Analüüsime kahte tüüpi võrrandisüsteemide lahendusi:

1. Süsteemi lahendamine asendusmeetodil.
2. Süsteemi lahendamine süsteemivõrrandite terminite kaupa liitmise (lahutamise) teel.

Selleks, et lahendada võrrandisüsteem asendusmeetodil peate järgima lihtsat algoritmi:
1. Ekspress. Mis tahes võrrandist väljendame ühte muutujat.
2. Asendus. Asendame saadud väärtuse väljendatud muutuja asemel teise võrrandiga.
3. Lahendage saadud võrrand ühe muutujaga. Leiame süsteemile lahenduse.

Et otsustada süsteem termini kaupa liitmise (lahutamise) meetodil vaja:
1. Vali muutuja, millele teeme identsed koefitsiendid.
2. Liidame või lahutame võrrandeid, mille tulemuseks on ühe muutujaga võrrand.
3. Lahendage saadud lineaarvõrrand. Leiame süsteemile lahenduse.

Süsteemi lahenduseks on funktsioonigraafikute lõikepunktid.

Vaatleme üksikasjalikult näidete abil süsteemide lahendust.

Näide nr 1:

Lahendame asendusmeetodil

Võrrandisüsteemi lahendamine asendusmeetodil

2x+5y=1 (1 võrrand)
x-10y = 3 (2. võrrand)

1. Ekspress
Näha on, et teises võrrandis on muutuja x koefitsiendiga 1, mis tähendab, et muutujat x on kõige lihtsam väljendada teisest võrrandist.
x=3+10 a

2.Pärast seda, kui oleme selle väljendanud, asendame esimesse võrrandisse muutuja x asemel 3+10y.
2(3+10a)+5a=1

3. Lahendage saadud võrrand ühe muutujaga.
2(3+10a)+5a=1 (avage sulud)
6+20a+5a=1
25a = 1-6
25 a = -5 |: (25)
y = -5:25
y = -0,2

Võrrandisüsteemi lahenduseks on graafikute lõikepunktid, seepärast tuleb leida x ja y, kuna lõikepunkt koosneb x-st ja y-st Leiame x, esimeses punktis, kus seda väljendasime, asendame seal y .
x=3+10 a
x=3+10*(-0,2)=1

Punkte on tavaks kirjutada esiteks muutuja x ja teiseks muutuja y.
Vastus: (1; -0,2)

Näide nr 2:

Lahendame terminikaupa liitmise (lahutamise) meetodil.

Võrrandisüsteemi lahendamine liitmismeetodil

3x-2y=1 (1 võrrand)
2x-3y = -10 (2. võrrand)

1. Valime muutuja, oletame, et valime x. Esimeses võrrandis on muutuja x koefitsient 3, teises - 2. Peame muutma koefitsiendid samaks, selleks on meil õigus võrrandid korrutada või jagada mis tahes arvuga. Korrutame esimese võrrandi 2-ga ja teise 3-ga ning saame koefitsiendiks 6.

3x-2a=1 |*2
6x-4a = 2

2x-3a = -10 |*3
6x-9a = -30

2. Muutuja x vabanemiseks lahutage esimesest võrrandist teine.
__6x-4a = 2

5a=32 | :5
y = 6,4

3. Leidke x. Asendame leitud y mis tahes võrrandis, oletame, et esimeses võrrandis.
3x-2a = 1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Lõikepunkt on x=4,6; y = 6,4
Vastus: (4,6; 6,4)

Kas soovite eksamiteks valmistuda tasuta? Juhendaja võrgus tasuta. Pole nalja.

Võrrandilahenduse teenus aitab teil lahendada mis tahes võrrandi. Meie saiti kasutades ei saa te mitte ainult võrrandile vastust, vaid ka näete üksikasjalik lahendus, st tulemuse saamise protsessi samm-sammult kuvamine. Meie teenus on kasulik keskkooliõpilastele ja nende vanematele. Õpilased saavad valmistuda kontrolltöödeks ja eksamiteks, panna proovile oma teadmised ning vanemad saavad jälgida laste matemaatiliste võrrandite lahendamist. Võimalus võrrandeid lahendada - kohustuslik nõue koolilastele. Teenus aitab teil end harida ja täiendada oma teadmisi matemaatiliste võrrandite vallas. Selle abil saate lahendada mis tahes võrrandi: ruut-, kuup-, irratsionaalne, trigonomeetriline jne. Kasu võrguteenus ja on hindamatu, sest lisaks õigele vastusele saate iga võrrandi üksikasjaliku lahenduse. Võrrandite Internetis lahendamise eelised. Saate meie veebisaidil Internetis lahendada mis tahes võrrandi täiesti tasuta. Teenus on täiesti automaatne, arvutisse ei pea midagi installima, piisab vaid andmete sisestamisest ja programm pakub sulle lahenduse. Kõik vead arvutustes või kirjavead on välistatud. Meie juures on mis tahes võrrandi lahendamine veebis väga lihtne, seega kasutage meie saiti mis tahes võrrandite lahendamiseks. Tuleb vaid andmed sisestada ja arvutus valmib mõne sekundiga. Programm töötab iseseisvalt, ilma inimese sekkumiseta ning saate täpse ja üksikasjaliku vastuse. Võrrandi lahendamine üldkujul. Sellises võrrandis on muutujate koefitsiendid ja soovitud juured omavahel seotud. Muutuja suurim võimsus määrab sellise võrrandi järjekorra. Sellest lähtuvalt kasutatakse võrrandite jaoks erinevaid meetodeid ja teoreeme lahenduste leidmiseks. Seda tüüpi võrrandite lahendamine tähendab vajalike juurte leidmist üldkujul. Meie teenus võimaldab teil Internetis lahendada isegi kõige keerulisema algebralise võrrandi. Saate saada nii võrrandi üldlahenduse kui ka konkreetse lahenduse teie määratud koefitsientide arvväärtuste jaoks. Algebralise võrrandi lahendamiseks veebisaidil piisab, kui täidate õigesti ainult kaks välja: antud võrrandi vasak ja parem pool. U algebralised võrrandid muutuvate koefitsientidega lahendeid on lõpmatult palju ning teatud tingimusi seades valitakse lahenduste hulgast välja privaatsed. Ruutvõrrand. Ruutvõrrand on kujul ax^2+bx+c=0, kui a>0. Ruutvõrrandite lahendamine hõlmab x väärtuste leidmist, mille puhul kehtib võrdus ax^2+bx+c=0. Selleks leidke diskrimineeriv väärtus valemiga D=b^2-4ac. Kui diskrimineerija vähem kui null, siis pole võrrandil tegelikke juuri (juured pärinevad väljast kompleksarvud), kui võrdne nulliga, siis on võrrandil üks reaaljuur ja kui diskriminant on suurem kui null, siis on võrrandil kaks reaaljuurt, mis leitakse valemiga: D= -b+-sqrt/2a. Ruutvõrrandi võrgus lahendamiseks peate lihtsalt sisestama võrrandi koefitsiendid (täisarvud, murrud või kümnendkohad). Kui võrrandis on lahutamismärke, tuleb võrrandi vastavate liikmete ette panna miinusmärk. Otsustage ruutvõrrand võrgus ja olenevalt parameetrist, st võrrandi koefitsientide muutujatest. Meie veebiteenus üldlahenduste leidmiseks tuleb selle ülesandega hästi toime. Lineaarvõrrandid. Lineaarvõrrandite (või võrrandisüsteemide) lahendamiseks kasutatakse praktikas nelja peamist meetodit. Kirjeldame iga meetodit üksikasjalikult. Asendusmeetod. Asendusmeetodil võrrandite lahendamine eeldab ühe muutuja väljendamist teistega. Pärast seda asendatakse avaldis süsteemi teiste võrranditega. Sellest tuleneb ka lahendusmeetodi nimi, st muutuja asemel asendatakse selle avaldis ülejäänud muutujatega. Praktikas nõuab meetod keerukaid arvutusi, kuigi seda on lihtne mõista, nii et sellise võrrandi lahendamine veebis aitab säästa aega ja hõlbustada arvutusi. Peate lihtsalt võrrandis märkima tundmatute arvu ja täitma lineaarvõrrandi andmed, siis teeb teenus arvutuse. Gaussi meetod. Meetod põhineb süsteemi kõige lihtsamatel teisendustel, et jõuda samaväärse kolmnurksüsteemini. Selle järgi määratakse tundmatud ükshaaval. Praktikas tuleb selline võrrand Internetis lahendada üksikasjalik kirjeldus, tänu millele saate hästi aru Gaussi meetodist lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks. Kirjutage lineaarvõrrandisüsteem õiges vormingus üles ja võtke süsteemi täpseks lahendamiseks arvesse tundmatute arvu. Crameri meetod. See meetod lahendab võrrandisüsteeme juhtudel, kui süsteemil on unikaalne lahendus. Peamine matemaatiline tegevus on siin maatriksdeterminantide arvutamine. Võrrandite lahendamine Crameri meetodi abil toimub võrgus, saate kohe tulemuse koos täieliku ja üksikasjaliku kirjeldusega. Piisab, kui täita süsteem koefitsientidega ja valida tundmatute muutujate arv. Maatriksmeetod. See meetod seisneb maatriksis A tundmatute koefitsientide, X veergu tundmatute ja veerus B vabade liikmete kogumises. Seega taandatakse lineaarvõrrandi süsteem maatriksvõrrandiks kujul AxX = B. Sellel võrrandil on ainulaadne lahendus ainult siis, kui maatriksi A determinant erineb nullist, vastasel juhul pole süsteemil lahendeid või on lõpmatu arv lahendeid. Võrrandite lahendamine maatriksmeetodi abil hõlmab pöördmaatriksi A leidmist.

Eksponentvõrrandite lahendamine. Näited.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Mis on juhtunud eksponentsiaalvõrrand? See on võrrand, milles on tundmatud (x-id) ja nendega seotud avaldised näitajad mõned kraadid. Ja ainult seal! See on oluline.

Olgu siin näiteid eksponentsiaalvõrrandid :

3 x 2 x = 8 x+3

Pöörake tähelepanu! Kraadide alustes (allpool) - ainult numbrid. IN näitajad kraadid (ülal) – lai valik X-ga väljendeid. Kui võrrandis ilmub äkki X kusagil mujal kui indikaatoris, näiteks:

sellest saab võrrand segatüüpi. Sellistel võrranditel pole selgeid reegleid nende lahendamiseks. Me ei võta neid praegu arvesse. Siin me tegeleme eksponentsiaalvõrrandite lahendamine kõige puhtamal kujul.

Tegelikult ei ole isegi puhtad eksponentsiaalvõrrandid alati selgelt lahendatud. Kuid on teatud tüüpi eksponentsiaalvõrrandeid, mida saab ja tuleks lahendada. Need on tüübid, mida me kaalume.

Lihtsate eksponentsiaalvõrrandite lahendamine.

Esiteks lahendame midagi väga elementaarset. Näiteks:

Isegi ilma igasuguste teooriateta on lihtsa valikuga selge, et x = 2. Ei midagi enamat, eks!? Ükski teine ​​X väärtus ei tööta. Vaatame nüüd selle keerulise eksponentsiaalvõrrandi lahendust:

Mida me oleme teinud? Tegelikult viskasime samad alused (kolmikud) lihtsalt välja. Täiesti välja visatud. Ja hea uudis on see, et tabasime naelapea pihta!

Tõepoolest, kui eksponentsiaalvõrrandis on vasak ja parem identsed numbreid mis tahes astmetes, saab neid numbreid eemaldada ja eksponente võrdsustada. Matemaatika lubab. Jääb lahendada palju lihtsam võrrand. Suurepärane, eks?)

Pidagem siiski kindlalt meeles: Aluseid saate eemaldada ainult siis, kui vasakul ja paremal olevad baasnumbrid on suurepärases isolatsioonis! Ilma igasuguste naabrite ja koefitsientideta. Ütleme võrrandites:

2 x +2 x+1 = 2 3 või

kahekesi ei saa eemaldada!

Noh, me saime kõige olulisema asja selgeks. Kuidas liikuda kurjade eksponentsiaalsete avaldiste juurest lihtsamate võrrandite juurde.

"Need on ajad!" - ütled sa. "Kes annaks kontrolltööde ja eksamite kohta nii primitiivse õppetunni!?"

Pean nõustuma. Keegi ei tee seda. Kuid nüüd teate, kuhu keeruliste näidete lahendamisel sihtida. See tuleb viia vormile, kus vasakul ja paremal on sama alusnumber. Siis on kõik lihtsam. Tegelikult on see matemaatika klassika. Võtame algse näite ja muudame selle soovitud näiteks meie meelt. Matemaatika reeglite järgi muidugi.

Vaatame näiteid, mis nõuavad lisapingutusi, et taandada need kõige lihtsamatele. Helistame neile lihtsad eksponentsiaalvõrrandid.

Lihtsate eksponentsiaalvõrrandite lahendamine. Näited.

Eksponentvõrrandite lahendamisel on põhireeglid toimingud kraadidega. Ilma nendest tegevustest teadmata ei tööta midagi.

Kraadidega tegudele tuleb lisada isiklik tähelepanelikkus ja leidlikkus. Kas vajame samu baasnumbreid? Seega otsime neid näites selgesõnaliselt või krüptitud kujul.

Vaatame, kuidas seda praktikas tehakse?

Toome näite:

2 2x - 8 x+1 = 0

Esimene terav pilk on põhjustel. Nad... Nad on erinevad! Kaks ja kaheksa. Kuid on liiga vara heituda. On aeg seda meeles pidada

Kaks ja kaheksa on astmes sugulased.) On täiesti võimalik kirjutada:

8 x+1 = (2 3) x+1

Kui meenutame valemit kraadidega tehtetest:

(a n) m = a nm,

see toimib suurepäraselt:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Algne näide hakkas välja nägema järgmine:

2 2x - 2 3 (x+1) = 0

Teeme üle 2 3 (x+1) paremale (keegi pole matemaatika elementaartehteid tühistanud!), saame:

2 2x = 2 3 (x+1)

See on praktiliselt kõik. Aluste eemaldamine:

Me lahendame selle koletise ja saame

See on õige vastus.

Selles näites aitas meid välja kahe jõudude teadmine. Meie tuvastatud kaheksas on krüpteeritud kaks. See tehnika (tavaliste aluste kodeerimine erinevate numbrite all) on eksponentsiaalvõrrandites väga populaarne tehnika! Jah, ja ka logaritmides. Peate olema võimeline numbrites ära tundma teiste arvude astmeid. See on eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel äärmiselt oluline.

Fakt on see, et mis tahes arvu suurendamine mis tahes astmeni ei ole probleem. Korrutage, kasvõi paberil, ja kõik. Näiteks võib igaüks tõsta 3 viienda astmeni. 243 saab korda, kui tead korrutustabelit.) Kuid eksponentsiaalvõrrandites pole palju sagedamini vaja astmeni tõsta, vaid vastupidi... Uuri välja mis number millisel määral on peidus numbri 243 või, ütleme, 343 taha... Siin ei aita sind ükski kalkulaator.

Mõne arvu võimsusi on vaja teada nägemise järgi, eks... Harjutame?

Tehke kindlaks, millised võimsused ja numbrid on numbrid:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Vastused (muidugi segaduses!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Kui vaatate tähelepanelikult, näete kummaline fakt. Vastuseid on oluliselt rohkem kui ülesandeid! Noh, juhtub... Näiteks 2 6, 4 3, 8 2 – see on kõik 64.

Oletame, et olete võtnud teadmiseks teabe arvude tundmise kohta.) Tuletan teile ka meelde, et eksponentsiaalvõrrandite lahendamiseks kasutame kõik matemaatiliste teadmiste varu. Kaasa arvatud juunioride ja keskklasside esindajad. Sa ei läinud otse keskkooli, eks?)

Näiteks eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel aitab sageli ühisteguri sulgudest välja panemine (tere 7. klassile!). Vaatame näidet:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Ja jälle on esimene pilk vundamentidele! Kraadide alused on erinevad... Kolm ja üheksa. Kuid me tahame, et need oleksid samad. Sel juhul on soov täielikult täidetud!) Sest:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Kasutades samu reegleid kraadide käsitlemisel:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

See on suurepärane, võite selle üles kirjutada:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Samadel põhjustel tõime näite. Ja mis edasi!? Kolmeseid välja visata ei saa... Ummik?

Üldse mitte. Pidage meeles kõige universaalsemat ja võimsamat otsustusreeglit kõik matemaatika ülesanded:

Kui te ei tea, mida vajate, tehke seda, mida saate!

Vaata, kõik saab korda).

Mis on selles eksponentsiaalvõrrandis Saab teha? Jah, vasakul küljel see lihtsalt anub, et see sulgudest välja võetaks! Üldine kordaja 3 2x viitab sellele selgelt. Proovime ja siis näeme:

3 2x (3 4–11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Eeskuju läheb aina paremaks ja paremaks!

Peame meeles, et aluste kõrvaldamiseks vajame puhast kraadi, ilma koefitsientideta. Number 70 häirib meid. Seega jagame võrrandi mõlemad pooled 70-ga, saame:

Oih! Kõik läks paremaks!

See on lõplik vastus.

Juhtub aga, et samadel alustel ruleerimine saavutatakse, kuid nende kõrvaldamine pole võimalik. See juhtub teist tüüpi eksponentsiaalvõrrandite puhul. Õppigem seda tüüpi.

Muutuja asendamine eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel. Näited.

Lahendame võrrandi:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Esiteks - nagu tavaliselt. Liigume edasi ühe baasi juurde. Kahekesi.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Saame võrrandi:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ja see on koht, kus me aega veedame. Eelmised tehnikad ei tööta, ükskõik kuidas te seda vaatate. Peame oma arsenalist välja tõmbama veel ühe võimsa ja universaalse meetodi. Seda nimetatakse muutuv asendus.

Meetodi olemus on üllatavalt lihtne. Ühe keeruka ikooni (meie puhul - 2 x) asemel kirjutame teise, lihtsama (näiteks - t). Selline näiliselt mõttetu asendus viib hämmastavate tulemusteni!) Kõik saab lihtsalt selgeks ja arusaadavaks!

Nii et las

Siis 2 2x = 2 x 2 = (2 x) 2 = t 2

Meie võrrandis asendame kõik astmed x-idega t-ga:

Noh, kas see jõuab teile kohale?) Kas olete ruutvõrrandid juba unustanud? Diskriminandi kaudu lahendades saame:

Siin on peamine asi mitte peatuda, nagu juhtub... See pole veel vastus, vajame x-i, mitte t-d. Tuleme tagasi X-ide juurde, st. teeme tagurpidi asendamise. Esiteks t 1 jaoks:

Seetõttu

Leiti üks juur. Otsime teist alates t 2:

Hm... 2 x vasakul, 1 paremal... Probleem? Üldse mitte! Piisab meeles pidada (võimudega tehtetest jah...), et üksus on ükskõik milline number nulliastmeni. Ükskõik milline. Mida iganes vaja, paigaldame selle. Meil on vaja kahte. Tähendab:

See on nüüd kõik. Meil on 2 juurt:

See on vastus.

Kell eksponentsiaalvõrrandite lahendamine lõpus jõuad vahel mingi kohmetu ilmega. Tüüp:

Seitsmest kaheni läbi lihtne kraad see ei tööta. Nad ei ole sugulased... Kuidas me saame olla? Keegi võib olla segaduses... Aga inimene, kes luges sellel saidil teemat "Mis on logaritm?" , naeratab vaid säästlikult ja kirjutab kindla käega üles absoluutselt õige vastuse:

Ühtse riigieksami ülesannetes “B” sellist vastust ei saa olla. Seal on nõutav konkreetne number. Kuid ülesannete "C" puhul on see lihtne.

See õppetund annab näiteid kõige levinumate eksponentsiaalvõrrandite lahendamisest. Toome välja peamised punktid.

Praktilised nõuanded:

1. Kõigepealt vaatame põhjustel kraadid. Me mõtleme, kas neid on võimalik teha identsed. Proovime seda teha aktiivselt kasutades toimingud kraadidega.Ärge unustage, et ka ilma x-deta numbreid saab teisendada astmeteks!

2. Püüame viia eksponentsiaalvõrrandi vormile, kui vasakul ja paremal on identsed numbrid mis tahes astmetes. Meie kasutame toimingud kraadidega Ja faktoriseerimine. Mida saab arvudes üles lugeda, seda loeme.

3. Kui teine ​​näpunäide ei tööta, proovige kasutada muutuja asendust. Tulemuseks võib olla võrrand, mida saab kergesti lahendada. Kõige sagedamini - ruut. Või murdosa, mis samuti taandub ruuduks.

4. Eksponentvõrrandite edukaks lahendamiseks peate teadma mõne arvu astmeid nägemise järgi.

Nagu tavaliselt, palutakse tunni lõpus veidi otsustada.) Ise. Lihtsast keerukani.

Lahendage eksponentsiaalvõrrandid:

Raskem:

2 x+3 – 2 x+2 – 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x + 1 - 8 = 0

Leidke juurte toode:

2 3 + 2 x = 9

Kas see töötas?

No siis kõige keerulisem näide(otsustasin siiski mõttes...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Mis on huvitavam? Siis siin on teile halb näide. Suurenenud raskuste jaoks üsna ahvatlev. Lubage mul vihjata, et selles näites päästab teid leidlikkus ja kõige universaalsem reegel kõigi matemaatiliste probleemide lahendamiseks.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Lihtsam näide lõõgastumiseks):

9 2 x - 4 3 x = 0

Ja magustoiduks. Leidke võrrandi juurte summa:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Jah, jah! See on segatüüpi võrrand! Mida me selles õppetükis ei käsitlenud. Miks neid arvestada, need tuleb lahendada!) Sellest õppetunnist piisab võrrandi lahendamiseks. Noh, teil on vaja leidlikkust... Ja seitsmes klass võib teid aidata (see on vihje!).

Vastused (segi, eraldatud semikooloniga):

1; 2; 3; 4; lahendusi pole; 2; -2; -5; 4; 0.

Kas kõik on õnnestunud? Suurepärane.

Kas on probleeme? Pole küsimustki! Spetsiaalne jaotis 555 lahendab kõik need eksponentsiaalvõrrandid üksikasjalike selgitustega. Mida, miks ja miks. Ja loomulikult on väärtuslikku lisateavet igasuguste eksponentsiaalvõrranditega töötamise kohta. Mitte ainult need.)

Viimane lõbus küsimus, mida kaaluda. Selles õppetükis töötasime eksponentsiaalvõrranditega. Miks ma ei rääkinud siin ODZ-st sõnagi? Võrrandites on see muide väga oluline asi...

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Juhised

Asendusmeetod Avaldage üks muutuja ja asendage see teise võrrandiga. Saate väljendada mis tahes muutujat oma äranägemise järgi. Näiteks väljendage y teisest võrrandist:
x-y=2 => y=x-2Seejärel asendage kõik esimese võrrandiga:
2x+(x-2)=10 Teisalda kõik ilma x-ita asukohta parem pool ja arvutada:
2x+x=10+2
3x=12 Järgmiseks, et saada x, jagage võrrandi mõlemad pooled 3-ga:
x=4 Niisiis, leidsite "x. Leidke "y. Selleks asendage "x" võrrandis, millest väljendasite "y":
y=x-2=4-2=2
y = 2.

Tehke kontroll. Selleks asendage saadud väärtused võrranditesse:
2*4+2=10
4-2=2
Tundmatud on õigesti leitud!

Võimalus võrrandite liitmiseks või lahutamiseks Vabanege kohe igast muutujast. Meie puhul on seda lihtsam teha y-ga.
Kuna “y-s” on märk “+” ja teises “-”, siis saate teha liitmistoimingu, st. murra vasak külg vasakuga ja parem parempoolsega kokku:
2x+y+(x-y)=10+2Teisenda:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Asendage mis tahes võrrandis "x" ja leidke "y":
2*4+y=10
8+y=10
y = 10-8
y=2Esimese meetodiga näete, et need leiti õigesti.

Kui selgelt määratletud muutujaid pole, siis on vaja võrrandeid veidi teisendada.
Esimeses võrrandis on meil "2x" ja teises on meil lihtsalt "x". Selleks, et liitmise ajal x väheneks, korrutage teine ​​võrrand 2-ga:
x-y=2
2x-2y=4 Seejärel lahutage esimesest võrrandist teine:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Pange tähele, et kui sulgu ees on miinus, siis pärast avamist muutke see vastupidiseks:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
leida y=2x, väljendades mis tahes võrrandist, st.
x=4

Video teemal

Vihje 2: kuidas lahendada lineaarvõrrandit kahes muutujas

Võrrand, mis on kirjutatud üldkujul ax+bу+c=0, nimetatakse lineaarvõrrandiks kahega muutujad. Selline võrrand ise sisaldab lõpmatult palju lahendeid, mistõttu ülesannetes täiendatakse seda alati millegagi - mõne teise võrrandi või piiravate tingimustega. Sõltuvalt ülesande poolt pakutavatest tingimustest lahendage lineaarvõrrand kahega muutujad peaks erinevatel viisidel.

Sul läheb vaja

• - kahe muutujaga lineaarvõrrand;
• - teine ​​võrrand või lisatingimused.

Juhised

Kui on antud kahe lineaarvõrrandi süsteem, lahendage see järgmiselt. Valige üks võrranditest, milles koefitsiendid asuvad muutujad väiksemad ja väljendada üht muutujatest, näiteks x. Seejärel asendage see y-d sisaldav väärtus teise võrrandiga. Saadud võrrandis on ainult üks muutuja y, liigutage kõik osad y-ga vasakule ja vabad paremale. Leidke y ja asendage see mis tahes algse võrrandiga, et leida x.

Kahest võrrandist koosneva süsteemi lahendamiseks on veel üks viis. Korrutage üks võrranditest arvuga nii, et ühe muutuja, näiteks x, koefitsient oleks mõlemas võrrandis sama. Seejärel lahutage üks võrranditest teisest (kui parempoolne külg ei võrdu 0-ga, ärge unustage samamoodi lahutada ka paremad küljed). Näete, et muutuja x on kadunud ja alles on jäänud ainult üks y muutuja. Lahendage saadud võrrand ja asendage leitud väärtus y mis tahes algse võrrandiga. Leia x.

Kolmas viis kahe lineaarvõrrandi süsteemi lahendamiseks on graafiline. Joonistage koordinaatide süsteem ja joonistage graafik kaks joont, mille võrrandid on teie süsteemis antud. Selleks asendage võrrandis mis tahes kaks x väärtust ja leidke vastav y - need on joonele kuuluvate punktide koordinaadid. Kõige mugavam viis koordinaattelgedega ristumiskoha leidmiseks on lihtsalt asendada väärtused x=0 ja y=0. Ülesanneteks on nende kahe sirge lõikepunkti koordinaadid.

Kui ülesande tingimustes on ainult üks lineaarvõrrand, siis on sulle antud lisatingimused, mille kaudu saad lahenduse leida. Nende tingimuste leidmiseks lugege probleem hoolikalt läbi. Kui muutujad x ja y tähistavad vahemaad, kiirust, kaalu – seadke vabalt piirid x≥0 ja y≥0. Täiesti võimalik, et x või y peidab õunte arvu jne. – siis saavad väärtused olla ainult . Kui x on poja vanus, on selge, et ta ei saa olla oma isast vanem, seega märkige see probleemi tingimustes.

Allikad:

• kuidas lahendada ühe muutujaga võrrandit

Iseenesest võrrand kolmega teadmata on palju lahendusi, nii et enamasti täiendatakse seda veel kahe võrrandi või tingimusega. Olenevalt sellest, millised on lähteandmed, sõltub suuresti otsuse käik.

Sul läheb vaja

• - kolmest võrrandist koosnev süsteem kolme tundmatuga.

Juhised

Kui kahel süsteemil kolmest on kolmest tundmatust ainult kaks, proovige väljendada mõnda muutujat teistega ja asendada need võrrand kolmega teadmata. Teie eesmärk on sel juhul muuta see normaalseks võrrand tundmatu inimesega. Kui see on , on edasine lahendus üsna lihtne – asendage leitud väärtus teiste võrranditega ja leidke kõik muud tundmatud.

Mõningaid võrrandisüsteeme saab ühest võrrandist teise võrra lahutada. Vaadake, kas on võimalik korrutada ühte või muutujat nii, et kaks tundmatut tühistatakse korraga. Kui selline võimalus on, kasutage seda suure tõenäosusega, hilisem lahendus ei ole keeruline. Pidage meeles, et arvuga korrutamisel tuleb korrutada nii vasak kui ka parem pool. Samuti tuleb võrrandite lahutamisel meeles pidada, et lahutada tuleb ka parempoolne pool.

Kui eelmised meetodid ei aidanud, kasutage üldiselt mis tahes võrrandi lahendused kolmega teadmata. Selleks kirjuta võrrandid ümber kujul a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Nüüd loo x (A) koefitsientide maatriks, tundmatute maatriks (X) ja vabade maatriks (B). Pange tähele, et korrutades koefitsientide maatriksi tundmatute maatriksiga, saate vabade liikmete maatriksi, st A*X=B.

Leidke maatriks A astmele (-1), leides esmalt , pange tähele, et see ei tohiks olla võrdne nulliga. Pärast seda korrutage saadud maatriks maatriksiga B, mille tulemusena saate soovitud maatriksi X, mis näitab kõiki väärtusi.

Kolmest võrrandist koosnevale süsteemile saab lahenduse leida ka Crameri meetodi abil. Selleks tuleb leida süsteemimaatriksile vastav kolmandat järku determinant ∆. Seejärel leidke järjestikku veel kolm determinanti ∆1, ∆2 ja ∆3, asendades vastavate veergude väärtuste asemel vabade liikmete väärtused. Nüüd leia x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Allikad:

• kolme tundmatuga võrrandite lahendid

Võrrandisüsteemi lahendamine on keeruline ja põnev. Mida keerulisem on süsteem, seda huvitavam on seda lahendada. Kõige sagedamini matemaatikas keskkooli On kahe tundmatuga võrrandisüsteeme, kuid kõrgemas matemaatikas võib muutujaid olla rohkem. Süsteeme saab lahendada mitme meetodi abil.

Juhised

Kõige tavalisem meetod võrrandisüsteemi lahendamiseks on asendamine. Selleks peate väljendama üht muutujat teisega ja asendama selle teisega võrrand süsteemid, seega juhtiv võrrandühele muutujale. Näiteks kui on antud järgmised võrrandid: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Teisest avaldisest on mugav väljendada üht muutujatest, nihutades kõik muu avaldise paremale poole, unustamata muuta koefitsiendi märki: x = 3-y.

Avage sulud: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Asendame saadud väärtuse y avaldisesse: x=3-y;x=3-1;x=2. .

Esimeses avaldises on kõik liikmed 2, korrutamise jaotusomaduseni võib sulust välja võtta 2: 2*(2x-y-3)=0. Nüüd saab avaldise mõlemat osa selle arvu võrra vähendada ja seejärel väljendada y-na, kuna selle moodulitegur on võrdne ühega: -y = 3-2x või y = 2x-3.

Nii nagu esimesel juhul, asendame selle avaldise teisega võrrand ja saame: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Asendage saadud väärtus avaldisesse: y=2x-3;y=4-3=1.

Näeme, et y koefitsient on sama väärtusega, kuid erineva märgiga, seega kui need võrrandid liita, saame y-st täielikult lahti: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0 x=2 Asenda x väärtus süsteemi kahes võrrandis ja saad y=1.

Video teemal

Bikvadraatne võrrand esindab võrrand neljas aste, üldine vaade mida kujutab avaldis ax^4 + bx^2 + c = 0. Selle lahendus põhineb tundmatute asendusmeetodi kasutamisel. IN antud juhul x^2 asendatakse teise muutujaga. Seega on tulemuseks tavaline ruut võrrand, mis vajab lahendamist.

Juhised

Lahenda ruut võrrand, mis tuleneb asendamisest. Selleks arvutage esmalt väärtus vastavalt valemile: D = b^2? 4ac. Sel juhul on muutujad a, b, c meie võrrandi koefitsiendid.

Leia bikvadraatvõrrandi juured. Selleks võtke saadud lahenduste ruutjuur. Kui oli üks lahendus, siis on neid kaks - ruutjuure positiivne ja negatiivne väärtus. Kui lahendusi oleks kaks, on bikvadraatvõrrandil neli juurt.

Video teemal

Üks klassikalisi meetodeid lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks on Gaussi meetod. See seisneb muutujate järjestikuses elimineerimises, kui lihtsaid teisendusi kasutav võrrandisüsteem teisendatakse astmeliseks süsteemiks, millest leitakse järjestikku kõik muutujad, alustades viimastest.

Juhised

Esiteks viige võrrandisüsteem sellisele kujule, kus kõik tundmatud on rangelt määratletud järjekorras. Näiteks kõik tundmatud X-id ilmuvad igal real esimesena, kõik Y-d tulevad X-i järel, kõik Z-d tulevad Y-i järel jne. Iga võrrandi paremal küljel ei tohiks olla tundmatuid. Määrake vaimselt iga tundmatu ees olevad koefitsiendid, samuti iga võrrandi paremal küljel olevad koefitsiendid.

Selles videos analüüsime tervet lineaarsete võrrandite komplekti, mis lahendatakse sama algoritmi abil – seepärast nimetatakse neid kõige lihtsamateks.

Kõigepealt defineerime: mis on lineaarvõrrand ja millist nimetatakse kõige lihtsamaks?

Lineaarvõrrand on selline, milles on ainult üks muutuja ja ainult esimese astmeni.

Lihtsaim võrrand tähendab konstruktsiooni:

Kõik muud lineaarvõrrandid taandatakse algoritmi abil lihtsaimaks:

1. Laiendage sulgusid, kui need on olemas;
2. Liigutage muutujat sisaldavad terminid võrdusmärgi ühele küljele ja ilma muutujata terminid teisele poole;
3. Andke võrdusmärgist vasakule ja paremale sarnased terminid;
4. Jagage saadud võrrand muutuja $x$ koefitsiendiga.

Loomulikult ei aita see algoritm alati. Fakt on see, et mõnikord osutub pärast kõiki neid mahhinatsioone muutuja $x$ koefitsient võrdseks nulliga. Sel juhul on kaks võimalust:

1. Võrrandil pole üldse lahendeid. Näiteks kui midagi sellist nagu $0\cdot x=8$ selgub, s.t. vasakul on null ja paremal on nullist erinev arv. Allolevas videos vaatleme mitmeid põhjuseid, miks selline olukord on võimalik.
2. Lahenduseks on kõik numbrid. Ainus juhtum, kui see on võimalik, on siis, kui võrrand on taandatud konstruktsioonile $0\cdot x=0$. On täiesti loogiline, et ükskõik, millise $x$ me asendame, selgub ikkagi “null võrdub nulliga”, s.t. õige arvuline võrdsus.

Nüüd vaatame, kuidas see kõik toimib, kasutades reaalseid näiteid.

Näited võrrandite lahendamisest

Tänapäeval käsitleme lineaarseid võrrandeid ja ainult kõige lihtsamaid. Üldiselt tähendab lineaarvõrrand mis tahes võrdsust, mis sisaldab täpselt ühte muutujat, ja see läheb ainult esimese astmeni.

Sellised konstruktsioonid lahendatakse ligikaudu samal viisil:

1. Kõigepealt peate laiendama sulgusid, kui neid on (nagu meie viimases näites);
2. Seejärel tooge sarnased
3. Lõpuks isoleeri muutuja, st. liigutage kõik muutujaga seonduv – selle sisalduvad terminid – ühele poole ja kõik, mis jääb ilma muutujata, teisele poole.

Siis tuleb reeglina saadud võrdsust mõlemale poole tuua sarnased ja pärast seda jääb üle vaid jagada koefitsiendiga “x” ja saame lõpliku vastuse.

Teoreetiliselt tundub see ilus ja lihtne, kuid praktikas võivad isegi kogenud keskkooliõpilased teha solvavaid vigu üsna lihtsas lineaarvõrrandid. Tavaliselt tehakse vigu kas sulgude avamisel või plusside ja miinuste arvutamisel.

Lisaks juhtub, et lineaarvõrrandil pole lahendeid üldse või et lahenduseks on terve arvsirge, s.t. suvaline number. Vaatleme neid peensusi tänases õppetükis. Kuid nagu te juba aru saite, alustame kõige lihtsamate ülesannetega.

Lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamise skeem

Esiteks lubage mul veel kord kirjutada kogu skeem kõige lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamiseks:

1. Laiendage sulgusid, kui need on olemas.
2. Isoleerime muutujad, st. Me liigutame kõik, mis sisaldab X-i, ühele poole ja kõik ilma X-ita teisele poole.
3. Esitame sarnased terminid.
4. Jagame kõik koefitsiendiga “x”.

Muidugi ei tööta see skeem alati, selles on teatud nüansse ja nippe ning nüüd õpime neid tundma.

Lihtsate lineaarvõrrandite reaalsete näidete lahendamine

Ülesanne nr 1

Esimene samm nõuab sulgude avamist. Kuid need pole selles näites, seega jätame need vahele see etapp. Teises etapis peame muutujad isoleerima. Pange tähele: me räägime ainult üksikute terminite kohta. Paneme selle kirja:

Esitame sarnaseid termineid vasakul ja paremal, kuid seda on siin juba tehtud. Seetõttu liigume edasi neljanda sammu juurde: jagage koefitsiendiga:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Nii et saime vastuse.

Ülesanne nr 2

Näeme selles ülesandes sulgusid, seega laiendame neid:

Nii vasakul kui ka paremal näeme ligikaudu sama kujundust, kuid tegutseme algoritmi järgi, s.t. muutujate eraldamine:

Siin on mõned sarnased:

Millistel juurtel see toimib? Vastus: igale. Seetõttu võime kirjutada, et $x$ on suvaline arv.

Ülesanne nr 3

Kolmas lineaarvõrrand on huvitavam:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Sulgusid on mitu, aga neid ei korruta mitte millegagi, vaid lihtsalt pannakse ette erinevaid märke. Jagame need lahti:

Teostame meile juba teadaoleva teise sammu:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Teeme matemaatika:

Viime läbi viimase sammu - jagame kõik koefitsiendiga “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Asjad, mida lineaarvõrrandite lahendamisel meeles pidada

Kui ignoreerime liiga lihtsaid ülesandeid, tahaksin öelda järgmist:

• Nagu ma eespool ütlesin, ei ole igal lineaarvõrrandil lahendust – mõnikord pole lihtsalt juuri;
• Isegi kui juured on olemas, võib nende hulgas olla null - selles pole midagi halba.

Null on sama number kui teised; te ei tohiks seda mingil viisil diskrimineerida ega eeldada, et kui saate nulli, siis tegite midagi valesti.

Teine omadus on seotud sulgude avamisega. Pange tähele: kui nende ees on "miinus", eemaldame selle, kuid sulgudes muudame märgid vastupidine. Ja siis saame selle avada standardsete algoritmide abil: saame selle, mida nägime ülaltoodud arvutustes.

Sellest aru saades lihtne fakt võimaldab teil vältida rumalaid ja solvavaid vigu keskkoolis, kui selliseid tegusid peetakse iseenesestmõistetavaks.

Keeruliste lineaarvõrrandite lahendamine

Liigume edasi keerukamate võrrandite juurde. Nüüd muutuvad konstruktsioonid keerukamaks ja erinevate teisenduste tegemisel tekib ruutfunktsioon. Seda ei tasu aga karta, sest kui autori plaani kohaselt lahendame lineaarvõrrandit, siis teisendusprotsessi käigus tühistatakse kindlasti kõik ruutfunktsiooni sisaldavad monoomid.

Näide nr 1

Ilmselt on esimene samm sulgude avamine. Teeme seda väga hoolikalt:

Vaatame nüüd privaatsust:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Siin on mõned sarnased:

Ilmselgelt pole sellel võrrandil lahendusi, seega kirjutame vastusesse selle:

\[\varnothing\]

või pole juuri.

Näide nr 2

Teeme samu toiminguid. Esimene samm:

Liigutame kõik muutujaga vasakule ja ilma selleta paremale:

Siin on mõned sarnased:

Ilmselgelt pole sellel lineaarsel võrrandil lahendust, seega kirjutame selle järgmiselt:

\[\varnothing\],

või pole juuri.

Lahenduse nüansid

Mõlemad võrrandid on täielikult lahendatud. Neid kahte avaldist näitena kasutades veendusime taas, et isegi kõige lihtsamates lineaarvõrrandites ei pruugi kõik nii lihtne olla: juuri võib olla kas üks või mitte ükski või lõpmatult palju juuri. Meie puhul käsitlesime kahte võrrandit, mõlemal lihtsalt pole juuri.

Kuid juhin teie tähelepanu veel ühele asjaolule: kuidas töötada sulgudega ja kuidas neid avada, kui nende ees on miinusmärk. Mõelge sellele väljendile:

Enne avamist peate kõik korrutama X-ga. Pange tähele: korrutab iga üksiku terminiga. Sees on kaks terminit - vastavalt kaks terminit ja korrutatud.

Ja alles pärast seda, kui need näiliselt elementaarsed, kuid väga olulised ja ohtlikud teisendused on lõpule viidud, saate avada sulg selle seisukohast, et selle järel on miinusmärk. Jah, jah: alles nüüd, kui teisendused on lõpetatud, meenub, et sulgude ees on miinusmärk, mis tähendab, et kõik allpool lihtsalt muudab märke. Samal ajal kaovad klambrid ise ja mis kõige tähtsam, kaob ka eesmine "miinus".

Teeme sama teise võrrandiga:

Pole juhus, et ma pööran neile väikestele, pealtnäha tähtsusetutele faktidele tähelepanu. Sest võrrandite lahendamine on alati elementaarteisenduste jada, kus ei osata selgelt ja asjatundlikult sooritada lihtsad sammud viib selleni, et gümnaasiumiõpilased tulevad minu juurde ja õpivad jälle nii lihtsaid võrrandeid lahendama.

Muidugi tuleb päev, mil lihvid need oskused automaatsuseni. Te ei pea enam iga kord nii palju teisendusi tegema, kirjutate kõik ühele reale. Kuid õppimise ajal peate iga toimingu eraldi kirjutama.

Veelgi keerukamate lineaarvõrrandite lahendamine

Seda, mida me praegu lahendame, võib vaevalt nimetada kõige lihtsamaks ülesandeks, kuid tähendus jääb samaks.

Ülesanne nr 1

\[\vasak(7x+1 \parem)\vasak(3x-1 \parem)-21((x)^(2))=3\]

Korrutame kõik esimeses osas olevad elemendid:

Teeme natuke privaatsust:

Siin on mõned sarnased:

Lõpetame viimase sammu:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Siin on meie lõplik vastus. Ja hoolimata asjaolust, et lahendamise käigus olid meil ruutfunktsiooniga koefitsiendid, tühistasid need üksteist, mis muudab võrrandi lineaarseks, mitte ruutkeskseks.

Ülesanne nr 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Teeme esimese sammu hoolikalt läbi: korrutage iga element esimesest sulust iga teise elemendiga. Pärast teisendusi peaks olema kokku neli uut terminit:

Nüüd tehkem hoolikalt iga liikme korrutamist:

Liigutame terminid "X"-ga vasakule ja ilma - paremale:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Siin on sarnased terminid:

Taaskord oleme saanud lõpliku vastuse.

Lahenduse nüansid

Kõige olulisem märkus nende kahe võrrandi kohta on järgmine: niipea kui hakkame korrutama sulgusid, mis sisaldavad rohkem kui ühte liiget, tehakse seda järgmise reegli järgi: võtame esimese liikme esimesest ja korrutame iga elemendiga alates teine; siis võtame esimesest teise elemendi ja korrutame samamoodi iga teise elemendiga. Selle tulemusena on meil neli ametiaega.

Algebralise summa kohta

Selle viimase näitega tahaksin õpilastele meelde tuletada, mis on algebraline summa. Klassikalises matemaatikas peame 1–7 $ all silmas lihtsat konstruktsiooni: lahutada ühest seitse. Algebras peame selle all silmas järgmist: arvule “üks” lisame veel ühe arvu, nimelt “miinus seitse”. Nii erineb algebraline summa tavalisest aritmeetilisest summast.

Niipea, kui kõigi teisenduste, iga liitmise ja korrutamise sooritamisel hakkate nägema ülalkirjeldatutega sarnaseid konstruktsioone, pole polünoomide ja võrranditega töötamisel algebras probleeme.

Lõpuks vaatame veel paari näidet, mis on veelgi keerukamad kui need, mida just vaatlesime, ja nende lahendamiseks peame oma standardset algoritmi veidi laiendama.

Võrrandite lahendamine murdarvudega

Selliste ülesannete lahendamiseks peame oma algoritmile lisama veel ühe sammu. Kuid kõigepealt tuletan teile meelde meie algoritmi:

1. Avage klambrid.
2. Eraldi muutujad.
3. Tooge sarnased.
4. Jagage suhtega.

Kahjuks ei osutu see suurepärane algoritm kogu oma tõhususe juures täiesti sobivaks, kui meie ees on murded. Ja selles, mida me allpool näeme, on mõlemas võrrandis nii vasakul kui ka paremal murdosa.

Kuidas sel juhul töötada? Jah, see on väga lihtne! Selleks tuleb algoritmile lisada veel üks samm, mida saab teha nii enne kui ka pärast esimest toimingut, nimelt murdudest vabanemist. Nii et algoritm on järgmine:

1. Vabane murdosadest.
2. Avage klambrid.
3. Eraldi muutujad.
4. Tooge sarnased.
5. Jagage suhtega.

Mida tähendab "murdudest vabanemine"? Ja miks saab seda teha nii pärast kui ka enne esimest standardetappi? Tegelikult on meie puhul kõik murrud oma nimetajas numbrilised, s.t. Kõikjal on nimetaja vaid number. Seega, kui me korrutame võrrandi mõlemad pooled selle arvuga, vabaneme murdosadest.

Näide nr 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Vabaneme selle võrrandi murdudest:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Pange tähele: kõik korrutatakse “neljaga” üks kord, st. see, et sul on kaks sulgu, ei tähenda, et pead kumbki korrutama "neljaga". Paneme kirja:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Nüüd laiendame:

Eraldame muutuja:

Vähendame sarnaseid termineid:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Saime lõpplahenduse kätte, liigume edasi teise võrrandi juurde.

Näide nr 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Siin teostame kõik samad toimingud:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Probleem on lahendatud.

See on tegelikult kõik, mida ma teile täna öelda tahtsin.

Põhipunktid

Peamised leiud on järgmised:

• Teadma lineaarvõrrandite lahendamise algoritmi.
• Sulgude avamise võimalus.
• Ärge muretsege, kui teil on kuskil ruutfunktsioonid, need vähenevad edasiste teisenduste käigus.
• Lineaarvõrrandites on kolme tüüpi juuri, isegi kõige lihtsamates: üks juur, kogu arvurida on juur ja mitte ühtegi juurt.

Loodan, et see õppetund aitab teil omandada lihtsa, kuid väga olulise teema kogu matemaatika edasiseks mõistmiseks. Kui midagi pole selge, minge saidile ja lahendage seal esitatud näited. Püsige lainel, palju muud huvitavat ootab teid!