Tarkastellaanpa tätä esimerkkiä. Sinun on laskettava peräkkäin: .
Voit järjestää uudelleen lisättävät luvut ja sitten vähentää loput: .
Mutta tämä ei ole aina kätevää. Voimme esimerkiksi laskea tavaroiden saldon jossain varastossa ja meidän on tiedettävä välitulos.
Voit suorittaa toimintoja peräkkäin: .
Tiedämme, että siksi tulos on vähennysluku luvusta. Tämä tarkoittaa, että meidän on vähennettävä , mutta ei vielä mistään. Kun meillä on jostakin vähennettävää, vähennämme:
Mutta voimme "huijata" ja nimetä . Joten esittelemme uuden kohteen - negatiivisia lukuja.
Olemme jo suorittaneet tällaisen toiminnon - esimerkiksi luonnossa numeroa "" ei myöskään ollut olemassa, mutta otimme käyttöön tällaisen objektin toimien tallentamisen helpottamiseksi.
Kuvittele, että urheiluvarastossa meille annettiin tehtäväksi laskea ja vastaanottaa palloja. Meidän on pidettävä kirjaa. Voit kirjoittaa sanoin:
Myönnetty, Hyväksytty, Myönnetty, Hyväksytty, … (Katso kuva 1.)
Riisi. 1. Kirjanpito
Hyväksy, jos sinun on annettava ja vastaanotettava useita kertoja päivässä, tallennus ei ole kovin kätevää.
Voit jakaa arkin kahteen sarakkeeseen, joista toinen - Hyväksytty, toinen - Myönnetty. (Katso kuva 2.)
Riisi. 2. Yksinkertaistettu tallennus
Tallennus on lyhentynyt. Mutta tässä on ongelma: kuinka ymmärtää, kuinka monta palloa otettiin (tai annettiin pois) tietyllä hetkellä?
Kirjaamisessa voi käyttää seuraavaa huomioita: kun luovutamme palloja varastosta, niiden määrä varastossa vähenee ja kun otamme vastaan, se kasvaa.
Mutta kuinka kirjoittaa "annoi pallon ulos"? Voit syöttää seuraavan objektin: .
Tämän objektin avulla voimme tehdä matemaattisen tallenteen pallojen liikkeestä siinä järjestyksessä, jossa se tapahtui: 
Katsotaanpa toista esimerkkiä.
Puhelintililläsi on ruplaa. Menit verkkoon ja se maksoi ruplaa. Tuloksena oli ruplan velka. Operaattori olisi voinut kirjoittaa: "asiakas on velkaa ruplaa". Laitat ruplaa. Operaattori vähensi velan. Se selvisi ruplan tilille.
Mutta on kätevää tallentaa sekä tapahtumat että rahat tilille käyttämällä merkkejä "" ja "". (Katso kuva 3.)
Riisi. 3. Kätevä tallennus
Annamme negatiivisen luvun kirjoittaaksesi tuloksen, kun vähennämme suuremman luvun pienemmästä luvusta: .
Negatiivisen luvun lisääminen vastaa vähentämistä: .
Erottaaksemme negatiiviset luvut positiivisista luvuista, joita käsittelimme aiemmin, sovimme, että laitamme sen eteen miinusmerkin: .
Pärjäisitkö ilman niitä? Kyllä voit. Missä tahansa tilanteessa käyttäisimme sanoja "takaisin", "lainaa" ja niin edelleen. Mutta ne, nämä sanat, olisivat erilaisia.
Meillä on siis universaali, kätevä työkalu. Yksi kaikkiin tällaisiin tapauksiin.
Voimme vetää analogian auton kanssa. Se koostuu suuri määrä osia, joista monia ei tarvita erikseen, mutta kaikki yhdessä mahdollistavat ajamisen. Samoin negatiiviset luvut ovat työkalu, joka yhdessä muiden matemaattisten työkalujen kanssa mahdollistaa laskelmien yksinkertaistamisen ja monien tehtävien ratkaisun ja kirjoittamisen yksinkertaistamisen.
Joten olemme ottaneet käyttöön uuden objektin - negatiiviset luvut. Mihin niitä käytetään elämässä?
Muistetaan ensin positiivisten lukujen roolit:
Määrä: esim. puu, litra maitoa. (Katso kuva 4.)
Riisi. 4. Määrä
Järjestys: Esimerkiksi talot on numeroitu positiivisilla numeroilla. (Katso kuva 5.)
Riisi. 5. Järjestä
Nimi: esimerkiksi jalkapalloilijan numero. (Katso kuva 6.)
Riisi. 6. Numero nimenä
Katsotaan nyt negatiivisten lukujen funktioita:
Ilmoitus puuttuvasta määrästä. Määrä ei ole koskaan negatiivinen. Mutta negatiivista lukua käytetään osoittamaan, että määrää vähennetään. Voimme esimerkiksi kaataa pullosta ja kirjoittaa sen muodossa . (Katso kuva 7.)
Riisi. 7. Ilmoitus puuttuvasta määrästä
Järjestetään. Joskus numeroinnissa valitaan nolla ja sinun on numeroitava objektit nollan molemmilla puolilla. Esimerkiksi lattiat, jotka sijaitsevat th:n alapuolella, kellarissa. (Katso kuva 8.) Tai lämpötila, joka on alle valitun nollan. (Katso kuva 9.)
Riisi. 8. Kerros sijaitsee th:n alapuolella kellarissa
Riisi. 9. Negatiiviset luvut lämpömittarin asteikolla
Mutta silti, negatiivisten lukujen päätarkoitus on työkaluna yksinkertaistaa matemaattisia laskelmia.
Mutta jotta negatiivisista luvuista tulee niin kätevä työkalu, sinun on:
Negatiivinen lämpötila on lämpötila, joka on alle nollan, alle nollan lämpötilan. Mutta mikä on nollalämpötila? Lämpötilan mittaamiseksi ja tallentamiseksi sinun on valittava mittayksikkö ja vertailupiste. Molemmat ovat sopimuksia. Käytämme Celsius-asteikkoa sen ehdottaneen tiedemiehen mukaan. (Katso kuva 10.)
Riisi. 10. Anders Celsius
Tässä vertailupisteeksi valitaan veden jäätymispiste. Kaikki alla oleva on merkitty negatiivisella arvolla. (Katso kuva 11.)
Riisi. 11.
Mutta on selvää, että jos otamme toisen vertailupisteen, toisen nollan, negatiivinen lämpötila Celsius-asteissa voi olla positiivinen tällä toisella asteikolla. Näin tapahtuu. Kelvin-asteikko on laajalti käytössä fysiikassa. Se on samanlainen kuin Celsius-asteikko, vain alimman mahdollisen lämpötilan arvoksi valitaan nolla (se ei voi olla alempi). Tätä arvoa kutsutaan "absoluuttiseksi nollaksi". Celsiusasteessa tämä on noin. (Katso kuva 12.)
Riisi. 12. Kaksi vaakaa
Eli Kelvin-asteikolla ei ole lainkaan negatiivisia arvoja.
Meidän kesä siis 
.
Ja pakkaset 
.
Toisin sanoen negatiivinen lämpötila on sopimus, ihmisten välinen sopimus kutsua sitä sellaiseksi.
Aloitetaan alusta. Nollalla on erityinen asema numeroiden joukossa.
Kuten olemme jo käsitelleet, helpommin voimme merkitä seitsemän vähennyksen negatiiviseksi luvuksi. Koska se tarkoittaa vähennyslaskua, jätämme ""-merkin sen merkiksi. Nimetään uusi numero.
Eli "" on luku, jonka summa on nolla: . Ja missä tahansa järjestyksessä. Tämä on negatiivisen (tai vastakkaisen) luvun määritelmä.
Jokaiselle aiemmin tutkimamme numerolle otamme käyttöön uuden negatiivisen luvun, jonka etumerkki on miinusmerkki. Toisin sanoen jokaiselle edelliselle numerolle ilmestyi sen negatiivinen kaksois. Kutsumme tällaisia kaksosia vastakkaisiksi numeroiksi. (Katso kuva 13.)
Riisi. 13. Vastakkaiset numerot
Joten määritelmä: vastakkaiset luvut ovat kaksi numeroa, joiden summa on nolla.
Ulkoisesti ne eroavat vain ""-merkistä.
Jos muuttujaa edeltää esimerkiksi ""-merkki, mitä se tarkoittaa? Tämä ei tarkoita, että tämä arvo olisi negatiivinen. Miinusmerkki tarkoittaa, että tämä arvo on luvun vastakohta: . Emme tiedä, mikä näistä luvuista on positiivinen ja mikä negatiivinen.
Jos, sitten.
Jos (negatiivinen luku), sitten (positiivinen luku).
Mikä luku on nollan vastakohta? Tiedämme jo tämän.
Jos nolla lisätään mihin tahansa numeroon, mukaan lukien nolla, alkuperäinen luku ei muutu. Eli kahden nollan summa on nolla: . Mutta luvut, joiden summa on nolla, ovat vastakohtia. Siten nolla on itsensä vastakohta.
Joten olemme antaneet negatiivisten lukujen määritelmän ja selvittäneet, miksi niitä tarvitaan.
Vietetään nyt vähän aikaa teknologiaan. Toistaiseksi meidän on opittava löytämään vastakohta mille tahansa numerolle:
Oppitunnin viimeisessä osassa puhumme uusista nimistä ja merkinnöistä joukoille, jotka ilmestyvät negatiivisten lukujen käyttöönoton jälkeen.
Tässä artikkelissa yritämme selvittää, mitä vastakkaiset luvut ovat. Selitämme, mitä ne yleensä ovat, näytämme, mitä erityisiä nimityksiä niille käytetään, ja katsomme muutamia esimerkkejä. Materiaalin viimeisessä osassa luetellaan vastakkaisten lukujen pääominaisuudet.
Vastakohtien käsitteen selittämiseksi meidän on ensin kuvattava koordinaattiviiva. Otetaan piste M siihen (mutta ei aivan lähtölaskennan alussa). Sen etäisyys nollaan on yhtä suuri kuin tietty määrä yksikkösegmenttejä, jotka voidaan puolestaan jakaa kymmenesosiksi ja sadasosiksi. Jos mittaamme saman etäisyyden origosta vastakkaiseen suuntaan kuin missä M sijaitsee, voimme päästä toiseen samanlaiseen pisteeseen. Kutsutaan sitä N:ksi. Esimerkiksi M:stä nollaan on 2,4 yksikkösegmentin etäisyys, ja N:stä nollaan on sama. Katsokaa kuvaa:
Muistakaamme, että jokainen koordinaattiviivan piste voi liittyä vain yhteen reaalilukuun. Tässä tapauksessa pisteemme M ja N vastaavat tiettyjä numeroita, joita kutsutaan vastakkaiksi. Jokaisella numerolla on vastakkainen luku nollaa lukuun ottamatta. Koska tämä on lähtölaskennan alku, sitä pidetään itsensä vastakohtana.
Kirjataan ylös määritelmä sille, mitkä vastakkaiset luvut ovat:
Määritelmä 1
Vastapäätä kutsutaan numeroita, jotka vastaavat sellaisia koordinaattiviivan pisteitä, joihin pääsemme, jos merkitsemme saman etäisyyden origosta eri suuntiin (positiivinen ja negatiivinen). Nolla on origossa ja on itsensä vastakohta.
Miten vastakkaiset numerot ilmaistaan?
Tässä osiossa esittelemme tällaisten numeroiden perusmerkinnät. Jos meillä on tietty luku ja meidän on kirjoitettava sen vastakohta, käytämme tähän miinusta.
Esimerkki 1
Oletetaan, että lukumme on a, joten sen vastakohta on a (miinus a). Täsmälleen samalla tavalla 0,26:lle päinvastainen arvo on -0,26 ja 145:lle - 145. Jos alkuperäinen luku itsessään on negatiivinen, esimerkiksi - 9, kirjoitetaan päinvastoin - (- 9).
Mitä muita esimerkkejä vastakkaisista luvuista voit antaa? Otetaan kokonaisluvut: 12 ja -12. Vastakkaiset rationaaliluvut ovat 3 2 11 ja -3 2 11 sekä 8, 128 ja − 8, 128, 0, (18901) ja − 0, (18901) jne. Irrationaaliset luvut voivat olla myös vastakkaisia, esim. arvot numeeriset lausekkeet 2 + 1 ja - 2 + 1.
Ir rationaalisia lukuja samoin e ja - e .
Vastakkaisten lukujen perusominaisuudet
Tällaisilla numeroilla on tiettyjä ominaisuuksia. Alla annamme luettelon niistä selityksineen.
Määritelmä 2
1. Jos alkuperäinen luku on positiivinen, sen vastakohta on negatiivinen.
Tämä väite on ilmeinen ja seuraa yllä olevasta kaaviosta: tällaiset luvut sijaitsevat vertailuviivan vastakkaisilla puolilla. Jos olet unohtanut positiivisten ja negatiivisten lukujen käsitteet, katso aiemmin julkaisemamme materiaali.
Tästä säännöstä voidaan päätellä toinen erittäin tärkeä lausunto. Kirjaimellisessa muodossa sen merkintätapa näyttää tältä: mille tahansa positiiviselle a se on tosi − (− a) = a. Osoitetaan esimerkillä, miksi tämä on tärkeää.
Otetaan numero 5. Koordinaattiviivaa käyttämällä voit nähdä, että vastakkainen luku on 5 ja päinvastoin. Yllä osoittamallamme merkinnällä kirjoitetaan vastapäätä oleva luku - 5 muodossa - (- 5) . Osoittautuu, että – (- 5) = 5. Tästä päätelmä: vastakkaiset luvut eroavat toisistaan vain miinusmerkin läsnäololla.
2. Seuraavaa ominaisuutta kutsutaan yleensä symmetrian ominaisuudeksi. Se voidaan myös johtaa vastakkaisten lukujen määritelmästä. Se kuulostaa tältä:
Määritelmä 3
Jos jokin luku a on b:n vastakohta, niin b on a:n vastakohta.
Ilmeisesti tämä lausunto ei vaadi lisätodisteita.
3. Vastakkaisten lukujen kolmas ominaisuus sanoo:
Määritelmä 4
Jokaisella reaaliluvulla on vain yksi vastakkainen luku.
Tämä väite johtuu siitä, että koordinaattiviivan pisteet eivät voi vastata montaa numeroa kerralla.
Määritelmä 5
4. Vastakkaisten lukujen moduulit ovat yhtä suuret.
Tämä seuraa moduulin määritelmästä. On loogista, että mitä tahansa vastakkaisia lukuja vastaavan suoran pisteet ovat samalla etäisyydellä vertailupisteestä.
Määritelmä 6
5. Jos lisäämme vastakkaiset luvut, saamme 0.
Kirjaimellisesti tämä lause näyttää a + (− a) = 0.
Esimerkki 2
Tässä on esimerkkejä tällaisista laskelmista:
890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0
Kuten näet, tämä sääntö toimii kaikille luvuille - kokonaisluvuille, rationaalisille, irrationaalisille luvuille jne.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
Mielenkiintoinen käsite koulun opetussuunnitelmasta on vastakkaiset luvut, joita voidaan tarkastella sekä matemaattisesti että geometrisesti. Tämän aiheen ymmärtäminen yksinkertaistaa matematiikan tutkimusta ja antaa sinun selviytyä nopeasti joistakin ongelmista - joten tarkastelemme, mitä lukuja kutsutaan vastakohtiksi ja mitkä säännöt toimivat niille.
Mikä on termin ydin?
Ymmärtääksemme vastakkaisten lukujen merkityksen, siirrytään hetkeksi geometriaan. Piirretään koordinaattiviiva ja merkitään siihen nollapiste ja laitetaan sitten viivalle vielä kaksi merkkiä - esimerkiksi "2" oikea puoli ja "-2" nollan vasemmalla puolella. Tietysti molemmista pisteistä etäisyys alkupisteeseen on täsmälleen sama - ja tämä on helppo tarkistaa mittauksilla. "2" ja "-2" ovat samalla etäisyydellä nollasta, mutta eri suuntiin - vastaavasti ne ovat täysin vastakkaisia toisiaan vastaan.
Se on pointti. Numerot voivat olla niin suuria tai pieniä kuin halutaan, kokonaisia tai murto-osia. Jokaisella niistä on kuitenkin tietty numero, joka on sen täsmällinen vastakohta. Määritelmä voidaan antaa seuraavasti - jos koordinaattisuoralla kahdesta nollan molemmille puolille sijoitetusta pisteestä voidaan jättää sama etäisyys origoon - nämä pisteet tai tarkemmin sanottuna niitä vastaavat numerot ovat vastakkaisia .
Mitä sääntöjä määritelmästä voidaan johtaa?
On syytä muistaa muutama ehdoton lausunto tarkasteltavana olevasta aiheesta:
- Kahden luvun vastakohtien periaate toimii molempiin suuntiin. Esimerkiksi numero 3 on vastakohta numerolle -3 - ja siksi vain numero 3 on vastakkainen numerolle -3, ei mikään muu.
- Numerolla ei voi olla kahta vastakohtaa - aina on vain yksi.
- Eri merkeillä varustetut numerot voivat olla vastakkaisia toisiaan. Jos luku on positiivinen, sen vastakkaisella numerolla on miinusmerkki - esimerkiksi 5 ja -5. Sama toimii sisällä kääntöpuoli- miinusmerkillä varustetulle numerolle on aina päinvastoin kuin plusmerkillä - esimerkiksi -6 ja 6.
- Kahdella vastakkaisella luvulla on sama itseisarvo tai moduuli. Toisin sanoen, jos numero 4
§ 1 Positiivisen luvun käsite
Tällä oppitunnilla opit, mitä lukuja kutsutaan vastakohtiksi, kuinka löytää vastakkainen luku ja mitä ovat kokonaisluvut ja rationaaliluvut.
Aloitetaan käytännön työtä. Merkitse koordinaattiviivalle pisteet A(2) ja B(-2). Ne ovat symmetrisiä ja näiden pisteiden symmetriakeskus on koordinaattien O(0) origo, koska etäisyys OA=OB.
Näemme, että niiden pisteiden koordinaatit, jotka ovat symmetrisiä origon suhteen, ovat lukuja, jotka eroavat toisistaan vain etumerkillä. Tällaisia lukuja kutsutaan vastakohtiksi.
Vastakkaisille luvuille on toinenkin määritelmä. Mitkä ovat numeroiden 2 ja -2 absoluuttiset arvot? Yhtä kuin 2. Siksi vastakkaiset luvut ovat lukuja, joilla on samat moduulit, mutta jotka eroavat etumerkistä.
Osoittaa vastakkaisen numeron annettu numero, käytä miinusmerkkiä, joka kirjoitetaan tämän numeron eteen. Eli a:n vastakkainen luku kirjoitetaan muodossa −a. Esimerkiksi luku 0,24 on vastapäätä lukua −0,24, luku -25 on vastakkainen luku −(−25), mutta koordinaattiviivalla oleva numero -25 on vastapäätä numeroa 25, mikä tarkoittaa -(-25) = 25. Tästä seuraa, että -( -a) = a ja a = -(-a).
§ 2 Vastakkaisten lukujen ominaisuudet
Korostetaan joitain vastakkaisten lukujen ominaisuuksia.
Positiivisen luvun vastakohta on negatiivinen ja negatiivisen luvun vastakohta on positiivinen. Tämä on ymmärrettävää, koska vastakkaisia lukuja vastaavan koordinaattiviivan pisteet sijaitsevat origon vastakkaisilla puolilla.
Jos luku a on vastapäätä lukua b, niin b on vastakohta a:lle - tämä seuraa koordinaattiviivan pisteiden symmetriaominaisuudesta.
Käännytään koordinaattiviivalle. Kuinka monta pistettä voidaan merkitä koordinaattiviivalle, joka on symmetrinen annettuun pisteeseen nähden origon suhteen? Vain yksi. Tämä tarkoittaa, että jokaisella numerolla on vain yksi vastakkainen luku.
Vain yksi luku on itsensä vastakohta - tämä on numero 0, koska 0 = -0 (täten ei ole tapana kirjoittaa -0).
Numerot, joilla on yhteinen attribuutti, muodostavat joukon (tai ryhmän), jokaisella joukolla on oma nimi.
Muistakaamme, että laskennassa käyttämiämme lukuja kutsutaan luonnollisiksi luvuiksi, ne muodostavat luonnollisten lukujen joukon.
Jokaiselle luonnolliselle luvulle voit löytää vastakkaisen luvun. Luonnollisia lukuja, niiden vastakohtia ja lukua 0 kutsutaan kokonaisluvuiksi.
Murtoluvut voivat myös olla positiivisia tai negatiivisia. Kaikkia kokonaislukuja ja murtolukuja kutsutaan rationaaliluvuiksi. He sanovat myös, että ne muodostavat yhdessä rationaalilukujen joukon.
Korostetaan vielä kaksi numeroryhmää. Otetaan koordinaattiviiva. Jos poistamme sen osan suorasta, jolla negatiiviset luvut sijaitsevat, jäljelle jää säde, jolla on positiiviset luvut ja viitepiste 0. Jäljelle jääviä lukuja kutsutaan ei-negatiivisiksi, toisin sanoen numeroiksi, jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin 0. Siksi ei-positiiviset luvut ovat kaikki negatiivisia lukuja ja luku 0, eli lukuja, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin 0.
Tänään opimme, mitä vastakkaiset, kokonaisluvut, rationaaliset, ei-negatiiviset, ei-positiiviset luvut ovat, ja opimme löytämään tietyn luvun vastakkaisen luvun.
Luettelo käytetystä kirjallisuudesta:
- Matematiikka 6. luokka: tuntisuunnitelmat oppikirjaan I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich //tekijä-kääntäjä L.A. Topilina. Mnemosyne 2009
- Matematiikka. 6. luokka: oppikirja yleisten oppilaitosten opiskelijoille. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
- Matematiikka. 6. luokka: oppikirja yleisten oppilaitosten opiskelijoille. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
- Matematiikan käsikirja - http://lyudmilanik.com.ua
- Opiskelijan opas lukio http://shkolo.ru
Vastakkaisten numeroiden määritelmä
Vastakkaisten numeroiden määritelmä:
Kahta numeroa kutsutaan vastakkaiseksi, jos ne eroavat vain merkeissä.
Esimerkkejä vastakkaisista luvuista
Esimerkkejä vastakkaisista luvuista.
1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45
Tästä on selvää, kuinka löytää tietyn luvun vastakohta: vaihda vain luvun etumerkki.
Vastakohta 3:lle on luku miinus kolme.
Esimerkki. Numerot ovat datan vastaisia.
Annettu: numerot 1; 5; 8; 9.
Etsi tietojen vastakkaiset luvut.
Ratkaise tämä tehtävä muuttamalla annettujen numeroiden merkkejä:
Tehdään taulukko vastakkaisista luvuista:
| 1 | 5 | 8 | 9 |
| -1 | -5 | -8 | -9 |
Nollan vastakohta
Nollan vastakohta on itse luku nolla.
Eli 0:n vastainen luku on 0.
Vastakkaiset kokonaisluvut
Vastakkaiset kokonaisluvut eroavat toisistaan vain etumerkillä.
Esimerkkejä vastakkaisista kokonaisluvuista.
10 -10
20 -20
125 -125
Vastakkaisten lukujen pari
Kun he puhuvat vastakkaisista luvuista, he tarkoittavat aina vastakkaisten lukujen paria.
Luku on toisen luvun vastakohta. Ja jokaisella numerolla on vain yksi vastakkainen numero.
Luonnollisten lukujen vastaiset luvut
Luonnollisten lukujen vastakohta ovat negatiiviset kokonaisluvut.
Tehdään taulukko vastakkaisista luvuista viidelle ensimmäiselle luonnolliselle luvulle:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| -1 | -2 | -3 | -4 | -5 |
Vastakkaisten lukujen summa
Vastakkaisten lukujen summa on nolla. Loppujen lopuksi vastakkaiset luvut eroavat vain etumerkistä.