Tapahtumat
Tapahtuma. Alkeistapahtuma.
Perustapahtumien tila.
Luotettava tapahtuma. Mahdoton tapahtuma.
Identtiset tapahtumat.
Summa, tuote, tapahtumien ero.
Vastakkaiset tapahtumat. Yhteensopimattomat tapahtumat.
Yhtä mahdollisia tapahtumia.
Under tapahtuma todennäköisyysteoriassa ymmärrämme kaikki tosiasiat, jotka voivat tapahtua tai eivät ilmene kokemuksen seurauksenasatunnainen lopputulos. Tällaisen kokeen yksinkertaisin tulos (esimerkiksi "päiden" tai "häntien" esiintyminen kolikkoa heitettäessä, maaliin osuminen ammuttaessa, ässän ilmestyminen korttia pakasta otettaessa, numeron satunnainen esiintyminen noppaa heitettäessäjne.) kutsutaanalkeistapahtuma .
Joukko kaikki alkeet tapahtumia E soitti avaruuden elementtejä pakkaustapahtumia . Kyllä, milloin kun heitetään noppaa, tämä tila koostuu kuudestaalkeistapahtumat, ja korttia poistettaessa pakasta - 52:sta. Tapahtuma voi koostua yhdestä tai useammasta alkeistapahtumasta, esimerkiksi kahden ässän ilmestymisestä peräkkäin korttia poistettaessa pakasta tai kortin ilmestymisestä. sama numero heittäessä noppaa kolme kertaa. Sitten voimme päättää tapahtuma alkeistapahtumien tilan mielivaltaisena osajoukona.
Luotettava tapahtuma kutsutaan alkeistapahtumien koko tilaksi. Tietty tapahtuma on siis tapahtuma, jonka täytyy välttämättä tapahtua tietyn kokemuksen seurauksena. Kun noppaa heitetään, tällainen tapahtuma on, kun se putoaa jollekin kasvoille.
Mahdoton tapahtuma () kutsutaan alkeistapahtumien tilan tyhjäksi osajoukoksi. Toisin sanoen mahdotonta tapahtumaa ei voi tapahtua tietyn kokemuksen seurauksena. Joten noppaa heittäessä mahdoton tapahtuma on, että se putoaa reunalleen.
Tapahtumat A Ja IN kutsutaanidenttinen (A= IN), jos tapahtuma Atapahtuu jos ja vain jos tapahtuma tapahtuuIN .
He sanovat, että tapahtuma A sisältää tapahtuman IN ( A IN), jos ehdosta"tapahtuma A tapahtui" pitäisi "tapahtuma B tapahtui".
Tapahtuma KANSSA soitti tapahtumien summa A Ja IN (KANSSA = A IN), jos tapahtuma KANSSA tapahtuu jos ja vain jos jompikumpi tapahtuu A, tai IN.
Tapahtuma KANSSA soitti tapahtumien tuote A Ja IN (KANSSA = A IN), jos tapahtuma KANSSA tapahtuu jos ja vain jos niin tapahtuuA, Ja IN.
Tapahtuma KANSSA soitti tapahtumien ero A Ja IN (KANSSA = A – IN), jos tapahtuma KANSSA silloin tapahtuu vasta sitten kun se tapahtuu tapahtuma A, ja tapahtumaa ei tapahdu IN.
Tapahtuma A"soitti vastapäätä tapahtumaA, jos tapahtumaa ei tapahtunut A. Joten ohitus ja osuma ammuttaessa ovat vastakkaisia tapahtumia.
Tapahtumat A Ja IN kutsutaanyhteensopimaton (A IN = ) , jos niiden samanaikainen esiintyminen on mahdotonta. Esimerkiksi saada sekä "hännät" että"päät" heittäessäsi kolikkoa.
Jos kokeen aikana voi tapahtua useita tapahtumia ja jokainen niistä ei objektiivisten olosuhteiden mukaan ole toista mahdollisempi, niin tällaisia tapahtumia kutsutaan ns.yhtä mahdollista . Esimerkkejä yhtä mahdollisista tapahtumista: kakkosen, ässän ja jätkän ilmestyminen, kun kortti poistetaan pakasta, minkä tahansa luvun 1-6 esiintyminen noppaa heittäessä jne.
Kaikkien näyteavaruuden tapahtumien todennäköisyyksien summa on 1. Jos esimerkiksi kokeessa heitetään kolikon tapahtuma A = päät ja tapahtuma B = häntät, niin A ja B edustavat koko näyteavaruutta. tarkoittaa, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.
Esimerkki. Aiemmin ehdotetussa esimerkissä punaisen kynän poistamisen todennäköisyyden laskemiseksi viittataskusta (tämä on tapahtuma A), joka sisältää kaksi sinistä ja yhden punaisen kynän, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, päinvastaisen todennäköisyys tapahtuma - sinisen kynän piirtäminen - tulee olemaan
Ennen kuin siirrymme päälauseisiin, esittelemme kaksi monimutkaisempaa käsitettä - tapahtumien summan ja tulon. Nämä käsitteet eroavat aritmetiikassa tavallisista summan ja tulon käsitteistä. Todennäköisyysteoriassa yhteen- ja kertolasku ovat symbolisia operaatioita, joihin sovelletaan tiettyjä sääntöjä ja jotka helpottavat tieteellisten johtopäätösten loogista rakentamista.
Määrä Useat tapahtumat on tapahtuma, joka koostuu vähintään yhden niistä tapahtumisesta. Toisin sanoen kahden tapahtuman A ja B summaa kutsutaan tapahtumaksi C, joka koostuu joko tapahtuman A tai tapahtuman B tai tapahtumien A ja B esiintymisestä yhdessä.
Esimerkiksi, jos matkustaja odottaa raitiovaunupysäkillä jompaakumpaa kahdesta reitistä, hänen tarvitsemansa tapahtuma on ensimmäisen reitin raitiovaunun (tapahtuma A) tai toisen reitin raitiovaunun (tapahtuma B) ilmestyminen. tai ensimmäisen ja toisen reitin raitiovaunujen yhteinen esiintyminen (tapahtuma WITH). Todennäköisyysteorian kielellä tämä tarkoittaa, että matkustajan vaatima tapahtuma D koostuu joko tapahtuman A tai tapahtuman B tai tapahtuman C esiintymisestä, joka kirjoitetaan symbolisesti muotoon:
D=A+B+C
Kahden tapahtuman tulosA Ja IN on tapahtuma, joka koostuu tapahtumien yhteisestä esiintymisestä A Ja IN. Useiden tapahtumien tulos kaikkien näiden tapahtumien yhteistä esiintymistä kutsutaan.
Yllä olevassa esimerkissä matkustajan kanssa tapahtuma KANSSA(raitiovaunujen yhteinen esiintyminen kahdella reitillä) on kahden tapahtuman tulos A Ja IN, joka on symbolisesti kirjoitettu seuraavasti:
Oletetaan, että kaksi lääkäriä tutkii erikseen potilaan tunnistaakseen tietyn sairauden. Tarkastusten aikana voi tapahtua seuraavia tapahtumia:
Ensimmäinen lääkäri havaitsee sairaudet ( A);
Ensimmäinen lääkäri ei havaitse tautia ();
Toisen lääkärin suorittama taudin havaitseminen ( IN);
Toinen lääkäri ei havaitse tautia ().
Harkitse tilannetta, että sairaus havaitaan tutkimuksissa tarkalleen kerran. Tämä tapahtuma voidaan toteuttaa kahdella tavalla:
Ensimmäinen lääkäri havaitsee sairauden ( A) eikä havaitse toista ();
Ensimmäinen lääkäri () ei havaitse sairauksia, ja toinen lääkäri havaitsee ne ( B).
Merkitään tarkasteltavaa tapahtumaa ja kirjoitetaan se symbolisesti:
Harkitse tilannetta, jossa sairaus havaitaan tutkimuksissa kahdesti (sekä ensimmäinen että toinen lääkäri). Merkitään tämä tapahtuma ja kirjoitetaan: .
Merkitsemme tapahtumaa, jossa ensimmäinen tai toinen lääkäri ei löydä sairautta, ja kirjoitamme sen muistiin: .
Todennäköisyysteorian peruslauseet
Kahden yhteensopimattoman tapahtuman summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa.
Kirjoitetaan summauslause symbolisesti:
P(A + B) = P(A)+P(B),
Jossa R- vastaavan tapahtuman todennäköisyys (tapahtuma on merkitty suluissa).
Esimerkki . Potilaalla on mahaverenvuotoa. Tämä oire rekisteröidään verisuonen haavaisen eroosion (tapahtuma A), ruokatorven suonikohjujen repeämän (tapahtuma B), mahasyövän (tapahtuma C), mahalaukun polyypin (tapahtuma D), verenvuotodiateesin (tapahtuma F) yhteydessä, obstruktiivinen keltaisuus (tapahtuma E) ja lopullinen gastriitti (tapahtumaG).
Lääkäri antaa tilastotietojen analyysin perusteella kullekin tapahtumalle todennäköisyysarvon:
Lääkärillä oli yhteensä 80 potilasta, joilla oli mahaverenvuotoa (n= 80), joista 12:lla oli suonen haavainen eroosio (), klo6 - ruokatorven suonikohjujen repeämä (), 36:lla oli mahasyöpä (), jne.
Lääkäri haluaa tilata tutkimuksen, jotta voidaan määrittää todennäköisyys, että mahaverenvuoto liittyy mahasairauteen (tapahtuma I):
Todennäköisyys, että mahalaukun verenvuoto liittyy mahasairauteen, on varsin suuri ja lääkäri voi määrittää tutkimustaktiikansa mahasairauden oletuksen perusteella, kvantitatiivisesti perustellun todennäköisyysteorian avulla.
Jos tarkastellaan yhteisiä tapahtumia, kahden tapahtuman summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa ilman niiden yhteisen esiintymisen todennäköisyyttä.
Symbolisesti tämä kirjoitetaan seuraavalla kaavalla:
Jos kuvittelemme, että tapahtuma A koostuu vaakasuorilla raidoilla varjostetun maalin osumisesta ammuttaessa ja tapahtumasta IN- osuessaan pystysuorilla raidoilla varjostettuun kohteeseen, yhteensopimattomien tapahtumien tapauksessa summan todennäköisyys on summan todennäköisyys yhtä suuri kuin yksittäisten tapahtumien todennäköisyyksien summa. Jos nämä tapahtumat ovat yhteisiä, on olemassa tietty todennäköisyys, joka vastaa tapahtumien yhteistä esiintymistä A Ja IN. Jos et korjaa omavastuuta P(AB), eli tapahtumien yhteisen esiintymisen todennäköisyydellä, tämä todennäköisyys otetaan huomioon kahdesti, koska sekä vaaka- että pystysuorien viivojen varjostama alue on olennainen osa molempia kohteita ja se otetaan huomioon sekä ensimmäisessä että toisessa termissä .
Kuvassa 1 annetaan geometrinen tulkinta, joka havainnollistaa selvästi tätä seikkaa. Kuvan yläosassa on päällekkäiset maalit, jotka ovat yhteensopimattomien tapahtumien analogeja, alaosassa - risteävät maalit, jotka ovat analogeja yhteistapahtumiin (yhdellä laukauksella voit osua sekä maaliin A että maaliin B kerralla).
Ennen kuin siirrytään kertolaskulauseeseen, on tarkasteltava itsenäisten ja riippuvien tapahtumien sekä ehdollisten ja ehdottomien todennäköisyyksien käsitteitä.
Riippumaton tapahtumasta B on tapahtuma A, jonka todennäköisyys ei riipu tapahtuman B tapahtumisesta tai toteutumatta jättämisestä.
Riippuvainen tapahtumasta B on tapahtuma A, jonka todennäköisyys riippuu tapahtuman B toteutumisesta tai toteutumatta jättämisestä.
Esimerkki . Urnassa on 3 palloa, 2 valkoista ja 1 musta. Kun pallo valitaan sattumanvaraisesti, todennäköisyys valita valkoinen pallo (tapahtuma A) on: P(A) = 2/3 ja musta pallo (tapahtuma B) P(B) = 1/3. Kyseessä on tapausmalli, ja tapahtumien todennäköisyydet lasketaan tiukasti kaavan mukaan. Kun koetta toistetaan, tapahtumien A ja B toteutumistodennäköisyydet pysyvät ennallaan, jos jokaisen valinnan jälkeen pallo palautetaan uurnaan. Tässä tapauksessa tapahtumat A ja B ovat riippumattomia. Jos ensimmäisessä kokeessa valittua palloa ei palauteta uurnaan, niin tapahtuman (A) todennäköisyys toisessa kokeessa riippuu tapahtuman (B) esiintymisestä tai toteutumatta jättämisestä ensimmäisessä kokeessa. Joten jos ensimmäisessä kokeessa tapahtui tapahtuma B (valittiin musta pallo), niin toinen koe suoritetaan, jos uurnassa on 2 valkoista palloa ja tapahtuman A esiintymisen todennäköisyys toisessa kokeessa on yhtä suuri: P (A) = 2/2 = 1.
Jos tapahtumaa B ei esiintynyt ensimmäisessä kokeessa (valittiin valkoinen pallo), suoritetaan toinen koe, jos uurnassa on yksi valkoinen ja yksi musta pallo ja tapahtuman A esiintymistodennäköisyys toisessa kokeessa on yhtä suuri kuin: P(A) = 1/2. Ilmeisesti tässä tapauksessa tapahtumat A ja B liittyvät läheisesti toisiinsa ja niiden toteutumistodennäköisyydet ovat riippuvaisia.
Ehdollinen todennäköisyys Tapahtuma A on sen todennäköisyys, jos tapahtuma B tapahtuu Ehdollinen todennäköisyys on merkitty symbolisesti P(A/B).
Jos tapahtuman todennäköisyys A ei riipu tapahtuman tapahtumisesta IN, sitten tapahtuman ehdollinen todennäköisyys A yhtä suuri kuin ehdoton todennäköisyys:
Jos tapahtuman A toteutumisen todennäköisyys riippuu tapahtuman B tapahtumisesta, niin ehdollinen todennäköisyys ei voi koskaan olla yhtä suuri kuin ehdoton todennäköisyys:
Eri tapahtumien riippuvuuden tunnistaminen toisistaan on erittäin tärkeää käytännön ongelmien ratkaisemisessa. Esimerkiksi virheellinen oletus tiettyjen oireiden ilmaantumisen riippumattomuudesta diagnosoitaessa sydänvikoja todennäköisyyslaskentamenetelmällä, joka on kehitetty nimetyssä sydän- ja verisuonikirurgian instituutissa. A. N. Bakulev aiheutti noin 50% virheellisistä diagnooseista.
Määritelmä 1. He sanovat, että jossain kokemuksessa tapahtuma A aiheuttaa jota seuraa tapahtuman toteutuminen IN, jos tapahtuman sattuessa A tapahtuma tulee IN. Merkintä tälle määritelmälle A Ì IN. Alkeistapahtumien kannalta tämä tarkoittaa, että jokainen alkeistapahtuma sisältyy A, sisältyy myös IN.
Määritelmä 2. Tapahtumat A Ja IN kutsutaan yhtäläisiksi tai vastaaviksi (merkitty A= IN), Jos A Ì IN Ja INÌ A eli A Ja IN koostuvat samoista alkeistapahtumista.
Luotettava tapahtuma edustaa kattava joukko Ω, ja mahdotonta tapahtumaa esittää tyhjä osajoukko Æ siinä. Tapahtumien yhteensopimattomuus A Ja IN tarkoittaa, että vastaavat osajoukot A Ja INälä leikkaa: A∩IN = Æ.
Määritelmä 3. Kahden tapahtuman summa A Ja IN(merkitty KANSSA= A + IN) kutsutaan tapahtumaksi KANSSA, joka koostuu tulee ainakin yksi tapahtumista A tai IN(summan konjunktio "tai" on avainsana), ts. tulee tai A, tai IN, tai A Ja IN yhdessä.
Esimerkki. Anna kahden ampujan ampua maaliin samanaikaisesti, ja tapahtuma A koostuu siitä, että ensimmäinen ampuja osuu maaliin, ja tapahtuma B- että toinen ampuja osuu maaliin. Tapahtuma A+ B tarkoittaa, että maali osuu, tai toisin sanoen, että vähintään yksi ampuja (1. ampuja tai 2. ampuja tai molemmat ampujat) osui maaliin.
Samoin äärellisen määrän tapahtumia summa A 1 , A 2 , …, A n (merkitty A= A 1 + A 2 + … + A n) tapahtumaa kutsutaan A, joka koostuu vähintään yhden esiintyminen tapahtumista A minä( i = 1, … , n) tai mielivaltainen kokoelma A minä( i = 1, 2, … , n).
Esimerkki. Tapahtumien summa A, B, C on tapahtuma, joka koostuu yhden seuraavista tapahtumista: A, B, C, A Ja IN, A Ja KANSSA, IN Ja KANSSA, A Ja IN Ja KANSSA, A tai IN, A tai KANSSA, IN tai KANSSA,A tai IN tai KANSSA.
Määritelmä 4. Kahden tapahtuman tulos A Ja IN kutsutaan tapahtumaksi KANSSA(merkitty KANSSA = A∙ B), joka koostuu siitä, että testin seurauksena myös tapahtuma tapahtui A, ja tapahtuma IN samanaikaisesti. (Avainsana on konjunktio "ja" tapahtumien tuottamiseksi).
Samanlainen kuin äärellisen määrän tapahtumien tulos A 1 , A 2 , …, A n (merkitty A = A 1 ∙A 2 ∙…∙ A n) tapahtumaa kutsutaan A, joka koostuu siitä, että testin tuloksena tapahtuivat kaikki määritetyt tapahtumat.
Esimerkki. Jos tapahtumia A, IN, KANSSA"vaakuna" esiintyy ensimmäisessä, toisessa ja kolmannessa kokeessa, vastaavasti, sitten tapahtuma A× IN× KANSSA Kaikissa kolmessa kokeessa on pisara "vaakunaa".
Huomautus 1. Yhteensopimattomille tapahtumille A Ja IN tasa-arvo on totta A∙ B= Æ, missä Æ on mahdoton tapahtuma.
Huomautus 2. Tapahtumat A 1 , A 2, … , A n muodostaa täydellisen ryhmän pareittain yhteensopimattomia tapahtumia, jos .
Määritelmä 5. Vastakkaiset tapahtumat kutsutaan kahta ainutlaatuisesti mahdollista yhteensopimatonta tapahtumaa, jotka muodostavat täydellisen ryhmän. Tapahtuma vastakkainen tapahtumalle A, merkitty . Tapahtuma vastakkainen tapahtumalle A, on lisäys tapahtumaan A joukkoon Ω.
Vastakkaisille tapahtumille kaksi ehtoa täyttyy samanaikaisesti A∙= Æ ja A+= Ω.
Määritelmä 6. Eron mukaan tapahtumia A Ja IN(merkitty A– IN) kutsutaan tapahtumaksi, joka koostuu siitä, että tapahtuma A tulee, ja tapahtuma IN - ei ja se on tasavertainen A– IN= A× .
Huomaa, että tapahtumat A + B, A ∙ B, , A-B on kätevää tulkita graafisesti Euler–Venn-kaavioiden avulla (kuva 1.1).
|
Riisi. 1.1. Operaatiot tapahtumille: negaatio, summa, tulo ja erotus |
Muotoilkaamme esimerkki näin: anna kokea G koostuu satunnaisesta ammunnasta alueella Ω, jonka pisteet ovat alkeistapahtumia ω. Olkoon alueelle Ω pääseminen luotettava tapahtuma Ω ja alueelle pääsy A Ja IN– vastaavasti tapahtumia A Ja IN. Sitten tapahtumat A+B(tai AÈ IN- valo alue kuvassa), A∙ B(tai AÇ IN - alue keskustassa), A-B(tai A\IN - vaaleat osa-alueet) vastaa neljää kuvaa kuvassa. 1.1. Edellisen esimerkin olosuhteissa, joissa kaksi ampujaa ampuu maaliin, tapahtumien tulos A Ja IN tulee tapahtuma C = AÇ IN, joka koostuu molemmilla nuolilla osumisesta kohteeseen.
Huomautus 3. Jos tapahtumien operaatiot esitetään operaatioina joukoille ja tapahtumat esitetään jonkin joukon Ω osajoukkoina, niin tapahtumien summa A+B sopii liittoon AÈ IN nämä osajoukot ja tapahtumien tulos A∙ B- risteys A∩IN nämä alajoukot.
Siten tapahtumien operaatiot voidaan liittää joukkojen operaatioihin. Tämä vastaavuus näkyy taulukossa. 1.1
Taulukko 1.1
|
Nimitykset |
Todennäköisyyskieli |
Joukkoteorian kieli |
|
Avaruuselementti. tapahtumia |
Universaali setti |
|
|
Alkeistapahtuma |
Elementti yleissarjasta |
|
|
Satunnainen tapahtuma |
Alkioiden osajoukko ω arvosta Ω |
|
|
Luotettava tapahtuma |
Kaikkien ω |
|
|
Mahdoton tapahtuma |
Tyhjä setti |
|
|
AМ В |
A aiheuttaa IN |
A– osajoukko IN |
|
A+B(AÈ IN) |
Tapahtumien summa A Ja IN |
Sarjojen liitto A Ja IN |
|
A× V(AÇ IN) |
Tuottaa tapahtumia A Ja IN |
Joukkojen risteys A Ja IN |
|
A – B(A\IN) |
Tapahtuman ero |
Aseta ero |
Tapahtumien toimilla on seuraavat ominaisuudet:
A + B = B + A, A ∙ B = B ∙ A(kommutatiivinen);
(A + B) ∙ C = A× C + B× C, A ∙ B + C =(A+C) × ( B + C) (jakelu);
(A + B) + KANSSA = A + (B + C), (A∙ B) ∙ KANSSA= A ∙ (B∙C) (assosiatiivinen);
A + A = A, A ∙ A = A;
A + Ω = Ω, A∙ Ω = A;
Tapahtumien algebralliset operaatiot määrittelevät säännöt tapahtumien käsittelemiselle ja sallivat yhden tapahtuman ilmaisemisen toisella tavalla. Tapahtumien operaatioita voidaan soveltaa vain tapahtumiin, jotka edustavat saman elementaarisen tapahtumaavaruuden osajoukkoja.
Tapahtuman toiminnot voidaan visualisoida Venn-kaavioiden avulla. Kaavioissa tapahtumat vastaavat tason eri alueita, mikä tarkoittaa tavanomaisesti elementaaristen tapahtumien osajoukkoja, joista tapahtumat muodostuvat. Siten kuvan 1.1 kaavioissa alkeistapahtumien avaruus vastaa neliön sisäisiä pisteitä, tapahtuma A ympyrän sisäisiä pisteitä ja tapahtuma B kolmion sisäisiä pisteitä. Se, että tapahtumat A ja B ovat alkeistapahtumien (A, B) avaruuden osajoukkoja, on esitetty kuvioiden 1.1a, b kaavioissa.
Tapahtumien A ja B summa (liitto) on tapahtuma C=A+B (tai C=AB), joka koostuu siitä, että ainakin yksi tapahtumista A tai B tapahtuu. Tapahtuma C koostuu kaikista alkeistapahtumista jotka kuuluvat ainakin yhteen tapahtumista A tai B tai molemmista tapahtumista. Kaaviossa (kuva 1.2.) tapahtuma C vastaa varjostettua aluetta C, joka edustaa alueiden A ja B liittoa. Samoin useiden tapahtumien A 1, A 2,..., A n summaa kutsutaan tapahtumaksi. C, joka koostuu siitä, että ainakin yksi tapahtumista tapahtuu A i, i=:
Tapahtumien summa yhdistää kaikki alkeistapahtumat, joista muodostuu A i, i=. Jos tapahtumat E 1, E 2,…, E n muodostavat täydellisen ryhmän, niin niiden summa on yhtä suuri kuin luotettava tapahtuma:
Alkeistapahtumien summa on yhtä suuri kuin luotettava tapahtuma
Tapahtumien A ja B tulo (leikkauskohta) on tapahtuma C=AB (tai C=AB), joka koostuu tapahtumien A ja B yhteisesiintymisestä. Tapahtuma C koostuu niistä alkeistapahtumista, jotka kuuluvat sekä A:lle että B:lle. Kuvassa 1.3.a tapahtumaa C edustaa alueiden A ja B leikkauspiste. Jos A ja B ovat yhteensopimattomia tapahtumia, niin niiden tulo on mahdoton tapahtuma, eli AB = (Kuva 1.3.b).
Tapahtumien A 1, A 2,…, A n tulo on tapahtuma C, joka koostuu kaikkien tapahtumien A i, i= samanaikaisesta suorittamisesta:
Pareittain yhteensopimattomien tapahtumien tulot A 1, A 2,…, A n ovat mahdottomia tapahtumia: A i A j =, mille tahansa ij:lle. Tapahtumien tulot, jotka muodostavat kokonaisen ryhmän, ovat mahdottomia tapahtumia: E i E j =, ij, alkeistapahtumien tuotteet ovat myös mahdottomia tapahtumia: ij =, ij.
Tapahtumien A ja B välistä eroa kutsutaan tapahtumaksi C=A_B (C=AB), joka koostuu siitä, että tapahtuma A tapahtuu ja tapahtuma B ei tapahdu Tapahtuma C koostuu niistä alkeistapahtumista, jotka kuuluvat A:lle ja eivät kuulu kuuluvat B:hen. Kuvassa näytetty kaavio tapahtumien erosta. 1.4. Kaavio osoittaa, että C=A_B=
Vastakkainen tapahtuma tapahtumalle A (tai sen komplementille) on tapahtuma, joka koostuu siitä, että tapahtumaa A ei tapahtunut. Vastakkainen tapahtuma täydentää tapahtumaa A kokonaiseksi ryhmäksi ja koostuu niistä alkeistapahtumista, jotka kuuluvat avaruuteen ja eivät kuulu tapahtumaan A (kuva 1.5). Näin ollen ero luotettavan tapahtuman ja tapahtuman A välillä: =_A.
Tapahtuman toimintojen ominaisuudet.
Siirtymäominaisuudet: A+B=B+A, A·B=В·A.
Ominaisuuksien yhdistäminen: (A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC).
Jakaumaominaisuus: A(B+C)=AB+AC.
Tapahtumien toimintojen määritelmistä seuraa ominaisuuksia
A+A=A; A+=; A+=A; A·A=A; A = A; A·=
Vastakkaisen tapahtuman määritelmästä seuraa, että
A+=; A=; =A; =; =; ;
Kuvan 1.4 kaaviosta yhteisten tapahtumien välisen eron ominaisuudet käyvät ilmi:
Jos A ja B ovat yhteensopimattomia tapahtumia, niin
Myös yhteisten tapahtumien ominaisuudet ovat ilmeiset
Vastakkaisille tapahtumille ovat totta ominaisuudet, joita joskus kutsutaan De Morganin säännöksi tai kaksinaisuuden periaatteeksi: liiton ja leikkauspisteen operaatiot vaihtavat paikkaa siirryttäessä vastakkaisiin tapahtumiin
Todiste kaksinaisuuden periaatteesta voidaan saada graafisesti käyttämällä Venn-kaavioita tai analyyttisesti käyttämällä ominaisuuksia 1-6
On huomattava, että toimintoja, jotka ovat samankaltaisia kuin "samankaltaisten termien vähentäminen" ja nostaminen potenssiin lukualgebrassa, ei voida hyväksyä suoritettaessa operaatioita tapahtumien kanssa.
Esimerkiksi tapahtumien kanssa toimiessa oikeat toiminnot ovat:
Toimien virheellinen soveltaminen analogisesti algebrallisten toimintojen kanssa: (A+B)B=A+BB=A johtaa väärään tulokseen (tarkista käyttämällä Venn-kaavioita!).
Esimerkki 1.11. Todista henkilöllisyydet
a) (A+C)(B+C)=AB+C;
b) AC_B = AC_BC
a) (A+C)(B+C) = AB+CB+AC+CC = AB+C(A+B)+C= =AB+C(A+B)+C = AB+C(A+ B+ ) = AB+C = AB+C;
b) AC_B = AC = CA = C(A_B) = SA_SV = AC_BC
Esimerkki 1.12. Palkinto arvotaan kahden show-ohjelman finalistin välillä. Arvonta suoritetaan yksitellen ensimmäiseen onnistuneeseen yritykseen asti, kunkin osallistujan yrityksiä on rajoitettu kolmeen. Ensimmäinen finalisti aloittaa ensimmäisenä. Seuraavat tapahtumat otetaan huomioon: A = (ensimmäinen finalisti voitti palkinnon); B=(toinen finalisti voitti palkinnon). 1) Lisää nämä tapahtumat koko ryhmään ja luo sille luotettava tapahtuma. 2) Kokoa täydellinen ryhmä alkeistapahtumia. 3) Ilmaise ensimmäisen kokonaisen ryhmän tapahtumat alkeistapahtumien kautta. 4) Kokoa muita kokonaisia tapahtumaryhmiä ja tallenna luotettavia tapahtumia niiden kautta.
1) Tapahtumat A ja B ovat yhteensopimattomia ryhmän täydentämiseksi yhteensopimattomalla tapahtumalla C = (kukaan ei voittanut palkintoa). Luotettava tapahtuma = (joko ensimmäinen finalisti voittaa palkinnon tai toinen tai kukaan ei voita) on yhtä suuri kuin: =A+B+C.
2) Esitetään tapahtumia, jotka kuvaavat jokaisen yrityksen lopputulosta kullekin pelaajalle ja jotka eivät riipu kilpailun ehdoista: A i = (ensimmäinen finalisti suoritti i:nnen yrityksen), B i = (toinen finalisti suoritti onnistuneesti i:nnen yrityksen), . Näissä tapahtumissa ei oteta huomioon kilpailun ehtoja, joten ne eivät ole alkeellisia palkinnon voittamisen kannalta. Mutta näiden tapahtumien avulla tapahtumien operaatioiden avulla on mahdollista luoda täydellinen ryhmä perustapahtumia, jotka huomioivat voiton ehdot ensimmäisellä onnistuneella yrityksellä: 1 = (ensimmäinen finalisti voitti palkinnon ensimmäisellä yrittämällä), 2 = (toinen finalisti voitti palkinnon ensimmäisellä yrityksellä), 3 = (ensimmäinen finalisti voitti palkinnon toisella yrityksellä), 4 = (toinen finalisti voitti palkinnon toisella yrityksellä), 5 = (ensimmäinen finalisti voitti palkinto kolmannella yrityksellä), 6 =(toinen finalisti voitti palkinnon kolmannella yrityksestä), 7 =( kumpikaan finalisti epäonnistui voittamaan palkintoa kolmen yrityksen jälkeen). Kilpailun ehtojen mukaan
1 = A 1, 2 =, 3 =, 4 =,
5 =, 6 = , 7 = .
Täydellinen ryhmä alkeistapahtumia: =( 1 ,…, 7 )
3) Tapahtumat A ja B ilmaistaan alkeistapahtumien kautta summausoperaatioilla, C on sama kuin alkeistapahtuma:
4) Myös kokonaiset tapahtumaryhmät ovat tapahtumia
Vastaavat luotettavat tapahtumat:
=(ensimmäinen finalisti joko voittaa palkinnon tai ei)=;
=(toinen finalisti joko voittaa palkinnon tai ei)=;
=(joko he eivät voita palkintoa tai he voittavat)=.
Oletamme, että todellisen kokemuksen (kokeen) tulos voi olla yksi tai useampi toisensa poissulkeva tulos; nämä tulokset ovat hajoamattomia ja toisensa poissulkevia. Tässä tapauksessa kokeen sanotaan päättyvän yhteen ja vain yhteen alkeellinen tulos.
Kaikki tämän seurauksena tapahtuvat alkeistapahtumat satunnainen kokeilu, kutsumme sitä alkeistapahtumien tila W (alkeistapahtuma vastaa alkeistulosta).
Satunnaisia tapahtumia(tapahtumat), kutsumme alkeistapahtumien avaruuden osajoukkoja W .
Esimerkki 1. Heitetään kolikko kerran.
Kolikko voi pudota, kun numero on ylöspäin - alkeistapahtuma w c (tai w 1), tai vaakuna - alkeistapahtuma w Г (tai w 2).
Vastaava alkeistapahtumien avaruus W koostuu kahdesta alkeistapahtumasta: i W = (w c, w Г) tai W = (w 1, w 2). i Esimerkki 2. Heitämme noppaa kerran. Tässä kokeessa alkeistapahtumien avaruus W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), missä w A- menetys A pisteitä. Tapahtuma A- saada parillinen määrä pisteitä,
Esimerkki 3. Piste sijoitetaan satunnaisesti (satunnaisesti) janalle. Pisteen etäisyys janan vasemmasta päästä mitataan. Tässä kokeessa alkeistapahtumien avaruus W = on yksikkösegmentin reaalilukujen joukko.
Tarkemmin, muodollisesti, alkeistapahtumat ja alkeistapahtumien tila kuvataan seuraavasti.
Alkeistapahtumien avaruus on mielivaltainen joukko W, W =(w). Tämän joukon W alkioita w kutsutaan alkeellisia tapahtumia .
Käsitteet alkeistapahtuma, tapahtuma, alkeistapahtumien tila, ovat todennäköisyysteorian alkuperäisiä käsitteitä.
Alkeistapahtumien tilasta on mahdotonta antaa tarkempaa kuvausta. Kunkin reaalimallin kuvaamiseksi valitaan vastaava tila W. Tapahtuma W on nimeltään luotettava
tapahtuma. Luotettava tapahtuma ei voi epäonnistua kokeen seurauksena.
aina tapahtuu i Esimerkki 4. Heitämme noppaa kerran. i Luotettava tapahtuma on, että heitettyjen pisteiden määrä on vähintään yksi ja enintään kuusi, ts. W = (w 1, l 2, 3, 4, 5, 6), missä w
- menetys
pisteet, on luotettava tapahtuma. Mahdoton tapahtuma on tyhjä joukko..
Mahdoton tapahtuma ei voi tapahtua kokeen seurauksena ei koskaan tapahdu.
Satunnainen tapahtuma voi tapahtua tai ei tapahtua kokeen seurauksena, se
tapahtuu joskus A Esimerkki 5. Heitämme noppaa kerran. A Yli kuuden pisteen heittäminen on mahdoton tapahtuma.
Tapahtuman vastakohta A kutsutaan tapahtumaksi, joka koostuu siitä, että tapahtuma i Esimerkki 4. Heitämme noppaa kerran. i ei tapahtunut. Merkitään , . A Esimerkki 6. Heitämme noppaa kerran.
Tapahtuma
A Ja B silloin tapahtuma on parittoman määrän pisteitä esiintyminen. Tässä W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), missä w lasit, .= (w 2 , w 4 , w 6 ), = . A Yhteensopimattomat tapahtumat ovat tapahtumia B, jota varten A A B = Esimerkki 7. Heitämme noppaa kerran. A pisteitä. Tapahtuma Tapahtuma- parillisen määrän pisteitä heittäminen, tapahtuma A- pudonnut pistemäärä on alle kaksi. Tapahtuma B A Ja koostuu parillisesta määrästä pisteitä, jotka ovat pienempiä kuin kaksi. Tämä on mahdotonta, B=
Määrä tapahtumia A Ja B(w 1), A tai B = , ne. tapahtumia B- B = ,
yhteensopimaton. i Esimerkki 4. Heitämme noppaa kerran. i on tapahtuma, joka koostuu kaikista johonkin tapahtumaan kuuluvista alkeistapahtumista A B. A B Tapahtuma(l 5, l 6).
Tapahtuma B- B = (w 2 ,w 4 , w 5, w 6 ) on, että joko heitettiin parillinen määrä pisteitä tai neljää suurempi määrä pisteitä, ts. tapahtui tapahtuma A, tai tapahtuma B = , Se on selvää B- B W.
Työ tapahtumia A Ja B on tapahtuma, joka koostuu kaikista elementaarisista tapahtumista, jotka samanaikaisesti kuuluvat tapahtumiin A Ja B = , ne. tapahtumia AB.
Esimerkki 9. Heitämme noppaa kerran. Tässä kokemuksessa alkeistapahtumien tila W = ( w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), jossa alkeistapahtuma w i Esimerkki 4. Heitämme noppaa kerran. i on tapahtuma, joka koostuu kaikista johonkin tapahtumaan kuuluvista alkeistapahtumista A B. A= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), tapahtuma B- heittää enemmän kuin neljä pistettä, Tapahtuma(l 5, l 6).
Tapahtuma A B koostuu siitä, että heitetään parillinen määrä pisteitä, suurempi kuin neljä, ts. A sekä tapahtumia että tapahtumaa ja tapahtuma B = B, A A B(w 6)
Eron mukaan tapahtumia A Ja B W. A on tapahtuma, joka koostuu kaikista alkeistapahtumista, jotka kuuluvat B = , ne. tapahtumia , mutta ei kuulu.
A\B A B. A= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), tapahtuma B- heittää enemmän kuin neljä pistettä, Tapahtuma Esimerkki 10. Heitämme noppaa kerran. Tapahtuma B = (l 5, l 6). Tapahtuma A A\ (w 2 ,w 4 ) on, että heitetään parillinen määrä pisteitä, enintään neljä, ts. tapahtui tapahtuma- saada parillinen määrä pisteitä,
ja tapahtumaa ei tapahtunut
B, A\B 
.
Se on selvää
, (A+A=A, AA=A,)Tasa-arvot on helppo todistaa:.
A+B
C=AC+BC
Tapahtumien summan ja tuotteen määritelmät siirtyvät äärettömiin tapahtumasarjoihin:
, tapahtuma, joka koostuu alkeistapahtumista, joista jokainen kuuluu vähintään yhteen seuraavista; - , tapahtuma, joka koostuu alkeistapahtumista, joista jokainen kuuluu samanaikaisesti kaikille. Olkoon W mielivaltainen alkeistapahtumien avaruus, ja näin joukko satunnaisia tapahtumia, joille seuraava pätee: W , AB, A+B
ja A\B, jos A ja B. Kutsutaan tapahtumajoukolle määritetty numeerinen funktio P : (A todennäköisyys, A Jos ; ) 0 mille tahansa
mille tahansa vähenevälle tapahtumasarjalle ( i ) alkaen ,, siten, että , yhtäläisyys pätee..