Lähtötaso

Lausekkeiden muuntaminen. Yksityiskohtainen teoria (2019)

Lausekkeiden muuntaminen

Kuulemme usein tämän epämiellyttävän lauseen: "yksinkertaista ilmaisua". Yleensä näemme tällaisen hirviön:

"Se on paljon yksinkertaisempaa", sanomme, mutta tällainen vastaus ei yleensä toimi.

Nyt opetan sinua olemaan pelkäämättä sellaisia ​​tehtäviä. Lisäksi oppitunnin lopussa yksinkertaistat itse tämän esimerkin (vain!) tavalliseksi numeroksi (kyllä, helvettiin näillä kirjaimilla).

Mutta ennen kuin aloitat tämän oppitunnin, sinun on kyettävä käsittelemään murto- ja kerroinpolynomeja. Siksi ensin, jos et ole tehnyt tätä aiemmin, muista hallita aiheet "" ja "".

Oletko lukenut sen? Jos kyllä, olet nyt valmis.

Yksinkertaistamisen perustoiminnot

Katsotaanpa nyt perustekniikoita, joita käytetään lausekkeiden yksinkertaistamiseen.

Yksinkertaisin on

1. Tuo samankaltainen

Mitkä ovat samanlaisia? Otit tämän 7. luokalla, kun kirjaimet ilmestyivät ensimmäisen kerran matematiikassa numeroiden sijaan. Samanlaisia ​​ovat termit (monomiaalit), joilla on sama kirjainosa. Esimerkiksi summassa samanlaiset termit ovat ja.

Muistatko?

Tuo samankaltainen tarkoittaa lisätä useita samanlaisia ​​termejä toisiinsa ja saada yksi termi.

Kuinka voimme yhdistää kirjaimet? - kysyt.

Tämä on erittäin helppo ymmärtää, jos kuvittelet, että kirjaimet ovat jonkinlaisia ​​esineitä. Esimerkiksi kirje on tuoli. Mihin lauseke sitten vastaa? Kaksi tuolia plus kolme tuolia, kuinka monta niitä on? Aivan oikein, tuolit: .

Kokeile nyt tätä ilmaisua: .

Sekaannusten välttämiseksi anna eri kirjainten edustaa eri objekteja. Esimerkiksi - on (tavallisen) tuoli ja - on pöytä. Sitten:

tuolit pöydät tuolipöydät tuolit tuolit pöydät

Numeroita, joilla tällaisten termien kirjaimet kerrotaan, kutsutaan kertoimet. Esimerkiksi monomissa kerroin on yhtä suuri. Ja siinä on tasa-arvoinen.

Joten, sääntö samankaltaisten tuomiseksi on:

Esimerkkejä:

Anna samanlaisia:

Vastaukset:

2. (ja samankaltaisia, koska siksi näillä termeillä on sama kirjainosa).

2. Faktorisointi

Tämä on yleensä tärkein osa ilmaisujen yksinkertaistamisessa. Kun olet antanut samankaltaisia, tuloksena oleva lauseke on useimmiten faktoroitava eli esitettävä tuotteena. Tämä on erityisen tärkeää murtoluvuissa: jotta murto-osaa voidaan pienentää, osoittaja ja nimittäjä on esitettävä tulona.

Kävit lausekkeiden laskentamenetelmät yksityiskohtaisesti läpi "aiheessa", joten tässä sinun on vain muistettava, mitä opit. Tee tämä valitsemalla muutama esimerkkejä(täytyy jakaa tekijöihin):

Ratkaisut:

3. Murto-osan pienentäminen.

No, mikä voisi olla mukavampaa kuin yliviivata osa osoittajasta ja nimittäjästä ja heittää ne pois elämästäsi?

Se on supistamisen kauneus.

Se on yksinkertainen:

Jos osoittaja ja nimittäjä sisältävät samat tekijät, niitä voidaan pienentää eli poistaa murtoluvusta.

Tämä sääntö seuraa murtoluvun perusominaisuutta:

Eli vähennysoperaation ydin on se Jaamme murtoluvun osoittajan ja nimittäjän samalla luvulla (tai samalla lausekkeella).

Murto-osan pienentämiseksi tarvitset:

1) osoittaja ja nimittäjä tekijöitä

2) jos osoittaja ja nimittäjä sisältävät yhteisiä tekijöitä, ne voidaan yliviivata.

Periaate on mielestäni selvä?

Haluaisin kiinnittää huomionne yhteen tyypilliseen lyhennyksen virheeseen. Vaikka tämä aihe on yksinkertainen, monet ihmiset tekevät kaiken väärin ymmärtämättä sitä vähentää- tämä tarkoittaa jakaa osoittaja ja nimittäjä ovat sama luku.

Ei lyhenteitä, jos osoittaja tai nimittäjä on summa.

Esimerkiksi: meidän on yksinkertaistettava.

Jotkut tekevät näin: mikä on täysin väärin.

Toinen esimerkki: vähennä.

"Älykkäin" tekee tämän: .

Kerro mikä tässä on vialla? Näyttää siltä: - tämä on kerroin, mikä tarkoittaa, että sitä voidaan vähentää.

Mutta ei: - tämä on vain yhden termin kertoja osoittajassa, mutta itse osoittajaa kokonaisuutena ei ole kertoiteltu.

Tässä toinen esimerkki: .

Tämä lauseke on faktoroitu, mikä tarkoittaa, että voit pienentää sen eli jakaa osoittajan ja nimittäjän seuraavalla:

Voit jakaa sen välittömästi:

Muista välttääksesi tällaiset virheet helppo tapa kuinka määrittää, onko lauseke faktoroitu:

Aritmeettinen operaatio, joka suoritetaan viimeisenä lausekkeen arvoa laskettaessa, on "master" operaatio. Eli jos korvaat joitain (mitä tahansa) numeroita kirjainten sijasta ja yrität laskea lausekkeen arvon, niin jos viimeinen toimenpide tulee kertolasku, mikä tarkoittaa, että meillä on tulo (lauseke on kerrottu). Jos viimeinen toiminto on yhteen- tai vähennyslasku, tämä tarkoittaa, että lauseketta ei ole faktoroitu (ja siksi sitä ei voida pienentää).

Vahvistaaksesi ratkaise muutama itse esimerkkejä:

Vastaukset:

1. Toivottavasti et heti kiirehtinyt leikkaamaan ja? Ei vieläkään riittänyt "vähentämään" yksiköitä näin:

Ensimmäinen askel pitäisi olla tekijöiden lisääminen:

4. Murtolukujen yhteen- ja vähennys. Murtolukujen pelkistäminen yhteiseksi nimittäjäksi.

Tavallisten murtolukujen lisääminen ja vähentäminen on tuttu operaatio: etsitään yhteinen nimittäjä, kerrotaan jokainen murto puuttuvalla kertoimella ja lasketaan yhteen/vähennetään osoittajat. Muistetaan:

Vastaukset:

1. Nimittäjät ja ovat suhteellisen ensiluokkaisia, eli niillä ei ole yhteisiä tekijöitä. Siksi näiden lukujen LCM on yhtä suuri kuin niiden tulo. Tästä tulee yhteinen nimittäjä:

2. Tässä yhteinen nimittäjä:

3. Tässä ensin muunnetaan sekafraktiot sopimattomiksi ja sitten tavallisen kaavion mukaan:

On täysin eri asia, jos murtoluvut sisältävät kirjaimia, esimerkiksi:

Aloitetaan jostain yksinkertaisesta:

a) Nimittäjät eivät sisällä kirjaimia

Kaikki täällä on sama kuin tavallisessa numeerisia murtolukuja: etsi yhteinen nimittäjä, kerro jokainen murto puuttuvalla kertoimella ja lisää/vähennä osoittajat:

Nyt osoittajassa voit antaa samanlaisia, jos sellaisia ​​on, ja kertoa ne:

Kokeile itse:

b) Nimittäjät sisältävät kirjaimia

Muistakaamme periaate yhteisen nimittäjän löytämisestä ilman kirjaimia:

· Ensinnäkin määritämme yhteiset tekijät;

· sitten kirjoitetaan kaikki yleiset tekijät yksi kerrallaan;

· ja kerro ne kaikilla muilla epätavallisilla tekijöillä.

Määrittääksemme nimittäjien yhteiset tekijät, laskemme ne ensin alkutekijöiksi:

Korostetaan yleisiä tekijöitä:

Kirjoitetaan nyt yleiset tekijät yksi kerrallaan ja lisätään niihin kaikki epätavalliset (ei alleviivatut) tekijät:

Tämä on yhteinen nimittäjä.

Palataan kirjaimiin. Nimittäjät annetaan täsmälleen samalla tavalla:

· kertoa nimittäjät;

· määrittää yhteiset (identtiset) tekijät;

· kirjoittaa kaikki yleiset tekijät kerran;

· kerro ne kaikilla muilla epätavallisilla tekijöillä.

Eli järjestyksessä:

1) kerro nimittäjät:

2) määrittää yhteiset (identtiset) tekijät:

3) kirjoita kaikki yleiset tekijät kerran ja kerro ne kaikilla muilla (alleviivaamattomilla) kertoimilla:

Tässä on siis yhteinen nimittäjä. Ensimmäinen murto-osa on kerrottava, toinen -:

On muuten yksi temppu:

Esimerkiksi: .

Näemme nimittäjissä samat tekijät, vain kaikilla eri indikaattoreilla. Yhteinen nimittäjä tulee olemaan:

jossain määrin

jossain määrin

jossain määrin

jossain määrin.

Monimutkaistaan ​​tehtävää:

Kuinka saada murtoluvuilla sama nimittäjä?

Muistetaan murtoluvun perusominaisuus:

Missään ei sanota, että sama luku voidaan vähentää (tai lisätä) murtoluvun osoittajasta ja nimittäjästä. Koska se ei ole totta!

Katso itse: ota esimerkiksi mikä tahansa murtoluku ja lisää osoittajaan ja nimittäjään jokin luku, esimerkiksi . Mitä opit?

Joten, toinen horjumaton sääntö:

Kun vähennät murtoluvut yhteinen nimittäjä, käytä vain kertolaskua!

Mutta millä sinun täytyy kertoa saadaksesi?

Joten kerrotaan. Ja kerrotaan:

Kutsumme lausekkeita, joita ei voida tekijöihin jakaa "alkeistekijöiksi". Esimerkiksi - tämä on perustekijä. - Sama. Mutta ei: se voidaan jakaa tekijöihin.

Entä ilmaisu? Onko se alkeellista?

Ei, koska se voidaan jakaa tekijöihin:

(luit jo faktorointia aiheesta "").

Joten perustekijät, joihin laajennat lauseketta kirjaimilla, ovat analogia tärkeimmät tekijät, johon jaat luvut. Ja me käsittelemme niitä samalla tavalla.

Näemme, että molemmilla nimittäjillä on kerroin. Se menee yhteiseen nimittäjään määrin (muistatko miksi?).

Kerroin on alkeisosa, eikä niillä ole yhteistä tekijää, mikä tarkoittaa, että ensimmäinen murtoluku on yksinkertaisesti kerrottava sillä:

Toinen esimerkki:

Ratkaisu:

Ennen kuin kerrot nämä nimittäjät paniikkiin, sinun on mietittävä, kuinka ne otetaan huomioon? Molemmat edustavat:

Hienoa! Sitten:

Toinen esimerkki:

Ratkaisu:

Kuten tavallista, kerrotaan nimittäjät. Ensimmäisessä nimittäjässä laitamme sen yksinkertaisesti pois suluista; toisessa - neliöiden ero:

Vaikuttaa siltä, ​​että yhteisiä tekijöitä ei ole. Mutta jos katsot tarkasti, ne ovat samanlaisia... Ja se on totta:

Joten kirjoitetaan:

Eli siitä tuli näin: suluissa vaihdoimme termejä, ja samalla murto-osan edessä oleva merkki vaihtui päinvastaiseksi. Huomaa, että sinun on tehtävä tämä usein.

Otetaan nyt se yhteiseen nimittäjään:

Saitko sen? Tarkastetaan nyt.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

Vastaukset:

Tässä meidän on muistettava vielä yksi asia - kuutioiden ero:

Huomaa, että toisen murtoluvun nimittäjä ei sisällä kaavaa "summan neliö"! Summan neliö näyttäisi tältä: .

A on summan niin kutsuttu epätäydellinen neliö: sen toinen termi on ensimmäisen ja viimeisen tulo, ei niiden kaksoistulo. Summan osaneliö on yksi kuutioiden eron laajenemisen tekijöistä:

Mitä tehdä, jos murto-osia on jo kolme?

Kyllä, sama asia! Ensinnäkin varmistetaan se enimmäismäärä nimittäjien tekijät olivat samat:

Huomaa: jos vaihdat yhden hakasulkeen sisällä olevia merkkejä, murto-osan edessä oleva merkki muuttuu päinvastaiseksi. Kun vaihdamme toisen hakasulkeen merkkejä, murto-osan edessä oleva merkki muuttuu jälleen päinvastaiseksi. Tämän seurauksena se (merkki murtoluvun edessä) ei ole muuttunut.

Kirjoitamme koko ensimmäisen nimittäjän yhteiseen nimittäjään ja lisäämme siihen kaikki tekijät, joita ei ole vielä kirjoitettu, toisesta ja sitten kolmannesta (ja niin edelleen, jos murtolukuja on enemmän). Eli siitä tulee näin:

Hmm... On selvää, mitä tehdä murtoluvuilla. Mutta entä ne kaksi?

Se on yksinkertaista: osaat lisätä murtolukuja, eikö niin? Joten meidän on tehtävä kahdesta murto-osa! Muista: murtoluku on jakooperaatio (osoittaja jaetaan nimittäjällä, jos unohdat). Ja mikään ei ole helpompaa kuin luvun jakaminen. Tässä tapauksessa itse numero ei muutu, vaan muuttuu murto-osaksi:

Juuri mitä tarvitset!

5. Murtolukujen kertominen ja jako.

No, vaikein osa on nyt ohi. Ja edessämme on yksinkertaisin, mutta samalla tärkein:

Menettely

Miten numeerinen lauseke lasketaan? Muista laskemalla tämän lausekkeen merkitys:

Laskitko?

Sen pitäisi toimia.

Joten, anna minun muistuttaa sinua.

Ensimmäinen vaihe on tutkinnon laskeminen.

Toinen on kerto- ja jakolasku. Jos kerto- ja jakolaskuja on useita samanaikaisesti, ne voidaan tehdä missä tahansa järjestyksessä.

Ja lopuksi suoritamme yhteen- ja vähennyslaskun. Jälleen missä järjestyksessä tahansa.

Mutta: suluissa oleva lauseke arvioidaan vuorollaan!

Jos useat hakasulkeet kerrotaan tai jaetaan keskenään, lasketaan ensin kunkin suluissa oleva lauseke ja sitten kerrotaan tai jaetaan ne.

Entä jos suluissa on enemmän sulkuja? No, ajatellaanpa: jokin ilmaus on kirjoitettu suluissa. Mitä sinun tulee tehdä ensin lauseketta laskettaessa? Aivan oikein, laske sulut. No, me selvitimme sen: ensin laskemme sisäsulut, sitten kaikki muu.

Joten yllä olevan lausekkeen menettely on seuraava (nykyinen toiminto on korostettu punaisella, eli toiminto, jonka suoritan juuri nyt):

Okei, kaikki on yksinkertaista.

Mutta tämä ei ole sama kuin ilmaisu kirjaimilla?

Ei, se on sama! Vain aritmeettisten operaatioiden sijaan sinun on suoritettava algebralliset operaatiot, toisin sanoen edellisessä osiossa kuvatut toimet: tuovat samanlaisia, fraktioiden lisääminen, fraktioiden vähentäminen ja niin edelleen. Ainoa ero on polynomien faktorointi (käytämme tätä usein, kun työskentelemme murtolukujen kanssa). Useimmiten tekijöiden laskemiseksi sinun on käytettävä I-kirjainta tai yksinkertaisesti jätettävä yhteinen tekijä suluissa.

Yleensä tavoitteemme on esittää lauseke tuotteena tai osamääränä.

Esimerkiksi:

Yksinkertaistetaan ilmaisua.

1) Ensinnäkin yksinkertaistamme suluissa olevaa lauseketta. Siellä meillä on murto-osien ero, ja tavoitteenamme on esittää se tulona tai osamääränä. Joten tuomme murtoluvut yhteiseen nimittäjään ja lisäämme:

Tätä ilmaisua on mahdotonta yksinkertaistaa enempää, kaikki tekijät ovat alkeellisia (muistatko vielä, mitä tämä tarkoittaa?).

2) Saamme:

Murtolukujen kertominen: mikä voisi olla yksinkertaisempaa.

3) Nyt voit lyhentää:

No, siinä kaikki. Ei mitään monimutkaista, eikö?

Toinen esimerkki:

Yksinkertaista ilmaisu.

Yritä ensin ratkaista se itse, ja vasta sitten katso ratkaisua.

Ensinnäkin määritetään toimintojen järjestys. Ensin lisätään murtoluvut suluissa, joten kahden murtoluvun sijaan saamme yhden. Sitten teemme murto-osien jaon. No, lisätään tulos viimeisellä murto-osalla. Numeroin vaiheet kaavamaisesti:

Nyt näytän sinulle prosessin sävyttämällä nykyisen toiminnon punaiseksi:

Lopuksi annan sinulle kaksi hyödyllistä vinkkiä:

1. Jos vastaavia on, ne on tuotava välittömästi. Milloin tahansa samankaltaisia ​​syntyy maassamme, on suositeltavaa ottaa ne heti esille.

2. Sama pätee murto-osien vähentämiseen: heti kun pelkistysmahdollisuus ilmaantuu, se on hyödynnettävä. Poikkeuksena ovat murtoluvut, jotka lisäät tai vähennät: jos niillä on nyt samat nimittäjät, vähennys tulee jättää myöhempään.

Tässä on muutamia tehtäviä, jotka voit ratkaista itse:

Ja mitä luvattiin heti alussa:

Ratkaisut (lyhyesti):

Jos olet selvinnyt ainakin kolmesta ensimmäisestä esimerkistä, olet hallinnut aiheen.

Nyt opiskelemaan!

MUUNTAMINEN LAUPUMAT. YHTEENVETO JA PERUSKAAVAT

Yksinkertaistamisen perustoiminnot:

• Tuo samanlainen: lisätäksesi (vähentääksesi) samanlaisia ​​termejä sinun on lisättävä niiden kertoimet ja määritettävä kirjainosa.
• Faktorisointi: yhteisen tekijän jättäminen suluista, sen soveltaminen jne.
• Murto-osan pienentäminen: Murtoluvun osoittaja ja nimittäjä voidaan kertoa tai jakaa samalla nollasta poikkeavalla luvulla, mikä ei muuta murtoluvun arvoa.
  1) osoittaja ja nimittäjä tekijöitä
  2) jos osoittajalla ja nimittäjällä on yhteiset tekijät, ne voidaan yliviivata.

  TÄRKEÄÄ: vain kertoimia voidaan vähentää!

• Murtolukujen lisääminen ja vähentäminen:
  ;
• Murtolukujen kertominen ja jako:
  ;

Matemaattinen-laskin-Online v.1.0

Laskin suorittaa seuraavat toiminnot: yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku-, työskentely desimaalien kanssa, juurien erotus, eksponentio, prosenttilaskenta ja muut toiminnot.

Ratkaisu:

Kuinka käyttää matemaattista laskinta

Avain	Nimitys	Selitys
5	numerot 0-9	arabialaiset numerot. Luonnollisten kokonaislukujen syöttäminen, nolla. Jos haluat saada negatiivisen kokonaisluvun, sinun on painettava +/- -näppäintä
.	piste (pilkku)	Erotin, joka ilmaisee desimaaliluvun. Jos ennen pistettä (pilkkua) ei ole numeroa, laskin korvaa automaattisesti nollan ennen pistettä. Esimerkiksi: .5 - 0.5 kirjoitetaan
+	plusmerkki	Lukujen (kokonaislukujen, desimaalit)
-	miinusmerkki	Lukujen vähentäminen (kokonaisluvut, desimaalit)
÷	jakomerkki	Lukujen jako (kokonaisluvut, desimaalit)
X	kertomerkki	Lukujen kertominen (kokonaisluvut, desimaalit)
√	juuri	Luvun juuren erottaminen. Kun painat "juuri"-painiketta uudelleen, juuri lasketaan tuloksesta. Esimerkiksi: 16:n juuri = 4; 4:n juuri = 2
x 2	neliöinti	Numeron neliöinti. Kun painat "neliö"-painiketta uudelleen, tulos on neliö. Esimerkiksi: neliö 2 = 4; neliö 4 = 16
1/x	murto-osa	Tulos desimaalilukuina. Osoittaja on 1, nimittäjä on syötetty numero
%	prosenttia	Prosentin saaminen numerosta. Työskennelläksesi sinun on syötettävä: numero, josta prosentti lasketaan, etumerkki (plus, miinus, jaa, kerro), kuinka monta prosenttia numeerisessa muodossa, "%" -painike
(	avoin sulkumerkki	Avoin sulkumerkki laskennan prioriteetin määrittämiseksi. Suljetut sulut vaaditaan. Esimerkki: (2+3)*2=10
)	suljettu sulkumerkki	Suljettu sulku, joka määrittää laskennan prioriteetin. Avoimet sulut vaaditaan
±	plus miinus	Käänteinen merkki
=	on yhtä suuri	Näyttää ratkaisun tuloksen. Myös laskimen yläpuolella "Ratkaisu"-kentässä näytetään välilaskelmat ja tulos.
←	merkin poistaminen	Poistaa viimeisen merkin
KANSSA	nollaa	Reset-painike. Nollaa laskimen kokonaan asentoon "0"

Online-laskimen algoritmi esimerkkien avulla

Lisäys.

Kokonaislukujen yhteenlasku luonnolliset luvut { 5 + 7 = 12 }

Luonnollisten ja negatiivisten kokonaislukujen yhteenlasku ( 5 + (-2) = 3 )

Desimaalilukujen lisääminen (0,3 + 5,2 = 5,5)

Vähennyslasku.

Luonnollisten kokonaislukujen vähentäminen ( 7 - 5 = 2 )

Luonnollisten ja negatiivisten kokonaislukujen vähentäminen ( 5 - (-2) = 7 )

Desimaalilukujen vähentäminen (6,5 - 1,2 = 4,3)

Kertominen.

Luonnollisten kokonaislukujen tulo (3 * 7 = 21)

Luonnollisten ja negatiivisten kokonaislukujen tulo ( 5 * (-3) = -15 )

Desimaalilukujen tulo ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Division.

Luonnollisten kokonaislukujen jako (27/3 = 9)

Luonnollisten ja negatiivisten kokonaislukujen jako (15 / (-3) = -5)

Desimaalilukujen jako (6,2 / 2 = 3,1)

Luvun juuren erottaminen.

Kokonaisluvun juuren erottaminen ( root(9) = 3)

Desimaalilukujen juuren erottaminen (juuri(2.5) = 1.58)

Lukujen summan juuren erottaminen (juuri(56 + 25) = 9)

Lukujen välisen eron juuren erottaminen (juuri (32 – 7) = 5)

Numeron neliöinti.

Kokonaisluvun neliöinti ( (3) 2 = 9 )

Desimaalien neliöinti ((2,2)2 = 4,84)

Muuntaminen desimaalimurtoiksi.

Prosenttiosuuksien laskeminen luvusta

Kasvata lukua 230 15 % ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Pienennä lukua 510 35 % ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5 )

18 % luvusta 140 on (140 * 0,18 = 25,2)

Algebrassa tarkasteltavien eri lausekkeiden joukossa monomiaalien summat ovat tärkeässä asemassa. Tässä on esimerkkejä tällaisista ilmaisuista:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7v^2 + 6x + 5v - 2\)

Monomien summaa kutsutaan polynomiksi. Polynomin termejä kutsutaan polynomin termeiksi. Monomit luokitellaan myös polynomeiksi, koska monomi on yhdestä jäsenestä koostuva polynomi.

Esimerkiksi polynomi
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
voidaan yksinkertaistaa.

Esitetään kaikki termit vakiomuodon monomiaalien muodossa:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Esitetään vastaavat termit tuloksena olevassa polynomissa:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Tuloksena on polynomi, jonka kaikki termit ovat vakiomuotoisia monomeja, ja niiden joukossa ei ole vastaavia. Tällaisia ​​polynomeja kutsutaan vakiomuotoiset polynomit.

varten polynomin aste vakiolomakkeella sen jäsenten korkeimmat valtuudet. Siten binomiaalilla \(12a^2b - 7b\) on kolmas aste ja trinomilla \(2b^2 -7b + 6\) toinen aste.

Tyypillisesti yhden muuttujan sisältävien vakiomuotoisten polynomien termit on järjestetty sen asteen eksponenttien laskevaan järjestykseen. Esimerkiksi:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Useiden polynomien summa voidaan muuntaa (yksinkertaistaa) vakiomuotoiseksi polynomiksi.

Joskus polynomin termit on jaettava ryhmiin siten, että jokainen ryhmä on suluissa. Koska haarukointi on avaussulujen käänteinen muunnos, se on helppo muotoilla sulujen avaamisen säännöt:

Jos "+"-merkki on ennen sulkeita, suluissa olevat termit kirjoitetaan samoilla merkeillä.

Jos "-"-merkki on ennen sulkeita, suluissa olevat termit kirjoitetaan vastakkaisilla merkeillä.

Monomin ja polynomin tulon muunnos (yksinkertaistaminen).

Kertolaskun distributiivista ominaisuutta käyttämällä voit muuntaa (yksinkertaistaa) monomin ja polynomin tulon polynomiksi. Esimerkiksi:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Monomin ja polynomin tulo on identtisesti yhtä suuri kuin tämän monomin ja polynomin kunkin ehdon tulojen summa.

Tämä tulos muotoillaan yleensä sääntönä.

Jos haluat kertoa monomin polynomilla, sinun on kerrottava tämä monomi jokaisella polynomin ehdolla.

Olemme jo käyttäneet tätä sääntöä useita kertoja summalla.

Polynomien tulo. Kahden polynomin tulon muunnos (yksinkertaistaminen).

Yleensä kahden polynomin tulo on identtisesti yhtä suuri kuin yhden polynomin kunkin termin ja toisen polynomin kunkin termin tulon summa.

Yleensä käytetään seuraavaa sääntöä.

Jos haluat kertoa polynomin polynomilla, sinun on kerrottava yhden polynomin kukin termi toisen termillä ja laskettava tuloksena saadut tulot.

Lyhennetyt kertolaskukaavat. Neliöiden summa, erot ja neliöiden erotus

Joitakin lausekkeita on käsiteltävä algebrallisissa muunnoksissa useammin kuin toisia. Ehkä yleisimmät lausekkeet ovat \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ja \(a^2 - b^2 \), eli summan neliö, summan neliö neliöiden ero ja ero. Huomasit, että näiden lausekkeiden nimet näyttävät olevan epätäydellisiä, esimerkiksi \((a + b)^2 \) ei tietenkään ole vain summan neliö, vaan a:n ja b:n summan neliö . A:n ja b:n summan neliö ei kuitenkaan yleensä esiinny kovin usein, se sisältää kirjainten a ja b sijaan erilaisia, joskus varsin monimutkaisia ​​lausekkeita.

Lausekkeet \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) voidaan helposti muuntaa (yksinkertaistaa) vakiomuotoisiksi polynomeiksi. Itse asiassa olet jo kohdannut tällaisen tehtävän polynomeja kertoessasi :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Tuloksena saadut identiteetit on hyödyllistä muistaa ja käyttää niitä ilman välilaskutoimituksia. Lyhyet sanamuodot auttavat tässä.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - summan neliö on yhtä suuri kuin neliöiden ja kaksoistulon summa.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - erotuksen neliö on yhtä suuri kuin neliöiden summa ilman kaksoistuloa.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - neliöiden erotus on yhtä suuri kuin erotuksen ja summan tulo.

Nämä kolme identiteettiä sallivat muunnoksissa korvata vasemman osansa oikeilla ja päinvastoin - oikeat osat vasemmalla. Vaikeinta on nähdä vastaavat lausekkeet ja ymmärtää, kuinka muuttujat a ja b korvataan niissä. Katsotaanpa useita esimerkkejä lyhennettyjen kertolaskujen käytöstä.

Kirjaimellinen lauseke (tai muuttujalauseke) on matemaattinen lauseke, joka koostuu numeroista, kirjaimista ja matemaattisista symboleista. Esimerkiksi seuraava lauseke on kirjaimellinen:

a+b+4

Aakkoslausekkeiden avulla voit kirjoittaa lakeja, kaavoja, yhtälöitä ja funktioita. Kyky käsitellä kirjainilmaisuja on avain hyvään algebran ja korkeamman matematiikan tuntemukseen.

Kaikki vakavat matematiikan ongelmat liittyvät yhtälöiden ratkaisemiseen. Ja voidaksesi ratkaista yhtälöitä, sinun on kyettävä työskentelemään kirjaimellisten lausekkeiden kanssa.

Jotta voit työskennellä kirjaimellisten lausekkeiden kanssa, sinun on oltava perehtynyt perusaritmetiikkaan: yhteen-, vähennys-, kerto-, jako-, matematiikan peruslait, murtoluvut, toiminnot murtolukujen kanssa, suhteet. Eikä vain opiskele, vaan ymmärrä perusteellisesti.

Oppitunnin sisältö

Muuttujat

Kirjaimia, jotka sisältyvät kirjaimellisiin lausekkeisiin, kutsutaan muuttujia. Esimerkiksi lausekkeessa a+b+4 muuttujat ovat kirjaimia a Ja b. Jos korvaamme minkä tahansa numeron näiden muuttujien sijasta, niin kirjaimellinen lauseke a+b+4 muuttuu numeeriseksi lausekkeeksi, jonka arvo löytyy.

Numeroita, jotka korvataan muuttujat, kutsutaan muuttujien arvot. Muutetaan esimerkiksi muuttujien arvoja a Ja b. Yhtäysmerkkiä käytetään arvojen muuttamiseksi

a = 2, b = 3

Olemme muuttaneet muuttujien arvoja a Ja b. Muuttuva a määritetty arvo 2 , muuttuva b määritetty arvo 3 . Tuloksena oleva kirjaimellinen ilmaus a+b+4 muuttuu säännölliseksi numeeriseksi lausekkeeksi 2+3+4 jonka arvo löytyy:

2 + 3 + 4 = 9

Kun muuttujat kerrotaan, ne kirjoitetaan yhteen. Esimerkiksi äänittää ab tarkoittaa samaa kuin merkintä a×b. Jos korvaamme muuttujat a Ja b numeroita 2 Ja 3 , niin saamme 6

2 × 3 = 6

Voit myös kirjoittaa yhteen luvun kertolaskun lausekkeella suluissa. Esimerkiksi sen sijaan a×(b + c) voidaan kirjoittaa ylös a(b + c). Soveltamalla kertolaskulakia saadaan a(b + c)=ab+ac.

Kertoimet

Kirjaimellisista lausekkeista löytyy usein merkintä, jossa esimerkiksi luku ja muuttuja kirjoitetaan yhteen 3a. Tämä on itse asiassa lyhenne luvun 3 kertomiseen muuttujalla. a ja tämä kirjoitus näyttää 3×a .

Toisin sanoen ilmaisu 3a on luvun 3 ja muuttujan tulo a. Määrä 3 tässä työssä he kutsuvat kerroin. Tämä kerroin osoittaa, kuinka monta kertaa muuttuja kasvaa a. Tämä lauseke voidaan lukea " a kolme kertaa" tai "kolme kertaa A" tai "lisää muuttujan arvoa a kolme kertaa", mutta useimmiten lukee "kolme a«

Esimerkiksi jos muuttuja a yhtä suuri kuin 5 , sitten lausekkeen arvo 3a on yhtä suuri kuin 15.

3 × 5 = 15

Puhuminen yksinkertaisella kielellä, kerroin on numero, joka tulee ennen kirjainta (ennen muuttujaa).

Kirjaimia voi olla esimerkiksi useita 5abc. Tässä kerroin on luku 5 . Tämä kerroin osoittaa, että muuttujien tulo abc kasvaa viisinkertaiseksi. Tämä lauseke voidaan lukea " abc viisi kertaa" tai "lisää lausekkeen arvoa abc viisi kertaa" tai "viisi abc«.

Jos muuttujien sijaan abc korvaa luvut 2, 3 ja 4, sitten lausekkeen arvo 5abc tulee olemaan tasa-arvoisia 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Voit henkisesti kuvitella, kuinka luvut 2, 3 ja 4 kerrottiin ensin ja tuloksena saatu arvo viisinkertaistui:

Kertoimen etumerkki viittaa vain kertoimeen, ei koske muuttujia.

Harkitse ilmaisua −6b. Miinus ennen kerrointa 6 , koskee vain kerrointa 6 , eikä se kuulu muuttujaan b. Tämän tosiasian ymmärtäminen antaa sinun olla tekemättä virheitä tulevaisuudessa merkeillä.

Etsitään lausekkeen arvo −6b klo b = 3.

−6b −6×b. Selvyyden vuoksi kirjoitetaan lauseke −6b laajennetussa muodossa ja korvaa muuttujan arvo b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo −6b klo b = −5

Kirjoitetaan ilmaisu ylös −6b laajennetussa muodossa

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Esimerkki 3. Etsi lausekkeen arvo −5a+b klo a = 3 Ja b = 2

−5a+b tämä on lyhyt muoto sanalle −5 × a + b, joten selvyyden vuoksi kirjoitamme lausekkeen −5×a+b laajennetussa muodossa ja korvaa muuttujien arvot a Ja b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Joskus kirjaimet kirjoitetaan esimerkiksi ilman kerrointa a tai ab. Tässä tapauksessa kerroin on yksikkö:

mutta perinteisesti yksikköä ei kirjoiteta ylös, joten he yksinkertaisesti kirjoittavat a tai ab

Jos ennen kirjainta on miinus, kerroin on numero −1 . Esimerkiksi ilmaisu −a itse asiassa näyttää −1a. Tämä on miinus ykkösen ja muuttujan tulo a. Siitä tuli näin:

−1 × a = −1a

Tässä on pieni saalis. Ilmaisussa −a miinusmerkki muuttujan edessä a itse asiassa viittaa "näkymättömään yksikköön" eikä muuttujaan a. Siksi sinun tulee olla varovainen ongelmien ratkaisemisessa.

Jos esimerkiksi annetaan lauseke −a ja meitä pyydetään löytämään sen arvo a = 2, sitten koulussa korvasimme muuttujan kahdella a ja sai vastauksen −2 , keskittymättä liikaa siihen, miten se kävi. Itse asiassa miinus yksi kerrottiin positiivisella luvulla 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Jos ilmaisu annetaan −a ja sinun on löydettävä sen arvo a = −2, sitten korvaamme −2 muuttujan sijaan a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Virheiden välttämiseksi näkymättömät yksiköt voidaan aluksi kirjoittaa selkeästi ylös.

Esimerkki 4. Etsi lausekkeen arvo abc klo a = 2 , b = 3 Ja c = 4

Ilmaisu abc 1×a×b×c. Selvyyden vuoksi kirjoitetaan lauseke abc a, b Ja c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Esimerkki 5. Etsi lausekkeen arvo abc klo a=−2, b=−3 Ja c=−4

Kirjoitetaan ilmaisu ylös abc laajennetussa muodossa ja korvaa muuttujien arvot a, b Ja c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Esimerkki 6. Etsi lausekkeen arvo − abc klo a = 3, b = 5 ja c = 7

Ilmaisu − abc tämä on lyhyt muoto sanalle −1×a×b×c. Selvyyden vuoksi kirjoitetaan lauseke − abc laajennetussa muodossa ja korvaa muuttujien arvot a, b Ja c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Esimerkki 7. Etsi lausekkeen arvo − abc klo a=-2, b=-4 ja c=-3

Kirjoitetaan ilmaisu ylös − abc laajennetussa muodossa:

−abc = −1 × a × b × c

Korvataan muuttujien arvot a , b Ja c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Kuinka määrittää kerroin

Joskus sinun on ratkaistava ongelma, jossa sinun on määritettävä lausekkeen kerroin. Periaatteessa tämä tehtävä on hyvin yksinkertainen. Riittää, että pystyt kertomaan numerot oikein.

Lausekkeen kertoimen määrittämiseksi sinun on kerrottava erikseen tähän lausekkeeseen sisältyvät numerot ja erikseen kerrottava kirjaimet. Tuloksena oleva numeerinen tekijä on kerroin.

Esimerkki 1. 7m×5a×(−3)×n

Ilmaisu koostuu useista tekijöistä. Tämä näkyy selvästi, jos kirjoitat lausekkeen laajennetussa muodossa. Eli teoksia 7 m Ja 5a kirjoita se lomakkeeseen 7×m Ja 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Sovelletaan kertolaskun assosiatiivista lakia, jonka avulla voit kertoa kertoimia missä tahansa järjestyksessä. Nimittäin kerromme erikseen numerot ja kerromme erikseen kirjaimet (muuttujat):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = -105 miestä

Kerroin on −105 . Valmistumisen jälkeen on suositeltavaa järjestää kirjainosa aakkosjärjestykseen:

−105 aamulla

Esimerkki 2. Määritä kerroin lausekkeessa: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Kerroin on 6.

Esimerkki 3. Määritä kerroin lausekkeessa:

Kerrotaan numerot ja kirjaimet erikseen:

Kerroin on −1. Huomaa, että yksikköä ei kirjoiteta ylös, koska on tapana olla kirjoittamatta kerrointa 1.

Näillä näennäisesti yksinkertaisilla tehtävillä voi olla meille erittäin suuri rooli. julma vitsi. Usein käy ilmi, että kertoimen etumerkki on asetettu väärin: joko miinus puuttuu tai päinvastoin, se asetettiin turhaan. Näiden välttämiseksi ärsyttäviä virheitä, tulee opiskella hyvällä tasolla.

Lisää kirjaimellisiin ilmaisuihin

Kun lisäät useita lukuja, saadaan näiden lukujen summa. Numeroita, jotka lisäävät, kutsutaan lisäyksiksi. Termejä voi olla useita, esimerkiksi:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Kun lauseke koostuu termeistä, se on paljon helpompi arvioida, koska lisääminen on helpompaa kuin vähentäminen. Mutta lauseke voi sisältää paitsi yhteen-, myös vähennyslaskua, esimerkiksi:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Tässä lausekkeessa luvut 3 ja 5 ovat aliosalukuja, eivät lisäyksiä. Mutta mikään ei estä meitä korvaamasta vähennyslaskua yhteenlaskemalla. Sitten saamme jälleen lausekkeen, joka koostuu termeistä:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Ei ole väliä, että numeroilla −3 ja −5 on nyt miinusmerkki. Tärkeintä on, että kaikki tämän lausekkeen numerot on yhdistetty yhteenlaskumerkillä, eli lauseke on summa.

Molemmat ilmaisut 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Ja 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) sama arvo - miinus yksi

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Näin ollen ilmaisun merkitys ei kärsi, jos korvaamme vähennyksen jossain summalla.

Voit myös korvata vähennyksen yhteenlaskemalla kirjaimellisissa lausekkeissa. Harkitse esimerkiksi seuraavaa lauseketta:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Kaikille muuttujien arvoille a, b, c, d Ja s ilmaisuja 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Ja 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) on yhtä suuri kuin sama arvo.

Sinun on varauduttava siihen, että opettaja koulussa tai opettaja instituutissa voi soittaa parillisia numeroita (tai muuttujia), jotka eivät ole lisäyksiä.

Esimerkiksi jos ero on kirjoitettu taululle a-b, silloin opettaja ei sano niin a on minuutti, ja b- vähennettävä. Hän kutsuu molemmat muuttujat yhdeksi yleisellä tasolla — ehdot. Ja kaikki muodon ilmaisun takia a-b matemaatikko näkee kuinka summa a+(-b). Tässä tapauksessa lausekkeesta tulee summa ja muuttujat a Ja (-b) muuttua termeiksi.

Samanlaisia ​​termejä

Samanlaisia ​​termejä- Nämä ovat termejä, joilla on sama kirjainosa. Harkitse esimerkiksi lauseketta 7a + 6b + 2a. Komponentit 7a Ja 2a on sama kirjainosa - muuttuja a. Siis ehdot 7a Ja 2a ovat samanlaisia.

Tyypillisesti samanlaisia ​​termejä lisätään lausekkeen yksinkertaistamiseksi tai yhtälön ratkaisemiseksi. Tätä operaatiota kutsutaan tuovat samanlaisia ​​ehtoja.

Saadaksesi samanlaiset termit, sinun on lisättävä näiden termien kertoimet ja kerrottava saatu tulos yhteisellä kirjaimella.

Esitetään esimerkiksi samanlaiset termit lausekkeessa 3a + 4a + 5a. IN tässä tapauksessa, kaikki termit ovat samanlaisia. Lasketaan yhteen niiden kertoimet ja kerrotaan tulos yhteisellä kirjaimella - muuttujalla a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5) ×a = 12a

Samanlaiset termit tulevat yleensä mieleen ja tulos kirjataan heti ylös:

3a + 4a + 5a = 12a

Voit myös perustella seuraavasti:

Muuttujia a oli 3, niihin lisättiin 4 muuttujaa a ja 5 muuta muuttujaa a. Tuloksena saimme 12 muuttujaa a

Katsotaanpa useita esimerkkejä samankaltaisten termien tuomisesta. Ottaen huomioon sen tämä aihe on erittäin tärkeää, kirjoitamme aluksi kaikki pienet yksityiskohdat yksityiskohtaisesti. Vaikka kaikki on täällä hyvin yksinkertaista, useimmat ihmiset tekevät monia virheitä. Lähinnä huolimattomuudesta, ei tietämättömyydestä.

Esimerkki 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Lasketaan yhteen tämän lausekkeen kertoimet ja kerrotaan saatu tulos yhteisellä kirjaimella:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

design (3 + 2 + 6 + 8) ×a Sinun ei tarvitse kirjoittaa sitä muistiin, joten kirjoitamme vastauksen heti ylös

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Esimerkki 2. Anna samanlaiset termit lausekkeessa 2a+a

Toinen termi a kirjoitetaan ilman kerrointa, mutta itse asiassa sen edessä on kerroin 1 , jota emme näe, koska sitä ei ole tallennettu. Eli ilmaus näyttää tältä:

2a + 1a

Esitetään nyt samanlaiset termit. Eli lasketaan kertoimet yhteen ja kerrotaan tulos yhteisellä kirjaimella:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Kirjoita ratkaisu lyhyesti:

2a + a = 3a

2a+a, voit ajatella toisin:

Esimerkki 3. Anna samanlaiset termit lausekkeessa 2a-a

Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla:

2a + (-a)

Toinen termi (-a) kirjoitettu ilman kerrointa, mutta todellisuudessa se näyttää (−1a). Kerroin −1 jälleen näkymätön, koska sitä ei ole tallennettu. Eli ilmaus näyttää tältä:

2a + (−1a)

Esitetään nyt samanlaiset termit. Lisätään kertoimet ja kerrotaan tulos kirjaimen kokonaisosalla:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Yleensä kirjoitetaan lyhyemmin:

2a − a = a

Samankaltaisten termien antaminen lausekkeessa 2a-a Voit ajatella toisin:

Muuttujia a oli 2, vähennä yksi muuttuja a, loppujen lopuksi oli vain yksi muuttuja a jäljellä

Esimerkki 4. Anna samanlaiset termit lausekkeessa 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Esitetään nyt samanlaiset termit. Lisätään kertoimet ja kerrotaan tulos kirjaimen kokonaisosalla

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Kirjoita ratkaisu lyhyesti:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

On ilmaisuja, jotka sisältävät useita erilaisia ​​ryhmiä vastaavia termejä. Esimerkiksi, 3a + 3b + 7a + 2b. Tällaisiin lausekkeisiin pätevät samat säännöt kuin muihin eli kertoimien yhteenlaskeminen ja tuloksen kertominen yhteisellä kirjainosalla. Mutta virheiden välttämiseksi se on kätevää eri ryhmiä Termit on korostettu eri viivoilla.

Esimerkiksi lausekkeessa 3a + 3b + 7a + 2b termit, jotka sisältävät muuttujan a, voidaan alleviivata yhdellä rivillä, ja ne termit, jotka sisältävät muuttujan b, voidaan korostaa kahdella rivillä:

Nyt voimme esittää samanlaisia ​​termejä. Eli lisää kertoimet ja kerro tuloksena saatu tulos kirjaimen kokonaisosalla. Tämä on tehtävä molemmille termiryhmille: termeille, jotka sisältävät muuttujan a ja muuttujan sisältäville termeille b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3 + 7) × a + (3 + 2) × b = 10a + 5b

Toistamme jälleen, että lauseke on yksinkertainen, ja samanlaiset termit voidaan pitää mielessä:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Esimerkki 5. Anna samanlaiset termit lausekkeessa 5a − 6a −7b + b

Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla, jos mahdollista:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Alleviivataan samanlaisia ​​termejä eri viivoilla. Muuttujia sisältävät termit a alleviivaamme yhdellä rivillä, ja termit ovat muuttujien sisältö b, alleviivattu kahdella rivillä:

Nyt voimme esittää samanlaisia ​​termejä. Eli lisää kertoimet ja kerro tuloksena saatu tulos yhteisellä kirjaimella:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1) × b = −a + (−6b)

Jos lauseke sisältää tavallisia numeroita ilman kirjaintekijöitä, ne lisätään erikseen.

Esimerkki 6. Anna samanlaiset termit lausekkeessa 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla, jos mahdollista:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Esitetään samanlaiset termit. Numerot −5 Ja 7 ei sisällä kirjaintekijöitä, mutta ne ovat samanlaisia ​​termejä - ne on vain lisättävä. Ja termi 2b pysyy ennallaan, koska se on ainoa tässä lausekkeessa, jolla on kirjaintekijä b, eikä siihen ole mitään lisättävää:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3) × a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Kirjoita ratkaisu lyhyesti:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Termit voidaan järjestää siten, että ne termit, joilla on sama kirjainosa, sijaitsevat samassa lausekkeen osassa.

Esimerkki 7. Anna samanlaiset termit lausekkeessa 5t+2x+3x+5t+x

Koska lauseke on useiden termien summa, sen avulla voimme arvioida sen missä tahansa järjestyksessä. Siksi muuttujan sisältävät termit t, voidaan kirjoittaa lausekkeen alkuun ja muuttujan sisältävät termit x lausekkeen lopussa:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Nyt voimme esittää samanlaisia ​​termejä:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Kirjoita ratkaisu lyhyesti:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Summa vastakkaiset numerot yhtä suuri kuin nolla. Tämä sääntö toimii myös kirjaimellisille ilmauksille. Jos lauseke sisältää identtisiä termejä, mutta vastakkaisilla merkillä, voit päästä eroon niistä samanlaisten termien vähentämisvaiheessa. Toisin sanoen, poista ne lausekkeesta, koska niiden summa on nolla.

Esimerkki 8. Anna samanlaiset termit lausekkeessa 3t − 4t − 3t + 2t

Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla, jos mahdollista:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Komponentit 3t Ja (−3t) ovat vastakkaisia. Vastakkaisten termien summa on nolla. Jos poistamme tämän nollan lausekkeesta, lausekkeen arvo ei muutu, joten poistamme sen. Ja poistamme sen yksinkertaisesti yliviivaamalla ehdot 3t Ja (−3t)

Tämän seurauksena meille jää ilmaisu (−4t) + 2t. Tähän lausekkeeseen voit lisätä samankaltaisia ​​termejä ja saada lopullisen vastauksen:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Kirjoita ratkaisu lyhyesti:

Ilmaisujen yksinkertaistaminen

"yksinkertaistaa ilmaisua" ja alla on ilmaus, jota on yksinkertaistettava. Yksinkertaista lauseke tarkoittaa yksinkertaistamista ja lyhentämistä.

Itse asiassa olemme jo yksinkertaistaneet lausekkeita, kun olemme vähentäneet murtolukuja. Pelkistyksen jälkeen fraktiosta tuli lyhyempi ja helpompi ymmärtää.

Harkitsemme seuraava esimerkki. Yksinkertaista ilmaisu.

Tämä tehtävä voidaan kirjaimellisesti ymmärtää seuraavasti: "Käytä mitä tahansa kelvollista toimintaa tähän lausekkeeseen, mutta yksinkertaista sitä." .

Tässä tapauksessa voit pienentää murto-osaa eli jakaa murto-osan osoittaja ja nimittäjä kahdella:

Mitä muuta voit tehdä? Voit laskea tuloksena olevan murto-osan. Sitten saadaan desimaaliluku 0,5

Tämän seurauksena murto-osa yksinkertaistettiin arvoon 0,5.

Ensimmäinen kysymys, joka sinun on kysyttävä itseltäsi tällaisten ongelmien ratkaisemisessa, pitäisi olla "Mitä voidaan tehdä?" . Koska on tekoja, joita voit tehdä, ja on tekoja, joita et voi tehdä.

Toinen tärkeä kohta Muista, että lausekkeen arvon ei pitäisi muuttua lausekkeen yksinkertaistamisen jälkeen. Palataan ilmaisuun. Tämä lauseke edustaa jakoa, joka voidaan suorittaa. Kun tämä jako on suoritettu, saamme tämän lausekkeen arvon, joka on yhtä suuri kuin 0,5

Mutta yksinkertaistimme lauseketta ja saimme uuden yksinkertaistetun lausekkeen. Uuden yksinkertaistetun lausekkeen arvo on edelleen 0,5

Mutta yritimme myös yksinkertaistaa lauseketta laskemalla sen. Tuloksena saimme lopulliseksi vastaukseksi 0,5.

Näin ollen riippumatta siitä, kuinka yksinkertaistamme lauseketta, tuloksena olevien lausekkeiden arvo on silti 0,5. Tämä tarkoittaa, että yksinkertaistaminen tehtiin oikein joka vaiheessa. Juuri tähän meidän tulee pyrkiä ilmaisuja yksinkertaistettaessa - ilmaisun merkityksen ei pitäisi kärsiä teoistamme.

Usein on tarpeen yksinkertaistaa kirjaimellisia ilmaisuja. Niihin sovelletaan samoja yksinkertaistamissääntöjä kuin numeerisiin lausekkeisiin. Voit suorittaa mitä tahansa kelvollisia toimintoja, kunhan lausekkeen arvo ei muutu.

Katsotaanpa muutama esimerkki.

Esimerkki 1. Yksinkertaista lauseke 5,21 s × t × 2,5

Tämän lausekkeen yksinkertaistamiseksi voit kertoa numerot erikseen ja kirjaimet erikseen. Tämä tehtävä on hyvin samanlainen kuin se, jota tarkastelimme, kun opimme määrittämään kertoimen:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Ilmaisu siis 5,21 s × t × 2,5 yksinkertaistettuna 13,025st.

Esimerkki 2. Yksinkertaista lauseke −0,4 × (−6,3b) × 2

Toinen kappale (−6.3b) voidaan kääntää meille ymmärrettävään muotoon, nimittäin kirjoitettuna muotoon ( −6,3) × b , kerro sitten numerot erikseen ja kerro kirjaimet erikseen:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Ilmaisu siis −0,4 × (−6,3b) × 2 yksinkertaistettuna 5.04b

Esimerkki 3. Yksinkertaista lauseke

Kirjoita tämä lauseke yksityiskohtaisemmin nähdäksesi selvästi, missä numerot ja missä kirjaimet ovat:

Kerrotaan nyt numerot erikseen ja kirjaimet erikseen:

Ilmaisu siis yksinkertaistettuna −abc. Tämä ratkaisu voidaan kirjoittaa lyhyesti:

Lausekkeita yksinkertaistettaessa murtolukuja voidaan pienentää ratkaisuprosessin aikana, ei aivan lopussa, kuten teimme tavallisten murtolukujen kanssa. Jos esimerkiksi ratkaisun aikana törmäämme muodon lausekkeeseen, ei ole ollenkaan tarpeen laskea osoittajaa ja nimittäjää ja tehdä jotain näin:

Murtolukua voidaan pienentää valitsemalla tekijä sekä osoittajassa että nimittäjässä ja vähentämällä näitä kertoimia niiden suurimmalla yhteisellä kertoimella. Toisin sanoen käyttö, jossa emme kuvaile yksityiskohtaisesti, mihin osoittaja ja nimittäjä jaettiin.

Esimerkiksi osoittajassa kerroin on 12 ja nimittäjässä kerrointa 4 voidaan pienentää 4:llä. Pidämme neljä mielessämme ja jakamalla 12 ja 4 tällä neljällä, kirjoitamme vastaukset näiden numeroiden viereen. yliviivattuaan ne ensin

Nyt voit kertoa saadut pienet tekijät. Tässä tapauksessa niitä on vähän ja voit kertoa ne mielessäsi:

Ajan myötä saatat huomata, että tiettyä ongelmaa ratkaistaessa ilmaukset alkavat "lihottua", joten on suositeltavaa tottua nopeisiin laskelmiin. Se, mitä voidaan laskea mielessä, on laskettava mielessä. Se, mitä voidaan nopeasti vähentää, on vähennettävä nopeasti.

Esimerkki 4. Yksinkertaista lauseke

Ilmaisu siis yksinkertaistettuna

Esimerkki 5. Yksinkertaista lauseke

Kerrotaan numerot erikseen ja kirjaimet erikseen:

Ilmaisu siis yksinkertaistettuna mn.

Esimerkki 6. Yksinkertaista lauseke

Kirjoita tämä lauseke yksityiskohtaisemmin nähdäksesi selvästi, missä numerot ja missä kirjaimet ovat:

Kerrotaan nyt numerot erikseen ja kirjaimet erikseen. Laskennan helpottamiseksi desimaaliluku −6,4 ja sekoitettu numero voidaan muuntaa tavallisiksi murtoluvuiksi:

Ilmaisu siis yksinkertaistettuna

Tämän esimerkin ratkaisu voidaan kirjoittaa paljon lyhyemmin. Se näyttää tältä:

Esimerkki 7. Yksinkertaista lauseke

Kerrotaan numerot erikseen ja kirjaimet erikseen. Laskennan helpottamiseksi sekaluvut ja desimaalimurtoluvut 0,1 ja 0,6 voidaan muuntaa tavallisiksi murtoluvuiksi:

Ilmaisu siis yksinkertaistettuna abcd. Jos ohitat yksityiskohdat, niin tämä päätös voidaan kirjoittaa paljon lyhyemmin:

Huomaa kuinka murto-osaa on pienennetty. Uusia tekijöitä, joita saadaan aikaisempien tekijöiden vähentämisen seurauksena, voidaan myös vähentää.

Puhutaan nyt siitä, mitä ei saa tehdä. Lausekkeita yksinkertaistettaessa on ehdottomasti kiellettyä kertoa numeroita ja kirjaimia, jos lauseke on summa eikä tulo.

Jos esimerkiksi haluat yksinkertaistaa lauseketta 5a+4b, et voi kirjoittaa sitä näin:

Tämä on sama kuin jos meitä pyydettäisiin lisäämään kaksi numeroa ja kertoisimme ne lisäämisen sijaan.

Kun korvataan mitä tahansa muuttujan arvoa a Ja b ilmaisua 5a + 4b muuttuu tavalliseksi numeeriseksi lausekkeeksi. Oletetaan, että muuttujat a Ja b niillä on seuraavat merkitykset:

a = 2, b = 3

Silloin lausekkeen arvo on 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Ensin suoritetaan kertolasku ja sitten tulokset lisätään. Ja jos yrittäisimme yksinkertaistaa tätä lauseketta kertomalla numerot ja kirjaimet, saisimme seuraavan:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Osoittautuu, että ilmaisun merkitys on täysin erilainen. Ensimmäisessä tapauksessa se toimi 22 , toisessa tapauksessa 120 . Tämä tarkoittaa ilmaisun yksinkertaistamista 5a+4b suoritettiin väärin.

Lausekkeen yksinkertaistamisen jälkeen sen arvon ei pitäisi muuttua muuttujien samoilla arvoilla. Jos korvattaessa mitä tahansa muuttujan arvoa alkuperäiseen lausekkeeseen saadaan yksi arvo, niin lausekkeen yksinkertaistamisen jälkeen tulee saada sama arvo kuin ennen yksinkertaistamista.

Ilmaisulla 5a+4b ei todellakaan voi tehdä mitään. Se ei yksinkertaista sitä.

Jos lauseke sisältää samanlaisia ​​termejä, ne voidaan lisätä, jos tavoitteenamme on yksinkertaistaa lauseketta.

Esimerkki 8. Yksinkertaista lauseke 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1) × a = 0,9a

tai lyhyempi: 0,3a − 0,4a + a = 0.9a

Ilmaisu siis 0,3a−0,4a+a yksinkertaistettuna 0.9a

Esimerkki 9. Yksinkertaista lauseke −7,5a − 2,5b + 4a

Tämän lausekkeen yksinkertaistamiseksi voimme lisätä samankaltaisia ​​termejä:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

tai lyhyempi −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Termi (−2,5b) pysyi ennallaan, koska siihen ei ollut mitään lisättävää.

Esimerkki 10. Yksinkertaista lauseke

Tämän lausekkeen yksinkertaistamiseksi voimme lisätä samankaltaisia ​​termejä:

Kerroin oli laskemisen helpottamiseksi.

Ilmaisu siis yksinkertaistettuna

Esimerkki 11. Yksinkertaista lauseke

Tämän lausekkeen yksinkertaistamiseksi voimme lisätä samankaltaisia ​​termejä:

Ilmaisu siis yksinkertaistettuna.

Tässä esimerkissä olisi tarkoituksenmukaisempaa lisätä ensimmäinen ja viimeinen kerroin ensin. Tässä tapauksessa meillä olisi lyhyt ratkaisu. Se näyttäisi tältä:

Esimerkki 12. Yksinkertaista lauseke

Tämän lausekkeen yksinkertaistamiseksi voimme lisätä samankaltaisia ​​termejä:

Ilmaisu siis yksinkertaistettuna .

Termi pysyi ennallaan, koska siihen ei ollut mitään lisättävää.

Tämä ratkaisu voidaan kirjoittaa paljon lyhyemmin. Se näyttää tältä:

Lyhyt ratkaisu ohitti vaiheet, joissa vähennys korvattiin yhteenlaskemalla ja kuinka murtoluvut pienennettiin yhteiseksi nimittäjäksi.

Toinen ero on se, että sisään yksityiskohtainen ratkaisu vastaus näyttää siltä , mutta lyhyesti sanottuna . Itse asiassa ne ovat sama ilmaisu. Erona on se, että ensimmäisessä tapauksessa vähennys korvataan yhteenlaskulla, koska alussa, kun kirjoitimme ratkaisun yksityiskohtaisesti, korvasimme vähennyksen aina kun se oli mahdollista, ja tämä korvaus säilytettiin vastaukselle.

Identiteetit. Identtisesti samanarvoiset ilmaisut

Kun olemme yksinkertaistaneet mitä tahansa lauseketta, siitä tulee yksinkertaisempi ja lyhyempi. Sen tarkistamiseksi, onko yksinkertaistettu lauseke oikea, riittää, että korvaat kaikki muuttujan arvot ensin edelliseen yksinkertaistettavaan lausekkeeseen ja sitten uuteen yksinkertaistettuun lausekkeeseen. Jos arvo molemmissa lausekkeissa on sama, yksinkertaistettu lauseke on tosi.

Harkitsemme yksinkertaisin esimerkki. Olkoon tarpeen yksinkertaistaa ilmaisua 2a × 7b. Tämän lausekkeen yksinkertaistamiseksi voit kertoa numerot ja kirjaimet erikseen:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Tarkastetaan, yksinkertaistimmeko lauseketta oikein. Korvataan tätä varten mitkä tahansa muuttujien arvot a Ja b ensin ensimmäiseen lausekkeeseen, joka piti yksinkertaistaa, ja sitten toiseen, joka yksinkertaistettiin.

Olkoon muuttujien arvot a , b tulee olemaan seuraava:

a = 4, b = 5

Korvataan ne ensimmäiseen lausekkeeseen 2a × 7b

Korvataan nyt samat muuttujan arvot lausekkeeseen, joka johtui yksinkertaistamisesta 2a × 7b, nimittäin lausekkeessa 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Näemme sen milloin a = 4 Ja b = 5 ensimmäisen lausekkeen arvo 2a × 7b ja toisen ilmaisun merkitys 14ab yhtäläinen

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Sama koskee kaikkia muita arvoja. Esimerkiksi anna a=1 Ja b = 2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Siten kaikille lausekemuuttujien arvoille 2a × 7b Ja 14ab ovat yhtä suuret kuin sama arvo. Tällaisia ​​ilmaisuja kutsutaan identtisesti tasa-arvoinen.

Päättelemme tämän ilmaisujen välillä 2a × 7b Ja 14ab voit laittaa yhtäläisyysmerkin, koska ne ovat yhtä suuret.

2a × 7b = 14ab

Tasa-arvo on mikä tahansa lauseke, joka on yhdistetty yhtäläisyysmerkillä (=).

Ja muodon tasa-arvo 2a × 7b = 14ab soitti identiteetti.

Identiteetti on yhtäläisyys, joka on totta kaikille muuttujien arvoille.

Muita esimerkkejä identiteetistä:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Kyllä, matematiikan lait, joita tutkimme, ovat identiteettejä.

Todelliset numeeriset yhtäläisyydet ovat myös identiteettiä. Esimerkiksi:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Monimutkaista ongelmaa ratkaistaessa laskennan helpottamiseksi monimutkainen lauseke korvataan yksinkertaisemmalla lausekkeella, joka on identtinen edellisen lausekkeen kanssa. Tätä korvaavaa kutsutaan lausekkeen identtinen muunnos tai vain muuntaa ilmaisua.

Esimerkiksi yksinkertaistimme lauseketta 2a × 7b, ja sai yksinkertaisemman ilmaisun 14ab. Tätä yksinkertaistamista voidaan kutsua identiteettimuunnokseksi.

Voit usein löytää tehtävän, joka sanoo "todista, että tasa-arvo on identiteetti" ja sitten annetaan tasa-arvo, joka on todistettava. Tyypillisesti tämä tasa-arvo koostuu kahdesta osasta: tasa-arvon vasemmasta ja oikeasta puolesta. Tehtävämme on suorittaa identiteettimuunnoksia yhden tasa-arvon osan kanssa ja saada toinen osa. Tai suorita identtiset muunnokset tasa-arvon molemmilla puolilla ja varmista, että tasa-arvon molemmat puolet sisältävät samat lausekkeet.

Todistakaamme esimerkiksi, että tasa-arvo 0,5a × 5b = 2,5ab on identiteetti.

Yksinkertaistetaan tämän tasa-arvon vasenta puolta. Voit tehdä tämän kertomalla numerot ja kirjaimet erikseen:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Pienen identiteettimuutoksen seurauksena tasa-arvon vasen puoli tuli tasa-arvoiseksi tasa-arvon oikean puolen kanssa. Joten olemme osoittaneet, että tasa-arvo 0,5a × 5b = 2,5ab on identiteetti.

Identtisistä muunnoksista opimme lisäämään, vähentämään, kertomaan ja jakamaan lukuja, vähentämään murtolukuja, lisäämään samanlaisia ​​termejä ja myös yksinkertaistamaan joitain lausekkeita.

Mutta nämä eivät kaikki ole identtisiä muunnoksia, joita on matematiikassa. Samanlaisia ​​muunnoksia on paljon enemmän. Tulemme näkemään tämän useammin kuin kerran tulevaisuudessa.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

Piditkö oppitunnista?
Liity joukkoomme uusi ryhmä VKontakte ja ala vastaanottaa ilmoituksia uusista oppitunneista

Algebrallisten lausekkeiden yksinkertaistaminen on yksi niistä avainkohdat algebran oppiminen ja erittäin hyödyllinen taito kaikille matemaatikoille. Yksinkertaistamisen avulla voit pelkistää monimutkaisen tai pitkän lausekkeen yksinkertaiseksi lausekkeeksi, jonka kanssa on helppo työskennellä. Yksinkertaistamisen perustaidot ovat hyviä myös niille, jotka eivät ole innostuneet matematiikasta. Tarkkailemalla useita yksinkertaiset säännöt, voit yksinkertaistaa monia yleisimmistä algebrallisten lausekkeiden tyypeistä ilman erityistä matemaattista tietoa.

Vaiheet

Tärkeitä määritelmiä

1. Samanlaisia ​​jäseniä. Nämä ovat jäseniä, joilla on sama muuttuja, jäseniä, joilla on samat muuttujat, tai vapaita jäseniä (jäseniä, jotka eivät sisällä muuttujaa). Toisin sanoen samanlaiset termit sisältävät saman muuttujan samassa määrin, sisältävät useita samoja muuttujia tai eivät sisällä muuttujaa ollenkaan. Lausekkeen termien järjestyksellä ei ole väliä.

   • Esimerkiksi 3x 2 ja 4x 2 ovat samanlaisia ​​termejä, koska ne sisältävät toisen asteen (toiseen potenssiin) muuttujan "x". X ja x2 eivät kuitenkaan ole samankaltaisia ​​termejä, koska ne sisältävät muuttujan "x" eri järjestyksessä (ensimmäinen ja toinen). Samoin -3yx ja 5xz eivät ole samanlaisia ​​termejä, koska ne sisältävät erilaisia ​​muuttujia.

2. Faktorisointi. Tämä etsii numeroita, joiden tulo johtaa alkuperäiseen numeroon. Millä tahansa alkuperäisellä numerolla voi olla useita tekijöitä. Esimerkiksi luku 12 voidaan laskea seuraaviin tekijöiden sarjaan: 1 × 12, 2 × 6 ja 3 × 4, joten voimme sanoa, että luvut 1, 2, 3, 4, 6 ja 12 ovat tekijöiden tekijöitä. numero 12. Tekijät ovat samat kuin tekijät , eli luvut, joilla alkuperäinen luku jaetaan.

   • Jos esimerkiksi haluat kertoa luvun 20, kirjoita se näin: 4×5.
   • Huomaa, että factoring-laskennassa muuttuja otetaan huomioon. Esimerkiksi 20x = 4 (5x).
   • Alkulukuja ei voida kertoa, koska ne ovat jaollisia vain itsellään ja luvulla 1.

3. Muista ja noudata toimintojen järjestystä virheiden välttämiseksi.

   • Sulut
   • Tutkinto
   • Kertominen
   • Division
   • Lisäys
   • Vähennyslasku

   Tuo samanlaisia ​​jäseniä

   1. Kirjoita ilmaisu muistiin. Yksinkertaiset algebralliset lausekkeet (jotka eivät sisällä murtolukuja, juuria jne.) voidaan ratkaista (yksinkertaistaa) vain muutamassa vaiheessa.

      • Yksinkertaistaa esimerkiksi lauseketta 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Määrittele samanlaiset termit (termit, joissa on sama muuttuja, termit samoilla muuttujilla tai vapaat termit).

      • Etsi samanlaisia ​​termejä tästä lausekkeesta. Termit 2x ja 4x sisältävät samassa järjestyksessä olevan muuttujan (ensimmäinen). Myös 1 ja -3 ovat vapaita termejä (eivät sisällä muuttujaa). Siten tässä ilmaisussa termit 2x ja 4x ovat samanlaisia, ja jäsenet 1 ja -3 ovat myös samanlaisia.

   3. Anna samanlaisia ​​jäseniä. Tämä tarkoittaa niiden lisäämistä tai vähentämistä ja lausekkeen yksinkertaistamista.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Kirjoita lauseke uudelleen ottaen huomioon annetut termit. Saat yksinkertaisen lausekkeen, jossa on vähemmän termejä. Uusi lauseke on sama kuin alkuperäinen.

      • Esimerkissämme: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x-2, eli alkuperäinen lauseke on yksinkertaistettu ja helpompi käsitellä.

   5. Noudata toimintajärjestystä, kun tuot samanlaisia ​​jäseniä. Esimerkissämme oli helppo tarjota samanlaisia ​​termejä. Kuitenkin monimutkaisissa lausekkeissa, joissa termit on suljettu suluissa ja murto- ja juuret ovat läsnä, ei ole niin helppoa tuoda näitä termejä. Noudata näissä tapauksissa toimintojen järjestystä.

      • Harkitse esimerkiksi lauseketta 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Tässä olisi virhe määritellä heti 3x ja 2x samanlaisiksi termeiksi ja antaa ne, koska ensin on avattava sulut. Suorita siksi toiminnot heidän järjestyksensä mukaan.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Nyt, kun lauseke sisältää vain yhteen- ja vähennysoperaatioita, voit tuoda samanlaisia ​​termejä.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Kertoimen ottaminen pois suluista

   1. Etsi lausekkeen kaikkien kertoimien suurin yhteinen jakaja (GCD). GCD on suurin luku, jolla kaikki lausekkeen kertoimet jaetaan.

      • Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä 9x 2 + 27x - 3. Tässä tapauksessa GCD = 3, koska mikä tahansa tämän lausekkeen kerroin on jaollinen kolmella.

   2. Jaa lausekkeen jokainen termi gcd:llä. Tuloksena olevat termit sisältävät pienempiä kertoimia kuin alkuperäisessä lausekkeessa.

      • Esimerkissämme jaa jokainen lausekkeen termi 3:lla.
        • 9x2/3 = 3x2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Tuloksena oli ilmaisu 3x 2 + 9x - 1. Se ei ole sama kuin alkuperäinen ilmaus.

   3. Kirjoita alkuperäinen lauseke yhtä suureksi kuin gcd:n ja tuloksena olevan lausekkeen tulo. Eli laita tuloksena oleva lauseke suluihin ja ota gcd pois suluista.

      • Esimerkissämme: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Murtolukulausekkeiden yksinkertaistaminen jättämällä tekijä pois suluista. Miksi kertoja yksinkertaisesti jätetään pois suluista, kuten aiemmin tehtiin? Sitten opit yksinkertaistamaan monimutkaisia ​​lausekkeita, kuten murto-osalausekkeita. Tässä tapauksessa kertoimen jättäminen pois suluista voi auttaa pääsemään eroon murto-osasta (nimittäjästä).

      • Harkitse esimerkiksi murtolauseketta (9x 2 + 27x - 3)/3. Käytä factoring out -toimintoa yksinkertaistaaksesi tätä lauseketta.
        • Laita kerroin 3 sulkeiden ulkopuolelle (kuten teit aiemmin): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Huomaa, että sekä osoittajassa että nimittäjässä on 3. Tätä voidaan pienentää lausekkeen saamiseksi: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Koska mikä tahansa murtoluku, jonka nimittäjässä on numero 1, on yksinkertaisesti yhtä suuri kuin osoittaja, alkuperäinen murtolukulauseke yksinkertaistuu seuraavasti: 3x 2 + 9x - 1.

   Muita yksinkertaistamismenetelmiä

4. Katsotaanpa yksinkertaista esimerkkiä: √(90). Luku 90 voidaan laskea seuraaviin tekijöihin: 9 ja 10, ja se voidaan erottaa luvusta 9 neliöjuuri(3) ja poista 3 juuren alta.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Yksinkertaistaa ilmaisuja voimilla. Jotkut lausekkeet sisältävät termien kerto- tai jakooperaatioita potenssien kanssa. Jos termit kerrotaan samalla perusteella, niiden tehot lisätään; kun kyseessä on jakotermit, joilla on sama kanta, niiden asteet vähennetään.

   • Harkitse esimerkiksi lauseketta 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Kertolaskutapauksessa lisää potenssit ja jakotapauksessa vähennä ne.
     • 6 x 3 x 8 x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7 + x 2
   • Seuraavassa on selitys termien kerto- ja jakamissäännöistä potenssien kanssa.
     • Termien kertominen valtuuksilla vastaa termien kertomista itsestään. Esimerkiksi, koska x 3 = x × x × x ja x 5 = x × x × x × x × x, niin x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × × x) tai x 8 .
     • Samoin termien jakaminen asteilla vastaa termien jakamista itsellään. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Koska sekä osoittajassa että nimittäjässä olevia samanlaisia ​​termejä voidaan vähentää, kahden "x":n tai x 2:n tulo jää osoittajaan.

• Muista aina ilmaisun ehtoja edeltävät merkit (plus tai miinus), koska monella on vaikeuksia valita oikea merkki.
• Pyydä apua tarvittaessa!
• Algebrallisten lausekkeiden yksinkertaistaminen ei ole helppoa, mutta kun olet oppinut siihen, voit käyttää sitä koko loppuelämäsi.