Johdanto …………………………………………………………………………..3
Luku minä .4
1.1. Tuotantotekijät…………………………………………………………….4
1.2. Tuotantotoiminto ja sen taloudellinen sisältö……………….9
1.3. Tekijän substituution elastisuus…………………………………………..13
1.4. Tuotantofunktion elastisuus ja mittakaavan palautuminen………16
1.5. Tuotantofunktion ominaisuudet ja tuotantofunktion pääominaisuudet…………………………………………………………..19
Luku II. Tuotantotoimintojen tyypit………………………………..23
2.1. Lineaarisesti homogeenisten tuotantofunktioiden määritelmä………23
2.2. Lineaarisesti homogeenisten tuotantofunktioiden tyypit…………………..25
2.3. Muuntyyppiset tuotantotoiminnot…………………………………28
Liite……………………………………………………………………………………..30
Johtopäätös……………………………………………………………………………………32
Viiteluettelo…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Johdanto
Olosuhteissa moderni yhteiskunta kukaan ihminen ei voi kuluttaa vain sitä, mitä hän itse tuottaa. Täydellistääkseen tarpeitaan ihmiset pakotetaan vaihtamaan tuottamansa. Ilman jatkuvaa tavaroiden tuotantoa ei olisi kulutusta. Siksi on erittäin mielenkiintoista analysoida tavaroiden tuotantoprosessissa toimivia malleja, jotka myöhemmin muokkaavat niiden tarjontaa markkinoilla.
Tuotantoprosessi on talouden peruskäsite ja alkuperäinen käsite. Mitä tuotannolla tarkoitetaan?
Kaikki tietävät, että tavaroiden ja palveluiden tuottaminen tyhjästä on mahdotonta. Huonekalujen, elintarvikkeiden, vaatteiden ja muiden tavaroiden tuottamiseksi tarvitaan asianmukaiset raaka-aineet, laitteet, tilat, tontti ja tuotannon organisoivia asiantuntijoita. Kaikkea tuotantoprosessin järjestämiseen tarvittavaa kutsutaan tuotantotekijöiksi. Perinteisesti tuotannontekijöitä ovat pääoma, työ, maa ja yrittäjyys.
Tuotantoprosessin järjestämiseksi tarvittavia tuotantotekijöitä on oltava läsnä tietty määrä. Valmistetun tuotteen enimmäismäärän riippuvuutta käytettyjen tekijöiden kustannuksista kutsutaan tuotantotoiminto .
Luku minä . Tuotantofunktiot, peruskäsitteet ja määritelmät .
1.1. Tuotannon tekijät
Kaiken talouden aineellinen perusta muodostuu tuotannosta. Maan kokonaistalous riippuu siitä, missä määrin tuotantoa maassa on kehitetty.
Minkä tahansa tuotannon lähteet puolestaan ovat tietyn yhteiskunnan käytettävissä olevat resurssit. "Resurssit ovat työvälineiden, työvälineiden, rahan, tavaroiden tai ihmisten saatavuutta käytettäväksi nyt tai tulevaisuudessa."
Tuotantotekijät ovat siis niiden luonnollisten, aineellisten, sosiaalisten ja henkisten voimien (resurssien) kokonaisuus, joita voidaan käyttää tavaroiden, palvelujen ja muiden arvojen luomisessa. Toisin sanoen tuotannontekijät ovat niitä asioita, joilla on tietty vaikutus itse tuotantoon.
IN talousteoria Resurssit jaetaan yleensä kolmeen ryhmään:
1. Työ on henkilön fyysisten ja henkisten kykyjen kokonaisuus, jota voidaan käyttää tuotteen valmistusprosessissa tai palvelun tarjoamisessa.
2. Pääoma (fyysinen) - tuotantoon tarvittavat rakennukset, rakenteet, koneet, laitteet, ajoneuvot.
3. Luonnonvarat - maa ja sen pohjamaa, tekoaltaat, metsät jne. Kaikki, mitä voidaan käyttää tuotannossa luonnollisessa, käsittelemättömässä muodossa.
Se on tuotantotekijöiden läsnäolo tai puuttuminen maassa, joka määrää sen taloudellinen kehitys. Tuotannon tekijät ovat jossain määrin potentiaalisia talouskasvulle. Se, miten näitä tekijöitä käytetään, riippuu yleinen kanta asioita maan taloudessa.
Myöhemmin "kolmen tekijän" teorian kehitys johti tuotantotekijöiden laajempaan määritelmään. Tällä hetkellä näihin kuuluvat:
2. maa (luonnonvarat);
3. pääoma;
4. yrittäjyyskyky;
On huomattava, että kaikki nämä tekijät liittyvät läheisesti toisiinsa. Esimerkiksi työn tuottavuus kasvaa jyrkästi käytettäessä tieteen ja tekniikan kehityksen tuloksia.
Tuotantotekijät ovat siis tekijöitä, joilla on tietty vaikutus itse tuotantoprosessiin. Esimerkiksi lisäämällä pääomaa ostamalla uusia tuotantolaitteita voit kasvattaa tuotantomääriä ja kasvattaa tuotemyyntituloja.
On tarpeen tarkastella yksityiskohtaisemmin olemassa olevia tuotantotekijöitä.
Työ on määrätietoista ihmisen toimintaa, jonka avulla hän muuttaa luontoa ja mukauttaa sen tarpeisiinsa. Talousteoriassa työllä tuotantotekijänä tarkoitetaan mitä tahansa henkistä ja fyysistä ponnistusta, jota ihmiset kohdistavat taloudellisen toiminnan prosessissa.
Työvoimasta puhuttaessa on tarpeen keskittyä sellaisiin käsitteisiin kuin työn tuottavuus ja työvoimaintensiteetti. Työn intensiteetti luonnehtii työn intensiteettiä, joka määräytyy fyysisen ja henkisen energian kulutuksen mukaan aikayksikköä kohti. Työintensiteetti kasvaa kuljettimen kiihtyessä, samanaikaisesti huollettavien laitteiden määrä kasvaa ja työajan menetys pienenee. Työn tuottavuus kertoo kuinka paljon tuotetta tuotetaan aikayksikössä.
Työn tuottavuuden lisäämisessä tieteen ja tekniikan kehityksellä on ratkaiseva rooli. Esimerkiksi kuljettimien käyttöönotto 1900-luvun alussa johti voimakkaaseen työn tuottavuuden nousuun. Kuljettimen tuotantoorganisaatio perustui murto-osaisen työnjaon periaatteeseen.
Tieteellinen ja teknologinen vallankumous johti muutoksiin työn luonteessa. Työvoimasta on tullut ammattitaitoisempaa fyysistä työtä sillä on yhä vähemmän merkitystä tuotantoprosessissa.
Kun puhutaan maasta tuotantotekijänä, emme tarkoita vain itse maata, vaan myös vettä, ilmaa ja muita luonnonvaroja.
Pääoma tuotantotekijänä samaistuu tuotantovälineisiin. Pääoma koostuu kestohyödykkeistä, jotka talousjärjestelmä on luonut muiden tavaroiden tuotantoa varten. Toinen näkemys pääomasta liittyy sen rahalliseen muotoon. Pääoma, kun se sisältyy rahoitukseen, jota ei ole vielä sijoitettu, on rahasumma. Kaikilla näillä määritelmillä on yhteinen ajatus, nimittäin pääomalle on ominaista kyky tuottaa tuloja.
On fyysistä tai kiinteää pääomaa, käyttöpääomaa ja inhimillistä pääomaa. Fyysinen pääoma on rakennuksiin, koneisiin ja laitteisiin materialisoituvaa pääomaa, joka toimii tuotantoprosessissa useita vuosia. Toinen pääomatyyppi, mukaan lukien raaka-aineet, tarvikkeet ja energiavarat, käytetään yhdessä tuotantosyklissä. Sitä kutsutaan käyttöpääomaksi. Käyttöpääomaan käytetty raha palautetaan kokonaan yrittäjälle tuotteiden myynnin jälkeen. Kiinteitä pääomakustannuksia ei saada takaisin niin nopeasti. Inhimillinen pääoma syntyy koulutuksen seurauksena, ammatillinen koulutus ja fyysisen terveyden ylläpitäminen.
Yrittäjyys on erityinen tuotannontekijä, jonka avulla muut tuotannontekijät kootaan tehokkaaksi yhdistelmäksi.
Tieteellinen ja teknologinen kehitys on tärkeä talouskasvun moottori. Se kattaa koko sarja tuotantoprosessin parantamiselle ominaisia ilmiöitä. Tieteellinen ja teknologinen kehitys sisältää teknologioiden, uusien johtamis- ja tuotannon organisointimenetelmien ja -muotojen parantamisen. Tieteen ja tekniikan kehitys mahdollistaa näiden resurssien yhdistämisen uudella tavalla tuotteiden lopputuotannon lisäämiseksi. Tällöin syntyy yleensä uusia, tehokkaampia toimialoja. Työvoiman tehokkuuden kasvusta tulee tärkein tuotannontekijä.
Mutta on välttämätöntä ymmärtää, että tuotantotekijöiden ja tuotannon määrän välillä ei ole suoraa yhteyttä. Esimerkiksi palkkaamalla uusia työntekijöitä yritys luo edellytykset lisätuotevolyymin valmistukseen. Mutta samaan aikaan kaikki vetivät puoleensa uusi työntekijä nostaa yrityksen työvoimakustannuksia. Lisäksi ei ole takeita siitä, että ostajalle tulee kysyntää lisätuotteille ja että yritys saa tuloja näiden tuotteiden myynnistä.
Puhuttaessa tuotantotekijöiden ja tuotantomäärän välisestä suhteesta on siis ymmärrettävä, että tämä suhde määräytyy näiden tekijöiden järkevällä yhdistelmällä, ottaen huomioon valmistettujen tuotteiden olemassa oleva kysyntä.
Tärkeä rooli tuotantotekijöiden yhdistämisongelman ymmärtämisessä on ns. rajahyöty- ja rajakustannusteorialla, jonka ydin on, että jokainen samantyyppisen tavaran lisäyksikkö tuottaa yhä vähemmän hyötyä kuluttajalle ja vaatii tuottajalta kasvavia kustannuksia. Moderni teoria Tuotanto perustuu laskevan tuoton tai marginaalituotteen käsitteeseen ja uskoo, että kaikki tuotannontekijät ovat riippuvaisia toisistaan tuotteen luomisessa.
Minkä tahansa yrityksen päätehtävänä on maksimoida voitot. Yksi tapa saavuttaa tämä on tuotannontekijöiden järkevä yhdistelmä. Mutta kuka voi määrittää, mitkä tuotantotekijöiden suhteet ovat hyväksyttäviä tietylle yritykselle, tietylle toimialalle? Kysymys on siitä, kuinka monta ja mitä tuotannontekijöitä tulisi käyttää maksimaalisen voiton saamiseksi.
Juuri tämä ongelma on yksi matemaattisen taloustieteen ratkaisemista ongelmista, ja tapa ratkaista se on tunnistaa käytettyjen tuotantotekijöiden ja tuotannon volyymin välinen matemaattinen suhde eli tuotantofunktion rakentaminen.
1.2. Tuotantotoiminto ja sen taloudellinen sisältö
Mikä on funktio matemaattisen tieteen näkökulmasta?
Funktio on yhden muuttujan riippuvuus toisista (muista) muuttujista, joka ilmaistaan seuraavasti:
Jossa X on riippumaton muuttuja ja y– riippuu x toiminto.
Muuttujan muuttaminen x johtaa toiminnan muutokseen y .
Kahden muuttujan funktio ilmaistaan riippuvuudella: z = f(x,y). Kolme muuttujaa: Q = f(x,y,z) ja niin edelleen.
Esimerkiksi ympyrän pinta-ala: S ( r )=π r 2 - on sen säteen funktio, ja mitä suurempi säde, sitä suurempi ympyrän pinta-ala.
Havaitsemme, että tuotantofunktio on matemaattinen suhde aikayksikköä kohden tuotetun enimmäismäärän ja sen luovien tekijöiden yhdistelmän välillä, kun otetaan huomioon olemassa oleva tietämyksen ja teknologian taso. Samaan aikaan päätehtävä Matemaattinen taloustiede käytännön näkökulmasta on tämän riippuvuuden tunnistaminen, eli tuotantofunktion rakentaminen tietylle toimialalle tai tietylle yritykselle.
Tuotantoteoriassa käytetään pääasiassa kaksitekijäistä tuotantofunktiota, joka kirjoitetaan yleensä seuraavasti:
K = f ( K , L ), (1.1)
Samalla tekijöitä, kuten tekninen kehitys ja yrittäjäkyky, pidetään muuttumattomina suhteellisen lyhyessä ajassa eivätkä ne vaikuta tuotannon määrään, ja "maa"-tekijää tarkastellaan yhdessä "pääoman" kanssa.
Tuotantofunktio määrittää tuotteen tuotannon Q ja tuotantotekijöiden välisen suhteen: pääoma K, työ L. Tuotantofunktio kuvaa joukon teknisiä tehokkaita tapoja tietyn määrän tuotteita. Tuotannon tekniselle tehokkuudelle on ominaista vähiten resurssien käyttö tiettyyn tuotantomäärään. Esimerkiksi tuotantomenetelmää pidetään tehokkaampana, jos siinä käytetään vähintään yhtä resurssia vähemmän kuin muita menetelmiä eikä enempää. Jos yhdessä menetelmässä käytetään joitakin resursseja suurempia määriä ja toisia pienempiä määriä kuin toisessa menetelmässä, nämä menetelmät eivät ole vertailukelpoisia teknisen tehokkuuden suhteen. Tässä tapauksessa molempia menetelmiä pidetään teknisesti tehokkaina, ja niiden vertailussa käytetään taloudellista tehokkuutta. Kustannustehokkaimpana tapana tuottaa tietty määrä tuotantoa pidetään sitä, jossa resurssien käyttökustannukset ovat minimaaliset.
Graafisesti jokainen menetelmä voidaan esittää pisteellä, jonka koordinaatit kuvaavat resurssien vähimmäismäärää L ja K, ja tuotantofunktio - yhtäläisen tuoton rivillä tai isokvantilla. Jokainen isokvantti edustaa joukkoa teknisesti tehokkaita tapoja tuottaa tietty määrä tuotantoa. Mitä kauempana isokvantti sijaitsee origosta, sitä suuremman määrän se tuottaa. Kuvassa 1.1. annetaan kolme isokvanttia, jotka vastaavat 100, 200 ja 300 tuotosyksikön tuottoa, joten voidaan sanoa, että 200 tuotosyksikön tuottamiseksi on tarpeen ottaa joko K 1 yksikköä pääomaa ja L 1 työyksikköä tai K 2 pääomayksikköä ja L 2 -työyksikköä tai jokin niiden yhdistelmä, jonka isokvantti Q 2 =200 antaa.
Q3 = 300
Kuva 1.1. Isokvantit, jotka edustavat eri tuotantotasoja
On tarpeen määritellä sellaiset käsitteet kuin isokvantti ja isokosti.
Isokvantti on käyrä, joka edustaa kaikkia mahdollisia kahden kustannusten yhdistelmiä, jotka tarjoavat tietyn vakion tuotantomäärän (esitetty kuvassa 1.1 yhtenäisellä viivalla).
Isocost on monista pisteistä muodostuva viiva, joka osoittaa kuinka monta yhdistettyä tuotannontekijää tai resurssia voidaan ostaa käytettävissä olevien resurssien perusteella käteistä(Kuva 1.1 näyttää pisteviiva– tangentti isokvanttiin resurssin yhdistämispisteessä).
Isokvantin ja isokostin välinen tangenttipiste on optimaalinen tekijöiden yhdistelmä tietylle yritykselle. Tangenssipiste löydetään ratkaisemalla kahden yhtälön järjestelmä, joka ilmaisee isokvantin ja isokostin.
Tuotantotoiminnon pääominaisuudet ovat:
1. Funktion jatkuvuus, eli sen graafi edustaa kiinteää, katkeamatonta viivaa;
2. Tuotanto ei ole mahdollista, jos vähintään yksi tekijä puuttuu;
3. Minkä tahansa tekijän kustannusten nousu muiden tekijöiden vakiomäärillä johtaa tuotannon kasvuun;
4. Tuotos voidaan pitää tasaisella tasolla korvaamalla tietty määrä yhtä tekijää käyttämällä toista lisäkäyttöä. Toisin sanoen työvoiman käytön vähenemistä voidaan kompensoida pääoman lisäkäytöllä (esimerkiksi ostamalla uusia tuotantolaitteita, joita huoltaa vähemmän työntekijöitä).
1.3. Tekijän korvaamisen elastisuus
Edellä esitetyn perusteella voidaan päätellä, että tuotantofunktion pääkysymys on kysymys oikeasta tuotantotekijöiden yhdistelmästä, jolla tuotannon taso on optimaalinen eli suurimman voiton tuova. Optimaalisen yhdistelmän löytämiseksi on tarpeen vastata kysymykseen: Millä määrällä yhden tekijän kustannuksia tulisi lisätä, kun taas toisen kustannuksia vähennetään yhdellä? Kysymys tuotannon korvaavien kustannusten välisestä suhteesta ratkaistaan ottamalla käyttöön sellainen käsite kuin
Tuotantotekijöiden vaihdettavuuden mitta on teknisen korvaamisen marginaaliaste MRTS (teknisen korvaamisen marginaalinopeus), joka osoittaa kuinka monta yksikköä yhtä tekijää voidaan pienentää lisäämällä toista tekijää yhdellä pitäen tuotanto ennallaan.
Teknisen substituution marginaalinopeudelle on ominaista isokvanttien kaltevuus. Isokvantin jyrkempi kaltevuus osoittaa, että kun työn määrä kasvaa yhdellä yksiköllä, useista pääomayksiköistä on luovuttava tietyn tuotantotason ylläpitämiseksi. MRTS ilmaistaan kaavalla:
MRTS L , K = – DK/DL
Isokvanteilla voi olla erilaisia konfiguraatioita.
Kuvan 1.2(a) lineaarinen isokvantti olettaa panosten täydellisen korvattavuuden, eli tietty tuotos voidaan tuottaa joko pelkällä työllä, pelkällä pääomalla tai näiden panosten yhdistelmällä.
Kuvassa 1.2(b) esitetty isokvantti on tyypillinen resurssien tiukan täydentävyyden tapauksessa. Tässä tapauksessa tunnetaan vain yksi teknisesti tehokas tuotantotapa. Tällaista isokvanttia kutsutaan joskus Leontief-tyypin isokvanttiksi (katso alla), joka on nimetty taloustieteilijän V.V. Leontiev, joka ehdotti tämän tyyppistä isokvanttia. Kuvassa 1.2(c) näkyy murtunut isokvantti, joka olettaa useiden tuotantomenetelmien (P) läsnäolon. Tässä tapauksessa teknisen substituution marginaalinopeus pienenee liikkuessaan isokvanttia pitkin ylhäältä alas. Lineaarisessa ohjelmoinnissa käytetään samanlaisen konfiguraation isokvanttia - menetelmää taloudellinen analyysi. Rikkoutunut isokvantti edustaa realistisesti modernin teollisuuden tuotantokykyä. Lopuksi kuvassa 1.2(d) on esitetty isokvantti, joka olettaa resurssien jatkuvan, mutta ei täydellisen korvattavuuden mahdollisuuden.
K a) KQ 2 b)
Kuva 1.2. Isokvanttien mahdolliset konfiguraatiot.
1.4. Tuotantofunktion elastisuus ja mittakaavan palautuminen.
Tietyn resurssin rajatuote luonnehtii tuotteen tuotoksen absoluuttista muutosta tietyn resurssin kulutuksen yksikkömuutosta kohti, ja muutosten oletetaan olevan pieniä. Tuotantotoimintoa varten 
i-resurssin marginaalitulo on yhtä suuri kuin osittaisderivaata: .
i:nnen tekijän kulutuksen suhteellisen muutoksen vaikutukselle tuotteen tuottoon, myös suhteellisessa muodossa, on ominaista tuotannon osittainen jousto suhteessa tämän tuotteen kustannuksiin:
Yksinkertaisuuden vuoksi merkitsemme . Tuotantofunktion osajousto on yhtä suuri kuin tietyn resurssin rajatuotteen suhde sen keskimääräiseen tuotteeseen.
Tarkastellaanpa erikoistapausta, jossa tuotantofunktion elastisuus jonkin argumentin suhteen on vakioarvo.
Jos suhteessa alkuperäiset arvot argumentit x 1 , x 2 ,…,x n yksi argumenteista (i-s) muuttuu kerran ja loput pysyvät samoilla tasoilla, jolloin tuotteen lähdön muutos kuvataan tehofunktiolla: . Olettaen I=1, huomaamme, että A=f(x 1 ,…,x n), ja siksi .
Yleisessä tapauksessa, kun elastisuus on muuttuva arvo, yhtälö (1) on likimääräinen I:n arvoille, jotka ovat lähellä yksikköä, ts. kun I=1+e, ja mitä tarkempi, sitä lähempänä e/nollaa.
Muuttuvat nyt kaikkien resurssien kustannukset kertoimella I. Soveltamalla johdonmukaisesti juuri kuvattua tekniikkaa x 1 , x 2 ,…,x n , voimme varmistaa, että nyt
Funktion kaikkien argumenttien osittaisjoustojen summaa kutsutaan funktion kokonaiselastiseksi. Ottamalla käyttöön tuotantofunktion kokonaiselastisuuden merkintä, voimme esittää tuloksen muodossa
Yhtälö (2) osoittaa, että tuotantofunktion täysi joustavuus mahdollistaa mittakaavan tuottojen numeerisen lausekkeen. Anna kaikkien resurssien kulutuksen kasvaa hieman säilyttäen kaikki suhteet (I>1). Jos E>1, niin lähtö lisääntyi yli I kertaa (kasvava palaa mittakaavaan), ja jos E<1, то меньше, чем в I раз. При E=1 выпуск продукции изменится в той же самой пропорции, что и затраты всех ресурсов (постоянная отдача).
Lyhyiden ja pitkien ajanjaksojen erottaminen tuotannon ominaisuuksia kuvattaessa on karkea kaavakuva. Eri resurssien - energian, materiaalien, työvoiman, koneiden, rakennusten jne. - kulutuksen määrän muuttaminen vaatii eri aikoja. Oletetaan, että resurssit numeroidaan uudelleen liikkuvuuden vähenevän järjestyksessä: nopein tapa muuttaa on x 1, sitten x 2 jne., ja x n:n muuttaminen kestää pisimpään. Voidaan erottaa ultralyhyt tai nollajakso, jolloin yksikään tekijä ei voi muuttua; 1. jakso, kun vain x 1 muuttuu; 2. jakso, joka sallii muutokset x 1:ssä ja x 2:ssa jne.; lopuksi pitkä eli n:s jakso, jonka aikana kaikkien resurssien määrät voivat muuttua. Erilaisia jaksoja on siis n+1.
Tarkasteltaessa jonkin verran suuruusluokkaa, k:nnettä jaksoa, voidaan puhua tätä ajanjaksoa vastaavasta mittakaavan palautumisesta, mikä tarkoittaa suhteellista muutosta niiden resurssien volyymeissä, jotka voivat muuttua tällä ajanjaksolla, ts. x 1, x 2,…, x k. Tilavuudet x k +1, x n säilyttäen samalla kiinteät arvot. Vastaava mittakaavan palautus on e 1 +e 2 +…+e k .
Pidentämällä jaksoa lisäämme tähän summaan seuraavat ehdot, kunnes saadaan E:n arvo pitkälle ajanjaksolle.
Koska tuotantofunktio kasvaa jokaisessa argumentissa, kaikki osajoustot e 1 ovat positiivisia. Tästä seuraa, että mitä pidempi ajanjakso, sitä suurempi on mittakaavan tuotto.
1.5. Tuotantofunktion ominaisuudet
Jokaiselle tuotantotyypille voidaan rakentaa oma tuotantofunktio, mutta jokaisella niistä on seuraavat perusominaisuudet:
1. Tuotantovolyymin kasvulla on rajansa, joka saavutetaan lisäämällä yhden resurssin käyttöä muiden asioiden pysyessä samana. Esimerkkinä on mahdottomuus lisätä tuotantomäärää (kun saavutetaan tietty arvo) tietyssä yrityksessä houkuttelemalla uusia työntekijöitä tietyllä käyttöomaisuudella. On mahdollista saavuttaa piste, jolloin jokaiselle yksittäiselle työntekijälle ei tarjota työvoimaa, työpaikkaa, hänen läsnäolonsa on este muille työntekijöille ja tuotannon lisäys tämän marginaalityöläisen palkkaamisesta lähestyy nollaa tai jopa tulla negatiiviseksi.
2. 
Tuotantotekijöillä on tietty keskinäinen täydentävyys, mutta ilman tuotantovolyymin pienenemistä myös tietty keskinäinen korvattavuus on mahdollista. Esimerkiksi tietyn sadon saamiseksi suuri määrä työntekijöitä voi viljellä tietyn kokoista viljelyalaa käsin ilman lannoitteita ja nykyaikaisia tuotantovälineitä. Samalla alueella useat työntekijät, jotka käyttävät monimutkaisia koneita ja erilaisia lannoitteita, voivat työskennellä saadakseen tarvittavan satomäärän. On huomattava, että täydentävyyden mukaan mitään perinteisiä resursseja (maa, työ, pääoma) ei voida täysin korvata muilla (täydentävyyttä ei ole). Keskinäisen korvaamisen mekanismi toimii päinvastaisella lähtökohdalla: jonkin tyyppinen resurssi voidaan korvata toisella. Täydentävyyden ja keskinäisen korvaamisen suunta on päinvastainen. Jos täydentävyys edellyttää kaikkien resurssien pakollista saatavuutta, niin keskinäinen korvaaminen äärimmäisessä muodossaan voi johtaa joidenkin niistä täydelliseen poissulkemiseen.
Tuotantofunktion analyysi viittaa tarpeeseen erottaa lyhyen ja pitkän aikavälin ajanjaksot. Ensimmäisessä tapauksessa tarkoitetaan aikaväliä, jonka aikana tuotannon määrää voidaan säädellä vain muuttamalla käytettyjen muuttuvien tekijöiden määrää kiinteiden kustannusten pysyessä ennallaan. Tuotantotekijöitä, joiden kustannukset eivät muutu lyhyellä aikavälillä, kutsutaan vakioiksi.
Näin ollen tuotantotekijät, joiden koko muuttuu lyhyellä aikavälillä, ovat vaihtelevia. Pitkäaikaista ajanjaksoa pidetään ajanjaksona, joka riittää yritykselle muuttamaan kaikkien tuotannontekijöiden kustannuksia. Tämä tarkoittaa, että sisään tässä tapauksessa tuotannon kasvulle ei ole rajaa ja kaikki tekijät muuttuvat. Yleisimmässä muodossa lyhyen ja pitkän aikavälin erot voidaan vähentää seuraavasti.
Ensinnäkin tämä koskee liiketoimintaolosuhteita. Lyhyellä aikavälillä tuotantovolyymin merkittävä kasvattaminen on mahdotonta, ja sitä rajoittaa yrityksen olemassa oleva tuotantokapasiteetti. Pitkällä aikavälillä yrityksellä on enemmän vapautta lisätä tuotantoa, koska kaikki tuotannontekijät muuttuvat muuttuviksi.
Toiseksi on tarpeen ottaa huomioon tuotantokustannusten erityispiirteet. Lyhyen aikavälin jaksolle on ominaista sekä kiinteiden että muuttuvien tuotantokustannusten esiintyminen pitkällä aikavälillä, kaikki kustannukset muuttuvat vakioiksi.
Kolmanneksi lyhyen aikavälin ajanjakso olettaa tietyllä toimialalla toimivien yritysten pysyvyyttä. Pitkällä aikavälillä on olemassa todellinen mahdollisuus, että alalle tulee tai tulee uusia kilpailijoita.
Neljänneksi on tarpeen määrittää taloudellisen voiton keruumahdollisuudet tarkastelujaksoilla. Pitkällä aikavälillä taloudellinen voitto on nolla. Lyhyellä aikavälillä taloudellinen voitto voi olla joko positiivinen tai negatiivinen.
PF täyttää seuraavat ominaisuudet:
1) ilman resursseja ei ole julkaisua, ts. f(0,0,a)=0;
2) jos vähintään yksi resursseista puuttuu, ei ole vapautusta, ts. ;
3) vähintään yhden resurssin kustannusten noustessa tuotannon volyymi kasvaa;
4) yhden resurssin kustannusten noustessa toisen resurssin määrän pysyessä ennallaan tuotannon volyymi kasvaa, ts. jos x>0, niin 
;
5) yhden resurssin kustannusten noustessa toisen resurssin määrän pysyessä ennallaan, tuotannon kasvun määrä i:nnen resurssin jokaista lisäyksikköä kohden ei kasva (pienenevän tuoton laki), ts. jos sitten;
6) yhden resurssin kasvaessa toisen resurssin rajatehokkuus kasvaa, ts. jos x>0, niin 
;
7) PF on homogeeninen funktio, ts. ; kun p>1 meillä on tuotannon tehokkuuden kasvu tuotannon mittakaavan kasvusta; osoitteessa p<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства; при р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.
Luku II . Tuotantotoimintojen tyypit
2.1. Määritelmä on lineaarinen - homogeeniset tuotantotoiminnot
Tuotantofunktion sanotaan olevan homogeeninen n-aste, jos resursseja kerrottaessa tietyllä luvulla k tuloksena oleva tuotantomäärä poikkeaa kn kertaa alkuperäisestä. Tuotantofunktion homogeenisuuden ehdot kirjoitetaan seuraavasti:
Q = f (kL, kK) = knQ
Esimerkiksi 9 tuntia työtä (L) ja 9 tuntia konetyötä (K) käytetään päivässä. Oletetaan, että tietyllä tekijöiden L ja K yhdistelmällä yritys voi tuottaa tuotteita 200 tuhannen ruplan arvosta päivässä. Tässä tapauksessa tuotantofunktio Q = F(L,K) esitetään seuraavalla yhtälöllä:
Q = F(9; 9) = 200 000, missä F on tietyn tyyppinen algebrallinen kaava, johon L:n ja T:n arvot korvataan.
Oletetaan, että yritys päättää kaksinkertaistaa pääomatyön ja työvoiman käytön, mikä johtaa tuotannon määrän kasvuun 600 tuhanteen ruplaan. Havaitsemme, että tuotantotekijöiden kertominen kahdella johtaa tuotantovolyymin kasvuun 3-kertaiseksi, toisin sanoen käyttämällä tuotantofunktion homogeenisuuden ehtoja:
Q = f (kL, kK) = knQ, saamme:
Q = f (2L, 2K) = 2×1,5×Q, eli tässä tapauksessa kyseessä on homogeeninen tuotantofunktio, jonka aste on 1,5.
Eksponenttia n kutsutaan homogeenisuusasteeksi.
Jos n = 1, niin funktion sanotaan olevan ensimmäisen asteen homogeeninen tai lineaarisesti homogeeninen. Lineaarisesti homogeeninen tuotantofunktio on kiinnostava, koska sille on ominaista jatkuva tuotto, eli tuotantotekijöiden kasvaessa tuotannon määrä kasvaa jatkuvasti samassa määrin.
Jos n>1, niin tuotantofunktio osoittaa kasvavaa tuottoa, eli tuotantotekijöiden kasvu johtaa vieläkin suurempaan tuotantomäärän kasvuun (esimerkiksi: tekijöiden kaksinkertaistuminen johtaa volyymin kaksinkertaiseen kasvuun; a 3 -kertainen lisäys johtaa 6-kertaiseen kasvuun - 12-kertaiseen kasvuun jne.) Jos n<1, то производственная функция демонстрирует убывающую отдачу, то есть, рост факторов производства ведёт к уменьшению отдачи по росту объёмов производства (например: увеличение факторов в 2 раза – ведёт к увеличению объемов в 2 раза; увеличение факторов в 3 раза – к увеличению объёмов в 1,5 раз; увеличение факторов в 4 раза – к увеличению объёмов в 1,2 раза и т.д.).
2.2. Lineaarisesti homogeenisten tuotantofunktioiden tyypit
Esimerkkejä lineaarisesti homogeenisista tuotantofunktioista ovat Cobb-Douglasin tuotantofunktio ja substituutiotuotantofunktion vakioelastisuus.
Tuotantofunktion laskivat ensimmäisen kerran 1920-luvulla Yhdysvaltain tehdasteollisuudelle taloustieteilijät Cobb ja Douglas. Paul Douglasin tutkimus USA:n valmistusteollisuudessa ja sen myöhempi käsittely Charles Cobbin toimesta johti matemaattisen lausekkeen syntymiseen, joka kuvaa työn ja pääoman käytön vaikutusta valmistusteollisuuden tuotantoon tasa-arvon muodossa:
Ln(Q) = Ln(1,01) + 0,73 × Ln(L) + 0,27 × Ln(K)
Yleensä Cobb-Douglasin tuotantofunktiolla on muoto:
K = AKαLβν
lnQ = lnA + α lnK + βlnL + lnν
Jos α+β<1, то наблюдается убывающая отдача от масштабов использования факторов производства (рис. 1.2.в). Если α+β=1, то существует постоянная отдача от масштабов использования факторов производства (рис. 1.2.а). Если α+β>1, silloin tuotantotekijöiden käytön mittakaavassa on kasvava tuotto (kuva 1.2.b).
Cobb-Douglasin tuotantofunktiossa tehokertoimet α ja β laskevat yhteen tuotantofunktion homogeenisuusasteen ilmaisemiseksi:
Pääoman teknisen korvaamisen työvoimalla enimmäisnopeus tietylle teknologialle määritetään kaavalla:
׀MRTS L , K ׀ =
Jos tarkastellaan tarkkaan 1920-luvulla laskettua Yhdysvaltain valmistavan teollisuuden Cobb-Douglasin funktiota, voit jälleen kerran erityisellä esimerkillä huomata, että tuotantofunktio on riippuvuuden matemaattinen lauseke (tietyn algebrallisen muodon kautta). tuotantomääristä (Q) tuotantotekijöiden käyttömääristä (L ja K). Siten määrittämällä muuttujille L ja K tietyt arvot on mahdollista määrittää odotetut tuotantomäärät (Q) USA:n teollisuudelle 1920-luvulla.
Substituution elastisuus Cobb-Douglasin tuotantofunktiossa on aina yhtä suuri kuin 1.
Mutta Cobb-Douglasin tuotantotoiminnossa oli joitain puutteita. Cobb-Douglasin funktion, joka on aina ensisijaisesti homogeeninen, rajoituksen voittamiseksi, useat taloustieteilijät (K. Arrow, H. Chenery, B. Minhas ja R. Solow). Tämä on lineaarisesti homogeeninen tuotantofunktio, jolla on jatkuva resurssien korvaamisen elastisuus. Myöhemmin ehdotettiin myös tuotantofunktiota, jonka substituutioelastisuus vaihtelee. Se on tuotantofunktion yleistys, jolla on jatkuva substituutiojousto, jolloin substituution jousto voi muuttua käytettyjen resurssien välisen suhteen muuttuessa.
Lineaarisesti homogeenisella tuotantofunktiolla, jolla on jatkuva resurssien korvaamisen elastisuus, on seuraava muoto:
Q = a -1/b,
Tekijän substituution elastisuus tietylle tuotantofunktiolle määritetään kaavalla:
2.3. Muut tuotantotoiminnot
Toinen tuotantofunktion tyyppi on lineaarinen tuotantofunktio, jolla on seuraava muoto:
Q(L,K) = aL + bK
Tämä tuotantofunktio on ensimmäisen asteen homogeeninen, joten sillä on jatkuvat palautukset tuotannon mittakaavaan. Graafisesti tämä toiminto esitetty kuvassa 1.2, a.
Lineaarisen tuotantofunktion taloudellinen merkitys on, että se kuvaa tuotantoa, jossa tekijät ovat keskenään vaihdettavissa, eli sillä ei ole väliä, käytetäänkö vain työtä vai vain pääomaa. Mutta tosielämässä tällainen tilanne on käytännössä mahdoton, koska jokaista konetta huoltaa edelleen henkilö.
Muuttujien L ja K alta löytyvät funktion kertoimet a ja b osoittavat suhteet, joissa yksi tekijä voidaan korvata toisella. Jos esimerkiksi a=b=1, niin tämä tarkoittaa, että 1 tunnin työ voidaan korvata yhdellä tunnilla koneella, jotta saadaan sama määrä tuotantoa.
Q(L,K) = min(; ),
Jos esimerkiksi jokaisessa kaukoliikenteen linja-autossa on oltava kaksi kuljettajaa, niin jos linja-autokannassa on 50 linja-autoa ja 90 kuljettajaa, vain 45 reittiä voidaan palvella samanaikaisesti:
min(90/2;50/1) = 45.
Sovellus
Esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta tuotantofunktioiden avulla
Ongelma 1
Jokikuljetuksia harjoittava yritys käyttää kuljetustyövoimaa (L) ja lauttoja (K). Tuotantofunktiolla on muoto 
. Pääomayksikön hinta on 20, työyksikköhinta on 20. Mikä on isokostin kaltevuus? Kuinka paljon työvoimaa ja pääomaa yrityksen tulee houkutella 100 lähetyksen suorittamiseen?
3. pääoma;
4. yrittäjäkyky;
5. tieteen ja tekniikan kehitys.
Kaikki nämä tekijät liittyvät läheisesti toisiinsa.
Tuotantofunktio on matemaattinen suhde aikayksikköä kohden tuotetun enimmäismäärän ja sen luovien tekijöiden yhdistelmän välillä, kun otetaan huomioon olemassa oleva tietämyksen ja teknologian taso. Lisäksi matemaattisen taloustieteen päätehtävä käytännön näkökulmasta on tämän riippuvuuden tunnistaminen, eli tuotantofunktion rakentaminen tietylle toimialalle tai tietylle yritykselle.
Tuotantoteoriassa he käyttävät pääasiassa kaksitekijäistä tuotantofunktiota, joka näyttää yleensä tältä:
K = f ( K , L ), missä Q on tuotantomäärä; K - pääoma; L – työvoima.
Kysymys tuotannon korvaavien kustannusten välisestä suhteesta ratkaistaan käyttämällä sellaista käsitettä kuin tuotantotekijöiden korvaamisen joustavuus.
Korvausjousto on niiden tuotantotekijöiden kustannusten suhde, jotka korvaavat toisensa vakiomäärällä tuotantoa. Tämä on eräänlainen kerroin, joka osoittaa tehokkuusasteen yhden tuotantotekijän korvaamisessa toisella.
Tuotantotekijöiden vaihdettavuuden mitta on teknisen korvaavuuden marginaaliaste MRTS, joka osoittaa kuinka monta yksikköä yhtä tekijää voidaan pienentää lisäämällä toista tekijää yhdellä pitäen tuotanto ennallaan.
Isokvantti on käyrä, joka edustaa kaikkia mahdollisia kahden kustannusten yhdistelmiä, jotka tarjoavat tietyn vakiomäärän tuotantoa.
Rahat ovat yleensä rajallisia. Monista pisteistä muodostuvaa viivaa, joka osoittaa, kuinka monta yhdistettyä tuotannontekijää tai resurssia voidaan ostaa käytettävissä olevilla varoilla, kutsutaan isokostiksi. Siten optimaalinen tekijöiden yhdistelmä tietylle yritykselle on isokosti- ja isokvanttiyhtälöiden yleinen ratkaisu. Graafisesti tämä on tangenttipiste isokostin ja isokvanttiviivojen välillä.
Tuotantofunktio voidaan kirjoittaa useilla algebrallisilla muodoilla. Tyypillisesti taloustieteilijät työskentelevät lineaarisesti homogeenisten tuotantofunktioiden kanssa.
Työssä tarkasteltiin myös konkreettisia esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta tuotantofunktioiden avulla, minkä perusteella voimme päätellä, että niillä on suuri käytännön merkitys minkä tahansa yrityksen taloudellisessa toiminnassa.
Luettelo käytetystä kirjallisuudesta
1. Dougherty K. Johdatus ekonometriaan. – M.: Talous ja tilastot, 2001.
2. Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.P. Taloustieteen matemaattiset menetelmät: Oppikirja. – M.: Kustantaja. "DIS", 1997.
3. Talousteorian kurssi: oppikirja. – Kirov: "ASA", 1999.
4. Mikrotaloustiede. Ed. Prof. Yakovleva E.B. – M.: Pietari. Haku, 2002.
5. Salmanov O. Matemaattinen taloustiede. – M.: BHV, 2003.
6. Tšurakov E.P. Matemaattiset menetelmät kokeellisen tiedon käsittelyyn taloustieteessä. – M.: Talous ja tilastot, 2004.
7. Shelobaev S.I. Matemaattiset menetelmät ja mallit taloustieteessä, rahoituksessa ja liiketaloudessa. – M.: Unity-Dana, 2000.
Suuri kaupallinen sanakirja./Toimittaja Ryabova T.F. – M.: Sota ja rauha, 1996. S. 241.
Tuotantotoiminto– tuotantomäärien riippuvuus käytettävissä olevien tuotantotekijöiden määrästä ja laadusta ilmaistuna matemaattisella mallilla. Tuotantofunktio mahdollistaa optimaalisen kustannusmäärän tunnistamisen, joka vaaditaan tietyn tavaraosan tuottamiseen. Samalla toiminto on aina tarkoitettu tietylle teknologialle - uusien kehityskulkujen integrointi edellyttää riippuvuuden tarkistamista.
Tuotantotoiminto: yleinen muoto ja ominaisuudet
Tuotantotoiminnoille on tunnusomaista seuraavat ominaisuudet:
- Tuotantomäärien lisäys yhdestä tuotantotekijästä on aina maksimi (esimerkiksi rajoitettu määrä asiantuntijoita voi työskennellä yhdessä huoneessa).
- Tuotannon tekijät voivat olla korvattavissa (henkilöresurssit korvataan roboteilla) ja toisiaan täydentäviä (työntekijät tarvitsevat työkaluja ja koneita).
Yleensä tuotantotoiminto näyttää tältä:
K = f (K, M, L, T, N),
Valmistus ei voi luoda tuotteita tyhjästä. Tuotantoprosessiin liittyy erilaisten resurssien kulutusta. Resursseihin kuuluu kaikki tuotantotoiminnassa tarvittava - raaka-aineet, energia, työvoima, laitteet ja tila. Yrityksen käyttäytymisen kuvaamiseksi on tiedettävä, kuinka paljon tuotetta se pystyy tuottamaan käyttämällä resursseja tietyissä määrin. Lähdemme siitä oletuksesta, että yritys tuottaa homogeenisen tuotteen, jonka määrä mitataan luonnollisissa yksiköissä - tonneissa, kappaleissa, metreissä jne. Yrityksen valmistaman tuotemäärän riippuvuus resurssipanosten määrästä kutsutaan tuotantotoiminto.
Aloitamme "tuotantofunktion" käsitteen tarkastelun yksinkertaisimmalla tapauksella, jolloin tuotannon määrää vain yksi tekijä. Tässä tapauksessa tuotantotoiminto - Tämä on funktio, jonka itsenäinen muuttuja ottaa käytetyn resurssin (tuotantokertoimen) arvot ja riippuvainen muuttuja tuotoksen määrän arvot y=f(x).
Tässä kaavassa y on yhden muuttujan x funktio. Tässä suhteessa tuotantofunktiota (PF) kutsutaan yksiresurssiksi tai yksitekijäiseksi. Sen määritelmäalue on ei-negatiivisten reaalilukujen joukko. Symboli f on tuotantojärjestelmän ominaisuus, joka muuntaa resurssin tuotokseksi.
Esimerkki 1. Otetaan tuotantofunktio f muodossa f(x)=ax b, missä x on käytetyn resurssin määrä (esim. työaika), f(x) on valmistettujen tuotteiden määrä (esim. jääkaapit valmiina lähetettäväksi). Arvot a ja b ovat tuotantofunktion f parametreja. Tässä a ja b ovat positiivisia lukuja ja luku b1, parametrivektori on kaksiulotteinen vektori (a,b). Tuotantofunktio y=ax b on tyypillinen edustaja laajalle yksitekijäisten PF-luokille.
Riisi. 1.
Kaavio osoittaa, että kun käytetyn resurssin määrä kasvaa, y kasvaa. Jokainen ylimääräinen resurssiyksikkö lisää kuitenkin yhä pienempää tuotannon määrää y. Mainittu seikka (volyymin y kasvu ja volyymin y kasvun pieneneminen x:n kasvaessa) heijastelee talousteorian perusasemaa (jota käytäntö vahvistaa hyvin), jota kutsutaan tehokkuuden heikkenemisen laiksi (pienenevä tuottavuus tai pienenevä tuotto). ).
PF:illä voi olla erilaisia käyttöalueita. Panos-tuotos -periaatetta voidaan toteuttaa sekä mikro- että makrotalouden tasolla. Katsotaanpa ensin mikrotaloudellista tasoa. Yllä käsiteltyä PF y=ax b :tä voidaan käyttää kuvaamaan suhdetta vuoden aikana erillisessä yrityksessä (yrityksessä) käytetyn tai käytetyn resurssin x määrän ja tämän yrityksen (yrityksen) vuosituotannon välillä. Tuotantojärjestelmän roolia täällä hoitaa erillinen yritys (yritys) - meillä on mikrotaloudellinen PF (MIPF). Mikrotalouden tasolla toimiala tai sektorienvälinen tuotantokompleksi voi toimia myös tuotantojärjestelmänä. MIPF:t rakennetaan ja niitä käytetään pääasiassa analyysi- ja suunnitteluongelmien sekä ennusteongelmien ratkaisemiseen.
PF:tä voidaan käyttää kuvaamaan suhdetta alueen tai maan vuotuisen työpanoksen ja koko alueen tai maan vuotuisen lopputuotannon (tai tulojen) välillä. Täällä alue tai maa kokonaisuudessaan on tuotantojärjestelmän roolissa - meillä on makrotaloudellinen taso ja makrotaloudellinen PF (MAPF). MAPF:t rakennetaan ja niitä käytetään aktiivisesti ratkaisemaan kaikki kolme ongelmatyyppiä (analyysi, suunnittelu ja ennustaminen).
Siirrytään nyt tarkastelemaan useiden muuttujien tuotantofunktioita.
Useiden muuttujien tuotantofunktio on funktio, jonka itsenäiset muuttujat ottavat käytettyjen tai käytettyjen resurssien määrien arvot (muuttujien lukumäärä n on yhtä suuri kuin resurssien lukumäärä), ja funktion arvolla on lähtömäärät:
y=f(x)=f(x1,…,xn).
Kaavassa y (y0) on skalaarisuure ja x on vektorisuure, x 1 ,…,x n ovat vektorin x koordinaatit, eli f(x 1 ,…,x n) on numeerinen funktio useita muuttujia x 1 ,…,x n. Tässä suhteessa PF f(x 1,...,x n) kutsutaan moniresurssiksi tai monitekijäiseksi. Seuraava symboliikka on oikeampi: f(x 1,...,x n,a), missä a on PF-parametrien vektori.
Taloudellisesti katsottuna tämän funktion kaikki muuttujat eivät ole negatiivisia, joten monitekijäisen PF:n määritelmäalue on joukko n-ulotteisia vektoreita x, joiden kaikki koordinaatit x 1,..., x n ovat ei-negatiivisia. numeroita.
Kahden muuttujan funktion kuvaajaa ei voida kuvata tasossa. Useiden muuttujien tuotantofunktio voidaan esittää kolmiulotteisessa suorakulmaisessa avaruudessa, joista kaksi koordinaattia (x1 ja x2) on piirretty vaaka-akseleille ja vastaavat resurssikustannuksia ja kolmas (q) on piirretty pystyakselille ja vastaa tuotteen tuotantoa (kuva 2). Tuotantofunktion kuvaaja on "mäen" pinta, joka kasvaa jokaisella koordinaatilla x1 ja x2.
Yksittäiselle yritykselle (yritykselle), joka tuottaa homogeenista tuotetta, PF f(x 1 ,..., x n) voi yhdistää tuotannon määrän erilaisten työtehtävien, erityyppisten raaka-aineiden, työajan kustannuksiin, komponentit, energia ja kiinteä pääoma. Tämän tyyppiset PF:t luonnehtivat yrityksen (yrityksen) nykyistä teknologiaa.
Kun PF muodostetaan koko alueelle tai maalle, alueen tai maan kokonaistuote (tulo), joka lasketaan yleensä kiintein hinnoin eikä käypiin hintoihin, otetaan usein kiinteän pääoman vuosituotannon arvoksi (x 1 (= K) pidetään resursseina - vuoden aikana käytetyn kiinteän pääoman määränä) ja elävänä työnä (x 2 (=L) - vuoden aikana käytettyjen elävien työvoimayksiköiden lukumäärä), yleensä arvona laskettuna. Siten muodostetaan kaksitekijäinen PF Y=f(K,L). Kaksitekijäisistä PF:istä ne siirtyvät kolmikerroksisiin. Lisäksi jos PF on muodostettu aikasarjatietojen avulla, voidaan teknisen kehityksen mukaan ottaa tuotannon kasvun erityistekijänä.
PF y=f(x 1 ,x 2) kutsutaan staattinen, jos sen parametrit ja sen ominaisuus f eivät riipu ajasta t, vaikka resurssien määrä ja tuotoksen määrä voivat riippua ajasta t, eli ne voidaan esittää aikasarjoina: x 1 (0) , x 1 (1),…, x 1 (T); x 2 (0), x 2 (1),…, x 2 (T); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x1(t), x2(t)). Tässä t on vuosiluku, t=0,1,…,T; t= 0 - ajanjakson perusvuosi, joka kattaa vuodet 1,2,…,T.
Esimerkki 2. Erillisen alueen tai maan mallintamiseen kokonaisuutena (eli makrotalouden ja mikrotalouden ongelmien ratkaisemiseksi) käytetään usein muotoa y= olevaa PF:ää, jossa 0, 1 ja 2 ovat PF-parametrit. Nämä ovat positiivisia vakioita (usein a 1 ja a 2 ovat sellaisia, että a 1 + a 2 = 1). Juuri esitetyn tyyppistä PF:ää kutsutaan Cobb-Douglas PF:ksi (Cobb-Douglas PF) niiden kahden amerikkalaisen taloustieteilijän mukaan, jotka ehdottivat sen käyttöä vuonna 1929.
PFKD:tä käytetään aktiivisesti useiden teoreettisten ja sovellettavien ongelmien ratkaisemiseen sen rakenteellisen yksinkertaisuuden vuoksi. PFKD kuuluu niin kutsuttujen multiplikatiivisten PF:iden (MPF) luokkaan. Sovelluksissa PFCD x 1 =K on yhtä suuri kuin käytetyn kiinteän pääoman määrä (käytetty kiinteän omaisuuden määrä - kotimaisessa terminologiassa), - elinvoiman kustannukset, jolloin PFCD saa kirjallisuudessa usein käytetyn muodon:
Esimerkki 3. Lineaarisella PF:llä (LPF) on muoto: (kaksitekijä) ja (monitekijä). LPF kuuluu ns. additive PF (APF) -luokkaan. Siirtyminen multiplikatiivisesta PF:stä additiiviseen suoritetaan logaritmioperaatiolla. Kaksikerroisen kertovan PF:n tapauksessa
tämä siirtymä näyttää tältä: . Ottamalla käyttöön sopiva substituutio saadaan lisäaine PF.
Tietyn tuotteen valmistamiseksi tarvitaan useiden tekijöiden yhdistelmä. Tästä huolimatta eri tuotantotoiminnoilla on useita yhteisiä ominaisuuksia.
Varmuuden vuoksi rajoitamme kahden muuttujan tuotantofunktioihin. Ensinnäkin on huomattava, että tällainen tuotantofunktio määritellään kaksiulotteisen tason ei-negatiivisessa ortantissa, toisin sanoen at. PF täyttää seuraavat ominaisuudet:
- 1) ilman resursseja ei ole julkaisua, ts. f(0,0,a)=0;
- 2) jos vähintään yksi resursseista puuttuu, ei ole vapautusta, ts. ;
- 3) vähintään yhden resurssin kustannusten noustessa tuotannon volyymi kasvaa;
4) yhden resurssin kustannusten noustessa toisen resurssin määrän pysyessä ennallaan tuotannon volyymi kasvaa, ts. jos x>0, niin;
5) yhden resurssin kustannusten noustessa toisen resurssin määrän pysyessä ennallaan, tuotannon kasvun määrä i:nnen resurssin jokaista lisäyksikköä kohden ei kasva (pienenevän tuoton laki), ts. jos sitten;
- 6) yhden resurssin kasvaessa toisen resurssin rajatehokkuus kasvaa, ts. jos x>0, niin;
- 7) PF on homogeeninen funktio, ts. ; kun p>1 meillä on tuotannon tehokkuuden kasvu tuotannon mittakaavan kasvusta; osoitteessa p
Tuotantofunktioiden avulla voimme kvantitatiivisesti analysoida tuotannonalan tärkeimpiä taloudellisia riippuvuuksia. Niiden avulla voidaan arvioida eri tuotantoresurssien keskimääräistä ja marginaalista tehokkuutta, tuotannon joustavuutta eri resursseille, resurssien korvaamisen marginaaliasteita, tuotannon mittakaavaetuja ja paljon muuta.
Tehtävä 1. Oletetaan tuotantofunktio, joka yhdistää yrityksen tuotannon määrän työntekijöiden, tuotantovarojen ja käytettyjen konetuntien määrään
On tarpeen määrittää enimmäisteho rajoituksin
Ratkaisu. Ongelman ratkaisemiseksi muodostamme Lagrange-funktion
erottelemme sen muuttujien suhteen ja rinnastamme tuloksena olevat lausekkeet nollaan:
Ensimmäisestä ja kolmannesta yhtälöstä seuraa, että siis
josta saamme ratkaisun, jossa y = 2. Koska esimerkiksi piste (0,2,0) kuuluu voimassa oleva alue ja siinä y=0, niin päätellään, että piste (1,1,1) on globaalin maksimin piste. Tuloksena olevan ratkaisun taloudelliset päätelmät ovat ilmeisiä.
On myös huomattava, että tuotantofunktio kuvaa monia teknisesti tehokkaita tuotantomenetelmiä (tekniikoita). Jokaiselle tekniikalle on ominaista tietty resurssien yhdistelmä, joka tarvitaan tuotosyksikön saavuttamiseksi. Vaikka tuotantotoiminnot ovat erilaisia eri tyyppejä tuotannossa, niillä kaikilla on yhteisiä ominaisuuksia:
- 1. Tuotantovolyymin kasvulla on rajansa, joka voidaan saavuttaa nostamalla yhden resurssin kustannuksia, kun kaikki muut asiat ovat samat. Tämä tarkoittaa, että yrityksessä, jolla on tietty määrä koneita ja tuotantotiloja, on raja tuotannon lisäämiselle houkuttelemalla lisää työntekijöitä. Tuotannon kasvu työllisten määrän lisääntyessä lähestyy nollaa.
- 2. Tuotantotekijät täydentävät tiettyä toisiaan, mutta ilman tuotantomäärien vähenemistä näiden tekijöiden välinen tietty suhde on mahdollinen. Esimerkiksi työntekijöiden työ on tehokasta, jos heillä on kaikki tarvittavat työkalut. Tällaisten työkalujen puuttuessa volyymia voidaan vähentää tai lisätä henkilöstömäärää lisäämällä. Tässä tapauksessa yksi resurssi korvataan toisella.
- 3. Tuotantomenetelmä A pidetään teknisesti tehokkaampana menetelmään verrattuna B, jos siinä käytetään vähintään yhtä resurssia vähemmän määriä ja kaikkia muita - ei enempää määriä kuin menetelmä B. Järkevät tuottajat eivät käytä teknisesti tehottomia menetelmiä.
- 4. Jos menetelmä A tarkoittaa joidenkin resurssien käyttöä suurempia määriä ja toisten pienempiä määriä kuin menetelmä B, nämä menetelmät ovat vertaansa vailla teknisen tehokkuuden kannalta. Tässä tapauksessa molempia menetelmiä pidetään teknisesti tehokkaina ja ne sisältyvät tuotantotoimintoon. Kumpi valitaan, riippuu käytettyjen resurssien hintasuhteesta. Tämä valinta perustuu kustannustehokkuuskriteereihin. Siksi tekninen tehokkuus ei ole sama asia kuin taloudellinen tehokkuus.
Tekninen tehokkuus on suurin mahdollinen tuotto käytettävissä olevilla resursseilla. Taloudellinen tehokkuus- on tietyn tuotemäärän tuotanto pienin kustannuksin. Tuotantoteoriassa käytetään perinteisesti kaksitekijäistä tuotantofunktiota, jossa tuotannon määrä on työvoiman ja pääomaresurssien käytön funktio:
Graafisesti jokainen tuotantomenetelmä (teknologia) voidaan esittää pisteellä, joka luonnehtii kahden tekijän vähimmäismäärää, jotka tarvitaan tietyn tuotantomäärän tuottamiseen (kuva 3).
Kuvassa näkyy eri tavoilla tuotanto (teknologia): T 1, T 2, T 3, jolle on tunnusomaista erilaiset työvoiman ja pääoman käytön suhteet: T 1 = L 1 K 1; T2 = L2K2; T3 = L3K3. palkin kaltevuus osoittaa erilaisten resurssien käytön laajuuden. Mitä suurempi säteen kulma, sitä korkeammat pääomakustannukset ja sitä pienemmät työvoimakustannukset. Teknologia T 1 on pääomavaltaisempaa kuin teknologia T 2.
Riisi. 3.
Jos yhdistät eri tekniikoita linjaan, saat kuvan tuotantofunktiosta (saman tuoton rivi), jota kutsutaan isokvantit. Kuvasta näkyy, että tuotantomäärä Q voidaan saavuttaa erilaisilla tuotantotekijöiden yhdistelmillä (T 1, T 2, T 3 jne.). Isokvantin yläosa heijastaa pääomavaltaisia teknologioita, alaosa - työvoimavaltaisia teknologioita.
Isokvanttikartta on joukko isokvantteja, jotka kuvastavat minkä tahansa tuotannontekijäjoukon suurinta saavutettavissa olevaa tuottotasoa. Mitä kauempana isokvantti sijaitsee origosta, sitä suurempi on ulostulon tilavuus. Isokvantit voivat kulkea minkä tahansa pisteen läpi avaruudessa, jossa sijaitsee kaksi tuotantotekijää. Isokvanttikartan merkitys on samanlainen kuin välinpitämättömyyskäyräkartan merkitys kuluttajille.
Kuva 4.
Isokvanteilla on seuraavat ominaisuudet ominaisuuksia:
- 1. Isokvantit eivät leikkaa toisiaan.
- 2. Mitä suurempi isokvantin etäisyys koordinaattien origosta on, sitä suurempi tulos on.
- 3. Isokvantit ovat laskevia käyriä, joilla on negatiivinen kulmakerroin.
Isokvantit ovat samanlaisia kuin välinpitämättömyyskäyrät sillä ainoalla erolla, että ne heijastavat tilannetta ei kulutuksen, vaan tuotannon alueella.
Isokvanttien negatiivinen kaltevuus selittyy sillä, että yhden tekijän käytön lisääntyminen tietylle tuotetuotannon määrälle seuraa aina toisen tekijän määrän vähenemistä.
Tarkastellaan mahdollisia isokvanttikarttoja
Kuvassa Kuva 5 esittää joitain isokvanttikarttoja, jotka kuvaavat erilaisia tilanteita, joka johtuu kahden resurssin tuotannon kulutuksesta. Riisi. Kuvio 5a vastaa resurssien absoluuttista keskinäistä korvaamista. Kuvassa esitetyssä tapauksessa Kuviossa 5b ensimmäinen resurssi voidaan korvata kokonaan toisella: x2-akselilla sijaitsevat isokvanttipisteet osoittavat toisen resurssin määrän, jonka avulla voidaan saada tietty tuotetuote ilman ensimmäistä resurssia. Ensimmäisen resurssin avulla voit vähentää toisen kustannuksia, mutta on mahdotonta korvata toista resurssia kokonaan ensimmäisellä. Riisi. Kuva 5,c kuvaa tilannetta, jossa molemmat resurssit ovat välttämättömiä ja kumpaakaan ei voida täysin korvata toisella. Lopuksi kuvassa esitetty tapaus. 5d:lle on ominaista resurssien ehdoton täydentävyys.
Riisi. 5. Esimerkkejä isokvanttikartoista
Tuotantofunktion selittämiseksi otetaan käyttöön kustannusten käsite.
Yleisimmässä muodossaan kustannukset voidaan määritellä kustannusten kokonaisuudeksi, jotka valmistajalle aiheutuu valmistaessaan tietyn määrän tuotteita.
Niille on olemassa luokitus sen mukaan, minkä ajanjaksojen aikana yritys hyväksyy tämän tai sen tuotantoratkaisu. Tuotannon määrän muuttamiseksi yrityksen on mukautettava kustannustensa määrää ja koostumusta. Jotkut kustannukset voidaan muuttaa melko nopeasti, kun taas toiset vaativat jonkin aikaa.
Lyhytaikainen ajanjakso on aikaväli, joka ei ole riittävä yrityksen uudenaikaistamiseen tai uuden tuotantokapasiteetin käyttöönottoon. Tänä aikana yritys voi kuitenkin kasvattaa tuotannon määrää lisäämällä olemassa olevien tuotantolaitosten käytön intensiteettiä (esimerkiksi palkata lisää työntekijöitä, ostaa lisää raaka-aineita, nostaa laitteiden huollon vuorosuhdetta jne.). Tästä seuraa, että lyhyellä aikavälillä kustannukset voivat olla joko kiinteitä tai muuttuvia.
Kiinteät kustannukset (TFC) ovat kustannusten summa, joihin tuotantovolyymin muutokset eivät vaikuta. Kiinteät kustannukset liittyvät yrityksen olemassaoloon, ja ne on maksettava, vaikka yritys ei tuota mitään. Niihin sisältyvät rakennusten ja laitteiden poistot; kiinteistövero; vakuutusmaksut; korjaus- ja käyttökustannukset; joukkovelkakirjojen maksut; ylimmän johdon palkat jne.
Muuttuvat kustannukset (TVC) ovat resurssien kustannuksia, joita käytetään suoraan tietyn määrän tuottamiseen. Muuttuvien kustannusten osia ovat raaka-aine-, polttoaine- ja energiakustannukset; maksu kuljetuspalveluista; maksu suurimmaksi osaksi työvoimaresurssit (palkat). Toisin kuin vakiot, muuttuvat kustannukset riippuvat tuotannon määrästä. On kuitenkin huomattava, että muuttuvien kustannusten määrän kasvu, joka liittyy tuotantovolyymin lisäykseen 1 yksiköllä, ei ole vakio.
Tuotannon lisäämisprosessin alussa muuttuvat kustannukset nousevat jonkin aikaa hitaammin; ja tämä jatkuu, kunnes tietty tuotantomäärä on saavutettu. Sitten muuttuvat kustannukset alkavat nousta kiihtyvällä tahdilla jokaista seuraavaa tuotantoyksikköä kohti. Tämä muuttuvien kustannusten käyttäytyminen määräytyy pienenevän tuoton lain mukaan. Rajatuotteen kasvu ajan mittaan aiheuttaa pienemmän ja pienemmän lisäyksen muuttuviin panoksiin kunkin lisätuotosyksikön tuottamiseksi.
Ja koska kaikki muuttuvien resurssien yksiköt ostetaan samalla hinnalla, tämä tarkoittaa, että muuttuvien kustannusten summa kasvaa hitaammin. Mutta kun rajatuottavuus alkaa laskea pienenevän tuoton lain mukaan, jokaisen peräkkäisen tuottoyksikön tuottamiseen on käytettävä enemmän ja enemmän muuttuvia lisäpanoksia. Muuttuvien kustannusten määrä siis kasvaa kiihtyvällä vauhdilla
Tietyn tuotemäärän tuotantoon liittyvien kiinteiden ja muuttuvien kustannusten summaa kutsutaan kokonaiskustannuksiksi (TC). Siten saamme seuraavan yhtäläisyyden:
TS - TFC + TVC.
Yhteenvetona voidaan todeta, että tuotantofunktioita voidaan käyttää tuotannon taloudellisen vaikutuksen ekstrapoloimiseen tiettyyn tulevaan ajanjaksoon. Perinteisten ekonometristen mallien tapaan talousennuste alkaa tuotantotekijöiden ennustearvojen arvioinnista. Tässä tapauksessa voit käyttää kussakin yksittäistapauksessa sopivinta talousennustemenetelmää.
Nyky-yhteiskunnassa kukaan ei voi kuluttaa vain sitä, mitä hän itse tuottaa. Jokainen yksilö toimii markkinoilla kahdessa roolissa: kuluttajana ja tuottajana. Ilman pysyvää tavaroiden tuotanto ei olisi kulutusta. Tunnettuun kysymykseen "Mitä tuottaa?" Markkinoilla olevat kuluttajat vastaavat "äänestämällä" lompakon sisällöllä niitä tavaroita, joita he todella tarvitsevat. Kysymykseen "Kuinka tuottaa?" Niiden yritysten, jotka tuottavat tavaroita markkinoille, on vastattava.
Taloudessa on kahdenlaisia tavaroita: kulutustavarat ja tuotantotekijät (resurssit) - nämä ovat tavaroita, joita tarvitaan tuotantoprosessin järjestämiseen
Uusklassinen teoria sisälsi perinteisesti pääoman, maan ja työn tuotannontekijöiksi.
70-luvulla XIX vuosisadalla Alfred Marshall tunnisti neljännen tuotantotekijän - organisaation. Lisäksi Joseph Schumpeter kutsui tätä tekijää yrittäjyydeksi.
Siten, tuotanto on prosessi, jossa yhdistetään tekijöitä, kuten pääomaa, työvoimaa, maata ja yrittäjyyttä, jotta saadaan uusia kuluttajien tarvitsemia tavaroita ja palveluita.
Tuotantoprosessin järjestämiseksi tarvittavia tuotantotekijöitä on oltava läsnä tietty määrä.
Valmistetun tuotteen enimmäismäärän riippuvuutta käytettyjen tekijöiden kustannuksista kutsutaan tuotantofunktioksi:
missä Q on tuotteen enimmäismäärä, joka voidaan tuottaa tietyllä tekniikalla ja tietyillä tuotantotekijöillä; K - pääomakustannukset; L - työvoimakustannukset; M - raaka-aineiden kustannukset.
Laajempaan analyysiin ja ennustamiseen käytetään tuotantofunktiota nimeltä Cobb-Douglas-funktio:
Q = k K L M,
missä Q on tuotteen enimmäismäärä tietyillä tuotantotekijöillä; K, L, M - vastaavasti pääoma-, työ- ja materiaalikustannukset; k - suhteellisuuskerroin tai asteikko; , , , - pääoman, työn ja materiaalien tuotantovolyymin joustoindikaattorit tai kasvukertoimet Q vastaavan tekijän 1 prosentin lisäystä kohti:
+ + = 1
Huolimatta siitä, että tietyn tuotteen valmistamiseksi tarvitaan eri tekijöiden yhdistelmä, tuotantotoiminnolla on useita yleisiä ominaisuuksia:
Tuotantotekijät täydentävät toisiaan. Tämä tarkoittaa, että tämä tuotantoprosessi on mahdollista vain tietyillä tekijöillä. Jommankumman näistä tekijöistä puuttuminen tekee suunnitellun tuotteen valmistamisen mahdottomaksi.
tekijöillä on tietty vaihdettavuus. Tuotantoprosessin aikana yksi tekijä voidaan korvata tietyssä suhteessa toisella. Vaihdettavuus ei tarkoita mahdollisuutta poistaa kokonaan tuotantoprosessista jokin tekijä.
On tapana harkita kahdentyyppisiä tuotantofunktioita: yhdellä muuttuvalla tekijällä ja kahdella muuttuvalla tekijällä.
a) tuotanto yhdellä muuttuvalla tekijällä;
Oletetaan, että yleisimmässä muodossaan yhden muuttuvan tekijän tuotantofunktiolla on muoto:
missä y on vakio, x on muuttujan tekijän arvo.
Muuttuvan tekijän vaikutuksen heijastamiseksi tuotantoon otetaan käyttöön käsitteet aggregaatti (kokonais), keskimääräinen tuote ja rajatuote.
Tuote yhteensä (TP) - se on taloudellisen hyödykkeen määrä, joka on tuotettu käyttämällä jotakin muuttuvan tekijän määrää. Tämä tuotettu kokonaismäärä muuttuu muuttuvan tekijän käytön lisääntyessä.
Keskimääräinen tuote (AP) (keskimääräinen resurssien tuottavuus)- on kokonaistuotteen suhde tuotannossa käytetyn muuttuvan tekijän määrään:
Marginaalituote (MP) (resurssin marginaalinen tuottavuus) yleensä määritellään kokonaistuotteen kasvuksi, joka johtuu käytetyn muuttuvan tekijän määrän äärettömän pienestä lisäyksestä:
Kaavio näyttää MP:n, AP:n ja TP:n suhteen.
Kokonaistuote (Q) kasvaa, kun muuttuvaa tekijää (x) käytetään tuotannossa, mutta tällä kasvulla on tietyt rajat tietyn teknologian puitteissa. Tuotannon ensimmäisessä vaiheessa (OA) työvoimakustannusten nousu edistää pääoman entistä täydellisempää käyttöä: työn raja- ja kokonaistuottavuus kasvaa. Tämä ilmaistaan marginaali- ja keskimääräisen tuotteen kasvuna, kun MP > AP. Pisteessä A rajatuote saavuttaa maksiminsa Toisessa vaiheessa (AB) rajatuotteen arvo pienenee ja kohdassa B se on yhtä suuri kuin keskimääräinen tuote (MP = AP). Jos ensimmäisessä vaiheessa (0A) kokonaistuote kasvaa hitaammin kuin muuttuvan tekijän käytetty määrä, niin toisessa vaiheessa (AB) kokonaistuote kasvaa nopeammin kuin muuttuvan tekijän käytetty määrä (kuva 5-1a). ). Kolmannessa tuotantovaiheessa (BV) MP< АР, в результате чего совокупный продукт растет медленнее затрат переменного фактора и, наконец, наступает четвертая стадия (после точки В), когда MP < 0. В результате прирост переменного фактора х приводит к уменьшению выпуска совокупной продукции. В этом и заключается закон убывающей предельной производительности. Hän väittää, että minkä tahansa tuotantotekijän käytön lisääntyessä (joiden loput pysyvät ennallaan) saavutetaan ennemmin tai myöhemmin piste, jossa muuttuvan tekijän lisäkäyttö johtaa tuotannon suhteellisten ja sitten absoluuttisten volyymien pienenemiseen. .
b) tuotanto kahdella muuttuvalla tekijällä.
Oletetaan, että yleisimmässä muodossaan tuotantofunktio, jossa on kaksi muuttujatekijää, on muotoa:
missä x ja y ovat muuttujan kertoimen arvot.
Yleensä otetaan huomioon kaksi samanaikaisesti toisiaan täydentävää ja vaihdettavaa tekijää: työ ja pääoma.
Tämä toiminto voidaan esittää graafisesti käyttämällä isokvantit :
Isokvantti tai yhtäläinen tuotekäyrä heijastaa kaikkia mahdollisia kahden tekijän yhdistelmiä, joita voidaan käyttää tietyn tuotemäärän tuottamiseen.
Käytettyjen muuttuvien tekijöiden määrän kasvaessa syntyy mahdollisuus valmistaa suurempi määrä tuotteita. Suuremman tuotemäärän tuotantoa kuvaava isokvantti sijoittuu edellisen isokvantin oikealle puolelle ja yläpuolelle.
Käytettyjen tekijöiden x ja y määrä voi muuttua jatkuvasti, ja tuotteen maksimituotanto pienenee tai kasvaa vastaavasti. Siksi voi olla joukko isokvantteja, jotka vastaavat eri tuotantomääriä, jotka muodostavat isokvantti kartta.
Isokvantit ovat samanlaisia kuin välinpitämättömyyskäyrät sillä ainoalla erolla, että ne heijastavat tilannetta ei kulutuksen, vaan tuotannon alueella. Eli isokvanteilla on samanlaisia ominaisuuksia kuin välinpitämättömyyskäyrät.
Isokvanttien negatiivinen kaltevuus selittyy sillä, että yhden tekijän käytön lisääntyminen tietylle tuotetuotannon määrälle seuraa aina toisen tekijän määrän vähenemistä.
Aivan kuten eri etäisyyksillä alkuperästä sijaitsevat välinpitämättömyyskäyrät luonnehtivat eri hyödyllisyystasoja kuluttajalle, niin isokvantit antavat tietoa eri tasoilla tuotteen tuotanto.
Tekijän korvattavuuden ongelma toisella voidaan ratkaista laskemalla teknologisen korvaavuuden marginaaliaste (MRTS xy tai MRTS LK).
Teknologisen korvaamisen raja-aste mitataan tekijän y muutoksen suhteella tekijän x muutokseen. Koska tekijöiden korvaaminen tapahtuu päinvastaisessa suhteessa, MRTS x,y -indikaattorin matemaattinen lauseke otetaan miinusmerkillä:
MRTS x,y = 
tai MRTS LK = 
Jos otamme minkä tahansa isokvantin pisteen, esimerkiksi pisteen A, ja piirretään siihen tangentti KM, kulman tangentti antaa meille arvon MRTS x,y:
Voidaan huomata, että isokvantin yläosassa kulma on melko suuri, mikä osoittaa, että tekijän x muuttaminen yhdellä edellyttää merkittäviä muutoksia tekijässä y. Siksi tässä käyrän osassa MRTS x,y -arvo on suuri.
Kun siirryt alaspäin isokvanttia, teknologisen substituution marginaalinopeuden arvo pienenee vähitellen. Tämä tarkoittaa, että tekijän x lisääminen yhdellä vaatisi tekijän y pienen pienenemisen.
Todellisissa tuotantoprosesseissa isokvanttikonfiguraatiossa on kaksi poikkeustapausta:
Tämä on tilanne, jossa kaksi muuttuvaa tekijää ovat ihanteellisesti vaihtokelpoisia. Tuotantotekijöiden täydellisellä korvaavuudella MRTS x,y = const. Samanlainen tilanne voidaan kuvitella mahdollisella tuotannon täydellisellä automatisoinnilla. Silloin kohdassa A koko tuotantoprosessi koostuu pääomakustannuksista. Kohdassa B kaikki koneet korvataan työntekijöillä, ja kohdissa C ja D pääoma ja työ täydentävät toisiaan.
Tilanteessa, jossa tekijät ovat tiukasti komplementaarisia, teknologisen korvaavuuden marginaaliaste on 0 (MRTS x,y = 0). Jos otamme nykyaikaisen taksilaivaston vakiomäärällä autoja (y 1), jotka vaativat tietyn määrän kuljettajia (x 1), voidaan sanoa, että päivän aikana palveltujen matkustajien määrä ei kasva, jos lisäämme ohjaimien lukumäärä x 2 , x 3 , ... x n .
Tuotetun tuotteen määrä kasvaa Q1:stä Q2:een vain, jos taksikaluston käytössä olevien autojen määrä ja kuljettajien määrä lisääntyvät.
Jokaisella valmistajalla, ostaessaan tekijöitä tuotannon järjestämiseen, on tiettyjä rajoituksia varoilla.
Oletetaan, että muuttuvat tekijät ovat työ (tekijä x) ja pääoma (tekijä y). Niillä on tietyt hinnat, jotka pysyvät vakiona analyysijakson ajan (P x, P y - const).
Valmistaja voi ostaa tarvittavat tekijät tietyssä yhdistelmässä, joka ei ylitä sen budjettikapasiteettia. Tällöin hänen kustannukset tekijän x hankkimisesta ovat P x· x, tekijä y, vastaavasti - P y · y. Kokonaiskustannukset (C) ovat: 
.
C = P x X + P y Y tai
Työlle ja pääomalle: 
tai Kustannusfunktion (C) graafinen esitys kutsutaan isocost (suorat yhtäläiset kustannukset, eli nämä ovat kaikki resurssien yhdistelmiä, joiden käyttö johtaa samoihin tuotantokustannuksiin).
Tämä suora on rakennettu kahdesta pisteestä samalla tavalla kuin budjettiviiva (kuluttajatasapainossa). 
Tämän viivan kaltevuus määräytyy:
Muuttuvien tekijöiden ostoon tarkoitettujen varojen lisääntyessä, toisin sanoen budjettirajoitusten pienentyessä, isocost-viiva siirtyy oikealle ja ylöspäin:
C 1 = P x · X 1 + P y · Y 1 .
Graafisesti isokostot näyttävät samalta kuin kuluttajan budjettirivi. Kiintein hinnoin isokostot ovat suoria yhdensuuntaisia viivoja, joiden kulmakerroin on negatiivinen. Mitä suuremmat valmistajan budjettimahdollisuudet ovat, sitä kauempana isocost on alkuperästä.
Isocost-graafi, jos tekijän x hinta laskee, siirtyy x-akselia pitkin pisteestä x 1 pisteestä x 2 sen mukaan, miten tämän tekijän käyttö lisääntyy tuotantoprosessissa (kuva a).
Ottaen huomioon tuotantokyvyt (isokvantit) ja tuottajan budjettirajoitukset (isokostot), tasapaino voidaan määrittää. Voit tehdä tämän yhdistämällä isokvanttikartan isokostiin. Isokvantti, jonka suhteen isokosti ottaa tangentin aseman, määrittää suurimman tuotantomäärän, kun otetaan huomioon annetut budjettimahdollisuudet. Piste, jossa isokvantti koskettaa isokostia, on valmistajan rationaalisimman käyttäytymisen piste.
Analysoidessamme isokvanttia havaitsimme, että sen kaltevuus missä tahansa pisteessä määräytyy tangentin kulman tai teknologisen korvausnopeuden mukaan:
MRTS x,y = 
Isocost pisteessä E osuu tangentin kanssa. Isokostin kaltevuus, kuten määritimme aiemmin, on yhtä suuri kuin kaltevuus 
. Tämän perusteella on mahdollista määrittää kuluttajan tasapainopiste tuotantotekijöiden hintojen ja näiden tekijöiden muutosten välisten suhteiden tasa-arvona.
Työlle ja pääomalle: 
Tuomalla tämä yhtäläisyys muuttuvan tuotantotekijän marginaalituotteen indikaattoreihin, tässä tapauksessa nämä ovat MP x ja MP y, saadaan:
Työlle ja pääomalle: 
Tämä on tuottajan tasapaino tai vähiten kustannusten sääntö..
Työn ja pääoman osalta tuottajatasapaino näyttää tältä:
Oletetaan, että resurssien hinnat pysyvät vakiona samalla kun tuottajan budjetti kasvaa jatkuvasti. Yhdistämällä isokvanttien leikkauspisteet isokosteihin, saamme käyttöjärjestelmän linjan - "kehityspolun" (samanlainen kuin kuluttajakäyttäytymisen teorian elintasoviiva). Tämä rivi näyttää tekijöiden välisen suhteen kasvuvauhdin tuotannon laajentamisprosessissa. Kuvassa esimerkiksi työvoimaa käytetään enemmän kuin pääomaa tuotannon kehittämisen aikana. "Kehityspolun" käyrän muoto riippuu ensinnäkin isokvanttien muodosta ja toiseksi resurssien hinnoista (joiden välinen suhde määrää isokostien kaltevuuden). Kehityspolun viiva voi olla suora tai käyrä, joka alkaa origosta.
Jos isokvanttien väliset etäisyydet pienenevät, tämä osoittaa, että mittakaavaetut lisääntyvät, eli tuotannon kasvu saavutetaan suhteellisella resurssisäästöllä. Ja yrityksen on lisättävä tuotantomäärää, koska tämä johtaa suhteellisiin säästöihin käytettävissä olevista resursseista.
Jos isokvanttien väliset etäisyydet kasvavat, tämä osoittaa mittakaavaetujen pienenemistä. Vähenevät mittakaavaedut viittaavat siihen, että yrityksen pienin tehokas koko on jo saavutettu ja tuotannon lisääminen ei ole tarkoituksenmukaista.
Kun tuotannon lisääminen edellyttää resurssien suhteellista lisäämistä, puhutaan jatkuvista mittakaavaeduista.
Siten tuotoksen analysointi isokvanteilla mahdollistaa tuotannon teknisen tehokkuuden määrittämisen. Isokvanttien ja isokostin leikkaus mahdollistaa paitsi teknologisen, myös taloudellisen tehokkuuden määrittämisen, eli valita tekniikan (työvoimaa tai pääomaa säästävä, energiaa tai materiaalia säästävä jne.), joka mahdollistaa maksimaalisen tuoton valmistajan käytettävissä olevat varat tuotannon järjestämiseen.
Tuotantotoiminnot kutsutaan talousmatemaattisiksi malleiksi, jotka yhdistävät muuttuvat tuloarvot lähtöarvoihin. Käsitteet "panos" ja "tuotos" liittyvät pääsääntöisesti tuotantoprosessiin; tämä selittää tämän tyyppisen mallin nimen alkuperän. Jos tarkastellaan alueen tai maan taloutta kokonaisuutena, kehitetään aggregoituja tuotantotoimintoja, joissa tuotanto on yhteiskunnallisen kokonaistuotteen indikaattori. Tuotantotoimintojen erikoistapaukset ovat vapautustoiminnot (tuotantovolyymin riippuvuus resurssien saatavuudesta tai kulutuksesta), kustannustoiminnot (tuotantomäärän ja tuotantokustannusten välinen suhde), pääomakustannusfunktiot (pääomainvestointien riippuvuus syntyvien yritysten tuotantokapasiteetista) jne.
Tuotantofunktioiden esitysmuodot ovat laajalti käytössä. Yleisimmässä muodossaan kertova tuotantofunktio kirjoitetaan seuraavasti:
Tässä kerroin A määrittää suureiden ulottuvuuden ja riippuu valituista tulon ja lähdön mittayksiköistä. tekijät X edustan vaikuttavia tekijöitä ja sillä voi olla erilainen taloudellinen sisältö riippuen siitä, mitkä tekijät vaikuttavat tuotannon määrään R. Tehoparametrit α, β, ..., γ osoittavat kunkin tekijätekijän osuuden lopputuotteen kasvusta; niitä kutsutaan tuotannon joustokertoimet suhteessa kustannuksiin vastaavasta resurssista ja näytä kuinka paljon tuotanto kasvaa, kun tämän resurssin kustannukset nousevat yhdellä prosentilla.
Elastisuuskertoimien summalla on tärkeä luonnehtia tuotantofunktion ominaisuuksia. Oletetaan, että kaikentyyppisten resurssien kustannukset kasvavat k kerran. Tällöin (7.16) mukainen lähtöarvo on
Siksi, jos , niin kustannusten nousun myötä Vastaanottaja kertaa tuotanto kasvaa myös k kerran; tuotantofunktio on tässä tapauksessa lineaarisesti homogeeninen. klo E > 1 sama kustannusten nousu johtaa tuotannon kasvuun yli Vastaanottaja kertaa ja klo E < 1 – менее чем в Vastaanottaja kertaa (ns. mittakaavan vaikutus).
Esimerkki multiplikatiivisista tuotantofunktioista on hyvin tunnettu Cobb–Douglasin tuotantofunktio:
N – kansantulo;
A – mittakerroin;
L, K - käytetyn työvoiman ja kiinteän pääoman määrät;
α ja β – kansantulon ja työn joustokertoimet L ja pääoma TO.
Tätä toimintoa käyttivät amerikkalaiset tutkijat analysoidessaan Yhdysvaltain talouden kehitystä viime vuosisadan 30-luvulla.
Resurssien käytön tehokkuutta luonnehtii kaksi pääindikaattoria: keskimäärin (ehdoton ) tehokkuutta resurssi
Ja äärimmäistä tehokkuutta resurssi
Arvon μi taloudellinen merkitys on ilmeinen; resurssin tyypistä riippuen se luonnehtii sellaisia indikaattoreita kuin työn tuottavuus, pääoman tuottavuus jne. Arvo v i osoittaa tuotetuotannon marginaalisen kasvun, kun i:nnen resurssin hinta nousee "pienellä yksiköllä" (1 rupla, 1 standarditunti jne.).
Monta pistettä n -tuotantotekijöiden (resurssien) ulottuvuusavaruus, joka täyttää jatkuvan tuotannon ehdon R (X ) = C, soitti isokvantti. Isokvanttien tärkeimmät ominaisuudet ovat seuraavat: isokvantit eivät leikkaa toisiaan; suurempi lähtö vastaa isokvanttia, joka on kauempana origosta; jos kaikki resurssit ovat ehdottoman välttämättömiä tuotantoon, niin isokvanteilla ei ole yhteisiä pisteitä koordinaattien hypertasoilla ja koordinaattiakseleilla.
Materiaalituotannossa suuri arvo hankkii konseptin resurssien vaihdettavuus. Tuotantofunktioiden teoriassa resurssien korvausmahdollisuudet luonnehtivat tuotantofunktiota erilaisten resurssipanosten yhdistelmien perusteella, jotka johtavat samaan tuotetuotostasoon. Selvitetään tämä hypoteettisella esimerkillä. Tietyn maataloustuotteiden määrän tuotanto vaatii 10 työntekijää ja 2 tonnia lannoitteita, ja jos vain 1 tonni lannoitteita lisätään maahan, tarvitaan 12 työntekijää saman sadon saamiseksi. Tässä 1 tonni lannoitteita (ensimmäinen resurssi) korvataan kahden työntekijän työllä (toinen resurssi).
Tasa-arvosta seuraa ehto resurssien vastaavalle vaihdettavuudelle jossain vaiheessa dP = 0:
Täältä marginaalinen korvausaste (vastaava korvattavuus). k Ja l annetaan kaavalla
(7.20)
Rajakorvausaste tuotantofunktion indikaattorina luonnehtii niiden tuotantotekijöiden suhteellista tehokkuutta, jotka sallivat keskinäisen substituution liikkuessaan isokvanttia pitkin. Esimerkiksi Cobb–Douglas-funktiolle työpanosten korvaamisen marginaaliaste pääomapanoksilla, ts. tuotantoomaisuus, on muotoa
(7.21)
Kaavojen (7.20) ja (7.21) oikealla puolella oleva miinusmerkki tarkoittaa, että kiinteällä tuotantomäärällä yhden vaihdettavissa olevan resurssin lisäys vastaa toisen pienenemistä.
Esimerkki 7.1. Tarkastellaan esimerkkiä Cobb-Douglasin tuotantofunktiosta, jolle tunnetaan työn ja pääoman tuotannon elastisuuskertoimet: α = 0,3; β = 0,7 sekä työvoima- ja pääomakustannukset: L = 30 tuhatta ihmistä; TO = 490 miljoonaa ruplaa. Näissä olosuhteissa rajakorvausaste tuotantoomaisuus työkustannukset yhtä suuret
Siten tässä ehdollisessa esimerkissä niissä kaksiulotteisen avaruuden pisteissä ( L, K ), jossa työvoiman ja pääoman resurssit ovat vaihdettavissa, tuotantoomaisuuden lasku 7 tuhannella ruplalla. voidaan kompensoida henkilökohtaisten työvoimakustannusten nousulla ja päinvastoin.
Rajakorvausasteen käsitteeseen liittyy käsite resurssien korvaamisen joustavuus. Korvausjoustokerroin kuvaa resurssipanosten suhteen suhteellisen muutoksen suhdetta k Ja l suhteelliseen muutokseen näiden resurssien korvaamisen marginaaliasteessa:
Tämä kerroin osoittaa, kuinka paljon vaihdettavien resurssien välisen suhteen on muututtava, jotta näiden resurssien rajakorvausaste muuttuisi 1 %. Mitä suurempi resurssien korvaamisen joustavuus on, sitä laajemmin ne voivat korvata toisiaan. Äärettömällä joustavuudella () resurssien vaihtokelpoisuudella ei ole rajoja. Kun substituution elastisuus on nolla (), ei ole mahdollisuutta korvata; Tässä tapauksessa resurssit täydentävät toisiaan ja niitä on käytettävä tietyssä suhteessa.
Tarkastellaanpa Cobb–Douglas-funktion lisäksi joitain muita laajalti ekonometrisina malleina käytettyjä tuotantofunktioita. Lineaarinen tuotantotoiminto näyttää siltä
– arvioidut malliparametrit;
, – tuotantotekijät, jotka ovat vaihdettavissa missä tahansa suhteessa (substituutioelastisuus).
Tämän tuotantofunktion isokvantit muodostavat yhdensuuntaisten hypertasojen perheen ei-negatiivisessa ortantissa n -tekijöiden ulottuvuusavaruus.
Monet tutkimukset käyttävät tuotantofunktiot jatkuvalla substituutioelastuudella.
(7.23)
Tuotantofunktio (7.23) on homogeeninen potenssifunktio s. Kaikki resurssien korvaamisen elastisuudet ovat keskenään yhtä suuret:
siksi tätä funktiota kutsutaan funktio, jonka substituutioelastisuus on vakio (CES-toiminto ). Jos , korvaamisen elastisuus on pienempi kuin yksi; jos , arvo on suurempi kuin yksi; kun CES-funktio muunnetaan multiplikatiiviseksi potenssilain tuotantofunktioksi (7.16).
Kaksitekijäinen toiminto CES näyttää siltä
klo n = 1 ja p = 0, tämä funktio muunnetaan Cobb–Douglas-funktion tyypin funktioksi (7.17).
Tuotantofunktioiden, joissa on vakiotuotannon joustokertoimet ja resurssien korvaamisen vakiojousto, lisäksi taloudellinen analyysi ja ennustaminen käyttävät funktioita enemmän yleinen näkemys. Esimerkki on funktio
Tämä funktio eroaa Cobb–Douglas-funktiosta kertoimella , missä z = K/L – pääoma-työsuhde (pääoma-työsuhde), ja siinä substituutiojousto kestää erilaisia merkityksiä pääoma-työsuhteen tasosta riippuen. Tässä suhteessa tämä toiminto kuuluu tyyppiin tuotantofunktiot vaihtelevalla substituutioelastuudella (VES-toiminnot ).
Siirrytään tarkastelemaan useita kysymyksiä, jotka liittyvät tuotantofunktioiden käytännön käyttöön taloustieteessä.
tekninen analyysi. Makrotaloudellisia tuotantofunktioita käytetään välineenä bruttotuotannon, lopputuotteen ja kansantulon määrän ennustamiseen, tuotannontekijöiden vertailukelpoisuuden analysointiin. Niin, tärkeä ehto tuotannon ja työn tuottavuuden kasvu on pääoma-työsuhteen kasvua. Jos kyseessä on Cobb–Douglas-toiminto
aseta lineaarisen homogeenisuuden ehto, sitten työn tuottavuuden välisestä suhteesta ( P/L ) ja pääoma-työsuhde ( K/L )
(7.24)
Tästä seuraa, että työn tuottavuus kasvaa hitaammin kuin pääoma-työsuhde, koska . Tämä johtopäätös, kuten monet muutkin tuotantofunktioihin perustuvat analyysitulokset, pätee aina staattisille tuotantofunktioille, jotka eivät ota huomioon työvoiman teknisten välineiden paranemista ja käytettyjen resurssien laadullisia ominaisuuksia, ts. ottamatta huomioon tekniikan kehitystä. Mallin (7.24) parametrien arvioimiseksi se linearisoidaan logaritmilla:
Käytettyjen resurssien (työvoimavarat, tuotantovarat jne.) määrällisen kasvun ohella tuotannon kasvun tärkein tekijä on tieteellinen ja teknologinen kehitys, joka koostuu teknisten välineiden ja teknologian parantamisesta, työntekijöiden ammattitaidon parantamisesta, ja tuotannonohjauksen organisoinnin parantaminen. Staattiset ekonometriset mallit, mukaan lukien staattiset tuotantofunktiot, eivät ota huomioon teknisen kehityksen tekijää, joten käytetään dynaamisia makrotaloudellisia tuotantofunktioita, joiden parametrit määräytyvät prosessoimalla aikasarjoja. Teknologinen kehitys heijastuu yleensä tuotantotoimintoihin ajasta riippuvana tuotannon kehityksen trendinä.
Esimerkiksi Cobb–Douglas-funktio, ottaen huomioon teknisen kehityksen tekijän, saa seuraavan muodon:
Mallissa (7.25) kerroin heijastaa tieteen ja tekniikan kehitykseen liittyvää tuotannon kehityssuuntausta. Tässä kertoimessa t on aika, ja λ on tuotannon kasvunopeus teknisen kehityksen seurauksena. klo käytännön käyttöä mallin (7.25) parametrien arvioimiseksi linearisointi suoritetaan logaritmilla, kuten malli (7.24):
Erityisesti on huomattava, että tuotantofunktioita rakennettaessa, kuten kaikissa monitekijäekonometrisissa malleissa, se on erittäin tärkeä kohta on vaikuttavien tekijöiden oikea valinta. Erityisesti on välttämätöntä päästä eroon tekijöiden multikollineaarisuuden ilmiöistä ja autokorrelaatioilmiöistä jokaisen sisällä. Tämä ongelma on kuvattu yksityiskohtaisesti tämän luvun kohdassa 7.1. Tuotantofunktioiden parametreja arvioitaessa tilastollisiin havaintoihin, mukaan lukien aikasarjoihin, käytetään päämenetelmänä pienimmän neliösumman menetelmää.
Tarkastellaanpa tuotantofunktioiden käyttöä taloudelliseen analyysiin ja ennustamiseen käyttäen ehdollista esimerkkiä työtalouden alalta.
Esimerkki 7.2. Olkoon teollisuuden tuotantoa luonnehdittava Cobb–Douglas-funktiotyypin tuotantofunktiolla:
R – tuotantomäärä (miljoonaa ruplaa);
T - alan työntekijöiden määrä (tuhatta henkilöä);
F – kiinteän tuotantoomaisuuden keskimääräiset vuosikustannukset (miljoonaa ruplaa).
Oletetaan, että tämän tuotantofunktion parametrit tunnetaan ja ne ovat yhtä suuria kuin: a = 0,3; p = 0,7; mittatekijä A = = 0,6 (tuhatta ruplaa/henkilö)0,3. Myös kiinteän tuotantoomaisuuden keskimääräiset vuosikustannukset tunnetaan F = 900 miljoonaa hieroa. Näissä olosuhteissa vaaditaan:
- 1) määrittää teollisuuden työntekijöiden lukumäärä, joka vaaditaan tuotteiden valmistukseen 300 miljoonan ruplan määrällä;
- 2) selvittää, kuinka tuotantotuotanto muuttuu, kun työntekijöiden määrä kasvaa 1 % ja tuotantoomaisuus samat määrät;
- 3) arvioida materiaali- ja työvoimaresurssien vaihdettavuutta.
Ensimmäisen tehtävän kysymykseen vastaamiseksi linearisoimme tämän tuotantofunktion ottamalla logaritmit luonnolliseen kantaan;
mistä se seuraa
Korvaamalla alkutiedot, saamme
Täältä (tuhatta ihmistä).
Katsotaanpa toista tehtävää. Koska , tämä tuotantofunktio on lineaarisesti homogeeninen; tämän mukaisesti kertoimet ovat tuotannon joustokertoimia suhteessa työhön ja vastaavasti varoihin. Näin ollen teollisuuden työntekijöiden määrän kasvu 1 %:lla tuotantoomaisuuden pysyessä tasaisena johtaa tuotannon kasvuun 0,3 %, ts. liikkeeseenlasku on 300,9 miljoonaa ruplaa.
Kolmanteen tehtävään siirryttäessä laskemme tuotantovarojen enimmäiskorvausnopeuden työvoimavaroilla. Kaavan (7.21) mukaisesti
Siten edellyttäen, että resurssit ovat vaihdettavissa tasaisen tuotannon varmistamiseksi (eli siirrettäessä isokvanttia pitkin), teollisuuden tuotantovarat pienenevät 3,08 tuhatta ruplaa. voidaan kompensoida lisäämällä työvoimaresursseja yhdellä henkilöllä ja päinvastoin.