या. एक निश्चित गाँव में, सभी पुरुष या तो स्वयं दाढ़ी बनाते हैं या नाई को बुलाते हैं। एक नाई (पुरुष) उन्हीं की हजामत बनाता है जो खुद हजामत नहीं बनाते। आइए हम प्रमेय तैयार करें:

नाई स्वयं दाढ़ी बनाता है।

ऐसा न हो और नाई स्वयं दाढ़ी न बनाये। फिर नाई से उसकी हजामत करानी चाहिए। तो नाई खुद ही शेव कर लेता है.

प्रमेय का खंडन करने और विरोधाभास प्राप्त करने के बाद, हमें इस निष्कर्ष पर पहुंचना चाहिए कि प्रमेय सत्य है। लेकिन यह बिल्कुल स्पष्ट है कि ऐसा नहीं है, और हम न केवल विपरीत प्रमाण बना सकते हैं, बल्कि प्रत्यक्ष प्रमाण भी बना सकते हैं: "यदि कोई नाई स्वयं दाढ़ी बनाता है, तो वह नाई के यहां दाढ़ी नहीं बना सकता..."। ऐसे में एक बार फिर विरोधाभास पैदा हो गया है.

सख्त नियमों वाले गाँव का उपरोक्त विवरण बर्ट्रेंड रसेल की देन है, जो कोशिश करने में आने वाली समस्याओं का एक लोकप्रिय सूत्रीकरण है। परिभाषित करना"उन सभी समुच्चयों का समुच्चय जिनमें स्वयं को उनके तत्व के रूप में शामिल नहीं किया गया है।" हमने एक साधारण तथ्य को प्रदर्शित करने के लिए जानबूझकर एक प्रमेय के रूप में एक स्पष्ट विरोधाभास प्रस्तुत किया:

विरोधाभास द्वारा किसी प्रमाण में विरोधाभास प्राप्त करना प्रमेय की सत्यता का नहीं, बल्कि इसके निर्माण में भाग लेने वाली वस्तुओं की असंगति का संकेत हो सकता है।

दूसरे शब्दों में, आप यह नहीं कह सकते: "आइए सभी सेटों का सेट लें..." और "प्रमेय को सिद्ध करें..." सबसे पहले, आपको यह सुनिश्चित करने की ज़रूरत है कि प्रमेय में जिस वस्तु पर चर्चा की जाएगी वह मौजूद है। विशेष रूप से, रसेल द्वारा वर्णित गाँव अस्तित्व में नहीं हो सकता। बेशक, सवाल उठता है - "अस्तित्व में होने या न होने का क्या मतलब है, और कहाँ अस्तित्व में नहीं है?" ऊपर परिभाषित एक वस्तु है, और हम इसका उपयोग नई वस्तुओं और उनके बारे में प्रमेय बनाते समय कर सकते हैं...

मुद्दा यह है कि गणितीय तर्क स्पष्ट रूप से या परोक्ष रूप से कुछ सिद्धांतों से आगे बढ़ता है। यह स्वयंसिद्ध बातें हैं जो किसी वस्तु के गुणों को परिभाषित करती हैं। यदि आप स्वयंसिद्धों की एक निश्चित प्रणाली में कम से कम एक स्वयंसिद्ध को बदलते हैं, तो आप पूरी तरह से अलग गुणों वाली एक वस्तु के साथ समाप्त हो सकते हैं। यह स्पष्ट है कि स्वयंसिद्धों को मनमाने ढंग से निर्धारित करना असंभव है। उन्हें नहीं होना चाहिए असंगत, अन्यथा कोई वस्तु परिभाषित नहीं की जाएगी। या, दूसरे शब्दों में, विरोधाभासी सिद्धांतों द्वारा परिभाषित कोई वस्तु अस्तित्व में नहीं है।

हम अगले भाग में औपचारिक स्वयंसिद्ध प्रणालियों के तत्वों पर अधिक विस्तार से चर्चा करेंगे, जहां हम फिर से नाई की समस्या का विश्लेषण करेंगे। आइए अब उसी विरोधाभास के दूसरे संस्करण पर नजर डालें।

लाइब्रेरियन की समस्या. पुस्तकों से युक्त एक पुस्तकालय है। कोई भी पुस्तक अपने पाठ में स्वयं का उल्लेख कर सकती है (उदाहरण के लिए, संदर्भों की सूची में अपना शीर्षक दें)। तदनुसार, सभी पुस्तकों को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है। पहले में वे पुस्तकें शामिल हैं जो स्वयं को संदर्भित नहीं करती हैं, और दूसरे में वे पुस्तकें शामिल हैं जो स्वयं को संदर्भित करती हैं। इसके अलावा, दो पुस्तकें हैं जो पुस्तकालय की सभी पुस्तकों की सूची हैं। पहली सूची उन सभी पुस्तकों को सूचीबद्ध करती है जो स्वयं को संदर्भित नहीं करती हैं, और दूसरी, इसके विपरीत, उन सभी पुस्तकों को सूचीबद्ध करती है जो स्वयं को संदर्भित करती हैं:

आइए अब प्रमेय तैयार करें:

पहली निर्देशिका में शामिल है

पुस्तक सूची में ही.

ऐसा न हो. फिर पहली निर्देशिका दूसरी में समाहित होती है (सभी पुस्तकें दोनों निर्देशिकाओं में सूचीबद्ध होती हैं और निर्देशिका एक पुस्तक होती है)। लेकिन दूसरी निर्देशिका केवल स्व-संदर्भित पुस्तकों को सूचीबद्ध करती है, और पहली निर्देशिका वहां नहीं हो सकती। हम एक विरोधाभास पर पहुंच गए हैं, इसलिए प्रमेय सत्य है।

यदि हम इस स्तर पर रुक गए तो हमें जानबूझकर गलत निष्कर्ष मिलेगा। यह स्पष्ट है कि पहली निर्देशिका स्वयं को संदर्भित नहीं कर सकती (यह गैर-स्व-संदर्भित पुस्तकों की निर्देशिका है)। जैसा कि नाई के मामले में होता है, हम उल्टा प्रमाण (विरोधाभास द्वारा) और प्रत्यक्ष दोनों तरह से कर सकते हैं। और दोनों ही बार तुम्हें विरोधाभास मिलता है।

यह क्या कहता है? यह स्पष्ट है कि यह प्रमेय की सत्यता या असत्यता के बारे में नहीं है। यह मानते हुए कि दो अलग-अलग प्रमाण हमेशा एक ही बात की ओर ले जाते हैं, हमें यह निष्कर्ष निकालने के लिए मजबूर होना पड़ता है: पुस्तकालय वस्तु, निर्दिष्ट गुणों के साथ, अस्तित्व में नहीं रह सकता.

मूल परिभाषाओं की "स्वाभाविकता" या "स्पष्ट गैर-विरोधाभास" का कोई भी संदर्भ गणितज्ञ के योग्य नहीं है, क्योंकि ये पहले से ही भावनाएं हैं। एकमात्र तरीका मनोवैज्ञानिक फॉर्मूलेशन और साक्ष्य से दूर औपचारिक फॉर्मूलेशन की ओर जाने का प्रयास करना है।

झूठा विरोधाभास. सभी गणित में तार्किक कथन शामिल होते हैं। इसके अलावा, गणित का तर्क द्विआधारी है। कथन "" या तो सत्य है या असत्य। कोई तीसरा नहीं है. यह द्विअर्थीता ही उस अद्भुत अनुनय का गणितीय प्रमाण देती है जिसके लिए सब कुछ शुरू किया गया था। आइए हम इस पदनाम का परिचय दें कि एक निश्चित तार्किक कथन सत्य है:

.

वास्तव में, पदनाम अनावश्यक है, क्योंकि किसी कथन को स्वयंसिद्ध या आधार के रूप में लिखकर, हम उसकी सत्यता मान लेते हैं। हालाँकि, यह संकेतन निम्नलिखित के लिए सुविधाजनक होगा। आइए परिभाषित करेंकह रहा:

जहां "" एक तार्किक निषेध चिह्न है, और उसके बाद कोलन आता है परिभाषाअनुमोदन यह झूठे व्यक्ति के विरोधाभास का एक प्रकार है: "यदि सत्य नहीं है तो भी सत्य है।" आइए हम निम्नलिखित प्रमेय तैयार करें:

कथन L सत्य है: L=I.

मान लीजिए L=L => सत्य(L)=L => L=सत्य(L)=I.

(इसके बाद "" का अर्थ तार्किक निष्कर्ष है; "आई" - सत्य, "एल" - गलत)। विरोधाभास द्वारा प्रमाण में, हम एक विरोधाभास पर पहुँच गए हैं। इसलिए, प्रारंभिक आधार सत्य नहीं है और इसलिए, प्रमेय सत्य है। हालाँकि, यह स्पष्ट है कि ऐसा नहीं है। हम प्रमाण को आगे की दिशा में ले जा सकते हैं।