Lineaaristen yhtälöjärjestelmien graafinen ratkaisu. Graafinen menetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen

Harkitse seuraavia yhtälöitä:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x 2 + y 2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

Jokainen yllä esitetyistä yhtälöistä on yhtälö, jossa on kaksi muuttujaa. Koordinaattitason pistejoukko, jonka koordinaatit muuttavat yhtälön oikeaksi numeeriseksi yhtälöksi, on ns. yhtälön kaavio kahdessa tuntemattomassa.

Yhtälön piirtäminen kahdessa muuttujassa

Yhtälöillä, joissa on kaksi muuttujaa, on laaja valikoima kaavioita. Esimerkiksi yhtälölle 2*x + 3*y = 15 kuvaaja on suora, yhtälön x 2 + y 2 = 4 kuvaaja on ympyrä, jonka säde on 2, yhtälön y* kuvaaja x = 1 on hyperboli jne.

Koko yhtälöillä, joissa on kaksi muuttujaa, on myös sellainen käsite kuin aste. Tämä aste määritetään samalla tavalla kuin koko yhtälölle, jossa on yksi muuttuja. Tätä varten vie yhtälö muotoon, jossa vasen puoli on vakiomuodon polynomi ja oikea puoli on nolla. Tämä tehdään vastaavilla muunnoksilla.

Graafinen menetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen

Selvitetään kuinka ratkaista yhtälöjärjestelmät, jotka koostuvat kahdesta yhtälöstä, joissa on kaksi muuttujaa. Tarkastellaan graafista menetelmää tällaisten järjestelmien ratkaisemiseksi.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

( x 2 + y 2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

Muodostetaan kaaviot ensimmäisestä ja toisesta yhtälöstä samassa koordinaattijärjestelmässä. Ensimmäisen yhtälön kuvaaja on ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja jonka säde on 5. Toisen yhtälön kuvaaja on paraabeli, jonka haarat menevät alas.

Kaikki kaavioiden pisteet täyttävät kukin oman yhtälönsä. Meidän on löydettävä pisteet, jotka täyttävät sekä ensimmäisen että toisen yhtälön. Ilmeisesti nämä ovat pisteitä, joissa nämä kaksi kuvaajaa leikkaavat.

Piirustuksen avulla löydämme koordinaattien likimääräiset arvot, joissa nämä pisteet leikkaavat. Saamme seuraavat tulokset:

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

Tämä tarkoittaa, että yhtälöjärjestelmällämme on neljä ratkaisua.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

Jos korvaamme nämä arvot järjestelmämme yhtälöihin, voimme nähdä, että ensimmäinen ja kolmas ratkaisu ovat likimääräisiä ja toinen ja neljäs ovat tarkkoja. Graafista menetelmää käytetään usein arvioimaan juurien lukumäärää ja niiden likimääräisiä rajoja. Ratkaisut ovat usein pikemminkin likimääräisiä kuin tarkkoja.

Yksi tapa ratkaista yhtälöitä on graafinen. Se perustuu funktiokaavioiden rakentamiseen ja niiden leikkauspisteiden määrittämiseen. Tarkastellaan graafista menetelmää toisen asteen yhtälön a*x^2+b*x+c=0 ratkaisemiseksi.

Ensimmäinen ratkaisu

Muunnetaan yhtälö a*x^2+b*x+c=0 muotoon a*x^2 =-b*x-c. Rakennamme kaavioita kahdesta funktiosta y= a*x^2 (paraabeli) ja y=-b*x-c (suora). Etsimme risteyspisteitä. Leikkauspisteiden abskissat ovat yhtälön ratkaisu.

Esitetään esimerkillä: ratkaise yhtälö x^2-2*x-3=0.

Muunnetaan se muotoon x^2 =2*x+3. Rakennamme funktioiden y= x^2 ja y=2*x+3 kuvaajat yhteen koordinaattijärjestelmään.

Kaaviot leikkaavat kaksi pistettä. Heidän abskissansa ovat yhtälömme juuret.

Ratkaisu kaavan mukaan

Jotta ratkaisu olisi vakuuttavampi, tarkistetaan tämä ratkaisu analyyttisesti. Päätetään toisen asteen yhtälö kaavan mukaan:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1 = (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

tarkoittaa, ratkaisut ovat samat.

Graafisella yhtälön ratkaisumenetelmällä on myös haittapuolensa, sillä sen avulla yhtälöön ei aina saada tarkkaa ratkaisua. Yritetään ratkaista yhtälö x^2=3+x.

Muodostetaan paraabeli y=x^2 ja suora y=3+x yhteen koordinaattijärjestelmään.

Saimme taas samanlaisen piirustuksen. Suora ja paraabeli leikkaavat kaksi pistettä. Mutta emme voi sanoa näiden pisteiden abskissien tarkkoja arvoja, vain likimääräisiä: x≈-1,3 x≈2,3.

Jos olemme tyytyväisiä näin tarkkoihin vastauksiin, voimme käyttää tätä menetelmää, mutta näin tapahtuu harvoin. Yleensä tarvitaan tarkkoja ratkaisuja. Siksi graafista menetelmää käytetään harvoin ja lähinnä olemassa olevien ratkaisujen tarkistamiseen.

Tarvitsetko apua opinnoissasi?

Edellinen aihe:

, Kilpailu "Esitys oppitunnille"

Esitys oppitunnille

Takaisin Eteen

Huomio! Diojen esikatselut ovat vain tiedoksi, eivätkä ne välttämättä edusta kaikkia esityksen ominaisuuksia. Jos olet kiinnostunut tämä työ, lataa täysversio.

Oppitunnin tavoitteet:

Tee yhteenveto graafisesta menetelmästä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi;
Kehittää kykyä ratkaista graafisesti toisen asteen yhtälöjärjestelmiä käyttäen opiskelijoiden tuntemia kaavioita;
Esitä visuaalinen esitys, että kahden yhtälön järjestelmässä, jossa on kaksi toisen asteen muuttujaa, voi olla yhdestä neljään ratkaisua tai ei ratkaisuja.

Oppitunnin rakenne:

Org. hetki
Opiskelijoiden tiedon päivittäminen.
Uuden materiaalin selitys.
Tutkitun materiaalin konsolidointi. Työskentely Excel-laskentataulukossa ja sen jälkeen vahvistus...
Kotitehtävät.

Oppitunnin edistyminen

1. Organisatorinen hetki

Oppitunnin aihe, tarkoitus ja kulku ilmoitetaan.

2. Tietojen päivittäminen.

1) Tarkastele perusfunktioita ja niiden kuvaajia.

Matematiikan opettaja esittää kysymyksen aiemmin opituista perusfunktioista ja niiden kaavioista ja tiivistää opiskelijoiden vastaukset projektorin kautta.

2) Suullinen työ.

Opettaja tekee suullista työtä projektorilla valmistaakseen oppilaita hahmottamaan uutta aihetta.

3. Uuden materiaalin selitys.

1) Uuden materiaalin selittäminen projektorin avulla ja tavanomaisen matemaattisen ongelman ratkaisun analysointi.

2) Tietojenkäsittelytieteen ja ICT:n opettaja muistuttaa opiskelijaa projektorin avulla yhtälöjärjestelmän graafisen ratkaisun algoritmista Excel-taulukossa.

4. Tutkitun aineiston konsolidointi. Työskentely taulukkolaskentaprosessorillaExcel myöhemmän vahvistuksen kanssa.

1) Opettaja kutsuu oppilaita istumaan tietokoneen ääreen ja suorittamaan tehtäviä Excelissä.

2) Jokaisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu tarkistetaan projektorin kautta.

5. Kotitehtävät.

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta:

Oppikirja yleisten oppilaitosten 9. luokalle "Algebra", kirjoittajat Yu.N. Makarychev N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, “Enlightenment”, OJSC “Moscow Textbooks”, Moskova, 2008.
Oppituntien suunnittelu algebrassa Yu.N Makarychevin ja muiden oppikirjaan "Algebra. 9. luokka", "Koe", Moskova, 2008
Algebra. 9. luokka. Tuntisuunnitelmat Yu.N. Makarychevin ja muiden oppikirjaan, kirjoittaja-kääntäjä S.P. Kovaleva, Volgograd, 2007
Algebra-muistikirja, kirjoittajat Ershova A.P., Goloborodko V.V., Krizhanovsky A.F., ILEKSA, Moskova, 2006.
Tietojenkäsittelytieteen oppikirja. Peruskurssi. 9. luokka, kirjoittaja Ugrinovich N.D., BINOM. Tietolaboratorio, 2010
Nykyaikaiset avoimet tietojenkäsittelyoppitunnit luokille 8-11, kirjoittajat V.A. Molodtsov, N.B. Ryzhikova, Phoenix, 2006

Kunnallinen valtion oppilaitos

Popovskajan lukio

nimetty sankarin mukaan Neuvostoliitto N.K. Gorbaneva

Avoin oppitunti

matematiikan opettajat

Voronina Vera Vladimirovna,

matematiikassa 9. luokalla

aiheesta: "Graafinen menetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi"

Oppitunnin tyyppi: oppitunti uuden materiaalin oppimisesta.

2017/2018 lukuvuosi

Graafinen menetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. 9. luokka

Vera Vladimirovna Voronina, matematiikan opettaja.

oppitunti:

didaktinen:

avoin opiskelijoiden kanssa uusi tapa yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen;

johtaa algoritmi yhtälöjärjestelmien graafiseen ratkaisemiseen;

osaa määrittää kuinka monta ratkaisua yhtälöjärjestelmällä on;

oppia löytämään ratkaisuja yhtälöjärjestelmään graafisesti;

toista piirustus perustoiminnot;

luo edellytykset opiskelijoiden ohjaamiselle (itsekontrollille):

koulutus:

kasvattaa vastuullista asennetta työhön,

kirjanpidon tarkkuus.

Oppitunnin edistyminen.

I. Organisatorinen hetki.

Mikä on funktio? (dia 3-11)

Mikä on funktion kuvaaja?

Millaisia toimintoja tiedät?

Mikä kaava määrittelee lineaarifunktion? Mikä on kaavio lineaarinen funktio?

Mikä kaava antaa suoran suhteellisuuden? Mikä on hänen aikataulunsa?

Mikä kaava on annettu käänteinen suhteellisuus? Mikä on hänen aikataulunsa?

Mikä on neliöfunktion kaava? Mikä on hänen aikataulunsa?

Mikä yhtälö antaa ympyrän yhtälön?

Mitä kutsutaan kahdessa muuttujassa olevan yhtälön kuvaajaksi; (dia 12)

Järjestetään johdatus korkeammassa matematiikassa käytettyihin yhtälöihin ja niiden kaavioihin (strofoidi, Bernoullin lemniskaatti, astroidi, kardioidi). (dia 13-16)

Opettajan tarinaan liittyy diaesitys näillä kaavioilla.

Ilmaise y-muuttuja x-muuttujan avulla:
a) y - x² = 0
b) x + y + 2 = 0
c) 2x - y + 3 = 0
d) xy = -12

Onko lukupari (1; 0) yhtälön ratkaisu
a) x² +y = 1;
b) xy + 3 = x;
c) y(x +2) = 0.

Mikä on kahden muuttujan yhtälöjärjestelmän ratkaisu?

Mikä lukupari on yhtälöjärjestelmän ratkaisu
a) (6; 3)
b) (- 3; - 6)
c) (2; - 1)
d) (3; 0)

Mitä yhtälöitä voidaan käyttää yhtälöjärjestelmän luomiseen, jonka ratkaisu on lukupari (2; 1)
a) 2x - y = 3
b) 3x - 2y = 5
c) x² + y² = 4
d) xy = 2

III. Päivitetään opiskelijoiden tietämystä opiskelusta materiaalista. (dia 20, 21)

Tänään toistamme ja vahvistamme yhtä tapaa ratkaista yhtälöjärjestelmät. Tutkitun materiaalin konsolidointi suoritetaan visuaalisen havainnon avulla (dia näyttää yhtälöjärjestelmän graafisen ratkaisun):

Kahden muuttujan yhtälön kuvaaja on joukko koordinaattitason pisteitä, joiden koordinaatit muuttavat yhtälön todelliseksi yhtälöksi. Kaaviot yhtälöistä, joissa on kaksi tuntematonta, ovat hyvin erilaisia.

Kysymyksiä tästä diasta:

Mikä on yhtälön x² + y²=25 kuvaaja?

Mikä on yhtälön y = - x² +2x +5 kuvaaja?

Minkä tahansa ympyrän pisteen koordinaatit täyttävät yhtälön x² + y²=25, minkä tahansa paraabelin pisteen koordinaatit täyttävät yhtälön y = - x² +2x +5.

Minkä pisteiden koordinaatit täyttävät sekä ensimmäisen että toisen yhtälön?

Kuinka monta leikkauspistettä näillä kaavioilla on?

Kuinka monta ratkaisua tällä järjestelmällä on?

Mitä nämä ratkaisut ovat?

Mitä sinun tulee tehdä ratkaistaksesi graafisesti kahdessa muuttujassa olevan yhtälöjärjestelmän?

Esitetään dia, joka näyttää algoritmin graafiselle menetelmälle yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi kahdella tuntemattomalla.

Graafinen menetelmä soveltuu minkä tahansa järjestelmän ratkaisemiseen, mutta yhtälökaavioiden avulla voit suunnilleen löytää ratkaisuja järjestelmään. Vain osa järjestelmään löydetyistä ratkaisuista voi osoittautua oikeiksi. Tämä voidaan varmistaa korvaamalla niiden koordinaatit järjestelmän yhtälöihin.

IV. Tutkitun menetelmän soveltaminen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen.

1. Ratkaise yhtälöjärjestelmä graafisesti (dia 23)

Mikä on yhtälön xy = 3 kuvaaja?

Mikä on yhtälön 3x - y =0 kuvaaja?

2. Kirjoita muistiin näiden yhtälöiden määrittelemä järjestelmä ja sen ratkaisu. (dia 24)

Lavastus johtavia kysymyksiä:

Kirjoita muistiin näiden yhtälöiden määrittelemä järjestelmä?

Kuinka monta leikkauspistettä näillä kaavioilla on?

Kuinka monta ratkaisua tällä yhtälöjärjestelmällä on?

Mitkä ovat tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisut?

3. Valtiontarkastusviraston tehtävän suorittaminen (dia 25).

4. Ratkaise yhtälöjärjestelmä graafisesti (dia 26)

Opiskelijat suorittavat tehtävän vihkoissa. Ratkaisu tarkistetaan.

V. Oppitunnin yhteenveto.

Mitä kutsutaan kahdessa muuttujassa olevan yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi?

Minkä menetelmän kahden muuttujan yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi olet tutustunut?

Mikä on sen olemus?

Antaako tämä menetelmä tarkkoja tuloksia?

Missä tapauksessa yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja?

VI. Kotitehtävät.

s. 18, nro 420 (237), 425 (240)

Videotunti "Graafinen menetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen" esittelee koulutusmateriaalia hallitsemaan tätä aihetta. Aineisto sisältää yleisen käsityksen yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta sekä yksityiskohtaisen selityksen esimerkin avulla kuinka yhtälöjärjestelmä ratkaistaan graafisesti.

Visuaalinen apuväline käyttää animaatiota, joka tekee rakennuksista mukavampaa ja ymmärrettävämpää sekä eri tavoilla purkaus tärkeitä käsitteitä ja yksityiskohdat materiaalin syvälliseen ymmärtämiseen ja parempaan muistamiseen.

Videotunti alkaa aiheen esittelyllä. Oppilaat muistutetaan, mitä yhtälöjärjestelmä on ja mitkä yhtälöjärjestelmät olivat tuttuja jo 7. luokalla. Aikaisemmin opiskelijoiden piti ratkaista yhtälöjärjestelmiä muotoa ax+by=c. Syventämällä yhtälöjärjestelmien ratkaisemisen käsitettä ja kehittääkseen kykyä ratkaista niitä, tämä videotunti tutkii järjestelmän ratkaisua, joka koostuu kahdesta toisen asteen yhtälöstä sekä yhdestä toisen asteen yhtälöstä ja toisen asteen yhtälöstä. ensimmäisen asteen. Meitä muistutetaan siitä, mitä yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen on. Järjestelmän ratkaisun määritelmä muuttujien arvojen pariksi, jotka kääntävät sen yhtälöt päinvastaiseksi, kun ne korvataan oikealla yhtälöllä. Järjestelmäratkaisun määritelmän mukaisesti tehtävä määritellään. Se näkyy näytöllä muistaakseni, että järjestelmän ratkaiseminen tarkoittaa sopivien ratkaisujen etsimistä tai niiden puuttumisen osoittamista.

On ehdotettu graafisen menetelmän hallitsemista tietyn yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi. Sovellus tätä menetelmää Tarkastellaan esimerkkiä, jossa ratkaistaan yhtälöistä x 2 +y 2 =16 ja y=-x 2 +2x+4 koostuva systeemi. Graafinen ratkaisu Järjestelmä alkaa piirtämällä jokainen näistä yhtälöistä. Ilmeisesti yhtälön x 2 + y 2 = 16 kuvaaja on ympyrä. Tiettyyn ympyrään kuuluvat pisteet ovat yhtälön ratkaisu. Yhtälön viereen konstruoidaan koordinaattitasolle ympyrä, jonka säde on 4 ja jonka keskipiste on O origossa. Toisen yhtälön kuvaaja on paraabeli, jonka haarat on laskettu alas. Tämä yhtälön kuvaajaa vastaava paraabeli on rakennettu koordinaattitasolle. Mikä tahansa paraabeliin kuuluva piste edustaa yhtälön y = -x 2 + 2x + 4 ratkaisua. Selitetään, että yhtälöjärjestelmän ratkaisuna ovat kaavioiden pisteet, jotka kuuluvat samanaikaisesti molempien yhtälöiden kaavioihin. Tämä tarkoittaa, että muodostettujen kaavioiden leikkauspisteet ovat yhtälöjärjestelmän ratkaisuja.

On huomattava, että graafinen menetelmä koostuu kahden kaavion leikkauskohdassa sijaitsevien pisteiden koordinaattien likimääräisistä arvoista, jotka heijastavat järjestelmän kunkin yhtälön ratkaisujoukkoa. Kuvassa on kahden kuvaajan löydettyjen leikkauspisteiden koordinaatit: A, B, C, D[-2;-3.5]. Nämä pisteet ovat ratkaisuja graafisesti löydetylle yhtälöjärjestelmälle. Voit tarkistaa niiden oikeellisuuden korvaamalla ne yhtälössä ja saamalla oikeudenmukaisen tasa-arvon. Kun pisteet on korvattu yhtälöön, on selvää, että osa pisteistä antaa ratkaisun tarkan arvon ja osa edustaa yhtälön ratkaisun likimääräistä arvoa: x 1 = 0, y 1 = 4; x2 = 2, y2 = 3,5; x 3 ≈ 3,5, y 3 = -2; x 4 = -2, y 4 ≈ -3,5.

Video-opetusohjelma selittää yksityiskohtaisesti yhtälöjärjestelmän graafisen ratkaisumenetelmän olemuksen ja sovelluksen. Tämä mahdollistaa sen käytön video-opetuksena koulun algebratunnilla tätä aihetta opiskellessa. Materiaalista on hyötyä myös itseopiskelu opiskelijoille ja voi auttaa selittämään aihetta etäopetuksen aikana.