Edellisessä osassa omistettu geometrisen merkityksen analyysille selvä integraali, saimme useita kaavoja kaarevan puolisuunnikkaan alueen laskemiseksi:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x jatkuvalle ja ei-negatiiviselle funktiolle y = f (x) välillä [ a ; b ],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x jatkuvalle ja ei-positiiviselle funktiolle y = f (x) välillä [ a ; b ] .
Nämä kaavat soveltuvat suhteellisen yksinkertaisten ongelmien ratkaisemiseen. Todellisuudessa joudumme usein työskentelemään monimutkaisempien lukujen kanssa. Tältä osin omistamme tämän osan algoritmien analyysille sellaisten kuvioiden alueen laskemiseksi, joita funktiot rajoittavat eksplisiittisessä muodossa, ts. kuten y = f(x) tai x = g(y).
LauseOlkoon funktiot y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) määriteltyjä ja jatkuvia välillä [ a ; b ] ja f 1 (x) ≤ f 2 (x) mille tahansa arvolle x alkaen [ a ; b ] . Sitten kaava kuvan G pinta-alan laskemiseksi, rajoittaa linjat x = a, x = b, y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) on muotoa S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.
Samanlaista kaavaa voidaan soveltaa viivojen y = c, y = d, x = g 1 (y) ja x = g 2 (y) rajoittaman kuvion alueelle: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y.
Todiste
Tarkastellaan kolmea tapausta, joissa kaava on voimassa.
Ensimmäisessä tapauksessa, kun otetaan huomioon pinta-alan additiivisuus, alkuperäisen kuvan G ja kaarevan puolisuunnikkaan G1 pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin kuvan G2 pinta-ala. Tämä tarkoittaa sitä
Siksi S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Voimme suorittaa viimeisen siirtymän käyttämällä määrätyn integraalin kolmatta ominaisuutta.
Toisessa tapauksessa yhtälö on tosi: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Graafinen kuva näyttää tältä:
Jos molemmat funktiot ovat ei-positiivisia, saadaan: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Graafinen kuva näyttää tältä:
Jatketaan tarkastelemaan yleistä tapausta, kun y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) leikkaavat O x -akselin.
Merkitsemme leikkauspisteitä x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Nämä pisteet jakavat janan [a; b ] n osaan x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, missä α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Siten,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Voimme tehdä viimeisen siirtymän käyttämällä määrätyn integraalin viidettä ominaisuutta.
Havainnollistetaan yleinen tapaus kaaviossa.
Kaavaa S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x voidaan pitää todistettuna.
Siirrytään nyt analysoimaan esimerkkejä sellaisten kuvioiden alueen laskemisesta, joita rajoittavat viivat y = f (x) ja x = g (y).
Aloitamme minkä tahansa esimerkin tarkastelun rakentamalla kaavion. Kuva antaa meille mahdollisuuden edustaa monimutkaisia hahmoja kuinka yhdistää enemmän yksinkertaiset hahmot. Jos kaavioiden ja kuvioiden rakentaminen niille on sinulle vaikeaa, voit tutkia perusfunktioita, funktiokaavioiden geometrista muuntamista sekä kaavioiden rakentamista funktiota tutkiessasi.
Esimerkki 1
On tarpeen määrittää kuvion pinta-ala, jota rajoittavat paraabeli y = - x 2 + 6 x - 5 ja suorat viivat y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Ratkaisu
Piirretään kaavioon suorat suorakulmaisessa koordinaatistossa.
Segmentillä [ 1 ; 4 ] paraabelin y = - x 2 + 6 x - 5 kuvaaja sijaitsee suoran y = - 1 3 x - 1 2 yläpuolella. Tässä suhteessa vastauksen saamiseksi käytämme aiemmin saatua kaavaa sekä menetelmää määrätyn integraalin laskentaan käyttämällä Newton-Leibnizin kaavaa:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Vastaus: S(G) = 13
Katsotaanpa monimutkaisempaa esimerkkiä.
Esimerkki 2
On tarpeen laskea kuvion pinta-ala, jota rajoittavat suorat y = x + 2, y = x, x = 7.
Ratkaisu
IN tässä tapauksessa meillä on vain yksi x-akselin suuntainen suora. Tämä on x = 7. Tämä edellyttää, että löydämme itse integraation toisen rajan.
Rakennetaan graafi ja piirretään sille tehtävänlauseessa annetut suorat.
Kun kuvaaja on silmiemme edessä, voimme helposti määrittää, että integroinnin alaraja on suoran y = x ja puoliparaabelin y = x + 2 kuvaajan leikkauspisteen abskissa. Abskissan löytämiseksi käytämme yhtälöitä:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Osoittautuu, että leikkauspisteen abskissa on x = 2.
Kiinnitämme huomiosi siihen, että piirustuksen yleisessä esimerkissä suorat y = x + 2, y = x leikkaavat pisteessä (2; 2), joten tällaiset yksityiskohtaiset laskelmat voivat tuntua tarpeettomilta. Toimme tämän tänne yksityiskohtainen ratkaisu vain siksi, että monimutkaisemmissa tapauksissa ratkaisu ei ehkä ole niin ilmeinen. Tämä tarkoittaa, että on aina parempi laskea suorien leikkauspisteen koordinaatit analyyttisesti.
Aikavälillä [ 2 ; 7] funktion y = x kuvaaja sijaitsee funktion y = x + 2 kaavion yläpuolella. Lasketaan pinta-ala kaavalla:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Vastaus: S (G) = 59 6
Esimerkki 3
On tarpeen laskea kuvion pinta-ala, jota rajoittavat funktioiden y = 1 x ja y = - x 2 + 4 x - 2 kuvaajat.
Ratkaisu
Piirretään kaavioon viivat.
Määritellään integraation rajat. Tätä varten määritämme suorien leikkauspisteiden koordinaatit vertaamalla lausekkeet 1 x ja - x 2 + 4 x - 2. Edellyttäen, että x ei ole nolla, yhtälö 1 x = - x 2 + 4 x - 2 tulee ekvivalentiksi kolmannen asteen yhtälön - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 kanssa kokonaislukukertoimilla. Päivittääksemme muistiasi tällaisten yhtälöiden ratkaisun algoritmista, voimme viitata osioon "Kuutioyhtälöiden ratkaiseminen".
Tämän yhtälön juuri on x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Jakamalla lauseke - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomiaalilla x - 1, saadaan: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x -1) = 0
Löydämme loput juuret yhtälöstä x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Löysimme välin x ∈ 1; 3 + 13 2, jossa kuvio G on sinisen yläpuolella ja punaisen viivan alapuolella. Tämä auttaa meitä määrittämään kuvan alueen:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Vastaus: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Esimerkki 4
On tarpeen laskea kuvion pinta-ala, jota rajoittavat käyrät y = x 3, y = - log 2 x + 1 ja abskissa-akseli.
Ratkaisu
Piirretään kaikki kaavion viivat. Funktion y = - log 2 x + 1 kuvaaja saadaan kaaviosta y = log 2 x, jos sijoitamme sen symmetrisesti x-akselin ympäri ja siirretään yksikköä ylöspäin. X-akselin yhtälö on y = 0.
Merkitään viivojen leikkauspisteet.
Kuten kuvasta näkyy, funktioiden y = x 3 ja y = 0 kuvaajat leikkaavat pisteessä (0; 0). Tämä tapahtuu, koska x = 0 on yhtälön x 3 = 0 ainoa todellinen juuri.
x = 2 on yhtälön - log 2 x + 1 = 0 ainoa juuri, joten funktioiden y = - log 2 x + 1 ja y = 0 kuvaajat leikkaavat pisteessä (2; 0).
x = 1 on yhtälön x 3 = - log 2 x + 1 ainoa juuri. Tässä suhteessa funktioiden y = x 3 ja y = - log 2 x + 1 kuvaajat leikkaavat pisteessä (1; 1). Viimeinen lause ei ehkä ole ilmeinen, mutta yhtälöllä x 3 = - log 2 x + 1 ei voi olla enempää kuin yksi juuri, koska funktio y = x 3 on tiukasti kasvava ja funktio y = - log 2 x + 1 on tiukasti laskeva.
Toinen ratkaisu sisältää useita vaihtoehtoja.
Vaihtoehto #1
Voimme kuvitella kuvion G kahden x-akselin yläpuolella sijaitsevan kaarevan puolisuunnikkaan summana, joista ensimmäinen sijaitsee keskiviivan alapuolella janalla x ∈ 0; 1, ja toinen on punaisen viivan alapuolella janalla x ∈ 1; 2. Tämä tarkoittaa, että pinta-ala on yhtä suuri kuin S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Vaihtoehto nro 2
Kuvio G voidaan esittää kahden kuvion erotuksena, joista ensimmäinen sijaitsee x-akselin yläpuolella ja sinisen viivan alapuolella janalla x ∈ 0; 2, ja toinen punaisten ja sinisten viivojen välissä janalla x ∈ 1; 2. Tämän avulla voimme löytää alueen seuraavasti:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Tässä tapauksessa alueen löytämiseksi sinun on käytettävä kaavaa muodossa S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Itse asiassa kuviota rajoittavat viivat voidaan esittää argumentin y funktioina.
Ratkaistaan yhtälöt y = x 3 ja - log 2 x + 1 x:n suhteen:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Saamme tarvittavan alueen:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Vastaus: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Esimerkki 5
On tarpeen laskea kuvion pinta-ala, jota rajoittavat suorat y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Ratkaisu
Punaisella viivalla piirretään funktion y = x määrittelemä suora. Piirretään viiva y = - 1 2 x + 4 sinisellä ja viiva y = 2 3 x - 3 mustalla.
Merkitään risteyspisteet.
Etsitään funktioiden y = x ja y = - 1 2 x + 4 kuvaajien leikkauspisteet:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Tarkista: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ei Onko yhtälön ratkaisu x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 on yhtälön ⇒ (4; 2) leikkauspisteen ratkaisu i y = x ja y = - 1 2 x + 4
Etsitään funktioiden y = x ja y = 2 3 x - 3 kuvaajien leikkauspiste:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Tarkista: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 on yhtälön ⇒ (9 ; 3) ratkaisu piste a s y = x ja y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Yhtälölle ei ole ratkaisua
Etsitään suorien y = - 1 2 x + 4 ja y = 2 3 x - 3 leikkauspiste:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) leikkauspiste y = - 1 2 x + 4 ja y = 2 3 x - 3
Menetelmä nro 1
Kuvitellaan halutun kuvion pinta-ala yksittäisten kuvioiden pinta-alojen summana.
Sitten kuvion pinta-ala on:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Menetelmä nro 2
Alkuperäisen kuvion pinta-ala voidaan esittää kahden muun hahmon summana.
Sitten ratkaisemme suoran yhtälön suhteessa x:ään ja vasta sen jälkeen käytämme kaavaa kuvan pinta-alan laskemiseksi.
y = x ⇒ x = y 2 punainen viiva y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 musta viiva y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Alue on siis:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 v + 9 2 - - 2 v + 8 pv y + ∫ 2 3 3 2 v + 9 2 - y 2 pv y = = ∫ 1 2 7 2 v - 7 2 pv 2 + ∫ 3 3 2 v + 9 2 - y 2 pv = = 7 4 v 2 - 7 4 v 1 2 + - y 3 3 + 3 v 2 4 + 9 2 v 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Kuten näet, arvot ovat samat.
Vastaus: S (G) = 11 3
TuloksetRajoitetun hahmon alueen löytäminen annetut rivit meidän täytyy rakentaa viivoja tasolle, löytää niiden leikkauspisteet ja soveltaa kaavaa alueen löytämiseen. Tässä osiossa tarkastelimme yleisimpiä tehtävien muunnelmia.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
Tehtävä nro 3. Piirrä piirustus ja laske viivojen rajaama pinta-alaIntegraalin soveltaminen sovellettujen ongelmien ratkaisuun
Pinta-alan laskenta
Jatkuvan ei-negatiivisen funktion f(x) määrätty integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin käyrän y = f(x), O x -akselin ja suorien x = a ja x rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala = b. Tämän mukaisesti pinta-alakaava kirjoitetaan seuraavasti:
Katsotaanpa joitain esimerkkejä tasokuvioiden pinta-alojen laskemisesta.
Tehtävä nro 1. Laske linjojen y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 rajoittama alue.
Ratkaisu. Muodostetaan kuvio, jonka pinta-ala meidän on laskettava.
y = x 2 + 1 on paraabeli, jonka haarat on suunnattu ylöspäin ja paraabelia on siirretty ylöspäin yhden yksikön verran suhteessa O y -akseliin (kuva 1).
Kuva 1. Kuvaaja funktiosta y = x 2 + 1
Tehtävä nro 2. Laske viivojen y = x 2 – 1, y = 0 rajoittama alue välillä 0 - 1.
 |
Ratkaisu. Tämän funktion kuvaaja on ylöspäin suunnattujen haarojen paraabeli, ja paraabelia on siirretty O y -akselin suhteen alaspäin yhden yksikön verran (kuva 2).
Kuva 2. Kuvaaja funktiosta y = x 2 – 1
Tehtävä nro 3. Piirrä piirustus ja laske viivojen rajaama pinta-ala
y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4.
Ratkaisu. Ensimmäinen näistä kahdesta suorasta on paraabeli, jonka haarat on suunnattu alaspäin, koska x 2:n kerroin on negatiivinen, ja toinen suora on suora, joka leikkaa molemmat koordinaattiakselit.
Paraabelin muodostamiseksi löydämme sen kärjen koordinaatit: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – kärjen abskissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 on sen ordinaatti, N(1;9) on kärki.
Etsitään nyt paraabelin ja suoran leikkauspisteet ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä:
Yhtälön oikeat puolet, joiden vasemmat sivut ovat yhtä suuret.
Saamme 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 tai x 2 – 12 = 0, mistä 
.
Pisteet ovat siis paraabelin ja suoran leikkauspisteitä (kuva 1).
Kuva 3 Kuvaajat funktioista y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4
Muodostetaan suora y = 2x – 4. Se kulkee koordinaattiakseleiden pisteiden (0;-4), (2;0) kautta.
Paraabelin rakentamiseen voidaan käyttää myös sen leikkauspisteitä 0x-akselin kanssa eli yhtälön 8 + 2x – x 2 = 0 tai x 2 – 2x – 8 = 0 juuria. Vietan lauseella se on helppoa löytääkseen sen juuret: x 1 = 2, x 2 = 4.
Kuva 3 esittää kuvion (parabolinen segmentti M 1 N M 2), jota rajoittavat nämä viivat.
Toinen osa ongelmasta on löytää tämän kuvan alue. Sen pinta-ala voidaan löytää käyttämällä määrättyä integraalia kaavan mukaan 
.
Tämän ehdon suhteen saamme integraalin: 
2 Kierroskappaleen tilavuuden laskeminen
Kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörimällä käyrää y = f(x) O x -akselin ympäri, lasketaan kaavalla:
Kierrettäessä O y -akselin ympäri kaava näyttää tältä:
Tehtävä nro 4. Määritä suorien x = 0 x = 3 ja käyrän y = O x -akselin ympäri rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan pyörimisestä saadun kappaleen tilavuus.
Ratkaisu. Piirretään kuva (kuva 4).
Kuva 4. Kuvaaja funktiosta y =
Tarvittava tilavuus on 
Tehtävä nro 5. Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kaarevan puolisuunnikkaan, jota rajoittavat käyrä y = x 2 ja suorat y = 0 ja y = 4 O y -akselin ympäri.
Ratkaisu. Meillä on:
Tarkista kysymykset
Itse asiassa, jotta voit löytää hahmon alueen, et tarvitse niin paljon tietoa epämääräisestä ja määrätystä integraalista. Tehtävä "laske pinta-ala määrätyn integraalin avulla" sisältää aina piirustuksen rakentamisen, joten se on paljon enemmän ajankohtainen aihe on tietosi ja taitosi piirtämiseen. Tältä osin on hyödyllistä päivittää muistisi pääkaavioista perustoiminnot, ja vähintään pystyä rakentamaan suoran ja hyperbolin.
Kaareva puolisuunnikas on litteä kuvio, jota rajoittavat akseli, suorat viivat ja funktion kuvaaja, joka on jatkuva janalla, joka ei muuta etumerkkiä tällä välillä. Olkoon tämä kuva paikannettava ei alempana x-akseli:
Tällöin kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin kiinteä integraali. Jokaisella (olemassa olevalla) kiinteällä integraalilla on erittäin hyvä geometrinen merkitys.
Geometrian näkökulmasta tarkka integraali on AREA.
Eli tietty integraali (jos se on olemassa) vastaa geometrisesti tietyn kuvan aluetta. Tarkastellaan esimerkiksi tarkkaa integraalia. Integrandi määrittelee käyrän akselin yläpuolella olevalle tasolle (haluavat voivat piirtää), ja itse määrätty integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin pinta-ala vastaava kaareva puolisuunnikas.
Esimerkki 1
Tämä on tyypillinen tehtävälausunto. Ensin ja tärkein hetki ratkaisut - piirustuksen rakentaminen. Lisäksi piirustus on laadittava OIKEIN.
Piirustusta laadittaessa suosittelen seuraavaa järjestystä: ensin on parempi rakentaa kaikki suorat (jos sellaisia on) ja vasta sitten - paraabelit, hyperbolit ja muiden funktioiden kuvaajat. On kannattavampaa rakentaa funktioiden kuvaajia piste pisteeltä.
Tässä ongelmassa ratkaisu saattaa näyttää tältä.
Piirretään piirustus (huomaa, että yhtälö määrittää akselin):
Jaksolla funktion kuvaaja sijaitsee akselin yläpuolella, joten:
Vastaus:
Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirustusta ja selvittää, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa "silmällä" laskemme solujen lukumäärän piirustuksessa - no, niitä on noin 9, se näyttää olevan totta. On täysin selvää, että jos saisimme esimerkiksi vastauksen: 20 neliöyksiköitä, silloin on ilmeistä, että jossain on tehty virhe - 20 solua ei selvästikään mahdu kyseiseen kuvioon, korkeintaan tusina. Jos vastaus on kielteinen, myös tehtävä ratkaistiin väärin.
Esimerkki 3
Laske viivojen ja koordinaattiakseleiden rajoittaman kuvan pinta-ala.
Ratkaisu: Tehdään piirustus:
Jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alla (tai ainakin ei korkeampi annettu akseli), sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:
Tässä tapauksessa:
Huomio! Kahden tyyppisiä tehtäviä ei pidä sekoittaa:
1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan yksinkertaisesti määrätty integraali ilman geometristä merkitystä, se voi olla negatiivinen.
2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri käsitellyssä kaavassa.
Käytännössä kuva sijoittuu useimmiten sekä ylempään että alempaan puolitasoon, ja siksi yksinkertaisimmista koulutehtävistä siirrytään merkityksellisempiin esimerkkeihin.
Esimerkki 4
Etsi alue litteä figuuri, jota rajoittavat viivat , .
Ratkaisu: Ensin sinun on tehtävä piirustus. Yleisesti ottaen piirustusta rakennettaessa aluetehtävässä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsitään paraabelin ja suoran leikkauspisteet. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen menetelmä on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:
Tämä tarkoittaa, että integraation alaraja on, integraation yläraja on.
On parempi, jos mahdollista, olla käyttämättä tätä menetelmää.
On paljon kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa viivoja piste kerrallaan, ja integraation rajat selviävät "itsensä". Silti analyyttistä rajojen etsintämenetelmää on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai yksityiskohtainen rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia). Ja harkitsemme myös tällaista esimerkkiä.
Palataan tehtäväämme: on järkevämpää rakentaa ensin suora ja vasta sitten paraabeli. Tehdään piirustus:
Ja nyt työkaava: Jos segmentillä jokin jatkuva funktio on suurempi tai yhtä suuri kuin jokin jatkuva funktio, niin kuvion pinta-ala, aikataulujen rajoittama annetut funktiot ja suorat , , löytyvät kaavalla: 
Täällä sinun ei enää tarvitse miettiä, missä kuva sijaitsee - akselin yläpuolella vai akselin alapuolella, ja karkeasti sanottuna on tärkeää, mikä kuvaaja on KORKEAmpi (suhteessa toiseen kuvaajaan) ja mikä on ALALLA.
Tarkasteltavassa esimerkissä on ilmeistä, että segmentillä paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi siitä on vähennettävä
Valmis ratkaisu voi näyttää tältä:
Haluttua lukua rajoittaa paraabeli yläpuolella ja suora viiva alla.
Segmentillä vastaavan kaavan mukaan:
Vastaus:
Esimerkki 4
Laske viivojen , , , , rajoittaman kuvion pinta-ala.
Ratkaisu: Tehdään ensin piirustus:
Figuuri, jonka alueen meidän on löydettävä, on varjostettu sinisellä (katso tarkkaan kuntoa - kuinka figuuri on rajoitettu!). Mutta käytännössä huomaamattomuudesta johtuen "häiriö" tapahtuu usein, että sinun on löydettävä vihreällä varjostettu alue!
Tämä esimerkki on hyödyllinen myös siinä mielessä, että se laskee kuvion alueen kahdella kiinteällä integraalilla.
Todellakin:
1) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on suoran kaavio;
2) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on hyperbolin kuvaaja.
On aivan selvää, että alueet voidaan (ja pitäisi) lisätä, joten:
Kuinka lisätä matemaattisia kaavoja verkkosivustolle?
Jos sinun on joskus lisättävä yksi tai kaksi matemaattista kaavaa verkkosivulle, helpoin tapa tehdä tämä on artikkelissa kuvattu: matemaattiset kaavat voidaan helposti lisätä sivustolle kuvien muodossa, jotka Wolfram Alpha luo automaattisesti. . Yksinkertaisuuden lisäksi tämä universaali menetelmä auttaa parantamaan sivuston näkyvyyttä hakukoneissa. Se on toiminut pitkään (ja mielestäni toimii ikuisesti), mutta on jo moraalisesti vanhentunut.
Jos käytät säännöllisesti matemaattisia kaavoja sivustollasi, suosittelen käyttämään MathJaxia - erityistä JavaScript-kirjastoa, joka näyttää matemaattiset merkinnät verkkoselaimissa käyttäen MathML-, LaTeX- tai ASCIIMathML-merkintöjä.
On kaksi tapaa aloittaa MathJaxin käyttö: (1) käyttämällä yksinkertaista koodia, voit nopeasti yhdistää MathJax-skriptin verkkosivustoosi, joka ladataan automaattisesti etäpalvelimelta oikeaan aikaan (palvelinluettelo); (2) lataa MathJax-skripti etäpalvelimelta palvelimellesi ja yhdistä se sivustosi kaikille sivuille. Toinen tapa - monimutkaisempi ja aikaa vievä - nopeuttaa sivustosi sivujen latautumista, ja jos MathJax-ylennyspalvelin ei jostain syystä ole tilapäisesti käytettävissä, tämä ei vaikuta omaan sivustoosi millään tavalla. Näistä eduista huolimatta valitsin ensimmäisen menetelmän, koska se on yksinkertaisempi, nopeampi eikä vaadi teknisiä taitoja. Seuraa esimerkkiäni, ja vain 5 minuutissa voit käyttää kaikkia MathJaxin ominaisuuksia sivustollasi.
Voit yhdistää MathJax-kirjaston komentosarjan etäpalvelimelta käyttämällä kahta koodivaihtoehtoa, jotka on otettu MathJaxin pääsivustolta tai dokumentaatiosivulta:
Yksi näistä koodivaihtoehdoista on kopioitava ja liitettävä verkkosivusi koodiin, mieluiten tunnisteiden väliin ja tai välittömästi tagin jälkeen. Ensimmäisen vaihtoehdon mukaan MathJax latautuu nopeammin ja hidastaa sivua vähemmän. Mutta toinen vaihtoehto valvoo ja lataa automaattisesti MathJaxin uusimmat versiot. Jos lisäät ensimmäisen koodin, se on päivitettävä säännöllisesti. Jos lisäät toisen koodin, sivut latautuvat hitaammin, mutta sinun ei tarvitse jatkuvasti seurata MathJax-päivityksiä.
Helpoin tapa yhdistää MathJax on Bloggerissa tai WordPressissä: lisää sivuston ohjauspaneeliin widget, joka on suunniteltu lisäämään kolmannen osapuolen JavaScript-koodia, kopioi siihen ensimmäinen tai toinen versio yllä esitetystä latauskoodista ja aseta widget lähemmäs. mallin alkuun (muuten, tämä ei ole ollenkaan välttämätöntä, koska MathJax-skripti ladataan asynkronisesti). Siinä kaikki. Opi nyt MathML:n, LaTeX:n ja ASCIIMathML:n merkintäsyntaksi, ja olet valmis lisäämään matemaattisia kaavoja sivustosi verkkosivuille.
Mikä tahansa fraktaali rakennetaan tietyn säännön mukaan, jota sovelletaan johdonmukaisesti rajoittamattoman määrän kertoja. Jokaista tällaista aikaa kutsutaan iteraatioksi.
Iteratiivinen algoritmi Menger-sienen rakentamiseksi on melko yksinkertainen: alkuperäinen kuutio, jonka sivu on 1, jaetaan sen pintojen suuntaisilla tasoilla 27 yhtä suureen kuutioon. Siitä poistetaan yksi keskuskuutio ja 6 sen vieressä olevaa kuutiota. Tuloksena on sarja, joka koostuu jäljellä olevista 20 pienemmästä kuutiosta. Kun teemme samoin jokaisen näistä kuutioista, saamme sarjan, joka koostuu 400 pienemmästä kuutiosta. Jatkamalla tätä prosessia loputtomasti, saamme Menger-sienen.