Ruutvõrrand see on võrrand, mis näeb välja selline ax 2 + dx + c = 0. Sellel on tähendus a,c Ja Koos mis tahes numbrid ja A ei ole võrdne nulliga.
Kõik ruutvõrrandid on jagatud mitut tüüpi, nimelt:
Ainult ühe juurega võrrandid.
- Kahe erineva juurega võrrandid.
-Võrrandid, milles juured puuduvad.
See eristab ruudukujulistest lineaarsetest võrranditest, milles juur on alati sama. Selleks, et mõista, mitu juurt avaldises on, on vaja Ruutvõrrandi diskriminant.
Oletame, et meie võrrand ax 2 + dx + c =0. Tähendab ruutvõrrandi diskriminant -
D = b 2-4 ac
Ja seda tuleb igavesti meeles pidada. Seda võrrandit kasutades määrame ruutvõrrandi juurte arvu. Ja me teeme seda järgmiselt:
Kui D vähem kui null, võrrandis pole juuri.
- Kui D on null, on ainult üks juur.
- Kui D on suurem kui null, on võrrandil kaks juurt.
Pidage meeles, et diskriminant näitab, mitu juurt võrrandis on ilma märke muutmata.
Selguse huvides kaalume:
Peame välja selgitama, mitu juurt selles ruutvõrrandis on.
1) x 2 - 8x + 12 = 0
2) 5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0
Sisestame väärtused esimesse võrrandisse ja leiame diskrimineerija.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
Diskriminandil on plussmärk, mis tähendab, et sellel võrdsusel on kaks juurt.
Teeme sama teise võrrandiga
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
Väärtus on negatiivne, mis tähendab, et sellel võrdsusel pole juuri.
Laiendame järgnevat võrrandit analoogia põhjal.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
selle tulemusena on meil võrrandis üks juur.
On oluline, et igas võrrandis kirjutaksime välja koefitsiendid. Loomulikult ei ole see väga pikk protsess, kuid see aitas meil mitte segadusse sattuda ja takistas vigade tekkimist. Kui lahendate sarnaseid võrrandeid väga sageli, saate teha arvutusi peast ja ette teada, mitu juurt võrrandil on.
Vaatame teist näidet:
1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0
Paneme välja esimese
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, mis on suurem kui null, mis tähendab kahte juurt, tuletame need
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.
Paneme välja teise
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, mis on suurem kui null ja millel on ka kaks juurt. Anname need välja:
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.
Paneme välja kolmanda
a = 1, b = 12, c = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, mis on võrdne nulliga ja millel on üks juur
x = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Nende võrrandite lahendamine pole keeruline.
Kui meile antakse mittetäielik ruutvõrrand. Nagu näiteks
1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0
Need võrrandid erinevad ülaltoodud võrranditest, kuna see pole täielik, selles pole kolmandat väärtust. Kuid vaatamata sellele on see lihtsam kui täielik ruutvõrrand ja selles pole vaja otsida diskriminant.
Mida teha, kui seda kiiresti vajate lõputöö või essee, aga sul pole aega selle kirjutamiseks? Kõike seda ja palju muud saate tellida Deeplom.by veebisaidilt (http://deeplom.by/) ja saada kõrgeima punktisumma.
Teeme koostööd ruutvõrrandid. Need on väga populaarsed võrrandid! Väga üldine vaade ruutvõrrand näeb välja selline:
Näiteks:
Siin A =1; b = 3; c = -4
Siin A =2; b = -0,5; c = 2,2
Siin A =-3; b = 6; c = -18
No saate aru...
Kuidas lahendada ruutvõrrandid? Kui teie ees on ruutvõrrand sellisel kujul, on kõik lihtne. Jätame meelde maagiline sõna diskrimineeriv . Harva mõni gümnaasiumiõpilane pole seda sõna kuulnud! Fraas „lahendame diskrimineerija kaudu” äratab usaldust ja kindlustunnet. Sest diskrimineerijalt pole vaja trikke oodata! Seda on lihtne ja probleemivaba kasutada. Seega näeb ruutvõrrandi juurte leidmise valem välja järgmine:
Juuremärgi all olev väljend on üks diskrimineeriv. Nagu näete, kasutame X leidmiseks ainult a, b ja c. Need. koefitsiendid ruutvõrrandist. Lihtsalt asendage väärtused ettevaatlikult a, b ja c See on valem, mida me arvutame. Asendame oma märkidega! Näiteks esimese võrrandi jaoks A =1; b = 3; c= -4. Siin paneme selle kirja:
Näide on peaaegu lahendatud:
See on kõik.
Millised juhtumid on selle valemi kasutamisel võimalikud? Juhtumeid on ainult kolm.
1. Diskriminant on positiivne. See tähendab, et juurt saab sellest eraldada. Kas juur on hästi või halvasti välja võetud, on hoopis teine küsimus. Oluline on see, mis põhimõtteliselt välja võetakse. Siis on teie ruutvõrrandil kaks juurt. Kaks erinevat lahendust.
2. Diskriminant on null. Siis on teil üks lahendus. Rangelt võttes pole see üks juur, vaid kaks identset. Kuid see mängib rolli ebavõrdsuses, kus me uurime seda küsimust üksikasjalikumalt.
3. Diskriminant on negatiivne. Negatiivsest arvust ruutjuur ei ekstraheerita. Ahjaa. See tähendab, et lahendusi pole.
See on väga lihtne. Ja mis sa arvad, et viga on võimatu teha? No jah, kuidas...
Levinuimad vead on segiajamine märgiväärtustega a, b ja c. Või pigem mitte nende märkidega (kus segadusse ajada?), vaid negatiivsete väärtuste asendamisega juurte arvutamise valemis. Siin aitab valemi üksikasjalik salvestamine konkreetsete numbritega. Kui arvutustega on probleeme, tee seda!
Oletame, et peame lahendama järgmise näite:
Siin a = -6; b = -5; c = -1
Oletame, et teate, et saate harva vastuseid esimesel korral.
Noh, ära ole laisk. Lisarea ja vigade arvu kirjutamiseks kulub umbes 30 sekundit väheneb järsult. Nii et me kirjutame üksikasjalikult koos kõigi sulgude ja märkidega:
Tundub uskumatult raske nii hoolikalt välja kirjutada. Kuid see ainult tundub nii. Proovi seda. No või vali. Mis on parem, kiire või õige? Pealegi teen ma sulle rõõmu. Mõne aja pärast pole enam vaja kõike nii hoolikalt üles kirjutada. See saab iseenesest korda. Eriti kui kasutad praktilisi tehnikaid, mida kirjeldatakse allpool. Selle hunniku miinustega kurja näite saab lihtsalt ja vigadeta lahendada!
Niisiis, kuidas lahendada ruutvõrrandid läbi diskriminandi, mida me mäletasime. Või nad õppisid, mis on samuti hea. Teate, kuidas õigesti määrata a, b ja c. Kas sa tead, kuidas? tähelepanelikult asendage need juurvalemis ja tähelepanelikult loe tulemust. Kas sa said sellest aru märksõna Siin - tähelepanelikult?
Ruutvõrrandid näevad sageli aga veidi erinevad. Näiteks nii:
See mittetäielikud ruutvõrrandid . Neid saab lahendada ka diskriminandi abil. Peate lihtsalt õigesti aru saama, millega need siin on võrdsed. a, b ja c.
Kas olete sellest aru saanud? Esimeses näites a = 1; b = -4; A c? Seda pole seal üldse! No jah, see on õige. Matemaatikas tähendab see seda c = 0 ! See on kõik. Selle asemel asendage valemis null c, ja meil õnnestub. Sama ka teise näitega. Ainult meil pole siin nulli Koos, A b !
Kuid mittetäielikke ruutvõrrandeid saab lahendada palju lihtsamalt. Ilma igasuguse diskrimineerimiseta. Vaatleme esimest mittetäielik võrrand. Mida saab vasakul küljel teha? Võite X sulgudest välja võtta! Võtame selle välja.
Mis sellest siis saab? Ja see, et korrutis võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui mõni tegur on null! Ei usu mind? Olgu, siis mõtle välja kaks nullist erinevat arvu, mis korrutatuna annavad nulli!
ei tööta? See on kõik...
Seetõttu võime julgelt kirjutada: x = 0, või x = 4
Kõik. Need on meie võrrandi juured. Mõlemad sobivad. Kui asendada ükskõik milline neist algsesse võrrandisse, saame õige identiteedi 0 = 0. Nagu näete, on lahendus palju lihtsam kui diskriminandi kasutamine.
Teise võrrandi saab lahendada ka lihtsalt. Liigutage 9 paremale küljele. Saame:
Jääb üle ainult juur 9-st eraldada ja ongi kõik. Selgub:
Samuti kaks juurt . x = +3 ja x = -3.
Nii lahendatakse kõik mittetäielikud ruutvõrrandid. Kas asetades X sulgudest välja või lihtsalt nihutades numbrit paremale ja eraldades seejärel juure.
Neid tehnikaid on äärmiselt raske segi ajada. Lihtsalt sellepärast, et esimesel juhul peate välja võtma X-i juure, mis on kuidagi arusaamatu, ja teisel juhul pole sulgudest midagi välja võtta...
Nüüd pange tähele praktilisi võtteid, mis vähendavad oluliselt vigade arvu. Needsamad, mis on tingitud tähelepanematusest... Mille pärast muutub see hiljem valusaks ja solvavaks...
Esimene kohtumine. Ärge olge laisk enne ruutvõrrandi lahendamist ja viige see standardvormi. Mida see tähendab?
Oletame, et pärast kõiki teisendusi saate järgmise võrrandi:
Ärge kiirustage juurvalemi kirjutamisega! Peaaegu kindlasti ajate koefitsiendid segamini a, b ja c. Koostage näide õigesti. Esiteks X ruudus, siis ilma ruuduta, siis vaba termin. nagu see:
Ja veel kord, ärge kiirustage! Miinus X ruudu ees võib sind tõsiselt häirida. Lihtne on unustada... Vabane miinusest. Kuidas? Jah, nagu eelmises teemas õpetati! Peame kogu võrrandi korrutama -1-ga. Saame:
Nüüd aga võid julgelt juurte valemi kirja panna, diskriminandi arvutada ja näite lahendamise lõpetada. Otsustage ise. Nüüd peaksid teil olema juured 2 ja -1.
Vastuvõtt teine. Kontrollige juuri! Vastavalt Vieta teoreemile. Ärge kartke, ma selgitan kõik! Kontrollimine viimane võrrand. Need. mida kasutasime juurvalemi kirja panemiseks. Kui (nagu selles näites) koefitsient a = 1, juurte kontrollimine on lihtne. Piisab nende korrutamisest. Tulemuseks peaks olema vabaliige, st. meie puhul -2. Pange tähele, mitte 2, vaid -2! Vaba liige oma märgiga
. Kui see ei õnnestu, tähendab see, et olete juba kuskil sassi läinud. Otsige viga. Kui see töötab, peate juured lisama. Viimane ja viimane kontroll. Koefitsient peaks olema b Koos vastupidine
tuttav. Meie puhul -1+2 = +1. Koefitsient b, mis on enne X, on võrdne -1. Niisiis, kõik on õige!
Kahju, et see on nii lihtne ainult näidete puhul, kus x ruudus on puhas koefitsiendiga a = 1. Kuid vähemalt kontrollige selliseid võrrandeid! Vigu jääb järjest vähemaks.
Vastuvõtt kolmas. Kui teie võrrandil on murdosakoefitsiendid, vabanege murdudest! Korrutage võrrand arvuga ühisnimetaja, nagu on kirjeldatud eelmises jaotises. Murdudega töötades hiilivad vead millegipärast sisse...
Muide, ma lubasin kurja näite lihtsustada hunniku miinustega. Palun! Siin ta on.
Et mitte miinustest segadusse sattuda, korrutame võrrandi -1-ga. Saame:
See on kõik! Lahendamine on nauding!
Niisiis, võtame teema kokku.
1. Enne lahendamist viime ruutvõrrandi standardkujule ja koostame selle Õige.
2. Kui X ruudu ees on negatiivne koefitsient, siis elimineerime selle, korrutades kogu võrrandi -1-ga.
3. Kui koefitsiendid on murdarvulised, siis elimineerime murrud, korrutades kogu võrrandi vastava teguriga.
4. Kui x ruudus on puhas, siis selle koefitsient võrdne ühega, saab lahendust hõlpsasti kontrollida Vieta teoreemi abil. Tee seda!
Murdvõrrandid. ODZ.
Jätkame võrrandite valdamist. Me juba teame, kuidas töötada lineaar- ja ruutvõrranditega. Viimane vaade jäänud - murdvõrrandid. Või kutsutakse neid ka palju auväärsemalt - murdarvulised ratsionaalvõrrandid. See on sama asi.
Murdvõrrandid.
Nagu nimigi ütleb, sisaldavad need võrrandid tingimata murde. Kuid mitte ainult murrud, vaid need, millel on nimetaja tundmatu. Vähemalt ühes. Näiteks:
Lubage mul teile meelde tuletada, et kui nimetajad on ainult numbrid, need on lineaarsed võrrandid.
Kuidas otsustada murdvõrrandid? Kõigepealt vabane murdosadest! Pärast seda muutub võrrand enamasti lineaarseks või ruutkeskseks. Ja siis me teame, mida teha... Mõnel juhul võib see muutuda identiteediks, näiteks 5=5 või valeks väljendiks, näiteks 7=2. Kuid seda juhtub harva. Mainin seda allpool.
Aga kuidas murdudest lahti saada!? Väga lihtne. Samade identsete teisenduste rakendamine.
Peame kogu võrrandi korrutama sama avaldisega. Et kõik nimetajad väheneksid! Kõik muutub kohe lihtsamaks. Lubage mul selgitada näitega. Peame lahendama võrrandi:
Kuidas teid algkoolis õpetati? Tõstame kõik ühele poole, viime ühise nimetaja juurde jne. Unusta kuidas halb unenägu! Seda peate tegema murdude liitmisel või lahutamisel. Või töötate ebavõrdsusega. Ja võrrandites korrutame kohe mõlemad pooled avaldisega, mis annab meile võimaluse vähendada kõiki nimetajaid (st sisuliselt ühise nimetajaga). Ja mis see väljend on?
Vasakul pool nõuab nimetaja vähendamiseks korrutamist x+2. Ja paremal on vaja korrutada 2-ga. See tähendab, et võrrand tuleb korrutada 2 (x+2). Korruta:
See on tavaline murdude korrutis, kuid ma kirjeldan seda üksikasjalikult:
Pange tähele, et ma ei ava veel klambrit (x + 2)! Seega kirjutan selle tervikuna:
Vasakul küljel tõmbub see täielikult kokku (x+2), ja paremal 2. Mida oligi vaja! Pärast vähendamist saame lineaarne võrrand:
Ja igaüks saab selle võrrandi lahendada! x = 2.
Lahendame veel ühe näite, veidi keerulisema:
Kui me mäletame, et 3 = 3/1, ja 2x = 2x/ 1, võime kirjutada:
Ja jälle vabaneme sellest, mis meile tegelikult ei meeldi - murdosadest.
Näeme, et nimetaja vähendamiseks X-ga peame murdosa korrutama (x–2). Ja mõned ei ole meile takistuseks. No korrutame. Kõik vasak pool ja kõik parem pool:
Jälle sulud (x–2) Ma ei paljasta. Ma töötan klambriga tervikuna, nagu oleks see üks number! Seda tuleb alati teha, muidu ei vähene midagi.
Tundega sügav rahulolu vähendada (x–2) ja saame võrrandi ilma murdudeta, joonlauaga!
Avame nüüd sulud:
Toome sarnased, liigutame kõik vasakule ja saame:
Klassikaline ruutvõrrand. Kuid eesootav miinus pole hea. Sellest saab alati lahti korrutades või jagades -1-ga. Kuid kui vaatate näidet tähelepanelikult, märkate, et kõige parem on see võrrand jagada -2-ga! Ühe hoobiga kaob miinus ja koefitsiendid muutuvad atraktiivsemaks! Jagage -2-ga. Vasakul pool - termini kaupa ja paremal - lihtsalt jagage null -2-ga, null ja saame:
Lahendame läbi diskriminandi ja kontrollime Vieta teoreemi abil. Me saame x = 1 ja x = 3. Kaks juurt.
Nagu näete, muutus esimesel juhul võrrand pärast teisendust lineaarseks, kuid siin muutub see ruutkeskseks. Juhtub, et pärast murdosadest vabanemist vähenevad kõik X-id. Midagi jääb alles, näiteks 5=5. See tähendab, et x võib olla ükskõik milline. Mis iganes see ka poleks, seda ikka vähendatakse. Ja see osutub puhtaks tõeks, 5=5. Kuid pärast murdosadest vabanemist võib see osutuda täiesti valeks, näiteks 2=7. Ja see tähendab seda lahendusi pole! Iga X osutub valeks.
Sai aru peamine viis lahendusi murdvõrrandid? See on lihtne ja loogiline. Muudame algset väljendit nii, et kõik, mis meile ei meeldi, kaoks. Või segab. IN antud juhul need on murrud. Sama teeme igasuguste asjadega keerulised näited logaritmide, siinuste ja muude õudustega. Meie Alati Vabaneme sellest kõigest.
Peame aga muutma algset väljendit meile vajalikus suunas reeglite järgi, jah... Mille valdamine on ettevalmistus matemaatika ühtseks riigieksamiks. Nii et me valdame seda.
Nüüd õpime, kuidas ühest neist mööda minna peamised varitsused ühtsel riigieksamil! Aga kõigepealt vaatame, kas sa langed sellesse või mitte?
Vaatame lihtsat näidet:
Asi on juba tuttav, korrutame mõlema poolega (x–2), saame:
Tuletan teile meelde, sulgudega (x–2) Töötame justkui ühe tervikliku avaldisega!
Siin ma enam nimetajatesse ühte ei kirjutanud, see on ebaväärikas... Ja ma ei tõmmanud nimetajatesse sulgusid, v.a. x-2 pole midagi, sa ei pea joonistama. Lühendame:
Avage sulud, liigutage kõik vasakule ja sisestage sarnased:
Lahendame, kontrollime, saame kaks juurt. x = 2 Ja x = 3. Suurepärane.
Oletame, et ülesandes on kirjas juur või nende summa, kui juure on rohkem kui üks. Mida me kirjutame?
Kui otsustate, et vastus on 5, siis teie sattusid varitsusele. Ja seda ülesannet teile ei omistata. Nad töötasid asjata... Õige vastus on 3.
milles asi?! Ja proovite kontrollida. Asendage tundmatu väärtused originaal näide. Ja kui kl x = 3 kõik kasvab imeliselt kokku, saame 9 = 9, siis millal x = 2 See on nulliga jagamine! Mida sa absoluutselt ei saa teha. Tähendab x = 2 ei ole lahendus ja seda ei võeta vastuses arvesse. See on nn kõrvaline või lisajuur. Me lihtsalt loobume sellest. Lõplik juur on üks. x = 3.
Kuidas nii?! – kuulen nördinud hüüatusi. Meile õpetati, et võrrandit saab avaldisega korrutada! See on identne teisendus!
Jah, identne. Väikese tingimuse korral - avaldis, millega me korrutame (jagame) - nullist erinev. A x-2 juures x = 2 võrdub nulliga! Nii et kõik on õiglane.
Mida me siis nüüd tegema peaksime?! Kas mitte avaldisega korrutada? Kas ma peaksin iga kord kontrollima? Jällegi on ebaselge!
rahulikult! Ära paanitse!
Selles keerulises olukorras päästavad meid kolm võlutähte. Ma tean, mida sa mõtled. Õige! See ODZ . Aktsepteeritavate väärtuste valdkond.
Kogu kursuse hulgas kooli õppekava Algebras on üks ulatuslikumaid teemasid ruutvõrrandite teema. Sel juhul mõistetakse ruutvõrrandit kui võrrandit kujul ax 2 + bx + c = 0, kus a ≠ 0 (loe: a korrutatuna x ruuduga pluss be x pluss ce võrdub nulliga, kus a ei ole võrdne nulliga). Sel juhul hõivavad põhikoha määratud tüüpi ruutvõrrandi diskriminandi leidmise valemid, mida mõistetakse kui avaldist, mis võimaldab määrata ruutvõrrandi juurte olemasolu või puudumise, samuti nende olemasolu. number (kui on).
Ruutvõrrandi diskriminandi valem (võrrand).
Ruutvõrrandi diskriminandi üldtunnustatud valem on järgmine: D = b 2 – 4ac. Diskriminandi arvutamisel määratud valemi abil saate mitte ainult määrata ruutvõrrandi juurte olemasolu ja arvu, vaid ka valida meetodi nende juurte leidmiseks, mida on sõltuvalt ruutvõrrandi tüübist mitu.
Mida see tähendab kui diskriminant on null \ ruutvõrrandi juurte valem kui diskriminant on null
Diskriminant, nagu valemist tuleneb, on tähistatud Ladina täht D. Juhul kui diskriminant on võrdne nulliga, tuleb järeldada, et ruutvõrrandil kujul ax 2 + bx + c = 0, kus a ≠ 0, on ainult üks juur, mis arvutatakse lihtsustatud valemiga . See valem kehtib ainult siis, kui diskriminant on null ja näeb välja selline: x = –b/2a, kus x on ruutvõrrandi juur, b ja a on ruutvõrrandi vastavad muutujad. Ruutvõrrandi juure leidmiseks tuleb muutuja b negatiivne väärtus jagada kahekordse muutuja a väärtusega. Saadud avaldis on ruutvõrrandi lahendus.
Ruutvõrrandi lahendamine diskriminandi abil
Kui ülaltoodud valemi abil diskriminandi arvutamisel selgub positiivne väärtus(D on suurem kui null), siis on ruutvõrrandil kaks juurt, mis arvutatakse järgmiste valemite abil: x 1 = (–b + vD)/2a, x 2 = (–b – vD)/2a. Kõige sagedamini ei arvutata diskriminant eraldi, vaid radikaalavaldis diskriminandi valemi kujul asendatakse lihtsalt väärtusega D, millest juur on välja võetud. Kui muutuja b on paarisväärtusega, siis ruutvõrrandi kujul ax 2 + bx + c = 0 juurte arvutamiseks, kus a ≠ 0, saab kasutada ka järgmisi valemeid: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, kus k = b/2.
Mõnel juhul võib ruutvõrrandite praktiliseks lahendamiseks kasutada Vieta teoreemi, mis väidab, et ruutvõrrandi kujul x 2 + px + q = 0 juurte summa korral on väärtus x 1 + x 2 = –p on tõene ja määratud võrrandi juurte korrutisele – avaldis x 1 x x 2 = q.
Kas diskriminant võib olla väiksem kui null?
Diskriminandi väärtuse arvutamisel võib tekkida olukord, mis ei kuulu ühegi kirjeldatud juhtumi alla – kui diskriminandi väärtus on negatiivne (st alla nulli). Sel juhul on üldtunnustatud, et ruutvõrrandil kujul ax 2 + bx + c = 0, kus a ≠ 0, ei ole reaalseid juuri, seetõttu piirdub selle lahendus diskriminandi ja ülaltoodud valemite arvutamisega. sest ruutvõrrandi juured sel juhul ei kehti. Samal ajal on ruutvõrrandi vastuses kirjas, et "võrrandil pole tegelikke juuri".
Selgitav video:
KEERULISED NUMBRID XI
§ 253. Ruutjuurte eraldamine negatiivsetest arvudest.
Ruutvõrrandite lahendamine negatiivsete diskriminantidega
Nagu me teame
i 2 = - 1.
Samal ajal
(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.
Seega on vähemalt kaks ruutjuure väärtust - 1, nimelt i Ja - i . Aga võib-olla on neid veel kompleksarvud, mille ruudud on võrdsed -1?
Selle küsimuse selgitamiseks oletame, et kompleksarvu ruut a + bi on võrdne - 1. Siis
(a + bi ) 2 = - 1,
A 2 + 2аbi - b 2 = - 1
Kaks kompleksarvu on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende reaalosad ja mõtteliste osade koefitsiendid on võrdsed. Sellepärast
| { |
A
2 - b
2 = - 1 |
Süsteemi (1) teise võrrandi kohaselt vähemalt üks arvudest A Ja b peab olema null. Kui b = 0, siis saame esimesest võrrandist A 2 = - 1. Arv A tõeline ja seetõttu A 2 > 0. Mittenegatiivne arv A 2 ei saa võrduda negatiivse arvuga - 1. Seega võrdsus b = 0 on sel juhul võimatu. Seda jääb üle tunnistada A = 0, kuid siis süsteemi esimesest võrrandist saame: - b 2 = - 1, b = ± 1.
Seetõttu on ainsad kompleksarvud, mille ruudud on -1 i Ja - i , Tavaliselt kirjutatakse see järgmisel kujul:
√-1 = ± i .
Sarnast arutluskäiku kasutades võivad õpilased veenduda, et on täpselt kaks arvu, mille ruudud on võrdsed negatiivse arvuga - A . Sellised arvud on √ a i ja -√ a i . Tavapäraselt on see kirjutatud nii:
√- A = ± √ a i .
√ all a siin peame silmas aritmeetikat, st positiivset juurt. Näiteks √4 = 2, √9 =.3; Sellepärast
√-4 = + 2i , √-9 = ± 3 i
Kui varem ütlesime negatiivsete diskriminantidega ruutvõrrandi käsitledes, et sellistel võrranditel pole juuri, siis nüüd ei saa me seda enam väita. Negatiivsete diskriminantidega ruutvõrranditel on keerulised juured. Need juured saadakse meile teadaolevate valemite järgi. Olgu näiteks antud võrrand x 2 + 2X + 5 = 0; Siis
X 1,2 = -1 ± √1 -5 = -1 ± √-4 = -1 ± 2 i .
Seega on sellel võrrandil kaks juurt: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Need juured on omavahel konjugeeritud. Huvitav on märkida, et nende summa on - 2 ja nende korrutis on 5, seega kehtib Vieta teoreem.
Harjutused
2022. (Komplekti nr) Lahenda võrrandid:
A) x 2 = -16; b) x 2 = -2; c) 3 x 2 = - 5.
2023. Leia kõik kompleksarvud, mille ruudud on võrdsed:
A) i ; b) 1/2 - √ 3/2 i ;
2024. Lahenda ruutvõrrandid:
A) x 2 - 2x + 2 = 0; b) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; V) x 2 - 14x + 74 = 0.
Lahendage võrrandisüsteeme (nr 2025, 2026):
| { |
x+y
= 6 |
| { |
2x-
3y
= 1 |
2027. Tõesta, et reaalkordajatega ruutvõrrandi ja negatiivse diskriminandi juured on vastastikku konjugeeritud.
2028. Tõesta, et Vieta teoreem kehtib kõigi ruutvõrrandite, mitte ainult mittenegatiivse diskriminandiga võrrandite puhul.
2029. Koostage reaalkoefitsientidega ruutvõrrand, mille juured on:
a) X 1 = 5 - i , X 2 = 5 + i ; b) X 1 = 3i , X 2 = - 3i .
2030. Koostage reaalkoefitsientidega ruutvõrrand, mille üks juurtest on võrdne (3 - i ) (2i - 4).
2031. Koostage reaalkoefitsientidega ruutvõrrand, mille üks juur on võrdne 32 -
i
1- 3i
.