Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.
Henkilötietojen kerääminen ja käyttö
Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.
Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.
Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia tietoja.
Mitä henkilötietoja keräämme:
- Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi sähköposti jne.
Kuinka käytämme henkilötietojasi:
- Meidän keräämä henkilökohtaisia tietoja avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja tiedottaa ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
- Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
- Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
- Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.
Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille
Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.
Poikkeukset:
- Tarvittaessa - lain, oikeudenkäyntimenettelyn, oikeudenkäynnin ja/tai julkisten pyyntöjen tai pyynnön perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
- Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.
Henkilötietojen suojaaminen
Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.
Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla
Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.
Trigonometriset yhtälöt- aihe ei ole yksinkertaisin. Ne ovat liian erilaisia.) Esimerkiksi nämä:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = pinnasänky (2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Ja vastaavaa...
Mutta näillä (ja kaikilla muilla) trigonometrisilla hirviöillä on kaksi yhteistä ja pakollista ominaisuutta. Ensinnäkin - et usko sitä - yhtälöissä on trigonometrisiä funktioita.) Toiseksi: kaikki lausekkeet, joissa on x, löytyvät näissä samoissa toiminnoissa. Ja vain siellä! Jos X näkyy jossain ulkopuolella, Esimerkiksi, sin2x + 3x = 3, tästä tulee jo yhtälö sekoitettu tyyppi. Tällaiset yhtälöt vaativat yksilöllistä lähestymistapaa. Emme ota niitä tässä huomioon.
Emme myöskään ratkaise pahoja yhtälöitä tällä oppitunnilla.) Tässä käsitellään yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt. Miksi? Kyllä, koska ratkaisu mikä tahansa trigonometriset yhtälöt koostuvat kahdesta vaiheesta. Ensimmäisessä vaiheessa paha yhtälö pelkistetään yksinkertaiseksi useiden muunnosten avulla. Toisessa vaiheessa tämä yksinkertaisin yhtälö on ratkaistu. Muuten ei mitenkään.
Joten jos sinulla on ongelmia toisessa vaiheessa, ensimmäisessä vaiheessa ei ole paljon järkeä.)
Miltä alkeistrigonometriset yhtälöt näyttävät?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Tässä A tarkoittaa mitä tahansa numeroa. Mikä tahansa.
Muuten, funktion sisällä ei välttämättä ole puhdasta X, vaan jonkinlainen lauseke, kuten:
cos(3x+π /3) = 1/2
ja vastaavat. Tämä vaikeuttaa elämää, mutta ei vaikuta trigonometrisen yhtälön ratkaisumenetelmään.
Kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?
Trigonometriset yhtälöt voidaan ratkaista kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa: logiikan ja trigonometrisen ympyrän käyttö. Katsomme tätä polkua täällä. Toista tapaa - muistin ja kaavojen käyttöä - käsitellään seuraavassa oppitunnissa.
Ensimmäinen tapa on selkeä, luotettava ja vaikea unohtaa.) Se on hyvä ratkaisemaan trigonometrisiä yhtälöitä, epäyhtälöitä ja kaikenlaisia hankalia epästandardeja esimerkkejä. Logiikka on vahvempi kuin muisti!)
Yhtälöiden ratkaiseminen trigonometrisen ympyrän avulla.
Mukana on alkeislogiikka ja kyky käyttää trigonometristä ympyrää. Etkö tiedä miten? Kuitenkin... Sinulla on vaikeuksia trigonometriassa...) Mutta sillä ei ole väliä. Katso oppitunteja "Trigonometrinen ympyrä...... Mikä se on?" ja "Kulmien mittaaminen trigonometrisellä ympyrällä". Siellä kaikki on yksinkertaista. Toisin kuin oppikirjoissa...)
Ai, tiedätkö!? Ja jopa hallinnut "Käytännön työskentelyn trigonometrisen ympyrän kanssa"!? Onnittelut. Tämä aihe on sinulle läheinen ja ymmärrettävä.) Erityisen ilahduttavaa on, että trigonometrinen ympyrä ei välitä minkä yhtälön ratkaiset. Sini, kosini, tangentti, kotangentti - kaikki on hänelle samaa. On vain yksi ratkaisuperiaate.
Otetaan siis mikä tahansa alkeistrigonometrinen yhtälö. Ainakin tämä:
cosx = 0,5
Meidän on löydettävä X. Ihmiskielellä puhuminen tarvitsee etsi kulma (x), jonka kosini on 0,5.
Miten käytimme piiriä aiemmin? Piirsimme siihen kulman. Asteina tai radiaaneina. Ja heti näki tämän kulman trigonometriset funktiot. Tehdään nyt päinvastoin. Piirretään ympyrään kosini, joka on 0,5 ja heti saamme nähdä nurkkaan. Jäljelle jää vain kirjoittaa vastaus muistiin.) Kyllä, kyllä!
Piirrä ympyrä ja merkitse kosini, joka on yhtä suuri kuin 0,5. Tietysti kosiniakselilla. näin:
Piirretään nyt kulma, jonka tämä kosini antaa meille. Vie hiiri kuvan päälle (tai kosketa kuvaa tabletillasi) ja tulet näkemään juuri tämä nurkka X.
Minkä kulman kosini on 0,5?
x = π /3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Jotkut nauravat skeptisesti, kyllä... Kuten, kannattiko tehdä ympyrän, kun kaikki on jo selvää... Voit tietysti nauraa...) Mutta tosiasia on, että tämä on virheellinen vastaus. Tai pikemminkin riittämätön. Ympyrän asiantuntijat ymmärtävät, että tässä on joukko muita kulmia, jotka antavat myös kosinin 0,5.
Jos käännät liikkuvan puolen OA täysi kierros, piste A palaa alkuperäiseen asentoonsa. Samalla kosinilla, joka on 0,5. Ne. kulma muuttuu 360° tai 2π radiaania ja kosini - ei. Uusi kulma 60° + 360° = 420° on myös ratkaisu yhtälöimme, koska
Tällaisia täydellisiä kierroksia voidaan tehdä ääretön määrä... Ja kaikki nämä uudet kulmat ovat ratkaisuja trigonometriseen yhtälöimme. Ja ne kaikki on kirjoitettava jotenkin vastauksena. Kaikki. Muuten päätöstä ei lasketa, kyllä...)
Matematiikka voi tehdä tämän yksinkertaisesti ja tyylikkäästi. Kirjoita yhteen lyhyeen vastaukseen ääretön joukko päätöksiä. Tältä se näyttää yhtälössämme:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Minä tulkitsen sen. Kirjoita silti mielekkäästi Se on mukavampaa kuin tyhmästi piirtää salaperäisiä kirjaimia, eikö?)
π /3 - Tämä on sama nurkka kuin me näki ympyrässä ja päättänyt kosinitaulukon mukaan.
2π on yksi täydellinen vallankumous radiaaneissa.
n - tämä on kokonaisten lukumäärä, ts. koko rpm Se on selvää n voi olla yhtä suuri kuin 0, ±1, ±2, ±3.... ja niin edelleen. Kuten lyhyt teksti osoittaa:
n ∈ Z
n kuuluu ( ∈ ) joukko kokonaislukuja ( Z ). Muuten, kirjeen sijaan n kirjaimia voi hyvin käyttää k, m, t jne.
Tämä merkintä tarkoittaa, että voit ottaa minkä tahansa kokonaisluvun n . Vähintään -3, vähintään 0, vähintään +55. Mitä ikinä haluatkaan. Jos korvaat tämän luvun vastauksessa, saat tietyn kulman, joka on varmasti ratkaisu ankaraan yhtälöimme.)
Tai toisin sanoen x = π /3 on äärettömän joukon ainoa juuri. Kaikkien muiden juurien saamiseksi riittää, että π /3:een lisätään mikä tahansa määrä täydet kierrokset ( n ) radiaaneina. Ne. 2π n radiaani.
Kaikki? Ei. Olen tietoisesti pidentänyt nautintoa. Muistaakseni paremmin.) Saimme vain osan yhtälömme vastauksista. Kirjoitan tämän ratkaisun ensimmäisen osan seuraavasti:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - ei vain yksi juuri, vaan koko joukko juuria, jotka on kirjoitettu lyhyessä muodossa.
Mutta on myös kulmia, jotka antavat myös kosinin 0,5!
Palataan kuvaamme, josta kirjoitimme vastauksen. Tässä se on:
Vie hiiri kuvan päälle ja näemme toinen kulma tuo antaa myös kosinin 0,5. Mihin se mielestäsi vastaa? Kolmiot ovat samat... Kyllä! Se on yhtä suuri kuin kulma X , viivästyy vain negatiiviseen suuntaan. Tämä on kulma -X. Mutta olemme jo laskeneet x. π /3 tai 60°. Siksi voimme turvallisesti kirjoittaa:
x 2 = - π /3
No, tietysti lisäämme kaikki kulmat, jotka saadaan täydellä kierroksella:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Siinä kaikki.) Trigonometrisellä ympyrällä me näki(joka tietysti ymmärtää)) Kaikki kulmat, jotka antavat kosinin 0,5. Ja kirjoitimme nämä kulmat muistiin lyhyessä matemaattisessa muodossa. Vastaus johti kahteen äärettömään sarjaan juuria:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Tämä on oikea vastaus.
Toivoa, yleinen periaate trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi ympyrän käyttö on selvää. Merkitään kosini (sini, tangentti, kotangentti) annetusta yhtälöstä ympyrään, piirretään sitä vastaavat kulmat ja kirjoitetaan vastaus muistiin. Tietenkin meidän on selvitettävä, mitkä kulmat olemme näki ympyrän päällä. Joskus se ei ole niin ilmeistä. No, sanoin, että tässä tarvitaan logiikkaa.)
Katsotaanpa esimerkiksi toista trigonometristä yhtälöä:
Ota huomioon, että luku 0,5 ei ole ainoa mahdollinen luku yhtälöissä!) Minulle on vain mukavampaa kirjoittaa se kuin juuria ja murtolukuja.
Työskentelemme yleisen periaatteen mukaan. Piirrämme ympyrän, merkitsemme (siniakselille tietysti!) 0,5. Piirrämme kaikki tätä siniä vastaavat kulmat kerralla. Saamme tämän kuvan:
Käsitellään ensin kulmaa X ensimmäisellä neljänneksellä. Muistamme sinitaulukon ja määritämme tämän kulman arvon. Se on yksinkertainen asia:
x = π /6
Muistamme täydet käännökset ja kirjoitamme puhtaalla omallatunnolla muistiin ensimmäiset vastaussarjat:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Puolet työstä on tehty. Mutta nyt meidän on päätettävä toinen kulma... Se on hankalampaa kuin kosinusten käyttäminen, kyllä... Mutta logiikka pelastaa meidät! Kuinka määrittää toinen kulma x:n kautta? Se on helppoa! Kuvan kolmiot ovat samat ja punainen kulma X yhtä suuri kuin kulma X . Vain se lasketaan kulmasta π negatiiviseen suuntaan. Siksi se on punainen.) Ja vastausta varten tarvitsemme kulman oikein mitattuna positiivisesta puoliakselista OX, ts. 0 asteen kulmasta.
Viemme kursorin piirustuksen päälle ja näemme kaiken. Poistin ensimmäisen kulman, jotta en vaikeuttaisi kuvaa. Meitä kiinnostava kulma (piirretty vihreällä) on yhtä suuri:
π - x
X tiedämme tämän π /6 . Siksi toinen kulma on:
π - π /6 = 5π /6
Muistamme jälleen täyden kierroksen lisäämisen ja kirjoitamme toisen vastaussarjan:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Siinä se. Täydellinen vastaus koostuu kahdesta juurisarjasta:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Tangentti- ja kotangenttiyhtälöt voidaan ratkaista helposti käyttämällä samaa yleisperiaatetta trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa. Jos tietysti osaat piirtää tangentin ja kotangentin trigonometriseen ympyrään.
Yllä olevissa esimerkeissä käytin sinin ja kosinin taulukkoarvoa: 0,5. Ne. yksi niistä merkityksistä, jotka opiskelija tietää velvollinen. Laajennamme nyt kykyjämme kaikki muut arvot. Päätä, niin päätä!)
Joten sanotaan, että meidän on ratkaistava tämä trigonometrinen yhtälö:
Sellainen kosiniarvo sisään lyhyet taulukot Ei. Jätämme kylmästi huomiotta tämän kauhean tosiasian. Piirrä ympyrä, merkitse 2/3 kosiniakselille ja piirrä vastaavat kulmat. Saamme tämän kuvan.
Katsotaanpa ensin ensimmäisen neljänneksen kulmaa. Jos vain tietäisimme, mikä x on yhtä suuri, kirjoittaisimme vastauksen heti ylös! Emme tiedä... Epäonnistuminen!? Rauhallinen! Matematiikka ei jätä omaa kansaansa pulaan! Hän keksi kaarikosinukset tätä tapausta varten. En tiedä? Turhaan. Ota selvää, se on paljon helpompaa kuin uskotkaan. Tässä linkissä ei ole ainuttakaan hankalaa loitsua "käänteistrigonometrisista funktioista"... Tämä on tarpeetonta tässä aiheessa.
Jos olet perillä, sano vain itsellesi: "X on kulma, jonka kosini on 2/3." Ja heti, puhtaasti kaarikosinin määritelmän perusteella, voimme kirjoittaa:
Muistamme lisäkierrokset ja kirjoitamme rauhallisesti ylös trigonometrisen yhtälömme juuret:
x 1 = kaaret 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Toisen kulman toinen juurisarja kirjoitetaan lähes automaattisesti. Kaikki on sama, vain X (arccos 2/3) on miinuksella:
x 2 = - kaaret 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Ja siinä se! Tämä on oikea vastaus. Jopa helpompaa kuin taulukkoarvoilla. Mitään ei tarvitse muistaa.) Muuten tarkkaavaisimmat huomaavat, että tässä kuvassa on ratkaisu kaarikosinin kautta pohjimmiltaan ei eroa kuvasta yhtälölle cosx = 0,5.
aivan oikein! Yleinen periaate Siksi se on yleistä! Piirsin tarkoituksella kaksi melkein identtistä kuvaa. Ympyrä näyttää meille kulman X kosinuksensa mukaan. Onko se taulukon kosini vai ei, on kaikille tuntematon. Millainen kulma tämä on, π /3 tai mikä kaarikosini on - se on meidän päätettävissämme.
Sama kappale sinin kanssa. Esimerkiksi:
Piirrä uudelleen ympyrä, merkitse sini yhtä suuri kuin 1/3, piirrä kulmat. Tämä on kuva, jonka saamme:
Ja taas kuva on melkein sama kuin yhtälössä sinx = 0,5. Aloitamme jälleen kulmasta ensimmäisellä neljänneksellä. Mikä on X, jos sen sini on 1/3? Ei kysymystä!
Nyt on ensimmäinen juuripakkaus valmis:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Käsitellään toista kulmaa. Esimerkissä, jossa taulukon arvo oli 0,5, se oli yhtä suuri:
π - x
Sama tulee olemaan täälläkin! Vain x on erilainen, arcsin 1/3. Siis mitä!? Voit turvallisesti kirjoittaa muistiin toisen juuripaketin:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Tämä on täysin oikea vastaus. Vaikka se ei näytä kovin tutulta. Mutta se on selvä, toivottavasti.)
Näin trigonometriset yhtälöt ratkaistaan ympyrän avulla. Tämä tie on selkeä ja ymmärrettävä. Hän säästää trigonometrisissa yhtälöissä juurien valinnalla tietyllä aikavälillä, trigonometrisissa epäyhtälöissä - ne ratkaistaan yleensä melkein aina ympyrässä. Lyhyesti sanottuna kaikissa tehtävissä, jotka ovat hieman vaikeampia kuin tavalliset.
Sovelletaanko tietoa käytännössä?)
Ratkaise trigonometriset yhtälöt:
Ensinnäkin yksinkertaisempaa, suoraan tästä oppitunnista.
Nyt se on monimutkaisempaa.
Vihje: tässä sinun täytyy ajatella ympyrää. Henkilökohtaisesti.)
Ja nyt ne ovat ulkoisesti yksinkertaisia... Niitä kutsutaan myös erikoistapauksiksi.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Vihje: tässä sinun täytyy selvittää ympyrässä, missä on kaksi vastaussarjaa ja missä on yksi... Ja kuinka kirjoittaa yksi kahden vastaussarjan sijaan. Kyllä, jotta yhtäkään juurta ei menetetä äärettömästä luvusta!)
No, hyvin yksinkertaista):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Vihje: tässä sinun on tiedettävä, mitä arcsiini ja arkosiini ovat? Mikä on arctangentti, arkotangentti? eniten yksinkertaiset määritelmät. Mutta sinun ei tarvitse muistaa taulukon arvoja!)
Vastaukset ovat tietysti sotkuisia):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Eikö kaikki suju? Tapahtuu. Lue oppitunti uudelleen. Vain harkiten(sellaista on vanhentunut sana...) Ja seuraa linkkejä. Päälinkit koskevat ympyrää. Ilman sitä trigonometria on kuin tien ylittämistä sidottuina. Joskus se toimii.)
Jos pidät tästä sivustosta...
Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)
Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)
Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.
Viitetiedot trigonometrisista funktioista sini (sin x) ja kosini (cos x). Geometrinen määritelmä, ominaisuudet, kuvaajat, kaavat. Taulukko sinit ja kosinit, derivaatat, integraalit, sarjalaajennukset, sekantti, kosekantti. Lausekkeet monimutkaisten muuttujien kautta. Yhteys hyperbolisiin funktioihin.
Sinin ja kosinin geometrinen määritelmä
|BD|- ympyrän kaaren pituus, jonka keskipiste on pisteessä A.
α
- kulma radiaaneina.
Määritelmä
Sini (sin α) on trigonometrinen funktio, joka riippuu hypotenuusan ja jalan välisestä kulmasta α suorakulmainen kolmio, yhtä suuri kuin vastakkaisen sivun pituuden suhde |BC| hypotenuusan pituuteen |AC|.
Kosini (cos α) on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin viereisen haaran pituuden suhde |AB| hypotenuusan pituuteen |AC|.
Hyväksytyt merkinnät
;
;
.
;
;
.
Sinifunktion kuvaaja, y = sin x
Kosinifunktion kuvaaja, y = cos x
Sinin ja kosinin ominaisuudet
Jaksoisuus
Funktiot y = synti x ja y = cos x jaksollinen jakson kanssa 2π.
Pariteetti
Sinifunktio on outo. Kosinifunktio on parillinen.
Määritelmä ja arvot, äärimmäisyydet, lisäys, lasku
Sini- ja kosinifunktiot ovat jatkuvia määritelmäalueellaan, eli kaikille x:ille (katso jatkuvuuden todiste). Niiden tärkeimmät ominaisuudet on esitetty taulukossa (n - kokonaisluku).
| y= synti x | y= cos x | |
| Laajuus ja jatkuvuus | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Arvoalue | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Kasvava | ||
| Laskeva | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minimi, y = - 1 | ||
| Nollat, y = 0 | ||
| Leikkauspisteet ordinaattisella akselilla, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Peruskaavat
Sinin ja kosinin neliöiden summa
Kaavat sinille ja kosinille summasta ja erotuksesta
;
;
Kaavat sinien ja kosinien tulolle
Summa- ja erotuskaavat
Ilmaisee sinin kosinin kautta
;
;
;
.
Ilmaisee kosinin sinin kautta
;
;
;
.
Ilmaisu tangentin kautta
; .
Milloin meillä on:
;
.
osoitteessa:
;
.
Taulukko sinistä ja kosineista, tangenteista ja kotangenteista
Tämä taulukko näyttää sinien ja kosinien arvot tietyille argumentin arvoille. 
Lausekkeet monimutkaisten muuttujien kautta
;
Eulerin kaava
{ -∞ < x < +∞ }
Sekantti, kosekantti
Käänteiset funktiot
Käänteiset funktiot sinistä ja kosinista ovat arkosiini ja arkosiini, vastaavasti.
Arcsine, arcsin
Arccosine, arccos
Käytetty kirjallisuus:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, "Lan", 2009.
Yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt ratkaistaan pääsääntöisesti kaavoilla. Haluan muistuttaa, että yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt ovat:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x on löydettävä kulma,
a on mikä tahansa luku.
Ja tässä ovat kaavat, joilla voit heti kirjoittaa näiden yksinkertaisimpien yhtälöiden ratkaisut.
Sinille:
Kosinille:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Tangentille:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Kotangentille:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Itse asiassa tämä on mitä se on teoreettinen osa yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen. Lisäksi kaikki!) Ei mitään. Tämän aiheen virheiden määrä on kuitenkin yksinkertaisesti poissa kaavioista. Varsinkin jos esimerkki poikkeaa hieman mallista. Miksi?
Kyllä, koska monet ihmiset kirjoittavat näitä kirjeitä, ymmärtämättä niiden merkitystä ollenkaan! Hän kirjoittaa muistiin varoen, ettei jotain tapahdu...) Tämä täytyy selvittää. Trigonometria ihmisille tai ihmiset trigonometrialle!?)
Otetaanpa selvää?
Yksi kulma on yhtä suuri kuin arccos a, toinen: -arccos a.
Ja näin tulee aina käymään. mille tahansa A.
Jos et usko minua, vie hiiri kuvan päälle tai kosketa kuvaa tablet-laitteellasi.) Vaihdoin numeroa A johonkin negatiiviseen. Joka tapauksessa, meillä on yksi kulma arccos a, toinen: -arccos a.
Siksi vastaus voidaan aina kirjoittaa kahdeksi juurisarjaksi:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Yhdistetään nämä kaksi sarjaa yhdeksi:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Ja siinä kaikki. Olemme saaneet yleisen kaavan yksinkertaisimman trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi kosinilla.
Jos ymmärrät, että tämä ei ole jonkinlaista ylitieteellistä viisautta, vaan vain lyhennetty versio kahdesta vastaussarjasta, Pystyt myös hoitamaan C-tehtäviä. Epäyhtälöillä, juurien valinnalla tietystä intervallista... Siellä vastaus plus/miinus ei toimi. Mutta jos käsittelet vastausta asiallisesti ja jaat sen kahdeksi erilliseksi vastaukseksi, kaikki ratkeaa.) Itse asiassa, siksi tutkimme sitä. Mitä, miten ja missä.
Yksinkertaisimmassa trigonometrisessa yhtälössä
sinx = a
saamme myös kaksi sarjaa juuria. Aina. Ja nämä kaksi sarjaa voidaan myös äänittää yhdellä rivillä. Vain tämä rivi on hankalampi:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Mutta olemus pysyy samana. Matemaatikot yksinkertaisesti suunnittelivat kaavan tehdäkseen yhden syötteen kahden sijasta juurisarjoille. Siinä kaikki!
Tarkastetaanko matemaatikot? Eikä koskaan tiedä...)
Edellisellä oppitunnilla käsiteltiin yksityiskohtaisesti sinin kanssa tehdyn trigonometrisen yhtälön ratkaisua (ilman kaavoja):
Vastaus johti kahteen juurisarjaan:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Jos ratkaisemme saman yhtälön kaavalla, saamme vastauksen:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Itse asiassa tämä on keskeneräinen vastaus.) Opiskelijan on tiedettävä se arcsin 0,5 = π /6. Täydellinen vastaus olisi:
x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z
Tässä se syntyy mielenkiintoinen kysymys. Vastaa kautta x 1; x 2 (tämä on oikea vastaus!) ja yksinäisyyden kautta X (ja tämä on oikea vastaus!) - ovatko ne sama asia vai eivät? Selvitämme nyt.)
Korvaamme vastauksessa x 1 arvot n =0; 1; 2; jne., laskemme, saamme sarjan juuria:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 ja niin edelleen.
Samalla korvauksella vastauksena x 2 , saamme:
x2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 ja niin edelleen.
Korvataan nyt arvot n (0; 1; 2; 3; 4...) yksittäisen yleiseen kaavaan X . Eli nostetaan miinus yksi nollatehoon, sitten ensimmäiseen, toiseen jne. Tietysti korvaamme 0:n toiseen termiin; 1; 2 3; 4 jne. Ja laskemme. Saamme sarjan:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 ja niin edelleen.
Siinä on kaikki mitä näet.) Yleinen kaava antaa meille täsmälleen samat tulokset samoin kuin kaksi vastausta erikseen. Kaikki kerralla, järjestyksessä. Matemaatikkoja ei huijattu.)
Kaavat trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi tangentin ja kotangentin kanssa voidaan myös tarkistaa. Mutta emme tee.) Ne ovat jo yksinkertaisia.
Kirjoitin kaiken tämän korvaamisen ja tarkistuksen erikseen. Tässä on tärkeää ymmärtää yksi asia yksinkertainen asia: perustrigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen on kaavoja, vain lyhyt yhteenveto vastauksista. Tämän lyhyyden vuoksi meidän piti lisätä plus/miinus kosiniratkaisuun ja (-1) n siniratkaisuun.
Nämä lisäykset eivät millään tavalla häiritse tehtäviä, joissa sinun tarvitsee vain kirjoittaa vastaus alkeisyhtälöön. Mutta jos sinun on ratkaistava epätasa-arvo tai sitten sinun on tehtävä jotain vastauksella: valitse juuret väliltä, tarkista ODZ jne., nämä lisäykset voivat helposti häiritä henkilöä.
Mitä minun pitäisi tehdä? Kyllä, joko kirjoita vastaus kahteen sarjaan tai ratkaise yhtälö/epäyhtälö trigonometrisen ympyrän avulla. Sitten nämä lisäykset katoavat ja elämästä tulee helpompaa.)
Voimme tiivistää.
Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi on olemassa valmiita vastauskaavoja. Neljä kappaletta. Niillä on hyvä kirjoittaa yhtälön ratkaisu välittömästi muistiin. Esimerkiksi sinun on ratkaistava yhtälöt:
sinx = 0,3
Helposti: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Ei hätää: x = ± kaaret 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Helposti: x = arctaani 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Yksi jäljellä: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Jos sinä loistat tiedosta, kirjoitat vastauksen välittömästi:
x= ± kaaret 1,8 + 2π n, n ∈ Z
silloin sinä loistat jo, tämä... tuo... lätäköstä.) Oikea vastaus: ei ole ratkaisuja. Etkö ymmärrä miksi? Lue mikä on kaarikosini. Lisäksi, jos alkuperäisen yhtälön oikealla puolella on taulukkoarvot sinistä, kosinista, tangentista, kotangentista, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 jne. - vastaus holvien läpi jää kesken. Kaaret on muutettava radiaaneiksi.
Ja jos törmäät eriarvoisuuteen, esim
niin vastaus on:
x πn, n ∈ Z
on harvinaista hölynpölyä, kyllä...) Tässä sinun on ratkaistava trigonometrisen ympyrän avulla. Mitä teemme vastaavassa aiheessa.
Niille, jotka lukevat sankarillisesti näitä rivejä. En voi muuta kuin arvostaa titaanisia ponnistelujasi. Bonus sinulle.)
Bonus:
Kun kirjoitat kaavoja hälyttävässä taistelutilanteessa, kokeneetkin nörtit hämmentyvät usein missä πn, ja missä 2π n. Tässä on sinulle yksinkertainen temppu. sisään kaikille arvoiset kaavat πn. Paitsi ainoa kaava, jossa on kaarikosinin. Se seisoo siellä 2πn. Kaksi peen. avainsana - kaksi. Tässä samassa kaavassa on kaksi merkki alussa. Plussaa ja miinusta. Ja siellä ja siellä - kaksi.
Jos siis kirjoitit kaksi merkki ennen kaarikosinia, on helpompi muistaa, mitä lopussa tapahtuu kaksi peen. Ja tapahtuu myös toisinpäin. Henkilö kaipaa merkkiä ± , menee loppuun, kirjoittaa oikein kaksi Pien, ja hän tulee järkiinsä. Jotain on edessä kaksi merkki! Henkilö palaa alkuun ja korjaa virheen! Näin.)
Jos pidät tästä sivustosta...
Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)
Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)
Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.
Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.
Henkilötietojen kerääminen ja käyttö
Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.
Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.
Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia tietoja.
Mitä henkilötietoja keräämme:
- Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.
Kuinka käytämme henkilötietojasi:
- Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ainutlaatuisten tarjousten, kampanjoiden ja muiden tapahtumien ja tulevien tapahtumien yhteydessä.
- Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
- Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
- Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.
Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille
Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.
Poikkeukset:
- Tarvittaessa - lain, oikeudellisen menettelyn, oikeudellisen menettelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai viranomaisten pyyntöjen perusteella - paljastaa henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
- Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.
Henkilötietojen suojaaminen
Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.
Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla
Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.