इस विषय पर गणित में छठी कक्षा के लिए विलेंकिन, ज़ोखोव, चेस्नोकोव, श्वार्ट्सबर्ड समस्या पुस्तक से समस्याओं का समाधान:
§ 4. संबंध और अनुपात:
22. प्रत्यक्ष और व्युत्क्रमानुपाती संबंध
1 3.2 किलोग्राम सामान के लिए उन्होंने 115.2 रूबल का भुगतान किया। इस उत्पाद के 1.5 किलोग्राम के लिए आपको कितना भुगतान करना होगा?
समाधान
2 दो आयत हैं समान क्षेत्र. पहले आयत की लंबाई 3.6 मीटर है और चौड़ाई 2.4 मीटर है। दूसरे की लंबाई 4.8 मीटर है।
समाधान
782 निर्धारित करें कि मात्राओं के बीच संबंध प्रत्यक्ष, व्युत्क्रम, या आनुपातिक नहीं है: स्थिर गति से कार द्वारा तय की गई दूरी और उसके आंदोलन का समय; एक कीमत पर खरीदे गए सामान की लागत और उसकी मात्रा; वर्ग का क्षेत्रफल और उसकी भुजा की लंबाई; स्टील बार का द्रव्यमान और उसका आयतन; समान उत्पादकता के साथ कुछ कार्य करने वाले श्रमिकों की संख्या, और पूरा होने का समय; एक निश्चित राशि के लिए खरीदे गए उत्पाद की लागत और उसकी मात्रा; व्यक्ति की उम्र और उसके जूते का आकार; घन का आयतन और उसके किनारे की लंबाई; वर्ग की परिधि और उसकी भुजा की लंबाई; एक भिन्न और उसका हर, यदि अंश नहीं बदलता है; एक भिन्न और उसका अंश, यदि हर नहीं बदलता है।
समाधान
783 6 सेमी3 आयतन वाली एक स्टील की गेंद का द्रव्यमान 46.8 ग्राम है, यदि उसी स्टील से बनी गेंद का आयतन 2.5 सेमी3 है तो उसका द्रव्यमान क्या है?
समाधान
784 21 किलो कपास के बीज से 5.1 किलो तेल प्राप्त हुआ। 7 किलो बिनौला से कितना तेल प्राप्त होगा?
समाधान
785 स्टेडियम के निर्माण के लिए 5 बुलडोजरों ने 210 मिनट में साइट को साफ कर दिया। इस साइट को साफ़ करने में 7 बुलडोज़रों को कितना समय लगेगा?
समाधान
786 माल के परिवहन के लिए 7.5 टन की वहन क्षमता वाले 24 वाहनों की आवश्यकता थी, उसी माल के परिवहन के लिए 4.5 टन की वहन क्षमता वाले कितने वाहनों की आवश्यकता है?
समाधान
787. बीजों के अंकुरण को निर्धारित करने के लिए मटर बोये गये। बोई गई 200 मटर में से 170 मटर अंकुरित (अंकुरित) हुई?
समाधान
788 रविवार को शहर की हरियाली के दौरान, सड़क पर लिंडेन के पेड़ लगाए गए। लगाए गए सभी लिंडन पेड़ों में से 95% स्वीकार किए गए। यदि 57 लिंडेन पेड़ लगाए गए तो उनमें से कितने लगाए गए?
समाधान
789 स्की अनुभाग में 80 छात्र हैं। इनमें 32 लड़कियां भी शामिल हैं. अनुभाग में कितने प्रतिशत प्रतिभागी लड़कियाँ और लड़के हैं?
समाधान
790 योजना के अनुसार, प्लांट को एक महीने में 980 टन स्टील गलाना था। लेकिन योजना 115% पूरी हुई। संयंत्र ने कितने टन स्टील का उत्पादन किया?
समाधान
791 8 महीनों में, कार्यकर्ता ने वार्षिक योजना का 96% पूरा कर लिया। यदि कर्मचारी समान उत्पादकता के साथ काम करता है तो वह वार्षिक योजना का कितना प्रतिशत 12 महीनों में पूरा करेगा?
समाधान
792 तीन दिनों में, कुल चुकंदर का 16.5% काटा गया। यदि आप समान उत्पादकता पर काम करते हैं तो 60.5% चुकंदर की कटाई करने में कितने दिन लगेंगे?
समाधान
793 लौह अयस्क में, लोहे के प्रत्येक 7 भाग में 3 भाग अशुद्धियाँ होती हैं। जिस अयस्क में 73.5 टन लोहा है उसमें कितनी टन अशुद्धियाँ हैं?
समाधान
794 बोर्स्ट तैयार करने के लिए, प्रत्येक 100 ग्राम मांस के लिए आपको 60 ग्राम चुकंदर लेने की आवश्यकता होगी। 650 ग्राम मांस के लिए आपको कितनी चुकंदर लेनी चाहिए?
समाधान
796 निम्नलिखित भिन्नों में से प्रत्येक को अंश 1 वाले दो भिन्नों के योग के रूप में व्यक्त करें।
समाधान
797 संख्या 3, 7, 9 और 21 से दो सही अनुपात बनाएं।
समाधान
798 अनुपात के मध्य पद 6 और 10 हैं। चरम पद क्या हो सकते हैं? उदाहरण दो।
समाधान
799 x के किस मान पर अनुपात सही है।
समाधान
800 2 मिनट से 10 सेकंड का अनुपात ज्ञात कीजिए; 0.3 एम2 से 0.1 डीएम2; 0.1 किग्रा से 0.1 ग्राम; 4 घंटे से 1 दिन तक; 3 डीएम3 से 0.6 एम3
समाधान
801 अनुपात सही होने के लिए निर्देशांक किरण पर संख्या c कहाँ स्थित होनी चाहिए।
समाधान
802 मेज को कागज की शीट से ढक दें। पहली पंक्ति को कुछ सेकंड के लिए खोलें और फिर उसे बंद करके उस पंक्ति के तीन अंकों को दोहराने या लिखने का प्रयास करें। यदि आपने सभी संख्याओं को सही ढंग से पुन: प्रस्तुत किया है, तो तालिका की दूसरी पंक्ति पर जाएँ। यदि किसी पंक्ति में कोई त्रुटि हो तो दो अंकों की एक ही संख्या के कई सेट स्वयं लिखें और याद करने का अभ्यास करें। यदि आप त्रुटियों के बिना कम से कम पांच दो अंकों वाली संख्याओं को पुन: पेश कर सकते हैं, तो आपके पास एक अच्छी याददाश्त है।
समाधान
804 क्या निम्नलिखित संख्याओं से सही अनुपात बनाना संभव है?
समाधान
805 उत्पादों की समानता से 3 · 24 = 8 · 9, तीन सही अनुपात बनाएं।
समाधान
806 खंड AB की लंबाई 8 dm है, और खंड CD की लंबाई 2 सेमी है। AB और CD की लंबाई का अनुपात ज्ञात कीजिए। लंबाई CD AB का कौन सा भाग है?
समाधान
807 सेनेटोरियम की एक यात्रा की लागत 460 रूबल है। ट्रेड यूनियन यात्रा की लागत का 70% भुगतान करता है। एक पर्यटक एक यात्रा के लिए कितना भुगतान करेगा?
समाधान
808 अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें।
समाधान
809 1) 40 किलोग्राम वजन वाले कास्टिंग भाग को संसाधित करते समय, 3.2 किलोग्राम बर्बाद हो गया। ढलाई से भाग का द्रव्यमान कितना प्रतिशत है? 2) 1750 किलो अनाज छांटने पर 105 किलो बर्बाद हो गया। कितना प्रतिशत अनाज बचा है?
मैं. सीधा आनुपातिक मात्राएँ.
चलो मूल्य यआकार पर निर्भर करता है एक्स. यदि बढ़ रहा है एक्सआकार से कई गुना परसमान मात्रा से बढ़ता है, तो ऐसे मान एक्सऔर परसीधे आनुपातिक कहलाते हैं।
उदाहरण।
1 . खरीदे गए सामान की मात्रा और खरीद मूल्य (माल की एक इकाई के लिए एक निश्चित मूल्य के साथ - 1 टुकड़ा या 1 किलो, आदि) जितनी बार अधिक सामान खरीदा गया, उतने अधिक बार अधिक भुगतान किया गया।
2 . तय की गई दूरी और उस पर बिताया गया समय (स्थिर गति से)। रास्ता कितने गुना लंबा है, उसे पूरा करने में कितने गुना ज्यादा समय लगेगा.
3 . किसी पिंड का आयतन और उसका द्रव्यमान। ( यदि एक तरबूज दूसरे से 2 गुना बड़ा है, तो उसका द्रव्यमान 2 गुना बड़ा होगा)
द्वितीय. मात्राओं की प्रत्यक्ष आनुपातिकता की संपत्ति।
यदि दो मात्राएँ सीधे आनुपातिक हैं, तो पहली मात्रा के दो मनमाने ढंग से लिए गए मानों का अनुपात दूसरी मात्रा के दो संगत मानों के अनुपात के बराबर होता है।
कार्य 1।रास्पबेरी जैम के लिए हमने लिया 12 किग्रारसभरी और 8 किग्रासहारा। यदि आपने इसे लिया तो आपको कितनी चीनी की आवश्यकता होगी? 9 किग्रारसभरी?
समाधान।
हम इस तरह तर्क करते हैं: इसे आवश्यक होने दें x किग्राचीनी के लिए 9 किग्रारास्पबेरी रसभरी का द्रव्यमान और चीनी का द्रव्यमान सीधे आनुपातिक मात्राएँ हैं: जितनी गुना कम रसभरी, उतनी ही गुना कम चीनी की आवश्यकता होती है। इसलिए, ली गई रसभरी का अनुपात (वजन के अनुसार) ( 12:9 ) ली गई चीनी के अनुपात के बराबर होगा ( 8:x). हमें अनुपात मिलता है:
12: 9=8: एक्स;
एक्स=9 · 8: 12;
एक्स=6. उत्तर:पर 9 किग्रारसभरी लेने की जरूरत है 6 किग्रासहारा।
समस्या का समाधानइसे इस प्रकार किया जा सकता है:
पर चलो 9 किग्रारसभरी लेने की जरूरत है x किग्रासहारा।
(आकृति में तीर एक दिशा में निर्देशित हैं, और ऊपर या नीचे कोई फर्क नहीं पड़ता। मतलब: संख्या कितनी बार 12 अधिक संख्या 9 , समान संख्या में बार 8 अधिक संख्या एक्स, यानी यहां सीधा संबंध है)।
उत्तर:पर 9 किग्रामुझे कुछ रसभरी लेनी है 6 किग्रासहारा।
कार्य 2.कार के लिए 3 घंटेकी दूरी तय की 264 कि.मी. उसे यात्रा करने में कितना समय लगेगा? 440 कि.मी, यदि वह समान गति से गाड़ी चलाता है?
समाधान।
के लिए चलो x घंटेकार दूरी तय करेगी 440 कि.मी.
उत्तर:कार गुजर जाएगी 5 घंटे में 440 किमी.
कार्य 3.पाइप से पानी पूल में बहता है। पीछे 2 घंटेवह भरती है 1/5 स्विमिंग पूल तालाब के किस भाग में पानी भरा हुआ है? पांच बजे?
समाधान।
हम कार्य के प्रश्न का उत्तर देते हैं: के लिए पांच बजेभर दिया जाएगा 1/xपूल का हिस्सा. (पूरे पूल को एक के रूप में लिया जाता है)।
निर्भरता के प्रकार
आइए बैटरी चार्ज करने पर नजर डालें। पहली मात्रा के रूप में, आइए चार्ज होने में लगने वाले समय को लें। दूसरा मान वह समय है जो चार्ज करने के बाद काम करेगा। आप बैटरी को जितनी देर तक चार्ज करेंगे, वह उतनी ही देर तक चलेगी। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहेगी जब तक बैटरी पूरी तरह चार्ज न हो जाए।
बैटरी के संचालन समय की निर्भरता उसके चार्ज होने के समय पर होती है
नोट 1
इस निर्भरता को कहा जाता है सीधा:
जैसे ही एक मान बढ़ता है, वैसे ही दूसरा भी बढ़ता है। जैसे ही एक मान घटता है, दूसरा मान भी घट जाता है।
आइए एक और उदाहरण देखें.
एक छात्र जितनी अधिक किताबें पढ़ेगा, श्रुतलेख में वह उतनी ही कम गलतियाँ करेगा। या फिर आप पहाड़ों में जितना ऊपर उठेंगे, वायुमंडलीय दबाव उतना ही कम होगा।
नोट 2
इस निर्भरता को कहा जाता है रिवर्स:
जैसे ही एक मान बढ़ता है, दूसरा घट जाता है। जैसे ही एक मान घटता है, दूसरा मान बढ़ता है।
इस प्रकार, मामले में प्रत्यक्ष निर्भरतादोनों मात्राएँ समान रूप से बदलती हैं (दोनों या तो बढ़ती हैं या घटती हैं), और मामले में विपरीत रिश्ते – विपरीत (एक बढ़ता है और दूसरा घटता है, या इसके विपरीत)।
मात्राओं के बीच निर्भरता का निर्धारण
उदाहरण 1
किसी मित्र से मिलने में लगने वाला समय $20$ मिनट है। यदि गति (पहला मान) $2$ गुना बढ़ जाती है, तो हम पाएंगे कि मित्र के रास्ते पर खर्च किया जाने वाला समय (दूसरा मान) कैसे बदल जाता है।
जाहिर है, समय $2$ गुना कम हो जाएगा।
नोट 3
इस निर्भरता को कहा जाता है आनुपातिक:
एक मात्रा जितनी बार बदलती है, उतनी ही बार दूसरी मात्रा बदलती है।
उदाहरण 2
स्टोर में $2$ की रोटियों के लिए आपको 80 रूबल का भुगतान करना होगा। यदि आपको $4$ की रोटियाँ खरीदनी हैं (रोटी की मात्रा $2$ गुना बढ़ जाती है), तो आपको कितनी गुना अधिक भुगतान करना होगा?
जाहिर है लागत भी 2$ गुना बढ़ जाएगी। हमारे पास आनुपातिक निर्भरता का एक उदाहरण है।
दोनों उदाहरणों में, आनुपातिक निर्भरता पर विचार किया गया। लेकिन रोटियों के उदाहरण में, मात्राएँ एक दिशा में बदलती हैं, इसलिए, निर्भरता है सीधा. और किसी मित्र के घर जाने के उदाहरण में, गति और समय के बीच संबंध है रिवर्स. इस प्रकार वहाँ है सीधे आनुपातिक संबंधऔर व्युत्क्रमानुपाती संबंध.
प्रत्यक्ष आनुपातिकता
आइए $2$ की आनुपातिक मात्रा पर विचार करें: रोटियों की संख्या और उनकी लागत। माना $2$ की रोटी की कीमत $80$ रूबल है। यदि बन्स की संख्या $4$ गुना ($8$ बन्स) बढ़ जाती है, तो उनकी कुल लागत $320$ रूबल होगी।
रोल की संख्या का अनुपात: $\frac(8)(2)=4$.
बन लागत अनुपात: $\frac(320)(80)=$4.
जैसा कि आप देख सकते हैं, ये संबंध एक दूसरे के बराबर हैं:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
परिभाषा 1
दो अनुपातों की समानता कहलाती है अनुपात.
सीधे आनुपातिक निर्भरता के साथ, एक संबंध तब प्राप्त होता है जब पहली और दूसरी मात्रा में परिवर्तन मेल खाता है:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
परिभाषा 2
दो मात्राएँ कहलाती हैं सीधे आनुपातिक, यदि जब उनमें से एक बदलता है (बढ़ता या घटता है), तो दूसरा मूल्य भी उसी मात्रा में बदलता है (क्रमशः बढ़ता या घटता है)।
उदाहरण 3
कार ने $2$ घंटे में $180$ किमी की यात्रा की। वह समय ज्ञात कीजिए जिसके दौरान वह समान गति से $2$ गुना दूरी तय करेगा।
समाधान.
समय सीधे दूरी के समानुपाती होता है:
$t=\frac(S)(v)$.
स्थिर गति से दूरी कितनी गुना बढ़ जाएगी, उसी गति से समय बढ़ जाएगा:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
कार ने $2$ घंटे में $180$ किमी की यात्रा की
कार $180 \cdot 2=360$ किमी - $x$ घंटों में तय करेगी
कार जितनी दूर तक यात्रा करेगी, उसे उतना ही अधिक समय लगेगा। नतीजतन, मात्राओं के बीच संबंध सीधे आनुपातिक है।
आइए एक अनुपात बनाएं:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
उत्तर: कार को $4$ घंटे की आवश्यकता होगी।
व्युत्क्रम आनुपातिकता
परिभाषा 3
समाधान.
समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$t=\frac(S)(v)$.
एक ही पथ पर गति कितनी गुना बढ़ जाती है, समय भी उसी मात्रा में घट जाता है:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
आइए समस्या की स्थिति को एक तालिका के रूप में लिखें:
कार ने $60$ किमी की यात्रा $6$ घंटों में की
कार $120$ किमी - $x$ घंटों में तय करेगी
कार की गति जितनी तेज़ होगी, समय उतना ही कम लगेगा। परिणामस्वरूप, मात्राओं के बीच का संबंध व्युत्क्रमानुपाती होता है।
चलिए एक अनुपात बनाते हैं.
क्योंकि आनुपातिकता व्युत्क्रम है, अनुपात में दूसरा संबंध उलटा है:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
उत्तर: कार को $3$ घंटे की आवश्यकता होगी।
छ) व्यक्ति की उम्र और उसके जूते का आकार;
ज) घन का आयतन और उसके किनारे की लंबाई;
i) वर्ग की परिधि और उसकी भुजा की लंबाई;
जे) एक भिन्न और उसका हर, यदि अंश नहीं बदलता है;
k) एक भिन्न और उसका अंश, यदि हर नहीं बदलता है।
समस्याएँ 767-778 लिखकर हल करें।
767. 6 सेमी 3 आयतन वाली एक स्टील की गेंद का द्रव्यमान 46.8 ग्राम है, यदि उसी स्टील से बनी गेंद का आयतन 2.5 सेमी 3 है तो उसका द्रव्यमान क्या होगा?
768. 21 किलोग्राम कपास के बीज से 5.1 किलोग्राम तेल प्राप्त हुआ। 7 किलो बिनौला से कितना तेल प्राप्त होगा?
769. स्टेडियम के निर्माण के लिए 5 बुलडोजरों ने 210 मिनट में साइट को साफ कर दिया। इस साइट को साफ़ करने में 7 बुलडोज़रों को कितना समय लगेगा?
770. माल के परिवहन के लिए 7.5 टन भार उठाने की क्षमता वाले 24 वाहनों की आवश्यकता थी। समान माल के परिवहन के लिए 4.5 टन भार उठाने की क्षमता वाले कितने वाहनों की आवश्यकता है?
771. बीजों का अंकुरण ज्ञात करने के लिए मटर बोया गया। बोई गई 200 मटरों में से 170 मटर अंकुरित हो गईं (अंकुरण प्रतिशत)?
772. रविवार को शहर की हरियाली के दौरान सड़क पर लिंडन के पेड़ लगाए गए। लगाए गए सभी लिंडेन पेड़ों में से 95% स्वीकार किए गए। यदि 57 लिंडेन पेड़ लगाए गए तो कितने लिंडेन पेड़ लगाए गए?
773. स्की अनुभाग में 80 छात्र हैं। इनमें 32 लड़कियां भी शामिल हैं. किस अनुभाग के सदस्य लड़कियाँ हैं और कौन से लड़के हैं?
774. योजना के अनुसार सामूहिक खेत में 980 हेक्टेयर में मक्का बोना चाहिए। लेकिन योजना 115% पूरी हुई। सामूहिक खेत में कितने हेक्टेयर में मक्का बोया गया?
775. 8 महीनों में, कार्यकर्ता ने वार्षिक योजना का 96% पूरा कर लिया। यदि कर्मचारी समान उत्पादकता के साथ काम करता है तो वह वार्षिक योजना का कितना प्रतिशत 12 महीनों में पूरा करेगा?
776. तीन दिनों में, सभी चुकंदर का 16.5% काटा गया। समान उत्पादकता पर सभी चुकंदर की 60.5% फसल काटने में कितने दिन लगेंगे?
777. लौह अयस्क में, लोहे के प्रत्येक 7 भाग में 3 भाग अशुद्धियाँ होती हैं। जिस अयस्क में 73.5 टन लोहा है उसमें कितनी टन अशुद्धियाँ हैं?
778. बोर्स्ट तैयार करने के लिए, प्रत्येक 100 ग्राम मांस के लिए आपको 60 ग्राम चुकंदर लेने की आवश्यकता होती है। 650 ग्राम मांस के लिए आपको कितनी चुकंदर लेनी चाहिए?
पी 779. मौखिक रूप से गणना करें:
780. निम्नलिखित भिन्नों में से प्रत्येक को अंश 1 वाले दो भिन्नों के योग के रूप में प्रस्तुत करें: 
.
781. संख्या 3, 7, 9 और 21 से दो सही अनुपात बनाएं।
782. अनुपात के मध्य पद 6 और 10 हैं। चरम पद क्या हो सकते हैं? उदाहरण दो।
783. x के किस मान पर अनुपात सही है:
784. संबंध खोजें:
ए) 2 मिनट से 10 सेकेंड तक; ग) 0.1 किग्रा से 0.1 ग्राम; ई) 3 डीएम 3 से 0.6 मीटर 3।
बी) 0.3 मीटर 2 से 0.1 डीएम 2; घ) 4 घंटे से 1 दिन तक;
1) 6,0008:2,6 + 4,23 0,4;
2) 2,91 1,2 + 12,6288:3,6.
डी 795. 20 किलो सेब से 16 किलो सेब की चटनी मिलती है। ^^ 45 किलो सेब से आपको कितना सेब सॉस मिलेगा?
796. तीन चित्रकार 5 दिनों में काम पूरा कर सकते हैं। काम को गति देने के लिए दो और चित्रकारों को जोड़ा गया। यह मानते हुए कि सभी चित्रकार समान उत्पादकता के साथ काम करेंगे, उन्हें काम पूरा करने में कितना समय लगेगा?
797. 2.5 किलोग्राम मेमने के लिए उन्होंने 4.75 रूबल का भुगतान किया। आप 6.65 रूबल के लिए समान कीमत पर कितना मेमना खरीद सकते हैं?
798. चुकन्दर में 18.5% शर्करा होती है। 38.5 टन चुकंदर में कितनी चीनी होती है? अपने उत्तर को टन के दसवें भाग तक पूर्णांकित करें।
799. सूरजमुखी के बीज की नई किस्म में 49.5% तेल होता है। इन बीजों को कितने किलोग्राम लेना चाहिए ताकि उनमें 29.7 किलोग्राम तेल हो?
800. 80 किलो आलू में 14 किलो स्टार्च होता है। ऐसे आलू में स्टार्च का प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
801. अलसी के बीजों में 47% तेल होता है। 80 किलो अलसी के बीज में कितना तेल होता है?
802. चावल में 75% और जौ में 60% स्टार्च होता है। आपको कितना जौ लेना चाहिए ताकि उसमें उतना ही स्टार्च हो जितना 5 किलो चावल में होता है?
803. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:
ए) 203.81:(141 -136.42) + 38.4:0.7 5;
बी) 96:7.5 + 288.51:(80 - 76.74)।
एन.या.विलेंकिन, ए.एस. चेस्नोकोव, एस.आई. श्वार्ट्सबर्ड, वी.आई. ज़ोखोव, ग्रेड 6 के लिए गणित, पाठ्यपुस्तक हाई स्कूल