अपने पहले संस्करण, "इन द किंगडम ऑफ इनजेनुइटी" (1908) की प्रस्तावना में, ई. आई. इग्नाटिव लिखते हैं: "...बौद्धिक पहल, त्वरित बुद्धि और "सरलता" को किसी के दिमाग में "ढोया" या "डाला" नहीं जा सकता है। परिणाम तभी विश्वसनीय होते हैं जब गणितीय ज्ञान के क्षेत्र का परिचय आसान और सुखद तरीके से किया जाता है, सामान्य और रोजमर्रा की स्थितियों से वस्तुओं और उदाहरणों का उपयोग करके, उचित बुद्धि और मनोरंजन के साथ चुना जाता है।
1911 संस्करण "गणित में स्मृति की भूमिका" की प्रस्तावना में ई.आई. इग्नाटिव लिखते हैं, "...गणित में सूत्रों को याद नहीं रखना चाहिए, बल्कि सोचने की प्रक्रिया को याद रखना चाहिए।"
वर्गमूल निकालने के लिए, दो अंकों वाली संख्याओं के लिए वर्गों की तालिकाएँ हैं जिनमें आप संख्या को विघटित कर सकते हैं; प्रमुख कारकऔर निकालें वर्गमूलकाम से. वर्गों की एक तालिका कभी-कभी पर्याप्त नहीं होती है; गुणनखंडन द्वारा मूल निकालना एक समय लेने वाला कार्य है, जिससे हमेशा वांछित परिणाम नहीं मिलता है। 209764 का वर्गमूल निकालने का प्रयास करें? अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करने पर उत्पाद 2*2*52441 प्राप्त होता है। परीक्षण और त्रुटि द्वारा, चयन - यह, निश्चित रूप से, किया जा सकता है यदि आप सुनिश्चित हैं कि यह एक पूर्णांक है। मैं जो विधि प्रस्तावित करना चाहता हूं वह आपको किसी भी स्थिति में वर्गमूल निकालने की अनुमति देती है।
एक बार संस्थान (पर्म स्टेट पेडागोगिकल इंस्टीट्यूट) में हमें इस पद्धति से परिचित कराया गया था, जिसके बारे में अब मैं बात करना चाहता हूं। मैंने कभी नहीं सोचा कि इस पद्धति का कोई प्रमाण है या नहीं, इसलिए अब मुझे स्वयं ही कुछ प्रमाण निकालना पड़ा।
इस विधि का आधार संख्या का संघटन है =.
=&, यानी और 2 =596334.
1. संख्या (5963364) को दाएं से बाएं जोड़े में विभाजित करें (5`96`33`64)
2. बाईं ओर के पहले समूह का वर्गमूल निकालें (-संख्या 2)। इस प्रकार हमें & का पहला अंक प्राप्त होता है।
3. पहले अंक (2 2 =4) का वर्ग ज्ञात करें।
4. पहले समूह और पहले अंक के वर्ग (5-4=1) के बीच अंतर ज्ञात करें।
5. हम अगले दो अंक हटा देते हैं (हमें संख्या 196 मिलती है)।
6. हमें मिले पहले अंक को दोगुना करें और इसे बाईं ओर पंक्ति (2*2=4) के पीछे लिखें।
7. अब हमें संख्या का दूसरा अंक ढूंढना होगा और: जो पहला अंक हमें मिला उसे दोगुना करने पर वह संख्या का दहाई अंक बन जाता है, जब इकाइयों की संख्या से गुणा किया जाता है, तो आपको 196 से कम संख्या प्राप्त करनी होगी (यह है) संख्या 4, 44*4=176). 4 & का दूसरा अंक है.
8. अंतर ज्ञात कीजिए (196-176=20)।
9. हम अगले समूह को ध्वस्त करते हैं (हमें संख्या 2033 मिलती है)।
10. संख्या 24 को दोगुना करने पर हमें 48 प्राप्त होता है।
एक संख्या में 11.48 दहाई हैं, इकाई की संख्या से गुणा करने पर हमें 2033 (484*4=1936) से कम संख्या प्राप्त होनी चाहिए। हमें जो इकाई का अंक मिला (4) वह संख्या & का तीसरा अंक है।
मैंने निम्नलिखित मामलों के लिए प्रमाण दिया है:
1. तीन अंकों की संख्या का वर्गमूल निकालना;
2. चार अंकों की संख्या का वर्गमूल निकालना।
वर्गमूल निकालने की अनुमानित विधियाँ (कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना)।
1. प्राचीन बेबीलोनवासी अपनी संख्या x के वर्गमूल का अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित विधि का उपयोग करते थे। उन्होंने संख्या x को a 2 + b के योग के रूप में दर्शाया, जहां a 2 प्राकृतिक संख्या a (a 2 ? x) का सटीक वर्ग है जो संख्या x के सबसे करीब है, और सूत्र का उपयोग किया 
. (1)
सूत्र (1) का उपयोग करके, हम वर्गमूल निकालते हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 28 से:
एमके का उपयोग करके 28 की जड़ निकालने का परिणाम 5.2915026 है।
जैसा कि आप देख सकते हैं, बेबीलोनियन विधि जड़ के सटीक मूल्य का एक अच्छा अनुमान देती है।
2. आइजैक न्यूटन ने वर्गमूल निकालने की एक विधि विकसित की जो अलेक्जेंड्रिया के हेरोन (लगभग 100 ईस्वी) के समय की है। यह विधि (न्यूटन की विधि के नाम से जानी जाती है) इस प्रकार है।
होने देना एक 1- किसी संख्या का पहला सन्निकटन (1 के रूप में आप किसी प्राकृतिक संख्या के वर्गमूल का मान ले सकते हैं - एक सटीक वर्ग जो इससे अधिक न हो) एक्स) ।
अगला, अधिक सटीक अनुमान एक 2नंबर
सूत्र द्वारा पाया गया 
.
निर्देश
मूलांक संख्या के लिए एक गुणक का चयन करें, जिसे नीचे से हटा दें जड़वास्तव में एक अभिव्यक्ति है - अन्यथा ऑपरेशन खो जाएगा। उदाहरण के लिए, यदि साइन के नीचे जड़तीन (घनमूल) के बराबर घातांक के साथ, इसकी लागत होती है संख्या 128, तो आप चिन्ह के नीचे से निकाल सकते हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 5. एक ही समय में, कट्टरपंथी संख्या 128 को 5 घन से विभाजित करना होगा: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. यदि चिह्न के नीचे भिन्नात्मक संख्या की उपस्थिति हो जड़समस्या की स्थितियों का खंडन नहीं करता है, तो यह इस रूप में संभव है। यदि आपको एक सरल विकल्प की आवश्यकता है, तो पहले मूल अभिव्यक्ति को ऐसे पूर्णांक कारकों में तोड़ दें, जिनमें से एक का घनमूल एक पूर्णांक होगा संख्यामी. उदाहरण के लिए: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.
यदि आपके दिमाग में किसी संख्या की शक्तियों की गणना करना संभव नहीं है, तो मूल संख्या के कारकों का चयन करने के लिए इसका उपयोग करें। यह विशेष रूप से सच है जड़दो से अधिक घातांक वाला मी। यदि आपके पास इंटरनेट तक पहुंच है, तो आप Google और निगमा खोज इंजन में निर्मित कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपको सबसे बड़ा पूर्णांक गुणनखंड ढूंढना है जिसे घन चिह्न के नीचे से निकाला जा सके जड़संख्या 250 के लिए, फिर Google वेबसाइट पर जाएं और यह जांचने के लिए क्वेरी "6^3" दर्ज करें कि क्या इसे चिह्न के नीचे से हटाना संभव है जड़छह। खोज इंजन 216 के बराबर परिणाम दिखाएगा। अफ़सोस, 250 को इससे शेषफल के बिना विभाजित नहीं किया जा सकता संख्या. फिर क्वेरी 5^3 दर्ज करें। परिणाम 125 होगा, और यह आपको 250 को 125 और 2 के गुणनखंडों में विभाजित करने की अनुमति देता है, जिसका अर्थ है इसे चिह्न से बाहर निकालना जड़ संख्या 5, वहां से निकल रहा हूं संख्या 2.
स्रोत:
- इसे जड़ों के नीचे से कैसे निकाला जाए
- उत्पाद का वर्गमूल
इसे नीचे से बाहर निकालो जड़उन स्थितियों में कारकों में से एक आवश्यक है जहां आपको गणितीय अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता होती है। ऐसे समय होते हैं जब कैलकुलेटर का उपयोग करके आवश्यक गणना करना असंभव होता है। उदाहरण के लिए, यदि आप संख्याओं के स्थान पर उपयोग करते हैं पत्र पदनामचर.
निर्देश
मौलिक अभिव्यक्ति को सरल कारकों में तोड़ें। देखें कि संकेतकों में दर्शाए गए कौन से कारकों को समान संख्या में दोहराया जाता है जड़, या अधिक। उदाहरण के लिए, आपको a का चौथा मूल लेना होगा। इस मामले में, संख्या को a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3 के रूप में दर्शाया जा सकता है। सूचक जड़इस मामले में यह इसके अनुरूप होगा कारकए3. इसे साइन से बाहर निकालने की जरूरत है.
जहां संभव हो परिणामी रेडिकल्स की जड़ को अलग से निकालें। निष्कर्षण जड़घातांक के विपरीत बीजीय संक्रिया है। निष्कर्षण जड़किसी संख्या में से एक संख्या ढूँढ़ें, जिसे जब इस मनमानी घात तक बढ़ाया जाए, तो इसका परिणाम होगा दिया गया नंबर. यदि निष्कर्षण जड़उत्पन्न नहीं किया जा सकता, मूल अभिव्यक्ति को चिह्न के नीचे छोड़ दें जड़जैसे ये है। उपरोक्त कार्यों के परिणामस्वरूप, आपको नीचे से हटा दिया जाएगा संकेत जड़.
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कृपया ध्यान
मूल अभिव्यक्तियों को कारकों के रूप में लिखते समय सावधान रहें - इस स्तर पर एक त्रुटि गलत परिणाम देगी।
जड़ें निकालते समय, विशेष तालिकाओं या लघुगणकीय जड़ों की तालिकाओं का उपयोग करना सुविधाजनक होता है - इससे खोजने में लगने वाला समय काफी कम हो जाएगा सही निर्णय.
स्रोत:
- 2019 में जड़ निष्कर्षण संकेत
गणित के कई क्षेत्रों में बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का सरलीकरण आवश्यक है, जिसमें उच्च-क्रम समीकरणों को हल करना, विभेदन और एकीकरण शामिल है। गुणनखंडन सहित कई विधियों का उपयोग किया जाता है। इस पद्धति को लागू करने के लिए, आपको एक सामान्य खोजने और बनाने की आवश्यकता है कारकके लिए कोष्ठक.
निर्देश
कुल गुणक को क्रियान्वित करना कोष्ठक- अपघटन के सबसे सामान्य तरीकों में से एक। इस तकनीक का उपयोग लंबी बीजीय अभिव्यक्तियों की संरचना को सरल बनाने के लिए किया जाता है, अर्थात। बहुपद. सामान्य संख्या एक संख्या, एकपदी या द्विपद हो सकती है और इसे ज्ञात करने के लिए गुणन के वितरण गुण का उपयोग किया जाता है।
संख्या। प्रत्येक बहुपद के गुणांकों को ध्यान से देखें कि क्या उन्हें एक ही संख्या से विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 12 z³ + 16 z² – 4 में यह स्पष्ट है कारक 4. परिवर्तन के बाद, आपको 4 (3 z³ + 4 z² - 1) मिलता है। दूसरे शब्दों में, यह संख्या सभी गुणांकों का सबसे छोटा सामान्य पूर्णांक विभाजक है।
एकपद। निर्धारित करें कि क्या बहुपद के प्रत्येक पद में समान चर है। यह मानते हुए कि यह मामला है, अब पिछले मामले की तरह गुणांकों को देखें। उदाहरण: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.
इस बहुपद के प्रत्येक तत्व में एक चर z होता है। इसके अतिरिक्त, सभी गुणांक संख्याएँ हैं जो 3 के गुणज हैं। इसलिए, सामान्य गुणनखंड एकपदी 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1) होगा।
द्विपद.के लिये कोष्ठकसामान्य कारकदो में से एक चर और एक संख्या, जो एक सामान्य बहुपद है। इसलिए, यदि कारक-द्विपद स्पष्ट नहीं है, तो आपको कम से कम एक मूल खोजने की आवश्यकता है। बहुपद का मुक्त पद चुनें, यह एक चर रहित गुणांक है। अब प्रतिस्थापन की विधि को मुक्त पद के सभी पूर्णांक विभाजकों की सामान्य अभिव्यक्ति में लागू करें।
विचार करें: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. यह देखने के लिए जांचें कि क्या 4 का कोई पूर्णांक गुणनखंड z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0 है। सरल प्रतिस्थापन द्वारा, z1 खोजें = 1 और z2 = 2, जिसका अर्थ है कोष्ठकहम द्विपद (z - 1) और (z - 2) को हटा सकते हैं। शेष व्यंजक ज्ञात करने के लिए अनुक्रमिक दीर्घ विभाजन का उपयोग करें।
कॉलम ऊंचा है, और जब पंद्रह से अधिक अक्षरों की आवश्यकता होती है, तो कैलकुलेटर वाले कंप्यूटर और फोन अक्सर आराम करते हैं। यह जांचना बाकी है कि तकनीक के विवरण में 4-5 हजार अक्षर लगेंगे या नहीं।
कोई भी संख्या लें, दशमलव बिंदु से दाएं और बाएं अंकों के जोड़े गिनें
उदाहरण के लिए, 1234567890.098765432100
अंकों का एक जोड़ा दो अंकों की संख्या की तरह होता है। दो अंकों का मूल एक अंक है। हम एक अंक का चयन करते हैं जिसका वर्ग अंकों की पहली जोड़ी से कम है। हमारे मामले में यह 3 है.
जैसे किसी कॉलम से विभाजित करते समय, हम इस वर्ग को पहले जोड़े के नीचे लिखते हैं और इसे पहले जोड़े से घटाते हैं। परिणाम रेखांकित है. 12 - 9 = 3. इस अंतर में संख्याओं का दूसरा जोड़ा जोड़ें (यह 334 होगा)। बर्म्स की संख्या के बाईं ओर, परिणाम के उस भाग का दोगुना मान जो पहले ही पाया जा चुका है, एक संख्या के साथ पूरक है (हमारे पास 2 * 6 = 6 है), जैसे कि जब प्राप्त संख्या से गुणा नहीं किया जाता है, तो यह होता है अंकों के दूसरे जोड़े वाली संख्या से अधिक न हो. हम पाते हैं कि पाया गया अंक पाँच है। फिर से हम अंतर (9) पाते हैं, 956 प्राप्त करने के लिए अंकों की अगली जोड़ी को घटाते हैं, फिर से परिणाम का दोगुना भाग (70) लिखते हैं, फिर से इसे आवश्यक अंक के साथ पूरक करते हैं, और इसी तरह जब तक यह बंद नहीं हो जाता। या गणना की आवश्यक सटीकता के लिए.
सबसे पहले, वर्गमूल की गणना करने के लिए, आपको गुणन सारणी को अच्छी तरह से जानना होगा। सबसे सरल उदाहरण- यह 25 है (5 बटा 5 = 25) इत्यादि। यदि आप अधिक सम्मिश्र संख्याएँ लेते हैं, तो आप इस तालिका का उपयोग कर सकते हैं, जहाँ क्षैतिज रेखा इकाई है और ऊर्ध्वाधर रेखा दहाई है।
खाओ उत्तम विधिकैलकुलेटर की सहायता के बिना किसी संख्या का मूल कैसे पता करें। ऐसा करने के लिए आपको एक रूलर और एक कम्पास की आवश्यकता होगी। मुद्दा यह है कि आप रूलर पर वह मान पाते हैं जो आपके मूल के अंतर्गत है। उदाहरण के लिए, 9 के आगे एक निशान लगाएं। आपका काम इस संख्या को विभाजित करना है बराबर मात्राखंड, अर्थात् 4.5 सेमी की दो रेखाओं में, और एक सम खंड में। यह अनुमान लगाना आसान है कि अंत में आपको 3 सेंटीमीटर के 3 खंड मिलेंगे।
यह तरीका आसान नहीं है बड़ी संख्याकाम नहीं करेगा, लेकिन इसकी गणना बिना कैलकुलेटर के की जा सकती है।
में बिना कैलकुलेटर की सहायता से वर्गमूल निकालने की विधि सिखाई गई सोवियत कालस्कूल में आठवीं कक्षा में।
ऐसा करने के लिए, आपको एक बहु-अंकीय संख्या को दाएँ से बाएँ 2 अंकों के फलकों में तोड़ना होगा :
मूल का पहला अंक बायीं ओर का संपूर्ण मूल है, में इस मामले में, 5.
हम 31 में से 5 वर्ग घटाते हैं, 31-25 = 6 और अगली भुजा छह में जोड़ते हैं, हमारे पास 678 होता है।
अगला अंक x दोहरे पाँच से मेल खाता है ताकि
10x*x अधिकतम था, लेकिन 678 से कम।
x=6, चूँकि 106*6 = 636,
अब हम 678 - 636 = 42 की गणना करते हैं और अगला किनारा 92 जोड़ते हैं, हमारे पास 4292 होता है।
फिर से हम अधिकतम x की तलाश कर रहे हैं जैसे कि 112x*x lt; 4292.
उत्तर: मूल 563 है
जब तक आवश्यक हो आप इस प्रकार जारी रख सकते हैं।
कुछ मामलों में, आप मूलांक को दो या दो से अधिक वर्ग गुणनखंडों में विघटित करने का प्रयास कर सकते हैं।
तालिका (या कम से कम उसका कुछ भाग) - वर्गों को याद रखना भी उपयोगी है प्राकृतिक संख्या 10 से 99 तक.
मैं एक संस्करण पेश करता हूं जिसका आविष्कार मैंने एक कॉलम का वर्गमूल निकालने के लिए किया था। संख्याओं के चयन को छोड़कर, यह आम तौर पर ज्ञात से भिन्न है। लेकिन जैसा कि मुझे बाद में पता चला, यह विधि मेरे जन्म से कई साल पहले से ही मौजूद थी। महान आइजैक न्यूटन ने अपनी पुस्तक जनरल अरिथमेटिक या अंकगणित संश्लेषण और विश्लेषण के बारे में एक पुस्तक में इसका वर्णन किया है। इसलिए यहां मैं न्यूटन पद्धति के एल्गोरिदम के लिए अपना दृष्टिकोण और तर्क प्रस्तुत करता हूं। एल्गोरिथम को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है। यदि आवश्यक हो तो आप चित्र में दिए गए आरेख को दृश्य सहायता के रूप में उपयोग कर सकते हैं।
तालिकाओं की सहायता से आप गणना नहीं कर सकते, बल्कि तालिकाओं में मौजूद संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात कर सकते हैं। न केवल वर्गमूल, बल्कि अन्य डिग्रियों की गणना करने का सबसे आसान तरीका क्रमिक सन्निकटन की विधि है। उदाहरण के लिए, हम 10739 का वर्गमूल निकालते हैं, अंतिम तीन अंकों को शून्य से प्रतिस्थापित करते हैं और 10000 का मूल निकालते हैं, हमें नुकसान के साथ 100 मिलता है, इसलिए हम संख्या 102 लेते हैं, इसका वर्ग करते हैं, हमें 10404 मिलता है, जो कम भी है दिए गए से, हम 103*103=10609 फिर से एक नुकसान के साथ लेते हैं, हम 103.5*103.5=10712.25 लेते हैं, और भी अधिक 103.6*103.6=10732 लेते हैं, 103.7*103.7=10753.69 लेते हैं, जो पहले से ही अधिक है। आप 10739 का मूल लगभग 103.6 के बराबर मान सकते हैं। अधिक सटीक रूप से 10739=103.629...। . इसी प्रकार हम घनमूल निकालते हैं, सबसे पहले 10000 से हमें लगभग 25*25*25=15625 प्राप्त होता है, जो कि अधिक है, हम 22*22*22=10.648 लेते हैं, हम 22.06*22.06*22.06=10735 से थोड़ा अधिक लेते हैं , जो दिए गए के बहुत करीब है।
वर्गमूल की गणना (या निकालना) कई तरीकों से की जा सकती है, लेकिन वे सभी बहुत सरल नहीं हैं। निस्संदेह, कैलकुलेटर का उपयोग करना आसान है। लेकिन यदि यह संभव नहीं है (या आप वर्गमूल के सार को समझना चाहते हैं), तो मैं आपको निम्नलिखित तरीके से जाने की सलाह दे सकता हूं, इसका एल्गोरिदम इस प्रकार है:
यदि आपके पास इतनी लंबी गणनाओं के लिए ताकत, इच्छा या धैर्य नहीं है, तो आप रफ चयन का सहारा ले सकते हैं, इसका लाभ यह है कि यह अविश्वसनीय रूप से तेज़ और उचित सरलता के साथ सटीक है; उदाहरण:
जब मैं स्कूल में था (60 के दशक की शुरुआत में), हमें किसी भी संख्या का वर्गमूल निकालना सिखाया जाता था। तकनीक सरल है, बाह्य रूप से लंबे विभाजन के समान है, लेकिन इसे यहां प्रस्तुत करने के लिए आधे घंटे का समय और पाठ के 4-5 हजार अक्षरों की आवश्यकता होगी। लेकिन आपको इसकी आवश्यकता क्यों है? आपके पास फ़ोन या अन्य गैजेट है, एनएम के पास एक कैलकुलेटर है। किसी भी कंप्यूटर पर एक कैलकुलेटर होता है। व्यक्तिगत रूप से, मैं इस प्रकार की गणनाएँ एक्सेल में करना पसंद करता हूँ।
अक्सर स्कूल में विभिन्न संख्याओं के वर्गमूल निकालने की आवश्यकता होती है। लेकिन अगर हम इसके लिए लगातार कैलकुलेटर का उपयोग करने के आदी हैं, तो परीक्षा में यह संभव नहीं होगा, इसलिए हमें कैलकुलेटर की मदद के बिना रूट की तलाश करना सीखना होगा। और सैद्धांतिक तौर पर ऐसा करना संभव है.
एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:
सबसे पहले अपने नंबर का आखिरी अंक देखें:
उदाहरण के लिए,
अब हमें सबसे बाएं समूह के मूल के लिए लगभग मान निर्धारित करने की आवश्यकता है
उस स्थिति में जब किसी संख्या में दो से अधिक समूह हों, तो आपको मूल इस प्रकार खोजना होगा:
लेकिन अगली संख्या सबसे बड़ी होनी चाहिए, आपको इसे इस तरह चुनना होगा:
अब हमें ऊपर प्राप्त शेषफल में निम्नलिखित समूह को जोड़कर एक नई संख्या A बनाने की आवश्यकता है।
हमारे उदाहरणों में:
जड़ निकालना किसी शक्ति को बढ़ाने का विपरीत कार्य है। अर्थात्, संख्या X का मूल निकालने पर, हमें एक संख्या प्राप्त होती है जिसका वर्ग करने पर वही संख्या X प्राप्त होगी।
जड़ निकालना काफी सरल ऑपरेशन है। वर्गों की एक तालिका निष्कर्षण कार्य को आसान बना सकती है। क्योंकि सभी वर्गों और मूलों को याद रखना असंभव है, लेकिन संख्याएँ बड़ी हो सकती हैं।
किसी संख्या का मूल निकालना
किसी संख्या का वर्गमूल निकालना आसान है। इसके अलावा, यह तुरंत नहीं, बल्कि धीरे-धीरे किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति √256 लें। प्रारंभ में, किसी अज्ञानी व्यक्ति के लिए तुरंत उत्तर देना कठिन होता है। फिर हम इसे चरण दर चरण करेंगे। सबसे पहले, हम केवल संख्या 4 से भाग देते हैं, जिससे हम चयनित वर्ग को मूल मानते हैं।
आइए प्रतिनिधित्व करें: √(64 4), तो यह 2√64 के बराबर होगा। और जैसा कि आप जानते हैं, गुणन सारणी के अनुसार 64 = 8 8. उत्तर होगा 2*8=16.
त्वरित और सही ढंग से जोड़ने, घटाने, गुणा करने, विभाजित करने, वर्ग संख्याओं और यहां तक कि जड़ों को निकालने का तरीका सीखने के लिए "मानसिक अंकगणित को तेज करें, मानसिक अंकगणित को नहीं" पाठ्यक्रम के लिए साइन अप करें। 30 दिनों में, आप सीखेंगे कि अंकगणितीय संक्रियाओं को सरल बनाने के लिए आसान युक्तियों का उपयोग कैसे करें। प्रत्येक पाठ में नई तकनीकें, स्पष्ट उदाहरण और उपयोगी कार्य शामिल हैं।
एक जटिल जड़ निकालना
वर्गमूल की गणना ऋणात्मक संख्याओं से नहीं की जा सकती, क्योंकि कोई भी वर्ग संख्या एक धनात्मक संख्या होती है!
एक सम्मिश्र संख्या वह संख्या i है, जिसका वर्ग -1 के बराबर है। यानी, i2=-1.
गणित में एक संख्या होती है जो संख्या का मूल निकालकर -1 प्राप्त की जाती है।
अर्थात्, ऋणात्मक संख्या के मूल की गणना करना संभव है, लेकिन यह पहले से ही उच्च गणित पर लागू होता है, स्कूली गणित पर नहीं।
आइए ऐसे मूल निष्कर्षण के एक उदाहरण पर विचार करें: √(-49)=7*√(-1)=7i.
ऑनलाइन रूट कैलकुलेटर
हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करके, आप वर्गमूल से किसी संख्या के निष्कर्षण की गणना कर सकते हैं:
रूट ऑपरेशन युक्त अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना
मूल अभिव्यक्तियों को बदलने का सार मूल संख्या को सरल संख्याओं में विघटित करना है, जिससे मूल निकाला जा सकता है। जैसे 4, 9, 25 इत्यादि।
चलिए एक उदाहरण देते हैं, √625. आइए मूल अभिव्यक्ति को संख्या 5 से विभाजित करें। हमें √(125) मिलता है 5), ऑपरेशन दोहराएं √(25 25), लेकिन हम जानते हैं कि 25, 52 है। इसका मतलब है कि उत्तर 5*5=25 होगा।
लेकिन ऐसी संख्याएँ भी हैं जिनके मूल की गणना इस पद्धति का उपयोग करके नहीं की जा सकती है और आपको बस उत्तर जानने की आवश्यकता है या हाथ में वर्गों की एक तालिका होनी चाहिए।
√289=√(17*17)=17
जमीनी स्तर
गणित को बेहतर ढंग से समझने के लिए हमने केवल हिमशैल के टिप को देखा है - हमारे पाठ्यक्रम के लिए साइन अप करें: मानसिक अंकगणित को तेज करना - मानसिक अंकगणित नहीं।
पाठ्यक्रम से आप न केवल सरलीकृत और त्वरित गुणन, जोड़, गुणा, भाग और प्रतिशत की गणना के लिए दर्जनों तकनीक सीखेंगे, बल्कि आप विशेष कार्यों और शैक्षिक खेलों में उनका अभ्यास भी करेंगे! मानसिक अंकगणित में भी बहुत अधिक ध्यान और एकाग्रता की आवश्यकता होती है, जिसे दिलचस्प समस्याओं को हल करते समय सक्रिय रूप से प्रशिक्षित किया जाता है।
वर्गमूल क्या है?
ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")
यह अवधारणा बहुत सरल है. स्वाभाविक, मैं कहूंगा। गणितज्ञ प्रत्येक क्रिया की प्रतिक्रिया खोजने का प्रयास करते हैं। जोड़ भी है - घटाव भी है. गुणा भी है - भाग भी है. स्क्वैरिंग है... तो वहाँ भी है वर्गमूल लेना!इतना ही। यह क्रिया ( वर्गमूल) गणित में इस चिह्न द्वारा दर्शाया गया है:
आइकन को ही कहा जाता है एक सुन्दर शब्द "मौलिक".
जड़ कैसे निकालें?इसे देखना बेहतर है उदाहरण.
9 का वर्गमूल क्या है? किस संख्या का वर्ग करने पर हमें 9 प्राप्त होगा? 3 का वर्ग हमें 9 देता है! वे:
लेकिन शून्य का वर्गमूल क्या है? कोई सवाल ही नहीं! शून्य किस संख्या का वर्ग बनाता है? हाँ, यह शून्य देता है! मतलब:
समझ गया, वर्गमूल क्या है?फिर हम विचार करते हैं उदाहरण:
उत्तर (अव्यवस्थित): 6; 1; 4; 9; 5.
फैसला किया? सचमुच, यह कितना आसान है?!
लेकिन... जब कोई व्यक्ति किसी कार्य को जड़ से देखता है तो वह क्या करता है?
एक व्यक्ति दुखी होने लगता है... उसे अपनी जड़ों की सरलता और हल्केपन पर विश्वास नहीं होता। हालाँकि उसे पता लगता है वर्गमूल क्या है...
ऐसा इसलिए है क्योंकि जड़ों का अध्ययन करते समय व्यक्ति ने कई महत्वपूर्ण बिंदुओं को नजरअंदाज कर दिया। फिर ये सनक परीक्षाओं और परीक्षाओं से क्रूर बदला लेती है...
बिंदु एक. आपको जड़ों को दृष्टि से पहचानने की आवश्यकता है!
49 का वर्गमूल क्या है? सात? सही! तुम्हें कैसे पता चला कि सात बज गए हैं? सात का वर्ग किया और 49 प्राप्त हुआ? सही! कृपया ध्यान दें कि जड़ निकालें 49 में से हमें रिवर्स ऑपरेशन करना पड़ा - वर्ग 7! और सुनिश्चित करें कि हम चूकें नहीं। या वे चूक गए होंगे...
यही कठिनाई है जड़ निष्कर्षण. वर्गबिना किसी संख्या के विशेष समस्याएँ. किसी संख्या को एक कॉलम से उसी से गुणा करें - बस इतना ही। लेकिन के लिए जड़ निष्कर्षणऐसी कोई सरल और असफल-सुरक्षित तकनीक नहीं है। हमें करना ही होगा उठानाउत्तर दें और इसका वर्ग करके जाँच करें कि क्या यह सही है।
यह जटिल है रचनात्मक प्रक्रिया- यदि आप उत्तर चुनते हैं तो यह बहुत सरल हो जाता है याद करनालोकप्रिय संख्याओं का वर्ग. गुणन सारणी की तरह. यदि, मान लीजिए, आपको 4 को 6 से गुणा करना है, तो आप चार को 6 बार नहीं जोड़ते हैं, क्या आप ऐसा करते हैं? उत्तर 24 तुरंत सामने आता है, हालाँकि, हर किसी को यह नहीं मिलता, हाँ...
जड़ों के साथ स्वतंत्र रूप से और सफलतापूर्वक काम करने के लिए, 1 से 20 तक की संख्याओं के वर्गों को जानना पर्याप्त है वहाँऔर पीछे।वे। आपको 11 का वर्ग और 121 का वर्गमूल, दोनों को आसानी से याद करने में सक्षम होना चाहिए। इस याद को प्राप्त करने के लिए, दो तरीके हैं। सबसे पहले वर्गों की तालिका सीखना है। उदाहरणों को हल करने में यह बहुत मददगार होगी. दूसरा निर्णय लेना है और ज्यादा उदाहरण. इससे आपको वर्गों की तालिका याद रखने में काफी मदद मिलेगी।
और कोई कैलकुलेटर नहीं! केवल परीक्षण प्रयोजनों के लिए. अन्यथा, आप परीक्षा के दौरान बेरहमी से धीमे हो जायेंगे...
इसलिए, वर्गमूल क्या हैऔर कैसे जड़ें निकालें- मुझे लगता है यह स्पष्ट है। अब आइए जानें कि हम उनसे क्या निकाल सकते हैं।
बिंदु दो. रूट, मैं तुम्हें नहीं जानता!
आप किन संख्याओं का वर्गमूल निकाल सकते हैं? हाँ, उनमें से लगभग कोई भी। यह समझना आसान है कि यह क्या है यह वर्जित हैउन्हें निकालें.
आइए इस मूल की गणना करने का प्रयास करें:
ऐसा करने के लिए, हमें एक संख्या चुननी होगी जिसका वर्ग करने पर हमें -4 मिलेगा। हम चुनते हैं.
क्या, यह फिट नहीं है? 2 2 +4 देता है। (-2) 2 पुनः +4 देता है! बस इतना ही... ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसका वर्ग करने पर हमें ऋणात्मक संख्या प्राप्त हो! हालाँकि मैं इन नंबरों को जानता हूँ। लेकिन मैं आपको नहीं बताऊंगा)। कॉलेज जाओ और तुम्हें स्वयं पता चल जाएगा।
यही कहानी किसी भी नकारात्मक संख्या के साथ भी घटित होगी। इसलिए निष्कर्ष:
वह अभिव्यक्ति जिसमें वर्गमूल चिन्ह के नीचे एक ऋणात्मक संख्या हो - कोई मतलब नहीं! यह एक निषिद्ध कार्रवाई है. यह शून्य से विभाजित करने जितना ही वर्जित है। इस तथ्य को दृढ़ता से याद रखें!या दूसरे शब्दों में:
आप ऋणात्मक संख्याओं से वर्गमूल नहीं निकाल सकते!
लेकिन अन्य सभी में, यह संभव है। उदाहरण के लिए, गणना करना काफी संभव है
पहली नज़र में ये बहुत मुश्किल है. भिन्नों का चयन करना और उनका वर्ग करना... चिंता न करें। जब हम जड़ों के गुणों को समझ लेंगे, तो ऐसे उदाहरण वर्गों की उसी तालिका में सिमट कर रह जायेंगे। जिंदगी आसान हो जाएगी!
ठीक है, भिन्न। लेकिन हमें अभी भी ऐसी अभिव्यक्तियाँ मिलती हैं:
कोई बात नहीं। सब कुछ वैसा ही है. दो का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग करने पर हमें दो प्राप्त होता है। केवल यह संख्या पूरी तरह से असमान है... यहाँ यह है:
दिलचस्प बात यह है कि यह भिन्न कभी समाप्त नहीं होती... ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है। वर्गमूलों में यह सबसे सामान्य बात है। वैसे, मूल वाले भाव इसीलिए कहलाते हैं तर्कहीन. स्पष्ट है कि ऐसे अनंत भिन्न को हर समय लिखना असुविधाजनक है। इसलिए, के बजाय अनंत अंशइसे ऐसे ही छोड़ें:
यदि, किसी उदाहरण को हल करते समय, आप कुछ ऐसा पाते हैं जिसे निकाला नहीं जा सकता, जैसे:
फिर हम इसे ऐसे ही छोड़ देते हैं। यही उत्तर होगा.
आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि आइकन का क्या मतलब है
निःसंदेह, यदि संख्या का मूल लिया जाए चिकना, आपको ये करना ही होगा. उदाहरण के लिए, कार्य का उत्तर प्रपत्र में है
बिल्कुल संपूर्ण उत्तर.
और, निःसंदेह, आपको स्मृति से अनुमानित मान जानने की आवश्यकता है:
यह ज्ञान जटिल कार्यों में स्थिति का आकलन करने में बहुत मदद करता है।
बिंदु तीन. सबसे धूर्त.
जड़ों के साथ काम करने में मुख्य भ्रम इसी बिंदु के कारण होता है। यह वह है जो अनिश्चितता देता है अपनी ताकत... आइए इस मुद्दे से ठीक से निपटें!
सबसे पहले, आइए उनमें से चार का वर्गमूल फिर से लें। क्या मैंने आपको पहले ही इस जड़ से परेशान कर दिया है?) कोई बात नहीं, अब यह दिलचस्प होगा!
4 वर्ग किस संख्या को दर्शाता है? खैर, दो, दो - मैंने असंतुष्ट उत्तर सुने...
सही। दो। लेकिन शून्य से दो 4 वर्ग देंगे... इस बीच, उत्तर
सही और उत्तर
घोर भूल. इस कदर।
तो मामला क्या है?
दरअसल, (-2) 2 = 4. और चार के वर्गमूल की परिभाषा के तहत शून्य से दोकाफी उपयुक्त... यह चार का वर्गमूल भी है।
लेकिन! स्कूली गणित पाठ्यक्रम में वर्गमूलों पर विचार करने की प्रथा है केवल गैर-नकारात्मक संख्याएँ!अर्थात शून्य और सभी धनात्मक। यहाँ तक कि एक विशेष शब्द का भी आविष्कार किया गया: बीच से ए- यह गैर नकारात्मकवह संख्या जिसका वर्ग है ए. अंकगणितीय वर्गमूल निकालते समय नकारात्मक परिणाम आसानी से खारिज कर दिए जाते हैं। स्कूल में, सब कुछ वर्गमूल है - अंकगणित. हालाँकि इसका विशेष उल्लेख नहीं किया गया है।
ठीक है, यह समझ में आता है। नकारात्मक परिणामों से परेशान न होना और भी बेहतर है... यह अभी तक भ्रम नहीं है।
द्विघात समीकरणों को हल करते समय भ्रम की स्थिति शुरू हो जाती है। उदाहरण के लिए, आपको निम्नलिखित समीकरण को हल करना होगा।
समीकरण सरल है, हम उत्तर लिखते हैं (जैसा सिखाया गया है):
यह उत्तर (वैसे बिल्कुल सही) केवल एक संक्षिप्त संस्करण है दोउत्तर:
बंद करो बंद करो! ठीक ऊपर मैंने लिखा है कि वर्गमूल एक संख्या है हमेशागैर-नकारात्मक! और यहाँ उत्तरों में से एक है - नकारात्मक! विकार. यह पहली (लेकिन आखिरी नहीं) समस्या है जो जड़ों के प्रति अविश्वास का कारण बनती है... आइए इस समस्या का समाधान करें। आइए उत्तरों को इस तरह लिखें (पूरी तरह से समझने के लिए!):
कोष्ठक उत्तर का सार नहीं बदलते। मैंने अभी इसे कोष्ठक से अलग किया है लक्षणसे जड़. अब आप स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि मूल (कोष्ठक में) अभी भी एक गैर-ऋणात्मक संख्या है! और संकेत हैं समीकरण को हल करने का परिणाम. आख़िरकार, किसी भी समीकरण को हल करते समय हमें अवश्य लिखना चाहिए सभी Xs, जिसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, सही परिणाम देगा। प्लस और माइनस दोनों के साथ पांच (सकारात्मक!) का मूल हमारे समीकरण में फिट बैठता है।
इस कदर। अगर आप बस वर्गमूल लेंकिसी भी चीज़ से, आप हमेशाआपको मिला एक गैर-नकारात्मकपरिणाम। उदाहरण के लिए:
ये इसलिए है क्योंकि - अंकगणित वर्गमूल.
लेकिन अगर आप कुछ ठान लेते हैं द्विघात समीकरण, प्रकार:
वह हमेशायह पता चला है दोउत्तर (प्लस और माइनस के साथ):
क्योंकि यही समीकरण का हल है.
आशा, वर्गमूल क्या हैआपको अपने मुद्दे स्पष्ट हो गए हैं। अब यह पता लगाना बाकी है कि जड़ों के साथ क्या किया जा सकता है, उनके गुण क्या हैं। और बिंदु और नुकसान क्या हैं... क्षमा करें, पत्थरों!)
यह सब निम्नलिखित पाठों में है।
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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)
आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।