Etsi kohtisuora vektori. Tiettyyn vektoriin nähden kohtisuoran vektorin löytäminen, esimerkkejä ja ratkaisuja

Etsi kysymyksen osiosta vektori, joka on kohtisuorassa kirjoittajan antamia kahta annettua vektoria vastaan Anna Afanasjeva paras vastaus on vektori, joka on kohtisuorassa kahteen ei-rinnakkaiseen vektoriin, löytyy niiden vektoriksi vektorituote ahv, sen löytämiseksi täytyy muodostaa determinantti, jonka ensimmäinen rivi koostuu yksiköstä vektorit I,j,k, toinen on vektorin a koordinaateista, kolmas on vektorin b koordinaateista. Determinantti katsotaan ensimmäisen rivin laajennuksena, sinun tapauksessasi saat akhv=20i-10k tai ahv=(20,0,-10).

Vastaus lähettäjältä 22 vastausta[guru]

Hei! Tässä on valikoima aiheita ja vastauksia kysymykseesi: etsi vektori, joka on kohtisuorassa kahta annettua vektoria vastaan

Vastaus lähettäjältä ojentaa[aloittelija]
Kahden ei-rinnakkaisvektorin kanssa kohtisuorassa oleva vektori löytyy niiden vektoritulona xb, jonka löytämiseksi sinun on muodostettava determinantti, jonka ensimmäinen rivi koostuu yksikkövektoreista I, j, k, toinen - koordinaateista. vektorin a, kolmas - vektorin b koordinaateista. Determinantti katsotaan ensimmäisen rivin laajennuksena, sinun tapauksessasi saat akhv=20i-10k tai ahv=(20,0,-10).

Vastaus lähettäjältä HAYKA[guru]
Ratkaise se karkeasti näin; Mutta ensin, lue kaikki itse!! !
Laskea pistetuote vektorit d ja r, jos d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Vektorin a moduuli on 4, vektorin b moduuli on 6. Kulma vektorien a ja b välillä on 60 astetta, vektori c on kohtisuorassa vektoreihin a ja b nähden.
Pisteet E ja F sijaitsevat vastaavasti suunnikkaan ABCD sivuilla AD ja BC, joissa AE = ED, BF: FC = 4: 3. a) Ilmaista vektori EF vektoreilla m = vektori AB ja vektori n = vektori AD. b) Voiko yhtäläisyysvektori EF = x kerrottuna vektorilla CD päteä mille tahansa x:n arvolle? .

ohm Tätä varten esittelemme ensin segmentin käsitteen.

Määritelmä 1

Janaa kutsutaan osaksi suoraa, jota rajaavat pisteet molemmilta puolilta.

Määritelmä 2

Jakson päät ovat pisteitä, jotka rajoittavat sitä.

Esitelläksemme vektorin määritelmän, kutsumme yhtä segmentin päistä sen alkua.

Määritelmä 3

Kutsumme vektoriksi (suunnattu segmentti) janaa, jonka rajapiste on sen alku ja joka on sen loppu.

Merkintä: \overline(AB) on vektori AB, joka alkaa pisteestä A ja päättyy pisteeseen B.

Muuten yhdellä pienellä kirjaimella: \overline(a) (kuva 1).

Määritelmä 4

Kutsumme nollavektoriksi mitä tahansa tasoon kuuluvaa pistettä.

Symboli: \overline(0) .

Esittelemme nyt määritelmän suoraan kollineaariset vektorit.

Esittelemme myös skalaaritulon määritelmän, jota tarvitsemme myöhemmin.

Määritelmä 6

Kahden annetun vektorin skalaaritulo on skalaari (tai luku), joka on yhtä suuri kuin näiden kahden vektorin pituuksien tulo näiden vektorien välisen kulman kosinin kanssa.

Matemaattisesti se voi näyttää tältä:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

Pistetulo voidaan löytää myös käyttämällä vektorien koordinaatteja seuraavasti

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

Merkki kohtisuorasta suhteellisuuden kautta

Lause 1

Jotta nollasta poikkeavat vektorit olisivat kohtisuorassa toisiinsa nähden, on välttämätöntä ja riittävää, että niiden näiden vektorien skalaaritulo on nolla.

Todiste.

Välttämättömyys: Annetaan vektorit \overline(α) ja \overline(β), joilla on koordinaatit (α_1,α_2,α_3) ja (β_1,β_2,β_3) ja ne ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Sitten meidän on todistettava seuraava yhtäläisyys

Koska vektorit \overline(α) ja \overline(β) ovat kohtisuorassa, niiden välinen kulma on 90^0. Etsitään näiden vektorien skalaaritulo käyttämällä määritelmän 6 kaavaa.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0 = 0

Riittävyys: Olkoon tasa-arvo totta \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Osoitetaan, että vektorit \overline(α) ja \overline(β) ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden.

Määritelmän 6 mukaan tasa-arvo on totta

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

Siksi vektorit \overline(α) ja \overline(β) ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden.

Lause on todistettu.

Esimerkki 1

Osoita, että vektorit, joiden koordinaatit (1,-5,2) ja (2,1,3/2) ovat kohtisuorassa.

Todiste.

Etsitään näiden vektorien skalaaritulo käyttämällä yllä annettua kaavaa

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

Tämä tarkoittaa, että Lauseen 1 mukaan nämä vektorit ovat kohtisuorassa.

Kohtisuoran vektorin löytäminen kahteen annettuun vektoriin ristituloa käyttämällä

Otetaan ensin käyttöön vektoritulon käsite.

Määritelmä 7

Kahden vektorin vektoritulo on vektori, joka on kohtisuorassa molempiin annettuihin vektoreihin nähden, ja sen pituus on yhtä suuri kuin näiden vektorien pituuksien tulo näiden vektorien välisen kulman sinillä, ja myös tämä vektori kahden vektorin kanssa. Alkuperäisillä on sama suuntaus kuin suorakulmaisella koordinaattijärjestelmällä.

Nimitys: \overline(α)х\overline(β) x.

Käytämme kaavaa löytääksemme vektoritulon

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

Koska kahden vektorin ristitulon vektori on kohtisuorassa molempiin vektoreihin nähden, se on vektori. Eli löytääksesi vektorin, joka on kohtisuorassa kahteen vektoriin, sinun tarvitsee vain löytää niiden vektoritulo.

Esimerkki 2

Etsi vektori, joka on kohtisuorassa vektoreihin, joiden koordinaatit ovat \overline(α)=(1,2,3) ja \overline(β)=(-1,0,3)

Etsitään näiden vektorien vektoritulo.

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x

Tämä artikkeli paljastaa kahden vektorin kohtisuoran merkityksen tasossa kolmiulotteisessa avaruudessa ja sellaisen vektorin koordinaattien löytämisen, joka on kohtisuorassa yhteen tai kokonaiseen vektoripariin. Aihe soveltuu suorien ja tasojen yhtälöitä koskeviin ongelmiin.

Tarkastellaan tarpeellista ja riittävää ehtoa kahden vektorin kohtisuoralle, ratkaistaan menetelmä, jolla löydetään kohtisuorassa oleva vektori tiettyyn vektoriin nähden ja tarkastellaan tilanteita, joissa löydetään vektori, joka on kohtisuorassa kahta vektoria vastaan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tarpeellinen ja riittävä ehto kahden vektorin kohtisuoralle

Sovelletaan sääntöä kohtisuorasta vektorista tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa.

Määritelmä 1

Edellyttäen, että kahden nollasta poikkeavan vektorin välinen kulma on 90 ° (π 2 radiaania), kutsutaan kohtisuorassa.

Mitä tämä tarkoittaa ja missä tilanteissa niiden kohtisuorasta on tiedettävä?

Pystysuoraisuus on mahdollista piirustuksen avulla. Kun piirrät vektoria tasolle annetuista pisteistä, voit mitata geometrisesti niiden välisen kulman. Vaikka vektorien kohtisuora on määritetty, se ei ole täysin tarkka. Useimmiten nämä tehtävät eivät salli sinun tehdä tätä astemittarilla, joten tätä menetelmää voidaan soveltaa vain silloin, kun vektoreista ei tiedetä mitään.

Useimmat tapaukset, joissa todistetaan kahden nollasta poikkeavan vektorin kohtisuora tasossa tai avaruudessa, tehdään käyttämällä välttämätön ja riittävä ehto kahden vektorin kohtisuoralle.

Lause 1

Kahden nollasta poikkeavan vektorin a → ja b → skalaaritulo, jotka ovat yhtä suuria kuin nolla, täyttämään yhtälön a → , b → = 0 on riittävä niiden kohtisuoraan.

Todisteet 1

Olkoon annetut vektorit a → ja b → kohtisuorassa, niin todistetaan yhtälö a ⇀ , b → = 0 .

Määritelmästä vektorien pistetulo tiedämme, että se on yhtä suuri annettujen vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman kosinin tulo. Ehdolla a → ja b → ovat kohtisuorassa, mikä tarkoittaa määritelmän perusteella, että niiden välinen kulma on 90°. Sitten meillä on a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .

Todistuksen toinen osa

Edellyttäen, että a ⇀, b → = 0, todistaa kohtisuoran a → ja b →.

Itse asiassa todiste on päinvastainen kuin edellinen. Tiedetään, että a → ja b → eivät ole nollia, mikä tarkoittaa, että yhtälöstä a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ löydämme kosinin. Sitten saadaan cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Koska kosini on nolla, voimme päätellä, että vektorien a → ja b → kulma a →, b → ^ on yhtä suuri kuin 90 °. Määritelmän mukaan tämä on välttämätön ja riittävä ominaisuus.

Kohtisuorausehto koordinaattitasolla

Luku skalaaritulo koordinaatteina osoittaa epäyhtälön (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , pätee vektoreille, joiden koordinaatit a → = (a x , a y) ja b → = (b x , b y), tasossa ja (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y vektoreille a → = (a x , a y , a z) ja b → = (b x , b y , b z) avaruudessa. Tarvittava ja riittävä ehto kahden vektorin kohtisuoralle koordinaattitasossa on a x · b x + a y · b y = 0, kolmiulotteiselle avaruudelle a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.

Laitetaan se käytäntöön ja katsotaan esimerkkejä.

Esimerkki 1

Tarkista kahden vektorin a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4) kohtisuoran ominaisuus.

Ratkaisu

Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on löydettävä skalaaritulo. Jos ehdon mukaan se on nolla, niin ne ovat kohtisuorassa.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Ehto täyttyy, mikä tarkoittaa, että annetut vektorit ovat kohtisuorassa tasoon nähden.

Vastaus: kyllä, annetut vektorit a → ja b → ovat kohtisuorassa.

Esimerkki 2

Dans koordinaattivektorit i → , j → , k → . Tarkista, voivatko vektorit i → - j → ja i → + 2 · j → + 2 · k → olla kohtisuorassa.

Ratkaisu

Jotta muistat kuinka vektorin koordinaatit määritetään, sinun on luettava artikkeli aiheesta vektorikoordinaatit suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä. Siten havaitaan, että annetuilla vektoreilla i → - j → ja i → + 2 · j → + 2 · k → on vastaavat koordinaatit (1, - 1, 0) ja (1, 2, 2). Korvaamme numeeriset arvot ja saamme: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

Lauseke ei ole yhtä suuri kuin nolla, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, mikä tarkoittaa, että vektorit i → - j → ja i → + 2 j → + 2 k → eivät ole kohtisuorassa, koska ehto ei täyty.

Vastaus: ei, vektorit i → - j → ja i → + 2 · j → + 2 · k → eivät ole kohtisuorassa.

Esimerkki 3

Annetut vektorit a → = (1, 0, - 2) ja b → = (λ, 5, 1). Etsi λ:n arvo, jossa nämä vektorit ovat kohtisuorassa.

Ratkaisu

Käytämme kahden avaruuden vektorin kohtisuoran ehtoa neliön muodossa, niin saamme

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Vastaus: vektorit ovat kohtisuorassa arvossa λ = 2.

On tapauksia, jolloin kysymys kohtisuorasta on mahdoton edes välttämättömässä ja riittävässä tilanteessa. Kun otetaan huomioon tunnetut tiedot kolmion kolmelta sivulta kahdella vektorilla, on mahdollista löytää vektorien välinen kulma ja tarkista se.

Esimerkki 4

Annettu kolmio A B C, jonka sivut ovat A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm. Tarkista vektorien A B → ja A C → kohtisuora.

Ratkaisu

Jos vektorit A B → ja A C → ovat kohtisuorassa, katsotaan kolmio A B C suorakaiteen muotoiseksi. Sitten sovelletaan Pythagoraan lausetta, jossa B C on kolmion hypotenuusa. Yhtälön B C 2 = A B 2 + A C 2 on oltava tosi. Tästä seuraa, että 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Tämä tarkoittaa, että A B ja A C ovat kolmion A B C haarat, joten A B → ja A C → ovat kohtisuorassa.

On tärkeää oppia löytämään vektorin koordinaatit, jotka ovat kohtisuorassa annettuun vektoriin nähden. Tämä on mahdollista sekä tasossa että avaruudessa edellyttäen, että vektorit ovat kohtisuorassa.

Tiettyyn vektoriin nähden kohtisuorassa tasossa olevan vektorin löytäminen.

Nollasta poikkeavalla vektorilla a → voi olla ääretön määrä kohtisuoraa vektoreita tasolla. Kuvataan tämä koordinaattiviivalla.

Annettu nollasta poikkeava vektori a →, joka sijaitsee suoralla a. Silloin tietystä b →, joka sijaitsee millä tahansa suoralla, joka on kohtisuorassa suoraa a vastaan, tulee kohtisuora a →:ää vastaan. Jos vektori i → on kohtisuorassa vektoriin j → tai mihin tahansa vektoreista λ · j →, jossa λ on yhtä suuri kuin mikä tahansa muu reaaliluku kuin nolla, niin etsitään vektorin b → koordinaatit kohtisuorassa a → = (a x , a y) kanssa ) pelkistetään äärettömään joukkoon ratkaisuja. Mutta on välttämätöntä löytää vektorin koordinaatit, joka on kohtisuorassa a → = (a x , a y) . Tätä varten on tarpeen kirjoittaa ylös vektorien kohtisuoraisuuden ehto seuraavassa muodossa: a x · b x + a y · b y = 0. Meillä on b x ja b y, jotka ovat halutut kohtisuoran vektorin koordinaatit. Kun a x ≠ 0, b y:n arvo ei ole nolla, ja b x voidaan laskea epäyhtälöstä a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Kun a x = 0 ja a y ≠ 0, annamme b x:lle minkä tahansa muun arvon kuin nollan ja löydämme b y lausekkeesta b y = - a x · b x a y .

Esimerkki 5

Annettu vektori, jonka koordinaatit a → = (- 2 , 2) . Etsi vektori, joka on kohtisuorassa tätä vastaan.

Ratkaisu

Merkitään haluttu vektori muodossa b → (b x , b y) . Sen koordinaatit saadaan ehdolla, että vektorit a → ja b → ovat kohtisuorassa. Sitten saadaan: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Määritetään b y = 1 ja korvataan: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Näin ollen kaavasta saadaan b x = - 2 - 2 = 1 2. Tämä tarkoittaa, että vektori b → = (1 2 , 1) on vektori, joka on kohtisuorassa a → kohtaan.

Vastaus: b → = (1 2 , 1) .

Jos kysymys esitetään kolmiulotteisesta avaruudesta, ongelma ratkaistaan samalla periaatteella. Tietylle vektorille a → = (a x , a y , a z) on ääretön määrä kohtisuoraa vektoreita. Korjaa tämän kolmiulotteiseen koordinaattitasoon. Annettu → makaa rivillä a. Suoraan a kohtisuorassa oleva taso on merkitty α:lla. Tässä tapauksessa mikä tahansa nollasta poikkeava vektori b → tasosta α on kohtisuorassa a →:n suhteen.

On tarpeen löytää koordinaatit b → kohtisuorassa nollasta poikkeavaan vektoriin a → = (a x , a y , a z) .

Olkoon b → annettu koordinaateilla b x , b y ja b z . Niiden löytämiseksi on tarpeen soveltaa kahden vektorin kohtisuoran ehdon määritelmää. Yhtälön a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 on täytettävä. Ehdosta a → ei ole nolla, mikä tarkoittaa, että yhden koordinaatin arvo ei ole nolla. Oletetaan, että a x ≠ 0, (a y ≠ 0 tai a z ≠ 0). Siksi meillä on oikeus jakaa koko epäyhtälö a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 tällä koordinaatilla, saadaan lauseke b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Annamme koordinaateille b y ja b x minkä tahansa arvon, laskemme b x:n arvon kaavan b x = - a y · b y + a z · b z a x perusteella. Halutulla kohtisuoralla vektorilla on arvo a → = (a x, a y, a z).

Katsotaanpa todistusta esimerkin avulla.

Esimerkki 6

Annettu vektori, jonka koordinaatit a → = (1, 2, 3) . Etsi vektori, joka on kohtisuora annettuun nähden.

Ratkaisu

Merkitään haluttua vektoria b → = (b x , b y , b z) . Sillä edellytyksellä, että vektorit ovat kohtisuorassa, skalaaritulon on oltava nolla.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Jos arvo on b y = 1, b z = 1, niin b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Tästä seuraa, että vektorin b → (- 5 , 1 , 1) koordinaatit. Vektori b → on yksi vektoreista, jotka ovat kohtisuorassa annettuun nähden.

Vastaus: b → = (-5, 1, 1).

Kahta annettua vektoria vastaan kohtisuorassa olevan vektorin koordinaattien löytäminen

Meidän on löydettävä vektorin koordinaatit kolmiulotteisessa avaruudessa. Se on kohtisuorassa ei-kollineaarisiin vektoreihin a → (a x , a y , a z) ja b → = (b x , b y , b z) . Edellyttäen, että vektorit a → ja b → ovat kollineaarisia, riittää löytää vektori, joka on kohtisuorassa a → tai b → suhteen tehtävässä.

Ratkaisussa käytetään vektorien vektoritulon käsitettä.

Vektoritulo vektoreista a → ja b → on vektori, joka on samanaikaisesti kohtisuorassa sekä a → että b → suhteen. Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytetään vektorituloa a → × b →. Kolmiulotteiselle avaruudelle se on muotoa a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Tarkastellaan vektorituloa yksityiskohtaisemmin esimerkkitehtävän avulla.

Esimerkki 7

Vektorit b → = (0, 2, 3) ja a → = (2, 1, 0) on annettu. Etsi minkä tahansa vektorin koordinaatit, jotka ovat kohtisuorassa dataan nähden samanaikaisesti.

Ratkaisu

Ratkaisua varten sinun on löydettävä vektorien vektoritulo. (Katso kappale matriisin determinantin laskeminen löytääksesi vektorin). Saamme:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Vastaus: (3 , - 6 , 4) - vektorin koordinaatit, joka on samanaikaisesti kohtisuorassa annettuja a → ja b → suhteen.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Ohjeet

Jos alkuperäinen vektori on kuvattu piirustuksessa suorakaiteen muotoisena kaksiulotteisena koordinaattijärjestelmänä ja sinne on rakennettava kohtisuora, edetään vektorien kohtisuoran määritelmästä tasossa. Siinä todetaan, että tällaisen suunnatun segmentin välisen kulman on oltava 90°. Tällaisia vektoreita voidaan rakentaa ääretön määrä. Piirrä siis mikä tahansa kätevä sijainti taso on kohtisuorassa alkuperäiseen vektoriin nähden, aseta sille segmentti, joka on yhtä suuri kuin tietyn järjestetyn pisteparin pituus, ja määritä yksi sen päistä kohtisuoran vektorin alkuun. Tee tämä astemittarilla ja viivoittimella.

Jos alkuperäinen vektori on annettu kaksiulotteisilla koordinaatteilla ā = (X1;Y1), oletetaan, että kohtisuoran vektoriparin skalaaritulon on oltava nolla. Tämä tarkoittaa, että sinun on valittava halutulle vektorille ō = (X₂,Y₂) sellaiset koordinaatit, että yhtälö (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 Tämä voidaan tehdä näin: valitse mikä tahansa nollasta poikkeava arvo X2-koordinaatille ja laske Y2-koordinaatti käyttämällä kaavaa Y2 = -(X1*X2)/Y1. Esimerkiksi vektorille ā = (15;5) tulee olemaan vektori ō, jossa on abskissa, yhtä suuri kuin yksi, ja ordinaatta, joka on yhtä suuri kuin -(15*1)/5 = -3, ts. ō = (1;-3).

Kolmiulotteiselle ja mille tahansa muulle ortogonaaliselle koordinaattijärjestelmälle pätee sama välttämätön ja riittävä ehto vektorien kohtisuoralle - niiden skalaaritulon on oltava nolla. Siksi, jos alkuperäinen suunnattu segmentti on annettu koordinaateilla ā = (X1,Y₁,Z₁), valitse järjestetylle pisteparille ō = (X2,Y₂,Z2) kohtisuorassa siihen nähden sellaiset koordinaatit, jotka täyttävät ehdon (ā,ō). ) = X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2 = 0. Helpoin tapa on antaa yksittäisiä arvoja X2:lle ja Y2:lle ja laskea Z2 yksinkertaistetusta yhtälöstä Z2 = -1*(X1*1 + Y1* 1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. Esimerkiksi vektorille ā = (3,5,4) tämä on seuraavassa muodossa: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Ota sitten abskissa ja ordinaatt kohtisuora vektori yhdeksi, ja tässä tapauksessa se on -(3+5)/4 = -2.

Lähteet:

etsi vektori, jos se on kohtisuorassa

Niitä kutsutaan kohtisuoraksi vektori, jonka välinen kulma on 90º. Pystysuorat vektorit muodostetaan piirtotyökaluilla. Jos niiden koordinaatit ovat tiedossa, niin vektorien kohtisuoraisuus voidaan tarkistaa tai löytää analyyttisin menetelmin.

Tarvitset

- astelevy;
- kompassi;
- hallitsija.

Ohjeet

Muodosta vektori, joka on kohtisuorassa annettua vastaan. Tätä varten palauta vektorin alussa oleva kohtisuora. Tämä voidaan tehdä astelevyllä asettamalla kulman 90º. Jos sinulla ei ole astemittaria, käytä kompassia tehdäksesi sen.

Aseta se vektorin aloituspisteeseen. Piirrä ympyrä mielivaltaisella säteellä. Rakenna sitten kaksi, joiden keskipisteet ovat pisteissä, joissa ensimmäinen ympyrä leikkaa linjan, jolla vektori sijaitsee. Näiden ympyröiden säteiden on oltava keskenään yhtä suuret ja suurempia kuin ensimmäinen muodostettu ympyrä. Muodosta ympyröiden leikkauspisteisiin suora viiva, joka on kohtisuorassa alkuperäiseen vektoriin nähden sen origossa, ja piirrä sille vektori, joka on kohtisuorassa tähän vektoriin nähden.

Yksikkövektori on: , missä – vektorimoduuli.

Vastaus:
.

Huom. Yksikkövektorin koordinaatit eivät saa olla enempää kuin yksi.

6.3. Etsi vektorin pituus- ja suuntakosinit . Vertaa edellisen kappaleen vastaukseen. Tee johtopäätökset.

Vektorin pituus on sen moduuli:

Ja voimme löytää suuntakosinit käyttämällä kaavaa yhdelle tavasta määrittää vektoreita:

Tästä näemme, että suuntakosinit ovat yksikkövektorin koordinaatteja.

Vastaus:
,
,
,
.

6.4 Löytää
.

On tarpeen suorittaa vektorin kertominen luvulla, yhteenlasku ja moduuli.

Kerromme vektorien koordinaatit luvulla termi kerrallaan.

Lisäämme vektorien koordinaatit termi kerrallaan.

Vektorin moduulin löytäminen.

Vastaus:

6.5. Määritä vektorin koordinaatit
, kollineaarinen vektorin kanssa , tietäen sen
ja se on suunnattu vektorin vastakkaiseen suuntaan .

Vektori kollineaarinen vektorin kanssa , mikä tarkoittaa, että sen yksikkövektori on yhtä suuri kuin yksikkövektori vain miinusmerkillä, koska suunnattu vastakkaiseen suuntaan.

Yksikkövektorin pituus on yhtä suuri kuin 1, mikä tarkoittaa, että jos kerrot sen viidellä, sen pituus on viisi.

löydämme

Vastaus:

6.6. Laske pistetuotteet
Ja
. Ovatko vektorit kohtisuorassa? Ja ,Ja keskenään?

Tehdään vektorien skalaaritulo.

Jos vektorit ovat kohtisuorassa, niiden skalaaritulo on nolla.

Näemme, että meidän tapauksessamme vektorit Ja kohtisuorassa.

Vastaus:
,
, vektorit eivät ole kohtisuorassa.

Huom. Skalaaritulon geometrisestä merkityksestä on käytännössä vähän hyötyä, mutta se on silti olemassa. Tällaisen toiminnan tulos voidaan kuvata ja laskea geometrisesti.

6.7. Etsi työ, jonka tekee materiaalipiste, johon voima kohdistetaan
, kun se siirretään pisteestä B pisteeseen C.

Skalaaritulon fyysinen merkitys on työ. Voimavektori on tässä , siirtymävektori on
. Ja näiden vektorien tulo on vaadittu työ.

Työpaikan löytäminen

6.8 Etsi sisäkulma kärjestä A ja ulkoinen kärkikulma C kolmio ABC .

Vektorien skalaaritulon määritelmästä saadaan kaava kulman löytämiseksi: .

IN
Etsimme sisäkulmaa yhdestä pisteestä lähtevien vektorien välisenä kulmana.

Ulkoisen kulman löytämiseksi sinun on yhdistettävä vektorit niin, että ne tulevat ulos yhdestä pisteestä. Kuva selittää tämän.

Se kannattaa huomioida
, niillä on vain erilaiset alkukoordinaatit.

Tarvittavien vektorien ja kulmien löytäminen

Vastaus: sisäkulma kärjessä A = , ulkokulma kärjessä B = .

6.9 Etsi vektorien projektiot: ja

Muistetaan vektorivektorit:
,
,
.

Projektio löytyy myös skalaaritulosta

-projektio b päällä a.

Aiemmin vastaanotetut vektorit

,
,

Projektion löytäminen

Toisen projektion löytäminen

Vastaus:
,

Huom. Miinusmerkki projektion etsimisessä tarkoittaa, että projektio ei laskeudu itse vektoriin, vaan vastakkaiseen suuntaan, viivalle, jolla tämä vektori sijaitsee.

6.10. Laskea
.

Tehdään vektorien vektoritulo

Etsitään moduuli

Löydämme vektorien välisen kulman sinin vektorien vektoritulon määritelmästä

Vastaus:
,
,
.

6.11. Etsi kolmion pinta-ala ABC ja korkeuden pituus laskeutui pisteestä C.

Vektoritulon moduulin geometrinen merkitys on, että se on näiden vektorien muodostaman suunnikkaan pinta-ala. Ja kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet suunnikkaan pinta-alasta.

Kolmion pinta-ala löytyy myös korkeuden ja pohjan tulona kahdella, josta voidaan johtaa korkeuden löytämisen kaava.

Siten löydämme korkeuden

Vastaus:
,
.

6.12 Etsi vektoreihin nähden kohtisuorassa oleva yksikkövektori Ja .

Pistetulon tulos on vektori, joka on kohtisuorassa kahteen alkuperäiseen nähden. Ja yksikkövektori on vektori jaettuna sen pituudella.

Aiemmin löysimme:

Vastaus:
.

6.13. Määritä voimamomentin suuruus- ja suuntakosinit
, sovelletaan kohtaan A suhteessa pisteeseen C.

Vektoritulon fyysinen merkitys on voimamomentti. Annetaan esimerkki tälle tehtävälle.

Voiman hetken löytäminen

Vastaus:
.

6.14. Valehtelevatko vektorit ,Ja samassa koneessa? Voivatko nämä vektorit muodostaa avaruuden perustan? Miksi? Jos he voivat, laajentaa vektoria tähän perustaan
.

Sen tarkistamiseksi, ovatko vektorit samassa tasossa, on suoritettava näiden vektorien sekatulo.

Sekoitettu tulo ei ole yhtä suuri kuin nolla, joten vektorit eivät ole samassa tasossa (eivät samassa tasossa) ja voivat muodostaa perustan. Hajotetaanpa tällä perusteella.