Piirustus. Aritmeettiset operaatiot päällä rationaalisia lukuja.
Teksti:
Säännöt operaatioille rationaalilukujen kanssa:
. kun lisäät numeroita samoilla merkillä, on tarpeen lisätä niiden moduulit ja laittaa niiden yhteinen merkki summan eteen;
. kun lisäät kaksi erimerkkistä lukua, vähennä suuremman moduulin luvusta pienemmällä moduulilla oleva luku ja laita suuremman moduulin luvun etumerkki tuloksena olevan eron eteen;
. Kun vähennät yhden luvun toisesta, sinun on lisättävä minuendiin vähennettävään vastakkainen luku: a - b = a + (-b)
. kun kerrotaan kaksi numeroa samoilla merkillä, niiden moduulit kerrotaan ja plusmerkki asetetaan tuloksena olevan tuotteen eteen;
. kun kerrotaan kaksi lukua eri etumerkeillä, niiden moduulit kerrotaan ja miinusmerkki asetetaan tuloksena olevan tuotteen eteen;
. kun jaetaan lukuja samoilla etumerkeillä, osingon moduuli jaetaan jakajan moduulilla ja tuloksena olevan osamäärän eteen asetetaan plusmerkki;
. kun jaetaan lukuja eri etumerkeillä, osingon moduuli jaetaan jakajan moduulilla ja tuloksena olevan osamäärän eteen asetetaan miinusmerkki;
. Kun jaetaan ja kerrotaan nolla millä tahansa luvulla, joka ei ole nolla, tulos on nolla:
. Et voi jakaa nollalla.
IN tämä oppitunti Tarkastellaan rationaalisten lukujen yhteen- ja vähennyslaskua. Aihe on luokiteltu monimutkaiseksi. Tässä on käytettävä koko aiemmin hankitun tiedon arsenaalia.
Kokonaislukujen yhteen- ja vähennyssäännöt koskevat myös rationaalilukuja. Muista, että rationaaliluvut ovat lukuja, jotka voidaan esittää murtolukuna, missä a – tämä on murtoluvun osoittaja, b on murtoluvun nimittäjä. Samaan aikaan b ei saa olla nolla.
Tällä oppitunnilla kutsumme yhä useammin murto- ja sekalukuja yhdellä yleisellä lauseella - rationaalisia lukuja.
Oppitunnin navigointi:Esimerkki 1. Etsi ilmaisun merkitys:
Laitetaan jokainen rationaalinen luku suluihin etumerkkien kanssa. Otamme huomioon, että lausekkeessa annettu plus on operaatiomerkki eikä koske murtolukua. Tällä murtoluvulla on oma plusmerkki, joka on näkymätön, koska sitä ei ole kirjoitettu. Mutta kirjoitamme sen selvyyden vuoksi:
Tämä on rationaalisten lukujen yhteenlasku eri etumerkeillä. Jos haluat lisätä rationaalilukuja eri etumerkeillä, sinun on vähennettävä pienempi moduuli suuremmasta moduulista ja ennen tuloksena olevaa vastausta asetettava sen rationaaliluvun etumerkki, jonka moduuli on suurempi.
Ja ymmärtääksesi, mikä moduuli on suurempi ja mikä pienempi, sinun on voitava verrata näiden murtolukujen moduuleja ennen niiden laskemista:
Rationaaliluvun moduuli on suurempi kuin rationaaliluvun moduuli. Siksi vähennimme . Saimme vastauksen. Sitten pienentämällä tätä murtolukua kahdella, saimme lopullisen vastauksen.
Jotkut primitiiviset toiminnot, kuten numeroiden lisääminen suluihin ja moduulien lisääminen, voidaan ohittaa. Tämä esimerkki voidaan kirjoittaa lyhyesti: Etsi ilmaisun merkitys:
Esimerkki 2.
Laitetaan jokainen rationaalinen luku suluihin etumerkkien kanssa. Otamme huomioon, että rationaalilukujen välinen miinus on merkki operaatiosta eikä koske murtolukua. Tällä murtoluvulla on oma plusmerkki, joka on näkymätön, koska sitä ei ole kirjoitettu. Mutta kirjoitamme sen selvyyden vuoksi:
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla. Muistutetaan, että tätä varten sinun on lisättävä minuendiin aliosaa vastapäätä oleva luku:
Saimme negatiivisten rationaalilukujen summan. Jos haluat lisätä negatiivisia rationaalilukuja, sinun on lisättävä niiden moduulit ja laitettava miinus tuloksena olevan vastauksen eteen: Huom.
Kaikkia rationaalilukuja ei tarvitse laittaa sulkeisiin. Tämä tehdään mukavuussyistä, jotta nähdään selvästi, mitkä merkit rationaalisilla luvuilla on. Etsi ilmaisun merkitys:
Esimerkki 3. Tässä lausekkeessa murtoluvuilla on eri nimittäjät. Asioiden helpottamiseksi vähennetään nämä murtoluvut yhteinen nimittäjä
. Emme käsittele yksityiskohtaisesti, kuinka tämä tehdään. Jos sinulla on vaikeuksia, muista toistaa oppitunti.
Kun murtoluvut on vähennetty yhteiseksi nimittäjäksi, lauseke saa seuraavan muodon:
Tämä on rationaalisten lukujen yhteenlasku eri etumerkeillä. Vähennämme pienemmän moduulin suuremmasta moduulista ja ennen tuloksena olevaa vastausta laitamme sen rationaaliluvun etumerkin, jonka moduuli on suurempi:
Kirjoita tämän esimerkin ratkaisu lyhyesti: Esimerkki 4.
Etsi lausekkeen arvo 
Lasketaan tämä lauseke seuraavasti: lisätään rationaaliluvut ja vähennetään sitten rationaaliluku saadusta tuloksesta.
Ensimmäinen toimenpide:
Toinen toimenpide: Esimerkki 5
. Etsi ilmaisun merkitys:
Esitetään kokonaisluku −1 murtolukuna ja muunnetaan sekaluku vääräksi murtoluvuksi:
Saimme rationaalilukujen summauksen eri etumerkillä. Vähennämme pienemmän moduulin suuremmasta moduulista ja ennen tuloksena olevaa vastausta laitamme sen rationaaliluvun etumerkin, jonka moduuli on suurempi:
Saimme vastauksen.
On olemassa toinen ratkaisu. Se koostuu kokonaisten osien yhdistämisestä erikseen.
Palataanpa siis alkuperäiseen ilmaisuun:
Laitetaan jokainen numero sulkeisiin. Tätä varten sekoitettu numero on väliaikainen:
Lasketaan kokonaislukuosat:
(−1) + (+2) = 1
Päälausekkeessa (−1) + (+2) sijasta kirjoitetaan tuloksena oleva yksikkö:
Tuloksena oleva lauseke on . Kirjoita yksikkö ja murto yhteen:
Kirjoitetaan ratkaisu lyhyemmällä tavalla:
Esimerkki 6. Esimerkki 4.
Muunnetaan sekaluku vääräksi murtoluvuksi. Kirjoitetaan loput uudelleen muuttamatta:
Esitetään kokonaisluku −1 murtolukuna ja muunnetaan sekaluku vääräksi murtoluvuksi:
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla:
Tämä on rationaalisten lukujen yhteenlasku eri etumerkeillä. Vähennämme pienemmän moduulin suuremmasta moduulista ja ennen tuloksena olevaa vastausta laitamme sen rationaaliluvun etumerkin, jonka moduuli on suurempi:
Esimerkki 7. Etsi lausekkeen arvo
Esitetään kokonaisluku −5 murtolukuna ja muunnetaan sekaluku vääräksi murtoluvuksi:
Tuodaan nämä murtoluvut yhteiseen nimittäjään. Kun ne on vähennetty yhteiseksi nimittäjäksi, ne ovat seuraavanlaisia:
Esitetään kokonaisluku −1 murtolukuna ja muunnetaan sekaluku vääräksi murtoluvuksi:
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla:
Saimme negatiivisten rationaalilukujen summan. Lisätään näiden lukujen moduulit ja laitetaan miinus tuloksena olevan vastauksen eteen:
Näin ollen lausekkeen arvo on .
Päätetään tämä esimerkki toinen tapa. Palataan alkuperäiseen ilmaisuun:
Kirjoitetaan sekaluku laajennetussa muodossa. Kirjoitetaan loput uudelleen ilman muutoksia:
Liitämme jokaisen rationaalisen luvun suluihin yhdessä sen merkkien kanssa:
Lasketaan kokonaislukuosat:
Päälausekkeessa tuloksena olevan luvun −7 kirjoittamisen sijaan
Lauseke on laajennettu muoto sekaluvun kirjoittamisesta. Kirjoitamme luvun −7 ja murtoluvun yhteen lopullisen vastauksen muodostamiseksi:
Kirjoita tämä ratkaisu lyhyesti:
Esimerkki 8. Esimerkki 4.
Liitämme jokaisen rationaalisen luvun suluihin yhdessä sen merkkien kanssa:
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla:
Saimme negatiivisten rationaalilukujen summan. Lisätään näiden lukujen moduulit ja laitetaan miinus tuloksena olevan vastauksen eteen:
Eli lausekkeen arvo on
Tämä esimerkki voidaan ratkaista toisella tavalla. Se koostuu kokonaisten ja murto-osien lisäämisestä erikseen. Palataan alkuperäiseen ilmaisuun:
Esitetään kokonaisluku −1 murtolukuna ja muunnetaan sekaluku vääräksi murtoluvuksi:
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla:
Saimme negatiivisten rationaalilukujen summan. Lisätään näiden lukujen moduulit ja laitetaan miinus tuloksena olevan vastauksen eteen. Mutta tällä kertaa lisäämme kokonaiset osat (−1 ja −2), sekä murto- että murto-osat
Kirjoita tämä ratkaisu lyhyesti:
Esimerkki 9. Etsi ilmaisulausekkeita 
Muunnetaan sekaluvut vääriksi murtoluvuiksi:
Laitetaan rationaalinen luku suluihin sen etumerkin kanssa. Ei tarvitse laittaa rationaalilukua sulkeisiin, koska se on jo suluissa:
Saimme negatiivisten rationaalilukujen summan. Lisätään näiden lukujen moduulit ja laitetaan miinus tuloksena olevan vastauksen eteen:
Eli lausekkeen arvo on
Yritetään nyt ratkaista sama esimerkki toisella tavalla, nimittäin lisäämällä kokonaisluku- ja murto-osat erikseen.
Lyhyen ratkaisun saamiseksi yritetään tällä kertaa ohittaa joitakin vaiheita, kuten sekaluvun kirjoittaminen laajennetussa muodossa ja vähennyksen korvaaminen yhteenlaskemalla:
Huomaa, että murto-osat on vähennetty yhteiseksi nimittäjäksi.
Esimerkki 10. Esimerkki 4. 
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla:
Tuloksena oleva lauseke ei sisällä negatiivisia lukuja, jotka ovat pääasiallinen syy virheisiin. Ja koska negatiivisia lukuja ei ole, voimme poistaa plus-merkin aliosan edestä ja poistaa myös sulut:
Tuloksena on yksinkertainen lauseke, joka on helppo laskea. Lasketaan se millä tahansa meille sopivalla tavalla:
Esimerkki 11. Esimerkki 4.
Tämä on rationaalisten lukujen yhteenlasku eri etumerkeillä. Vähennetään pienempi moduuli isommasta moduulista ja ennen tuloksena olevaa vastausta laitetaan sen rationaaliluvun etumerkki, jonka moduuli on suurempi:
Esimerkki 12. Esimerkki 4. 
Lauseke koostuu useista rationaaliluvuista. Sen mukaan sinun on ensin suoritettava suluissa olevat vaiheet.
Ensin lasketaan lauseke, sitten lisätään saadut tulokset.
Lasketaan tämä lauseke seuraavasti: lisätään rationaaliluvut ja vähennetään sitten rationaaliluku saadusta tuloksesta.
Ensimmäinen toimenpide:
Kolmas toimenpide:
Vastaus: lausekkeen arvo on yhtä suuri
Esimerkki 13. Esimerkki 4. 
Muunnetaan sekaluvut vääriksi murtoluvuiksi:
Laitetaan rationaalinen luku suluihin sen etumerkin kanssa. Rationaalilukua ei tarvitse laittaa sulkeisiin, koska se on jo suluissa:
Tuodaan nämä murtoluvut yhteiseen nimittäjään. Kun ne on vähennetty yhteiseksi nimittäjäksi, ne ovat seuraavanlaisia:
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla:
Saimme rationaalilukujen summauksen eri etumerkillä. Vähennetään pienempi moduuli isommasta moduulista ja ennen tuloksena olevaa vastausta laitetaan sen rationaaliluvun etumerkki, jonka moduuli on suurempi:
Eli ilmaisun merkitys on yhtä suuri
Tarkastellaan desimaalien yhteen- ja vähennyslukuja, jotka ovat myös rationaalilukuja ja voivat olla joko positiivisia tai negatiivisia.
Esimerkki 14. Etsi lausekkeen arvo −3.2 + 4.3
Laitetaan jokainen rationaalinen luku suluihin etumerkkien kanssa. Otamme huomioon, että lausekkeessa annettu plus on operaatiomerkki eikä koske desimaalimurtolukua 4.3. Tällä desimaaliluvulla on oma plusmerkki, joka on näkymätön, koska sitä ei kirjoiteta ylös. Mutta kirjoitamme sen selvyyden vuoksi:
(−3,2) + (+4,3)
Tämä on rationaalisten lukujen yhteenlasku eri etumerkeillä. Jos haluat lisätä rationaalilukuja eri etumerkeillä, sinun on vähennettävä pienempi moduuli suuremmasta moduulista ja ennen tuloksena olevaa vastausta asetettava rationaaliluku, jonka moduuli on suurempi.
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
Ja ymmärtääksesi, mikä moduuli on suurempi ja mikä pienempi, sinun on voitava verrata näiden desimaalilukujen moduuleja ennen niiden laskemista:
Näin ollen lausekkeen −3.2 + (+4.3) arvo on 1.1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
Esimerkki 15. Etsi lausekkeen arvo 3,5 + (−8,3)
Tämä on rationaalisten lukujen yhteenlasku eri etumerkeillä. Kuten edellisessä esimerkissä, vähennämme pienemmän suuremmasta moduulista ja ennen vastausta laitamme sen rationaaliluvun etumerkin, jonka moduuli on suurempi:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Näin ollen lausekkeen 3,5 + (−8,3) arvo on −4,8
Tämä esimerkki voidaan kirjoittaa lyhyesti:
3,5 + (−8,3) = −4,8
Esimerkki 16. Etsi lausekkeen arvo −7.2 + (−3.11)
Tämä on negatiivisten rationaalilukujen summaus. Jos haluat lisätä negatiivisia rationaalilukuja, sinun on lisättävä niiden moduulit ja laitettava miinus tuloksena olevan vastauksen eteen.
Voit ohittaa merkinnän moduuleilla, jotta lauseke ei sotkeudu:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Näin ollen lausekkeen −7.2 + (−3.11) arvo on −10.31
Tämä esimerkki voidaan kirjoittaa lyhyesti:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Esimerkki 17. Etsi lausekkeen arvo −0,48 + (−2,7)
Tämä on negatiivisten rationaalilukujen summaus. Lisätään niiden moduulit ja laitetaan miinus tuloksena olevan vastauksen eteen. Voit ohittaa merkinnän moduuleilla, jotta lauseke ei sotkeudu:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Esimerkki 18. Etsi lausekkeen −4.9 − 5.9 arvo
Laitetaan jokainen rationaalinen luku suluihin etumerkkien kanssa. Otamme huomioon, että rationaalilukujen −4.9 ja 5.9 välissä oleva miinus on operaatiomerkki eikä kuulu numeroon 5.9. Tällä rationaaliluvulla on oma plusmerkki, joka on näkymätön, koska sitä ei ole kirjoitettu. Mutta kirjoitamme sen selvyyden vuoksi:
(−4,9) − (+5,9)
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla:
(−4,9) + (−5,9)
Saimme negatiivisten rationaalilukujen summan. Lisätään heidän moduulinsa ja laitetaan miinus tuloksena olevan vastauksen eteen:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Näin ollen lausekkeen −4.9 − 5.9 arvo on −10.8
−4,9 − 5,9 = −10,8
Esimerkki 19. Etsi lausekkeen arvo 7 − 9.3
Laitetaan jokainen numero hakasulkeisiin merkkien kanssa.
(+7) − (+9,3)
Korvaa vähennyslasku summalla
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Näin ollen lausekkeen 7 − 9.3 arvo on −2.3
Kirjoita tämän esimerkin ratkaisu lyhyesti:
7 − 9,3 = −2,3
Esimerkki 20. Etsi lausekkeen arvo −0.25 − (−1.2)
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla:
−0,25 + (+1,2)
Saimme rationaalilukujen summauksen eri etumerkillä. Vähennetään pienempi moduuli isommasta moduulista ja ennen vastausta laitetaan sen luvun etumerkki, jonka moduuli on suurempi:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Kirjoita tämän esimerkin ratkaisu lyhyesti:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Esimerkki 21. Etsi lausekkeen arvo −3.5 + (4.1 − 7.1)
Suoritetaan suluissa olevat toiminnot ja lisätään sitten tuloksena oleva vastaus numerolla −3.5
Lasketaan tämä lauseke seuraavasti: lisätään rationaaliluvut ja vähennetään sitten rationaaliluku saadusta tuloksesta.
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Ensimmäinen toimenpide:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Vastaus: lausekkeen −3.5 + (4.1 − 7.1) arvo on −6.5.
Esimerkki 22. Etsi lausekkeen arvo (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1)
Tehdään suluissa olevat vaiheet. Sitten ensimmäisten hakasulkeiden suorittamisen tuloksena saadusta luvusta vähennetään luku, joka saatiin toisten hakasulkeiden suorittamisen tuloksena:
Lasketaan tämä lauseke seuraavasti: lisätään rationaaliluvut ja vähennetään sitten rationaaliluku saadusta tuloksesta.
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Ensimmäinen toimenpide:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Kolmas näytös
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Vastaus: lausekkeen (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1) arvo on 6.
Esimerkki 23. Esimerkki 4. −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Laitetaan jokainen rationaalinen luku suluihin etumerkkien kanssa
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla, jos mahdollista:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Ilmaisu koostuu useista termeistä. Kombinatorisen summauslain mukaan jos lauseke koostuu useista termeistä, summa ei riipu toimintojen järjestyksestä. Tämä tarkoittaa, että ehdot voidaan lisätä missä tahansa järjestyksessä.
Älkäämme keksikö pyörää uudelleen, vaan lisääkö kaikki termit vasemmalta oikealle niiden ilmestymisjärjestyksessä:
Lasketaan tämä lauseke seuraavasti: lisätään rationaaliluvut ja vähennetään sitten rationaaliluku saadusta tuloksesta.
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Ensimmäinen toimenpide:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Kolmas toimenpide:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Vastaus: lausekkeen −3.8 + 17.15 − 6.2 − 6.15 arvo on 1.
Esimerkki 24. Esimerkki 4.
Muunnetaan desimaaliluku −1,8 sekaluvuksi. Kirjoitetaan loput uudelleen muuttamatta:
Silloin a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.
Nollan lisääminen ei muuta lukuja, vaan summaa vastakkaiset numerot yhtä suuri kuin nolla.
Tämä tarkoittaa, että mille tahansa rationaaliluvulle meillä on: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
Rationaalilukujen kertolaskulla on myös kommutatiivisia ja assosiatiivisia ominaisuuksia. Toisin sanoen, jos a, b ja c ovat mitä tahansa rationaalilukuja, niin ab - ba, a(bc) - (ab)c.
Yhdellä kertominen ei muuta rationaalilukua, mutta luvun ja sen käänteisluvun tulo on yhtä suuri kuin 1.
Tämä tarkoittaa, että mille tahansa rationaaliluvulle a meillä on:
a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8 + m;
b) -x-a + 12+a-12; d) 6,1 - k + 2,8 + p - 8,8 + k - p.
1190. Kun olet valinnut sopivan laskentamenetelmän, etsi lausekkeen arvo:
1191. Muotoile sanoin kertolaskujen ab = ba kommutatiivinen ominaisuus ja tarkista se, kun:
1192. Muotoile sanoin kertolaskujen assosiaatioominaisuus a(bc)=(ab)c ja tarkista se, kun:
1193. Valitse sopiva laskentajärjestys ja etsi lausekkeen arvo:
1194. Minkä luvun saat (positiivisen vai negatiivisen), jos kerrot:
a) yksi negatiivinen luku ja kaksi positiivista lukua;
b) kaksi negatiivista ja yksi positiivinen luku;
c) 7 negatiivista ja useita positiivisia lukuja;
d) 20 negatiivista ja useita positiivisia? Tee johtopäätös.
1195. Määritä tuotteen merkki:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) B kuntosali Vitya, Kolya, Petya, Seryozha ja Maxim kokoontuivat (kuva 91, a). Kävi ilmi, että jokainen pojista tunsi vain kaksi muuta. Kuka tietää kenet? (Kaavion reuna tarkoittaa "tunnemme toisemme".)
b) Yhden perheen veljet ja sisaret kävelevät pihalla. Ketkä näistä lapsista ovat poikia ja ketkä tyttöjä (kuva 91, b)? (Kaavion katkoviivat tarkoittavat "olen sisko" ja kiinteät reunat "olen veli.")
1205. Laske:
1206. Vertaa:
a) 2 3 ja 3 2; b) (-2) 3 ja (-3) 2; c) 1 3 ja 1 2; d) (-1) 3 ja (-1) 2.
1207. Kierros 5,2853 tuhannesosaan; to sadasosat; kymmenesosaan asti; yksikköihin asti.
1208. Ratkaise ongelma:
1) Moottoripyöräilijä tavoittaa pyöräilijän. Nyt niiden välinen etäisyys on 23,4 km. Moottoripyöräilijän nopeus on 3,6 kertaa pyöräilijän nopeus. Selvitä pyöräilijän ja moottoripyöräilijän nopeudet, jos tiedetään, että moottoripyöräilijä saavuttaa pyöräilijän tunnissa.
2) Auto lähestyy bussia. Nyt niiden välissä on 18 km. Bussin nopeus on sama kuin henkilöauton. Selvitä bussin ja auton nopeudet, jos tiedetään, että auto saavuttaa bussin tunnissa.
1209. Selvitä ilmaisun merkitys:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Tarkista laskelmasi mikro laskin.
1210. Kun olet valinnut sopivan laskentajärjestyksen, etsi lausekkeen arvo: 
1211. Yksinkertaista lauseke:
1212. Selvitä ilmaisun merkitys:
1213. Toimi seuraavasti:
1214. Oppilaat saivat tehtäväksi kerätä 2,5 tonnia metalliromua. He keräsivät 3,2 tonnia metalliromua. Kuinka monta prosenttia opiskelijat suorittivat tehtävän ja kuinka monta prosenttia he ylittivät tehtävän?
1215. Autolla ajettu 240 km. Näistä 180 km hän käveli maantietä ja loput valtatietä pitkin. Bensiinin kulutus jokaista 10 kilometriä maantiellä oli 1,6 litraa ja moottoritiellä - 25% vähemmän. Kuinka monta litraa bensiiniä kului keskimäärin jokaista 10 kilometriä kohden?
1216. Poistuessaan kylästä pyöräilijä huomasi sillalla samaan suuntaan kävelevän jalankulkijan ja sai hänet kiinni 12 minuuttia myöhemmin. Laske jalankulkijan nopeus, jos pyöräilijän nopeus on 15 km/h ja etäisyys kylästä sillalle on 1 km 800 m?
1217. Toimi seuraavasti:
a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42 + 4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
Ihmiset, kuten tiedätte, tutustuivat rationaalisiin lukuihin vähitellen. Aluksi esineitä laskettaessa ilmaantui ongelmia luonnolliset luvut. Aluksi niitä oli vähän. Niinpä viime aikoihin asti Torresin salmen (joka erottaa Uuden-Guinean Australiasta) saarten alkuperäisasukkailla oli kielellään vain kaksi numeroa: "urapun" (yksi) ja "okaz" (kaksi). Saaren asukkaat laskivat seuraavasti: "Okaza-urapun" (kolme), "Okaza-Okaza" (neljä) jne. Alkuperäiset kutsuivat kaikkia numeroita alkaen seitsemästä sanalla, joka tarkoitti "monia".
Tiedemiehet uskovat, että sana satoihin ilmestyi yli 7000 vuotta sitten, tuhansia - 6000 vuotta sitten ja 5000 vuotta sitten Muinainen Egypti ja muinaisessa Babylonissa nimiä esiintyi valtavia määriä - jopa miljoona. Mutta pitkään luonnollista lukusarjaa pidettiin äärellisenä: ihmiset luulivat, että niitä oli eniten suuri määrä.
Suurin antiikin kreikkalainen matemaatikko ja fyysikko Archimedes (287-212 eKr.) keksi tavan kuvata valtavia lukuja. Suurin luku, jonka Archimedes pystyi nimeämään, oli niin suuri, että sen digitaalinen tallentaminen vaatisi kaksituhatta kertaa pidemmän nauhan kuin etäisyys Maan ja Auringon välillä.
Mutta he eivät olleet vielä pystyneet kirjoittamaan niin suuria lukuja. Tämä tuli mahdolliseksi vasta intialaisten matemaatikoiden jälkeen 6. vuosisadalla. Numero nolla keksittiin ja se alkoi merkitä yksiköiden puuttumista luvun desimaalipisteissä.
Saaliita jaettaessa ja myöhemmin arvoja mitattaessa ja muissa vastaavissa tapauksissa ihmiset kohtasivat tarpeen ottaa käyttöön "rikkoneita lukuja" - yhteisiä murtolukuja. Leikkauksia murtolukujen kanssa pidettiin keskiajalla matematiikan vaikeimpana osa-alueena. Tähän päivään asti saksalaiset sanovat henkilöstä, joka on joutunut vaikeaan tilanteeseen, että hän "vajahti murto-osiin".
Murtolukujen käsittelyn helpottamiseksi keksittiin desimaalit murto-osia. Euroopassa ne esitteli vuonna X585 hollantilainen matemaatikko ja insinööri Simon Stevin.
Negatiiviset luvut ilmestyivät myöhemmin kuin murtoluvut. Tällaisia lukuja pidettiin pitkään "olemattomina", "väärinä", johtuen ensisijaisesti siitä, että hyväksytty tulkinta positiivisille ja negatiivisille lukuille "omaisuus - velka" johti sekaannukseen: voit lisätä tai vähentää "omaisuutta" tai "velat", mutta miten ymmärtää työ tai yksityinen "omaisuus" ja "velka"?
Tällaisista epäilyistä ja hämmennyksistä huolimatta positiivisten ja negatiivisten lukujen kerto- ja jakamissääntöjä ehdotettiin 3. vuosisadalla. kreikkalainen matemaatikko Diophantus (muodossa: "Mikä vähennetään, kerrotaan lisätyllä, antaa aliosan; mikä vähennetään aliosasta, antaa sen, mitä lisätään" jne.), ja myöhemmin intialainen matemaatikko Bhaskar (XII vuosisata) ilmaisi samat säännöt käsitteissä "omaisuus", "velka" ("Kahden omaisuuden tai kahden velan tuote on omaisuutta; omaisuuden ja velan tuote on velkaa." Sama sääntö pätee jakoon).
Havaittiin, että negatiivisten lukujen operaatioiden ominaisuudet ovat samat kuin positiivisten lukujen ominaisuudet (esimerkiksi yhteen- ja kertolaskulla on kommutatiivinen ominaisuus). Ja lopuksi, viime vuosisadan alusta lähtien negatiiviset luvut ovat yhtä suuret kuin positiiviset luvut.
Myöhemmin matematiikassa ilmestyi uusia numeroita - irrationaalisia, monimutkaisia ja muita. Opit niistä lukiossa.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matematiikka luokalle 6, Oppikirja lukio
Kirjat ja oppikirjat kalenterisuunnitelman mukaan 6. luokan matematiikan lataus, apua koululaisille verkossa
Takaisin Eteen
Huomio! Diojen esikatselut ovat vain tiedoksi, eivätkä ne välttämättä edusta kaikkia esityksen ominaisuuksia. Jos olet kiinnostunut tämä työ, lataa täysversio.
Oppitunnin tyyppi: oppitunti tiedon yleistämisestä ja systematisoinnista tietotekniikan avulla.
Oppitunnin tavoitteet:
- Koulutus:
- parantaa taitoja ratkaista esimerkkejä ja yhtälöitä aiheesta "Rationalilukujen operaatioiden ominaisuudet";
- vahvistaa kykyä suorittaa aritmeettisia operaatioita rationaalisille luvuille;
- testaa kykyä käyttää aritmeettisten operaatioiden ominaisuuksia lausekkeiden yksinkertaistamiseksi rationaalisilla luvuilla;
- yleistää ja systematisoida teoreettista materiaalia.
- Kehittäviä:
- kehittää henkistä laskemistaitoa;
- kehittää loogista ajattelua;
- kehittää kykyä ilmaista ajatuksesi selkeästi ja selkeästi;
- kehittää opiskelijoiden matemaattista puhetta suullisen työn suorittamisen yhteydessä teoreettisen materiaalin toistamiseksi;
- laajentaa opiskelijoiden näköaloja.
- Koulutus:
- kehittää kykyä työskennellä saatavilla olevan tiedon kanssa;
- kehittää kunnioitusta aihetta kohtaan;
- kehittää kykyä kuunnella ystävääsi, keskinäisen avun ja keskinäisen tuen tunnetta;
- edistää opiskelijoiden itsehillinnän ja keskinäisen hallinnan kehittymistä.
Varusteet ja näkyvyys: tietokone, multimediaprojektori, valkokangas, interaktiivinen esitys, muistikortit henkiseen laskemiseen, värikynät .
Oppitunnin rakenne:
Oppitunnin EDISTYMINEN
I. Organisatorinen hetki
II. Oppitunnin aiheesta ja tavoitteista kertominen
Oppilaiden valmiuden tarkistaminen oppitunnille. Oppitunnin tavoitteiden ja suunnitelman välittäminen opiskelijoille.
– Oppituntimme aihe: "Toiminnan ominaisuudet rationaalisilla luvuilla", ja pyydän sinua lukemaan oppitunnin motton kuorossa:
Kyllä, tiedon tie ei ole sileä.
Mutta me tiedämme kouluvuosia,
On enemmän mysteereitä kuin vastauksia,
Ja haulla ei ole rajoituksia!
Ja tänään luokalla luomme ystävällisesti ja aktiivisesti matemaattista sanomalehteä. Minä toimin päätoimittajana ja te olette oikolukijoita. Miten ymmärrät tämän sanan merkityksen?
Muiden testaamiseksi meidän on systematisoitava tietomme aiheesta "Rationalilukujen operaatioiden ominaisuudet".
Ja meidän sanomalehti on nimeltään "Rational Numbers". Ja käännetty tatariksi?
Kuulin, että osaat englantia hyvin, mutta miksi englantilaiset kutsuvat tätä sanomalehteä?
Esitän teille sanomalehden asettelun, joka koostuu seuraavista osista: lukeminen kuorossa: " He kysyvät - me vastaamme», « Päivän uutiset», « Hankkeiden huutokauppa», « Nykyinen raportti»,
« Tiedätkö...?".
III. Viitetiedon päivittäminen
Suullinen työ:
Ensimmäisessä jaksossa "He kysyvät - me vastaamme" meidän on tarkistettava kirjeenvaihtajamme meille lähettämien tietojen oikeellisuus. Katso huolellisesti ja kerro meille, mitkä säännöt meidän on muistettava tarkistaaksemme nämä tiedot.
1. Sääntö negatiivisten lukujen lisäämiseksi:
"Jos haluat lisätä kaksi negatiivista lukua, sinun on: 1) lisättävä niiden moduulit, 2) laitettava miinusmerkki tuloksena olevan luvun eteen."
2. Sääntö lukujen jakamisesta eri merkillä:
"Kun jaat lukuja eri etumerkillä, sinun on: 1) jaettava osingon moduuli jakajan moduulilla, 2) laitettava miinusmerkki tuloksena olevan luvun eteen."
3. Sääntö kahden negatiivisen luvun kertomisesta:
"Jotta voit kertoa kaksi negatiivista lukua, sinun on kerrottava niiden absoluuttiset arvot."
4. Sääntö lukujen kertomisesta eri etumerkeillä:
"Jos haluat kertoa kaksi lukua eri etumerkeillä, sinun on kerrottava näiden numeroiden absoluuttiset arvot ja asetettava miinusmerkki tuloksena olevan luvun eteen."
5. Sääntö negatiivisen luvun jakamisesta negatiivisella luvulla:
"Jos haluat jakaa negatiivisen luvun negatiivisella luvulla, sinun on jaettava osingon moduuli jakajan moduulilla."
6. Sääntö eri merkkejä sisältävien numeroiden lisäämisestä:
”Jos haluat lisätä kaksi erimerkkistä numeroa, sinun on 1) vähennettävä pienempi termien suuremmasta moduulista, 2) asetettava tuloksena olevan luvun eteen sen termin etumerkki, jonka moduuli on suurempi.
1) – 8,4 + (– 8,4) = 0; (– 16,8)
2) (– 6,7) . (– 10) = – 67; (67)
3) (– 2,2) + 3,5 = 1,3;
4) – 13 – 8 = – 5; (– 21)
5) 15 – 18 = – 13; (– 3)
6) 7,4 – (– 3,2) = – 10,6; (10,6)
7) – 9 . 6 = – 54;
8) – 3,6 . 1 = –1; (– 3,6)
9) – 18: (– 0,3) = 60;
10) – 3,7 . 0 = – 3,7. (0)
- Hyvin tehty, teit hyvää työtä.
IV. Vahvistetaan päällystettyä materiaalia
– Ja nyt siirrytään osioon "Päivän uutinen" Tämän osion täydentämiseksi meidän on systematisoitava tietomme numeroista.
– Mitä numeroita tiedät? (Luonnollinen, murto-osa, rationaalinen)
– Mitä lukuja pidetään järkevinä? (Positiivinen, negatiivinen ja 0)
– Mitä rationaalilukujen ominaisuuksia tiedät? (Kommutatiivinen, assosiatiivinen ja distributiivinen, kertominen 1:llä, kertominen nollalla)
- Nyt siirrytään asiaan kirjallinen työ. Avasimme vihkomme, kirjoitimme muistiin numeron, luokkatyöt, aiheen "Rationaalilukujen operaatioiden ominaisuudet".
Käyttämällä näitä ominaisuuksia yksinkertaistamme lausekkeet:
A) x + 32 – 16 = x + 16
B) – x – 18 – 23 = – x – 41
B) – 1,5 + x – 20 = – 21,5 + x
D) 12 – 26 + x = x – 14
D) 1,7 + 3,6 – x = 5,3 – x
E) – x + a + 6,1 – a + 2,8 – 8,8 = – x + 0,1
- A seuraavia esimerkkejä vaatia meiltä vielä enemmän järkevä päätös selityksellä.
– 98 + 85 + 45 – 55 – 28 + 63 = 12
– 6,56 + 2,4 – 3,2 + 6,56 + 4 + 3,2 – 2,4 = 4
– 19,61 * 20 + 19,61 * 120 = 1961
12.04.1961 – Kerrovatko saamasi vastaukset sinulle mitään?
50 vuotta sitten, 12. huhtikuuta 1961, Juri Gagarin lensi avaruuteen. Zainskin kaupungilla on myös oma avaruushistoriansa: 9. maaliskuuta 1961 VOSTOK-4-avaruusaluksen laskeutumismoduuli nro 1 teki pehmeän laskun lähellä Stary Tokmakin kylää Zainskin alueella ihmisen nuken, koiran kanssa. ja muut pienet eläimet laivalla. Ja tämän tapahtuman kunniaksi alueellemme pystytetään muistomerkki. Kaupungissa toimii nyt kilpailukomissio. Kilpailuun osallistuu 3 projektia, ne ovat edessäsi ruudulla. Ja nyt järjestämme huutokaupan projekteista.
Pyydän sinua äänestämään suosikkiprojektiasi. Äänesi voi olla ratkaiseva.
V. Liikuntaminuutti
– Esität mielipiteesi suosionosoituksella ja taputtamalla. Harjoitellaan! Kolme taputusta ja kolme leimaa.
- Yritetään uudelleen. Eli äänestys alkaa:
– Annamme äänemme asettelun nro 1 puolesta
– Annamme äänemme asettelun nro 2 puolesta
– Annamme äänemme asettelun nro 3 puolesta
- Ja nyt kaikki asettelut yhdessä.
– Layout nro voitti... Kiitos, nauhoitin äänesi (nostaa kännykän ja näyttää sen lapsille) ja välitän sen ääntenlaskulautakunnalle.
- Hyvin tehty, kiitos. Ja eteenpäin ei ole vähemmän tärkeä - Nykyinen raportti.
VI. Valtiontutkintoon valmistautuminen
Luokassa "Nykyinen raportti" Sain kirjeen, jossa opiskelija pyytää apua 9. luokan loppukokeen tehtävien ratkaisemisessa. Meidän jokaisen on ratkaistava tehtävät ja testit itsenäisesti.<Liite 1 > pöydilläsi:
1. Ratkaise yhtälöt:
a) (x + 3) (x – 6) = 0
1) x = 3, x = – 6
2) x = – 3, x = – 6
3) x = – 3, x = 6