KOLMEN VEKTORIN SEKATUOTE JA SEN OMINAISUUDET
Sekatyötä kolmea vektoria kutsutaan numeroksi, joka on yhtä suuri kuin . Nimetty 
. Tässä kaksi ensimmäistä vektoria kerrotaan vektoriaalisesti ja sitten tuloksena oleva vektori kerrotaan skalaarisesti kolmannella vektorilla. Ilmeisesti tällainen tuote on tietty määrä.
Tarkastellaan sekatuotteen ominaisuuksia.
- Geometrinen merkitys sekatyötä. 3 vektorin sekatulo merkkiin asti on yhtä suuri kuin näille vektoreille rakennetun suuntaissärmiön tilavuus, kuten reunoilla, ts. .
Siten ja
.
Todiste. Jätetään vektorit sivuun yhteinen alku ja rakenna niille suuntaissärmiö. Merkitään ja huomioikaa se. Skalaaritulon määritelmän mukaan
Olettaen että ja merkitsemällä h etsi suuntaissärmiön korkeus.
Siis milloin
Jos, niin sitten niin. Siksi,.
Yhdistämällä nämä molemmat tapaukset, saamme tai .
Erityisesti tämän ominaisuuden todistuksesta seuraa, että jos vektoreiden kolmoisosa on oikeakätinen, niin sekatulo on , ja jos se on vasenkätinen, niin .
- Kaikille vektoreille , yhtäläisyys on totta
Tämän ominaisuuden todiste seuraa ominaisuudesta 1. On todellakin helppo osoittaa, että ja . Lisäksi merkit “+” ja “–” otetaan samanaikaisesti, koska vektorien ja ja ja väliset kulmat ovat sekä teräviä että tylppoja.
- Kun järjestät kaksi tekijää uudelleen sekatyötä vaihtaa merkkiä.
Todellakin, jos tarkastelemme sekatuotetta, niin esimerkiksi tai
- Sekatulo silloin ja vain, jos yksi tekijöistä on nolla tai vektorit ovat samassa tasossa.
Todiste.
Siten välttämätön ja riittävä ehto kolmen vektorin samantasoisuudelle on, että niiden sekatulo on yhtä suuri kuin nolla. Lisäksi tästä seuraa, että kolme vektoria muodostavat perustan avaruudessa, jos .
Jos vektorit annetaan koordinaattimuodossa, voidaan osoittaa, että niiden sekatulo löytyy kaavasta:
.Siten sekoitettu tulo on yhtä suuri kuin kolmannen kertaluvun determinantti, jolla on ensimmäisellä rivillä ensimmäisen vektorin koordinaatit, toisella rivillä toisen vektorin koordinaatit ja kolmannella rivillä kolmannen vektorin koordinaatit.
Esimerkkejä.
ANALYYTTINEN GEOMETRIA AVARUUSSA
Yhtälö F(x, y, z)= 0 määrittää avaruudessa Oxyz jokin pinta, ts. niiden pisteiden sijainti, joiden koordinaatit x, y, z täyttää tämän yhtälön. Tätä yhtälöä kutsutaan pintayhtälöksi ja x, y, z– nykyiset koordinaatit.
Usein pintaa ei kuitenkaan määritellä yhtälöllä, vaan joukkona avaruuden pisteitä, joilla on jokin ominaisuus. Tässä tapauksessa on tarpeen löytää pinnan yhtälö sen geometristen ominaisuuksien perusteella.
LENTO.
NORMAALI TASOVEKTORI.
TIETTYN PISTEEN LÄPIVÄN TASON YHTÄLÖ
Tarkastellaan mielivaltaista tasoa σ avaruudessa. Sen sijainti määritetään määrittämällä tähän tasoon nähden kohtisuorassa oleva vektori ja jokin kiinteä piste M0(x 0, v 0, z 0), joka sijaitsee σ-tasossa.
Vektori kohtisuorassa tasoon nähdenσ kutsutaan normaali tämän tason vektori. Olkoon vektorilla koordinaatit.
Johdetaan tämän pisteen läpi kulkevan tason σ yhtälö M0 ja jolla on normaali vektori. Tätä varten otetaan mielivaltainen piste tasolta σ M(x, y, z) ja harkitse vektoria .
Mihin tahansa kohtaan MО σ on vektori, joten niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla. Tämä tasa-arvo on ehto, että kohta MО σ. Se on voimassa tämän tason kaikissa pisteissä ja rikotaan heti pisteen jälkeen M on σ-tason ulkopuolella.
Jos pisteet merkitään sädevektorilla M, – pisteen sädevektori M0, niin yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon
Tätä yhtälöä kutsutaan vektori tasoyhtälö. Kirjoitetaan se koordinaattimuotoon. Siitä lähtien
Joten olemme saaneet tämän pisteen läpi kulkevan tason yhtälön. Siten, jotta voit luoda tason yhtälön, sinun on tiedettävä normaalivektorin koordinaatit ja jonkin tasossa olevan pisteen koordinaatit.
Huomaa, että tason yhtälö on 1. asteen yhtälö nykyisten koordinaattien suhteen x, y Ja z.
Esimerkkejä.
TASON YLEINEN YHTÄLÖ
Voidaan osoittaa, että mikä tahansa ensimmäisen asteen yhtälö suhteessa suorakulmaisiin koordinaatteihin x, y, z edustaa jonkin tason yhtälöä. Tämä yhtälö kirjoitetaan seuraavasti:
Ax+By+Cz+D=0
ja kutsutaan yleinen yhtälö taso ja koordinaatit A, B, C tässä ovat tason normaalivektorin koordinaatit.
Tarkastellaan yleisen yhtälön erikoistapauksia. Selvitetään kuinka taso sijaitsee suhteessa koordinaattijärjestelmään, jos yhtälön yhdestä tai useammasta kertoimesta tulee nolla.
A on akselin tason leikkaaman segmentin pituus Härkä. Vastaavasti se voidaan osoittaa b Ja c– tarkasteltavana olevan tason leikkaamien segmenttien pituudet akseleilla Oy Ja Oz.
Tasojen rakentamiseen on kätevää käyttää segmenttien tason yhtälöä.
On selvää, että vektoritulon tapauksessa vektorien järjestyksellä on merkitystä, lisäksi
Lisäksi suoraan määritelmästä seuraa, että mille tahansa skalaaritekijälle k (luku) seuraava on totta:
Vector taidetta kollineaariset vektorit on yhtä suuri kuin nollavektori. Lisäksi kahden vektorin ristitulo on nolla silloin ja vain, jos ne ovat kollineaarisia. (Jos yksi niistä on nollavektori, on muistettava, että nollavektori on määritelmän mukaan kollineaarinen minkä tahansa vektorin kanssa).
Vektorituotteella on jakeluomaisuutta, eli
Vektoritulon ilmaiseminen vektorien koordinaattien kautta.
Olkoon kaksi vektoria annettu
(Kuinka löytää vektorin koordinaatit sen alun ja lopun koordinaateista - katso artikkeli Vektorien pistetulo, kohta Vaihtoehtoinen pistetulon määritelmä tai kahden koordinaatin määrittämän vektorin pistetulon laskeminen.)
Miksi tarvitset vektorituotteen?
Ristituloa voidaan käyttää monella tapaa, esimerkiksi kuten yllä kirjoitettiin, laskemalla kahden vektorin ristitulo saadaan selville, ovatko ne kollineaarisia.
Tai sitä voidaan käyttää tapana laskea näistä vektoreista rakennetun suunnikkaan pinta-ala. Määritelmän perusteella tuloksena olevan vektorin pituus on annetun suunnikkaan pinta-ala.
Sähkössä ja magnetismissa on myös valtava määrä sovelluksia.Online-vektorituotelaskin.
Löytääksesi kahden vektorin skalaaritulon tällä laskimella, sinun on syötettävä ensimmäiselle riville ensimmäisen vektorin koordinaatit toinen - toinen. Vektorien koordinaatit voidaan laskea niiden alun ja lopun koordinaateista (katso artikkeli Vektorien pistetulo, item Vaihtoehtoinen määritelmä pistetulolle tai kahden vektorin koordinaattien pistetulon laskeminen.)
Määritelmä. Vektorin a (multiplicand) ja ei-kollineaarisen vektorin (multiplikaatti) vektoritulo on kolmas vektori c (tulo), joka rakennetaan seuraavasti:
1) sen moduuli on numeerinen yhtä suuri kuin pinta-ala suunnikas kuvassa. 155), rakennettu vektoreille, eli se on yhtä suuri kuin suunta, joka on kohtisuorassa mainitun suunnikkaan tasoon nähden;
3) tässä tapauksessa vektorin c suunta valitaan (kahdesta mahdollisesta) siten, että vektorit c muodostavat oikeakätisen järjestelmän (110 §).
Nimitys: tai
Lisäys määritelmään. Jos vektorit ovat kollineaarisia, niin kun kuva (ehdollisesti) suunnikkaaksi otetaan, on luonnollista määrittää nolla-alue. Siksi kollineaaristen vektorien vektorituloa pidetään yhtä suurena kuin nollavektori.
Koska nollavektorille voidaan osoittaa mikä tahansa suunta, tämä sopimus ei ole ristiriidassa määritelmän kappaleiden 2 ja 3 kanssa.
Huomautus 1. Termissä "ristitulo" ensimmäinen sana osoittaa, että toiminnan tulos on vektori (toisin kuin skalaarituote; ke § 104, huomautus 1).
Esimerkki 1. Etsi vektoritulo, jossa ovat oikean koordinaatiston päävektorit (kuva 156).
1. Koska päävektorien pituudet ovat yhtä mittakaavayksikköä, suunnikkaan pinta-ala (neliö) on numeerisesti yhtä suuri kuin yksi. Tämä tarkoittaa, että vektoritulon moduuli on yhtä suuri kuin yksi.
2. Koska kohtisuora tasoon nähden on akseli, haluttu vektoritulo on vektorin k kanssa kollineaarinen vektori; ja koska molemmilla on moduuli 1, haluttu vektoritulo on yhtä suuri kuin k tai -k.
3. Näistä kahdesta mahdollisesta vektorista on valittava ensimmäinen, koska vektorit k muodostavat oikeakätisen järjestelmän (ja vektorit vasenkätisen).
Esimerkki 2. Etsi ristitulo
Ratkaisu. Kuten esimerkissä 1, päättelemme, että vektori on yhtä suuri kuin k tai -k. Mutta nyt meidän on valittava -k, koska vektorit muodostavat oikeakätisen järjestelmän (ja vektorit muodostavat vasenkätisen). Niin,
Esimerkki 3. Vektorien pituudet ovat 80 ja 50 cm, ja ne muodostavat 30° kulman. Ottaen mittarin pituusyksiköksi, laske vektoritulon pituus a
Ratkaisu. Vektoreihin rakennetun suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin Halutun vektoritulon pituus on yhtä suuri kuin
Esimerkki 4. Etsi samojen vektorien vektoritulon pituus ottamalla pituusyksiköksi senttimetrejä.
Ratkaisu. Koska vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri, vektoritulon pituus on 2000 cm, ts.
Esimerkkien 3 ja 4 vertailusta käy selväksi, että vektorin pituus ei riipu pelkästään tekijöiden pituuksista vaan myös pituusyksikön valinnasta.
Vektorituotteen fyysinen merkitys. Lukuisista vektoritulon edustamista fysikaalisista suureista otamme huomioon vain voimamomentin.
Olkoon A voiman kohdistamispiste. Voiman momenttia suhteessa pisteeseen O kutsutaan vektorituloksi, koska tämän vektoritulon moduuli on numeerisesti yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala (kuva 157). Momenttimoduuli on yhtä suuri kuin kannan ja korkeuden tulo, eli voima kerrottuna etäisyydellä pisteestä O suoraviivaan, jota pitkin voima vaikuttaa.
Mekaniikassa on todistettu, että jotta jäykkä kappale olisi tasapainossa, ei ainoastaan kehoon kohdistuvia voimia edustavien vektorien summa ole yhtä suuri kuin nolla, vaan myös voimien momenttien summa. Tapauksessa, jossa kaikki voimat ovat yhdensuuntaisia yhden tason kanssa, momentteja edustavien vektorien yhteenlasku voidaan korvata niiden suuruuden lisäämisellä ja vähentämisellä. Mutta mielivaltaisilla voimien suunnalla tällainen korvaaminen on mahdotonta. Tämän mukaisesti vektoritulo määritellään tarkasti vektoriksi, ei numeroksi.
Ennen kuin annamme vektoritulon käsitteen, siirrytään kysymykseen vektorien a →, b →, c → järjestetyn kolmikon orientaatiosta kolmiulotteisessa avaruudessa.
Aluksi laitetaan sivuun vektorit a → , b → , c → yhdestä pisteestä. Kolmoiskappaleen a → , b → , c → orientaatio voi olla oikea tai vasen, riippuen vektorin c → itsensä suunnasta. Kolminkertaisen a → , b → , c → tyyppi määritetään suunnasta, johon lyhin käännös tehdään vektorista a → b → vektorin c → lopusta.
Jos lyhin käännös tehdään vastapäivään, niin vektoreiden a → , b → , c → kolmoisosaa kutsutaan oikein, jos myötäpäivään - vasemmalle.
Otetaan seuraavaksi kaksi ei-kollineaarista vektoria a → ja b →. Piirretään sitten vektorit A B → = a → ja A C → = b → pisteestä A. Muodostetaan vektori A D → = c →, joka on samanaikaisesti kohtisuorassa sekä A B → että A C → kanssa. Näin ollen, kun rakennamme itse vektoria A D → = c →, voimme tehdä sen kahdella tavalla antaen sille joko yhden suunnan tai päinvastaisen (katso kuva).
Vektorien järjestyskolmoinen a → , b → , c → voi olla, kuten havaitsimme, oikealle tai vasemmalle riippuen vektorin suunnasta.
Yllä olevasta voimme esitellä vektoritulon määritelmän. Tämä määritelmä on annettu kahdelle vektorille, jotka on määritelty suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä kolmiulotteisessa avaruudessa.
Määritelmä 1
Kahden vektorin a → ja b → vektoritulo kutsumme sellaista kolmiulotteisen avaruuden suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään määriteltyä vektoria siten, että:
- jos vektorit a → ja b → ovat kollineaarisia, se on nolla;
- se on kohtisuorassa sekä vektoriin a → että vektoriin b → ts. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
- sen pituus määritetään kaavalla: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
- vektorien kolmikon a → , b → , c → suunta on sama kuin annetulla koordinaatistolla.
Vektorien a → ja b → vektoritulolla on seuraava merkintä: a → × b →.
Vektoritulon koordinaatit
Koska millä tahansa vektorilla on tietyt koordinaatit koordinaattijärjestelmässä, voimme ottaa käyttöön toisen määritelmän vektoritulolle, jonka avulla voimme löytää sen koordinaatit vektorien annettujen koordinaattien avulla.
Määritelmä 2
Kolmiulotteisen avaruuden suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä kahden vektorin a → = (a x ; a y ; a z) ja b → = (b x ; b y ; b z) vektoritulo kutsutaan vektoriksi c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , missä i → , j → , k → ovat koordinaattivektoreita.
Vektoritulo voidaan esittää kolmannen kertaluvun neliömatriisin determinanttina, jossa ensimmäisellä rivillä on vektorivektorit i → , j → , k → , toisella rivillä vektorin a → koordinaatit ja kolmannella rivillä sisältää vektorin b → koordinaatit tietyssä suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa, tämä on matriisin determinantti näyttää tältä: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
Laajentamalla tämän determinantin ensimmäisen rivin alkioihin, saadaan yhtälö: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a = a · y b x b → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →
Ristituotteen ominaisuudet
Tiedetään, että vektoritulo koordinaateissa on esitetty matriisin determinanttina c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , sitten perusteella matriisideterminantin ominaisuudet seuraavat näytetään vektorituotteen ominaisuudet:
- antikommutatiivisuus a → × b → = - b → × a → ;
- distributiivisuus a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → tai a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
- assosiatiivisuus λ a → × b → = λ a → × b → tai a → × (λ b →) = λ a → × b →, missä λ on mielivaltainen reaaliluku.
Näillä ominaisuuksilla on yksinkertaiset todisteet.
Esimerkkinä voimme todistaa vektoritulon antikommutatiivisen ominaisuuden.
Todiste antikommutatiivisuudesta
Määritelmän mukaan a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ja b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Ja jos kaksi matriisin riviä vaihdetaan, niin matriisin determinantin arvon pitäisi muuttua päinvastaiseksi, joten a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , mikä ja todistaa, että vektoritulo on antikommutatiivinen.
Vektorituote - esimerkkejä ja ratkaisuja
Useimmissa tapauksissa ongelmia on kolmenlaisia.
Ensimmäisen tyypin tehtävissä on yleensä annettu kahden vektorin pituudet ja niiden välinen kulma, ja sinun on löydettävä vektoritulon pituus. Käytä tässä tapauksessa seuraavaa kaavaa c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .
Esimerkki 1
Laske vektorien a → ja b → vektoritulon pituus, jos tiedät a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.
Ratkaisu
Määrittämällä vektorien a → ja b → vektoritulon pituuden ratkaisemme tämän ongelman: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .
Vastaus: 15 2 2 .
Toisen tyypin ongelmilla on yhteys vektorien koordinaatteihin, niissä vektorituloon, sen pituuteen jne. etsinyt läpi tunnetut koordinaatit annetut vektorit a → = (a x; a y; a z) Ja b → = (b x ; b y ; b z) .
Tämän tyyppisissä ongelmissa voit ratkaista monia tehtävävaihtoehtoja. Esimerkiksi vektorien a → ja b → koordinaatteja ei voida määrittää, vaan niiden laajennuksia koordinaattivektorit kiltti b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → ja c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → tai vektorit a → ja b → voidaan määrittää niiden alkukoordinaateilla ja päätepisteet.
Harkitse seuraavia esimerkkejä.
Esimerkki 2
Suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa on kaksi vektoria: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Etsi heidän ristituotteensa.
Ratkaisu
Toisella määritelmällä löydämme kahden vektorin vektoritulon annetuissa koordinaateissa: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Jos kirjoitamme vektoritulon matriisin determinantin suhteen, niin ratkaisu tämä esimerkki näyttää tältä: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Vastaus: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Esimerkki 3
Laske vektorien i → - j → ja i → + j → + k → vektoritulon pituus, missä i →, j →, k → ovat suorakulmaisen karteesisen koordinaatiston yksikkövektorit.
Ratkaisu
Etsitään ensin tietyn vektoritulon i → - j → × i → + j → + k → koordinaatit annetussa suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa.
On tunnettua, että vektoreilla i → - j → ja i → + j → + k → on koordinaatit (1; - 1; 0) ja (1; 1; 1), vastaavasti. Etsitään vektoritulon pituus käyttämällä matriisin determinanttia, jolloin saadaan i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .
Siksi vektoritulolla i → - j → × i → + j → + k → on koordinaatit (- 1 ; - 1 ; 2) annetussa koordinaattijärjestelmässä.
Löydämme vektoritulon pituuden kaavalla (katso luku vektorin pituuden löytämisestä): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.
Vastaus: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .
Esimerkki 4
Suorakulmaisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa on annettu kolmen pisteen A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) koordinaatit. Etsi jokin vektori, joka on kohtisuorassa kohtiin A B → ja A C → samanaikaisesti.
Ratkaisu
Vektoreilla A B → ja A C → on seuraavat koordinaatit (- 1 ; 2 ; 2) ja (0 ; 4 ; 1) vastaavasti. Kun vektorien A B → ja A C → vektoritulo on löydetty, on selvää, että se on kohtisuora vektori määritelmän mukaan sekä A B → että A C →:lle, eli se on ratkaisu ongelmaamme. Etsitään se A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .
Vastaus: - 6 i → + j → - 4 k → . - yksi kohtisuorassa olevista vektoreista.
Kolmannen tyypin ongelmat keskittyvät vektorien vektoritulon ominaisuuksien käyttöön. Sen soveltamisen jälkeen saamme ratkaisun annettuun ongelmaan.
Esimerkki 5
Vektorit a → ja b → ovat kohtisuorassa ja niiden pituus on 3 ja 4. Laske vektoritulon pituus 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .
Ratkaisu
Vektoritulon distributiivisen ominaisuuden perusteella voimme kirjoittaa 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →
Assosiatiivisuuden ominaisuudella otamme numeeriset kertoimet pois viimeisen lausekkeen vektoritulojen etumerkistä: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →
Vektoritulot a → × a → ja b → × b → ovat yhtä kuin 0, koska a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 ja b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, sitten 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .
Vektoritulon antikommutatiivisuudesta seuraa - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .
Vektoritulon ominaisuuksia käyttämällä saadaan yhtälö 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .
Ehdon mukaan vektorit a → ja b → ovat kohtisuorassa, eli niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin π 2. Nyt on jäljellä vain korvata löydetyt arvot sopivilla kaavoilla: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .
Vastaus: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.
Vektorien vektoritulon pituus määritelmän mukaan on yhtä suuri kuin a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Koska tiedetään jo (koulun kurssilta), että kolmion pinta-ala on puolet sen kahden sivun pituuksien tulosta kerrottuna näiden sivujen välisen kulman sinillä. Näin ollen vektoritulon pituus on yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala - kaksinkertainen kolmio, nimittäin sivujen tulo vektorien a → ja b → muodossa, jotka on asetettu yhdestä pisteestä sinin avulla. niiden välinen kulma sin ∠ a →, b →.
Tämä on vektoritulon geometrinen merkitys.
Vektorituotteen fyysinen merkitys
Mekaniikassa, yhdessä fysiikan haaroista, vektorituotteen ansiosta voit määrittää voiman momentin suhteessa avaruuspisteeseen.
Määritelmä 3
Pisteeseen B kohdistetun voiman F → suhteen pisteen A perusteella ymmärrämme seuraavan vektoritulon A B → × F →.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
Englanti: Wikipedia tekee sivustosta turvallisemman. Käytät vanhaa verkkoselainta, joka ei voi muodostaa yhteyttä Wikipediaan tulevaisuudessa. Päivitä laitteesi tai ota yhteyttä IT-järjestelmänvalvojaan.
中文: The以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）.
espanja: Wikipedia on haciendo el sitio more turvaro. Usted está use and navegador web viewjo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el elfururo. Käytännössä tai ota yhteyttä järjestelmänvalvojaan. Más abajo hay una aktualización más larga y más técnica en inglés.
ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.
Ranska: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son -sivusto. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus tekniikat ja englannin sont disponibles ci-dessous.
日本語: ???す るか情報は以下に英語で提供しています.
saksaksi: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in English Sprache.
italialainen: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Pysy käyttäessäsi web-selainta che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è käytettävissä un aggiornamento più dettagliato e technico in englannin kielellä.
unkari: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A selaim, amit käytäsz, nem lesz képes kytkindni a tulevaisuudessa. Használj modernit ohjelmistot tai merkityt ongelmat a järjestelmägazdádnak. Lue lisää a yksityiskohtaisesta selityksestä (angolul).
Svenska: Wikipedia katso sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Päivitä IT-järjestelmänvalvojan yhteystiedot. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.
हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।
Poistamme tuen suojaamattomille TLS-protokollaversioille, erityisesti TLSv1.0:lle ja TLSv1.1:lle, joita selainohjelmistosi käyttää yhteyden muodostamisessa sivustoillemme. Tämä johtuu yleensä vanhentuneista selaimista tai vanhemmista Android-älypuhelimista. Tai se voi johtua yrityksen tai henkilökohtaisen "Web Security" -ohjelmiston aiheuttamasta häiriöstä, joka itse asiassa heikentää yhteyden suojausta.
Sinun on päivitettävä verkkoselaimesi tai muulla tavoin korjattava tämä ongelma päästäksesi sivustoillemme. Tämä viesti pysyy 1.1.2020 asti. Tämän päivämäärän jälkeen selaimesi ei pysty muodostamaan yhteyttä palvelimillemme.