Analysoidaan kahden tyyppisiä ratkaisuja yhtälöjärjestelmiin:

1. Järjestelmän ratkaiseminen korvausmenetelmällä.
2. Systeemin ratkaiseminen systeemiyhtälöiden termi kerrallaan lisäämisellä (vähennyksellä).

Yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi korvausmenetelmällä sinun on noudatettava yksinkertaista algoritmia:
1. Express. Mistä tahansa yhtälöstä ilmaisemme yhden muuttujan.
2. Korvaava. Korvaamme saadun arvon toisella yhtälöllä ilmaistun muuttujan sijaan.
3. Ratkaise tuloksena oleva yhtälö yhdellä muuttujalla. Löydämme ratkaisun järjestelmään.

Päättämään järjestelmä termi kerrallaan yhteenlasku- (vähennys-) menetelmällä tarvitse:
1. Valitse muuttuja, jolle teemme identtiset kertoimet.
2. Lisäämme tai vähennämme yhtälöitä, jolloin saadaan yhtälö, jossa on yksi muuttuja.
3. Ratkaise tuloksena oleva lineaarinen yhtälö. Löydämme ratkaisun järjestelmään.

Järjestelmän ratkaisuna ovat funktiokaavioiden leikkauspisteet.

Tarkastellaan yksityiskohtaisesti järjestelmien ratkaisua esimerkkien avulla.

Esimerkki 1:

Ratkaistaan ​​korvausmenetelmällä

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen korvausmenetelmällä

2x+5y=1 (1 yhtälö)
x-10y = 3 (2. yhtälö)

1. Express
Voidaan nähdä, että toisessa yhtälössä on muuttuja x, jonka kerroin on 1, mikä tarkoittaa, että muuttuja x on helpoin ilmaista toisesta yhtälöstä.
x=3+10v

2.Kun olemme ilmaisseet sen, korvaamme ensimmäiseen yhtälöön muuttujan x sijasta 3+10y.
2(3+10v)+5v=1

3. Ratkaise tuloksena oleva yhtälö yhdellä muuttujalla.
2(3+10v)+5v=1 (avaa sulut)
6+20v+5v=1
25v = 1-6
25v = -5 |: (25)
y = -5:25
y = -0,2

Yhtälöjärjestelmän ratkaisu on graafien leikkauspisteet, joten meidän on löydettävä x ja y, koska leikkauspiste koostuu x:stä ja y:stä. Ensimmäisessä pisteessä, jossa ilmaisimme sen, korvataan y .
x=3+10v
x=3+10*(-0,2)=1

On tapana kirjoittaa pisteitä ensin muuttuja x ja toiseksi muuttuja y.
Vastaus: (1; -0,2)

Esimerkki 2:

Ratkaistaan ​​termi kerrallaan yhteenlasku- (vähennys) -menetelmällä.

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen summausmenetelmällä

3x-2y=1 (1 yhtälö)
2x-3y = -10 (2. yhtälö)

1. Valitsemme muuttujan, oletetaan, että valitsemme x. Ensimmäisessä yhtälössä muuttujan x kerroin on 3, toisessa - 2. Meidän on tehtävä kertoimet samat, tätä varten meillä on oikeus kertoa yhtälöt tai jakaa millä tahansa luvulla. Kerromme ensimmäisen yhtälön 2:lla ja toisen 3:lla ja saamme kokonaiskertoimen 6.

3x-2v=1 |*2
6x-4v = 2

2x-3v = -10 |*3
6x-9v=-30

2. Vähennä toinen ensimmäisestä yhtälöstä päästäksesi eroon muuttujasta x. Ratkaise lineaarinen yhtälö.
__6x-4y=2

5v=32 | :5
y = 6,4

3. Etsi x. Korvaamme löydetyn y:n mihin tahansa yhtälöön, vaikkapa ensimmäiseen yhtälöön.
3x-2v=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8 = 1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Leikkauspiste on x=4,6; y = 6,4
Vastaus: (4.6; 6.4)

Haluatko valmistautua kokeisiin ilmaiseksi? Tutor verkossa ilmaiseksi. Ei vitsi.

Online-yhtälönratkaisupalvelu auttaa sinua ratkaisemaan minkä tahansa yhtälön. Sivustoamme käyttämällä et vain saa vastausta yhtälöön, vaan myös näet yksityiskohtainen ratkaisu, eli vaiheittainen näyttö tuloksen saamisprosessista. Palvelumme on hyödyllinen lukiolaisille ja heidän vanhemmilleen. Opiskelijat voivat valmistautua kokeisiin ja tentteihin, testata tietonsa ja vanhemmat voivat seurata lastensa matemaattisten yhtälöiden ratkaisuja. Kyky ratkaista yhtälöitä - pakollinen vaatimus koululaisille. Palvelu auttaa sinua kouluttautumaan ja parantamaan tietämystäsi matemaattisten yhtälöiden alalla. Sen avulla voit ratkaista minkä tahansa yhtälön: neliöllisen, kuutioisen, irrationaalisen, trigonometrisen jne. Hyöty verkkopalvelu ja on korvaamaton, koska oikean vastauksen lisäksi saat yksityiskohtaisen ratkaisun jokaiseen yhtälöön. Edut yhtälöiden ratkaisemisesta verkossa. Voit ratkaista minkä tahansa yhtälön verkossa verkkosivuillamme täysin ilmaiseksi. Palvelu on täysin automaattinen, sinun ei tarvitse asentaa mitään tietokoneellesi, sinun tarvitsee vain syöttää tiedot ja ohjelma antaa sinulle ratkaisun. Kaikki lasku- tai kirjoitusvirheet eivät ole mahdollisia. Meillä kaikkien yhtälöiden ratkaiseminen verkossa on erittäin helppoa, joten muista käyttää sivustoamme kaikenlaisten yhtälöiden ratkaisemiseen. Sinun tarvitsee vain syöttää tiedot ja laskenta suoritetaan muutamassa sekunnissa. Ohjelma toimii itsenäisesti, ilman ihmisen väliintuloa, ja saat tarkan ja yksityiskohtaisen vastauksen. Yhtälön ratkaisu yleisessä muodossa. Tällaisessa yhtälössä muuttujakertoimet ja halutut juuret ovat yhteydessä toisiinsa. Muuttujan suurin potenssi määrää tällaisen yhtälön järjestyksen. Tämän perusteella yhtälöille käytetään erilaisia ​​menetelmiä ja lauseita ratkaisujen löytämiseksi. Tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaiseminen tarkoittaa vaadittujen juurien löytämistä yleisessä muodossa. Palvelumme avulla voit ratkaista monimutkaisimmatkin algebralliset yhtälöt verkossa. Voit saada yhtälöön sekä yleisen ratkaisun että tietyn ratkaisun määrittämiesi kertoimien numeerisille arvoille. Algebrallisen yhtälön ratkaisemiseksi verkkosivulla riittää, että täytät oikein vain kaksi kenttää: annetun yhtälön vasen ja oikea puoli. U algebralliset yhtälöt muuttuvilla kertoimilla ratkaisuja on ääretön määrä ja tietyt ehdot asettamalla valitaan ratkaisujoukosta yksityiset. Toisen asteen yhtälö. Neliöyhtälön muoto on ax^2+bx+c=0 kun a>0. Neliöyhtälöiden ratkaiseminen sisältää x:n arvojen löytämisen, joissa yhtälö ax^2+bx+c=0 pätee. Voit tehdä tämän etsimällä erottimen arvon kaavalla D=b^2-4ac. Jos syrjivä alle nolla, silloin yhtälöllä ei ole todellisia juuria (juuret ovat kentästä kompleksiluvut), jos se on nolla, niin yhtälöllä on yksi reaalijuuri, ja jos diskriminantti on suurempi kuin nolla, yhtälöllä on kaksi reaalijuurta, jotka löydetään kaavasta: D= -b+-sqrt/2a. Voit ratkaista toisen asteen yhtälön verkossa, sinun tarvitsee vain syöttää yhtälön kertoimet (kokonaisluvut, murto- tai desimaaliluvut). Jos yhtälössä on vähennysmerkkejä, yhtälön vastaavien ehtojen eteen on laitettava miinusmerkki. Päättää toisen asteen yhtälö verkossa ja riippuen parametrista eli yhtälön kertoimien muuttujista. Verkkopalvelumme yleisten ratkaisujen löytämiseksi selviää hyvin tästä tehtävästä. Lineaariset yhtälöt. Lineaaristen yhtälöiden (tai yhtälöjärjestelmien) ratkaisemiseen käytetään käytännössä neljää päämenetelmää. Kuvaamme jokaista menetelmää yksityiskohtaisesti. Korvausmenetelmä. Yhtälöiden ratkaiseminen korvausmenetelmällä edellyttää yhden muuttujan ilmaisemista muiden kanssa. Tämän jälkeen lauseke korvataan järjestelmän muilla yhtälöillä. Tästä tulee ratkaisumenetelmän nimi, eli sen lauseke korvataan muuttujan sijaan jäljellä olevilla muuttujilla. Käytännössä menetelmä vaatii monimutkaisia ​​laskelmia, vaikka se on helppo ymmärtää, joten tällaisen yhtälön ratkaiseminen verkossa säästää aikaa ja helpottaa laskelmia. Sinun tarvitsee vain ilmoittaa yhtälössä tuntemattomien lukumäärä ja täyttää tiedot lineaarisista yhtälöistä, sitten palvelu suorittaa laskelman. Gaussin menetelmä. Menetelmä perustuu järjestelmän yksinkertaisimpiin muunnoksiin, jotta päästään vastaavaan kolmiojärjestelmään. Siitä määritetään tuntemattomat yksitellen. Käytännössä tällainen yhtälö on ratkaistava verkossa yksityiskohtainen kuvaus, jonka ansiosta sinulla on hyvä käsitys Gaussin menetelmästä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi. Kirjoita lineaariyhtälöjärjestelmä muistiin oikeaan muotoon ja ota huomioon tuntemattomien lukumäärä järjestelmän tarkan ratkaisemiseksi. Cramerin menetelmä. Tämä menetelmä ratkaisee yhtälöjärjestelmät tapauksissa, joissa järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu. Tärkein matemaattinen toimenpide tässä on matriisideterminanttien laskenta. Yhtälöiden ratkaiseminen Cramer-menetelmällä suoritetaan verkossa, saat tuloksen välittömästi täydellisellä ja yksityiskohtaisella kuvauksella. Riittää, kun täytät järjestelmän kertoimilla ja valitset tuntemattomien muuttujien lukumäärän. Matriisimenetelmä. Tämä menetelmä koostuu tuntemattomien kertoimien keräämisestä matriisiin A, tuntemattomien kertoimet sarakkeeseen X ja vapaat termit sarakkeeseen B. Siten lineaarinen yhtälöjärjestelmä pelkistetään matriisiyhtälöksi, jonka muoto on AxX = B. Tällä yhtälöllä on ainutlaatuinen ratkaisu vain, jos matriisin A determinantti on eri kuin nolla, muuten järjestelmällä ei ole ratkaisuja tai ratkaisuja on ääretön määrä. Yhtälöiden ratkaiseminen matriisimenetelmällä sisältää käänteismatriisin A löytämisen.

Eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaiseminen. Esimerkkejä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Mitä on tapahtunut eksponentiaalinen yhtälö? Tämä on yhtälö, jossa tuntemattomat (x:t) ja niitä sisältävät lausekkeet ovat sisällä indikaattoreita joitain asteita. Ja vain siellä! Tämä on tärkeää.

Tässä mennään esimerkkejä eksponentiaaliyhtälöt :

3 x 2 x = 8 x+3

Huomio! Asteiden perusteissa (alla) - vain numeroita. IN indikaattoreita asteet (yllä) - laaja valikoima X:llä varustettuja lausekkeita. Jos yhtäkkiä yhtäkkiä X ilmestyy muualle kuin indikaattoriin, esimerkiksi:

tästä tulee yhtälö sekoitettu tyyppi. Tällaisilla yhtälöillä ei ole selkeitä sääntöjä niiden ratkaisemiseksi. Emme ota niitä toistaiseksi huomioon. Tässä käsitellään ratkaisemaan eksponentiaaliyhtälöitä puhtaimmassa muodossaan.

Itse asiassa edes puhtaita eksponentiaaliyhtälöitä ei aina ratkaista selvästi. Mutta on olemassa tietyntyyppisiä eksponentiaaliyhtälöitä, jotka voidaan ja pitäisi ratkaista. Nämä ovat tyyppejä, joita harkitsemme.

Yksinkertaisten eksponenttiyhtälöiden ratkaiseminen.

Ensin ratkaistaan ​​jotain hyvin perustavaa. Esimerkiksi:

Jopa ilman teorioita, yksinkertaisella valinnalla on selvää, että x = 2. Ei muuta, eikö!? Mikään muu X:n arvo ei toimi. Katsotaan nyt tämän hankalan eksponentiaaliyhtälön ratkaisua:

Mitä olemme tehneet? Itse asiassa me yksinkertaisesti heitimme pois samat pohjat (kolminkertaiset). Täysin ulos heitetty. Ja hyvä uutinen on, että osuimme naulan päähän!

Todellakin, jos eksponentiaalisessa yhtälössä on vasen ja oikea identtinen luvut missä tahansa potenssissa, nämä luvut voidaan poistaa ja eksponentit voidaan tasoittaa. Matematiikka sallii. On vielä ratkaistava paljon yksinkertaisempi yhtälö. Hienoa, eikö?)

Muistakaamme kuitenkin lujasti: Voit poistaa tukiasemat vain, kun vasemmalla ja oikealla olevat kantanumerot ovat loistavasti erillään! Ilman naapureita ja kertoimia. Sanotaan yhtälöissä:

2 x +2 x+1 = 2 3 tai

kaksikkoa ei voi poistaa!

No, olemme hallitseneet tärkeimmän. Kuinka siirtyä pahoista eksponentiaalisista lausekkeista yksinkertaisempiin yhtälöihin.

"Näitä aikoja on!" - sanot sinä. "Kuka antaisi niin alkeellisen oppitunnin kokeista ja kokeista!?"

Minun täytyy olla samaa mieltä. Kukaan ei. Mutta nyt tiedät mihin tähdätä, kun ratkaiset hankalia esimerkkejä. Se on tuotava muotoon, jossa sama perusnumero on vasemmalla ja oikealla. Sitten kaikki on helpompaa. Itse asiassa tämä on matematiikan klassikko. Otamme alkuperäisen esimerkin ja muunnamme sen halutuksi meille mieleen. Matematiikan sääntöjen mukaan tietysti.

Katsotaanpa esimerkkejä, jotka vaativat lisäponnistuksia niiden pelkistämiseksi yksinkertaisimpiin. Soitetaan heille yksinkertaiset eksponentiaaliyhtälöt.

Yksinkertaisten eksponenttiyhtälöiden ratkaiseminen. Esimerkkejä.

Eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa pääsäännöt ovat toiminnot asteilla. Ilman tietoa näistä toimista mikään ei toimi.

Tutkintotoimiin on lisättävä henkilökohtainen havainto ja kekseliäisyys. Tarvitsemmeko samoja peruslukuja? Joten etsimme niitä esimerkistä eksplisiittisessä tai salatussa muodossa.

Katsotaan kuinka tämä käytännössä tehdään?

Otetaanpa esimerkki:

2 2x - 8 x+1 = 0

Ensimmäinen terävä katse on perusteilla. He... He ovat erilaisia! Kaksi ja kahdeksan. Mutta on liian aikaista lannistua. On aika muistaa se

Kaksi ja kahdeksan ovat asteittain sukulaisia.) On täysin mahdollista kirjoittaa:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jos muistamme kaavan operaatioista asteilla:

(a n) m = a nm,

tämä toimii loistavasti:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Alkuperäinen esimerkki alkoi näyttää tältä:

2 2x - 2 3 (x+1) = 0

Siirrämme 2 3 (x+1) oikealle (kukaan ei ole peruuttanut matematiikan perusoperaatioita!), saamme:

2 2x = 2 3 (x+1)

Siinä on käytännössä kaikki. Pohjien poistaminen:

Ratkaisemme tämän hirviön ja saamme

Tämä on oikea vastaus.

Tässä esimerkissä kahden voiman tunteminen auttoi meitä. Me tunnistettu kahdeksassa on salattu kaksi. Tämä tekniikka (yhteisten emästen koodaus eri numeroilla) on erittäin suosittu tekniikka eksponentiaalisissa yhtälöissä! Kyllä, ja myös logaritmeissa. Sinun on kyettävä tunnistamaan muiden lukujen potenssit numeroista. Tämä on erittäin tärkeää eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.

Tosiasia on, että minkä tahansa luvun nostaminen mihin tahansa tehoon ei ole ongelma. Kerro, vaikka paperilla, ja siinä se. Esimerkiksi kuka tahansa voi nostaa 3 viidenteen potenssiin. 243 selviää, jos tiedät kertotaulukon.) Mutta eksponentiaaliyhtälöissä paljon useammin ei tarvitse nostaa potenssiin, vaan päinvastoin... Ota selvää mikä numero missä määrin on piilotettu numeron 243 tai vaikkapa 343 taakse... Mikään laskin ei auta sinua tässä.

Sinun täytyy tietää joidenkin lukujen tehot silmästä, eikö niin... Harjoitellaanko?

Selvitä, mitkä potenssit ja mitkä numerot luvut ovat:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Vastaukset (tietysti sotkussa!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jos katsot tarkkaan, voit nähdä outo tosiasia. Vastauksia on huomattavasti enemmän kuin tehtäviä! No, se tapahtuu... Esimerkiksi 2 6, 4 3, 8 2 - siinä kaikki 64.

Oletetaan, että olet huomioinut lukujen tuntemusta koskevat tiedot.) Muistutan myös, että käytämme eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen kaikki matemaattinen tietokanta. Mukaan lukien juniori- ja keskiluokkien. Et mennyt suoraan lukioon, vai mitä?)

Esimerkiksi eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa yhteisen tekijän jättäminen pois sulkeista auttaa usein (hei 7. luokalle!). Katsotaanpa esimerkkiä:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Ja jälleen, ensisilmäyksellä on perustukset! Tutkintojen perusteet ovat erilaiset... Kolme ja yhdeksän. Ja haluamme niiden olevan samanlaisia. No, tässä tapauksessa toive täyttyy täysin!) Koska:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Käytä samoja sääntöjä tutkintojen käsittelyyn:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Hienoa, voit kirjoittaa sen ylös:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Annoimme esimerkin samoista syistä. Ja mitä seuraavaksi!? Et voi heittää kolmea ulos... Umpikuja?

Ei ollenkaan. Muista yleisin ja tehokkain päätöksentekosääntö kaikille matemaattiset tehtävät:

Jos et tiedä mitä tarvitset, tee mitä voit!

Katso, kaikki järjestyy).

Mitä tässä eksponentiaalisessa yhtälössä on Voi tehdä? Kyllä, vasemmalla puolella se vain pyytää, että se otetaan pois suluista! Kokonaiskerroin 3 2x viittaa selvästi tähän. Kokeillaan ja sitten nähdään:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Esimerkki paranee koko ajan!

Muistamme, että perusteiden poistamiseen tarvitsemme puhtaan asteen, ilman kertoimia. Numero 70 häiritsee meitä. Joten jaamme yhtälön molemmat puolet 70:llä, saamme:

Oho! Kaikki parani!

Tämä on lopullinen vastaus.

Tapahtuu kuitenkin, että rullaus samoilla perusteilla on mahdollista, mutta niiden poistaminen ei ole mahdollista. Tämä tapahtuu muun tyyppisissä eksponentiaalisissa yhtälöissä. Otetaan tämä tyyppi hallintaan.

Muuttujan korvaaminen eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Esimerkkejä.

Ratkaistaan ​​yhtälö:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Ensin - kuten tavallista. Siirrytään yhteen tukikohtaan. Kakkoseksi.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Saamme yhtälön:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ja tässä vietämme aikaa. Aiemmat tekniikat eivät toimi, katsotpa sitä miten tahansa. Meidän on otettava arsenaalistamme esiin toinen tehokas ja universaali menetelmä. Sitä kutsutaan muuttuva vaihto.

Menetelmän ydin on yllättävän yksinkertainen. Yhden monimutkaisen kuvakkeen (tapauksessamme - 2 x) sijasta kirjoitamme toisen, yksinkertaisemman (esimerkiksi - t). Tällainen näennäisesti merkityksetön korvaaminen johtaa uskomattomiin tuloksiin!) Kaikki vain tulee selväksi ja ymmärrettäväksi!

Joten anna

Sitten 2 2x = 2 x 2 = (2 x) 2 = t 2

Korvaamme yhtälössämme kaikki potenssit x:illä t:llä:

No, valkeneeko se sinulle?) Oletko jo unohtanut toisen asteen yhtälöt? Ratkaisemalla diskriminantin kautta saamme:

Tärkeintä tässä ei ole lopettaa, kuten tapahtuu... Tämä ei ole vielä vastaus, tarvitsemme x:n, ei t:n. Palataan X:ihin, ts. teemme käänteisen vaihdon. Ensin t1:lle:

Siksi

Yksi juuri löytyi. Etsimme toista t 2:sta:

Hm... 2 x vasemmalla, 1 oikealla... Ongelma? Ei ollenkaan! Riittää, kun muistaa (operaatioista valtuuksilla, kyllä...), että yksikkö on mikä tahansa numero nollaan potenssiin. Mikä tahansa. Mitä tahansa tarvitaan, asennamme sen. Tarvitsemme kaksi. Keinot:

Siinä se nyt. Meillä on 2 juurta:

Tämä on vastaus.

klo ratkaisemaan eksponentiaaliyhtälöitä lopussa joskus päädyt johonkin kiusaan ilmeeseen. Tyyppi:

Seitsemästä kahteen yksinkertainen tutkinto se ei toimi. He eivät ole sukulaisia... Kuinka voimme olla? Joku saattaa olla hämmentynyt... Mutta henkilö, joka luki tällä sivustolla aiheen "Mikä on logaritmi?" , hymyilee vain säästeliäästi ja kirjoittaa lujalla kädellä täysin oikean vastauksen:

Tällaista vastausta ei voi olla yhtenäisen valtiontutkinnon tehtävissä "B". Siellä vaaditaan tietty numero. Mutta tehtävissä "C" se on helppoa.

Tämä oppitunti tarjoaa esimerkkejä yleisimpien eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisemisesta. Korostetaan pääkohdat.

Käytännön neuvoja:

1. Ensinnäkin tarkastelemme perusteita astetta. Ihmettelemme, onko mahdollista tehdä niitä identtinen. Yritetään tehdä tämä aktiivisesti käyttämällä toiminnot asteilla.Älä unohda, että myös luvut ilman x:iä voidaan muuntaa potenssiksi!

2. Yritämme tuoda eksponentiaaliyhtälön muotoon, kun vasemmalla ja oikealla on identtinen numerot millä tahansa potenssilla. Käytämme toiminnot asteilla Ja faktorointi. Se, mikä voidaan laskea numeroina, lasketaan.

3. Jos toinen kärki ei toimi, kokeile muuttujan korvaamista. Tuloksena voi olla yhtälö, joka voidaan helposti ratkaista. Useimmiten - neliö. Tai murto-osa, joka myös pienenee neliöiksi.

4. Jotta voisit ratkaista eksponentiaaliyhtälöitä onnistuneesti, sinun on tiedettävä joidenkin lukujen tehot silmämääräisesti.

Kuten tavallista, oppitunnin lopussa sinua pyydetään päättämään vähän.) Itse. Yksinkertaisesta monimutkaiseen.

Ratkaise eksponentiaaliyhtälöt:

Vaikeampi:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x + 1 - 8 = 0

Etsi juurten tulo:

2 3:a + 2 x = 9

Toimiiko se?

No sitten monimutkaisin esimerkki(päätetty kuitenkin mielessä...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Mikä on mielenkiintoisempaa? Sitten tässä sinulle huono esimerkki. Melko houkutteleva lisääntyneeseen vaikeuteen. Haluan vihjata, että tässä esimerkissä sinua pelastaa kekseliäisyys ja yleisin sääntö kaikkien matemaattisten ongelmien ratkaisemiseksi.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Yksinkertaisempi esimerkki rentoutumiseen):

9 2 x - 4 3 x = 0

Ja jälkiruoaksi. Etsi yhtälön juurien summa:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Kyllä, kyllä! Tämä on sekatyyppinen yhtälö! Mitä emme huomioineet tällä oppitunnilla. Miksi harkita niitä, ne on ratkaistava!) Tämä oppitunti riittää ratkaisemaan yhtälön. No, tarvitset kekseliäisyyttä... Ja seitsemäs luokka auttaa sinua (tämä on vihje!).

Vastaukset (sekaisin, puolipisteillä erotettuna):

1; 2; 3; 4; ei ole ratkaisuja; 2; -2; -5; 4; 0.

Onko kaikki onnistunut? Hienoa.

Onko ongelmia? Ei kysymystä! Special Section 555 ratkaisee kaikki nämä eksponentiaaliset yhtälöt yksityiskohtaisilla selityksillä. Mitä, miksi ja miksi. Ja tietysti on lisäarvokasta tietoa kaikenlaisten eksponentiaalisten yhtälöiden kanssa työskentelystä. Ei vain nämä.)

Viimeinen hauska kysymys pohdittavaksi. Tällä oppitunnilla työskentelimme eksponentiaalisten yhtälöiden kanssa. Miksi en puhunut täällä sanaakaan ODZ:stä? Yhtälöissä tämä on muuten erittäin tärkeä asia...

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Ohjeet

Korvausmenetelmä Ilmaise yksi muuttuja ja korvaa se toisella yhtälöllä. Voit ilmaista mitä tahansa muuttujaa oman harkintasi mukaan. Esitä esimerkiksi y toisesta yhtälöstä:
x-y=2 => y=x-2 Korvaa sitten kaikki ensimmäiseen yhtälöön:
2x+(x-2)=10 Siirrä kaikki ilman x:tä kohteeseen oikea puoli ja laske:
2x+x=10+2
3x=12 Seuraavaksi saadaksesi x, jaa yhtälön molemmat puolet kolmella:
x=4, löysit "x. Etsi "y. Voit tehdä tämän korvaamalla "x" yhtälöön, josta ilmaisit "y":
y=x-2=4-2=2
y = 2.

Tee tarkistus. Voit tehdä tämän korvaamalla saadut arvot yhtälöihin:
2*4+2=10
4-2=2
Tuntemattomat on löydetty oikein!

Tapa lisätä tai vähentää yhtälöitä Päästä eroon kaikista muuttujista heti. Meidän tapauksessamme tämä on helpompi tehdä "y.
Koska "y":ssä on "+"-merkki ja toisessa "-", voit suorittaa lisäystoiminnon, ts. taita vasen puoli vasemmalla ja oikea oikealla:
2x+y+(x-y)=10+2Muunna:
2x+y+x-y=10+2
3x = 12
x=4Korvaa "x" mihin tahansa yhtälöön ja etsi "y":
2*4+y=10
8+y=10
y = 10-8
y=2Ensimmäisellä menetelmällä voit nähdä, että ne löytyivät oikein.

Jos selkeästi määriteltyjä muuttujia ei ole, yhtälöitä on muutettava hieman.
Ensimmäisessä yhtälössä meillä on "2x", ja toisessa meillä on yksinkertaisesti "x". Jotta x pienenee summauksen aikana, kerro toinen yhtälö kahdella:
x-y = 2
2x-2y=4Vähennä sitten toinen ensimmäisestä yhtälöstä:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Huomaa, että jos hakasulkeen edessä on miinus, muuta se avauksen jälkeen päinvastaiseksi:
2x+y-2x+2y=6
3у = 6
löydä y=2x ilmaisemalla mistä tahansa yhtälöstä, ts.
x=4

Video aiheesta

Vihje 2: Lineaarisen yhtälön ratkaiseminen kahdessa muuttujassa

Yhtälö, joka on kirjoitettu yleisessä muodossa ax+bу+c=0, kutsutaan lineaariseksi yhtälöksi kahdella muuttujia. Tällainen yhtälö itsessään sisältää äärettömän määrän ratkaisuja, joten ongelmissa sitä täydennetään aina jollakin - toisella yhtälöllä tai rajoittavilla ehdoilla. Riippuen tehtävän tarjoamista ehdoista, ratkaise lineaarinen yhtälö kahdella muuttujia pitäisi eri tavoilla.

Tarvitset

• - lineaarinen yhtälö kahdella muuttujalla;
• - toinen yhtälö tai lisäehdot.

Ohjeet

Kun on annettu kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä, ratkaise se seuraavasti. Valitse yksi yhtälöistä, jossa kertoimet ovat muuttujia pienempi ja ilmaista jokin muuttujista, esimerkiksi x. Korvaa sitten tämä y:n sisältävä arvo toiseen yhtälöön. Tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja y, siirrä kaikki osat y:llä vasemmalle ja vapaat oikealle. Etsi y ja korvaa se jollakin alkuperäisestä yhtälöstä löytääksesi x.

On toinenkin tapa ratkaista kahden yhtälön järjestelmä. Kerro toinen yhtälöistä luvulla niin, että yhden muuttujan kerroin, kuten x, on sama molemmissa yhtälöissä. Vähennä sitten toinen yhtälöistä toisesta (jos oikea puoli ei ole yhtä suuri kuin 0, muista vähentää oikeat puolet samalla tavalla). Näet, että x-muuttuja on kadonnut ja vain yksi y-muuttuja on jäljellä. Ratkaise tuloksena oleva yhtälö ja korvaa löydetty y:n arvo millä tahansa alkuperäisistä yhtälöistä. Etsi x.

Kolmas tapa ratkaista kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä on graafinen. Piirrä koordinaattijärjestelmä ja piirrä kaksi suoraa, joiden yhtälöt on annettu järjestelmässäsi. Korvaa tätä varten mitkä tahansa kaksi x-arvoa yhtälöön ja etsi vastaava y - nämä ovat linjaan kuuluvien pisteiden koordinaatit. Kätevin tapa löytää leikkauspiste koordinaattiakseleiden kanssa on yksinkertaisesti korvata arvot x=0 ja y=0. Näiden kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit ovat tehtäviä.

Jos ongelmaehdoissa on vain yksi lineaarinen yhtälö, niin sinulle on annettu lisäehtoja, joiden kautta voit löytää ratkaisun. Lue ongelma huolellisesti löytääksesi nämä ehdot. Jos muuttujia x ja y osoittavat etäisyyden, nopeuden, painon - voit asettaa rajat x≥0 ja y≥0. On täysin mahdollista, että x tai y piilottaa omenoiden määrän jne. – silloin arvot voivat olla vain . Jos x on pojan ikä, on selvää, että hän ei voi olla isäänsä vanhempi, joten ilmoita tämä ongelman ehdoissa.

Lähteet:

• kuinka ratkaista yhtälö yhdellä muuttujalla

Itsestään yhtälö kolmen kanssa tuntematon on monia ratkaisuja, joten useimmiten sitä täydennetään kahdella muulla yhtälöllä tai ehdolla. Riippuen siitä, mitkä ovat lähtötiedot, päätöksen kulku riippuu suurelta osin.

Tarvitset

• - kolmen yhtälön järjestelmä, jossa on kolme tuntematonta.

Ohjeet

Jos kahdessa kolmesta järjestelmästä on vain kaksi kolmesta tuntemattomasta, yritä ilmaista jotkin muuttujat muiden termeillä ja korvata ne muuttujilla yhtälö kolmen kanssa tuntematon. Tavoitteesi tässä tapauksessa on muuttaa se normaaliksi yhtälö tuntemattoman henkilön kanssa. Jos tämä on , jatkoratkaisu on melko yksinkertainen - korvaa löydetty arvo muilla yhtälöillä ja etsi kaikki muut tuntemattomat.

Jotkut yhtälöjärjestelmät voidaan vähentää yhtälöstä toisella. Katso, onko mahdollista kertoa yksi tai muuttuja niin, että kaksi tuntematonta kumotaan kerralla. Jos sellainen mahdollisuus on, hyödynnä se todennäköisesti, myöhempi ratkaisu ei ole vaikea. Muista, että kun kerrot numerolla, sinun on kerrottava sekä vasen puoli että oikea puoli. Samoin yhtälöitä vähennettäessä on muistettava, että myös oikea puoli on vähennettävä.

Jos edelliset menetelmät eivät auttaneet, käytä yleisellä tavalla ratkaisuja mihin tahansa yhtälöön kolmella tuntematon. Kirjoita yhtälöt uudelleen muotoon a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Luo nyt kertoimien matriisi x:lle (A), tuntemattomien matriisi (X) ja vapaiden muuttujien matriisi (B). Huomaa, että kertomalla kertoimien matriisi tuntemattomien matriisilla, saat vapaiden termien matriisin, eli A*X=B.

Etsi matriisi A potenssille (-1) etsimällä ensin . Huomaa, että sen ei pitäisi olla yhtä suuri kuin nolla. Tämän jälkeen kerrotaan saatu matriisi matriisilla B, jolloin saat halutun matriisin X, joka ilmaisee kaikki arvot.

Voit myös löytää ratkaisun kolmen yhtälön järjestelmään käyttämällä Cramerin menetelmää. Tätä varten etsi järjestelmämatriisia vastaava kolmannen kertaluvun determinantti ∆. Etsi sitten peräkkäin kolme muuta determinanttia ∆1, ∆2 ja ∆3, korvaamalla vapaiden termien arvot vastaavien sarakkeiden arvojen sijaan. Etsi nyt x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Lähteet:

• ratkaisuja yhtälöihin, joissa on kolme tuntematonta

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen on haastavaa ja jännittävää. Mitä monimutkaisempi järjestelmä, sitä mielenkiintoisempaa se on ratkaista. Useimmiten matematiikassa lukio On olemassa yhtälöjärjestelmiä, joissa on kaksi tuntematonta, mutta korkeammassa matematiikassa muuttujia voi olla enemmän. Järjestelmät voidaan ratkaista useilla menetelmillä.

Ohjeet

Yleisin menetelmä yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi on substituutio. Tätä varten sinun on ilmaistava yksi muuttuja toisella ja korvattava se toisella yhtälö järjestelmät, mikä johtaa yhtälö yhteen muuttujaan. Jos esimerkiksi annetaan seuraavat yhtälöt: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Toisesta lausekkeesta on kätevää ilmaista yksi muuttujista siirtämällä kaikki muu lausekkeen oikealle puolelle, unohtamatta muuttaa kertoimen etumerkkiä: x = 3-y.

Avaa sulut: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Korvaamme tuloksena olevan arvon y lausekkeeseen: x=3-y;x=3-1;x=2. .

Ensimmäisessä lausekkeessa kaikki termit ovat 2, voit ottaa 2 hakasulkeesta kertolaskuominaisuuteen: 2*(2x-y-3)=0. Nyt molempia lausekkeen osia voidaan pienentää tällä numerolla ja ilmaista sitten y:nä, koska sen moduulikerroin on yhtä suuri: -y = 3-2x tai y = 2x-3.

Aivan kuten ensimmäisessä tapauksessa, korvaamme tämän lausekkeen toisella yhtälö ja saamme: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Korvaa tuloksena oleva arvo lausekkeeseen: y=2x-3;y=4-3=1.

Näemme, että kerroin y:lle on sama arvo, mutta eri etumerkillä, joten jos lisäämme nämä yhtälöt, pääsemme kokonaan eroon y:stä: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0 x=2 Korvaa x:n arvo johonkin järjestelmän kahdesta yhtälöstä ja saa y=1.

Video aiheesta

Biquadratic yhtälö edustaa yhtälö neljäs aste, yleinen näkemys jota edustaa lauseke ax^4 + bx^2 + c = 0. Sen ratkaisu perustuu tuntemattomien substituutiomenetelmän käyttöön. IN tässä tapauksessa x^2 korvataan toisella muuttujalla. Näin ollen tuloksena on tavallinen neliö yhtälö, joka on ratkaistava.

Ohjeet

Ratkaise neliö yhtälö vaihdon seurauksena. Tätä varten laske ensin arvo kaavan mukaisesti: D = b^2? 4ac. Tässä tapauksessa muuttujat a, b, c ovat yhtälömme kertoimia.

Etsi bikvadraattisen yhtälön juuret. Ota tätä varten saatujen ratkaisujen neliöjuuri. Jos oli yksi ratkaisu, niin niitä on kaksi - neliöjuuren positiivinen ja negatiivinen arvo. Jos ratkaisuja oli kaksi, bikvadraattisella yhtälöllä on neljä juuria.

Video aiheesta

Yksi klassisista menetelmistä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi on Gaussin menetelmä. Se koostuu muuttujien peräkkäisestä eliminoinnista, kun yhtälöjärjestelmä yksinkertaisia ​​muunnoksia käyttäen muunnetaan vaiheittaiseksi järjestelmäksi, josta kaikki muuttujat löydetään peräkkäin viimeisistä alkaen.

Ohjeet

Ensin vie yhtälöjärjestelmä muotoon, jossa kaikki tuntemattomat ovat tiukasti määritellyssä järjestyksessä. Esimerkiksi kaikki tuntemattomat X:t näkyvät ensin jokaisella rivillä, kaikki Y:t tulevat X:n jälkeen, kaikki Z tulevat Y:n jälkeen ja niin edelleen. Jokaisen yhtälön oikealla puolella ei saa olla tuntemattomia. Määritä henkisesti kertoimet jokaisen tuntemattoman edessä sekä kertoimet kunkin yhtälön oikealla puolella.

Tässä videossa analysoimme koko sarjan lineaarisia yhtälöitä, jotka ratkaistaan ​​samalla algoritmilla - siksi niitä kutsutaan yksinkertaisimmiksi.

Ensin määritellään: mikä on lineaarinen yhtälö ja kumpaa kutsutaan yksinkertaisimmiksi?

Lineaarinen yhtälö on yhtälö, jossa on vain yksi muuttuja ja vain ensimmäisessä asteessa.

Yksinkertaisin yhtälö tarkoittaa rakennetta:

Kaikki muut lineaariset yhtälöt pelkistetään yksinkertaisimpiin käyttämällä algoritmia:

1. Laajenna sulut, jos sellaisia ​​on;
2. Siirrä muuttujan sisältävät termit yhtäläisyysmerkin toiselle puolelle ja termit ilman muuttujaa toiselle puolelle;
3. Anna samanlaiset termit yhtäläisyysmerkin vasemmalle ja oikealle puolelle;
4. Jaa saatu yhtälö muuttujan $x$ kertoimella.

Tämä algoritmi ei tietenkään aina auta. Tosiasia on, että joskus kaikkien näiden koneistusten jälkeen muuttujan $x$ kerroin osoittautuu nollaksi. Tässä tapauksessa kaksi vaihtoehtoa on mahdollista:

1. Yhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisuja. Esimerkiksi kun jotain $0\cdot x=8$ käy ilmi, ts. vasemmalla on nolla ja oikealla on jokin muu luku kuin nolla. Alla olevassa videossa tarkastellaan useita syitä, miksi tämä tilanne on mahdollinen.
2. Ratkaisu on kaikki numerot. Ainoa tapaus, jolloin tämä on mahdollista, on, kun yhtälö on pelkistetty konstruktioon $0\cdot x=0$. On aivan loogista, että riippumatta siitä, mitä $x$ korvaamme, siitä huolimatta tulee esiin "nolla on yhtä kuin nolla", ts. oikea numeerinen yhtäläisyys.

Katsotaan nyt, miten tämä kaikki toimii tosielämän esimerkein.

Esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta

Nykyään käsittelemme lineaarisia yhtälöitä, ja vain yksinkertaisimpia. Yleensä lineaarinen yhtälö tarkoittaa mitä tahansa yhtälöä, joka sisältää täsmälleen yhden muuttujan, ja se menee vain ensimmäiseen asteeseen.

Tällaiset rakenteet ratkaistaan ​​suunnilleen samalla tavalla:

1. Ensinnäkin sinun on laajennettava sulkuja, jos niitä on (kuten viimeisessä esimerkissämme);
2. Yhdistä sitten samanlaiset
3. Lopuksi eristetään muuttuja, ts. siirrä kaikki muuttujaan liittyvä – sen sisältämät termit – toiselle puolelle ja kaikki, mikä jää ilman sitä, toiselle puolelle.

Sitten sinun on pääsääntöisesti tuotava samanlaiset molemmille puolille tuloksena olevaa yhtäläisyyttä, ja sen jälkeen jäljellä on vain jakaa kertoimella “x”, ja saamme lopullisen vastauksen.

Teoriassa tämä näyttää kauniilta ja yksinkertaiselta, mutta käytännössä jopa kokeneet lukiolaiset voivat tehdä loukkaavia virheitä melko yksinkertaisissa lineaariset yhtälöt. Tyypillisesti virheitä tehdään joko sulkuja avattaessa tai "plussia" ja "miinuksia" laskettaessa.

Lisäksi käy niin, että lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisuja ollenkaan tai ratkaisu on koko lukuviiva, ts. mikä tahansa numero. Tarkastelemme näitä hienouksia tämän päivän oppitunnilla. Mutta aloitamme, kuten jo ymmärsit, yksinkertaisimmista tehtävistä.

Kaavio yksinkertaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Ensinnäkin kirjoitan vielä kerran koko kaavion yksinkertaisimpien lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Laajenna kiinnikkeitä, jos sellaisia ​​on.
2. Eristämme muuttujat, ts. Siirrämme kaiken, mikä sisältää "X":n toiselle puolelle ja kaiken ilman X:ää toiselle.
3. Esittelemme samanlaisia ​​termejä.
4. Jaamme kaiken kertoimella "x".

Tämä järjestelmä ei tietenkään aina toimi, siinä on tiettyjä hienouksia ja temppuja, ja nyt opimme tuntemaan ne.

Tosiesimerkkien ratkaiseminen yksinkertaisista lineaarisista yhtälöistä

Tehtävä nro 1

Ensimmäinen vaihe edellyttää, että avaamme sulut. Mutta ne eivät ole tässä esimerkissä, joten ohitamme ne tämä vaihe. Toisessa vaiheessa meidän on eristettävä muuttujat. Huomaa: me puhumme vain yksittäisistä ehdoista. Kirjoitetaan se ylös:

Esittelemme samanlaisia ​​termejä vasemmalla ja oikealla, mutta tämä on jo tehty täällä. Siksi siirrymme neljänteen vaiheeseen: jaa kertoimella:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Joten saimme vastauksen.

Tehtävä nro 2

Näemme tässä tehtävässä sulut, joten laajennetaan niitä:

Sekä vasemmalla että oikealla näemme suunnilleen saman mallin, mutta toimitaan algoritmin mukaan, ts. erottamalla muuttujat:

Tässä on joitain samanlaisia:

Millä juurilla tämä toimii? Vastaus: mihin tahansa. Siksi voimme kirjoittaa, että $x$ on mikä tahansa luku.

Tehtävä nro 3

Kolmas lineaarinen yhtälö on mielenkiintoisempi:

\[\vasen(6-x \oikea)+\vasen(12+x \oikea)-\vasen(3-2x \oikea)=15\]

Sulkuja on useita, mutta niitä ei kerrota millään, vaan niitä edeltää erilaisia ​​merkkejä. Puretaan ne:

Suoritamme jo tuntemamme toisen vaiheen:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Tehdään laskelma:

Suoritamme viimeisen vaiheen - jaa kaikki kertoimella "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Muistettavaa, kun ratkaiset lineaarisia yhtälöitä

Jos jätämme huomiotta liian yksinkertaiset tehtävät, haluaisin sanoa seuraavaa:

• Kuten edellä sanoin, jokaisella lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua - joskus juuria ei yksinkertaisesti ole;
• Vaikka juuret olisivat, niiden joukossa voi olla nolla - siinä ei ole mitään vikaa.

Nolla on sama luku kuin muut, sinun ei pitäisi syrjiä sitä millään tavalla tai olettaa, että jos saat nollan, olet tehnyt jotain väärin.

Toinen ominaisuus liittyy kiinnikkeiden avaamiseen. Huomaa: kun niiden edessä on "miinus", poistamme sen, mutta suluissa vaihdamme merkit muotoon vastapäätä. Ja sitten voimme avata sen vakioalgoritmeilla: saamme sen, mitä näimme yllä olevissa laskelmissa.

Tämän ymmärtäminen yksinkertainen tosiasia avulla voit välttää typeriä ja loukkaavia virheitä lukiossa, kun tällaisten toimien tekemistä pidetään itsestäänselvyytenä.

Monimutkaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen

Siirrytään monimutkaisempiin yhtälöihin. Nyt rakenteet monimutkaistuvat ja erilaisia ​​muunnoksia suoritettaessa tulee näkyviin neliöfunktio. Tätä ei kuitenkaan pidä pelätä, koska jos tekijän suunnitelman mukaan ratkaisemme lineaarisen yhtälön, niin muunnosprosessin aikana kaikki neliöfunktion sisältävät monomit varmasti kumoutuvat.

Esimerkki nro 1

On selvää, että ensimmäinen askel on avata sulut. Tehdään tämä erittäin huolellisesti:

Katsotaanpa nyt yksityisyyttä:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Tässä on joitain samanlaisia:

Ilmeisesti tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, joten kirjoitamme tämän vastaukseen:

\[\varnothing\]

tai sitten ei ole juuria.

Esimerkki nro 2

Suoritamme samat toiminnot. Ensimmäinen askel:

Siirretään kaikki muuttujan kanssa vasemmalle ja ilman sitä - oikealle:

Tässä on joitain samanlaisia:

Ilmeisesti tällä lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua, joten kirjoitamme sen näin:

\[\varnothing\],

tai sitten ei ole juuria.

Ratkaisun vivahteet

Molemmat yhtälöt ovat täysin ratkaistu. Näitä kahta lauseketta esimerkkinä käyttämällä vakuutimme jälleen, että yksinkertaisimmissakin lineaarisissa yhtälöissä kaikki ei välttämättä ole niin yksinkertaista: juuria voi olla joko yksi tai ei yhtään tai äärettömän monta juuria. Meidän tapauksessamme tarkastelimme kahta yhtälöä, joilla kummallakaan ei yksinkertaisesti ole juuria.

Mutta haluaisin kiinnittää huomiosi toiseen tosiasiaan: kuinka työskennellä sulkeiden kanssa ja kuinka avata ne, jos niiden edessä on miinusmerkki. Harkitse tätä ilmaisua:

Ennen avaamista sinun on kerrottava kaikki "X":llä. Huomaa: moninkertaistuu jokainen yksittäinen termi. Sisällä on kaksi termiä - vastaavasti kaksi termiä ja kerrottu.

Ja vasta kun nämä näennäisesti alkeelliset, mutta erittäin tärkeät ja vaaralliset muutokset on saatu päätökseen, voit avata sulun siltä kannalta, että sen jälkeen on miinusmerkki. Kyllä, kyllä: vasta nyt, kun muunnokset ovat valmiit, muistamme, että suluissa on miinusmerkki, mikä tarkoittaa, että kaikki alla oleva vain muuttaa merkkejä. Samaan aikaan itse kiinnikkeet katoavat ja mikä tärkeintä, myös etuosan "miinus" katoaa.

Teemme saman toisen yhtälön kanssa:

Ei ole sattumaa, että kiinnitän huomiota näihin pieniin, näennäisesti merkityksettömiin faktoihin. Koska yhtälöiden ratkaiseminen on aina elementaaristen muunnosten sarja, jossa kyvyttömyys suorittaa selkeästi ja pätevästi yksinkertaiset vaiheet johtaa siihen, että lukiolaiset tulevat luokseni ja oppivat jälleen ratkaisemaan niin yksinkertaisia ​​yhtälöitä.

Tietysti tulee päivä, jolloin hiotte näitä taitoja automaattisuuteen asti. Sinun ei enää tarvitse suorittaa niin monia muunnoksia joka kerta, kirjoitat kaiken yhdelle riville. Mutta kun olet vain oppimassa, sinun on kirjoitettava jokainen toiminto erikseen.

Vielä monimutkaisempien lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen

Sitä, mitä aiomme ratkaista nyt, voidaan tuskin kutsua yksinkertaisimmaksi tehtäväksi, mutta merkitys pysyy samana.

Tehtävä nro 1

\[\vasen(7x+1 \oikea)\vasen(3x-1 \oikea)-21((x)^(2))=3\]

Kerrotaan kaikki ensimmäisen osan elementit:

Tehdään vähän yksityisyyttä:

Tässä on joitain samanlaisia:

Suoritetaan viimeinen vaihe:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tässä on lopullinen vastauksemme. Ja huolimatta siitä, että ratkaisuprosessissa meillä oli neliöfunktion kertoimia, ne kumosivat toisensa, mikä tekee yhtälöstä lineaarisen eikä neliöllisen.

Tehtävä nro 2

\[\vasen(1-4x \oikea)\vasen(1-3x \oikea)=6x\vasen(2x-1 \oikea)\]

Suoritetaan ensimmäinen vaihe huolellisesti: kerro jokainen elementti ensimmäisestä hakasulkeesta kullakin elementillä toisesta. Muutosten jälkeen tulee olla yhteensä neljä uutta termiä:

Suoritetaan nyt kertolasku huolellisesti jokaisessa termissä:

Siirretään termit "X":llä vasemmalle ja termit, joissa ei ole - oikealle:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Tässä on samanlaisia ​​termejä:

Jälleen kerran olemme saaneet lopullisen vastauksen.

Ratkaisun vivahteet

Tärkein huomautus näistä kahdesta yhtälöstä on seuraava: heti kun alamme kertoa hakasulkuja, jotka sisältävät useamman kuin yhden termin, tämä tehdään seuraavan säännön mukaisesti: otetaan ensimmäinen termi ensimmäisestä ja kerrotaan jokaisella alkiolla toinen; sitten otetaan toinen elementti ensimmäisestä ja kerrotaan samalla tavalla jokaisella toisesta elementistä. Tämän seurauksena meillä on neljä toimikautta.

Tietoja algebrallisesta summasta

Tällä viimeisellä esimerkillä haluaisin muistuttaa oppilaita, mikä on algebrallinen summa. Klassisessa matematiikassa $1-7$ tarkoitamme yksinkertaista konstruktiota: vähennä seitsemän yhdestä. Algebrassa tarkoitamme tällä seuraavaa: numeroon "yksi" lisäämme toisen luvun, nimittäin "miinus seitsemän". Näin algebrallinen summa eroaa tavallisesta aritmeettisesta summasta.

Heti kun suoritat kaikkia muunnoksia, jokaista yhteenlaskua ja kertolaskua, alat nähdä edellä kuvattujen rakenteita, sinulla ei yksinkertaisesti ole ongelmia algebrassa työskennellessäsi polynomien ja yhtälöiden kanssa.

Lopuksi katsotaan vielä muutama esimerkki, jotka ovat vieläkin monimutkaisempia kuin juuri tarkastelimme, ja niiden ratkaisemiseksi meidän on laajennettava hieman standardialgoritmiamme.

Yhtälöiden ratkaiseminen murtoluvuilla

Tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi meidän on lisättävä algoritmiimme vielä yksi vaihe. Mutta aluksi haluan muistuttaa sinua algoritmistamme:

1. Avaa kiinnikkeet.
2. Erilliset muuttujat.
3. Tuo samanlaisia.
4. Jaa suhteella.

Valitettavasti tämä upea algoritmi kaikesta tehokkuudestaan ​​huolimatta ei ole täysin sopiva, kun meillä on edessämme murto-osia. Ja mitä näemme alla, meillä on murto-osa sekä vasemmalla että oikealla molemmissa yhtälöissä.

Kuinka toimia tässä tapauksessa? Kyllä, se on hyvin yksinkertaista! Tätä varten sinun on lisättävä algoritmiin vielä yksi vaihe, joka voidaan tehdä sekä ennen ensimmäistä toimintoa että sen jälkeen, nimittäin päästä eroon murtoluvuista. Algoritmi tulee siis olemaan seuraava:

1. Päästä eroon murtoluvuista.
2. Avaa kiinnikkeet.
3. Erilliset muuttujat.
4. Tuo samanlaisia.
5. Jaa suhteella.

Mitä tarkoittaa "eroon murto-osista"? Ja miksi tämä voidaan tehdä sekä ensimmäisen vakiovaiheen jälkeen että ennen sitä? Itse asiassa meidän tapauksessamme kaikki murtoluvut ovat nimittäjällään numeerisia, ts. Kaikkialla nimittäjä on vain numero. Siksi, jos kerromme yhtälön molemmat puolet tällä luvulla, pääsemme eroon murtoluvuista.

Esimerkki nro 1

\[\frac(\vasen(2x+1 \oikea)\vasen(2x-3 \oikea))(4)=((x)^(2))-1\]

Päätetään eroon tämän yhtälön murtoluvuista:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Huomaa: kaikki kerrotaan "neljällä" kerran, ts. se, että sinulla on kaksi sulkumerkkiä, ei tarkoita, että sinun täytyy kertoa jokainen niistä "neljällä". Kirjoitetaan:

\[\vasen(2x+1 \oikea)\vasen(2x-3 \oikea)=\vasen(((x)^(2))-1 \oikea)\cdot 4\]

Laajennetaan nyt:

Erotamme muuttujan:

Suoritamme vastaavien termien vähentämisen:

\[-4x=-1\left| :\vasen(-4 \oikea) \oikea.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Olemme saaneet lopullisen ratkaisun, siirrytään toiseen yhtälöön.

Esimerkki nro 2

\[\frac(\vasen(1-x \oikea)\vasen(1+5x \oikea))(5)+((x)^(2))=1\]

Täällä teemme kaikki samat toiminnot:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Ongelma on ratkaistu.

Se on itse asiassa kaikki, mitä halusin kertoa sinulle tänään.

Keskeiset kohdat

Tärkeimmät havainnot ovat:

• Tunne lineaaristen yhtälöiden ratkaisualgoritmi.
• Kyky avata kiinnikkeitä.
• Älä huoli, jos sinulla on jossain neliöfunktioita, ne todennäköisesti vähenevät lisämuunnosprosessissa.
• Lineaarisissa yhtälöissä on kolmenlaisia ​​juuria, jopa yksinkertaisimpia: yksi juuri, koko lukurivi on juuri eikä juuria ollenkaan.

Toivon, että tämä oppitunti auttaa sinua hallitsemaan yksinkertaisen, mutta erittäin tärkeän aiheen kaiken matematiikan ymmärtämiseksi paremmin. Jos jokin on epäselvää, mene sivustolle ja ratkaise siellä esitetyt esimerkit. Pysy kuulolla, paljon muuta mielenkiintoista odottaa sinua!