Kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alan laskeminen online-laskimella. Kuinka laskea tasohahmon pinta-ala kaksoisintegraalilla

Tässä artikkelissa opit löytämään viivoilla rajatun kuvan alueen integraalilaskelmien avulla. Ensimmäisen kerran törmätään tällaisen ongelman muotoiluun lukiossa, kun on juuri saatu päätökseen määrällisten integraalien tutkimus ja on aika aloittaa hankitun tiedon geometrinen tulkinta käytännössä.

Joten mitä tarvitaan onnistuneesti ratkaisemaan ongelman hahmon alueen löytäminen integraaleja käyttämällä:

  • Kyky tehdä päteviä piirustuksia;
  • Kyky ratkaista määrätty integraali käyttämällä hyvin tunnettua Newton-Leibnizin kaavaa;
  • Mahdollisuus "nähdä" kannattavampi ratkaisuvaihtoehto - ts. ymmärrätkö, kuinka integrointi on helpompaa toteuttaa yhdessä tai toisessa? x-akselia (OX) vai y-akselia (OY) pitkin?
  • No, missä me olisimme ilman oikeita laskelmia?) Tämä sisältää ymmärryksen siitä, kuinka toisen tyyppiset integraalit ratkaistaan ​​ja oikeat numeeriset laskelmat.

Algoritmi viivojen rajoittaman kuvion alueen laskenta-ongelman ratkaisemiseksi:

1. Rakennamme piirustusta. On suositeltavaa tehdä tämä ruudulliselle paperille suuressa mittakaavassa. Allekirjoitamme tämän funktion nimen kynällä jokaisen kaavion yläpuolella. Kaavioiden allekirjoitus tehdään vain lisälaskelmien helpottamiseksi. Saatuaan kaavion halutusta kuviosta, useimmissa tapauksissa on heti selvää, mitä integroinnin rajoja käytetään. Siten ratkaisemme ongelman graafisesti. Kuitenkin tapahtuu, että rajojen arvot ovat murto-osia tai irrationaalisia. Siksi voit tehdä lisälaskelmia, siirry vaiheeseen kaksi.

2. Jos integroinnin rajoja ei ole erikseen määritelty, etsimme graafien leikkauspisteet toistensa kanssa ja katsomme, onko graafinen ratkaisu analyyttisen kanssa.

3. Seuraavaksi sinun on analysoitava piirustus. Sen mukaan, miten funktiokaaviot on järjestetty, on olemassa erilaisia ​​lähestymistapoja kuvion alueen löytämiseen. Harkitsemme erilaisia ​​esimerkkejä hahmon alueen löytämiseen integraalien avulla.

3.1. Klassisin ja yksinkertaisin versio ongelmasta on, kun sinun on löydettävä kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Mikä on kaareva puolisuunnikas? Tämä on litteä kuva, jota rajoittaa x-akseli (y = 0), suoraan x = a, x = b ja mikä tahansa käyrä, joka on jatkuva välissä alkaen a kohtaan b. Lisäksi tämä luku ei ole negatiivinen eikä sijaitse x-akselin alapuolella. Tässä tapauksessa kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin tietty integraali, joka lasketaan Newton-Leibnizin kaavalla:

Esimerkki 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Millä viivoilla kuva on rajattu? Meillä on paraabeli y = x2 – 3x + 3, joka sijaitsee akselin yläpuolella VOI, se ei ole negatiivinen, koska kaikilla tämän paraabelin pisteillä on positiiviset arvot. Seuraavaksi annettu suorat viivat x = 1 Ja x = 3, jotka kulkevat yhdensuuntaisesti akselin kanssa Op-amp, ovat vasemmalla ja oikealla olevan kuvan rajaviivat. Hyvin y = 0, se on myös x-akseli, joka rajoittaa kuvaa alhaalta. Tuloksena oleva kuva on varjostettu, kuten näkyy vasemmalla olevasta kuvasta. IN tässä tapauksessa, voit aloittaa ongelman ratkaisemisen välittömästi. Edessämme on yksinkertainen esimerkki kaarevasta puolisuunnikasta, jonka ratkaisemme edelleen käyttämällä Newton-Leibnizin kaavaa.

3.2. Edellisessä kappaleessa 3.1 tarkasteltiin tapausta, jossa kaareva puolisuunnikkaan sijaitsee x-akselin yläpuolella. Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa tehtävän ehdot ovat samat, paitsi että funktio on x-akselin alla. Newton-Leibnizin standardikaavaan lisätään miinus. Harkitsemme, kuinka ratkaista tällainen ongelma alla.

Esimerkki 2 . Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

IN tässä esimerkissä meillä on paraabeli y = x2 + 6x + 2, joka on peräisin akselilta VOI, suoraan x = -4, x = -1, y = 0. Tässä y = 0 rajoittaa haluttua lukua ylhäältä. Suoraan x = -4 Ja x = -1 nämä ovat rajat, joiden sisällä määrällinen integraali lasketaan. Kuvion alueen löytämisen ongelman ratkaisuperiaate on lähes täysin sama kuin esimerkin numero 1. Ainoa ero on, että annettu funktio ei ole positiivinen, ja on myös jatkuva välillä [-4; -1] . Mitä tarkoitat ei positiivisella? Kuten kuvasta näkyy, annettujen x:ien sisällä olevalla luvulla on yksinomaan "negatiiviset" koordinaatit, mikä meidän tulee nähdä ja muistaa ongelmaa ratkaiseessa. Haemme kuvion pinta-alaa Newton-Leibnizin kaavalla, vain miinusmerkillä alussa.

Artikkeli ei ole valmis.

Ongelma 1(kaarevan puolisuunnikkaan alueen laskemisesta).

Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä xOy on annettu kuva (katso kuva), jota rajoittaa x-akseli, suorat x = a, x = b (a kaarevalla puolisuunnikkaalla. On laskettava kaarevan linjan pinta-ala puolisuunnikkaan muotoinen.
Ratkaisu. Geometria antaa meille reseptejä monikulmioiden ja joidenkin ympyrän osien (sektorin, segmentin) pinta-alojen laskemiseen. Geometristen näkökohtien avulla voimme löytää vain likimääräisen arvon vaaditusta alueesta, päättely seuraavasti.

Jaetaan segmentti [a; b] (kaarevan puolisuunnikkaan kanta) kohdassa n yhtä suuret osat; tämä osio suoritetaan käyttämällä pisteitä x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Piirretään näiden pisteiden läpi suorat y-akselin suuntaiset viivat. Sitten annettu kaareva puolisuunnikas jaetaan n osaan, n kapeaan sarakkeeseen. Koko puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sarakkeiden pinta-alojen summa.

Tarkastellaan k:nnettä saraketta erikseen, ts. kaareva puolisuunnikas, jonka kanta on segmentti. Korvataan se suorakulmiolla, jolla on sama kanta ja korkeus f(x k) (katso kuva). Suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), missä \(\Delta x_k \) on janan pituus; On luonnollista pitää tuloksena saatua tuotetta k:nnen sarakkeen pinta-alan likimääräisenä arvona.

Jos nyt teemme samoin kaikkien muiden sarakkeiden kanssa, tulemme seuraavaan tulokseen: tietyn kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala S on suunnilleen yhtä suuri kuin n suorakulmiosta koostuvan porrastetun kuvion pinta-ala S n (katso kuva):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \pisteet + f(x_k)\Delta x_k + \pisteet + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Tässä oletetaan merkinnän yhtenäisyyden vuoksi, että a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - segmentin pituus, \(\Delta x_1 \) - segmentin pituus jne.; tässä tapauksessa, kuten yllä sovimme, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Joten \(S \noin S_n \), ja tämä likimääräinen yhtälö on sitä tarkempi, mitä suurempi n.
Määritelmän mukaan uskotaan, että kaarevan puolisuunnikkaan vaadittu pinta-ala on yhtä suuri kuin sekvenssin raja (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Ongelma 2(pisteen siirtämisestä)
Materiaalipiste liikkuu suorassa linjassa. Nopeuden riippuvuus ajasta ilmaistaan ​​kaavalla v = v(t). Etsi pisteen liike tietyn ajanjakson aikana [a; b].
Ratkaisu. Jos liike olisi tasaista, ongelma ratkeaisi hyvin yksinkertaisesti: s = vt, ts. s = v(b-a). Epätasaista liikettä varten on käytettävä samoja ideoita, joihin edellisen ongelman ratkaisu perustui.
1) Jaa aikaväli [a; b] n yhtä suureen osaan.
2) Tarkastellaan ajanjaksoa ja oletetaan, että tämän ajanjakson aikana nopeus oli vakio, sama kuin hetkellä t k. Joten oletetaan, että v = v(t k).
3) Etsitään pisteen liikkeen likimääräinen arvo tietyn ajanjakson aikana. Merkitään tämä likimääräinen arvo s k:llä
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Laske siirtymän s likimääräinen arvo:
\(s \noin S_n \) missä
\(S_n = s_0 + \pisteet + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \pisteet + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Vaadittu siirtymä on yhtä suuri kuin sekvenssin raja (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tehdään yhteenveto. Erilaisten ongelmien ratkaisut pelkistettiin samaan matemaattiseen malliin. Monet ongelmat eri tieteen ja teknologian aloilta johtavat samaan malliin ratkaisuprosessissa. Tämä tarkoittaa, että tätä matemaattista mallia on tutkittava erityisesti.

Määrätyn integraalin käsite

Tehdään matemaattinen kuvaus mallista, joka rakennettiin kolmeen tarkasteltuun tehtävään funktiolle y = f(x), jatkuva (mutta ei välttämättä ei-negatiivinen, kuten tarkasteluissa tehtävissä oletettiin) välillä [a; b]:
1) jakaa segmentti [a; b] n yhtä suureen osaan;
2) muodosta summa $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) laske $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Matemaattisen analyysin aikana osoitettiin, että tämä raja on olemassa jatkuvan (tai paloittain jatkuvan) funktion tapauksessa. He kutsuvat häntä funktion y = f(x) tietty integraali janan [a; b] ja merkitty seuraavasti:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Lukuja a ja b kutsutaan integroinnin rajoituksiksi (alempi ja ylempi).

Palataanpa edellä käsiteltyihin tehtäviin. Tehtävässä 1 annettu alueen määritelmä voidaan nyt kirjoittaa uudelleen seuraavasti:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
tässä S on yllä olevassa kuvassa esitetyn kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Tämä on määrätyn integraalin geometrinen merkitys.

Tehtävässä 2 annettu määritelmä pisteen siirtymälle s, joka liikkuu suorassa linjassa nopeudella v = v(t) ajanjaksolla t = a - t = b, joka on annettu tehtävässä 2, voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Newton-Leibnizin kaava

Ensin vastataan kysymykseen: mikä yhteys on määrätyn integraalin ja antiderivaatin välillä?

Vastaus löytyy tehtävästä 2. Toisaalta suorassa nopeudella v = v(t) liikkuvan pisteen siirtymä s ajanjaksolla t = a - t = b lasketaan kaava
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Toisaalta liikkuvan pisteen koordinaatti on nopeuden antiderivaata - merkitään se s(t); Tämä tarkoittaa, että siirtymä s ilmaistaan ​​kaavalla s = s(b) - s(a). Tuloksena saamme:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
missä s(t) on v(t):n antijohdannainen.

Seuraava lause todistettiin matemaattisen analyysin aikana.
Lause. Jos funktio y = f(x) on jatkuva välillä [a; b], niin kaava on voimassa
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
jossa F(x) on f(x:n) antiderivaata.

Annettua kaavaa kutsutaan yleensä Newton-Leibnizin kaava englantilaisen fyysikon Isaac Newtonin (1643-1727) kunniaksi ja saksalainen filosofi Gottfried Leibniz (1646-1716), jotka saivat sen toisistaan ​​riippumatta ja lähes samanaikaisesti.

Käytännössä F(b) - F(a) kirjoittamisen sijaan he käyttävät merkintää \(\left. F(x)\right|_a^b \) (se on joskus ns. kaksoiskorvaus) ja kirjoita vastaavasti Newton-Leibnizin kaava uudelleen tähän muotoon:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Kun lasketaan määrättyä integraalia, etsi ensin antiderivaata ja suorita sitten kaksoissubstituutio.

Newton-Leibnizin kaavan perusteella voimme saada kaksi kiinteän integraalin ominaisuutta.

Kiinteistö 1. Toimintojen summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Kiinteistö 2. Vakiotekijä voidaan ottaa pois integraalimerkistä:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Tasokuvioiden pinta-alojen laskeminen kiinteällä integraalilla

Integraalin avulla voit laskea kaarevien puolisuunnikkaan pinta-alan lisäksi myös litteät kuviot. monimutkainen tyyppi, esimerkiksi kuvassa näkyvä. Kuvaa P rajoittavat suorat x = a, x = b ja jatkuvien funktioiden y = f(x), y = g(x) ja janalla [a; b] epäyhtälö \(g(x) \leq f(x) \) pätee. Laskeaksemme tällaisen kuvion alueen S, toimimme seuraavasti:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Joten kuvion pinta-ala S, jota rajoittavat suorat viivat x = a, x = b ja funktioiden y = f(x), y = g(x) kuvaajat, jotka ovat jatkuvat janalla ja siten, että millä tahansa janan x:llä [a; b] epäyhtälö \(g(x) \leq f(x) \) täyttyy kaavalla laskettuna
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Joidenkin funktioiden epämääräisten integraalien (antiderivaatojen) taulukko

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \teksti(arctg) x +C $$ $$ \int \teksti(ch) x dx = \teksti(sh) x +C $$ $$ \int \teksti(sh) x dx = \teksti(ch) ) x +C $$

Itse asiassa, jotta voit löytää hahmon alueen, et tarvitse niin paljon tietoa epämääräisestä ja määrätystä integraalista. Tehtävä "laske pinta-ala määrätyn integraalin avulla" sisältää aina piirustuksen, niin paljon muuta ajankohtainen aihe on tietosi ja taitosi piirtämiseen. Tältä osin on hyödyllistä päivittää muistisi pääkaavioista perustoiminnot, ja vähintään pystyä rakentamaan suoran ja hyperbolin.

Kaareva puolisuunnikas on litteä kuvio, jota rajoittavat akseli, suorat viivat ja funktion kuvaaja, joka on jatkuva janalla, joka ei muuta etumerkkiä tällä välillä. Olkoon tämä kuva paikannettava ei alempana x-akseli:

Sitten kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin määrätty integraali. Kaikilla määrätyillä integraaleilla (olemassa olevalla) on erittäin hyvä geometrinen merkitys.

Geometrian näkökulmasta tarkka integraali on AREA.

eli tietty integraali (jos se on olemassa) vastaa geometrisesti tietyn kuvion aluetta. Tarkastellaan esimerkiksi tarkkaa integraalia. Integrandi määrittelee käyrän akselin yläpuolella olevalle tasolle (haluavat voivat piirtää), ja itse määrätty integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin pinta-ala vastaava kaareva puolisuunnikas.

Esimerkki 1

Tämä on tyypillinen tehtävälausunto. Ensin ja tärkein hetki ratkaisut - piirustus piirustus. Lisäksi piirustus on rakennettava OIKEIN.

Piirustusta rakennettaessa suosittelen seuraavaa järjestystä: aluksi on parempi rakentaa kaikki suorat (jos niitä on) ja vain Sitten- paraabelit, hyperbelit, muiden funktioiden kuvaajat. On kannattavampaa rakentaa funktiokaavioita kohta kohdalta.

Tässä ongelmassa ratkaisu saattaa näyttää tältä.
Piirretään piirustus (huomaa, että yhtälö määrittää akselin):


Segmentillä sijaitsee funktion kuvaaja akselin yläpuolella, Siksi:

Vastaus:

Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirustusta ja selvittää, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa "silmällä" laskemme solujen lukumäärän piirustuksessa - no, niitä on noin 9, se näyttää olevan totta. On täysin selvää, että jos saisimme esimerkiksi vastauksen: 20 neliöyksiköitä, silloin on ilmeistä, että jossain on tehty virhe - 20 solua ei selvästikään mahdu kyseiseen kuvioon, korkeintaan tusina. Jos vastaus on kielteinen, myös tehtävä ratkaistiin väärin.

Esimerkki 3

Laske viivojen ja koordinaattiakseleiden rajoittaman kuvan pinta-ala.

Ratkaisu: Tehdään piirustus:


Jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alle(tai ainakin ei korkeampi annettu akseli), sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:


Tässä tapauksessa:

Huomio! Näitä kahta tehtävätyyppiä ei pidä sekoittaa:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan yksinkertaisesti määrätty integraali ilman geometristä merkitystä, se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri käsitellyssä kaavassa.

Käytännössä kuva sijoittuu useimmiten sekä ylempään että alempaan puolitasoon, ja siksi yksinkertaisimmista koulutehtävistä siirrytään merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4

Etsi viivojen, , rajoittaman tasokuvan pinta-ala.

Ratkaisu: Ensin sinun on suoritettava piirustus. Yleisesti ottaen piirustusta rakennettaessa aluetehtävässä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsitään paraabelin ja suoran leikkauspisteet. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen menetelmä on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Tämä tarkoittaa, että integraation alaraja on, integraation yläraja on.

Jos mahdollista, on parempi olla käyttämättä tätä menetelmää..

On paljon kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa viivoja piste kerrallaan, ja integraation rajat selviävät "itsestään". Silti analyyttistä rajojen etsintämenetelmää on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai yksityiskohtainen rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia). Ja harkitsemme myös tällaista esimerkkiä.

Palataan tehtäväämme: on järkevämpää rakentaa ensin suora ja vasta sitten paraabeli. Tehdään piirustus:

Ja nyt työkaava: Jos segmentissä on jatkuva toiminto suurempi tai yhtä suuri kuin jokin jatkuva funktio, sitten kuvion pinta-ala, aikataulujen rajoittama annetut funktiot ja suorat , , löytyvät kaavalla:

Täällä sinun ei enää tarvitse miettiä, missä hahmo sijaitsee - akselin yläpuolella tai akselin alapuolella, ja karkeasti sanottuna, sillä on merkitystä, kumpi kuvaaja on KORKEAmpi(suhteessa toiseen kuvaajaan), ja kumpi on ALLA.

Tarkasteltavassa esimerkissä on ilmeistä, että segmentillä paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi siitä on vähennettävä

Valmis ratkaisu voi näyttää tältä:

Haluttua lukua rajoittaa paraabeli yläpuolella ja suora viiva alla.
Segmentillä vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Esimerkki 4

Laske viivojen , , , , rajoittaman kuvion pinta-ala.

Ratkaisu: Tehdään ensin piirustus:

Figuuri, jonka alueen meidän on löydettävä, on varjostettu siniseksi(katso tarkkaan kuntoa - kuinka luku on rajoitettu!). Mutta käytännössä huomaamattomuudesta johtuen "häiriö" tapahtuu usein, että sinun on löydettävä vihreällä varjostettu alue!

Tämä esimerkki on hyödyllinen myös siinä mielessä, että se laskee kuvion alueen kahdella kiinteällä integraalilla.

Todella:

1) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on suoran kaavio;

2) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on hyperbolin kuvaaja.

On aivan selvää, että alueet voidaan (ja pitäisi) lisätä, joten:

Tehtävä nro 3. Piirrä piirustus ja laske viivojen rajaama pinta-ala

Integraalin soveltaminen sovellettujen ongelmien ratkaisuun

Pinta-alan laskenta

Jatkuvan ei-negatiivisen funktion määrällinen integraali f(x) on numeerisesti yhtä suuri kuin käyrän y = f(x), O x -akselin ja suorien x = a ja x = b rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Tämän mukaisesti pinta-alakaava kirjoitetaan seuraavasti:

Katsotaanpa joitain esimerkkejä tasokuvioiden pinta-alojen laskemisesta.

Tehtävä nro 1. Laske linjojen y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 rajoittama alue.

Ratkaisu. Muodostetaan kuvio, jonka pinta-ala meidän on laskettava.

y = x 2 + 1 on paraabeli, jonka haarat on suunnattu ylöspäin ja paraabelia on siirretty ylöspäin yhden yksikön verran suhteessa O y -akseliin (kuva 1).

Kuva 1. Kuvaaja funktiosta y = x 2 + 1

Tehtävä nro 2. Laske viivojen y = x 2 – 1, y = 0 rajoittama alue välillä 0 - 1.


Ratkaisu. Tämän funktion kuvaaja on ylöspäin suunnattujen haarojen paraabeli, ja paraabelia on siirretty suhteessa O y -akseliin yhden yksikön verran alaspäin (kuva 2).

Kuva 2. Kuvaaja funktiosta y = x 2 – 1


Tehtävä nro 3. Piirrä piirustus ja laske viivojen rajaama pinta-ala

y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4.

Ratkaisu. Ensimmäinen näistä kahdesta suorasta on paraabeli, jonka haarat on suunnattu alaspäin, koska x 2:n kerroin on negatiivinen, ja toinen suora on suora, joka leikkaa molemmat koordinaattiakselit.

Paraabelin muodostamiseksi löydämme sen kärjen koordinaatit: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – kärjen abskissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 on sen ordinaatti, N(1;9) on kärki.

Etsitään nyt paraabelin ja suoran leikkauspisteet ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä:

Yhtälön oikeat puolet, joiden vasemmat sivut ovat yhtä suuret.

Saamme 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 tai x 2 – 12 = 0, mistä .

Pisteet ovat siis paraabelin ja suoran leikkauspisteitä (kuva 1).


Kuva 3 Kuvaajat funktioista y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4

Muodostetaan suora y = 2x – 4. Se kulkee koordinaattiakseleiden pisteiden (0;-4), (2;0) kautta.

Paraabelin rakentamiseen voidaan käyttää myös sen leikkauspisteitä 0x-akselin kanssa eli yhtälön 8 + 2x – x 2 = 0 tai x 2 – 2x – 8 = 0 juuria. Vietan lauseella se on helppoa löytääkseen sen juuret: x 1 = 2, x 2 = 4.

Kuva 3 esittää kuvion (parabolinen segmentti M 1 N M 2), jota rajoittavat nämä viivat.

Toinen osa ongelmasta on löytää tämän kuvan alue. Sen pinta-ala voidaan löytää käyttämällä määrättyä integraalia kaavan mukaan .

Tämän ehdon suhteen saamme integraalin:

2 Pyörivän kappaleen tilavuuden laskenta

Kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörimällä käyrää y = f(x) O x -akselin ympäri, lasketaan kaavalla:

Kierrettäessä O y -akselin ympäri kaava näyttää tältä:

Tehtävä nro 4. Määritä suorien x = 0 x = 3 ja käyrän y = O x -akselin ympäri rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan pyörimisestä saadun kappaleen tilavuus.

Ratkaisu. Piirretään kuva (kuva 4).

Kuva 4. Kuvaaja funktiosta y =

Tarvittava tilavuus on


Tehtävä nro 5. Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kaarevan puolisuunnikkaan, jota rajoittavat käyrä y = x 2 ja suorat y = 0 ja y = 4 O y -akselin ympäri.

Ratkaisu. Meillä on:

Tarkista kysymykset

Alamme pohtia itse laskentaprosessia kaksoisintegraali ja tutustu sen geometriseen merkitykseen.

Kaksoisintegraali on numeerisesti yhtä suuri kuin tasokuvan pinta-ala (integrointialue). Tämä yksinkertaisin muoto kaksoisintegraali, kun kahden muuttujan funktio on yhtä suuri kuin yksi: .

Pohditaan ensin ongelmaa yleinen näkemys. Nyt tulet yllättymään siitä, kuinka yksinkertaista kaikki todella on! Lasketaan viivoilla rajatun litteän hahmon pinta-ala. Varmuuden vuoksi oletamme, että segmentillä . Tämän kuvan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin:

Kuvataan alue piirustuksessa:

Valitaan ensimmäinen tapa kulkea alue:

Siten:

Ja heti tärkeä tekninen tekniikka: iteroidut integraalit voidaan laskea erikseen. Ensin sisäinen integraali, sitten ulompi integraali. Tämä menetelmä Suosittelen lämpimästi aiheen aloittelijoille.

1) Lasketaan sisäinen integraali ja integrointi suoritetaan muuttujan “y” yli:

Epämääräinen integraali tässä on yksinkertaisin, ja sitten käytetään banaalista Newton-Leibnizin kaavaa, sillä ainoalla erolla integroinnin rajat eivät ole numerot, vaan funktiot. Ensin korvasimme ylärajan "y":ksi (antiderivatiivinen funktio), sitten alarajan

2) Ensimmäisessä kappaleessa saatu tulos on korvattava ulkoisella integraalilla:

Koko ratkaisun kompaktimpi esitys näyttää tältä:

Tuloksena oleva kaava - tämä on täsmälleen työkaava litteän hahmon alueen laskemiseksi "tavallisen" avulla selvä integraali! Katso oppitunti Pinta-alan laskeminen määrätyn integraalin avulla, siellä hän on joka askeleella!

eli ongelma pinta-alan laskemisessa kaksoisintegraalilla ei juurikaan erilainen ongelmasta löytää alue käyttämällä tiettyä integraalia! Itse asiassa se on sama asia!

Näin ollen vaikeuksia ei pitäisi syntyä! En tarkastele kovin monia esimerkkejä, koska olet itse asiassa toistuvasti kohdannut tämän tehtävän.

Esimerkki 9

Ratkaisu: Kuvataan alue piirustuksessa:

Valitaan seuraava järjestys alueen läpikulkua varten:

Tässä ja edelleen en viivyttele alueen läpikulkua, koska ensimmäisessä kappaleessa annettiin erittäin yksityiskohtaiset selitykset.

Siten:

Kuten jo totesin, aloittelijoiden on parempi laskea iteroidut integraalit erikseen, ja pysyn samassa menetelmässä:

1) Ensin, käyttämällä Newton-Leibnizin kaavaa, käsittelemme sisäistä integraalia:

2) Ensimmäisessä vaiheessa saatu tulos korvataan ulkoiseen integraaliin:

Piste 2 on itse asiassa tasokuvan alueen löytäminen määrättyä integraalia käyttämällä.

Vastaus:

Tämä on niin typerä ja naiivi tehtävä.

Mielenkiintoinen esimerkki itsenäisestä ratkaisusta:

Esimerkki 10

Laske kaksoisintegraalin avulla tasokuvan pinta-ala, jota rajaavat viivat , ,

Likimääräinen näyte ratkaisun viimeistely oppitunnin lopussa.

Esimerkeissä 9-10 on paljon kannattavampaa käyttää ensimmäistä menetelmää alueen läpikulkuun, muuten uteliaat lukijat voivat muuttaa läpikulkujärjestystä ja laskea alueet toisella menetelmällä. Jos et tee virhettä, saat luonnollisesti samat aluearvot.

Mutta joissakin tapauksissa toinen menetelmä alueen läpikulkuun on tehokkaampi, ja nuoren nörtin kurssin lopussa katsotaanpa vielä muutama esimerkki tästä aiheesta:

Esimerkki 11

Laske kaksoisintegraalin avulla viivojen rajoittaman tasokuvan pinta-ala,

Ratkaisu: Odotamme kahta paraabelia, joissa on omituisuus ja jotka ovat kyljellään. Ei tarvitse hymyillä; samanlaisia ​​asioita esiintyy usein useissa integraaleissa.

Mikä on helpoin tapa piirtää?

Kuvitellaan paraabeli kahden funktion muodossa:
– ylähaara ja – alahaara.

Samoin kuvittele paraabeli ylemmän ja alemman muodossa oksat.

Seuraavaksi kaavioiden sääntöjen pistekohtainen piirtäminen, jolloin saadaan tämä outo kuva:

Laskemme kuvan pinta-alan kaksoisintegraalilla kaavan mukaan:

Mitä tapahtuu, jos valitsemme ensimmäisen tavan kulkea alueen läpi? Ensinnäkin tämä alue on jaettava kahteen osaan. Ja toiseksi, tarkkailemme tätä surullista kuvaa: . Integraalit eivät tietenkään ole kovin monimutkaisen tason, mutta... on vanha matemaattinen sanonta: lähellä juuria olevat eivät koetta tarvitse.

Siksi ehdossa annetusta väärinkäsityksestä ilmaisemme käänteiset funktiot:

Käänteiset funktiot tässä esimerkissä niillä on se etu, että ne määrittelevät koko paraabelin kerralla ilman lehtiä, tammenterhoja, oksia ja juuria.

Toisen menetelmän mukaan alueen läpikulku on seuraava:

Siten:

Kuten sanotaan, tunne ero.

1) Käsittelemme sisäistä integraalia:

Korvaamme tuloksen ulompaan integraaliin:

Integrointi muuttujan "y" päälle ei saa olla hämmentävää, jos siinä olisi kirjain "zy", olisi hienoa integroida sen päälle. Vaikka kuka lukee oppitunnin toisen kappaleen Kuinka laskea pyörivän kappaleen tilavuus, hän ei enää koe pienintäkään kömpelyyttä Y-menetelmän mukaisessa integraatiossa.

Kiinnitä myös huomiota ensimmäiseen vaiheeseen: integrandi on parillinen ja integrointiväli on symmetrinen nollan suhteen. Siksi segmentti voidaan puolittaa ja tulos voidaan kaksinkertaistaa. Tätä tekniikkaa käsitellään yksityiskohtaisesti oppitunnissa. Tehokkaat menetelmät määrätyn integraalin laskeminen.

Mitä lisätä... Kaikki!

Vastaus:

Testaaksesi integrointitekniikkaasi voit yrittää laskea . Vastauksen pitäisi olla täsmälleen sama.

Esimerkki 12

Laske kaksoisintegraalin avulla viivojen rajoittaman tasokuvan pinta-ala

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. On mielenkiintoista huomata, että jos yrität käyttää ensimmäistä menetelmää alueen läpikulkuun, hahmoa ei enää tarvitse jakaa kahteen, vaan kolmeen osaan! Ja vastaavasti saamme kolme paria toistuvia integraaleja. Tätä myös tapahtuu.

Mestarikurssi on päättynyt, ja on aika siirtyä suurmestaritasolle - Kuinka laskea kaksoisintegraali? Esimerkkejä ratkaisuista. Yritän olla olematta niin hulluksi toisessa artikkelissa =)

Toivotan sinulle menestystä!

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 2:Ratkaisu: Kuvataan aluetta piirustuksessa:

Valitaan seuraava järjestys alueen läpikulkua varten:

Siten:
Siirrytään käänteisfunktioihin:


Siten:
Vastaus:

Esimerkki 4:Ratkaisu: Siirrytään suoraan funktioihin:


Tehdään piirustus:

Muutetaan alueen läpikulkujärjestystä:

Vastaus: