Vektorien sekatulo. Vektorien ristitulo. Vektorien sekatulo Suunnisissärmiön tilavuus vektoreilla

Koordinaattien määrittämien vektorien ja sekatulo lasketaan kaavalla: .

Sekakappale soveltaa: 1) laskea tetraedrin ja suuntaissärmiön tilavuudet, jotka on rakennettu vektoreihin , ja, kuten reunoihin, käyttämällä kaavaa: ; 2) ehtona vektorien samantasoisuudelle , ja : ja ovat samantasoisia.

Aihe 5. Suorat linjat ja tasot.

Normaali viivavektori , kutsutaan mitä tahansa nollasta poikkeavaa vektoria, joka on kohtisuorassa tiettyä suoraa vastaan. Ohjausvektori on suora , kutsutaan mitä tahansa nollasta poikkeavaa vektoria, joka on yhdensuuntainen tietyn suoran kanssa.

Suoraan koneessa

1) - yleinen yhtälö suora, jossa on suoran normaalivektori;

2) - pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö tämä vektori ;

3) kanoninen yhtälö );

5) - suoran yhtälöt kaltevuuden kanssa , missä on piste, jonka kautta viiva kulkee; () – kulma, jonka suora viiva muodostaa akselin kanssa; - akselin suoralla katkaistun janan pituus (merkin kanssa) (merkki " ", jos segmentti on leikattu pois akselin positiivisesta osasta ja " ", jos se on negatiivinen).

6) - suoran yhtälö segmenteissä, missä ja ovat koordinaattiakseleiden suoran katkaisemien segmenttien pituudet ja (merkki " ", jos segmentti on leikattu pois akselin positiiviselta puolelta ja " ", jos se on negatiivinen).

Etäisyys pisteestä linjaan , joka on annettu tasolla yleisellä yhtälöllä, löytyy kaavasta:

kulma, ( )suorien viivojen väliin ja , joka on annettu yleisillä yhtälöillä tai yhtälöillä, joissa on kulmakerroin, löytyy jollakin seuraavista kaavoista:

Jos tai.

Jos tai

Viivojen leikkauspisteen koordinaatit ja ne löytyvät ratkaisuksi järjestelmään lineaariset yhtälöt: tai .

Tason normaalivektori , kutsutaan mitä tahansa nollasta poikkeavaa vektoria, joka on kohtisuorassa tiettyyn tasoon nähden.

Lentokone koordinaattijärjestelmässä voidaan määrittää jollakin seuraavista tyypeistä olevan yhtälön avulla:

1) - yleinen yhtälö taso, jossa on tason normaalivektori;

2) - yhtälö tason kautta, joka kulkee kohtisuorassa annettuun vektoriin nähden;

3) - kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö ja ;

4) - tasoyhtälö segmenteissä, missä , ja ovat koordinaattiakseleiden tason leikkaamien segmenttien pituudet ja (merkki " ", jos segmentti on leikattu pois akselin positiiviselta puolelta ja " ", jos negatiivinen) .

Etäisyys pisteestä tasoon , joka on annettu yleisellä yhtälöllä, löytyy kaavasta:

kulma,( )lentokoneiden välillä ja , annettu yleisillä yhtälöillä, löytyy kaavasta:

Suoraan avaruudessa koordinaattijärjestelmässä voidaan määrittää jollakin seuraavista tyypeistä olevan yhtälön avulla:

1) - yleinen yhtälö suora kuin leikkausviiva kahden tason, jossa ja ovat normaalivektorit tasot ja ;

2) - tietyn vektorin suuntaisen pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö ( kanoninen yhtälö );

3) - kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö, ;

4) - yhtälö suorasta, joka kulkee tietyn vektorin suuntaisen pisteen kautta, ( parametrinen yhtälö );

kulma, ( ) suorien viivojen väliin Ja avaruudessa , joka on annettu kanonisilla yhtälöillä, löytyy kaavasta:

Suoran leikkauspisteen koordinaatit , joka saadaan parametriyhtälön avulla ja lentokoneita , jotka on annettu yleisellä yhtälöllä, löytyy ratkaisuna lineaariseen yhtälöjärjestelmään: .

kulma, ( ) suoran välissä , annetaan kanonisella yhtälöllä ja lentokone , yleisen yhtälön antama löytyy kaavasta: .

Aihe 6. Toisen asteen käyrät.

Toisen asteen algebrallinen käyrä koordinaattijärjestelmässä sitä kutsutaan käyräksi, yleinen yhtälö jolla on muoto:

jossa luvut - eivät ole yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti. Toisen asteen käyrät luokitellaan seuraavasti: 1) jos , niin yleinen yhtälö määrittelee käyrän elliptinen tyyppi (ympyrä (at), ellipsi (at), tyhjä joukko, piste); 2) jos , niin - käyrä hyperbolinen tyyppi (hyperboli, pari leikkaavia viivoja); 3) jos , niin - käyrä parabolinen tyyppi(paraabeli, tyhjä joukko, suora, rinnakkaisten viivojen pari). Ympyrää, ellipsiä, hyperbolia ja paraabelia kutsutaan ei-degeneroituneet toisen asteen käyrät.

Yleinen yhtälö , jossa , joka määrittää rappeutumattoman käyrän (ympyrä, ellipsi, hyperbola, paraabeli), voidaan aina (käyttäen täydellisten neliöiden eristysmenetelmää) pelkistää yhtälöön, joka on jokin seuraavista:

1a) - ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on pisteessä ja säde (kuva 5).

1b)- yhtälö ellipsistä, jonka keskipiste on pisteessä ja symmetria-akselit ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakseleiden kanssa. Numeroita ja - kutsutaan ellipsin puoliakselit ellipsin pääsuorakulmio; ellipsin kärjet .

Ellipsin rakentaminen koordinaattijärjestelmässä: 1) merkitse ellipsin keskipiste; 2) kulkea keskustan läpi pisteviiva ellipsin symmetria-akseli; 3) rakennamme pisteviivalla ellipsin pääsuorakulmion, jonka keskusta ja sivut ovat yhdensuuntaiset symmetria-akselien kanssa; 4) Piirrämme ellipsin yhtenäisellä viivalla, kirjoitamme sen pääsuorakulmioon siten, että ellipsi koskettaa sivujaan vain ellipsin kärjessä (kuva 6).

Samalla tavalla muodostetaan ympyrä, jonka pääsuorakulmiossa on sivut (kuva 5).

Kuva 5 Kuva 6

2) - hyperbolien yhtälöt (kutsutaan konjugaatti) jonka keskipiste on pisteessä ja symmetria-akselit ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakseleiden kanssa. Numeroita ja - kutsutaan hyperbolien puoliakselit ; suorakulmio, jonka sivut ovat yhdensuuntaiset symmetria-akselien kanssa ja keskipiste pisteessä - hyperbolien pääsuorakulmio; pääsuorakulmion ja symmetria-akselien leikkauspisteet - hyperbolien kärjet; suorat viivat, jotka kulkevat pääsuorakulmion vastakkaisten kärkien läpi - hyperbolien asymptootteja .

Hyperbolin muodostaminen koordinaattijärjestelmässä: 1) merkitse hyperbolin keskipiste; 2) piirrä hyperbelin symmetria-akseli keskustan läpi katkoviivalla; 3) rakennamme katkoviivalla hyperbolan pääsuorakulmion, jonka keskipiste ja sivut ovat yhdensuuntaiset symmetria-akselien kanssa; 4) piirrä suorat viivat pääsuorakulmion vastakkaisten kärkien läpi katkoviivalla, jotka ovat hyperbolin asymptootteja, joihin hyperbolin haarat lähestyvät loputtomasti, äärettömän etäisyyden päässä koordinaattien origosta, leikkaamatta niitä; 5) Kuvaamme yhtenäisellä viivalla hyperbelin (kuva 7) tai hyperbolin (kuva 8) haarat.

Kuva 7 Kuva 8

3a)- paraabelin yhtälö, jonka kärkipiste on pisteessä ja symmetria-akseli on yhdensuuntainen koordinaattiakselin kanssa (kuva 9).

3b)- paraabelin yhtälö, jonka kärkipiste on pisteessä ja symmetria-akseli on yhdensuuntainen koordinaattiakselin kanssa (kuva 10).

Paraabelin rakentaminen koordinaattijärjestelmässä: 1) merkitse paraabelin kärki; 2) piirrä paraabelin symmetria-akseli kärjen läpi katkoviivalla; 3) Kuvaamme paraabelia yhtenäisellä viivalla ohjaten sen haaraa ottaen huomioon paraabeliparametrin etumerkin: kun - in positiivinen puoli koordinaattiakseli, joka on yhdensuuntainen paraabelin symmetria-akselin kanssa (kuviot 9a ja 10a); kun - koordinaattiakselin negatiivisessa suunnassa (kuvat 9b ja 10b).

Riisi. 9a Kuva. 9b

Riisi. 10a Fig. 10b

Aihe 7. Suuri joukko. Numeeriset sarjat. Toiminto.

Under monet ymmärtää tietyn joukon minkä tahansa luonteisia esineitä, jotka erottuvat toisistaan ja ovat ajateltavissa yhdeksi kokonaisuudeksi. Objekteja, jotka muodostavat joukon, kutsutaan elementtejä . Joukko voi olla ääretön (koostuu äärettömästä määrästä alkioita), äärellinen (koostuu äärellisestä määrästä alkioita), tyhjä (ei sisällä yhtä alkiota). Joukkoja merkitään: , ja niiden elementtejä: . Tyhjä joukko on merkitty .

Sarja on ns osajoukko aseta jos kaikki joukon elementit kuuluvat joukkoon ja kirjoita . Sarjat ovat ns yhtäläinen , jos ne koostuvat samoista elementeistä ja kirjoita . Kaksi ja on yhtä suuri, jos ja vain jos ja .

Sarja on ns yleismaailmallinen (tämän matemaattisen teorian puitteissa) , jos sen elementit ovat kaikki tässä teoriassa tarkasteltuja esineitä.

Sarja voidaan määrittää: 1) luetellaan kaikki sen elementit, esimerkiksi: (vain äärellisille joukoille); 2) määrittämällä säännön, jolla määritetään, kuuluuko yleisjoukon alkio tiettyyn joukkoon: .

yhdistys

Ylittämällä asettaa ja sitä kutsutaan joukoksi

Eron mukaan asettaa ja sitä kutsutaan joukoksi

Täydentää joukkoa (ennen yleisjoukkoa) kutsutaan joukoksi.

Näitä kahta joukkoa kutsutaan vastaava ja kirjoita ~, jos näiden joukkojen elementtien välille voidaan muodostaa yksi-yhteen vastaavuus. Sarja on ns laskettavissa , jos se vastaa luonnollisten lukujen joukkoa: ~. Tyhjä joukko on määritelmän mukaan laskettavissa.

Joukon kardinaalisuuden käsite syntyy, kun joukkoja verrataan niiden sisältämien elementtien lukumäärän mukaan. Joukon kardinaalisuus on merkitty . Äärillisen joukon kardinaalisuus on sen alkioiden lukumäärä.

Vastaavilla sarjoilla on sama kardinaliteetti. Sarja on ns lukemattomia , jos sen teho on suurempi kuin joukon teho.

Voimassa (todellinen) määrä kutsutaan äärettömäksi desimaali, otettu "+"- tai " "-merkillä. Reaaliluvut tunnistetaan numerorivin pisteillä. Moduuli Reaaliluvun (absoluuttinen arvo) on ei-negatiivinen luku:

Sarja on ns numeerinen , jos sen elementit ovat reaalilukuja väliajoin numerojoukkoja kutsutaan: , , , , , , , , .

Lukuviivan kaikkien pisteiden joukko, jotka täyttävät ehdon , jossa on mielivaltaisen pieni luku, kutsutaan -ympäristö (tai yksinkertaisesti naapuruston) pisteen ja on merkitty . Kaikkien pisteiden joukko ehdolla , jossa - mielivaltaisesti suuri määrä, nimeltään - ympäristö (tai yksinkertaisesti naapuruston) äärettömyydestä ja sitä merkitään .

Määrää, joka säilyttää saman numeerisen arvon, kutsutaan vakio. Kutsutaan määrää, joka saa erilaisia numeerisia arvoja muuttuja. Toiminto kutsutaan säännöksi, jonka mukaan jokainen numero liittyy yhteen kokonaan tietty numero, ja kirjoittaa. Sarja on ns määritelmän alue toiminnot, - monet ( tai alue ) arvot toiminnot, - argumentti , - funktion arvo . Yleisin tapa määrittää funktio on analyyttinen menetelmä, jossa funktio määritellään kaavalla. Luonnollinen määritelmäalue funktio on argumentin arvojoukko, jolle tämä kaava on järkevä. Funktiokaavio , suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä, on joukko tason kaikista pisteistä, joiden koordinaatit , .

Funktiota kutsutaan jopa joukossa, joka on symmetrinen pisteen suhteen, jos seuraava ehto täyttyy kaikille: ja outoa , jos ehto täyttyy. Muuten - toiminto yleinen näkemys tai ei parillinen eikä pariton .

Funktiota kutsutaan määräajoin televisiossa, jos siellä on numero ( toiminnon ajanjakso ), jotta seuraava ehto täyttyy kaikille: . Pienintä lukua kutsutaan pääjaksoksi.

Funktiota kutsutaan lisääntyy monotonisesti (vähenee ) kuvauksissa jos korkeampi arvo argumentti vastaa funktion suurempaa (pienempää) arvoa.

Funktiota kutsutaan rajoitettu sarjassa, jos on sellainen luku, että seuraava ehto täyttyy kaikille: . Muuten toiminto on rajoittamaton .

Käänteinen toimimaan , , on funktio, joka on määritelty joukossa ja jokaiselle

Vastaa sellaisia, että . Voit löytää funktion käänteisarvon , täytyy ratkaista yhtälö suhteellisesti. Jos toiminto , on tiukasti monotoninen , silloin sillä on aina käänteisarvo, ja jos funktio kasvaa (vähenee), niin käänteinen funktio myös kasvaa (vähenee).

Funktiota, joka esitetään muodossa , jossa on joitain toimintoja siten, että funktion määritelmäalue sisältää funktion koko arvojoukon, kutsutaan monimutkainen toiminto riippumaton argumentti. Muuttujaa kutsutaan väliargumentiksi. Monimutkaista funktiota kutsutaan myös funktioiden ja yhdistelmäksi, ja se kirjoitetaan: .

Perus alkeet toiminnot otetaan huomioon: tehoa toiminto, suuntaa-antava funktio ( , ), logaritminen funktio ( , ), trigonometrinen toiminnot , , , , käänteinen trigonometrinen toiminnot , , , . Alkeista kutsutaan perusfunktiosta saaduksi funktioksi perustoiminnotäärellinen määrä niiden aritmeettisia operaatioita ja koostumuksia.

Jos funktiolle annetaan kaavio, funktion kaavion muodostaminen pelkistetään sarjaan kaavion muunnoksia (siirto, pakkaus tai venytys, näyttö):

1) 2) muunnos näyttää kuvaajan symmetrisesti suhteessa akseliin; 3) muunnos siirtää kuvaajaa akselia pitkin yksiköillä ( - oikealle, - vasemmalle); 4) muunnos siirtää kuvaajaa akselia pitkin yksiköillä ( - ylös, - alas); 5) graafin muuntaminen akselia pitkin venyy kertoimella, jos tai pakkaa kertoimella, jos; 6) Kuvaajan muuntaminen akselia pitkin pakkaa kertoimella, jos tai venyy kertoimella, jos .

Muunnossarja funktion kuvaajaa rakennettaessa voidaan esittää symbolisesti seuraavasti:

Huom. Kun suoritat muunnoksen, muista, että siirtymän määrä akselilla määräytyy vakion mukaan, joka lisätään suoraan argumenttiin, ei argumenttiin.

Funktion kuvaaja on paraabeli, jonka kärkipiste on pisteessä ja jonka haarat on suunnattu ylöspäin, jos tai alaspäin, jos . Lineaarisen murtofunktion kuvaaja on hyperbola, jonka keskus on pisteessä ja jonka asymptootit kulkevat koordinaattiakselien suuntaisesti keskustan läpi.

, ehtoa tyydyttävä. soitti. Tarkastellaan vektorien tuloa, Ja
, koostuu seuraavasti:

. Tässä kaksi ensimmäistä vektoria kerrotaan vektoriaalisesti ja niiden tulos skalaarisesti kerrotaan kolmannella vektorilla. Tällaista tuloa kutsutaan kolmen vektorin vektori-skalaariksi tai sekatuloksi. Sekoitettu tuote edustaa numeroa.
.

Selvitetään lausekkeen geometrinen merkitys Lause

. Kolmen vektorin sekatulo on yhtä suuri kuin näille vektoreille rakennetun suuntaissärmiön tilavuus otettuna plusmerkillä, jos nämä vektorit muodostavat oikeanpuoleisen kolmion, ja miinusmerkillä, jos ne muodostavat vasemman kolmion. Todiste.. , , Muodostetaan suuntaissärmiö, jonka reunat ovat vektoreita
.

ja vektori
,
Meillä on: , Missä Tarkastellaan vektorien tuloa, ,
- vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-ala
vektorien oikealle kolmikolle ja
vasemmalle, missä
- suuntaissärmiön korkeus. Saamme:
Meillä on: , eli , Tarkastellaan vektorien tuloa, .

- vektorien muodostaman suuntaissärmiön tilavuus

Sekatuotteen ominaisuudet 1. Sekoitettu tuote ei muutu milloin syklinen

sen tekijöiden uudelleenjärjestely, ts. .

Itse asiassa tässä tapauksessa suuntaissärmiön tilavuus tai sen reunojen suunta eivät muutu.
.

2. Sekoitettu tulo ei muutu, kun vektorin ja skalaarikertoimen merkit vaihdetaan, ts.
Tarkastellaan vektorien tuloa,
Todella, , , Tarkastellaan vektorien tuloa, , , . Otamme saman merkin näiden yhtälöiden oikealta puolelta, koska vektorien kolmiot

- yksi suunta.
Siten,
. Tämän avulla voit kirjoittaa vektoreiden sekatulon
muodossa

ilman vektorin merkkejä, skalaarikerto.
,
,
.

3. Sekoitettu tulo vaihtaa etumerkkiä, kun mitkä tahansa kaksi tekijävektoria vaihtavat paikkaa, ts.

Itse asiassa tällainen uudelleenjärjestely vastaa vektoritulon tekijöiden uudelleenjärjestelyä, tuotteen etumerkin muuttamista. , Tarkastellaan vektorien tuloa, 4. Nollasta poikkeavien vektorien sekatulo

on yhtä suuri kuin nolla, jos ja vain jos ne ovat samassa tasossa.

2.12. Sekatuotteen laskenta koordinaattimuodossa ortonormaalisti
,
,
Olkoon vektorit annettu

. (10)

. Etsitään heidän sekatulonsa käyttämällä lausekkeita koordinaateissa vektori- ja skalaarituloille:

koska yhtälön (10) oikea puoli edustaa kolmannen kertaluvun determinantin laajenemista kolmannen rivin elementeiksi.

Joten vektorien sekatulo on yhtä suuri kuin kolmannen kertaluvun determinantti, joka koostuu kerrottujen vektorien koordinaateista.

2.13.Jotkin sekatuotteen sovellukset

Vektorien suhteellisen orientaation määrittäminen avaruudessa

Vektorien suhteellisen orientaation määrittäminen , Tarkastellaan vektorien tuloa, seuraavien näkökohtien perusteella. Jos
, Tuo , , - oikea kolme; Jos
, Tuo , , - jäljellä kolme.

Vektorien samantasoisuuden ehto

Vektorit , Tarkastellaan vektorien tuloa, ovat samantasoisia silloin ja vain jos niiden sekoitettu tulo on yhtä suuri kuin nolla (
,
,
):

vektorit , , koplanaarinen.

Suuntasärmiön ja kolmiopyramidin tilavuuden määrittäminen

On helppo osoittaa, että suuntaissärmiön tilavuus rakentuu vektoreille , Tarkastellaan vektorien tuloa, laskettu muodossa
, ja samoihin vektoreihin rakennetun kolmion muotoisen pyramidin tilavuus on yhtä suuri kuin
.

Esimerkki 1. Todista, että vektorit
,
,
koplanaarinen.

Ratkaisu. Etsitään näiden vektorien sekatulo kaavalla:

Tämä tarkoittaa, että vektorit
koplanaarinen.

Esimerkki 2. Kun otetaan huomioon tetraedrin kärjet: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Etsi sen korkeuden pituus laskettuna kärjestä .

Ratkaisu. Etsitään ensin tetraedrin tilavuus
. Kaavan avulla saamme:

Koska determinantti on yhtä suuri kuin negatiivinen luku, niin in tässä tapauksessa Sinun on laitettava miinusmerkki kaavan eteen. Siten,
.

Tarvittava määrä h määritämme kaavasta
, Missä S – perusalue. Määritetään alue S:

Jossa

Koska

Korvaaminen kaavaan
arvot
Tarkastellaan vektorien tuloa,
, saamme h= 3.

Esimerkki 3. Muodostuvatko vektorit
perusta avaruudessa? Laajenna vektoria
vektoreihin perustuen.

Ratkaisu. Jos vektorit muodostavat kannan avaruudessa, ne eivät ole samassa tasossa, ts. ovat ei-tasossa. Etsitään vektorien sekatulo
:
,

Näin ollen vektorit eivät ole samassa tasossa ja muodostavat kantaa avaruudessa. Jos vektorit muodostavat kannan avaruudessa, niin mikä tahansa vektori voidaan esittää kantavektoreiden lineaarisena yhdistelmänä, nimittäin
,Jossa
vektorin koordinaatit vektoripohjaisesti
. Etsitään nämä koordinaatit muodostamalla ja ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä

Ratkaisemme sen Gaussin menetelmällä

Täältä
. .

Sitten
.

Siten, Esimerkki 4.
,
,
,
Pyramidin huiput sijaitsevat pisteissä:

. Laskea:
;

a) kasvojen alue
;

b) pyramidin tilavuus
c) vektoriprojektio
;

vektorin suuntaan
;

d) kulma
,
,
koplanaarinen.

e) Tarkista, että vektorit

Ratkaisu

a) Vektoritulon määritelmästä tiedetään, että:
Tarkastellaan vektorien tuloa,
Vektorien löytäminen

,
.

, käyttämällä kaavaa

Meillä on:
.

Projektioillaan määritellyille vektoreille vektoritulo löydetään kaavasta

Meidän tapauksellemme

,
.

Löydämme tuloksena olevan vektorin pituuden kaavan avulla
ja sitten

b) Kolmen vektorin sekatulo on itseisarvoltaan yhtä suuri kuin vektoreille rakennetun suuntaissärmiön tilavuus , , kuten kylkiluissa.

Sekoitettu tuote lasketaan kaavalla:

Etsitään vektoreita
,
,
, joka osuu samaan aikaan pyramidin reunan lähestyessä huipulle :

Näiden vektorien sekatulo

Koska pyramidin tilavuus on yhtä suuri kuin osa vektoreihin rakennetun suuntaissärmiön tilavuudesta
,
,
, Tuo
(kuutioyksikköä).

c) Käyttämällä kaavaa
, joka määrittää vektorien skalaaritulon , , voidaan kirjoittaa näin:

Jossa
tai
;

tai
.

Löytää vektorin projektio
c) vektoriprojektio
löytää vektorien koordinaatit
,
ja käytä sitten kaavaa

saamme

d) Kulman löytäminen
määrittele vektorit
,
joilla on yleinen alku kohdassa :

Sitten käyttämällä skalaaritulokaavaa

e) Kolmen vektorin järjestyksessä

,
,

olivat samassa tasossa, on välttämätöntä ja riittävää, että niiden sekatulo on yhtä suuri kuin nolla.

Meidän tapauksessamme on
.

Siksi vektorit ovat samantasoisia.

Koordinaateilla määritettyjen vektorien ja sekatulo lasketaan kaavalla: .

Sekatuotteena käytetään: 1) laskea tetraedrin ja suuntaissärmiön tilavuudet, jotka on rakennettu vektoreihin , ja, kuten reunoihin, käyttämällä kaavaa: ; 2) ehtona vektorien samantasoisuudelle , ja : ja ovat samantasoisia.

Aihe 5. Linjat lentokoneessa.

Suoraan koneessa koordinaattijärjestelmässä voidaan määrittää jollakin seuraavista tyypeistä olevan yhtälön avulla:

1) - yleinen yhtälö suora, jossa on suoran normaalivektori;

2) - yhtälö suorasta pisteestä, joka kulkee kohtisuorassa annettuun vektoriin nähden;

3) - tietyn vektorin suuntaisen pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö ( kanoninen yhtälö );

4) - kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö, ;

Etäisyys pisteestä linjaan , joka on annettu tasolla yleisellä yhtälöllä, löytyy kaavasta:

kulma, ( )suorien viivojen väliin ja , joka on annettu yleisillä yhtälöillä tai yhtälöillä, joissa on kulmakerroin, löytyy jollakin seuraavista kaavoista:

Jos tai.

Jos tai

Viivojen leikkauspisteen koordinaatit ja ne löytyvät ratkaisuna lineaariseen yhtälöjärjestelmään: tai .

Aihe 10. Suuri joukko. Numeeriset sarjat. Toiminnot.

Sarja on ns osajoukko aseta jos kaikki joukon elementit kuuluvat joukkoon ja kirjoita .

Sarjat ovat ns yhtäläinen , jos ne koostuvat samoista elementeistä ja kirjoita . Kaksi ja on yhtä suuri, jos ja vain jos ja .

Sarja on ns yleismaailmallinen (tämän matemaattisen teorian puitteissa) , jos sen elementit ovat kaikki tässä teoriassa tarkasteltuja esineitä.

yhdistys

Ylittämällä asettaa ja sitä kutsutaan joukoksi

Eron mukaan asettaa ja sitä kutsutaan joukoksi

Täydentää joukkoa (ennen yleisjoukkoa) kutsutaan joukoksi.

Voimassa (todellinen) määrä kutsutaan äärettömäksi desimaalimurtoluvuksi, joka on otettu "+"- tai " "-merkillä. Reaaliluvut tunnistetaan numerorivin pisteillä.

Moduuli Reaaliluvun (absoluuttinen arvo) on ei-negatiivinen luku:

Sarja on ns numeerinen , jos sen elementit ovat reaalilukuja. Numeerinen väliajoin kutsutaan joukoiksi

numerot: , , , , , , , , .

Lukuviivan kaikkien pisteiden joukko, jotka täyttävät ehdon , jossa on mielivaltaisen pieni luku, kutsutaan -ympäristö (tai yksinkertaisesti naapuruston) pisteen ja on merkitty . Kaikkien pisteiden joukkoa ehdolla , jossa on mielivaltaisen suuri luku, kutsutaan - ympäristö (tai yksinkertaisesti naapuruston) äärettömyydestä ja sitä merkitään .

Määrää, joka säilyttää saman numeerisen arvon, kutsutaan vakio. Kutsutaan määrää, joka saa erilaisia numeerisia arvoja muuttuja. Toiminto kutsutaan säännöksi, jonka mukaan jokainen numero liittyy yhteen hyvin tiettyyn numeroon, ja he kirjoittavat. Sarja on ns määritelmän alue toiminnot, - monet ( tai alue ) arvot toiminnot, - argumentti , - funktion arvo . Yleisin tapa määrittää funktio on analyyttinen menetelmä, jossa funktio määritellään kaavalla. Luonnollinen määritelmäalue funktio on argumentin arvojoukko, jolle tämä kaava on järkevä. Funktiokaavio , suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä, on joukko tason kaikista pisteistä, joiden koordinaatit , .

Funktiota kutsutaan jopa joukossa, joka on symmetrinen pisteen suhteen, jos seuraava ehto täyttyy kaikille: ja outoa , jos ehto täyttyy. Muuten yleisen muodon funktio tai ei parillinen eikä pariton .

Funktiota kutsutaan määräajoin televisiossa, jos siellä on numero ( toiminnon ajanjakso ), jotta seuraava ehto täyttyy kaikille: . Pienintä lukua kutsutaan pääjaksoksi.

Funktiota kutsutaan lisääntyy monotonisesti (vähenee ) joukossa, jos argumentin suurempi arvo vastaa funktion suurempaa (pienempää) arvoa.

Funktiota kutsutaan rajoitettu sarjassa, jos on sellainen luku, että seuraava ehto täyttyy kaikille: . Muuten toiminto on rajoittamaton .

Käänteinen toimimaan , , on funktio, joka on määritelty joukossa ja määrittää kullekin sellaiselle, että . Funktion käänteisluvun löytäminen , täytyy ratkaista yhtälö suhteellisesti. Jos toiminto , on tiukasti monotoninen , silloin sillä on aina käänteisarvo, ja jos funktio kasvaa (vähenee), niin myös käänteisfunktio kasvaa (pienenee).

Perus alkeet toiminnot otetaan huomioon: tehoa toiminto, suuntaa-antava funktio ( , ), logaritminen funktio ( , ), trigonometrinen toiminnot , , , , käänteinen trigonometrinen toiminnot , , , . Alkeista on funktio, joka saadaan perusalkeisfunktioista äärellisellä määrällä niiden aritmeettisia operaatioita ja koostumuksia.

Funktion kuvaaja on paraabeli, jonka kärkipiste on pisteessä ja jonka haarat on suunnattu ylöspäin, jos tai alaspäin, jos .

Joissakin tapauksissa funktion kuvaajaa rakennettaessa on suositeltavaa jakaa sen määritelmäalue useisiin ei-päällekkäisiin intervalleihin ja rakentaa peräkkäin graafi jokaiselle niistä.

Jokaista reaalilukujen järjestystä kutsutaan pisteulotteinen aritmetiikka (koordinaatti) tilaa ja sitä merkitään tai , kun taas numeroita kutsutaan ee koordinaatit .

Antaa ja olla joitakin pisteitä ja . Jos jokainen piste liittyy jonkin säännön mukaan yhteen hyvin määriteltyyn reaalilukuan, he sanovat, että joukko on annettu numeerinen toiminto muuttujista ja kirjoittaa tai lyhyesti ja , tässä tapauksessa sitä kutsutaan määritelmän alue , - joukko merkityksiä , - argumentteja (riippumattomat muuttujat) -funktiot.

Kahden muuttujan funktiota merkitään usein , kolmen muuttujan funktiota . Toiminnon määrittelyalue on tietty joukko pisteitä tasossa.

Aihe 7. Numerosarjat ja sarjat. Johdonmukaisuuden raja. Toiminnan ja jatkuvuuden raja.

Jos kaikki luonnollinen luku jonkin säännön mukaan annetaan yksi hyvin määritelty reaaliluku, niin sanotaan, että annettu numerosarja . Lyhyesti tarkoittaa. Numeroon soitetaan sarjan yhteinen jäsen . Sarjaa kutsutaan myös luonnolliseksi argumenttifunktioksi. Sarja sisältää aina äärettömän monta elementtiä, joista osa voi olla yhtä suuria.

Numeroon soitetaan sekvenssin raja , ja kirjoita jos jollakin numerolla on sellainen luku, että kaikille epäyhtälölle .

Kutsutaan sekvenssiä, jolla on äärellinen raja lähentyvä , muuten- poikkeava .

: 1) vähenee , Jos ; 2) lisääntyy , Jos ; 3) ei-vähenevä , Jos ; 4) ei-nouseva , Jos. Kaikkia yllä olevia sekvenssejä kutsutaan yksitoikkoinen .

Sarjaa kutsutaan rajoitettu , jos on sellainen luku, että seuraava ehto täyttyy kaikille: . Muuten järjestys on rajoittamaton .

Jokaisella monotonisella rajatulla sekvenssillä on raja ( Weierstrassin lause).

Sarjaa kutsutaan äärettömän pieni , Jos. Sarjaa kutsutaan äärettömän suuri (konvergoimalla äärettömään) jos .

Määrä kutsutaan sekvenssin rajaksi, jossa

Vakiota kutsutaan Neper-luvuksi. Luvun logaritmia kantaansa kutsutaan luvun luonnolliseksi logaritmiksi ja sitä merkitään .

Kutsutaan lauseke muotoa , jossa on numerosarja numerosarja ja nimetään . Sarjan ensimmäisten ehtojen summa on ns -osamäärä rivi.

Sarja on ns lähentyvä , jos on rajallinen raja ja poikkeava , jos rajaa ei ole olemassa. Numeroon soitetaan konvergentin sarjan summa , samaan aikaan he kirjoittavat.

Jos sarja lähentyy, niin (tarvittava merkki sarjan lähentyminen ) . Käänteinen väite ei pidä paikkaansa.

Jos , niin sarja poikkeaa ( riittävä osoitus sarjan erosta ).

Yleistetty harmoninen sarja on sarja, joka konvergoi ja hajoaa .

Geometrinen sarja on sarja, joka konvergoi kohdassa , kun taas sen summa on yhtä suuri ja hajoaa . etsi numero tai symboli.

(vasen puoli naapurustoa, oikea puoli naapurustoa) ja Tällä oppitunnilla tarkastelemme kahta muuta operaatiota vektoreilla: Ja vektorien vektoritulo vektorien sekatulo(välitön linkki sitä tarvitseville) . Ei hätää, joskus käy niin, että täyden onnen vuoksi vektorien skalaaritulo , tarvitaan enemmän ja enemmän. Tämä on vektoririippuvuus. Saattaa tuntua siltä, että olemme pääsemässä analyyttisen geometrian viidakkoon. Tämä on väärin. Tässä korkeamman matematiikan osiossa puuta on yleensä vähän, paitsi ehkä tarpeeksi Pinocchiolle. Itse asiassa materiaali on hyvin yleinen ja yksinkertainen - tuskin monimutkaisempi kuin sama pistetuote

, tyypillisiä tehtäviä tulee vielä vähemmän. Tärkein asia analyyttisessä geometriassa, kuten monet ovat vakuuttuneita tai ovat jo vakuuttuneet, on EI TEHDÄ VIRHEITÄ LASKENTAAN. Toista kuin loitsu ja olet onnellinen =) Jos vektorit kimaltelevat jossain kaukana, kuten salama horisontissa, sillä ei ole väliä, aloita oppitunnilla Vektorit tutille palauttaa tai hankkia uudelleen perustiedot vektoreista. Valmistautuneemmat lukijat voivat tutustua tietoihin valikoivasti. Yritin kerätä mahdollisimman kattavan kokoelman esimerkkejä, joista usein löytyy

käytännön työtä Mikä tekee sinut onnelliseksi heti? Kun olin pieni, pystyin jongleeraamaan kahta tai jopa kolmea palloa. Se onnistui hyvin. Nyt sinun ei tarvitse jongleerata ollenkaan, koska harkitsemme vain spatiaaliset vektorit

, ja tasaiset vektorit, joissa on kaksi koordinaattia, jätetään pois. Miksi? Näin nämä toiminnot syntyivät - vektorien vektori ja sekatulo määritellään ja toimivat kolmiulotteisessa avaruudessa. Se on jo helpompaa! Tämä operaatio, kuten skalaaritulo, sisältää kaksi vektoria

. Olkoon nämä katoamattomia kirjaimia. Itse toiminta seuraavasti: . On muitakin vaihtoehtoja, mutta olen tottunut merkitsemään vektorien vektorituloa tällä tavalla, hakasulkeissa ristillä.

Ja heti kysymys: jos sisään vektorien skalaaritulo kaksi vektoria on mukana, ja tässä myös kerrotaan kaksi vektoria mitä eroa on? Ilmeinen ero on ensinnäkin TULOKSET:

Vektorien skalaaritulon tulos on NUMERO:

Vektorien ristitulon tulos on VECTOR: , eli kerrotaan vektorit ja saadaan taas vektori. Suljettu klubi. Itse asiassa toiminnan nimi tulee tästä. Erilaisissa opetuskirjallisuutta nimitykset voivat myös vaihdella, käytän kirjainta .

Ristituotteen määritelmä

Ensin tulee määritelmä kuvan kanssa, sitten kommentit.

Määritelmä: Vector tuote ei-kollineaarinen vektorit, otettu tässä järjestyksessä, nimeltä VECTOR, pituus mikä on numeerisesti yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala, rakennettu näille vektoreille; vektori kohtisuorassa vektoreihin nähden, ja se on suunnattu siten, että pohjalla on oikea suunta:

Puretaan määritelmä pala palalta, täällä on paljon mielenkiintoista!

Joten voidaan korostaa seuraavia tärkeitä kohtia:

1) Alkuperäiset vektorit, merkitty punaisilla nuolilla, määritelmän mukaan ei kollineaarista. Kollineaaristen vektorien tapausta on aiheellista tarkastella hieman myöhemmin.

2) Vektorit otetaan tiukasti määritellyssä järjestyksessä: – "a" kerrotaan "olla", ei "olla" ja "a". Vektorin kertolaskutulos on VECTOR, joka on merkitty sinisellä. Jos vektorit kerrotaan käänteisessä järjestyksessä, saadaan vektori, joka on yhtä pitkä ja vastakkainen (vadelman väri). Eli tasa-arvo on totta .

3) Tutustutaan nyt vektoritulon geometriseen merkitykseen. Tämä on erittäin tärkeä kohta! Sinisen vektorin (ja siten purppuraisen vektorin) PITUUS on numeerisesti yhtä suuri kuin vektoreille rakennetun suunnikkaan ALA. Kuvassa tämä suuntaviiva on varjostettu mustaksi.

Huom : piirustus on kaavamainen, ja luonnollisesti vektoritulon nimellispituus ei ole yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala.

Muistakaamme yksi geometrisista kaavoista: Suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin vierekkäisten sivujen ja niiden välisen kulman sini tulo. Siksi yllä olevan perusteella kaava vektoritulon PITUUS laskemiseksi on voimassa:

Korostan, että kaava koskee vektorin PITUUSTA, ei itse vektoria. Mitä käytännön merkitystä? Ja merkitys on, että analyyttisen geometrian ongelmissa suunnikkaan pinta-ala löytyy usein vektoritulon käsitteen kautta:

Otetaan toinen tärkeä kaava. Suunnikkaan diagonaali (punainen pisteviiva) jakaa sen kahteen yhtä suureen kolmioon. Siksi vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala (punainen varjostus) voidaan löytää kaavalla:

4) Ei vähempää tärkeä tosiasia on, että vektori on ortogonaalinen vektoreihin nähden, eli . Tietenkin vastakkaiseen suuntaan suunnattu vektori (vadelmanuoli) on myös ortogonaalinen alkuperäisiin vektoreihin nähden.

5) Vektori on suunnattu siten, että perusteella on oikein suuntaa. Oppitunnilla aiheesta siirtyminen uudelle perustalle Puhuin riittävän yksityiskohtaisesti tasosuuntaus, ja nyt selvitämme, mikä avaruussuunta on. Selitän sormillasi oikea käsi . Yhdistä henkisesti etusormi vektorilla ja keskisormi vektorin kanssa. Nimetön ja pikkusormi paina se kämmenelle. Seurauksena peukalo– vektoritulo näyttää ylöspäin. Tämä on oikealle suuntautunut perusta (se on tämä kuvassa). Vaihda nyt vektoreita ( etu- ja keskisormi) joissakin paikoissa, minkä seurauksena peukalo kääntyy ympäri ja vektoritulo näyttää jo alas. Tämä on myös oikealle suuntautunut perusta. Sinulla voi olla kysymys: mikä perusta on vasemmalle suuntautunut? "Määritä" samoihin sormiin vasen käsi vektorit ja saat avaruuden vasemman kanta- ja vasemman suuntauksen (tässä tapauksessa peukalo sijaitsee alemman vektorin suunnassa). Kuvannollisesti puhuen nämä pohjat "kiertelevät" tai suuntaavat tilaa eri suuntiin. Ja tätä käsitettä ei pidä pitää kaukaa haettuna tai abstraktina - esimerkiksi tilan suuntaa muuttaa tavallisin peili, ja jos "vedät heijastuneen esineen ulos lasista", niin yleensä se sitä ei voi yhdistää "alkuperäiseen". Pidä muuten kolme sormea peiliä vasten ja analysoi heijastus ;-)

...kuinka hyvä, että nyt tiedät siitä oikealle ja vasemmalle suunnattu perusteet, koska joidenkin luennoitsijoiden lausunnot suuntautumisen muutoksesta ovat pelottavia =)

Kollineaaristen vektorien ristitulo

Määritelmää on käsitelty yksityiskohtaisesti, on vielä selvitettävä, mitä tapahtuu, kun vektorit ovat kollineaarisia. Jos vektorit ovat kollineaarisia, ne voidaan sijoittaa yhdelle suoralle ja suunnikkaamme myös "lisäävät" yhdeksi suoraksi. Sellaisten alue, kuten matemaatikot sanovat, rappeutunut suunnikas on yhtä suuri kuin nolla. Sama seuraa kaavasta - nollan tai 180 asteen sini on yhtä suuri kuin nolla, mikä tarkoittaa, että alue on nolla

Eli jos , niin Ja . Huomaa, että itse vektoritulo on yhtä suuri kuin nollavektori, mutta käytännössä tämä usein jätetään huomiotta ja kirjoitetaan, että se on myös nolla.

Erikoistapaus on vektorin ristitulo itsensä kanssa:

Vektoritulon avulla voit tarkistaa kolmiulotteisten vektoreiden kollineaarisuuden ja analysoimme myös tämän ongelman mm.

Käytännön esimerkkien ratkaisemiseksi saatat tarvita trigonometrinen taulukko löytääksesi siitä sinien arvot.

No, sytytetään tuli:

Esimerkki 1

a) Laske vektorien vektoritulon pituus jos

b) Etsi vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-ala, jos

e) Tarkista, että vektorit: Ei, tämä ei ole kirjoitusvirhe, tein tarkoituksella lauseiden alkutiedot samanlaisiksi. Koska ratkaisujen suunnittelu on erilainen!

a) Ehdon mukaan sinun on löydettävä pituus vektori (ristitulo). Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Jos sinulta kysyttiin pituutta, ilmoitamme vastauksessa mitat - yksiköt.

b) Ehdon mukaan sinun on löydettävä neliö vektoreihin rakennettu suunnikas. Tämän suuntaviivan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin vektoritulon pituus:

Vastaus:

Huomaa, että vastaus ei puhu lainkaan vektoritulosta, josta meiltä kysyttiin hahmon alue, vastaavasti mitta on neliöyksikköä.

Katsomme aina MITÄ meidän täytyy löytää tilanteen mukaan, ja tämän perusteella muotoilemme selkeä vastaus. Se voi tuntua kirjaimelliselta, mutta heidän joukossaan on paljon kirjaimellisia opettajia, ja tehtävällä on hyvät mahdollisuudet saada palautettua tarkistettavaksi. Vaikka tämä ei olekaan erityisen kaukaa haettu kiukuttelu - jos vastaus on väärä, syntyy vaikutelma, että henkilö ei ymmärrä yksinkertaisia asioita ja/tai ei ymmärtänyt tehtävän ydintä. Tämä kohta on aina pidettävä kurissa, kun ratkaistaan korkeamman matematiikan ja myös muiden oppiaineiden ongelmia.

Mihin iso en-kirjain katosi? Periaatteessa se olisi voitu liittää lisäksi ratkaisuun, mutta merkinnän lyhentämiseksi en tehnyt tätä. Toivottavasti kaikki ymmärtävät sen ja ovat nimitys samalle asialle.

Suosittu esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:

Esimerkki 2

Etsi vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala, jos

Kaava kolmion alueen löytämiseksi vektoritulon kautta on annettu määritelmän kommenteissa. Ratkaisu ja vastaus ovat oppitunnin lopussa.

Käytännössä tehtävä on todella yleinen, kolmiot voivat yleensä kiusata sinua.

Muiden ongelmien ratkaisemiseksi tarvitsemme:

Vektorien vektoritulon ominaisuudet

Olemme jo tarkastelleet joitain vektorituotteen ominaisuuksia, mutta sisällytän ne tähän luetteloon.

Mielivaltaisille vektoreille ja mielivaltaiselle luvulle seuraavat ominaisuudet ovat tosia:

1) Muissa tietolähteissä tätä kohtaa ei yleensä korosteta ominaisuuksissa, mutta se on käytännön kannalta erittäin tärkeä. Joten anna sen olla.

2) – kiinteistöstä puhutaan myös edellä, joskus sitä kutsutaan antikommutatiivisuus. Toisin sanoen vektorien järjestyksellä on väliä.

3) – assosiatiivinen tai assosiatiivista vektoritulolakeja. Vakiot voidaan helposti siirtää vektoritulon ulkopuolelle. Oikeasti, mitä heidän pitäisi tehdä siellä?

4) – jakelu tai jakavia vektoritulolakeja. Myöskään kiinnikkeiden avaamisessa ei ole ongelmia.

Sen havainnollistamiseksi katsotaanpa lyhyt esimerkki:

Esimerkki 3

Etsi jos

Ratkaisu: Ehto vaatii jälleen vektoritulon pituuden löytämisen. Maalataan pienoismallimme:

(1) Assosiatiivisten lakien mukaan otamme vakiot vektoritulon piirin ulkopuolelle.

(2) Siirrämme vakion moduulin ulkopuolelle ja moduuli "syö" miinusmerkin. Pituus ei voi olla negatiivinen.

(3) Loput on selvää.

Vastaus:

On aika laittaa lisää puuta tuleen:

Esimerkki 4

Laske vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala, jos

e) Tarkista, että vektorit: Etsi kolmion pinta-ala kaavan avulla . Havainto on, että vektorit "tse" ja "de" esitetään itse vektoreiden summana. Tässä oleva algoritmi on vakio ja muistuttaa jonkin verran oppitunnin esimerkkejä 3 ja 4 Vektorien pistetulo . Selvyyden vuoksi jaamme ratkaisun kolmeen vaiheeseen:

1) Ensimmäisessä vaiheessa ilmaisemme vektorituotteen vektorituotteen kautta, itse asiassa, ilmaistaan vektori vektorilla. Pituudesta ei vielä mitään!

(1) Korvaa vektorien lausekkeet.

(2) Distributiivisia lakeja käyttäen avataan sulut polynomien kertolaskusäännön mukaisesti.

(3) Assosiatiivisia lakeja käyttämällä siirrämme kaikki vakiot vektoritulojen ulkopuolelle. Pienellä kokemuksella vaiheet 2 ja 3 voidaan suorittaa samanaikaisesti.

(4) Ensimmäinen ja viimeinen termi ovat yhtä kuin nolla (nollavektori) johtuen mukavasta ominaisuudesta. Toisessa termissä käytämme vektorituotteen antikommutatiivisuuden ominaisuutta:

(5) Esittelemme samanlaisia termejä.

Tämän seurauksena vektori osoittautui ilmaistuksi vektorin kautta, mikä vaadittiin saavuttamiseksi:

2) Toisessa vaiheessa löydämme tarvitsemamme vektoritulon pituuden. Tämä toiminto on samanlainen kuin esimerkki 3:

3) Etsi vaaditun kolmion pinta-ala:

Ratkaisun vaiheet 2-3 olisi voitu kirjoittaa yhdelle riville.

Vastaus:

Käsitelty ongelma on melko yleinen testit, tässä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta:

Esimerkki 5

Etsi jos

Lyhyt ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Katsotaan kuinka tarkkaavainen olit tutkiessasi aiempia esimerkkejä ;-)

Koordinaattien vektorien ristitulo

, määritelty ortonormaalisti, ilmaistaan kaavalla:

Kaava on todella yksinkertainen: kirjoitamme determinantin yläriville koordinaattivektorit, toiselle ja kolmannelle riville "laitamme" vektorien koordinaatit ja laitamme tiukassa järjestyksessä– ensin "ve"-vektorin koordinaatit, sitten "double-ve"-vektorin koordinaatit. Jos vektorit on kerrottava eri järjestyksessä, rivit tulee vaihtaa:

Esimerkki 10

Tarkista, ovatko seuraavat avaruusvektorit kollineaarisia:
A)
b)

e) Tarkista, että vektorit: Vahvistus perustuu yhteen lauseista tämä oppitunti: jos vektorit ovat kollineaarisia, niin niiden vektoritulo on yhtä suuri kuin nolla (nollavektori): .

a) Etsi vektoritulo:

Siten vektorit eivät ole kollineaarisia.

b) Etsi vektoritulo:

Vastaus: a) ei kollineaarinen, b)

Tässä on ehkä kaikki perustiedot vektorien vektoritulosta.

Tämä osa ei ole kovin suuri, koska vektoreiden sekatuloa käytettäessä on vähän ongelmia. Itse asiassa kaikki riippuu määritelmästä, geometrisestä merkityksestä ja muutamasta työkaavasta.

Vektorien sekatulo on kolmen tuote vektorit:

Joten he asettuivat jonoon kuin juna eivätkä malta odottaa, että heidät tunnistetaan.

Ensin jälleen määritelmä ja kuva:

Määritelmä: Sekatyötä ei-tasossa vektorit, otettu tässä järjestyksessä, soitti suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu näille vektoreille, varustettu "+"-merkillä, jos kanta on oikea, ja "-"-merkillä, jos kanta on vasen.

Tehdään piirustus. Meille näkymättömät viivat piirretään katkoviivoilla:

Sukellaanpa määritelmään:

2) Vektorit otetaan tietyssä järjestyksessä, eli vektorien uudelleenjärjestely tuotteessa, kuten saatat arvata, ei tapahdu ilman seurauksia.

3) Ennen kuin kommentoin geometrista merkitystä, huomautan ilmeinen tosiasia: vektorien sekatulo on NUMERO: . Oppikirjallisuudessa muotoilu voi olla hieman erilainen, olen tottunut merkitsemään sekatuotetta ja laskelmien tulosta kirjaimella "pe".

Määritelmän mukaan sekoitettu tuote on suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu vektoreille (kuvio on piirretty punaisilla vektoreilla ja mustilla viivoilla). Eli luku on yhtä suuri kuin tietyn suuntaissärmiön tilavuus.

Huom : Piirustus on kaavamainen.

4) Älkäämme enää murehtiko perustan ja tilan suuntauksen käsitteestä. Loppuosan tarkoitus on, että äänenvoimakkuuteen voidaan lisätä miinusmerkki. Yksinkertaisin sanoin, sekoitettu tuote voi olla negatiivinen: .

Suoraan määritelmästä seuraa kaava vektoreille rakennetun suuntaissärmiön tilavuuden laskemiseksi.