पाठ का उद्देश्य:क्षेत्रों की संपत्ति सिद्ध करें समरूप त्रिभुजऔर समस्याओं के समाधान में इसके व्यावहारिक महत्व को दर्शाएँगे।
पाठ मकसद:
शिक्षण - समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों की संपत्ति को सिद्ध करना और समस्याओं को हल करने में इसका व्यावहारिक महत्व दिखाना;
विकसित करना - किसी समस्या को हल करते समय तर्कों का विश्लेषण और चयन करने की क्षमता विकसित करना, जिसे हल करने की विधि अज्ञात है;
शैक्षिक - सामग्री के माध्यम से विषय में रुचि पैदा करना शैक्षिक प्रक्रियाऔर सफलता की स्थिति बनाना, समूह में काम करने की क्षमता विकसित करना।
छात्र को निम्नलिखित ज्ञान है:
गतिविधि सामग्री की इकाई जिसे छात्रों को सीखने की आवश्यकता है:
कक्षाओं के दौरान.
1. संगठनात्मक क्षण.
2. ज्ञान को अद्यतन करना।
3. समस्याग्रस्त स्थिति के साथ कार्य करना।
4. पाठ सारांश और रिकॉर्डिंग गृहकार्य, प्रतिबिंब।
शिक्षण विधियाँ: मौखिक, दृश्य, समस्या-खोज।
प्रशिक्षण के रूप: फ्रंटल कार्य, मिनी-समूहों में कार्य, व्यक्तिगत और स्वतंत्र कार्य।
प्रौद्योगिकियाँ: कार्य-उन्मुख, सूचान प्रौद्योगिकी, योग्यता-आधारित दृष्टिकोण।
उपकरण:
प्रस्तुतियों को प्रदर्शित करने के लिए कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, इंटरैक्टिव बोर्ड, दस्तावेज़ कैमरा;
Microsoft PowerPoint में कंप्यूटर प्रस्तुति;
सहायक सारांश;
कक्षाओं के दौरान
1. संगठनात्मक क्षण.
आज पाठ में हम नोटबुक में नहीं, बल्कि संदर्भ नोट्स में काम करेंगे, जिसे आप पूरे पाठ की निरंतरता के लिए भरेंगे। इस पर हस्ताक्षर करें। पाठ के ग्रेड में दो घटक शामिल होंगे: सहायक नोट्स के लिए और पाठ में सक्रिय कार्य के लिए।
2. विद्यार्थियों के ज्ञान को अद्यतन करना। पाठ के मुख्य चरण में सक्रिय शैक्षिक और संज्ञानात्मक गतिविधि की तैयारी।
हम "त्रिकोणों की समानता" विषय का अध्ययन करना जारी रखते हैं। तो आइए याद करें कि हमने पिछले पाठ में क्या पढ़ा था।
सैद्धांतिक वार्म-अप. परीक्षा। आपके संदर्भ नोट्स में, पहला कार्य परीक्षण प्रकृति का है। प्रस्तावित उत्तर विकल्पों में से किसी एक को चुनकर प्रश्नों का उत्तर दें और जहां आवश्यक हो अपना उत्तर दर्ज करें।
अध्यापक: दो खण्डों के अनुपात को क्या कहते हैं?
उत्तर: दो खंडों के दो खंडों का अनुपात उनकी लंबाई का अनुपात है।
अध्यापक: किस मामले में खंड हैंअबऔर सीडीखंडों के आनुपातिकए 1 बी 1 और सी 1 डी 1
उत्तर: खंड अबऔर सीडीखंडों के आनुपातिकए 1 बी 1 और सी 1 डी 1 यदि
आपके विकल्प. अच्छा। जिस किसी की भी गलती हो उसे सुधारना न भूलें।
अध्यापक: समरूप त्रिभुजों को परिभाषित करें? अपने संदर्भ नोट का संदर्भ लें. इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपके पास तीन विकल्प हैं। सही को चुनें. इस पर घेरा लगाओ।
तो कृपया, आपने कौन सा विकल्प चुना_______
उत्तर: दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि उनके कोण क्रमशः बराबर हों और एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती हों।
बहुत अच्छा! जिस किसी की भी गलती हो उसे सुधारें।
अध्यापक: दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है जिनके कोण समान हैं?
उत्तर: यदि एक त्रिभुज का कोण दूसरे त्रिभुज के कोण के बराबर है, तो इन त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान कोणों को घेरने वाली भुजाओं के गुणनफल के रूप में संबंधित होते हैं।
तैयार चित्रों का उपयोग करके समस्याओं का समाधान करना।इसके बाद, तैयार चित्रों का उपयोग करके समस्याओं को हल करते समय हमारा वार्म-अप होगा। आप इन कार्यों को अपने संदर्भ नोट्स में भी देख सकते हैं।
प्रतिबिंब। आइए स्पष्ट करें कि किस ज्ञान और कौशल ने हमें इन समस्याओं को हल करने की अनुमति दी। हमने किन समाधान विधियों का उपयोग किया (बोर्ड पर उत्तर रिकॉर्ड करते हुए)।
संभावित उत्तर:
समरूप त्रिभुजों का निर्धारण;
समस्याओं को सुलझाने में समरूप त्रिभुजों की परिभाषा का अनुप्रयोग;
समान कोण वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात पर प्रमेय;
और अब मैं कई समस्याओं का समाधान प्रस्तावित करता हूं, जिनमें पाठ के विषय के साथ कुछ समानताएं हैं, लेकिन वे भूगोल से अधिक संबंधित हैं।
सफलता की स्थिति.
पहला काम आपके सामने है. हम स्वयं इस समस्या पर काम कर रहे हैं। इसे हल करने वाला पहला व्यक्ति बोर्ड पर अपना समाधान दिखाएगा, और कोई अन्य व्यक्ति दस्तावेज़ कैमरे के माध्यम से अपना समाधान प्रदर्शित करेगा, इसलिए हम सुंदर और सटीक लिखते हैं।
उत्तर: बरमूडा त्रिभुज की भुजाएँ 2000 किमी, 1840 किमी, 2220 किमी हैं। सीमा की लंबाई 6060 किमी है।
प्रतिबिंब।
संभावित उत्तर: समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
सफलता की स्थिति.
आयामों के साथ बरमूडा त्रिभुजहमने इसका पता लगा लिया। खैर, अब आइए फूलों की क्यारी का माप पता करें। इसे पलट देना सहायक नोट्स. दूसरा कार्य. हम जोड़ियों में काम करके इस समस्या का समाधान करते हैं। हम इसी तरह से जांच करते हैं, लेकिन परिणाम केवल कार्य पूरा करने वाले पहले जोड़े द्वारा प्रस्तुत किया जाएगा।
उत्तर: एक त्रिकोणीय फूलों की क्यारी की भुजाएँ 10 मी और 11 मी 20 सेमी हैं।
तो, आइए इसकी जाँच करें। क्या हर कोई सहमत है? किसने अलग तरीके से निर्णय लिया?
प्रतिबिंब।
इस समस्या को हल करने के लिए आपने किस पद्धति का उपयोग किया? इसे अपने संदर्भ नोट में लिखें.
संभावित उत्तर:
समरूप त्रिभुजों के संगत कोण समान होते हैं;
समान कोण वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान कोण वाली भुजाओं का गुणनफल होता है।
असफलता की स्थिति.
5. नई सामग्री का अध्ययन.
तीसरी समस्या को हल करते समय छात्रों को एक समस्या का सामना करना पड़ता है। वे समस्या का समाधान करने में असमर्थ हैं क्योंकि, उनकी राय में, यह पर्याप्त नहीं है पूर्ण स्थितिकार्य या अनुचित उत्तर प्राप्त करें।
विद्यार्थियों को पहले इस प्रकार की समस्या का सामना नहीं करना पड़ा था, इसलिए समस्या का समाधान करने में असफलता मिली।
प्रतिबिंब।
आपने किस विधि से हल करने का प्रयास किया?
आप अंतिम समीकरण को हल क्यों नहीं कर सके?
छात्र: यदि केवल समरूप त्रिभुज का क्षेत्रफल और समानता का गुणांक ज्ञात हो तो हम त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात नहीं कर सकते।
इस प्रकार, हमारे पाठ का उद्देश्य यदि केवल समरूप त्रिभुज का क्षेत्रफल और समरूपता का गुणांक ज्ञात हो तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
आइए समस्या को ज्यामितीय भाषा में पुन: प्रस्तुत करें। आइए इसे हल करें और फिर इस समस्या पर वापस आएं।
निष्कर्ष: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात समरूपता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है।
खैर, अब समस्या संख्या 3 पर लौटते हैं और इसे एक सिद्ध तथ्य के आधार पर हल करते हैं।
7. पाठ सारांश
आज आपने कौन सी नई चीज़ें करना सीखा?
उन समस्याओं को हल करें जिनमें समरूप त्रिभुजों में से किसी एक का समरूपता गुणांक और क्षेत्रफल ज्ञात हो।
इसमें किस ज्यामितीय गुण ने हमारी सहायता की?
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात समरूपता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है।
गृहकार्य।
पी. 58 पी. 139 नंबर 546, 548
रचनात्मक कार्य.
ज्ञात कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों (संख्या 547) के परिमापों का अनुपात क्या है
अलविदा।
अध्याय आठवीं.
आकारों की आनुपातिकता. आकृतियों की समानता.
§ 92. समान आकृतियों के क्षेत्रफल का अनुपात.
1. वर्गों के क्षेत्रफलों का अनुपात.
दो वर्गों के क्षेत्रफलों के अनुपात पर विचार करें। यदि हम एक वर्ग की भुजा को इससे निरूपित करें टी, और दूसरी तरफ - के माध्यम से पी, तो क्षेत्रफल क्रमशः बराबर होंगे
टी 2 और पी 2 (चित्र 379)।
पहले वर्ग के क्षेत्रफल को S से और दूसरे के क्षेत्रफल को S" से निरूपित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: S/S" = एम 2 / एन 2, अर्थात् वर्गों का क्षेत्रफल उनकी भुजाओं के वर्गों से संबंधित होता है।
परिणामी सूत्र को निम्नानुसार रूपांतरित किया जा सकता है: S/S" = ( एम / एन) 2 .
इसका मतलब यह है कि हम कह सकते हैं कि दो वर्गों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
चित्र 379 में, वर्गों की भुजाओं का अनुपात 3 है, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है
3 2 = 9.
2. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात।
होने देना /\
एबीसी /\
ए"बी"सी" (चित्र 380)। त्रिभुजों की समानता से यह इस प्रकार है
/
ए= /
ए" /
बी= /
बैंड /
सी= /
सी"। इसके अलावा, एबी / ए"बी" = बीसी / बी"सी" = एसी / ए"सी"।
इन त्रिभुजों में, शीर्ष B और B" से हम ऊँचाईयाँ खींचते हैं और उन्हें इससे निरूपित करते हैं एचऔर एच". पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल AC के बराबर होगा एच/2, और दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल A"C" है एच" / 2 .
पहले त्रिभुज के क्षेत्रफल को S से और दूसरे के क्षेत्रफल को S" से निरूपित करने पर हमें मिलता है: S/S" = AC एच/एसी" एच"या एस/एस" = एसी/ए"सी" एच / एच"
त्रिभुज ABO और A"B"O" की समानता से (वे समान हैं क्योंकि वे आयताकार हैं, और, इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक का एक समान तीव्र कोण है, अर्थात् /
ए= /
ए") इस प्रकार है:
एच / एच"= एबी/ए"बी"। लेकिन एबी/ए"बी" = एसी/ए"सी"। इस तरह, एच / एच"= एसी/ए"सी"। सूत्र S/S" = AC/A"C" में प्रतिस्थापित करना एच / एच"नज़रिया एच / एच"एसी/ए"सी" के अनुपात से इसके बराबर, हमें मिलता है:
एस/एस" = एसी/ए"सी" एसी/ए"सी", या।
इसलिए, समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान भुजाओं के वर्गों के रूप में संबंधित होते हैं .
परिणामी सूत्र को निम्नानुसार रूपांतरित किया जा सकता है: एस / एस" = (एसी / ए"सी") 2।
इसका अर्थ यह है कि हम कह सकते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी समरूप भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
3. समान बहुभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात।
माना कि ABCDE और A"B"C"D"E" समान बहुभुज हैं (चित्र 381)।
ह ज्ञात है कि /\
एबीसी /\
ए"बी"सी"; /\
एसीडी /\
ए"सी"डी" और /\
एडीई /\
ए"डी"ई" (§90)।
अलावा,
;
चूँकि इन अनुपातों का दूसरा अनुपात बराबर है, जो बहुभुजों की समानता से उत्पन्न होता है
समान अनुपातों की श्रृंखला के गुण का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:
या 
जहां S और S" इन समान बहुभुजों के क्षेत्र हैं।
इस तरह, समान बहुभुजों के क्षेत्रफल समान भुजाओं वाले वर्गों के रूप में संबंधित होते हैं।
परिणामी सूत्र को इस रूप में बदला जा सकता है: S/S" = (AB/A"B") 2
व्यायाम.
1. पहले वर्ग की भुजा दूसरे वर्ग की भुजा से 2 गुना (5 गुना) बड़ी है। पहले वर्ग का क्षेत्रफल दूसरे वर्ग के क्षेत्रफल से कितना गुना अधिक है?
2. पहले वर्ग की भुजा दूसरे वर्ग की भुजा का 1/3 (0.1) है। पहले वर्ग के क्षेत्रफल का कितना भाग दूसरे वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है?
3. समान बहुभुजों में समानता गुणांक 4 (1 / 5; 0.4; 2.5) है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है?
4. समरूप बहुभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 36 (100; 0.09) है। इन बहुभुजों की समान भुजाओं का अनुपात क्या है?
अध्यापक: ।
पाठ का प्रकार:नई सामग्री प्रस्तुत करने का पाठ।
पाठ का उद्देश्य:समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के गुणधर्म को सिद्ध करें और समस्याओं को हल करने में इसका व्यावहारिक महत्व दर्शाएँ।
पाठ मकसद:
- शिक्षण - समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों की संपत्ति को सिद्ध करना और समस्याओं को हल करने में इसका व्यावहारिक महत्व दिखाना; विकसित करना - किसी समस्या को हल करते समय तर्कों का विश्लेषण और चयन करने की क्षमता विकसित करना, जिसे हल करने की विधि अज्ञात है; शैक्षिक - शैक्षिक प्रक्रिया की सामग्री के माध्यम से विषय में रुचि पैदा करना और सफलता की स्थिति बनाना, समूह में काम करने की क्षमता पैदा करना।
छात्र को निम्नलिखित ज्ञान है:
1. समरूप त्रिभुजों की परिभाषा;
2. समस्याओं को सुलझाने में समरूप त्रिभुजों की परिभाषा का अनुप्रयोग;
3. समान कोण वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात पर प्रमेय;
गतिविधि सामग्री की इकाई जिसे छात्रों को सीखने की आवश्यकता है:
कक्षाओं के दौरान.
1. संगठनात्मक क्षण.
2. ज्ञान को अद्यतन करना।
3. समस्याग्रस्त स्थिति के साथ कार्य करना।
4. पाठ का सारांश और होमवर्क रिकॉर्ड करना, चिंतन।
शिक्षण विधियों:मौखिक, दृश्य, समस्या-खोज।
प्रशिक्षण के रूप:फ्रंटल कार्य, मिनी-समूहों में कार्य, व्यक्तिगत और स्वतंत्र कार्य।
प्रौद्योगिकी:कार्य-उन्मुख, सूचना प्रौद्योगिकी, योग्यता-आधारित दृष्टिकोण।
उपकरण:
- प्रस्तुतियों को प्रदर्शित करने के लिए कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड, दस्तावेज़ कैमरा; Microsoft PowerPoint में कंप्यूटर प्रस्तुति; सहायक सारांश;
कक्षाओं के दौरान
1. संगठनात्मक क्षण.
हैलो दोस्तों! बैठ जाओ। आज हमारे पास एक असामान्य पाठ है. हमारे पाठ में मेहमान हैं। कृपया पीछे मुड़ें और सिर हिलाकर उनका स्वागत करें। धन्यवाद दोस्तों। बैठ जाओ।
आज पाठ में हम नोटबुक में नहीं, बल्कि संदर्भ नोट्स में काम करेंगे, जिसे आप पूरे पाठ की निरंतरता के लिए भरेंगे। इस पर हस्ताक्षर करें। पाठ के ग्रेड में दो घटक शामिल होंगे: सहायक नोट्स के लिए और पाठ में सक्रिय कार्य के लिए।
2. विद्यार्थियों के ज्ञान को अद्यतन करना। पाठ के मुख्य चरण में सक्रिय शैक्षिक और संज्ञानात्मक गतिविधि की तैयारी।
हम "त्रिकोणों की समानता" विषय का अध्ययन करना जारी रखते हैं। तो आइए याद करें कि हमने पिछले पाठ में क्या पढ़ा था।
सैद्धांतिक वार्म-अप. परीक्षा।आपके संदर्भ नोट्स में, पहला कार्य परीक्षण प्रकृति का है। प्रस्तावित उत्तर विकल्पों में से किसी एक को चुनकर प्रश्नों का उत्तर दें और जहां आवश्यक हो अपना उत्तर दर्ज करें।
1) अध्यापक:दो खण्डों के अनुपात को क्या कहते हैं?
उत्तर: दो खंडों के दो खंडों का अनुपात उनकी लंबाई का अनुपात है।
2) अध्यापक:किस मामले में खंड हैंअब औरसीडीखंडों के आनुपातिकए1 बी1 औरसी1 डी1
उत्तर: खंडअब औरसीडीखंडों के आनुपातिकए1 बी1 औरसी1 डी1 , अगर
आपके विकल्प. अच्छा। जिस किसी की भी गलती हो उसे सुधारना न भूलें।
3) अध्यापक:समरूप त्रिभुजों को परिभाषित करें? अपने संदर्भ नोट का संदर्भ लें. इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपके पास तीन विकल्प हैं। सही को चुनें. इस पर घेरा लगाओ।
तो कृपया, आपने कौन सा विकल्प चुना_______
उत्तर: दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि उनके कोण क्रमशः बराबर हों और एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती हों।
बहुत अच्छा! जिस किसी की भी गलती हो उसे सुधारें।
4) अध्यापक:दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है जिनके कोण समान हैं?
उत्तर: यदि एक त्रिभुज का कोण दूसरे त्रिभुज के कोण के बराबर है, तो इन त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान कोणों को घेरने वाली भुजाओं के गुणनफल के रूप में संबंधित होते हैं।
तैयार चित्रों का उपयोग करके समस्याओं का समाधान करना। इसके बाद, तैयार चित्रों का उपयोग करके समस्याओं को हल करते समय हमारा वार्म-अप होगा। आप इन कार्यों को अपने संदर्भ नोट्स में भी देख सकते हैं।
https://pandia.ru/text/80/368/images/image005_101.gif" width=”480” ऊंचाई=”360”>
उत्तर: बरमूडा त्रिभुज की भुजाएँ 2000 किमी, 1840 किमी, 2220 किमी हैं। सीमा की लंबाई 6060 किमी है।
प्रतिबिंब।
संभावित उत्तर:समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
2. सफलता की स्थिति.
हमने बरमूडा त्रिभुज के आयामों का पता लगाया। खैर, अब आइए फूलों की क्यारी का माप पता करें। हम सहायक नोट्स को पलट देते हैं। दूसरा कार्य. हम जोड़ियों में काम करके इस समस्या का समाधान करते हैं। हम इसी तरह से जांच करते हैं, लेकिन परिणाम केवल कार्य पूरा करने वाले पहले जोड़े द्वारा प्रस्तुत किया जाएगा।
उत्तर: एक त्रिकोणीय फूलों की क्यारी की भुजाएँ 10 मी और 11 मी 20 सेमी हैं।
तो, आइए इसकी जाँच करें। क्या हर कोई सहमत है? किसने अलग तरीके से निर्णय लिया?
प्रतिबिंब।
इस समस्या को हल करने के लिए आपने किस पद्धति का उपयोग किया? इसे अपने संदर्भ नोट में लिखें.
संभावित उत्तर:
· समरूप त्रिभुजों के संगत कोण समान होते हैं;
· समान कोण वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान कोण वाली भुजाओं का गुणनफल होता है।
3. असफलता की स्थिति.
5. नई सामग्री का अध्ययन.
तीसरी समस्या को हल करते समय छात्रों को एक समस्या का सामना करना पड़ता है। वे समस्या को हल करने में असमर्थ हैं क्योंकि, उनकी राय में, समस्या की स्थितियाँ पर्याप्त रूप से पूर्ण नहीं हैं या उन्हें निराधार उत्तर मिलता है।
विद्यार्थियों को पहले इस प्रकार की समस्या का सामना नहीं करना पड़ा था, इसलिए समस्या का समाधान करने में असफलता मिली।
प्रतिबिंब।
आपने किस विधि से हल करने का प्रयास किया?
आप अंतिम समीकरण को हल क्यों नहीं कर सके?
छात्र: हम किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात नहीं कर सकते यदि केवल समरूप त्रिभुज का क्षेत्रफल और समानता का गुणांक ज्ञात हो।
इस प्रकार, हमारे पाठ का उद्देश्ययदि केवल समरूप त्रिभुज का क्षेत्रफल और समरूपता का गुणांक ज्ञात हो तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
आइए समस्या को ज्यामितीय भाषा में पुन: प्रस्तुत करें। आइए इसे हल करें और फिर इस समस्या पर वापस आएं।
निष्कर्ष: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात समरूपता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है।
खैर, अब समस्या संख्या 3 पर लौटते हैं और इसे एक सिद्ध तथ्य के आधार पर हल करते हैं।
7. पाठ सारांश
आज आपने कौन सी नई चीज़ें करना सीखा?
उन समस्याओं को हल करें जिनमें समरूप त्रिभुजों में से किसी एक का समरूपता गुणांक और क्षेत्रफल ज्ञात हो।
इसमें किस ज्यामितीय गुण ने हमारी सहायता की?
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात समरूपता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है।
गृहकार्य।
पी. 58 पी. 139 नंबर 000, 548
रचनात्मक कार्य.
ज्ञात कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों (संख्या 000) के परिमापों का अनुपात क्या है
आनुपातिक खंड
समानता की अवधारणा को पेश करने के लिए, हमें सबसे पहले आनुपातिक खंडों की अवधारणा को याद करना होगा। आइए हम दो खंडों के अनुपात की परिभाषा को भी याद करें।
परिभाषा 1
दो खंडों का अनुपात उनकी लंबाई का अनुपात है।
खंडों की आनुपातिकता की अवधारणा भी लागू होती है अधिकखंड. मान लीजिए, उदाहरण के लिए, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, फिर
अर्थात्, खंड $AB$, $A_1B_1$, $\A_2B_2$ खंड $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$ के समानुपाती हैं।
समरूप त्रिभुज
आइए सबसे पहले यह याद रखें कि समानता की अवधारणा आम तौर पर क्या दर्शाती है।
परिभाषा 3
आकृतियाँ समान कहलाती हैं यदि उनका आकार समान हो लेकिन आकार अलग-अलग हों।
आइए अब समरूप त्रिभुजों की अवधारणा को समझें। चित्र 1 पर विचार करें.
चित्र 1. दो त्रिभुज
मान लीजिए कि इन त्रिभुजों में $\कोण A=\कोण A_1,\ \कोण B=\कोण B_1,\ \कोण C=\कोण C_1$ है। आइए निम्नलिखित परिभाषा प्रस्तुत करें:
परिभाषा 4
दो त्रिभुजों की भुजाएँ समरूप कहलाती हैं यदि वे इन त्रिभुजों के समान कोणों के विपरीत स्थित हों।
चित्र 1 में, भुजाएँ $AB$ और $A_1B_1$, $BC$ और $B_1C_1$, $AC$ और $A_1C_1$ समान हैं। आइए अब समरूप त्रिभुजों की परिभाषा प्रस्तुत करें।
परिभाषा 5
दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि एक त्रिभुज के सभी कोणों के कोण क्रमशः दूसरे और त्रिभुज के कोणों के बराबर हों और इन त्रिभुजों की सभी समान भुजाएँ समानुपाती हों, अर्थात
\[\कोण A=\कोण A_1,\ \कोण B=\कोण B_1,\ \कोण C=\कोण C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]
चित्र 1 समरूप त्रिभुज दिखाता है।
पदनाम: $ABC\sim A_1B_1C_1$
समानता की अवधारणा के लिए समानता गुणांक की अवधारणा भी है।
परिभाषा 6
समान आकृतियों की समान भुजाओं के अनुपात के बराबर की संख्या $k$ को इन आकृतियों का समानता गुणांक कहा जाता है।
समरूप त्रिभुजों का क्षेत्रफल
आइए अब समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात पर प्रमेय पर विचार करें।
प्रमेय 1
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात समरूपता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है, अर्थात
\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]
सबूत।
आइए दो समान त्रिभुजों पर विचार करें और उनके क्षेत्रफलों को क्रमशः $S$ और $S_1$ के रूप में निरूपित करें (चित्र 2)।
चित्र 2।
इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए निम्नलिखित प्रमेय को याद करें:
प्रमेय 2
यदि एक त्रिभुज का कोण दूसरे त्रिभुज के कोण के बराबर है, तो उनका क्षेत्रफल इस कोण की आसन्न भुजाओं के गुणनफल के रूप में संबंधित होता है।
चूँकि त्रिभुज $ABC$ और $A_1B_1C_1$ समान हैं, तो, परिभाषा के अनुसार, $\कोण A=\कोण A_1$। फिर, प्रमेय 2 द्वारा, हम उसे प्राप्त करते हैं
चूँकि $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$, हमें मिलता है
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
त्रिभुज समानता की अवधारणा से संबंधित समस्याएँ
उदाहरण 1
समान त्रिभुज $ABC$ और $A_1B_1C_1 दिए गए हैं।$ पहले त्रिभुज की भुजाएँ $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$ हैं। इन त्रिभुजों का समानता गुणांक $k=2$ है। दूसरे त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
समाधान।
इस समस्या के दो संभावित समाधान हैं.
मान लीजिए $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$.
फिर $A_1B_1=kAB,\ (B_1C)_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.
इसलिए, $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$
मान लीजिए $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$
फिर $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$.
इसलिए, $A_1B_1=1,\ (B_1C)_1=2.5,\ \ A_1C_1=3$.
उदाहरण 2
समान त्रिभुज $ABC$ और $A_1B_1C_1 दिए गए हैं। पहले त्रिभुज की भुजा $AB=2$ है, दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा $A_1B_1=6$ है। पहले त्रिभुज की ऊंचाई $CH=4$ है। दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये.
समाधान।
चूँकि त्रिभुज $ABC$ और $A_1B_1C_1$ समान हैं, तो $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$.
आइए पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
प्रमेय 1 के अनुसार, हमारे पास है:
\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \