Ongelma 1(kaarevan puolisuunnikkaan alueen laskemisesta).

Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä xOy on annettu kuva (katso kuva), jota rajoittaa x-akseli, suorat x = a, x = b (a kaarevalla puolisuunnikkaalla. On laskettava kaarevan linjan pinta-ala puolisuunnikkaan muotoinen.
Ratkaisu. Geometria antaa meille reseptejä monikulmioiden ja joidenkin ympyrän osien (sektorin, segmentin) pinta-alojen laskemiseen. Geometristen näkökohtien avulla voimme löytää vain likimääräisen arvon vaaditusta alueesta, päättely seuraavasti.

Jaetaan segmentti [a; b] (kaarevan puolisuunnikkaan kanta) kohdassa n yhtä suuret osat; tämä osio suoritetaan käyttämällä pisteitä x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Piirretään näiden pisteiden läpi suorat y-akselin suuntaiset viivat. Sitten annettu kaareva puolisuunnikas jaetaan n osaan, n kapeaan sarakkeeseen. Koko puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sarakkeiden pinta-alojen summa.

Tarkastellaan k:nnettä saraketta erikseen, ts. kaareva puolisuunnikas, jonka kanta on segmentti. Korvataan se suorakulmiolla, jolla on sama kanta ja korkeus f(x k) (katso kuva). Suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, missä $\Delta x_k $ on janan pituus; On luonnollista pitää tuloksena saatua tuotetta k:nnen sarakkeen pinta-alan likimääräisenä arvona.

Jos nyt teemme samoin kaikkien muiden sarakkeiden kanssa, tulemme seuraavaan tulokseen: tietyn kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala S on suunnilleen yhtä suuri kuin n suorakulmiosta koostuvan porrastetun kuvion pinta-ala S n (katso kuva):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \pisteet + f(x_k)\Delta x_k + \pisteet + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Tässä oletetaan merkinnän yhtenäisyyden vuoksi, että a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - segmentin pituus, $\Delta x_1 $ - segmentin pituus jne.; tässä tapauksessa, kuten yllä sovimme, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Joten $S \noin S_n $, ja tämä likimääräinen yhtälö on sitä tarkempi, mitä suurempi n.
Määritelmän mukaan uskotaan, että kaarevan puolisuunnikkaan vaadittu pinta-ala on yhtä suuri kuin sekvenssin raja (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Ongelma 2(pisteen siirtämisestä)
Materiaalipiste liikkuu suorassa linjassa. Nopeuden riippuvuus ajasta ilmaistaan kaavalla v = v(t). Etsi pisteen liike tietyn ajanjakson aikana [a; b].
Ratkaisu. Jos liike olisi tasaista, ongelma ratkeaisi hyvin yksinkertaisesti: s = vt, ts. s = v(b-a). Epätasaista liikettä varten on käytettävä samoja ideoita, joihin edellisen ongelman ratkaisu perustui.
1) Jaa aikaväli [a; b] n yhtä suureen osaan.
2) Tarkastellaan ajanjaksoa ja oletetaan, että tämän ajanjakson aikana nopeus oli vakio, sama kuin hetkellä t k. Joten oletetaan, että v = v(t k).
3) Etsitään pisteen liikkeen likimääräinen arvo tietyn ajanjakson aikana. Merkitään tämä likimääräinen arvo s k:llä
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Laske siirtymän s likimääräinen arvo:
$s \noin S_n $ missä
$S_n = s_0 + \pisteet + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \pisteet + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Vaadittu siirtymä on yhtä suuri kuin sekvenssin raja (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tehdään yhteenveto. Erilaisten ongelmien ratkaisut pelkistettiin samaan matemaattiseen malliin. Monet ongelmat eri tieteen ja teknologian aloilta johtavat samaan malliin ratkaisuprosessissa. Tämä tarkoittaa, että tätä matemaattista mallia on tutkittava erityisesti.

Määrätyn integraalin käsite

Tehdään matemaattinen kuvaus mallista, joka rakennettiin kolmeen tarkasteltuun tehtävään funktiolle y = f(x), jatkuva (mutta ei välttämättä ei-negatiivinen, kuten tarkasteluissa tehtävissä oletettiin) välillä [a; b]:
1) jakaa segmentti [a; b] n yhtä suureen osaan;
2) muodosta summa $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) laske $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Matemaattisen analyysin aikana osoitettiin, että tämä raja on olemassa jatkuvan (tai paloittain jatkuvan) funktion tapauksessa. He kutsuvat häntä funktion y = f(x) tietty integraali janan [a; b] ja merkitty seuraavasti:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Lukuja a ja b kutsutaan integroinnin rajoituksiksi (alempi ja ylempi).

Palataanpa edellä käsiteltyihin tehtäviin. Tehtävässä 1 annettu alueen määritelmä voidaan nyt kirjoittaa uudelleen seuraavasti:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
tässä S on yllä olevassa kuvassa esitetyn kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Tämä on määrätyn integraalin geometrinen merkitys.

Tehtävässä 2 annettu määritelmä pisteen siirtymälle s, joka liikkuu suorassa linjassa nopeudella v = v(t) ajanjaksolla t = a - t = b, joka on annettu tehtävässä 2, voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Newton-Leibnizin kaava

Ensin vastataan kysymykseen: mikä yhteys on määrätyn integraalin ja antiderivaatin välillä?

Vastaus löytyy tehtävästä 2. Toisaalta suorassa nopeudella v = v(t) liikkuvan pisteen siirtymä s ajanjaksolla t = a - t = b lasketaan kaava
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Toisaalta liikkuvan pisteen koordinaatti on nopeuden antiderivaata - merkitään se s(t); Tämä tarkoittaa, että siirtymä s ilmaistaan kaavalla s = s(b) - s(a). Tuloksena saamme:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
missä s(t) on v(t):n antijohdannainen.

Seuraava lause todistettiin matemaattisen analyysin aikana.
Lause. Jos funktio y = f(x) on jatkuva välillä [a; b], niin kaava on voimassa
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
jossa F(x) on f(x:n) antiderivaata.

Annettua kaavaa kutsutaan yleensä Newton-Leibnizin kaava englantilaisen fyysikon Isaac Newtonin (1643-1727) kunniaksi ja saksalainen filosofi Gottfried Leibniz (1646-1716), jotka saivat sen toisistaan riippumatta ja lähes samanaikaisesti.

Käytännössä F(b) - F(a) kirjoittamisen sijaan he käyttävät merkintää $\left. F(x)\right|_a^b $ (se on joskus ns. kaksoiskorvaus) ja kirjoita vastaavasti Newton-Leibnizin kaava uudelleen tähän muotoon:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Lasketaan selvä integraali, etsi ensin antijohdannainen ja suorita sitten kaksoiskorvaus.

Newton-Leibnizin kaavan perusteella voimme saada kaksi kiinteän integraalin ominaisuutta.

Kiinteistö 1. Toimintojen summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Kiinteistö 2. Vakiotekijä voidaan ottaa pois integraalimerkistä:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Tasokuvioiden pinta-alojen laskeminen kiinteällä integraalilla

Integraalin avulla voit laskea kaarevien puolisuunnikkaan pinta-alan lisäksi myös litteät kuviot. monimutkainen tyyppi, esimerkiksi kuvassa näkyvä. Kuvaa P rajoittavat suorat x = a, x = b ja jatkuvien funktioiden y = f(x), y = g(x) ja janalla [a; b] epäyhtälö $g(x) \leq f(x) $ pätee. Laskeaksemme tällaisen kuvion alueen S, toimimme seuraavasti:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Joten kuvion pinta-ala S, jota rajoittavat suorat viivat x = a, x = b ja funktioiden y = f(x), y = g(x) kuvaajat, jotka ovat jatkuvat janalla ja siten, että millä tahansa janan x:llä [a; b] epäyhtälö $g(x) \leq f(x) $ täyttyy kaavalla laskettuna
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Joidenkin funktioiden epämääräisten integraalien (antiderivaatojen) taulukko

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \teksti(arctg) x +C $$ $$ \int \teksti(ch) x dx = \teksti(sh) x +C $$ $$ \int \teksti(sh) x dx = \teksti(ch) ) x +C $$

Siirrytään tarkastelemaan integraalilaskennan sovelluksia. Tällä oppitunnilla analysoimme tyypillistä ja yleisintä tehtävää pinta-alalaskelmat litteä figuuri käyttämällä tiettyä integraalia. Lopulta kaikki etsimässä merkitystä korkeammassa matematiikassa - löytäkööt hänet. Et koskaan tiedä. Tosielämässä sinun on arvioitava dacha-tontti perusfunktioiden avulla ja löydettävä sen pinta-ala määrätyn integraalin avulla.

Materiaalin hallitsemiseksi onnistuneesti sinun on:

1) Ymmärrä epämääräinen integraali ainakin keskitasolla. Näin ollen nukkejen tulisi ensin lukea oppitunti Ei.

2) Osaat soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa ja laskea kiinteän integraalin. Voit luoda lämpimiä ystävällisiä suhteita tietyillä sivulla olevilla integraaleilla Varma integraali. Esimerkkejä ratkaisuista. Tehtävä "laske pinta-ala määrätyn integraalin avulla" sisältää aina piirustuksen, Siksi ajankohtainen aihe Myös piirustustietosi ja -taitosi ovat siellä. Vähintään sinun täytyy pystyä rakentamaan suora, paraabeli ja hyperbeli.

Aloitetaan kaarevasta puolisuunnikkaasta. Kaareva puolisuunnikas on litteä kuvio, jota rajoittaa jonkin funktion kuvaaja y = f(x), akseli HÄRKÄ ja linjat x = a; x = b.

Kaareva puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin määrätty integraali

Kaikilla määrätyillä integraaleilla (olemassa olevalla) on erittäin hyvä geometrinen merkitys. Luokassa Varma integraali. Esimerkkejä ratkaisuista sanoimme, että määrätty integraali on luku. Ja nyt on aika todeta toinen hyödyllinen tosiasia. Geometrian näkökulmasta tarkka integraali on AREA. eli määrätty integraali (jos se on olemassa) vastaa geometrisesti tietyn kuvion pinta-alaa. Harkitse tarkkaa integraalia

Integrand

määrittää tasolle käyrän (se voidaan piirtää haluttaessa), ja itse määrätty integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin pinta-ala vastaava kaareva puolisuunnikas.

Esimerkki 1

, , , .

Tämä on tyypillinen tehtävälausunto. Päätöksen tärkein kohta on piirustuksen rakentaminen. Lisäksi piirustus on rakennettava OIKEIN.

Piirustusta rakennettaessa suosittelen seuraavaa järjestystä: aluksi on parempi rakentaa kaikki suorat (jos niitä on) ja vain Sitten– paraabelit, hyperbelit, muiden funktioiden kuvaajat. Kohta kohdalta -rakennustekniikka löytyy vertailumateriaalista Kaaviot ja ominaisuudet perustoiminnot . Sieltä löydät myös erittäin hyödyllistä materiaalia oppitunnillemme - kuinka nopeasti rakentaa paraabeli.

Tässä ongelmassa ratkaisu saattaa näyttää tältä.

Tehdään piirustus (huomaa, että yhtälö y= 0 määrittää akselin HÄRKÄ):

Emme varjoa kaarevaa puolisuunnikasta tässä on selvää, mikä alue me puhumme. Ratkaisu jatkuu näin:

Segmentillä [-2; 1] funktiokaavio y = x 2 + 2 sijaitsee akselin yläpuolellaHÄRKÄ, Siksi:

Vastaus: .

Kenellä on vaikeuksia laskea kiinteää integraalia ja soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa

viittaa luentoon Varma integraali. Esimerkkejä ratkaisuista. Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirustusta ja selvittää, onko vastaus todellinen. IN tässä tapauksessa"silmällä" laskemme solujen lukumäärän piirustuksessa - no, niitä on noin 9, se näyttää olevan totta. On täysin selvää, että jos saisimme esimerkiksi vastauksen: 20 neliöyksiköitä, silloin on ilmeistä, että jossain on tehty virhe - 20 solua ei selvästikään mahdu kyseiseen kuvioon, korkeintaan tusina. Jos vastaus on kielteinen, myös tehtävä ratkaistiin väärin.

Esimerkki 2

Laske kuvion pinta-ala, rajoittaa linjat xy = 4, x = 2, x= 4 ja akseli HÄRKÄ.

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Mitä tehdä, jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alleHÄRKÄ?

Esimerkki 3

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y = e-x, x= 1 ja koordinaattiakselit.

Ratkaisu: Tehdään piirustus:

Jos kaareva puolisuunnikas täysin akselin alla HÄRKÄ , niin sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:

Tässä tapauksessa:

Huomio! Kahden tyyppisiä tehtäviä ei pidä sekoittaa:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan yksinkertaisesti määrätty integraali ilman geometristä merkitystä, se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri käsitellyssä kaavassa.

Käytännössä kuva sijoittuu useimmiten sekä ylempään että alempaan puolitasoon, ja siksi yksinkertaisimmista koulutehtävistä siirrytään merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4

Etsi viivojen rajaama tasokuvan pinta-ala y = 2x – x 2 , y = -x.

Ratkaisu: Ensin sinun on tehtävä piirustus. Piirustusta rakennettaessa aluetehtävissä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsitään paraabelin leikkauspisteet y = 2x – x 2 ja suora y = -x. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen menetelmä on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Tämä tarkoittaa, että integraation alaraja a= 0, integroinnin yläraja b= 3. On usein kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa viivoja piste kerrallaan, ja integroinnin rajat selviävät "itsestään". Silti analyyttistä rajojen etsintämenetelmää on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai yksityiskohtainen rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia). Palataan tehtäväämme: on järkevämpää rakentaa ensin suora ja vasta sitten paraabeli. Tehdään piirustus:

Toistetaan, että pisteittäin rakennettaessa integroinnin rajat määritetään useimmiten "automaattisesti".

Ja nyt työkaava:

Jos segmentillä [ a; b] jokin jatkuva toiminto f(x) suurempi tai yhtä suuri kuin jokin jatkuva toiminto g(x), niin vastaavan kuvan pinta-ala löytyy kaavalla:

Täällä sinun ei enää tarvitse ajatella, missä kuva sijaitsee - akselin yläpuolella tai akselin alapuolella, vaan sillä on merkitystä, kumpi kuvaaja on KORKEAmpi(suhteessa toiseen kuvaajaan), ja kumpi on ALLA.

Tarkasteltavassa esimerkissä on selvää, että segmentillä paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi 2. x – x 2 on vähennettävä - x.

Valmis ratkaisu voi näyttää tältä:

Haluttua lukua rajoittaa paraabeli y = 2x – x 2 päällä ja suoraan y = -x alla.

Jaksolla 2 x – x 2 ≥ -x. Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus: .

Itse asiassa koulukaava kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alalle alemmassa puolitasossa (katso esimerkki nro 3) on kaavan erikoistapaus

Koska akseli HÄRKÄ yhtälön antama y= 0 ja funktion kuvaaja g(x) sijaitsee akselin alapuolella HÄRKÄ, Tuo

Ja nyt pari esimerkkiä omaan ratkaisuusi

Esimerkki 5

Esimerkki 6

Etsi viivojen rajaama kuvion alue

Kun ratkaistaan tehtäviä, jotka liittyvät pinta-alan laskentaan kiinteällä integraalilla, joskus tapahtuu hauska tapaus. Piirustus tehtiin oikein, laskelmat oikein, mutta huolimattomuudesta johtuen... Väärän hahmon alue löytyi.

Esimerkki 7

Tehdään ensin piirustus:

Figuuri, jonka alueen meidän on löydettävä, on varjostettu siniseksi(katso tarkkaan kuntoa - kuinka luku on rajoitettu!). Mutta käytännössä huomaamattomuuden vuoksi he usein päättävät, että heidän on löydettävä varjostettu alue hahmosta vihreä!

Tämä esimerkki on hyödyllinen myös siinä mielessä, että se laskee kuvion alueen kahdella kiinteällä integraalilla. Todella:

1) Jaksolla [-1; 1] akselin yläpuolella HÄRKÄ kaavio on suorassa y = x+1;

2) Segmentillä akselin yläpuolella HÄRKÄ hyperbelin kuvaaja sijaitsee y = (2/x).

On aivan selvää, että alueet voidaan (ja pitäisi) lisätä, joten:

Vastaus:

Esimerkki 8

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala

Esitetään yhtälöt "koulu"-muodossa

ja piirrä kohta kohdalta:

Piirustuksen perusteella on selvää, että ylärajamme on "hyvä": b = 1.

Mutta mikä on alaraja?! On selvää, että tämä ei ole kokonaisluku, mutta mikä se on?

Saattaa olla, a=(-1/3)? Mutta missä on takuu siitä, että piirustus on tehty täydellisellä tarkkuudella, voi hyvinkin käydä niin a=(-1/4). Entä jos rakennamme kaavion väärin?

Tällaisissa tapauksissa joudut käyttämään lisäaikaa ja selvittämään integraation rajat analyyttisesti.

Etsitään kuvaajien leikkauspisteet

Tätä varten ratkaisemme yhtälön:

Siten, a=(-1/3).

Jatkoratkaisu on triviaali. Tärkeintä ei ole hämmentyä vaihdoissa ja merkeissä. Laskelmat eivät ole yksinkertaisimpia. Segmentillä

, ,

vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Oppitunnin päätteeksi tarkastellaan kahta vaikeampaa tehtävää.

Esimerkki 9

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala

Ratkaisu: Kuvataan tämä kuvio piirustuksessa.

Jotta voit piirtää pistekohtaisen piirustuksen, sinun on tiedettävä ulkonäkö sinusoidit. Yleisesti ottaen on hyödyllistä tietää kaikkien perusfunktioiden kaaviot sekä jotkut siniarvot. Ne löytyvät arvotaulukosta trigonometriset funktiot . Joissakin tapauksissa (esimerkiksi tässä tapauksessa) on mahdollista rakentaa kaavamainen piirustus, jossa integroinnin graafit ja rajat tulee näyttää pohjimmiltaan oikein.

Integroinnin rajoissa ei ole ongelmia, ne seuraavat suoraan ehdosta:

– "x" muuttuu nollasta "pi:ksi". Tehdään seuraava päätös:

Segmentillä funktion kuvaaja y= synti 3 x sijaitsee akselin yläpuolella HÄRKÄ, Siksi:

(1) Voit nähdä, kuinka sinit ja kosinit integroidaan parittomiin potenssiin oppitunnilla Trigonometristen funktioiden integraalit. Puristamme yhden poskiontelon pois.

(2) Käytämme trigonometristä päätunnusta muodossa

(3) Muutetaan muuttuja t=cos x, niin: sijaitsee akselin yläpuolella, joten:

Huomautus: huomioi kuinka tangentin kuution integraali otetaan tässä trigonometrisen perusidentiteetin seuraus

Tehtävä nro 3. Piirrä piirustus ja laske viivojen rajaama pinta-ala

Integraalin soveltaminen sovellettujen ongelmien ratkaisuun

Pinta-alan laskenta

Jatkuvan ei-negatiivisen funktion määrällinen integraali f(x) on numeerisesti yhtä suuri kuin käyrän y = f(x), O x -akselin ja suorien x = a ja x = b rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Tämän mukaisesti pinta-alakaava kirjoitetaan seuraavasti:

Katsotaanpa joitain esimerkkejä tasokuvioiden pinta-alojen laskemisesta.

Tehtävä nro 1. Laske linjojen y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 rajoittama alue.

Ratkaisu. Muodostetaan kuvio, jonka pinta-ala meidän on laskettava.

y = x 2 + 1 on paraabeli, jonka haarat on suunnattu ylöspäin ja paraabelia on siirretty ylöspäin yhden yksikön verran suhteessa O y -akseliin (kuva 1).

Kuva 1. Kuvaaja funktiosta y = x 2 + 1

Tehtävä nro 2. Laske viivojen y = x 2 – 1, y = 0 rajoittama alue välillä 0 - 1.

Ratkaisu. Tämän funktion kuvaaja on ylöspäin suunnattujen haarojen paraabeli, ja paraabelia on siirretty suhteessa O y -akseliin yhden yksikön verran alaspäin (kuva 2).

Kuva 2. Kuvaaja funktiosta y = x 2 – 1

Tehtävä nro 3. Piirrä piirustus ja laske viivojen rajaama pinta-ala

y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4.

Ratkaisu. Ensimmäinen näistä kahdesta suorasta on paraabeli, jonka haarat on suunnattu alaspäin, koska x 2:n kerroin on negatiivinen, ja toinen suora on suora, joka leikkaa molemmat koordinaattiakselit.

Paraabelin muodostamiseksi löydämme sen kärjen koordinaatit: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – kärjen abskissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 on sen ordinaatti, N(1;9) on kärki.

Etsitään nyt paraabelin ja suoran leikkauspisteet ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä:

Yhtälön oikeat puolet, joiden vasemmat sivut ovat yhtä suuret.

Saamme 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 tai x 2 – 12 = 0, mistä .

Pisteet ovat siis paraabelin ja suoran leikkauspisteitä (kuva 1).

Kuva 3 Kuvaajat funktioista y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4

Muodostetaan suora y = 2x – 4. Se kulkee koordinaattiakseleiden pisteiden (0;-4), (2;0) kautta.

Paraabelin rakentamiseen voidaan käyttää myös sen leikkauspisteitä 0x-akselin kanssa eli yhtälön 8 + 2x – x 2 = 0 tai x 2 – 2x – 8 = 0 juuria. Vietan lauseella se on helppoa löytääkseen sen juuret: x 1 = 2, x 2 = 4.

Kuva 3 esittää kuvion (parabolinen segmentti M 1 N M 2), jota rajoittavat nämä viivat.

Toinen osa ongelmasta on löytää tämän kuvan alue. Sen pinta-ala voidaan löytää käyttämällä määrättyä integraalia kaavan mukaan .

Tämän ehdon suhteen saamme integraalin:

2 Pyörivän kappaleen tilavuuden laskenta

Kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörimällä käyrää y = f(x) O x -akselin ympäri, lasketaan kaavalla:

Kierrettäessä O y -akselin ympäri kaava näyttää tältä:

Tehtävä nro 4. Määritä suorien x = 0 x = 3 ja käyrän y = O x -akselin ympäri rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan pyörimisestä saadun kappaleen tilavuus.

Ratkaisu. Piirretään kuva (kuva 4).

Kuva 4. Kuvaaja funktiosta y =

Tarvittava tilavuus on

Tehtävä nro 5. Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kaarevan puolisuunnikkaan, jota rajoittavat käyrä y = x 2 ja suorat y = 0 ja y = 4 O y -akselin ympäri.

Ratkaisu. Meillä on:

Tarkista kysymykset

Edellisessä osassa, joka oli omistettu määrätyn integraalin geometrisen merkityksen analysointiin, saimme useita kaavoja kaarevan puolisuunnikkaan alueen laskemiseksi:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x jatkuvalle ja ei-negatiiviselle funktiolle y = f (x) välillä [ a ; b ],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x jatkuvalle ja ei-positiiviselle funktiolle y = f (x) välillä [ a ; b ] .

Nämä kaavat soveltuvat suhteellisen yksinkertaisten ongelmien ratkaisemiseen. Todellisuudessa joudumme usein työskentelemään monimutkaisempien lukujen kanssa. Tältä osin omistamme tämän osan algoritmien analyysille sellaisten kuvioiden alueen laskemiseksi, joita funktiot rajoittavat eksplisiittisessä muodossa, ts. kuten y = f(x) tai x = g(y).

Lause

Olkoon funktiot y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) määriteltyjä ja jatkuvia välillä [ a ; b ] ja f 1 (x) ≤ f 2 (x) mille tahansa arvolle x alkaen [ a ; b ] . Tällöin kaava kuvion G pinta-alan laskemiseksi, jota rajoittavat suorat x = a, x = b, y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) näyttää S (G) = ∫ abf2(x) - f1(x)dx.

Samanlaista kaavaa voidaan soveltaa viivojen y = c, y = d, x = g 1 (y) ja x = g 2 (y) rajoittaman kuvion alueelle: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y.

Todistus

Tarkastellaan kolmea tapausta, joissa kaava on voimassa.

Ensimmäisessä tapauksessa, kun otetaan huomioon pinta-alan additiivisuus, alkuperäisen kuvan G ja kaarevan puolisuunnikkaan G1 pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin kuvan G2 pinta-ala. Tämä tarkoittaa sitä

Siksi S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Voimme suorittaa viimeisen siirtymän käyttämällä määrätyn integraalin kolmatta ominaisuutta.

Toisessa tapauksessa yhtälö on tosi: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Graafinen kuva näyttää tältä:

Jos molemmat funktiot ovat ei-positiivisia, saadaan: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Graafinen kuva näyttää tältä:

Jatketaan tarkastelemaan yleistä tapausta, kun y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) leikkaavat O x -akselin.

Merkitsemme leikkauspisteitä x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Nämä pisteet jakavat janan [a; b ] n osaan x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, missä α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Siten,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Voimme tehdä viimeisen siirtymän käyttämällä määrätyn integraalin viidettä ominaisuutta.

Havainnollistetaan yleinen tapaus kaaviossa.

Kaavaa S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x voidaan pitää todistettuna.

Siirrytään nyt analysoimaan esimerkkejä sellaisten kuvioiden pinta-alan laskemisesta, joita rajoittavat viivat y = f (x) ja x = g (y).

Aloitamme minkä tahansa esimerkin tarkastelun rakentamalla kaavion. Kuva antaa meille mahdollisuuden edustaa monimutkaisia hahmoja kuinka yhdistää enemmän yksinkertaiset hahmot. Jos kaavioiden ja kuvioiden rakentaminen niille on sinulle vaikeaa, voit tutkia perusfunktioita, funktiokaavioiden geometrista muuntamista sekä kaavioiden rakentamista funktiota tutkiessasi.

Esimerkki 1

On tarpeen määrittää kuvion pinta-ala, jota rajoittavat paraabeli y = - x 2 + 6 x - 5 ja suorat viivat y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Ratkaisu

Piirretään kaavioon suorat suorakulmaisessa koordinaatistossa.

Segmentillä [ 1 ; 4 ] paraabelin y = - x 2 + 6 x - 5 kuvaaja sijaitsee suoran y = - 1 3 x - 1 2 yläpuolella. Tässä suhteessa vastauksen saamiseksi käytämme aiemmin saatua kaavaa sekä menetelmää määrätyn integraalin laskentaan käyttämällä Newton-Leibnizin kaavaa:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Vastaus: S(G) = 13

Katsotaanpa monimutkaisempaa esimerkkiä.

Esimerkki 2

On tarpeen laskea kuvion pinta-ala, jota rajoittavat suorat y = x + 2, y = x, x = 7.

Ratkaisu

Tässä tapauksessa meillä on vain yksi suora, joka on yhdensuuntainen x-akselin kanssa. Tämä on x = 7. Tämä edellyttää, että löydämme itse integraation toisen rajan.

Rakennetaan graafi ja piirretään sille tehtävänlauseessa annetut suorat.

Kun kuvaaja on silmiemme edessä, voimme helposti määrittää, että integroinnin alaraja on suoran y = x ja puoliparaabelin y = x + 2 kuvaajan leikkauspisteen abskissa. Abskissan löytämiseksi käytämme yhtälöitä:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Osoittautuu, että leikkauspisteen abskissa on x = 2.

Kiinnitämme huomiosi siihen, että piirustuksen yleisessä esimerkissä suorat y = x + 2, y = x leikkaavat pisteessä (2; 2), joten tällaiset yksityiskohtaiset laskelmat voivat tuntua tarpeettomilta. Toimme tämän tänne yksityiskohtainen ratkaisu vain siksi, että monimutkaisemmissa tapauksissa ratkaisu ei ehkä ole niin ilmeinen. Tämä tarkoittaa, että on aina parempi laskea suorien leikkauspisteen koordinaatit analyyttisesti.

Aikavälillä [ 2 ; 7] funktion y = x kuvaaja sijaitsee funktion y = x + 2 kaavion yläpuolella. Lasketaan pinta-ala kaavalla:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Vastaus: S (G) = 59 6

Esimerkki 3

On tarpeen laskea kuvion pinta-ala, jota rajoittavat funktioiden y = 1 x ja y = - x 2 + 4 x - 2 kuvaajat.

Ratkaisu

Piirretään kaavioon viivat.

Määritellään integraation rajat. Tätä varten määritämme suorien leikkauspisteiden koordinaatit vertaamalla lausekkeet 1 x ja - x 2 + 4 x - 2. Edellyttäen, että x ei ole nolla, yhtälö 1 x = - x 2 + 4 x - 2 tulee ekvivalentiksi kolmannen asteen yhtälön - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 kanssa kokonaislukukertoimilla. Päivittääksemme muistiasi tällaisten yhtälöiden ratkaisun algoritmista, voimme viitata osioon "Kuutioyhtälöiden ratkaiseminen".

Tämän yhtälön juuri on x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Jakamalla lauseke - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomiaalilla x - 1, saadaan: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x -1) = 0

Löydämme loput juuret yhtälöstä x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Löysimme välin x ∈ 1; 3 + 13 2, jossa kuvio G on sinisen yläpuolella ja punaisen viivan alapuolella. Tämä auttaa meitä määrittämään kuvan alueen:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Vastaus: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Esimerkki 4

On tarpeen laskea kuvion pinta-ala, jota rajoittavat käyrät y = x 3, y = - log 2 x + 1 ja abskissa-akseli.

Ratkaisu

Piirretään kaikki kaavion viivat. Funktion y = - log 2 x + 1 kuvaaja saadaan kaaviosta y = log 2 x, jos sijoitamme sen symmetrisesti x-akselin ympäri ja siirretään yksikköä ylöspäin. X-akselin yhtälö on y = 0.

Merkitään viivojen leikkauspisteet.

Kuten kuvasta näkyy, funktioiden y = x 3 ja y = 0 kuvaajat leikkaavat pisteessä (0; 0). Tämä tapahtuu, koska x = 0 on yhtälön x 3 = 0 ainoa todellinen juuri.

x = 2 on yhtälön - log 2 x + 1 = 0 ainoa juuri, joten funktioiden y = - log 2 x + 1 ja y = 0 kuvaajat leikkaavat pisteessä (2; 0).

x = 1 on yhtälön x 3 = - log 2 x + 1 ainoa juuri. Tässä suhteessa funktioiden y = x 3 ja y = - log 2 x + 1 kuvaajat leikkaavat pisteessä (1; 1). Viimeinen lause ei ehkä ole ilmeinen, mutta yhtälöllä x 3 = - log 2 x + 1 voi olla vain yksi juuri, koska funktio y = x 3 on tiukasti kasvava ja funktio y = - log 2 x + 1 on tiukasti laskeva.

Toinen ratkaisu sisältää useita vaihtoehtoja.

Vaihtoehto #1

Voimme kuvitella kuvion G kahden x-akselin yläpuolella sijaitsevan kaarevan puolisuunnikkaan summana, joista ensimmäinen sijaitsee keskiviivan alapuolella janalla x ∈ 0; 1, ja toinen on punaisen viivan alapuolella janalla x ∈ 1; 2. Tämä tarkoittaa, että pinta-ala on yhtä suuri kuin S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Vaihtoehto nro 2

Kuvio G voidaan esittää kahden kuvion erotuksena, joista ensimmäinen sijaitsee x-akselin yläpuolella ja sinisen viivan alapuolella janalla x ∈ 0; 2, ja toinen punaisten ja sinisten viivojen välissä janalla x ∈ 1; 2. Tämän avulla voimme löytää alueen seuraavasti:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Tässä tapauksessa alueen löytämiseksi sinun on käytettävä kaavaa muodossa S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Itse asiassa kuviota rajoittavat viivat voidaan esittää argumentin y funktioina.

Ratkaistaan yhtälöt y = x 3 ja - log 2 x + 1 x:n suhteen:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Saamme tarvittavan alueen:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Vastaus: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Esimerkki 5

On tarpeen laskea kuvion pinta-ala, jota rajoittavat suorat y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Ratkaisu

Punaisella viivalla piirretään funktion y = x määrittelemä suora. Piirretään viiva y = - 1 2 x + 4 sinisellä ja viiva y = 2 3 x - 3 mustalla.

Merkitään risteyspisteet.

Etsitään funktioiden y = x ja y = - 1 2 x + 4 kuvaajien leikkauspisteet:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Tarkista: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ei Onko yhtälön ratkaisu x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 on yhtälön ⇒ (4; 2) leikkauspisteen ratkaisu i y = x ja y = - 1 2 x + 4

Etsitään funktioiden y = x ja y = 2 3 x - 3 kuvaajien leikkauspiste:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Tarkista: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 on yhtälön ⇒ (9 ; 3) ratkaisu piste a s y = x ja y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Yhtälölle ei ole ratkaisua

Etsitään suorien y = - 1 2 x + 4 ja y = 2 3 x - 3 leikkauspiste:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) leikkauspiste y = - 1 2 x + 4 ja y = 2 3 x - 3

Menetelmä nro 1

Kuvitellaan halutun kuvion pinta-ala yksittäisten kuvioiden pinta-alojen summana.

Sitten kuvion pinta-ala on:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Menetelmä nro 2

Alkuperäisen kuvion pinta-ala voidaan esittää kahden muun hahmon summana.

Sitten ratkaisemme suoran yhtälön suhteessa x:ään ja vasta sen jälkeen käytämme kaavaa kuvan pinta-alan laskemiseksi.

y = x ⇒ x = y 2 punainen viiva y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 musta viiva y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Alue on siis:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 v + 9 2 - - 2 v + 8 pv y + ∫ 2 3 3 2 v + 9 2 - y 2 pv y = = ∫ 1 2 7 2 v - 7 2 pv 2 + ∫ 3 3 2 v + 9 2 - y 2 pv = = 7 4 v 2 - 7 4 v 1 2 + - y 3 3 + 3 v 2 4 + 9 2 v 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Kuten näet, arvot ovat samat.

Vastaus: S (G) = 11 3

Tulokset

Rajoitetun hahmon alueen löytäminen annetut rivit meidän on rakennettava viivoja tasolle, löydettävä niiden leikkauspisteet ja käytettävä kaavaa alueen löytämiseksi. Tässä osiossa tarkastelimme yleisimpiä tehtävien muunnelmia.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Varma integraali. Kuinka laskea kuvion pinta-ala

Siirrytään tarkastelemaan integraalilaskennan sovelluksia. Tällä oppitunnilla analysoimme tyypillistä ja yleisintä tehtävää – kuinka määrättyä integraalia käytetään tasokuvan alueen laskemiseen. Lopuksi, ne, jotka etsivät merkitystä korkeammasta matematiikasta - löytäkööt sen. Et koskaan tiedä. Tosielämässä sinun on arvioitava dacha-tontti perusfunktioiden avulla ja löydettävä sen pinta-ala määrätyn integraalin avulla.

Materiaalin hallitsemiseksi onnistuneesti sinun on:

1) Ymmärrä epämääräinen integraali ainakin keskitasolla. Näin ollen nukkejen tulisi ensin lukea oppitunti Ei.

Itse asiassa, jotta voit löytää hahmon alueen, et tarvitse niin paljon tietoa epämääräisestä ja määrätystä integraalista. Tehtävä "laske pinta-ala määrätyn integraalin avulla" sisältää aina piirustuksen, joten tietosi ja piirustustaitosi ovat paljon kiireellisempi kysymys. Tältä osin on hyödyllistä päivittää muistisi perusfunktioiden kuvaajista ja ainakin pystyä rakentamaan suora, paraabeli ja hyperbeli. Tämä voidaan tehdä (monille se on välttämätöntä) käyttämällä metodologinen materiaali ja artikkeleita graafien geometrisista muunnoksista.

Oikeastaan kaikille on tuttu tehtävä etsiä alue tietyllä integraalilla koulusta lähtien, emmekä mene paljon pidemmälle. koulun opetussuunnitelma. Tätä artikkelia ei ehkä ollut ollenkaan, mutta tosiasia on, että ongelma esiintyy 99 tapauksessa 100:sta, kun opiskelija kärsii vihatusta koulusta ja hallitsee innokkaasti korkeamman matematiikan kurssin.

Tämän työpajan materiaalit esitetään yksinkertaisesti, yksityiskohtaisesti ja mahdollisimman vähän teoriaa käyttäen.

Aloitetaan kaarevasta puolisuunnikkaasta.

Kaareva puolisuunnikas on litteä kuvio, jota rajoittavat akseli, suorat viivat ja funktion kuvaaja, joka on jatkuva välissä, joka ei muuta etumerkkiä tällä välillä. Olkoon tämä kuva paikannettava ei alempana x-akseli:

Sitten kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin määrätty integraali. Kaikilla määrätyillä integraaleilla (olemassa olevalla) on erittäin hyvä geometrinen merkitys. Luokassa Varma integraali. Esimerkkejä ratkaisuista Sanoin, että määrätty integraali on luku. Ja nyt on aika todeta toinen hyödyllinen tosiasia. Geometrian näkökulmasta tarkka integraali on AREA.

eli määrätty integraali (jos se on olemassa) vastaa geometrisesti tietyn kuvion pinta-alaa. Tarkastellaan esimerkiksi tarkkaa integraalia. Integrandi määrittää käyrän akselin yläpuolella olevalle tasolle (haluavat voivat piirtää), ja itse kiinteä integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin vastaavan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala.

Esimerkki 1

Tämä on tyypillinen tehtävälausunto. Ensin ja tärkein hetki ratkaisut - piirtäminen. Lisäksi piirustus on rakennettava OIKEIN.

Piirustusta rakennettaessa suosittelen seuraavaa järjestystä: aluksi on parempi rakentaa kaikki suorat (jos niitä on) ja vain Sitten– paraabelit, hyperbelit, muiden funktioiden kuvaajat. On kannattavampaa rakentaa funktiokaavioita kohta kohdalta, kohta kohdalta -rakennustekniikka löytyy vertailumateriaalista Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet. Sieltä löydät myös erittäin hyödyllistä materiaalia oppitunnillemme - kuinka nopeasti rakentaa paraabeli.

Tässä ongelmassa ratkaisu saattaa näyttää tältä.
Piirretään piirustus (huomaa, että yhtälö määrittää akselin):

En varjoa kaarevaa puolisuunnikasta, tässä on selvää, mistä alueesta puhumme. Ratkaisu jatkuu näin:

Segmentillä sijaitsee funktion kuvaaja akselin yläpuolella, Siksi:

Vastaus:

Kenellä on vaikeuksia laskea kiinteää integraalia ja soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa , katso luento Varma integraali. Esimerkkejä ratkaisuista.

Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirustusta ja selvittää, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa laskemme piirustuksen solujen lukumäärän "silmällä" - no, niitä on noin 9, mikä näyttää olevan totta. On täysin selvää, että jos saimme esimerkiksi vastauksen: 20 neliöyksikköä, niin on selvää, että jossain on tehty virhe - 20 solua ei ilmeisesti mahdu kyseiseen kuvaan, korkeintaan tusina. Jos vastaus on kielteinen, myös tehtävä ratkaistiin väärin.

Esimerkki 2

Laske viivojen , , ja akselin rajoittaman kuvion pinta-ala

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Mitä tehdä, jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alle?

Esimerkki 3

Laske viivojen ja koordinaattiakseleiden rajoittaman kuvan pinta-ala.

Ratkaisu: Tehdään piirustus:

Jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alle(tai ainakin ei korkeampi annettu akseli), sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:
Tässä tapauksessa:

Huomio! Näitä kahta tehtävätyyppiä ei pidä sekoittaa:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan yksinkertaisesti määrätty integraali ilman geometristä merkitystä, se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri käsitellyssä kaavassa.

Käytännössä kuva sijoittuu useimmiten sekä ylempään että alempaan puolitasoon, ja siksi yksinkertaisimmista koulutehtävistä siirrytään merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4

Etsi viivojen, , rajoittaman tasokuvan pinta-ala.

Ratkaisu: Ensin sinun on suoritettava piirustus. Yleisesti ottaen piirustusta rakennettaessa aluetehtävässä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsitään paraabelin ja suoran leikkauspisteet. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen menetelmä on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Tämä tarkoittaa, että integraation alaraja on, integraation yläraja on.
Jos mahdollista, on parempi olla käyttämättä tätä menetelmää..

On paljon kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa viivoja piste kerrallaan, ja integraation rajat selviävät "itsestään". Ohjeessa käsitellään yksityiskohtaisesti eri kaavioiden pistekohtaista rakennustekniikkaa Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet. Silti analyyttistä rajojen etsintämenetelmää on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai yksityiskohtainen rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia). Ja harkitsemme myös tällaista esimerkkiä.

Palataan tehtäväämme: on järkevämpää rakentaa ensin suora ja vasta sitten paraabeli. Tehdään piirustus:

Toistan, että pisteittäin rakentaessa integraation rajat selviää useimmiten "automaattisesti".

Ja nyt työkaava: Jos segmentissä on jatkuva toiminto suurempi tai yhtä suuri kuin jokin jatkuva funktio , niin näiden funktioiden kaavioiden ja viivojen rajaama kuvion alue , löytyy kaavalla:

Täällä sinun ei enää tarvitse miettiä, missä hahmo sijaitsee - akselin yläpuolella tai akselin alapuolella, ja karkeasti sanottuna, sillä on merkitystä, kumpi kuvaaja on KORKEAmpi(suhteessa toiseen kuvaajaan), ja kumpi on ALLA.

Tarkasteltavassa esimerkissä on ilmeistä, että segmentillä paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi siitä on vähennettävä

Valmis ratkaisu voi näyttää tältä:

Haluttua lukua rajoittaa paraabeli yläpuolella ja suora viiva alla.
Segmentillä vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Itse asiassa koulukaava kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alalle alemmassa puolitasossa (katso yksinkertainen esimerkki nro 3) on kaavan erikoistapaus . Koska yhtälö määrittää akselin ja funktion kuvaaja sijaitsee ei korkeampi kirveet siis

Ja nyt pari esimerkkiä omaan ratkaisuusi

Esimerkki 5

Esimerkki 6

Etsi viivojen rajaama alue kuviosta , .

Esimerkki 7

Laske viivojen , , , , rajoittaman kuvion pinta-ala.

Ratkaisu: Tehdään ensin piirustus:

...Eh, piirustus oli paska, mutta kaikki näyttää olevan luettavissa.

Figuuri, jonka alueen meidän on löydettävä, on varjostettu siniseksi(katso tarkkaan kuntoa - kuinka luku on rajoitettu!). Mutta käytännössä huomaamattomuudesta johtuen "häiriö" tapahtuu usein, että sinun on löydettävä vihreällä varjostettu alue!

Tämä esimerkki on hyödyllinen myös siinä mielessä, että se laskee kuvion alueen kahdella kiinteällä integraalilla. Todella:

1) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on suoran kaavio;

2) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on hyperbolin kuvaaja.

On aivan selvää, että alueet voidaan (ja pitäisi) lisätä, joten:

Vastaus:

Jatketaan toiseen merkitykselliseen tehtävään.

Esimerkki 8

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala,
Esitetään yhtälöt "koulu"-muodossa ja tehdään kohta kohdalta piirustus:

Piirustuksen perusteella on selvää, että ylärajamme on "hyvä": .
Mutta mikä on alaraja?! On selvää, että tämä ei ole kokonaisluku, mutta mikä se on? Saattaa olla? Mutta missä on takuu, että piirustus on tehty täydellisellä tarkkuudella, voi hyvinkin käydä niin, että... Tai juuri. Entä jos rakennamme kaavion väärin?

Tällaisissa tapauksissa joudut käyttämään lisäaikaa ja selvittämään integraation rajat analyyttisesti.

Etsitään suoran ja paraabelin leikkauspisteet.
Tätä varten ratkaisemme yhtälön:

,

Todellakin,.

Jatkoratkaisu on triviaali, tärkeintä ei ole hämmentyä korvauksissa ja merkeissä, laskelmat eivät ole yksinkertaisimpia.

Segmentillä , vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

No, oppitunnin päätteeksi tarkastellaan kahta vaikeampaa tehtävää.

Esimerkki 9

Laske viivojen , , rajoittaman kuvan pinta-ala

Ratkaisu: Kuvataan tämä hahmo piirustuksessa.

Vittu, unohdin allekirjoittaa aikataulun, enkä valitettavasti halunnut tehdä kuvaa uudelleen. Ei piirustuspäivä, lyhyesti sanottuna, tänään on se päivä =)

Kohta kohdalta rakentamista varten on välttämätöntä tietää sinusoidin ulkonäkö (ja yleensä on hyödyllistä tietää kaikkien perusfunktioiden kuvaajat), sekä joitain siniarvoja, ne löytyvät trigonometrinen taulukko. Joissakin tapauksissa (kuten tässä tapauksessa) on mahdollista rakentaa kaavamainen piirustus, jossa integroinnin graafit ja rajat tulee näyttää pohjimmiltaan oikein.

Integroinnin rajoissa ei ole ongelmia, ne seuraavat suoraan ehdosta: "x" muuttuu nollasta "pi:ksi". Tehdään seuraava päätös:

Jaksolla funktion kuvaaja sijaitsee akselin yläpuolella, joten: