Ympyrän ympärille rajatun tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala. Materiaali geometriasta aiheesta "puolisuunnikas ja sen ominaisuudet"

\[(\Large(\teksti(vapaa puolisuunnikasta)))\]

Määritelmät

Puolisuunnikas on kupera nelikulmio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaisia ja kaksi muuta sivua eivät ole yhdensuuntaisia.

Puolisuunnikkaan yhdensuuntaisia sivuja kutsutaan sen kantaviksi ja kahta muuta sivua sen sivuiksi.

Puolisuunnikkaan korkeus on kohtisuora, joka on vedetty mistä tahansa kannan pisteestä toiseen kantaan.

Lauseet: puolisuunnikkaan ominaisuudet

1) Sivun kulmien summa on \(180^\circ\) .

2) Diagonaalit jakavat puolisuunnikkaan neljään kolmioon, joista kaksi on samanlaisia ja kaksi muuta samankokoisia.

Todistus

1) Koska \(AD\parallel BC\), niin kulmat \(\angle BAD\) ja \(\angle ABC\) ovat yksipuolisia näille viivoille ja poikittaissuunta \(AB\), joten \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\).

2) Koska \(AD\parallel BC\) ja \(BD\) ovat sekantti, sitten \(\angle DBC=\angle BDA\) ovat ristikkäin.
Myös \(\angle BOC=\angle AOD\) pystysuorana.
Siksi kahdessa kulmassa \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Todistetaan se \(S_(\kolmio AOB)=S_(\kolmio COD)\). Olkoon \(h\) puolisuunnikkaan korkeus. Sitten \(S_(\kolmio ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\kolmio ACD)\). Sitten: \

Määritelmä

Puolisuunnikkaan keskiviiva on jana, joka yhdistää sivujen keskipisteet.

Lause

Puolisuunnikkaan keskiviiva on yhdensuuntainen kantaan nähden ja on yhtä suuri kuin niiden puolisumma.

Todiste*

1) Todistetaan rinnakkaisuus.

Piirretään pisteen \(M\) kautta suora \(MN"\parallel AD\) (\(N"\CD\) ). Sitten Thalesin lauseen mukaan (koska \(MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) piste \(N"\) on segmentin \(CD\) keskikohta. Tämä tarkoittaa, että pisteet \(N\) ja \(N"\) ovat samat.

2) Todistetaan kaava.

Tehdään \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Anna \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Sitten Thalesin lauseen mukaan \(M"\) ja \(N"\) ovat segmenttien \(BB"\) ja \(CC"\) keskipisteet, vastaavasti. Tämä tarkoittaa, että \(MM"\) on \(\kolmio ABB"\) keskiviiva, \(NN"\) on \(\triangle DCC"\) keskiviiva. Siksi: \

Koska \(MN\parallel AD\parallel BC\) ja \(BB", CC"\perp AD\), sitten \(B"M"N"C"\) ja \(BM"N"C\) ovat suorakulmioita. Thalesin lauseen mukaan \(MN\rinnakkais AD\) ja \(AM=MB\) seuraa, että \(B"M"=M"B\) . Siten \(B"M"N"C "\) ja \(BM"N"C\) ovat yhtä suuria suorakulmioita, joten \(M"N"=B"C"=BC\) .

Siten:

\ \[=\dfrac12 \vasen(AB"+B"C"+BC+C"D\oikea)=\dfrac12\vasen(AD+BC\oikea)\]

Lause: mielivaltaisen puolisuunnikkaan ominaisuus

Kantojen keskipisteet, puolisuunnikkaan diagonaalien leikkauspiste ja sivusivujen jatkeiden leikkauspiste ovat samalla suoralla.

Todiste*
On suositeltavaa tutustua todistukseen tutustuttuasi aiheeseen "Kolmioiden samankaltaisuus".

1) Osoitetaan, että pisteet \(P\) , \(N\) ja \(M\) ovat samalla suoralla.

Piirretään suora \(PN\) (\(P\) on sivusivujen jatkkeiden leikkauspiste, \(N\) on \(BC\) keskikohta). Leikkaa se sivun \(AD\) pisteessä \(M\) . Osoitetaan, että \(M\) on \(AD\) keskipiste.

Tarkastellaan \(\kolmio BPN\) ja \(\triangle APM\) . Ne ovat samankaltaisia kahdessa kulmassa (\(\angle APM\) – yleinen, \(\angle PAM=\angle PBN\) vastaavasti kohdissa \(AD\parallel BC\) ja \(AB\) secant). Keinot: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Tarkastellaan \(\triangle CPN\) ja \(\triangle DPM\) . Ne ovat samanlaisia kahdessa kulmassa (\(\angle DPM\) – yleinen, \(\angle PDM=\angle PCN\) vastaavasti \(AD\parallel BC\) ja \(CD\) secantissa). Keinot: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Täältä \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Mutta \(BN=NC\) siis \(AM=DM\) .

2) Osoitetaan, että pisteet \(N, O, M\) ovat samalla suoralla.

Olkoon \(N\) pisteen \(BC\) keskipiste ja \(O\) diagonaalien leikkauspiste. Piirretään suora \(NO\) , joka leikkaa sivun \(AD\) pisteessä \(M\) . Osoitetaan, että \(M\) on \(AD\) keskipiste.

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) kahta kulmaa pitkin (\(\angle OBN=\angle ODM\) ristikkäin \(BC\parallel AD\) ja \(BD\) sekantissa; \(\angle BON=\angle DOM\) pystysuorana). Keinot: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Samoin \(\kolmio CON\sim \kolmio AOM\). Keinot: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Täältä \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Mutta \(BN=CN\) siis \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(Isosceles trapetsoid)))\]

Määritelmät

Puolisuunnikkaan kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jos yksi sen kulmista on oikea.

Puolisuunnikkaan kutsutaan tasakylkiseksi, jos sen sivut ovat yhtä suuret.

Lauseet: ominaisuudet tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen

1) Tasakylkisellä puolisuunnikkaalla on samat kantakulmat.

2) Tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaalit ovat yhtä suuret.

3) Kaksi lävistäjistä ja kantasta muodostettua kolmiota ovat tasakylkisiä.

Todistus

1) Tarkastellaan tasakylkistä puolisuunnikasta \(ABCD\) .

Pisteistä \(B\) ja \(C\) pudotetaan kohtisuorat \(BM\) ja \(CN\) sivulle \(AD\). Koska \(BM\perp AD\) ja \(CN\perp AD\) , niin \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , niin \(MBCN\) on suuntaviiva, joten \(BM = CN\) .

Tarkastellaan suorakulmaisia kolmioita \(ABM\) ja \(CDN\) . Koska niiden hypotenuusat ovat yhtä suuret ja jalka \(BM\) on yhtä suuri kuin jalka \(CN\), nämä kolmiot ovat yhtä suuret, joten \(\angle DAB = \angle CDA\) .

Koska \(AB=CD, \kulma A=\kulma D, AD\)- yleinen, sitten ensimmäisen merkin mukaan. Siksi \(AC=BD\) .

3) Koska \(\kolmio ABD=\kolmio ACD\), sitten \(\angle BDA=\angle CAD\) . Siksi kolmio \(\kolmio AOD\) on tasakylkinen. Samoin on todistettu, että \(\kolmio BOC\) on tasakylkinen.

Lauseet: tasakylkisen puolisuunnikkaan merkit

1) Jos puolisuunnikkaan kantakulmat ovat yhtä suuret, se on tasakylkinen.

2) Jos puolisuunnikkaan diagonaalit ovat yhtä suuret, se on tasakylkinen.

Todistus

Tarkastellaan puolisuunnikasta \(ABCD\) siten, että \(\kulma A = \kulma D\) .

Täydennetään puolisuunnikkaan kolmio \(AED\) kuvan osoittamalla tavalla. Koska \(\kulma 1 = \kulma 2\) , niin kolmio \(AED\) on tasakylkinen ja \(AE = ED\) . Kulmat \(1\) ja \(3\) ovat yhtä suuret kuin vastaavat kulmat yhdensuuntaisille viivoille \(AD\) ja \(BC\) ja sekantille \(AB\). Samoin kulmat \(2\) ja \(4\) ovat yhtä suuret, mutta \(\kulma 1 = \kulma 2\), sitten \(\kulma 3 = \kulma 1 = \kulma 2 = \kulma 4\), joten kolmio \(BEC\) on myös tasakylkinen ja \(BE = EC\) .

Lopulta \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), eli \(AB = CD\), mikä on todistettava.

2) Olkoon \(AC=BD\) . Koska \(\kolmio AOD\sim \kolmio BOC\), merkitsemme niiden samankaltaisuuskertoimen muodossa \(k\) . Sitten jos \(BO=x\) , niin \(OD=kx\) . Samanlainen kuin \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Koska \(AC=BD\) , sitten \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Tämä tarkoittaa, että \(\kolmio AOD\) on tasakylkinen ja \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Ensimmäisen merkin mukaan siis \(\kolmio ABD=\kolmio ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)– yleinen). Joten, \(AB=CD\) , miksi.

Tässä artikkelissa yritämme heijastaa puolisuunnikkaan ominaisuuksia mahdollisimman täydellisesti. Erityisesti puhumme puolisuunnikkaan yleisistä ominaisuuksista ja ominaisuuksista sekä piirretyn puolisuunnikkaan ja ympyrän ominaisuuksista. Käsittelemme myös tasakylkisen ja suorakulmaisen puolisuunnikkaan ominaisuuksia.

Esimerkki ongelman ratkaisemisesta käsiteltyjen ominaisuuksien avulla auttaa lajittelemaan sen paikkoihin päässäsi ja muistamaan materiaalin paremmin.

Trapetsi ja kaikki-kaikki

Aluksi muistellaan lyhyesti, mikä on puolisuunnikkaan ja mitä muita käsitteitä siihen liittyy.

Joten puolisuunnikkaan on nelikulmainen kuvio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa (nämä ovat kanta). Ja nämä kaksi eivät ole rinnakkaisia - nämä ovat sivut.

Puolisuunnikkaan korkeutta voidaan laskea - kohtisuoraan pohjaan nähden. Keskiviiva ja diagonaalit piirretään. On myös mahdollista piirtää puolittaja mistä tahansa puolisuunnikkaan kulmasta.

Puhumme nyt kaikkiin näihin elementteihin liittyvistä erilaisista ominaisuuksista ja niiden yhdistelmistä.

Puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuudet

Selvittääksesi sen, kun luet, piirrä puolisuunnikkaan muotoinen ACME paperille ja piirrä siihen diagonaalit.

Jos löydät kunkin lävistäjän keskipisteet (kutsutaanko näitä pisteitä X ja T) ja yhdistät ne, saat janan. Yksi puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista on, että segmentti HT on keskiviivalla. Ja sen pituus voidaan saada jakamalla emästen ero kahdella: ХТ = (a – b)/2.
Edessämme on sama puolisuunnikkaan muotoinen ACME. Lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Tarkastellaan kolmioita AOE ja MOK, jotka muodostuvat lävistäjän segmenteistä yhdessä puolisuunnikkaan kantojen kanssa. Nämä kolmiot ovat samanlaisia. Kolmioiden samankaltaisuuskerroin k ilmaistaan puolisuunnikkaan kantaosien suhteena: k = AE/KM.
Kolmioiden AOE ja MOK pinta-alojen suhdetta kuvaa kerroin k 2 .
Sama puolisuunnikas, samat lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Vain tällä kertaa tarkastellaan kolmioita, jotka lävistäjän segmentit muodostivat yhdessä puolisuunnikkaan sivujen kanssa. Kolmioiden AKO ja EMO pinta-alat ovat yhtä suuret - niiden pinta-alat ovat samat.
Toinen puolisuunnikkaan ominaisuus on diagonaalien rakentaminen. Joten jos jatkat AK:n ja ME:n sivuja pienemmän kannan suuntaan, niin ennemmin tai myöhemmin ne leikkaavat tietyssä kohdassa. Piirrä seuraavaksi suora viiva puolisuunnikkaan pohjien keskelle. Se leikkaa kantat pisteissä X ja T.
Jos nyt pidennetään suoraa XT, niin se yhdistää yhteen puolisuunnikkaan O lävistäjien leikkauspisteen, pisteen, jossa sivujen jatkeet ja kantojen X ja T leikkaavat.
Diagonaalien leikkauspisteen kautta piirretään jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan kantat (T on pienemmässä kantassa KM, X on suuremmassa AE). Diagonaalien leikkauspiste jakaa tämän segmentin seuraavassa suhteessa: TO/OX = KM/AE.
Nyt piirrämme lävistäjien leikkauspisteen kautta janan, joka on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kantojen (a ja b) kanssa. Leikkauspiste jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan. Löydät segmentin pituuden kaavalla 2ab/(a + b).

Trapetsin keskiviivan ominaisuudet

Piirrä puolisuunnikkaan keskiviiva sen kannan suuntaisesti.

Puolisuunnikkaan keskiviivan pituus voidaan laskea laskemalla yhteen jalkojen pituudet ja jakamalla ne kahtia: m = (a + b)/2.
Jos piirrät minkä tahansa janan (esimerkiksi korkeuden) puolisuunnikkaan molempien kannan läpi, keskiviiva jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan.

Puolisuunnikkaan puolittajaominaisuus

Valitse mikä tahansa puolisuunnikkaan kulma ja piirrä puolittaja. Otetaan esimerkiksi puolisuunnikkaan ACME kulma KAE. Kun olet suorittanut rakentamisen itse, voit helposti varmistaa, että puolittaja katkaisee alustasta (tai sen jatkeesta suoralla linjalla itse kuvan ulkopuolella) sivun kanssa samanpituisen segmentin.

Puolisuunnikkaan kulmien ominaisuudet

Kumpi kahdesta valitsemasi sivun viereisestä kulmaparista tahansa, parin kulmien summa on aina 180 0: α + β = 180 0 ja γ + δ = 180 0.
Yhdistämme puolisuunnikkaan kantajen keskipisteet segmentillä TX. Katsotaanpa nyt puolisuunnikkaan pohjien kulmia. Jos kulmien summa jollekin niistä on 90 0, janan pituus TX voidaan laskea helposti kantajen pituuksien eron perusteella jaettuna puoliksi: TX = (AE – KM)/2.
Jos yhdensuuntaiset viivat piirretään puolisuunnikkaan kulman sivujen läpi, ne jakavat kulman sivut suhteellisiksi segmenteiksi.

Tasakylkisen (tasakylkinen) puolisuunnikkaan ominaisuudet

Tasakylkisessä puolisuunnikkaan kulmat missä tahansa kannassa ovat yhtä suuret.
Rakenna nyt uudelleen puolisuunnikkaan muoto, jotta on helpompi kuvitella, mistä puhumme. Katso tarkkaan kantaa AE - vastakkaisen kannan M kärki projisoidaan tiettyyn pisteeseen viivalla, joka sisältää AE:n. Etäisyys kärjestä A kärjen M projektiopisteeseen ja tasakylkisen puolisuunnikkaan keskiviivaan ovat yhtä suuret.
Muutama sana tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista - niiden pituudet ovat yhtä suuret. Ja myös näiden diagonaalien kaltevuuskulmat puolisuunnikkaan pohjaan nähden ovat samat.
Vain tasakylkisen puolisuunnikkaan ympärillä voidaan kuvata ympyrää, koska nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180 0 - edellytys tätä varten.
Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuus seuraa edellisestä kappaleesta - jos ympyrä voidaan kuvata lähellä puolisuunnikasta, se on tasakylkinen.
Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuksista seuraa puolisuunnikkaan korkeuden ominaisuus: jos sen lävistäjät leikkaavat suorassa kulmassa, niin korkeuden pituus on yhtä suuri kuin puolet kantajen summasta: h = (a + b)/2.
Piirrä jälleen jana TX puolisuunnikkaan kantajen keskipisteiden läpi - tasakylkisessä puolisuunnikkaan se on kohtisuorassa kantaan nähden. Ja samalla TX on tasakylkisen puolisuunnikkaan symmetria-akseli.
Tällä kertaa laske korkeus puolisuunnikkaan vastakkaisesta kärjestä suurempaan kantaan (kutsutaanko sitä a). Saat kaksi segmenttiä. Yhden pituus löytyy, jos pohjan pituudet lasketaan yhteen ja jaetaan kahtia: (a + b)/2. Toisen saamme, kun vähennämme pienemmän suuremmasta kannasta ja jaamme tuloksena saadun eron kahdella: (a–b)/2.

Ympyrään piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Koska puhumme jo ympyrään kirjoitetusta puolisuunnikasta, katsotaanpa tätä asiaa yksityiskohtaisemmin. Erityisesti siinä, missä ympyrän keskipiste on suhteessa puolisuunnikkaan. Tässäkin on suositeltavaa ottaa aikaa kynän ottamiseen ja piirtää alla kuvatut asiat. Näin ymmärrät nopeammin ja muistat paremmin.

Ympyrän keskipisteen sijainti määräytyy puolisuunnikkaan lävistäjän kaltevuuskulman mukaan. Esimerkiksi lävistäjä voi ulottua puolisuunnikkaan yläosasta suorassa kulmassa sivuun. Tässä tapauksessa suurempi kanta leikkaa ympyrän keskikohdan tarkalleen keskellä (R = ½AE).
Diagonaali ja sivu voivat kohdata myös terävässä kulmassa - silloin ympyrän keskipiste on puolisuunnikkaan sisällä.
Piirretyn ympyrän keskipiste voi olla puolisuunnikkaan ulkopuolella, sen suuremman kannan ulkopuolella, jos puolisuunnikkaan lävistäjän ja sivun välillä on tylppä kulma.
Puolisuunnikkaan ACME diagonaalin ja suuren pohjan muodostama kulma (kirjoitettu kulma) on puolet sitä vastaavasta keskikulmasta: MAE = ½ MOE.
Lyhyesti kahdesta tavasta löytää rajatun ympyrän säde. Tapa yksi: katso tarkasti piirustustasi - mitä näet? Voit helposti huomata, että diagonaali jakaa puolisuunnikkaan kahdeksi kolmioksi. Säde löytyy kolmion sivun suhteesta vastakkaisen kulman siniin kerrottuna kahdella. Esimerkiksi, R = AE/2*sinAME. Kaava voidaan kirjoittaa samalla tavalla kummankin kolmion mille tahansa sivulle.
Tapa kaksi: etsi rajatun ympyrän säde kolmion alueen läpi, jonka muodostavat puolisuunnikkaan lävistäjä, sivu ja kanta: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Ympyrän ympärille piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Voit sovittaa ympyrän puolisuunnikkaan, jos yksi ehto täyttyy. Lue siitä lisää alta. Ja yhdessä tällä lukuyhdistelmällä on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Jos ympyrä on piirretty puolisuunnikkaan, sen keskiviivan pituus saadaan helposti selville lisäämällä sivujen pituudet ja jakamalla saatu summa puoliksi: m = (c + d)/2.
Ympyrän ympärille kuvatun puolisuunnikkaan ACME kannan pituuksien summa on yhtä suuri kuin sivujen pituuksien summa: AK + ME = KM + AE.
Tästä puolisuunnikkaan kantojen ominaisuudesta seuraa käänteinen väite: puolisuunnikkaan voidaan kirjoittaa ympyrä, jonka kantajen summa on yhtä suuri kuin sen sivujen summa.
Puolisuunnikkaan kirjoitetun ympyrän, jonka säde on r, tangenttipiste jakaa sivun kahteen osaan, kutsutaan niitä a:ksi ja b:ksi. Ympyrän säde voidaan laskea kaavalla: r = √ab.
Ja vielä yksi omaisuus. Vältä sekaannukset piirtämällä tämä esimerkki myös itse. Meillä on vanha kunnon puolisuunnikkaan muotoinen ACME, joka on kuvattu ympyrän ympärillä. Se sisältää lävistäjät, jotka leikkaavat pisteessä O. Kolmiot AOK ja EOM, jotka muodostuvat lävistäjien segmenteistä ja sivusivuista, ovat suorakaiteen muotoisia.
Näiden kolmioiden korkeudet laskettuna hypotenuusille (eli puolisuunnikkaan sivusuunnilleen) osuvat yhteen piirretyn ympyrän säteiden kanssa. Ja puolisuunnikkaan korkeus on sama kuin piirretyn ympyrän halkaisija.

Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan ominaisuudet

Puolisuunnikkaan kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jos yksi sen kulmista on oikea. Ja sen ominaisuudet johtuvat tästä seikasta.

Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan toinen sivu on kohtisuorassa pohjaansa nähden.
Suoran kulman vieressä olevan puolisuunnikkaan korkeus ja sivu ovat yhtä suuret. Tämän avulla voit laskea suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan alueen (yleinen kaava S = (a + b) * h/2) ei vain korkeuden, vaan myös oikean kulman vieressä olevan sivun kautta.
Suorakaiteen muotoiselle puolisuunnikkaan edellä kuvatut puolisuunnikkaan diagonaalien yleiset ominaisuudet ovat merkityksellisiä.

Todisteet joistakin puolisuunnikkaan ominaisuuksista

Kulmien yhtäläisyys tasakylkisen puolisuunnikkaan pohjassa:

Luultavasti arvasit jo, että täällä tarvitsemme jälleen AKME-suunnikkaan - piirrä tasakylkinen puolisuunnikkaan. Piirrä pisteestä M suora MT AK:n sivun suuntaisesti (MT || AK).

Tuloksena oleva nelikulmio AKMT on suunnikas (AK || MT, KM || AT). Koska ME = KA = MT, ∆ MTE on tasakylkinen ja MET = MTE.

AK || MT, joten MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Missä AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Todistamme nyt tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuden (lävistäjän yhtäläisyys) perusteella, että puolisuunnikkaan ACME on tasakylkinen:

Piirretään ensin suora MX – MX || KE. Saadaan suunnikas KMHE (kanta – MX || KE ja KM || EX).

∆AMX on tasakylkinen, koska AM = KE = MX ja MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, joten MAE = MXE.

Osoittautuu, että kolmiot AKE ja EMA ovat keskenään yhtä suuret, koska AM = KE ja AE ovat näiden kahden kolmion yhteinen sivu. Ja myös MAE = MXE. Voidaan päätellä, että AK = ME, ja tästä seuraa, että puolisuunnikkaan AKME on tasakylkinen.

Tarkista tehtävä

Puolisuunnikkaan ACME pohjat ovat 9 cm ja 21 cm, sivusivu KA, joka on 8 cm, muodostaa 150 0 kulman pienemmän pohjan kanssa. Sinun on löydettävä puolisuunnikkaan pinta-ala.

Ratkaisu: Huipulta K lasketaan korkeus puolisuunnikkaan suurempaan kantaan. Ja aloitetaan katsomaan puolisuunnikkaan kulmia.

Kulmat AEM ja KAN ovat yksipuolisia. Tämä tarkoittaa, että yhteensä he antavat 180 0. Siksi KAN = 30 0 (perustuen puolisuunnikkaan muotoisten kulmien ominaisuuteen).

Tarkastellaan nyt suorakaiteen muotoista ∆ANC:tä (luulen, että tämä kohta on ilmeinen lukijoille ilman lisätodisteita). Siitä löydämme puolisuunnikkaan KH korkeuden - kolmiossa se on jalka, joka sijaitsee vastapäätä kulmaa 30 0. Siksi KH = ½AB = 4 cm.

Löydämme puolisuunnikkaan pinta-alan kaavalla: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Jälkisana

Jos tutkit tätä artikkelia huolellisesti ja harkiten, etkä ollut liian laiska piirtämään puolisuunnikkaita kaikille annetuille ominaisuuksille kynällä käsissäsi ja analysoimaan niitä käytännössä, sinun olisi pitänyt hallita materiaali hyvin.

Tietenkin täällä on paljon tietoa, vaihtelevaa ja joskus jopa hämmentävää: ei ole niin vaikeaa sekoittaa kuvatun puolisuunnikkaan ominaisuuksia piirretyn ominaisuuksiin. Mutta olet itsekin nähnyt, että ero on valtava.

Nyt sinulla on yksityiskohtainen yhteenveto kaikille yleiset ominaisuudet trapetsoidit. Ja myös erityisiä ominaisuuksia ja tasakylkisten ja suorakaiteen muotoisten puolisuunnikkaan merkit. Se on erittäin kätevä käyttää kokeisiin ja kokeisiin valmistautumiseen. Kokeile itse ja jaa linkki ystävillesi!

verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

Kun lähetät pyynnön sivustolla, voimme kerätä erilaisia tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi sähköposti jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

Meidän keräämä henkilökohtaisia tietoja avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja tiedottaa ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

Tarvittaessa - lain, oikeudenkäyntimenettelyn, oikeudenkäynnin ja/tai julkisten pyyntöjen tai pyynnön perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Esimerkki ongelman ratkaisemisesta käsiteltyjen ominaisuuksien avulla auttaa lajittelemaan sen paikkoihin päässäsi ja muistamaan materiaalin paremmin.

Trapetsi ja kaikki-kaikki

Aluksi muistellaan lyhyesti, mikä on puolisuunnikkaan ja mitä muita käsitteitä siihen liittyy.

Joten puolisuunnikkaan on nelikulmainen kuvio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa (nämä ovat kanta). Ja nämä kaksi eivät ole rinnakkaisia - nämä ovat sivut.

Puolisuunnikkaan korkeutta voidaan laskea - kohtisuoraan pohjaan nähden. Keskiviiva ja diagonaalit piirretään. On myös mahdollista piirtää puolittaja mistä tahansa puolisuunnikkaan kulmasta.

Puhumme nyt kaikkiin näihin elementteihin liittyvistä erilaisista ominaisuuksista ja niiden yhdistelmistä.

Puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuudet

Selvittääksesi sen, kun luet, piirrä puolisuunnikkaan muotoinen ACME paperille ja piirrä siihen diagonaalit.

Jos löydät kunkin lävistäjän keskipisteet (kutsutaanko näitä pisteitä X ja T) ja yhdistät ne, saat janan. Yksi puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista on, että segmentti HT on keskiviivalla. Ja sen pituus voidaan saada jakamalla emästen ero kahdella: ХТ = (a – b)/2.
Edessämme on sama puolisuunnikkaan muotoinen ACME. Lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Tarkastellaan kolmioita AOE ja MOK, jotka muodostuvat lävistäjän segmenteistä yhdessä puolisuunnikkaan kantojen kanssa. Nämä kolmiot ovat samanlaisia. Kolmioiden samankaltaisuuskerroin k ilmaistaan puolisuunnikkaan kantaosien suhteena: k = AE/KM.
Kolmioiden AOE ja MOK pinta-alojen suhdetta kuvaa kerroin k 2 .
Sama puolisuunnikas, samat lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Vain tällä kertaa tarkastellaan kolmioita, jotka lävistäjän segmentit muodostivat yhdessä puolisuunnikkaan sivujen kanssa. Kolmioiden AKO ja EMO pinta-alat ovat yhtä suuret - niiden pinta-alat ovat samat.
Toinen puolisuunnikkaan ominaisuus on diagonaalien rakentaminen. Joten jos jatkat AK:n ja ME:n sivuja pienemmän kannan suuntaan, niin ennemmin tai myöhemmin ne leikkaavat tietyssä kohdassa. Piirrä seuraavaksi suora viiva puolisuunnikkaan pohjien keskelle. Se leikkaa kantat pisteissä X ja T.
Jos nyt pidennetään suoraa XT, niin se yhdistää yhteen puolisuunnikkaan O lävistäjien leikkauspisteen, pisteen, jossa sivujen jatkeet ja kantojen X ja T leikkaavat.
Diagonaalien leikkauspisteen kautta piirretään jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan kantat (T on pienemmässä kantassa KM, X on suuremmassa AE). Diagonaalien leikkauspiste jakaa tämän segmentin seuraavassa suhteessa: TO/OX = KM/AE.
Nyt piirrämme lävistäjien leikkauspisteen kautta janan, joka on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kantojen (a ja b) kanssa. Leikkauspiste jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan. Löydät segmentin pituuden kaavalla 2ab/(a + b).

Trapetsin keskiviivan ominaisuudet

Piirrä puolisuunnikkaan keskiviiva sen kannan suuntaisesti.

Puolisuunnikkaan keskiviivan pituus voidaan laskea laskemalla yhteen jalkojen pituudet ja jakamalla ne kahtia: m = (a + b)/2.
Jos piirrät minkä tahansa janan (esimerkiksi korkeuden) puolisuunnikkaan molempien kannan läpi, keskiviiva jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan.

Puolisuunnikkaan puolittajaominaisuus

Puolisuunnikkaan kulmien ominaisuudet

Kumpi kahdesta valitsemasi sivun viereisestä kulmaparista tahansa, parin kulmien summa on aina 180 0: α + β = 180 0 ja γ + δ = 180 0.
Yhdistämme puolisuunnikkaan kantajen keskipisteet segmentillä TX. Katsotaanpa nyt puolisuunnikkaan pohjien kulmia. Jos kulmien summa jollekin niistä on 90 0, janan pituus TX voidaan laskea helposti kantajen pituuksien eron perusteella jaettuna puoliksi: TX = (AE – KM)/2.
Jos yhdensuuntaiset viivat piirretään puolisuunnikkaan kulman sivujen läpi, ne jakavat kulman sivut suhteellisiksi segmenteiksi.

Tasakylkisen (tasakylkinen) puolisuunnikkaan ominaisuudet

Tasakylkisessä puolisuunnikkaan kulmat missä tahansa kannassa ovat yhtä suuret.
Rakenna nyt uudelleen puolisuunnikkaan muoto, jotta on helpompi kuvitella, mistä puhumme. Katso tarkkaan kantaa AE - vastakkaisen kannan M kärki projisoidaan tiettyyn pisteeseen viivalla, joka sisältää AE:n. Etäisyys kärjestä A kärjen M projektiopisteeseen ja tasakylkisen puolisuunnikkaan keskiviivaan ovat yhtä suuret.
Muutama sana tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista - niiden pituudet ovat yhtä suuret. Ja myös näiden diagonaalien kaltevuuskulmat puolisuunnikkaan pohjaan nähden ovat samat.
Vain tasakylkisen puolisuunnikkaan ympärillä voidaan kuvata ympyrä, koska nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180 0 - tämän edellytyksenä.
Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuus seuraa edellisestä kappaleesta - jos ympyrä voidaan kuvata lähellä puolisuunnikasta, se on tasakylkinen.
Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuksista seuraa puolisuunnikkaan korkeuden ominaisuus: jos sen lävistäjät leikkaavat suorassa kulmassa, niin korkeuden pituus on yhtä suuri kuin puolet kantajen summasta: h = (a + b)/2.
Piirrä jälleen jana TX puolisuunnikkaan kantajen keskipisteiden läpi - tasakylkisessä puolisuunnikkaan se on kohtisuorassa kantaan nähden. Ja samalla TX on tasakylkisen puolisuunnikkaan symmetria-akseli.
Tällä kertaa laske korkeus puolisuunnikkaan vastakkaisesta kärjestä suurempaan kantaan (kutsutaanko sitä a). Saat kaksi segmenttiä. Yhden pituus löytyy, jos pohjan pituudet lasketaan yhteen ja jaetaan kahtia: (a + b)/2. Toisen saamme, kun vähennämme pienemmän suuremmasta kannasta ja jaamme tuloksena saadun eron kahdella: (a–b)/2.

Ympyrään piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Ympyrän keskipisteen sijainti määräytyy puolisuunnikkaan lävistäjän kaltevuuskulman mukaan. Esimerkiksi lävistäjä voi ulottua puolisuunnikkaan yläosasta suorassa kulmassa sivuun. Tässä tapauksessa suurempi kanta leikkaa ympyrän keskikohdan tarkalleen keskellä (R = ½AE).
Diagonaali ja sivu voivat kohdata myös terävässä kulmassa - silloin ympyrän keskipiste on puolisuunnikkaan sisällä.
Piirretyn ympyrän keskipiste voi olla puolisuunnikkaan ulkopuolella, sen suuremman kannan ulkopuolella, jos puolisuunnikkaan lävistäjän ja sivun välillä on tylppä kulma.
Puolisuunnikkaan ACME diagonaalin ja suuren pohjan muodostama kulma (kirjoitettu kulma) on puolet sitä vastaavasta keskikulmasta: MAE = ½ MOE.
Lyhyesti kahdesta tavasta löytää rajatun ympyrän säde. Tapa yksi: katso tarkasti piirustustasi - mitä näet? Voit helposti huomata, että diagonaali jakaa puolisuunnikkaan kahdeksi kolmioksi. Säde löytyy kolmion sivun suhteesta vastakkaisen kulman siniin kerrottuna kahdella. Esimerkiksi, R = AE/2*sinAME. Kaava voidaan kirjoittaa samalla tavalla kummankin kolmion mille tahansa sivulle.
Tapa kaksi: etsi rajatun ympyrän säde kolmion alueen läpi, jonka muodostavat puolisuunnikkaan lävistäjä, sivu ja kanta: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Ympyrän ympärille piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Voit sovittaa ympyrän puolisuunnikkaan, jos yksi ehto täyttyy. Lue siitä lisää alta. Ja yhdessä tällä lukuyhdistelmällä on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Jos ympyrä on piirretty puolisuunnikkaan, sen keskiviivan pituus saadaan helposti selville lisäämällä sivujen pituudet ja jakamalla saatu summa puoliksi: m = (c + d)/2.
Ympyrän ympärille kuvatun puolisuunnikkaan ACME kannan pituuksien summa on yhtä suuri kuin sivujen pituuksien summa: AK + ME = KM + AE.
Tästä puolisuunnikkaan kantojen ominaisuudesta seuraa käänteinen väite: puolisuunnikkaan voidaan kirjoittaa ympyrä, jonka kantajen summa on yhtä suuri kuin sen sivujen summa.
Puolisuunnikkaan kirjoitetun ympyrän, jonka säde on r, tangenttipiste jakaa sivun kahteen osaan, kutsutaan niitä a:ksi ja b:ksi. Ympyrän säde voidaan laskea kaavalla: r = √ab.
Ja vielä yksi omaisuus. Vältä sekaannukset piirtämällä tämä esimerkki myös itse. Meillä on vanha kunnon puolisuunnikkaan muotoinen ACME, joka on kuvattu ympyrän ympärillä. Se sisältää lävistäjät, jotka leikkaavat pisteessä O. Kolmiot AOK ja EOM, jotka muodostuvat lävistäjien segmenteistä ja sivusivuista, ovat suorakaiteen muotoisia.
Näiden kolmioiden korkeudet laskettuna hypotenuusille (eli puolisuunnikkaan sivusuunnilleen) osuvat yhteen piirretyn ympyrän säteiden kanssa. Ja puolisuunnikkaan korkeus on sama kuin piirretyn ympyrän halkaisija.

Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan ominaisuudet

Puolisuunnikkaan kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jos yksi sen kulmista on oikea. Ja sen ominaisuudet johtuvat tästä seikasta.

Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan toinen sivu on kohtisuorassa pohjaansa nähden.
Suoran kulman vieressä olevan puolisuunnikkaan korkeus ja sivu ovat yhtä suuret. Tämän avulla voit laskea suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan alueen (yleinen kaava S = (a + b) * h/2) ei vain korkeuden, vaan myös oikean kulman vieressä olevan sivun kautta.
Suorakaiteen muotoiselle puolisuunnikkaan edellä kuvatut puolisuunnikkaan diagonaalien yleiset ominaisuudet ovat merkityksellisiä.

Todisteet joistakin puolisuunnikkaan ominaisuuksista

Kulmien yhtäläisyys tasakylkisen puolisuunnikkaan pohjassa:

Luultavasti arvasit jo, että täällä tarvitsemme jälleen AKME-suunnikkaan - piirrä tasakylkinen puolisuunnikkaan. Piirrä pisteestä M suora MT AK:n sivun suuntaisesti (MT || AK).

Tuloksena oleva nelikulmio AKMT on suunnikas (AK || MT, KM || AT). Koska ME = KA = MT, ∆ MTE on tasakylkinen ja MET = MTE.

AK || MT, joten MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Missä AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Todistamme nyt tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuden (lävistäjän yhtäläisyys) perusteella, että puolisuunnikkaan ACME on tasakylkinen:

Piirretään ensin suora MX – MX || KE. Saadaan suunnikas KMHE (kanta – MX || KE ja KM || EX).

∆AMX on tasakylkinen, koska AM = KE = MX ja MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, joten MAE = MXE.

Tarkista tehtävä

Puolisuunnikkaan ACME pohjat ovat 9 cm ja 21 cm, sivusivu KA, joka on 8 cm, muodostaa 150 0 kulman pienemmän pohjan kanssa. Sinun on löydettävä puolisuunnikkaan pinta-ala.

Ratkaisu: Huipulta K lasketaan korkeus puolisuunnikkaan suurempaan kantaan. Ja aloitetaan katsomaan puolisuunnikkaan kulmia.

Kulmat AEM ja KAN ovat yksipuolisia. Tämä tarkoittaa, että yhteensä he antavat 180 0. Siksi KAN = 30 0 (perustuen puolisuunnikkaan muotoisten kulmien ominaisuuteen).

Löydämme puolisuunnikkaan pinta-alan kaavalla: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Jälkisana

Nyt sinulla on yksityiskohtainen hahmotelma kaikista puolisuunnikkaan yleisistä ominaisuuksista. Sekä tasakylkisten ja suorakaiteen muotoisten puolisuunnikkaan erityiset ominaisuudet ja ominaisuudet. Se on erittäin kätevä käyttää kokeisiin ja kokeisiin valmistautumiseen. Kokeile itse ja jaa linkki ystävillesi!

blog.site, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, vaaditaan linkki alkuperäiseen lähteeseen.

Rajoitettu ympyrä ja puolisuunnikkaan muotoinen. Hei! Sinulle on vielä yksi julkaisu, jossa tarkastellaan puolisuunnikkaan liittyviä ongelmia. Tehtävät ovat osa matematiikan koetta. Tässä ne yhdistetään ryhmään, ei ole annettu vain yksi puolisuunnikas, vaan kappaleiden yhdistelmä - puolisuunnikas ja ympyrä. Suurin osa näistä ongelmista ratkaistaan suullisesti. Mutta on myös joitain, joihin on puututtava. erityistä huomiota esimerkiksi tehtävä 27926.

Mikä teoria sinun tulee muistaa? Tämä:

Blogissa saatavilla olevia puolisuunnikkaan liittyviä ongelmia voi tarkastella Tässä.

27924. Ympyrä on kuvattu puolisuunnikkaan ympärille. Puolisuunnikkaan ympärysmitta on 22, keskiviiva on 5. Etsi puolisuunnikkaan sivu.

Huomaa, että ympyrä voidaan kuvata vain tasakylkisen puolisuunnikkaan ympärillä. Meille annetaan keskiviiva, mikä tarkoittaa, että voimme määrittää kantajen summan, eli:

Tämä tarkoittaa, että sivujen summa on 22–10=12 (kehä miinus kanta). Koska tasakylkisen puolisuunnikkaan sivut ovat yhtä suuret, yksi sivu on yhtä suuri kuin kuusi.

27925. Tasakylkisen puolisuunnikkaan sivusuunnikkaan sivu on yhtä suuri kuin sen pienempi kanta, kannan kulma on 60 0, suurempi kanta on 12. Laske tämän puolisuunnikkaan ympäryssäde.

Jos ratkaisit ongelmia ympyrällä ja siihen kirjoitetulla kuusikulmiolla, annat heti vastauksen - säde on 6. Miksi?

Katso: tasakylkinen puolisuunnikas, jonka kantakulma on 60 0 ja sivut AD, DC ja CB, on puolet säännöllisestä kuusikulmiosta:

Tällaisessa kuusikulmiossa vastakkaiset kärjet yhdistävä segmentti kulkee ympyrän keskustan läpi. *Kuusikulmion ja ympyrän keskipiste ovat samat, lisätietoja

Toisin sanoen tämän puolisuunnikkaan suurempi kanta on sama kuin rajatun ympyrän halkaisija. Joten säde on kuusi.

*Tietenkin voimme harkita kolmioiden ADO, DOC ja OCB yhtäläisyyttä. Todista, että ne ovat tasasivuisia. Seuraavaksi päättele, että kulma AOB on yhtä suuri kuin 180 0 ja piste O on yhtä kaukana pisteistä A, D, C ja B, joten AO=OB=12/2=6.

27926. Tasakylkisen puolisuunnikkaan kantat ovat 8 ja 6. Piirretyn ympyrän säde on 5. Laske puolisuunnikkaan korkeus.

Huomaa, että rajatun ympyrän keskipiste on symmetria-akselilla, ja jos rakennamme tämän keskipisteen läpi kulkevan puolisuunnikkaan korkeuden, niin se jakaa ne kahtia, kun se leikkaa kantaa. Näytetään tämä luonnoksessa ja yhdistetään myös keskusta kärkipisteisiin:

Jana EF on puolisuunnikkaan korkeus, meidän on löydettävä se.

IN suorakulmainen kolmio OFC tunnemme hypotenuusan (tämä on ympyrän säde), FC=3 (koska DF=FC). Pythagoraan lauseen avulla voimme laskea OF:

Oikeassa kolmiossa OEB tunnemme hypotenuusan (tämä on ympyrän säde), EB=4 (koska AE=EB). Pythagoraan lauseen avulla voimme laskea OE:

Näin ollen EF=FO+OE=4+3=7.

Nyt tärkeä vivahde!

Tässä tehtävässä kuva osoittaa selvästi, että kantat sijaitsevat ympyrän keskipisteen vastakkaisilla puolilla, joten ongelma on ratkaistu tällä tavalla.

Entä jos ehdot eivät sisällä luonnosta?

Sitten ongelmaan olisi kaksi vastausta. Miksi? Katso tarkkaan - mihin tahansa ympyrään voidaan kirjoittaa kaksi trapetsoidia tietyllä pohjalla:

*Toisin sanoen, kun otetaan huomioon puolisuunnikkaan kantat ja ympyrän säde, on olemassa kaksi puolisuunnikasta.

Ja ratkaisu "toiseen vaihtoehtoon" on seuraava.

Pythagoraan lauseen avulla laskemme OF:

Lasketaan myös OE:

Näin ollen EF=FO–OE=4–3=1.

Tietysti ongelmassa, jossa on lyhyt vastaus yhtenäisestä valtiokokeesta, ei voi olla kahta vastausta, eikä vastaavaa ongelmaa anneta ilman luonnosta. Siksi kiinnitä erityistä huomiota luonnokseen! Nimittäin: kuinka puolisuunnikkaan pohjat sijaitsevat. Mutta tehtävissä, joissa oli yksityiskohtainen vastaus, tämä oli läsnä viime vuosina (hieman monimutkaisemmalla ehdolla). Jokainen, joka harkitsi vain yhtä vaihtoehtoa puolisuunnikkaan sijainnille, menetti pisteen tästä tehtävästä.

27937. Puolisuunnikas on piirretty ympyrän ympärille, jonka ympyrä on 40. Etsi sen keskiviiva.

Tässä on heti muistettava ympyrän ympärille rajatun nelikulmion ominaisuus:

Minkä tahansa ympyrän ympärille piirretyn nelikulmion vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret.