दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय, आपको उन्हें एक के नीचे एक लिखना होगा ताकि समान अंक एक दूसरे के नीचे हों, और अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो, और भिन्नों को उसी तरह जोड़ें जैसे आप प्राकृतिक संख्याएँ जोड़ते हैं। आइए, उदाहरण के लिए, भिन्न 12.7 और 3.442 जोड़ें। पहले अंश में एक दशमलव स्थान होता है, और दूसरे में तीन होते हैं। जोड़ करने के लिए, हम पहले भिन्न को इस प्रकार रूपांतरित करते हैं कि दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक हों: , फिर
दशमलव भिन्नों का घटाव उसी प्रकार किया जाता है। आइए संख्या 13.1 और 0.37 के बीच अंतर ज्ञात करें:
दशमलव अंशों को गुणा करते समय, अल्पविरामों (प्राकृतिक संख्याओं की तरह) पर ध्यान न देते हुए, दी गई संख्याओं को गुणा करना पर्याप्त होता है, और फिर, परिणामस्वरूप, दशमलव बिंदु के बाद जितने अंक होते हैं, उन्हें अल्पविराम से दाईं ओर से अलग करें। कुल मिलाकर दोनों कारक।
उदाहरण के लिए, आइए 2.7 को 1.3 से गुणा करें। हमारे पास है। हम दाहिनी ओर के दो अंकों को अलग करने के लिए अल्पविराम का उपयोग करते हैं (दशमलव बिंदु के बाद गुणनखंडों के अंकों का योग दो होता है)। परिणामस्वरूप, हमें 2.7 1.3 = 3.51 प्राप्त होता है।
यदि उत्पाद में कम अंक हैं जिन्हें अल्पविराम से अलग किया जाना चाहिए, तो लुप्त शून्य सामने लिखे जाते हैं, उदाहरण के लिए:
आइए एक दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000 आदि से गुणा करने पर विचार करें। मान लें कि हमें भिन्न 12.733 को 10 से गुणा करने की आवश्यकता है। हमारे पास है। दाहिनी ओर के तीन अंकों को अल्पविराम से अलग करने पर हमें परंतु प्राप्त होता है। मतलब,
12 733 10=127.33. इस प्रकार, दशमलव अंश को 10 से गुणा करने पर दशमलव बिंदु को एक अंक दाईं ओर ले जाना कम हो जाता है।
सामान्य तौर पर, किसी दशमलव अंश को 10, 100, 1000 से गुणा करने के लिए, आपको इस अंश में दशमलव बिंदु 1, 2, 3 अंकों को दाईं ओर ले जाना होगा, यदि आवश्यक हो, तो दाईं ओर के अंश में जोड़ना होगा। निश्चित संख्याशून्य)। उदाहरण के लिए,
दशमलव भिन्न को इससे विभाजित करना प्राकृतिक संख्यायह उसी तरह से किया जाता है जैसे किसी प्राकृतिक संख्या को किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना, और पूर्णांक भाग का विभाजन पूरा होने के बाद भागफल में अल्पविराम लगाया जाता है। आइए 22.1 को 13 से विभाजित करें:
यदि लाभांश का पूर्णांक भाग भाजक से कम है, तो उत्तर शून्य पूर्णांक है, उदाहरण के लिए:
आइए अब दशमलव को दशमलव से विभाजित करने पर विचार करें। मान लीजिए कि हमें 2.576 को 1.12 से विभाजित करना है। ऐसा करने के लिए, लाभांश और भाजक दोनों में, अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों तक ले जाएँ, जितने अंकों में भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं (में) इस उदाहरण मेंदो से)। दूसरे शब्दों में, यदि हम लाभांश और भाजक को 100 से गुणा करें, तो भागफल नहीं बदलेगा। फिर आपको अंश 257.6 को प्राकृतिक संख्या 112 से विभाजित करने की आवश्यकता है, यानी समस्या पहले से ही विचार किए गए मामले में कम हो जाती है:
दशमलव भिन्न को विभाजित करने के लिए, आपको इस भिन्न में दशमलव बिंदु को बाईं ओर ले जाना होगा (और, यदि आवश्यक हो, तो बाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ें)। उदाहरण के लिए, ।
जिस प्रकार प्राकृतिक संख्याओं के लिए विभाजन हमेशा संभव नहीं होता है, उसी प्रकार दशमलव भिन्नों के लिए भी यह हमेशा संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, 2.8 को 0.09 से विभाजित करें:
परिणाम एक तथाकथित अनंत दशमलव अंश है। ऐसे मामलों में, हम साधारण भिन्नों की ओर बढ़ते हैं। उदाहरण के लिए:
ऐसा हो सकता है कि कुछ संख्याएँ साधारण भिन्नों के रूप में लिखी जाती हैं, अन्य - मिश्रित संख्याओं के रूप में, और अन्य - दशमलव भिन्नों के रूप में। ऐसी संख्याओं पर संक्रिया करते समय, आप अलग-अलग तरीकों से कार्य कर सकते हैं: या तो दशमलव को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करें और साधारण भिन्नों के साथ संचालन के नियम लागू करें, या साधारण भिन्नों और मिश्रित संख्याओं को दशमलव में परिवर्तित करें (यदि संभव हो) और इनके साथ संचालन के नियम लागू करें दशमलव
उदाहरण:
दशमलव अंश में अल्पविराम अलग होता है:
1) भिन्न से पूर्णांक भाग;
2) एक साधारण भिन्न के हर में जितने चिह्न होते हैं उतने ही शून्य होते हैं।
दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?
उदाहरण के लिए, \(0.35\) को "शून्य दशमलव पैंतीस सौवां" पढ़ा जाता है। तो हम लिखते हैं: \(0 \frac(35)(100)\). पूर्णांक भाग शून्य के बराबर है, अर्थात, आप इसे आसानी से नहीं लिख सकते हैं, और भिन्नात्मक भाग को \(5\) से कम किया जा सकता है।
हमें मिलता है: \(0.35=0\frac(35)(100)=\frac(35)(100)=\frac(7)(20)\).
अधिक उदाहरण: \(2.14=2\frac(14)(100)=\frac(214)(100)=\frac(107)(50)\);
\(7.026=7\frac(26)(1000)=\frac(7026)(1000)\).
यह परिवर्तन तेजी से किया जा सकता है:
अंश में अल्पविराम के बिना पूरी संख्या लिखें और हर में एक और उतने ही शून्य लिखें जितने अंकों को अल्पविराम से अलग किया गया हो।
यह जटिल लगता है, इसलिए चित्र देखें:
भिन्न को दशमलव में कैसे बदलें?
ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न के अंश और हर को ऐसी संख्या से गुणा करना होगा कि हर \(10\), \(100\), \(1000\) आदि हो जाए और फिर लिखें परिणाम दशमलव रूप में.
उदाहरण:\(\frac(3)(5)\) \(=\)\(\frac(3\cdot 2)(5\cdot 2)\) \(=\)\(\frac(6)(10) \) \(=0.6\); \(\frac(63)(25)\) \(=\frac(63 \cdot 4)(25\cdot 4)\)\(=\)\(\frac(252)(100)\) \(=2.52\); \(\frac(7)(200)\) \(=\) \(\frac(7 \cdot 5)(200\cdot 5)\)\(=\)\(\frac(35)(1000)\) \(=0.035\).
यह विधि तब अच्छी तरह से काम करती है जब हर में भिन्न होते हैं: \(2\), \(5\), \(20\), \(25\)... आदि, यानी, जब यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि क्या गुणा करना है द्वारा । हालाँकि, अन्य मामलों में:
किसी भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, भिन्न के अंश को उसके हर से विभाजित करें।
उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(7)(8)\) को यह अनुमान लगाने की तुलना में \(7\) को \(8\) से विभाजित करके परिवर्तित करना आसान है कि \(8\) को \(125\) से गुणा किया जा सकता है और \(1000\) प्राप्त करें।
सभी साधारण भिन्नों को आसानी से दशमलव में नहीं बदला जा सकता। अधिक सटीक रूप से, हर कोई बदलता है, लेकिन ऐसे परिवर्तन के परिणाम को लिखना बहुत मुश्किल हो सकता है। उदाहरण के लिए, अंश \(\frac(9)(17)\) दशमलव रूप में \(0.52941...\) जैसा दिखेगा - और इसी तरह, गैर-दोहराई जाने वाली संख्याओं की एक अंतहीन श्रृंखला। ऐसे भिन्नों को सामान्यतः साधारण भिन्नों के रूप में ही छोड़ दिया जाता है।
हालाँकि, कुछ भिन्न जो अंकों की अनंत श्रृंखला देते हैं, उन्हें दशमलव रूप में लिखा जा सकता है। ऐसा तब होता है जब इस पंक्ति में संख्याएँ दोहराई जाती हैं। उदाहरण के लिए, अंश \(\frac(2)(3)\) दशमलव रूप में इस तरह दिखता है \(0.66666...\) - छक्कों की एक अंतहीन श्रृंखला। इसे इस प्रकार लिखा जाता है: \(0,(6)\). कोष्ठक की सामग्री बिल्कुल असीम रूप से दोहराए जाने वाले भाग (अंश की तथाकथित अवधि) है।
अधिक उदाहरण: \(\frac(100)(27)\) \(=\)\(3.7037037037…=3,(703)\).
\(\frac(579)(110)\) \(=5.2636363636…=5.2(63)\).
दशमलव भिन्नों के प्रकार:
दशमलव को जोड़ना और घटाना
दशमलव भिन्नों का जोड़ (घटाव) जोड़ (घटाव) की तरह ही किया जाता है: मुख्य बात यह है कि दूसरे नंबर में अल्पविराम पहले में अल्पविराम के नीचे है।
दशमलव को गुणा करना
दो दशमलवों को गुणा करने के लिए, आप अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, उन्हें नियमित संख्याओं की तरह गुणा करते हैं। फिर पहली संख्या और दूसरी संख्या में दशमलव स्थानों की संख्या जोड़ें, और फिर दाएँ से बाएँ गिनती करते हुए अंतिम संख्या में दशमलव स्थानों की परिणामी संख्या को अलग करें।
किसी चित्र को \(10\) बार पढ़ने की तुलना में \(1\) बार देखना बेहतर है, इसलिए आनंद लें:
दशमलव विभाजन
किसी दशमलव को दशमलव से विभाजित करने के लिए, आप दशमलव बिंदु को दूसरी संख्या (भाजक) में तब तक घुमाते हैं जब तक कि वह एक पूर्ण संख्या न बन जाए। फिर पहले नंबर (लाभांश) में अल्पविराम को उसी राशि से हटाएँ। फिर आपको परिणामी संख्याओं को हमेशा की तरह विभाजित करने की आवश्यकता है। इस मामले में, जैसे ही हम लाभांश में "अल्पविराम पास करते हैं" आपको अपने उत्तर में अल्पविराम लगाना याद रखना होगा।
फिर, एक चित्र किसी भी पाठ की तुलना में सिद्धांत को बेहतर ढंग से समझाएगा।
व्यवहार में, विभाजन को एक सामान्य भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना आसान हो सकता है, फिर अल्पविराम हटाने के लिए अंश और हर को गुणा करें (या बस एक ही बार में अल्पविराम को हटा दें, जैसा कि हमने ऊपर किया था), और फिर परिणामी संख्याओं को कम करें।
\(13.12:1.6=\)\(\frac(13.12)(1.6)\) \(=\) \(\frac(13.12 100)(1.6 100)\)\(=\)\(\frac(1312)(160)\) \(=\)\(\frac(328)(40)\) \(=\)\(\frac(82)(10)\ ) \(=8.2\).
उदाहरण . \(0.0625:(\)\(\frac(1)(8)\) \(+\)\(\frac(5)(16)\) \()\cdot 2.8\) की गणना करें।
समाधान :
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\(0.0625:(\)\(\frac(1)(8)\) \(+\)\(\frac(5)(16)\) \()\cdot 2.8=\) |
निर्देश
दशमलव को परिवर्तित करना सीखें अंशोंसामान्य लोगों के लिए. गिनें कि कितने वर्ण अल्पविराम से अलग किए गए हैं। दशमलव बिंदु के दाईं ओर एक अंक का मतलब है कि हर 10 है, दो का मतलब 100 है, तीन का मतलब 1000 है, इत्यादि। उदाहरण के लिए, दशमलव अंश 6.8 "छह दशमलव आठ" जैसा है। इसे परिवर्तित करते समय सबसे पहले पूर्ण इकाइयों की संख्या लिखें - 6. हर में 10 लिखें, अंश में 8 संख्या आएगी। संक्षिप्तीकरण के नियम याद रखें. यदि अंश और हर एक ही संख्या से विभाज्य हैं, तो भिन्न को एक सामान्य भाजक द्वारा कम किया जा सकता है। में इस मामले मेंयह संख्या 2 है। 6 8/10 = 6 2/5।
दशमलव जोड़ने का प्रयास करें अंशों. अगर आप एक कॉलम में ऐसा करते हैं तो सावधान हो जाइए. सभी संख्याओं के अंक एक दूसरे से बिल्कुल नीचे - अल्पविराम के नीचे होने चाहिए। जोड़ने के नियम बिल्कुल वही हैं जो इसके साथ संचालन करते समय होते हैं। उसी संख्या 6.8 में एक और दशमलव अंश जोड़ें - उदाहरण के लिए, 7.3। आठ के नीचे तीन, अल्पविराम के नीचे अल्पविराम और छह के नीचे सात लिखें। अंतिम अंक से जोड़ना प्रारंभ करें. 3+8=11, यानी 1 लिखो, 1 याद रखो. इसके बाद, 6+7 जोड़ें, आपको 13 मिलता है। आपके दिमाग में जो बचा था उसे जोड़ें और परिणाम लिखें - 14.1।
घटाव उसी सिद्धांत का पालन करता है। अंकों को एक दूसरे के नीचे और अल्पविराम को अल्पविराम के नीचे लिखें। इसे हमेशा एक मार्गदर्शक के रूप में उपयोग करें, खासकर यदि मीनूएंड में इसके बाद अंकों की संख्या सबट्रेंड की तुलना में कम हो। दी गई संख्या में से घटाएँ, उदाहरण के लिए, 2.139। दो को छह के नीचे, एक को आठ के नीचे और शेष दो अंकों को अगले अंकों के नीचे लिखें, जिन्हें शून्य निर्दिष्ट किया जा सकता है। यह पता चला कि न्यूनतम 6.8 नहीं, बल्कि 6.800 है। इस क्रिया को करने पर आपको कुल 4.661 प्राप्त होंगे।
ऋणात्मक संख्याओं के साथ क्रियाएँ उसी प्रकार की जाती हैं जैसे संख्याओं के साथ की जाती हैं। जोड़ते समय, ऋण को कोष्ठक के बाहर रखा जाता है, और दी गई संख्याएँ कोष्ठक में होती हैं, और उनके बीच एक प्लस रखा जाता है। अंत में बात बन ही जाती है. यानी, जब आप -6.8 और -7.3 जोड़ते हैं तो आपको 14.1 का समान परिणाम मिलेगा, लेकिन इसके सामने "-" चिह्न होगा। यदि सबट्रेंड मीनूएंड से बड़ा है, तो माइनस को भी कोष्ठक से बाहर निकाल दिया जाता है अधिकउतना ही कम काटा जाता है. 6.8 में से -7.3 घटाएँ। अभिव्यक्ति को इस प्रकार रूपांतरित करें. 6.8 - 7.3= -(7.3 - 6.8) = -0.5.
दशमलव को गुणा करना अंशों, अभी के लिए अल्पविराम के बारे में भूल जाइए। इन्हें इस प्रकार गुणा करें कि आपके सामने पूर्णांक आ जाएं। इसके बाद दोनों कारकों में दशमलव बिंदु के बाद दाईं ओर के अंकों की संख्या गिनें। कार्य में समान संख्या में वर्ण अलग करें। 6.8 और 7.3 को गुणा करने पर आपको कुल 49.64 प्राप्त होता है। यानी दशमलव बिंदु के दाईं ओर आपके पास 2 चिह्न होंगे, जबकि गुणक और गुणक में एक-एक थे।
दिए गए भिन्न को किसी पूर्णांक से विभाजित करें। यह क्रिया बिल्कुल उसी तरह से की जाती है जैसे पूर्णांकों के साथ की जाती है। मुख्य बात यह है कि अल्पविराम के बारे में न भूलें और शुरुआत में 0 लगाएं यदि पूर्ण इकाइयों की संख्या भाजक द्वारा विभाज्य नहीं है। उदाहरण के लिए, उसी 6.8 को 26 से विभाजित करने का प्रयास करें। शुरुआत में 0 लगाएं, क्योंकि 6, 26 से कम है। इसे अल्पविराम से अलग करें, फिर दसवां और सौवां भाग आएगा। परिणाम लगभग 0.26 होगा. वास्तव में, इस मामले में, एक अनंत गैर-आवधिक अंश प्राप्त होता है, जिसे सटीकता की वांछित डिग्री तक पूर्णांकित किया जा सकता है।
दो दशमलव अंशों को विभाजित करते समय, इस गुण का उपयोग करें कि जब लाभांश और भाजक को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, तो भागफल नहीं बदलता है। अर्थात् दोनों को रूपान्तरित कर दो अंशोंपूर्णांकों में, यह इस पर निर्भर करता है कि वहां कितने दशमलव स्थान हैं। यदि आप 6.8 को 7.3 से विभाजित करना चाहते हैं, तो बस दोनों संख्याओं को 10 से गुणा करें। यह पता चलता है कि आपको 68 को 73 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यदि किसी संख्या में दशमलव स्थान अधिक हैं, तो इसे पहले पूर्णांक में बदलें, और फिर दूसरी संख्या में। इसे उसी संख्या से गुणा करें. यानी 6.8 को 4.136 से विभाजित करते समय लाभांश और भाजक को 10 से नहीं, बल्कि 1000 गुना बढ़ा दें। 4.735 प्राप्त करने के लिए 6800 को 1436 से विभाजित करें।
गणित में प्रारंभ से ही विभिन्न प्रकार की संख्याओं का अध्ययन किया जाता रहा है। मौजूद है बड़ी संख्यासंख्याओं का समुच्चय और उपसमुच्चय। इनमें पूर्णांक, तर्कसंगत, अपरिमेय, प्राकृतिक, सम, विषम, जटिल और भिन्नात्मक हैं। आज हम अंतिम सेट - भिन्नात्मक संख्याओं के बारे में जानकारी का विश्लेषण करेंगे।
भिन्नों की परिभाषा
भिन्न वे संख्याएँ हैं जिनमें एक पूर्णांक भाग और एक इकाई के भिन्न शामिल होते हैं। पूर्णांकों की तरह, दो पूर्णांकों के बीच भिन्नों की अनंत संख्या होती है। गणित में, भिन्नों के साथ संक्रियाएँ उसी तरह की जाती हैं जैसे पूर्णांकों और प्राकृतिक संख्याओं के साथ की जाती हैं। यह काफी सरल है और इसे कुछ पाठों में सीखा जा सकता है।
लेख दो प्रकार प्रस्तुत करता है
सामान्य भिन्न
साधारण भिन्न पूर्णांक भाग a और भिन्न पट्टी b/c के माध्यम से लिखी गई दो संख्याएँ हैं। यदि भिन्नात्मक भाग को तर्कसंगत दशमलव रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है तो सामान्य भिन्न अत्यंत सुविधाजनक हो सकते हैं। इसके अलावा, भिन्नात्मक रेखा के माध्यम से अंकगणितीय परिचालन करना अधिक सुविधाजनक है। ऊपरी भाग को अंश कहा जाता है, निचला भाग हर है।
साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाएँ: उदाहरण
भिन्न का मुख्य गुण. परअंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने पर जो शून्य नहीं है, परिणाम दी गई संख्या के बराबर है। भिन्न का यह गुण जोड़ के लिए हर प्रदान करने (इस पर नीचे चर्चा की जाएगी) या भिन्न को छोटा करने और गिनती के लिए इसे अधिक सुविधाजनक बनाने का एक उत्कृष्ट तरीका है। ए/बी = ए*सी/बी*सी. उदाहरण के लिए, 36/24 = 6/4 या 9/13 = 18/26
एक सामान्य भाजक में कमी.किसी भिन्न का हर प्राप्त करने के लिए, आपको हर को गुणनखंडों के रूप में प्रस्तुत करना होगा, और फिर लुप्त संख्याओं से गुणा करना होगा। उदाहरण के लिए, 7/15 और 12/30; 7/5*3 और 12/5*3*2. हम देखते हैं कि हर में दो का अंतर है, इसलिए हम पहले भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करते हैं। हमें मिलता है: 14/30 और 12/30।
यौगिक भिन्न- हाइलाइट किए गए साधारण भिन्न संपूर्ण भाग. (ए बी/सी) एक मिश्रित भिन्न को एक सामान्य भिन्न के रूप में दर्शाने के लिए, आपको भिन्न के सामने की संख्या को हर से गुणा करना होगा, और फिर इसे अंश के साथ जोड़ना होगा: (ए*सी + बी)/सी।
भिन्नों के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ
केवल भिन्नात्मक संख्याओं के साथ काम करते समय सुप्रसिद्ध अंकगणितीय संक्रियाओं पर विचार करना एक अच्छा विचार होगा।
जोड़ना और घटाना।भिन्नों को जोड़ना और घटाना पूर्ण संख्याओं को जोड़ने और घटाने जितना ही आसान है, एक कठिनाई को छोड़कर - भिन्न रेखा की उपस्थिति। समान हर वाली भिन्नों को जोड़ते समय, आपको केवल दोनों भिन्नों के अंशों को जोड़ने की आवश्यकता होती है; उदाहरण के लिए: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7
यदि दो भिन्नों के हर अलग-अलग संख्याएँ हैं, तो आपको पहले उन्हें एक सामान्य संख्या में लाना होगा (यह कैसे करें इसकी चर्चा ऊपर की गई थी)। 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8। घटाव बिल्कुल उसी सिद्धांत का पालन करता है: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9।
गुणन और भाग। कार्रवाईभिन्नों के साथ गुणन निम्नलिखित सिद्धांत के अनुसार होता है: अंश और हर को अलग-अलग गुणा किया जाता है। में सामान्य रूप से देखेंगुणन सूत्र इस तरह दिखता है: a/b *c/d = a*c/b*d. इसके अलावा, जैसे-जैसे आप गुणा करते हैं, आप अंश और हर से समान कारकों को हटाकर भिन्न को कम कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित किया जाता है: 4/16 = 4/4*4 = 1/4।
एक साधारण भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के अंश और हर को बदलना होगा और पहले चर्चा किए गए सिद्धांत के अनुसार, दो भिन्नों को गुणा करना होगा: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11 /11*25 = 1/5
दशमलव
दशमलव अंशों का अधिक लोकप्रिय और अक्सर उपयोग किया जाने वाला संस्करण है। उन्हें एक पंक्ति में लिखना या कंप्यूटर पर प्रस्तुत करना आसान है। दशमलव की संरचना इस प्रकार है: पहले पूर्ण संख्या लिखी जाती है, और फिर दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग लिखा जाता है। मूल रूप से, दशमलव मिश्रित भिन्न होते हैं, लेकिन उनके भिन्नात्मक भाग को 10 के गुणज से विभाजित संख्या द्वारा दर्शाया जाता है। यहीं से उनका नाम आता है। दशमलव भिन्नों के साथ संक्रियाएँ पूर्णांकों के साथ संक्रियाओं के समान होती हैं, क्योंकि वे भी इसमें लिखी जाती हैं दशमलव प्रणालीहिसाब-किताब. इसके अलावा, सामान्य भिन्नों के विपरीत, दशमलव अपरिमेय हो सकते हैं। इसका मतलब यह है कि वे अनंत हो सकते हैं। वे इस प्रकार लिखे गए हैं: 7, (3). निम्नलिखित प्रविष्टि में लिखा है: अवधि में सात दशमलव तीन, तीन दसवां हिस्सा।
दशमलव संख्याओं के साथ बुनियादी संचालन
दशमलव को जोड़ना और घटाना.भिन्नों के साथ काम करना पूर्ण प्राकृतिक संख्याओं के साथ काम करने से अधिक कठिन नहीं है। नियम बिल्कुल उन नियमों के समान हैं जिनका उपयोग प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ते या घटाते समय किया जाता है। उन्हें उसी तरह से एक कॉलम माना जा सकता है, लेकिन यदि आवश्यक हो, तो लुप्त स्थानों को शून्य से बदल दें। उदाहरण के लिए: 5.5697 - 1.12. कॉलम घटाव करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद संख्याओं की संख्या को बराबर करने की आवश्यकता है: (5.5697 - 1.1200)। इसलिए, संख्यात्मक मान नहीं बदलेगा और इसे एक कॉलम में गिना जा सकता है।
यदि उनमें से किसी एक के पास है तो दशमलव भिन्नों के साथ संक्रियाएँ निष्पादित नहीं की जा सकतीं तर्कहीन दृष्टिकोण. ऐसा करने के लिए, आपको दोनों संख्याओं को साधारण भिन्नों में बदलना होगा, और फिर पहले वर्णित तकनीकों का उपयोग करना होगा।
गुणन और भाग।दशमलव को गुणा करना प्राकृतिक भिन्नों को गुणा करने के समान है। उन्हें अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना, बस एक कॉलम में गुणा किया जा सकता है, और फिर अंतिम मान में अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है, दशमलव बिंदु के बाद कुल अंकों की समान संख्या दो दशमलव अंशों में होती है। उदाहरण के लिए, 1.5 * 2.23 = 3.345. सब कुछ बहुत सरल है, और यदि आप पहले से ही प्राकृतिक संख्याओं के गुणन में महारत हासिल कर चुके हैं तो इससे कठिनाई नहीं होनी चाहिए।
विभाजन भी प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन के समान ही है, लेकिन थोड़े विचलन के साथ। से विभाजित करना दशमलव संख्याएक कॉलम में, आपको भाजक में अल्पविराम को हटाना होगा और भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या से लाभांश को गुणा करना होगा। फिर प्राकृतिक संख्याओं की तरह विभाजन करें। अपूर्ण रूप से विभाजित करते समय, आप दाईं ओर लाभांश में शून्य जोड़ सकते हैं, दशमलव बिंदु के बाद उत्तर में भी शून्य जोड़ सकते हैं।
दशमलव के साथ संक्रियाओं के उदाहरण.अंकगणितीय गणना के लिए दशमलव एक बहुत ही सुविधाजनक उपकरण है। वे प्राकृतिक संख्याओं, पूर्ण संख्याओं और भिन्नों की सटीकता की सुविधा को जोड़ते हैं। इसके अलावा, कुछ भिन्नों को दूसरे भिन्नों में परिवर्तित करना काफी आसान है। भिन्नों वाली संक्रियाएँ प्राकृतिक संख्याओं वाली संक्रियाओं से भिन्न नहीं हैं।
- जोड़: 1.5 + 2.7 = 4.2
- घटाव: 3.1 - 1.6 = 1.5
- गुणन: 1.7 * 2.3 = 3.91
- प्रभाग: 3.6: 0.6 = 6
इसके अलावा, दशमलव प्रतिशत का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयुक्त हैं। तो, 100% = 1; 60% = 0.6; और इसके विपरीत: 0.659 = 65.9%।
भिन्नों के बारे में आपको बस इतना ही जानना चाहिए। लेख में दो प्रकार के भिन्नों की जांच की गई - साधारण और दशमलव। दोनों की गणना करना काफी सरल है, और यदि आपने प्राकृतिक संख्याओं और उनके साथ संचालन में पूरी तरह से महारत हासिल कर ली है, तो आप सुरक्षित रूप से भिन्न सीखना शुरू कर सकते हैं।
दशमलव। दशमलव पर संक्रियाएँ
(पाठ का सारांश)
तुमीशेवा ज़मीरा तानसिकबाएवना, गणित शिक्षक, व्यायामशाला स्कूल नंबर 2
खोमटाऊ शहर, अकोतोबे क्षेत्र, कजाकिस्तान गणराज्य
यह विकासयह पाठ "दशमलव भिन्नों पर क्रियाएँ" अध्याय पर एक सामान्यीकरण पाठ के रूप में अभिप्रेत है। इसका उपयोग 5वीं और 6वीं दोनों कक्षाओं में किया जा सकता है। पाठ चंचल तरीके से आयोजित किया जाता है।
दशमलव भिन्न. दशमलव भिन्नों के साथ संक्रियाएँ।(पाठ का सारांश)
लक्ष्य:
प्राकृतिक संख्याओं और दशमलवों द्वारा दशमलवों के जोड़, घटाव, गुणा और भाग में कौशल का अभ्यास करना
कौशल विकास के लिए परिस्थितियाँ बनाना स्वतंत्र कार्य, आत्म-नियंत्रण और आत्म-सम्मान, बौद्धिक गुणों का विकास: ध्यान, कल्पना, स्मृति, विश्लेषण और सामान्यीकरण करने की क्षमता
टीकाकरण करें संज्ञानात्मक रुचिविषय के प्रति और आत्मविश्वास विकसित करें
शिक्षण योजना:
1. संगठनात्मक भाग.
3. हमारे पाठ का विषय और उद्देश्य।
4. खेल "प्रिय ध्वज के लिए!"
5. खेल "नंबर मिल"।
6. गीतात्मक विषयांतर.
7. परीक्षण कार्य.
8. गेम "एन्क्रिप्शन" (जोड़ियों में काम करें)
9. सारांश.
10. गृहकार्य.
1. संगठनात्मक भाग. नमस्ते। बैठिए।
2. दशमलव के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ करने के नियमों की समीक्षा।
दशमलव जोड़ने और घटाने का नियम:
1) इन भिन्नों में दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करना;
2) एक को दूसरे के नीचे लिखें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे रहे;
3) अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना, क्रिया (जोड़ या घटाव) करें, और परिणामस्वरूप अल्पविराम के नीचे अल्पविराम लगाएं।
3,455 + 0,45 = 3,905 3,5 + 4 = 7,5 15 – 7,88 = 7,12 4,57 - 3,2 = 1,37
3,455 + 3,5 _15,00 _ 4,57
0,450 4,0 7,88 3,20
3,905 7,5 7,12 1,37
जोड़ते और घटाते समय, प्राकृतिक संख्याओं को दशमलव अंश के रूप में लिखा जाता है जिसमें दशमलव स्थान शून्य के बराबर होता है
दशमलव को गुणा करने का नियम:
1) अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना, संख्याओं को गुणा करें;
2) परिणामी उत्पाद में दाएँ से बाएँ उतने ही अंक अल्पविराम से अलग करें जितने दशमलव भिन्नों में अल्पविराम से अलग होते हैं।
दशमलव अंश को अंक इकाइयों (10, 100, 1000, आदि) से गुणा करते समय, दशमलव बिंदु दाईं ओर उतने अंकों से चला जाता है जितने अंक इकाई में शून्य होते हैं
4
17.25 4 = 69
x 1 7.2 5
4
6 9,0 0
15.256 100 = 1525.6
.5 · 0.52 = 2.35एक्स 0.5 2
4,5
2 7 0
2 0 8__
2,3 5 0
गुणा करते समय प्राकृत संख्याओं को प्राकृत संख्याओं के रूप में लिखा जाता है।
दशमलव भिन्नों को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का नियम:
1) लाभांश के पूरे भाग को विभाजित करें, भागफल में अल्पविराम लगाएं;
2) विभाजन जारी रखें.
विभाजित करते समय हम लाभांश से शेषफल में केवल एक संख्या जोड़ते हैं।
यदि किसी दशमलव भिन्न को विभाजित करने की प्रक्रिया में शेषफल बचता है तो उसमें आवश्यक संख्या में शून्य जोड़कर हम तब तक विभाजन जारी रखेंगे जब तक कि शेषफल शून्य न हो जाए।
15,256: 100 = 0,15256
0,25: 1000 = 0,00025
दशमलव अंश को अंक इकाइयों (10, 100, 1000, आदि) में विभाजित करते समय, अंक इकाई में जितने शून्य होते हैं, उतने अंकों से अल्पविराम बाईं ओर चला जाता है।
18,4: 8 = 2,3
_ 18,4 І_8_
16 2,3
2 4
2 4
22,2: 25 = 0,88
22,2 І_25_
0 0,888
22 2
20 0
2 20
2 00
200
200
3,56: 4 = 0,89
3,56 І_4_
0 0,89
3 5
3 2
36
विभाजित करते समय प्राकृत संख्याओं को प्राकृत संख्याओं के रूप में लिखा जाता है।
दशमलव को दशमलव से विभाजित करने का नियम है:
1) भाजक में अल्पविराम को दाईं ओर ले जाएँ ताकि हमें एक प्राकृतिक संख्या प्राप्त हो;
2) भाज्य में अल्पविराम को दाईं ओर उतनी संख्या में ले जाएँ, जितनी भाजक में हटाई गई थीं;
3) दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें।
3,76: 0,4 = 9, 4
_ 3,7,6 І_0,4,_
3 6 9, 4
1 6
1 6
0
खेल "प्रिय ध्वज के लिए!"
खेल के नियम:प्रत्येक टीम से, एक छात्र को बोर्ड पर बुलाया जाता है और निचले चरण से मौखिक गिनती करता है। जो व्यक्ति एक उदाहरण को हल करता है वह उत्तर को तालिका में अंकित करता है। फिर उसकी जगह टीम के किसी अन्य सदस्य को ले लिया जाता है। एक ऊपर की ओर गति है - प्रतिष्ठित ध्वज की ओर। मैदान में छात्र मौखिक रूप से अपने खिलाड़ियों के प्रदर्शन की समीक्षा करते हैं। यदि उत्तर गलत है, तो टीम का एक अन्य सदस्य समस्याओं का समाधान जारी रखने के लिए बोर्ड में आता है। टीम के कप्तान छात्रों को बोर्ड में काम करने के लिए बुलाते हैं। सबसे कम छात्रों के साथ सबसे पहले झंडे तक पहुंचने वाली टीम जीत जाती है।
खेल "नंबर मिल"
खेल के नियम:मिल सर्कल में संख्याएँ होती हैं। वृत्तों को जोड़ने वाले तीर क्रियाओं को दर्शाते हैं। कार्य केंद्र से बाहरी वृत्त तक तीर के साथ चलते हुए अनुक्रमिक क्रियाएं करना है। संकेतित मार्ग के साथ अनुक्रमिक क्रियाएं करने पर, आपको नीचे दिए गए मंडलियों में से एक में उत्तर मिलेगा। प्रत्येक तीर पर क्रिया करने का परिणाम उसके आगे के अंडाकार में लिखा होता है।
गीतात्मक विषयांतर.
लाइफशिट्ज़ की कविता "तीन दसवें"
यह कौन है
ब्रीफ़केस से
हताशा में इसे फेंक देता है
घृणित समस्या पुस्तक,
पेंसिल केस और नोटबुक
और वह अपनी डायरी में डालता है.
बिना शरमाये,
एक ओक साइडबोर्ड के नीचे।
साइडबोर्ड के नीचे लेटने के लिए?..
कृपया मिलिये:
कोस्त्या ज़िगालिन।
शाश्वत सता का शिकार, -
वह फिर असफल हो गया.
और फुफकारता है
अस्त-व्यस्त करना
समस्या पुस्तिका को देखते हुए:
मैं तो बदकिस्मत हूँ!
मैं तो बस हारा हुआ हूं!
कारण क्या है
उसकी शिकायतें और झुंझलाहट?
कि उत्तर जुड़ नहीं पाया
केवल तीन दसवां हिस्सा.
यह तो बस एक छोटी सी बात है!
और उसके लिए, निःसंदेह,
दोष ढूंढना
कठोर
मरिया पेत्रोव्ना.
तीन दसवाँ...
इस गलती के बारे में बताएं -
और, शायद, उनके चेहरे पर
आपको एक मुस्कान नजर आएगी.
तीन दसवाँ...
और फिर भी इस गलती के बारे में
मुझे आपसे पूछना है
मेरी बात सुनो
कोई मुस्कान नहीं.
यदि केवल, अपना घर बना रहे हैं।
जिसमें आप रहते हैं.
वास्तुकार
थोड़ा सा
मैं गलत था
गणना में,-
क्या होगा?
क्या आप जानते हैं, कोस्त्या ज़िगालिन?
यह घर
घूम गया होगा
खंडहरों के ढेर में!
आप पुल पर कदम रखें.
यह विश्वसनीय और टिकाऊ है.
इंजीनियर मत बनो
उनके चित्रों में सटीक, -
क्या आप, कोस्त्या,
गिर कर
ठंडी नदी में
मैं धन्यवाद नहीं कहूंगा
वह आदमी!
यहाँ टरबाइन है.
उसके पास एक शाफ्ट है
टर्नर्स द्वारा बर्बाद किया गया।
यदि केवल एक टर्नर
प्रगति पर है
बहुत सटीक नहीं था -
ऐसा होगा, कोस्त्या,
बड़ा दुर्भाग्य:
टरबाइन को उड़ा दिया जाएगा
छोटे टुकड़ों में!
तीन दसवाँ -
और दीवारें
बनाये जा रहे हैं
कोसो!
तीन दसवाँ -
और वे ढह जायेंगे
कारें
ढलान से बाहर!
भूल करना
केवल तीन दसवां हिस्सा
फार्मेसी, -
दवा जहर बन जायेगी
एक आदमी को मार डालेगा!
हमने तोड़-फोड़ की और गाड़ी चलाई
फासीवादी गिरोह.
तुम्हारे पिता ने सेवा की
बैटरी कमांड.
आते ही उसने गलती कर दी
कम से कम तीन दसवां हिस्सा, -
गोले मुझ तक नहीं पहुँचे होंगे
शापित फासिस्टों.
इसके बारे में सोचो
मेरे दोस्त, शांतचित्त
और कहो।
क्या वह सही नहीं थी?
मरिया पेत्रोव्ना?
ईमानदारी से
जरा इसके बारे में सोचो, कोस्त्या।
आप ज्यादा देर तक लेटे नहीं रहेंगे
बुफ़े के नीचे डायरी में!
"दशमलव" विषय पर परीक्षण कार्य (गणित -5)
स्क्रीन पर क्रम से 9 स्लाइड दिखाई देंगी। छात्र विकल्प संख्या और प्रश्न के उत्तर अपनी नोटबुक में लिख लेते हैं। उदाहरण के लिए, विकल्प 2
1. सी; 2. ए; वगैरह।
प्रश्न 1
विकल्प 1
किसी दशमलव भिन्न को 100 से गुणा करते समय, आपको इस भिन्न में दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करना होगा:
ए. बायीं ओर 2 अंकों से; बी. दाईं ओर 2 अंकों से; C. अल्पविराम का स्थान न बदलें।
विकल्प 2
किसी दशमलव भिन्न को 10 से गुणा करते समय, आपको इस भिन्न में दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करना होगा:
A. दाईं ओर 1 अंक से; बी. बायीं ओर 1 अंक से; C. अल्पविराम का स्थान न बदलें।
प्रश्न 2
विकल्प 1
गुणनफल के रूप में योग 6.27+6.27+6.27+6.27+6.27 इस प्रकार लिखा जाता है:
ए. 6.27 5; वी. 6.27 · 6.27; पी. 6.27·4.
विकल्प 2
गुणनफल के रूप में योग 9.43+9.43+9.43+9.43 इस प्रकार लिखा जाता है:
ए. 9.43 · 9.43; वी. 6 · 9.43; पी. 9.43 · 4.
प्रश्न 3
विकल्प 1
गुणनफल 72.43·18 में दशमलव बिंदु के बाद होगा:
विकल्प 2
दशमलव बिंदु के बाद गुणनफल 12.453·35 में होगा:
ए. 2 अंक; बी. 0 अंक; सी. 3 अंक.
प्रश्न 4
विकल्प 1
दशमलव बिंदु के बाद भागफल 76.4:2 में यह होगा:
ए. 2 अंक; बी. 0 अंक; सी. 1 अंक.
विकल्प 2
दशमलव बिंदु के बाद भागफल 95.4:6 में यह होगा:
ए. 1 अंक; बी. 3 अंक; सी. 2 अंक.
प्रश्न 5
विकल्प 1
व्यंजक 34.5 का मान ज्ञात कीजिए: x + 0.65· y, x=10 y=100 के साथ:
ए. 35.15; वी. 68.45; पृ. 9.95.
विकल्प 2
x=100 y=1000 के साथ व्यंजक 4.9 x +525:y का मान ज्ञात कीजिए:
ए. 4905.25; वी. 529.9; पृ. 490.525.
प्रश्न 6
विकल्प 1
0.25 और 12 सेमी भुजाओं वाले एक आयत का क्षेत्रफल है
ए. 3; वी. 0.3; पी. 30.
विकल्प 2
0.5 और 36 सेमी भुजाओं वाले एक आयत का क्षेत्रफल बराबर है
ए. 1.8; वी. 18; एस. 0.18.
प्रश्न 7
विकल्प 1
दो छात्र एक ही समय में विपरीत दिशाओं में स्कूल से निकले। पहले छात्र की गति 3.6 किमी/घंटा है, दूसरे की गति 2.56 किमी/घंटा है। 3 घंटे के बाद उनके बीच की दूरी बराबर हो जाएगी:
उ. 6.84 किमी; ई. 18.48 किमी; एन. 3.12 कि.मी
विकल्प 2
दो साइकिल चालक एक ही समय में विपरीत दिशाओं में स्कूल से निकले। पहले की गति 11.6 किमी/घंटा है, दूसरे की गति 13.06 किमी/घंटा है। 4 घंटे के बाद उनके बीच की दूरी बराबर हो जाएगी:
उ. 5.84 किमी; ई. 100.8 किमी; एन. 98.64 कि.मी
विकल्प 1
विकल्प 2
अपने उत्तर जाँचें। सही उत्तर के लिए "+" और गलत उत्तर के लिए "-" लगाएं।
खेल "एन्क्रिप्शन"
खेल के नियम:प्रत्येक डेस्क को एक कार्य के साथ एक कार्ड दिया जाता है जिसमें एक अक्षर कोड होता है। चरणों को पूरा करने और परिणाम प्राप्त करने के बाद, अपने उत्तर के अनुरूप संख्या के नीचे अपने कार्ड का अक्षर कोड लिखें।
परिणामस्वरूप, हमें निम्नलिखित वाक्य मिलता है:
6,8
420
21,6
420
306
65,8
21,6
पाठ का सारांश.
परीक्षण कार्य के लिए ग्रेड की घोषणा की जाती है।
गृहकार्य क्रमांक 1301, 1308, 1309
आपके ध्यान देने के लिए धन्यवाद!!!