Tällä oppitunnilla muistetaan numerooperaatioiden perusominaisuudet. Emme vain tarkastele perusominaisuuksia, vaan opimme myös soveltamaan niitä rationaalisiin lukuihin. Vahvistamme kaiken saamamme tiedon ratkaisemalla esimerkkejä.
Numerotoimintojen perusominaisuudet:
Kaksi ensimmäistä ominaisuutta ovat yhteenlaskuominaisuuksia, kaksi seuraavaa ovat kertolaskuominaisuuksia. Viides ominaisuus koskee molempia toimintoja.
Näissä kiinteistöissä ei ole mitään uutta. Ne olivat voimassa sekä luonnollisille että kokonaislukuille. Ne pätevät myös rationaalisille luvuille ja pätevät lukuille, joita tutkimme seuraavaksi (esimerkiksi irrationaaliset luvut).
Permutaatioominaisuudet:
Termien tai tekijöiden uudelleenjärjestely ei muuta tulosta.
Yhdistelmän ominaisuudet:, .
Useiden lukujen lisääminen tai kertominen voidaan tehdä missä tahansa järjestyksessä.
Jakeluominaisuus:.
Ominaisuus yhdistää molemmat operaatiot - yhteenlasku- ja kertolaskutoiminnot. Lisäksi, jos luet sen vasemmalta oikealle, sitä kutsutaan sulkujen avaamissäännöksi, ja jos sisään kääntöpuoli- sääntö yhteisen tekijän jättämisestä suluissa.
Seuraavat kaksi ominaisuutta kuvaavat neutraaleja elementtejä yhteen- ja kertolasku: nollan lisääminen ja yhdellä kertominen ei muuta alkuperäistä lukua.
Kaksi muuta ominaisuutta, jotka kuvaavat symmetrisiä elementtejä yhteen- ja kertolaskua varten summa vastakkaiset numerot yhtä suuri kuin nolla; käänteislukujen tulo on yhtä suuri kuin yksi.
Seuraava kiinteistö: . Jos luku kerrotaan nollalla, tulos on aina nolla.
Viimeinen tarkastelemamme omaisuus on: .
Kun luku kerrotaan luvulla, saadaan päinvastainen luku. Tällä kiinteistöllä on erityispiirre. Kaikkia muita huomioituja ominaisuuksia ei voitu todistaa käyttämällä muita. Sama ominaisuus voidaan todistaa käyttämällä edellisiä.
Kertomalla
Osoittakaamme, että jos kerromme luvun luvulla, saadaan päinvastainen luku. Tätä varten käytämme jakeluominaisuutta: .
Tämä pätee kaikille numeroille. Korvataan ja numeron sijaan:
Vasemmalla suluissa on keskenään vastakkaisten lukujen summa. Niiden summa on nolla (meillä on sellainen ominaisuus). Nyt vasemmalla. Oikealla saamme: 
.
Nyt meillä on nolla vasemmalla ja kahden luvun summa oikealla. Mutta jos kahden luvun summa on nolla, nämä luvut ovat keskenään vastakkaisia. Mutta numerolla on vain yksi vastakkainen luku: . Eli tämä on mitä se on: .
Omaisuus on todistettu.
Sellaista ominaisuutta, joka voidaan todistaa aikaisemmilla ominaisuuksilla, kutsutaan lause
Miksi tässä ei ole vähennys- ja jakoominaisuuksia? Voidaan esimerkiksi kirjoittaa distributiivinen ominaisuus vähennystä varten: .
Mutta koska:
- Minkä tahansa luvun vähentäminen voidaan vastaavasti kirjoittaa yhteenlaskuksi korvaamalla luku vastakkaisella:
- Jako voidaan kirjoittaa kertolaskuna käänteisluvulla:
Tämä tarkoittaa, että yhteen- ja kertolaskuominaisuuksia voidaan soveltaa vähennys- ja jakolaskuihin. Tämän seurauksena lista muista ominaisuuksista on lyhyempi.
Kaikki tarkastelemamme ominaisuudet eivät ole yksinomaan rationaalilukujen ominaisuuksia. Myös muut luvut, esimerkiksi irrationaalit, noudattavat kaikkia näitä sääntöjä. Esimerkiksi sen vastakkaisen luvun summa on nolla: .
Nyt siirrymme käytännön osaan ratkaisemalla useita esimerkkejä.
Rationaaliset numerot elämässä
Niitä esineiden ominaisuuksia, joita voimme kuvata kvantitatiivisesti, merkitä jollain numerolla, kutsutaan arvot: pituus, paino, lämpötila, määrä.
Samaa määrää voidaan merkitä sekä kokonaisluvulla että murtoluvulla, positiivisella tai negatiivisella.
Esimerkiksi pituutesi m on murtoluku. Mutta voimme sanoa, että se on yhtä suuri kuin cm - tämä on jo kokonaisluku (kuva 1).
Riisi. 1. Esimerkki esimerkiksi
Toinen esimerkki. Negatiivinen lämpötila Celsius-asteikolla on positiivinen Kelvin-asteikolla (kuva 2).
Riisi. 2. Esimerkki esimerkiksi
Rakentaessaan talon seinää yksi henkilö voi mitata leveyden ja korkeuden metreinä. Hän tuottaa murto-osia. Hän suorittaa kaikki lisälaskelmat murto-osilla (rationaalisilla) luvuilla. Toinen henkilö voi mitata kaiken tiilien lukumäärällä leveydellä ja korkeudella. Saatuaan vain kokonaislukuarvot hän suorittaa laskelmia kokonaisluvuilla.
Itse suuret eivät ole kokonaislukuja tai murtolukuja, eivät negatiivisia eivätkä positiivisia. Mutta luku, jolla kuvaamme suuren arvoa, on jo melko tarkka (esimerkiksi negatiivinen ja murtoluku). Riippuu mittakaavasta. Ja kun siirrymme reaalisuureista matemaattiseen malliin, työskentelemme tietyntyyppisten lukujen kanssa
Aloitetaan lisäyksellä. Ehtoja voidaan järjestää uudelleen millä tahansa meille sopivalla tavalla ja toimenpiteet voidaan suorittaa missä tahansa järjestyksessä. Jos eri merkkien termit päättyvät samaan numeroon, on kätevää suorittaa operaatiot ensin niillä. Tätä varten vaihdetaan ehtoja. Esimerkiksi:
Yhteisiä murtolukuja, joissa on samanlainen nimittäjä, on helppo lisätä.
Vastakkaiset luvut laskevat yhteen nollan. Numerot, joissa on sama desimaalipyrstö, on helppo vähentää. Käyttämällä näitä ominaisuuksia sekä kommutatiivista yhteenlaskulakia voit helpottaa esimerkiksi seuraavan lausekkeen arvon laskemista:
Numeroita, joissa on täydentäviä desimaalipyrstöjä, on helppo lisätä. On kätevää käsitellä sekalukujen kokonaisluku- ja murto-osia erikseen. Käytämme näitä ominaisuuksia laskettaessa seuraavan lausekkeen arvoa:
Jatketaan kertolaskua. On olemassa lukupareja, jotka on helppo kertoa. Kommutatiivisen ominaisuuden avulla voit järjestää tekijät uudelleen niin, että ne ovat vierekkäin. Tuotteen miinusten määrä voidaan laskea välittömästi ja tehdä johtopäätös tuloksen merkistä.
Harkitse tätä esimerkkiä:
Jos yksi tekijöistä on nolla, tulo on nolla, esimerkiksi: .
Käänteislukujen tulo on yhtä suuri kuin yksi, eikä kertominen yhdellä muuta tulon arvoa. Harkitse tätä esimerkkiä:
Katsotaanpa esimerkkiä distributiivisen ominaisuuden käyttämisestä. Jos avaat sulkeet, jokainen kertolasku on helppoa.
Toiminnot desimaalilukujen kanssa.
Desimaalien lisääminen ja vähentäminen.
1. Tasaa desimaalipilkun jälkeisten numeroiden lukumäärä.
2. Lisää tai vähennä desimaalilukuja desimaalin tarkkuudella.
Desimaalien kertominen.
1. Kerro huomioimatta pilkkuja.
2. Erota pilkun tulossa oikealta niin monta numeroa kuin on kaikista tekijöistä
yhdessä desimaalipilkun jälkeen.
Desimaalien jakaminen.
1. Siirrä jako- ja jakajaosassa pilkkuja oikealle niin monta numeroa kuin desimaalipilkun jälkeen on
jakajassa.
2. Jaa koko osa ja laita osamäärään pilkku. (Jos koko osa on pienempi kuin jakaja
osamäärä alkaa nollasta kokonaisluvusta)
3. Jatka jakamista.
Toiminnot positiivisilla ja negatiivisilla luvuilla.
Positiivisten ja negatiivisten lukujen yhteen- ja vähennys.
a – (– c) = a + c
Kaikki muut tapaukset katsotaan numeroiden yhteenlaskuksi.
Kahden negatiivisen luvun yhteenlasku:
1. kirjoita tulos “–”-merkillä;
2. Lisäämme moduulit.
Eri merkkejä sisältävien numeroiden lisääminen:
1. laita suuremman moduulin merkki;
2. vähennä pienempi suuremmasta moduulista.
Positiivisten ja negatiivisten lukujen kertominen ja jakaminen.
1. Kun kerrotaan ja jaetaan lukuja eri etumerkeillä, tulos kirjoitetaan etumerkillä
miinus.
2. Kun kerrotaan ja jaetaan lukuja samoilla etumerkeillä, tulos kirjoitetaan etumerkillä
plus.
Operaatiot tavallisilla murtoluvuilla.
Yhteen- ja vähennyslasku.
1. Muunna murtoluvut muotoiksi yhteinen nimittäjä.
2. Lisää tai vähennä osoittajat, mutta jätä nimittäjä ennalleen.
Kerro osoittaja osoittajalla ja nimittäjä nimittäjällä (pienennä, jos mahdollista).
"Käännä" jakaja (toinen murtoluku) ja suorita kertolasku.
Division.
Kertominen.
Koko osan eristäminen väärästä jakeesta.
38
5 = 38: 5 = 7 (jäljellä 3) = 7
3
5
Muunnetaan sekaluku muotoon väärä murtoluku.
2
7 + =
4
4·7+2
7
30
7
=
1
.
+
Murto-osan pienentäminen.
Pienennä murtoluku - jaa osoittaja ja nimittäjä samalla luvulla.
6
7
6
7. Lyhyesti:
30:5
35:5 =
30
35 =
Esimerkiksi:
30
35 =
.
1.
Jaa murto-osien nimittäjät alkuluvuiksi
kertoimet
Murtolukujen pelkistäminen yhteiseksi nimittäjäksi.
5 4
7
16 +
36
80 =
71
80
2. Yliviivaa samat tekijät.
3. Muut tekijät ensimmäisen nimittäjästä
kerro murtoluvut ja kirjoita muodossa
lisäkerroin toiselle murto-osalle ja
toisesta jakeesta ensimmäiseen fraktioon.
2∙2∙2∙2 2∙2∙5
4. Kerro kunkin murtoluvun osoittaja ja nimittäjä
sen lisäkertoimella.
9
20 =
35
80 +
Sekalukujen yhteen- ja vähennyslasku.
Lisää tai vähennä erikseen kokonaiset osat ja murto-osat erikseen.
"Erikoistapaukset":
"Muunna" 1 murtoluvuksi, jonka osoittaja ja
2
2
5
6
3
5 =
3
5 = 2
1
1
Ota 1 ja "käännä" se murtoluvuksi, jonka osoittaja ja
nimittäjät ovat yhtä suuria kuin annetun murto-osan nimittäjä.
Ota 1 ja lisää nimittäjä osoittajaan.
3
5 =
3
5 = 2
5
5 ‒
5
5 ‒
‒
1
‒
3
2
5
1 ‒
3
3
5 = 2
5
5 1 ‒
3
5 = 1
2
5
1
5
1 ‒
3
5 = 2
6
5 1‒
3
3
5 = 1
3
5
Muunna sekaluvut vääriksi murtoluvuiksi ja suorita kerto- tai jakolasku.
Sekalukujen kerto- ja jakolasku.
2
7 + ∙ 2
4
4
5 + =
30
7 ∙
14
5 =
30·14
7 · 5
6 · 2
11 =
12
1 = 12
=
∙ ∙
6
7
IN tämä oppitunti Tarkastellaan rationaalisten lukujen yhteen- ja vähennyslaskua. Aihe on luokiteltu monimutkaiseksi. Tässä on käytettävä koko aiemmin hankitun tiedon arsenaalia.
Kokonaislukujen yhteen- ja vähennyssäännöt koskevat myös rationaalilukuja. Muista, että rationaaliluvut ovat lukuja, jotka voidaan esittää murtolukuna, missä a – tämä on murtoluvun osoittaja, b on murtoluvun nimittäjä. Samaan aikaan b ei saa olla nolla.
Tällä oppitunnilla kutsumme yhä useammin murto- ja sekalukuja yhdellä yleisellä lauseella - rationaalisia lukuja.
Oppitunnin navigointi:Esimerkki 1. Etsi ilmaisun merkitys:
Laitetaan jokainen rationaalinen luku suluihin etumerkkien kanssa. Otamme huomioon, että lausekkeessa annettu plus on operaatiomerkki eikä koske murtolukua. Tällä murtoluvulla on oma plusmerkki, joka on näkymätön, koska sitä ei ole kirjoitettu. Mutta kirjoitamme sen selvyyden vuoksi:
Tämä on rationaalisten lukujen yhteenlasku eri etumerkeillä. Jos haluat lisätä rationaalilukuja eri etumerkeillä, sinun on vähennettävä pienempi moduuli suuremmasta moduulista ja ennen tuloksena olevaa vastausta asetettava sen rationaaliluvun etumerkki, jonka moduuli on suurempi.
Ja ymmärtääksesi, mikä moduuli on suurempi ja mikä pienempi, sinun on voitava verrata näiden murtolukujen moduuleja ennen niiden laskemista:
Rationaaliluvun moduuli on suurempi kuin rationaaliluvun moduuli. Siksi vähennimme . Saimme vastauksen. Sitten pienentämällä tätä murtolukua kahdella, saimme lopullisen vastauksen.
Jotkut primitiiviset toiminnot, kuten numeroiden lisääminen suluihin ja moduulien lisääminen, voidaan ohittaa. Tämä esimerkki voidaan kirjoittaa lyhyesti: Etsi ilmaisun merkitys:
Esimerkki 2. Laitetaan jokainen rationaalinen luku suluihin etumerkkien kanssa. Otamme huomioon, että miinus seisoo välillä rationaalisia lukuja
ja on operaatiomerkki eikä viittaa murto-osaan. Tällä murtoluvulla on oma plusmerkki, joka on näkymätön, koska sitä ei ole kirjoitettu. Mutta kirjoitamme sen selvyyden vuoksi:
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla. Muistutetaan, että tätä varten sinun on lisättävä minuendiin aliosaa vastapäätä oleva luku:
Saimme negatiivisten rationaalilukujen summan. Jos haluat lisätä negatiivisia rationaalilukuja, sinun on lisättävä niiden moduulit ja laitettava miinus tuloksena olevan vastauksen eteen: Huom.
Kaikkia rationaalilukuja ei tarvitse laittaa sulkeisiin. Tämä tehdään mukavuussyistä, jotta nähdään selvästi, mitkä merkit rationaalisilla luvuilla on. Etsi ilmaisun merkitys:
Esimerkki 3. Tässä lausekkeessa murtoluvut eri nimittäjiä
. Tehtävämme helpottamiseksi vähennetään nämä murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi. Emme käsittele yksityiskohtaisesti, kuinka tämä tehdään. Jos sinulla on vaikeuksia, muista toistaa oppitunti.
Kun murtoluvut on vähennetty yhteiseksi nimittäjäksi, lauseke saa seuraavan muodon:
Tämä on rationaalisten lukujen yhteenlasku eri etumerkeillä. Vähennämme pienemmän moduulin suuremmasta moduulista ja ennen tuloksena olevaa vastausta laitamme sen rationaaliluvun etumerkin, jonka moduuli on suurempi:
Kirjoita tämän esimerkin ratkaisu lyhyesti: Esimerkki 4.
Etsi lausekkeen arvo 
Lasketaan tämä lauseke seuraavasti: lisätään rationaaliluvut ja vähennetään sitten rationaaliluku saadusta tuloksesta.
Ensimmäinen toimenpide:
Toinen toimenpide: Esimerkki 5
. Etsi ilmaisun merkitys:
Esitetään kokonaisluku −1 murtolukuna ja muunnetaan sekaluku vääräksi murtoluvuksi:
Saimme rationaalilukujen summauksen eri etumerkillä. Vähennämme pienemmän moduulin suuremmasta moduulista ja ennen tuloksena olevaa vastausta laitamme sen rationaaliluvun etumerkin, jonka moduuli on suurempi:
Saimme vastauksen.
On olemassa toinen ratkaisu. Se koostuu kokonaisten osien yhdistämisestä erikseen.
Palataanpa siis alkuperäiseen ilmaisuun:
Laitetaan jokainen numero sulkeisiin. Tätä varten sekoitettu numero on väliaikainen:
Lasketaan kokonaislukuosat:
(−1) + (+2) = 1
Päälausekkeessa (−1) + (+2) sijasta kirjoitetaan tuloksena oleva yksikkö:
Tuloksena oleva lauseke on . Kirjoita yksikkö ja murto yhteen:
Kirjoitetaan ratkaisu lyhyemmällä tavalla:
Esimerkki 6. Esimerkki 4.
Muunnetaan sekaluku vääräksi murtoluvuksi. Kirjoitetaan loput uudelleen muuttamatta:
Esitetään kokonaisluku −1 murtolukuna ja muunnetaan sekaluku vääräksi murtoluvuksi:
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla:
Tämä on rationaalisten lukujen yhteenlasku eri etumerkeillä. Vähennämme pienemmän moduulin suuremmasta moduulista ja ennen tuloksena olevaa vastausta laitamme sen rationaaliluvun etumerkin, jonka moduuli on suurempi:
Esimerkki 7. Etsi lausekkeen arvo
Esitetään kokonaisluku −5 murtolukuna ja muunnetaan sekaluku vääräksi murtoluvuksi:
Tuodaan nämä murtoluvut yhteiseen nimittäjään. Kun ne on vähennetty yhteiseksi nimittäjäksi, ne ovat seuraavanlaisia:
Esitetään kokonaisluku −1 murtolukuna ja muunnetaan sekaluku vääräksi murtoluvuksi:
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla:
Saimme negatiivisten rationaalilukujen summan. Lisätään näiden lukujen moduulit ja laitetaan miinus tuloksena olevan vastauksen eteen:
Näin ollen lausekkeen arvo on .
Päätetään tämä esimerkki toinen tapa. Palataan alkuperäiseen ilmaisuun:
Kirjoitetaan sekaluku laajennetussa muodossa. Kirjoitetaan loput uudelleen ilman muutoksia:
Liitämme jokaisen rationaalisen luvun suluihin yhdessä sen merkkien kanssa:
Lasketaan kokonaislukuosat:
Päälausekkeessa tuloksena olevan luvun −7 kirjoittamisen sijaan
Lauseke on laajennettu muoto sekaluvun kirjoittamisesta. Kirjoitamme luvun −7 ja murtoluvun yhteen lopullisen vastauksen muodostamiseksi:
Kirjoita tämä ratkaisu lyhyesti:
Esimerkki 8. Esimerkki 4.
Liitämme jokaisen rationaalisen luvun suluihin yhdessä sen merkkien kanssa:
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla:
Saimme negatiivisten rationaalilukujen summan. Lisätään näiden lukujen moduulit ja laitetaan miinus tuloksena olevan vastauksen eteen:
Eli lausekkeen arvo on
Tämä esimerkki voidaan ratkaista toisella tavalla. Se koostuu kokonaisten ja murto-osien lisäämisestä erikseen. Palataan alkuperäiseen ilmaisuun:
Esitetään kokonaisluku −1 murtolukuna ja muunnetaan sekaluku vääräksi murtoluvuksi:
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla:
Saimme negatiivisten rationaalilukujen summan. Lisätään näiden lukujen moduulit ja laitetaan miinus tuloksena olevan vastauksen eteen. Mutta tällä kertaa lisäämme kokonaiset osat (−1 ja −2), sekä murto- että murto-osat
Kirjoita tämä ratkaisu lyhyesti:
Esimerkki 9. Etsi ilmaisulausekkeita 
Muunnetaan sekaluvut vääriksi murtoluvuiksi:
Laitetaan rationaalinen luku suluihin sen etumerkin kanssa. Ei tarvitse laittaa rationaalilukua sulkeisiin, koska se on jo suluissa:
Saimme negatiivisten rationaalilukujen summan. Lisätään näiden lukujen moduulit ja laitetaan miinus tuloksena olevan vastauksen eteen:
Eli lausekkeen arvo on
Yritetään nyt ratkaista sama esimerkki toisella tavalla, nimittäin lisäämällä kokonaisluku- ja murto-osat erikseen.
Lyhyen ratkaisun saamiseksi yritetään tällä kertaa ohittaa joitakin vaiheita, kuten sekaluvun kirjoittaminen laajennetussa muodossa ja vähennyksen korvaaminen yhteenlaskemalla:
Huomaa, että murto-osat on vähennetty yhteiseksi nimittäjäksi.
Esimerkki 10. Esimerkki 4. 
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla:
Tuloksena oleva lauseke ei sisällä negatiivisia lukuja, jotka ovat pääasiallinen syy virheisiin. Ja koska negatiivisia lukuja ei ole, voimme poistaa plus-merkin aliosan edestä ja poistaa myös sulut:
Tuloksena on yksinkertainen lauseke, joka on helppo laskea. Lasketaan se millä tahansa meille sopivalla tavalla:
Esimerkki 11. Esimerkki 4.
Tämä on rationaalisten lukujen yhteenlasku eri etumerkeillä. Vähennetään pienempi moduuli isommasta moduulista ja ennen tuloksena olevaa vastausta laitetaan sen rationaaliluvun etumerkki, jonka moduuli on suurempi:
Esimerkki 12. Esimerkki 4. 
Lauseke koostuu useista rationaaliluvuista. Sen mukaan sinun on ensin suoritettava suluissa olevat vaiheet.
Ensin lasketaan lauseke, sitten lisätään saadut tulokset.
Lasketaan tämä lauseke seuraavasti: lisätään rationaaliluvut ja vähennetään sitten rationaaliluku saadusta tuloksesta.
Ensimmäinen toimenpide:
Kolmas toimenpide:
Vastaus: lausekkeen arvo on yhtä suuri
Esimerkki 13. Esimerkki 4. 
Muunnetaan sekaluvut vääriksi murtoluvuiksi:
Laitetaan rationaalinen luku suluihin sen etumerkin kanssa. Rationaalilukua ei tarvitse laittaa sulkeisiin, koska se on jo suluissa:
Tuodaan nämä murtoluvut yhteiseen nimittäjään. Kun ne on vähennetty yhteiseksi nimittäjäksi, ne ovat seuraavanlaisia:
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla:
Saimme rationaalilukujen summauksen eri etumerkillä. Vähennetään pienempi moduuli isommasta moduulista ja ennen tuloksena olevaa vastausta laitetaan sen rationaaliluvun etumerkki, jonka moduuli on suurempi:
Eli ilmaisun merkitys on yhtä suuri
Tarkastellaan desimaalien yhteen- ja vähennyslukuja, jotka ovat myös rationaalilukuja ja voivat olla joko positiivisia tai negatiivisia.
Esimerkki 14. Etsi lausekkeen arvo −3.2 + 4.3
Laitetaan jokainen rationaalinen luku suluihin etumerkkien kanssa. Otamme huomioon, että lausekkeessa annettu plus on operaatiomerkki eikä koske desimaalimurtolukua 4.3. Tällä desimaaliluvulla on oma plusmerkki, joka on näkymätön, koska sitä ei kirjoiteta ylös. Mutta kirjoitamme sen selvyyden vuoksi:
(−3,2) + (+4,3)
Tämä on rationaalisten lukujen yhteenlasku eri etumerkeillä. Jos haluat lisätä rationaalilukuja eri etumerkeillä, sinun on vähennettävä pienempi moduuli suuremmasta moduulista ja ennen tuloksena olevaa vastausta asetettava rationaaliluku, jonka moduuli on suurempi.
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
Ja ymmärtääksesi, mikä moduuli on suurempi ja mikä pienempi, sinun on voitava verrata näiden desimaalilukujen moduuleja ennen niiden laskemista:
Näin ollen lausekkeen −3.2 + (+4.3) arvo on 1.1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
Esimerkki 15. Etsi lausekkeen arvo 3,5 + (−8,3)
Tämä on rationaalisten lukujen yhteenlasku eri etumerkeillä. Kuten edellisessä esimerkissä, vähennämme pienemmän suuremmasta moduulista ja ennen vastausta laitamme sen rationaaliluvun etumerkin, jonka moduuli on suurempi:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Näin ollen lausekkeen 3,5 + (−8,3) arvo on −4,8
Tämä esimerkki voidaan kirjoittaa lyhyesti:
3,5 + (−8,3) = −4,8
Esimerkki 16. Etsi lausekkeen arvo −7.2 + (−3.11)
Tämä on negatiivisten rationaalilukujen summaus. Jos haluat lisätä negatiivisia rationaalilukuja, sinun on lisättävä niiden moduulit ja laitettava miinus tuloksena olevan vastauksen eteen.
Voit ohittaa merkinnän moduuleilla, jotta lauseke ei sotkeudu:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Näin ollen lausekkeen −7.2 + (−3.11) arvo on −10.31
Tämä esimerkki voidaan kirjoittaa lyhyesti:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Esimerkki 17. Etsi lausekkeen arvo −0,48 + (−2,7)
Tämä on negatiivisten rationaalilukujen summaus. Lisätään niiden moduulit ja laitetaan miinus tuloksena olevan vastauksen eteen. Voit ohittaa merkinnän moduuleilla, jotta lauseke ei sotkeudu:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Esimerkki 18. Etsi lausekkeen −4.9 − 5.9 arvo
Laitetaan jokainen rationaalinen luku suluihin etumerkkien kanssa. Otamme huomioon, että rationaalilukujen −4.9 ja 5.9 välissä oleva miinus on operaatiomerkki eikä kuulu numeroon 5.9. Tällä rationaaliluvulla on oma plusmerkki, joka on näkymätön, koska sitä ei ole kirjoitettu. Mutta kirjoitamme sen selvyyden vuoksi:
(−4,9) − (+5,9)
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla:
(−4,9) + (−5,9)
Saimme negatiivisten rationaalilukujen summan. Lisätään heidän moduulinsa ja laitetaan miinus tuloksena olevan vastauksen eteen:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Näin ollen lausekkeen −4.9 − 5.9 arvo on −10.8
−4,9 − 5,9 = −10,8
Esimerkki 19. Etsi lausekkeen arvo 7 − 9.3
Laitetaan jokainen numero hakasulkeisiin merkkien kanssa.
(+7) − (+9,3)
Korvaa vähennyslasku summalla
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Näin ollen lausekkeen 7 − 9.3 arvo on −2.3
Kirjoita tämän esimerkin ratkaisu lyhyesti:
7 − 9,3 = −2,3
Esimerkki 20. Etsi lausekkeen arvo −0.25 − (−1.2)
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla:
−0,25 + (+1,2)
Saimme rationaalilukujen summauksen eri etumerkillä. Vähennetään pienempi moduuli isommasta moduulista ja ennen vastausta laitetaan sen luvun etumerkki, jonka moduuli on suurempi:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Kirjoita tämän esimerkin ratkaisu lyhyesti:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Esimerkki 21. Etsi lausekkeen arvo −3.5 + (4.1 − 7.1)
Suoritetaan suluissa olevat toiminnot ja lisätään sitten tuloksena oleva vastaus numerolla −3.5
Lasketaan tämä lauseke seuraavasti: lisätään rationaaliluvut ja vähennetään sitten rationaaliluku saadusta tuloksesta.
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Ensimmäinen toimenpide:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Vastaus: lausekkeen −3.5 + (4.1 − 7.1) arvo on −6.5.
Esimerkki 22. Etsi lausekkeen arvo (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1)
Tehdään suluissa olevat vaiheet. Sitten ensimmäisten hakasulkeiden suorittamisen tuloksena saadusta luvusta vähennetään luku, joka saatiin toisten hakasulkeiden suorittamisen tuloksena:
Lasketaan tämä lauseke seuraavasti: lisätään rationaaliluvut ja vähennetään sitten rationaaliluku saadusta tuloksesta.
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Ensimmäinen toimenpide:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Kolmas näytös
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Vastaus: lausekkeen (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1) arvo on 6.
Esimerkki 23. Esimerkki 4. −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Laitetaan jokainen rationaalinen luku suluihin etumerkkien kanssa
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Korvataan vähennyslasku yhteenlaskulla, jos mahdollista:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Ilmaisu koostuu useista termeistä. Kombinatorisen summauslain mukaan jos lauseke koostuu useista termeistä, summa ei riipu toimintojen järjestyksestä. Tämä tarkoittaa, että ehdot voidaan lisätä missä tahansa järjestyksessä.
Älkäämme keksikö pyörää uudelleen, vaan lisääkö kaikki termit vasemmalta oikealle niiden ilmestymisjärjestyksessä:
Lasketaan tämä lauseke seuraavasti: lisätään rationaaliluvut ja vähennetään sitten rationaaliluku saadusta tuloksesta.
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Ensimmäinen toimenpide:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Kolmas toimenpide:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Vastaus: lausekkeen −3.8 + 17.15 − 6.2 − 6.15 arvo on 1.
Esimerkki 24. Esimerkki 4.
Muunnetaan desimaaliluku −1,8 sekaluvuksi. Kirjoitetaan loput uudelleen muuttamatta:
Oppitunti 4
TUTKINTO LUONNOLLISELLA INDIKAATTORILLA
Maalit: edistää tietojenkäsittelytaitojen ja -tietojen muodostumista, laskentakokemukseen perustuvan tutkintotiedon keräämistä; ottamaan käyttöön suurten ja pienten lukujen kirjoittaminen 10:n potenssien avulla.
Oppitunnin edistyminen
I. Perustietojen päivittäminen.
Opettaja analysoi tulokset koetyötä, jokainen opiskelija saa suosituksia henkilökohtaisen suunnitelman laatimiseksi tietojenkäsittelytaitojen korjaamiseksi.
Sitten oppilaita pyydetään suorittamaan laskelmia ja lukemaan kuuluisien matemaatikoiden nimet, jotka osallistuivat voimateorian rakentamiseen:
0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .
Avain:
Tietokoneella tai epiprojektorilla projisoidaan tutkijoiden Diophantuksen, Rene Descartesin ja Simon Stevinin muotokuvia näytölle. Opiskelijoita pyydetään valmistelemaan haluttaessa historiallista tietoa näiden matemaatikoiden elämästä ja työstä.
II. Uusien käsitteiden ja toimintatapojen muodostuminen.
Oppilaat kirjoittavat seuraavat ilmaisut vihkoonsa:
1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;
2. 2 + 2 + 2 + … + 2;
A ehdot
3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;
4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;
n kertoimet
5. A∙ A∙ … ∙ A;
n kertoimet
Oppilaita pyydetään vastaamaan kysymykseen: "Kuinka nämä tietueet voidaan esittää kompaktimmin, jotta niistä tulee "havaittavissa"?
Sitten opettaja jatkaa keskustelua uusi aihe, tutustuttaa opiskelijat luvun ensimmäisen potenssin käsitteeseen. Oppilaat voivat valmistaa dramatisoinnin muinaisesta Intian legendasta shakin keksijästä Sethistä ja kuningas Sheramista. Keskustelu on tarpeen lopettaa tarinalla 10:n potenssien käytöstä kirjoitettaessa suuria ja pieniä määriä ja tarjota opiskelijoille useita fysiikan, tekniikan ja tähtitieteen hakukirjoja harkittavaksi, jolloin he voivat löytää esimerkkejä tällaisista suureista. kirjoissa.
III. Taitojen ja kykyjen muodostuminen.
1. Harjoitusten nro 40 ratkaisu d), e), f); 51.
Ratkaisun aikana opiskelijat toteavat, että on hyödyllistä muistaa: Potentti, jolla on negatiivinen kanta, on positiivinen, jos eksponentti on parillinen, ja negatiivinen, jos eksponentti on pariton.
2. Harjoitusten nro 41, 47 ratkaisu.
IV. Yhteenvetona.
Opettaja kommentoi ja arvioi oppilaiden töitä tunnilla.
Kotitehtävät: kohta 1.3, nro 42, 43, 52; valinnainen: valmistele raportteja Diophantuksesta, Descartesista, Stevinistä.
Diophantus- antiikin kreikkalainen matemaatikko Aleksandriasta (III vuosisata). Osa hänen matemaattisesta tutkielmasta "Aritmetiikka" (6 kirjaa 13:sta) on säilynyt, jossa on annettu ratkaisu ongelmiin, joista suurin osa johtaa ns. "Diofantiiniyhtälöihin", joiden ratkaisua haetaan rationaalisessa positiivisessa muodossa. numerot (Diophantuksella ei ole negatiivisia lukuja).
Tuntemattoman ja sen asteiden (kuudenteen asti), yhtäläisyysmerkkiä, Diophantus käytti vastaavien sanojen lyhennettä. Tiedemiehet ovat myös löytäneet arabiankielisen tekstin neljästä muusta Diophantuksen aritmeettisesta kirjasta. Diophantuksen teokset olivat lähtökohtana P. Fermatin, L. Eulerin, K. Gaussin ja muiden tutkimuksille.
Descartes Rene (31.3.159 6 –11. 02. 1650) - Ranskalainen filosofi ja matemaatikko, tuli muinaisista ajoista jalo perhe. Hän sai koulutuksensa jesuiittakoulussa La Flèche Anjoussa. Kolmikymmenvuotisen sodan alussa hän palveli armeijassa, jonka hän jätti vuonna 1621; useiden vuosien matkan jälkeen hän muutti Alankomaihin (1629), jossa hän vietti kaksikymmentä vuotta yksinäisiä tieteellisiä tutkimuksia. Vuonna 1649 hän muutti Ruotsin kuningattaren kutsusta Tukholmaan, mutta kuoli pian.
Descartes loi perustan analyyttiselle geometrialle ja otti käyttöön monia moderneja algebrallisia merkintöjä. Descartes paransi merkittävästi merkintäjärjestelmää ottamalla käyttöön yleisesti hyväksytyt muuttujien merkit
(X, klo,z...) ja kertoimet ( A, b, Kanssa...), sekä tutkintomerkinnät ( X 4 , A 5...). Descartesin kaavojen kirjoittaminen ei juuri eroa nykyaikaisista.
Analyyttisessä geometriassa Descartesin tärkein saavutus oli hänen luomansa koordinaattimenetelmä.
Stevin Simon (1548-1620) - Hollantilainen tiedemies ja insinööri. Vuodesta 1583 lähtien hän opetti Leidenin yliopistossa, vuonna 1600 hän järjesti Leidenin yliopistoon insinöörikoulun, jossa hän luennoi matematiikasta. Stevinin teos "Tithe" (1585) on omistettu desimaalijärjestelmä toimenpiteet ja desimaalit, jonka Simon Stevin otti käyttöön Euroopassa.