1.Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul y(x) = a x, olenevalt eksponendist x, astme a aluse konstantse väärtusega, kus a > 0, a ≠ 0, xϵR (R on reaalarvude hulk) .
Mõelgem funktsiooni graafik, kui alus ei täida tingimust: a>0
a) a< 0
Kui a< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
Kui a = 0, on funktsioon y = defineeritud ja selle konstantne väärtus on 0
c) a =1
Kui a = 1, on funktsioon y = defineeritud ja selle konstantne väärtus on 1
Funktsiooni domeen (DOF) Piirkond vastuvõetavad väärtused funktsioonid (ODZ) 3. Funktsiooni nullpunktid (y = 0) 4. Lõikepunktid ordinaatteljega oy (x = 0) 5. Funktsioonide suurendamine, vähenemine Kui , siis funktsioon f(x) suureneb 6. Paaris, paaritu funktsioon Funktsioon y = ei ole sümmeetriline telje 0y ja koordinaatide alguspunkti suhtes, seega pole ta paaris ega paaritu. (Funktsioon üldine vaade) 7. Funktsioonil y = ei ole äärmust 8. Reaalastendajaga kraadi omadused: Olgu a > 0; a≠1 Siis xϵR jaoks; yϵR: Kraadi monotoonsuse omadused: kui, siis Kui a> 0, siis . 9. Funktsiooni suhteline asend Mida suurem on alus a, seda lähemal telgedele x ja oy a > 1, a = 20 Näide 1. Eksponentfunktsioon
Funktsioon kujul y = a x , kus a on suurem kui null ja a ei ole võrdne ühega, nimetatakse eksponentsiaalfunktsiooniks. Eksponentfunktsiooni põhiomadused: 1. Eksponentfunktsiooni määratluspiirkond on reaalarvude hulk. 2. Eksponentfunktsiooni väärtuste vahemik on kõigi positiivsete reaalarvude hulk. Mõnikord on seda komplekti lühiduse huvides tähistatud kui R+. 3. Kui eksponentsiaalfunktsioonis on alus a suurem kui üks, siis funktsioon kasvab kogu definitsioonipiirkonna ulatuses. Kui aluse a eksponentsiaalfunktsioonis on täidetud järgmine tingimus 0 4. Kehtivad kõik kraadide põhiomadused. Kraadide põhiomadusi esindavad järgmised võrdsused: a x *a y = a (x+y) ;
(a x )/(a y ) = a (x-y) ;
(a*b) x = (a x )*(a y );
(a/b) x = a x /b x ;
(a x )
y = a (x * y) .
Need võrdsused kehtivad kõigi x ja y reaalväärtuste puhul. 5. Eksponentfunktsiooni graafik läbib alati punkti koordinaatidega (0;1) 6. Sõltuvalt sellest, kas eksponentsiaalfunktsioon suureneb või väheneb, on selle graafikul üks kahest kujust. Järgmisel joonisel on kujutatud kasvava eksponentsiaalfunktsiooni graafik: a>0. Järgmisel joonisel on näidatud kahaneva eksponentsiaalfunktsiooni graafik: 0 Punkti (0;1) läbivad nii kasvava eksponentsiaalfunktsiooni kui ka kahaneva eksponentsiaalfunktsiooni graafik vastavalt viiendas lõigus kirjeldatud omadusele. 7. Eksponentfunktsioonil ei ole äärmuspunkte, ehk teisisõnu tal puuduvad funktsiooni miinimum- ja maksimumpunktid. Kui arvestame funktsiooni mis tahes konkreetsel segmendil, võtab funktsioon selle intervalli lõpus minimaalsed ja maksimaalsed väärtused. 8. Funktsioon ei ole paaris ega paaritu. Eksponentfunktsioon on üldvormi funktsioon. Seda on näha graafikutelt, ükski neist ei ole sümmeetriline ei Oy telje ega koordinaatide alguspunkti suhtes. Logaritm
Logaritme on koolimatemaatikakursustes alati raskeks teemaks peetud. Logaritmi definitsioone on palju erinevaid, kuid millegipärast kasutatakse enamikes õpikutes neist kõige keerukamat ja ebaõnnestunumat. Logaritmi määratleme lihtsalt ja selgelt. Selleks loome tabeli: Niisiis, meil on kaks jõudu. Kui võtate numbri alumiselt realt, saate hõlpsalt leida võimsuse, milleni peate selle numbri saamiseks tõstma kaks. Näiteks 16 saamiseks peate kahe tõstma neljanda astmeni. Ja 64 saamiseks peate tõstma kaks kuuenda astmeni. Seda on tabelist näha. Ja nüüd - tegelikult logaritmi määratlus: Definitsioon Logaritm aluseks võtta argumendi x a on võimsus, milleni numbrit tuleb tõsta a numbri saamiseks x. Määramine log a x = b Näiteks 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (aluse 2 logaritm 8-st on kolm, sest 2 3 = 8). Sama eduga log 2 64 = 6, kuna 2 6 = 64. Nimetatakse arvu antud baasi logaritmi leidmise operatsioonilogaritm
. Niisiis, lisame oma tabelisse uue rea: Kahjuks ei arvutata kõiki logaritme nii lihtsalt. Näiteks proovige leida log 2 5. Arv 5 ei ole tabelis, kuid loogika näeb ette, et logaritm asub kuskil intervallil. Sest 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Selliseid arve nimetatakse irratsionaalseteks: koma järel olevaid arve saab kirjutada lõpmatuseni ja neid ei korrata kunagi. Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on parem jätta see nii: log 2 5, log 3 8, log 5 100. Oluline on mõista, et logaritm on kahe muutujaga avaldis (alus ja argument). Alguses ajavad paljud segadusse, kus on alus ja kus on argument. Ärritavate arusaamatuste vältimiseks vaadake lihtsalt pilti: Meie ees pole midagi muud kui logaritmi määratlus. Pidage meeles: logaritm on jõud , millesse argumendi saamiseks tuleb alus ehitada. See on põhi, mis tõstetakse võimsuseks – see on pildil punasega esile tõstetud. Selgub, et alus on alati põhjas! Ma ütlen oma õpilastele seda imelist reeglit kohe esimeses tunnis – ja segadust ei teki. Oleme definitsiooni välja mõelnud – jääb üle vaid õppida logaritme lugema, s.t. "logi" märgist lahti saada. Alustuseks märgime, et Definitsioonist tuleneb kaks asja olulised faktid:
Argument ja alus peavad alati olema suuremad kui null. See tuleneb astme määratlusest ratsionaalse astendajaga, millele logaritmi definitsioon taandatakse. Alus peab olema ühest erinev, sest üks jääb igal määral ikkagi üheks. Seetõttu on mõttetu küsimus “millisele võimule tuleb tõsta, et saada kaks”. Sellist kraadi pole olemas! Sellised piirangud kutsutakse vastuvõetavate väärtuste vahemik(ODZ). Selgub, et logaritmi ODZ näeb välja selline: log a x = b ⇒
x > 0, a > 0, a ≠ 1. Pange tähele, et arvule piiranguid pole b (logaritmi väärtus) ei kattu. Näiteks võib logaritm olla negatiivne: log 2 0,5 = −1, sest 0,5 = 2-1. Kuid nüüd käsitleme ainult arvulisi avaldisi, mille puhul pole vaja teada logaritmi VA-d. Kõiki piiranguid on probleemide autorid juba arvesse võtnud. Kui aga mängu tulevad logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused, muutuvad DL-nõuded kohustuslikuks. Võib ju alus ja argument sisaldada väga tugevaid konstruktsioone, mis ei pruugi eeltoodud piirangutele vastata. Nüüd arvestage kindraliga logaritmide arvutamise skeem. See koosneb kolmest etapist: Esitage põhjus a ja argument x astme kujul, mille minimaalne võimalik alus on suurem kui üks. Teel on parem kümnendkohtadest lahti saada; Lahenda muutuja suhtes b võrrand: x = a b ; Saadud arv b on vastus. See on kõik! Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on see nähtav juba esimeses etapis. Nõue, et baas peab olema suurem kui üks, on väga oluline: see vähendab vea tõenäosust ja lihtsustab oluliselt arvutusi. Sama ka kümnendkohad: kui muudate need kohe tavalisteks, on vigu palju vähem. Vaatame, kuidas see skeem töötab konkreetsed näited:
Arvutage logaritm: log 5 25 Kujutleme alust ja argumenti viie astmena: 5 = 5 1 ; 25 = 52; Loome ja lahendame võrrandi: Saime vastuse: 2. Arvutage logaritm: Kujutleme alust ja argumenti kolme astmena: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 -1 = (3 4) -1 = 3 -4; Loome ja lahendame võrrandi: Saime vastuseks: −4. −4
Arvutage logaritm: log 4 64 Kujutleme alust ja argumenti kahe astmena: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6; Loome ja lahendame võrrandi: Saime vastuse: 3. Arvutage logaritm: log 16 1 Kujutleme alust ja argumenti kahe astmena: 16 = 2 4 ; 1 = 20; Loome ja lahendame võrrandi: Saime vastuseks: 0. Arvutage logaritm: log 7 14 Kujutleme alust ja argumenti seitsme astmena: 7 = 7 1 ; 14 ei saa esitada seitsme astmena, kuna 7 1< 14 < 7 2 ; Eelmisest lõigust järeldub, et logaritm ei lähe arvesse; Vastus ei muutu: logi 7 14. logi 7 14 Väike märkus viimase näite kohta. Kuidas olla kindel, et arv ei ole teise arvu täpne aste? See on väga lihtne – lihtsalt jagage see osadeks peamised tegurid. Kui laienemisel on vähemalt kaks erinevat tegurit, ei ole see arv täpne võimsus. Uurige, kas arvud on täpsed astmed: 8; 48; 81; 35; 14. 8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - täpne aste, sest on ainult üks kordaja; 8, 81 - täpne kraad; 48, 35, 14 - ei. Märkigem ka seda, et me ise algarvud on alati iseenda täpsed kraadid. Kümnendlogaritm
Mõned logaritmid on nii levinud, et neil on eriline nimi ja sümbol. Definitsioon Kümnendlogaritm argumendist x on logaritm alusele 10, st. võimsus, milleni tuleb arvu saamiseks tõsta arv 10 x. Määramine lg x Näiteks log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - jne. Nüüdsest, kui õpikusse ilmub fraas nagu “Leia lg 0,01”, siis teadke: see pole kirjaviga. See on kümnendlogaritm. Kui te aga pole selle tähistusega tuttav, saate selle alati ümber kirjutada: Kõik, mis kehtib tavaliste logaritmide puhul, kehtib ka kümnendlogaritmide puhul. Naturaalne logaritm
On veel üks logaritm, millel on oma tähistus. Mõnes mõttes on see isegi olulisem kui koma. See on umbes naturaallogaritmi kohta. Definitsioon Naturaalne logaritm argumendist x on aluse logaritm e , st. võimsus, milleni number tuleb tõsta e numbri saamiseks x. Määramine ln x Paljud küsivad: mis on number e? See on irratsionaalne arv, mille täpset väärtust pole võimalik leida ja üles kirjutada. Toon ainult esimesed arvud: Me ei hakka üksikasjalikult kirjeldama, mis see number on ja miks seda vaja on. Pidage vaid meeles, et e - naturaallogaritmi alus: Seega ln e = 1; ln e 2 = 2; Kell 16 = 16 - jne. Teisest küljest on ln 2 irratsionaalne arv. Üldiselt naturaalne logaritm mis tahes ratsionaalne arv irratsionaalne. Välja arvatud muidugi üks: ln 1 = 0. Naturaallogaritmide puhul kehtivad kõik reeglid, mis kehtivad tavaliste logaritmide puhul. Logaritmide põhiomadused Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Kuid kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, on neil omad reeglid, mida nimetatakse põhiomadusteks. Neid reegleid peate kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmilist ülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame. Logaritmide liitmine ja lahutamine
Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: log a x ja logi a y . Seejärel saab neid liita ja lahutada ning: logi a x +logi a y =logi a (
x ·
y );
logi a x − logi a y =logi a (
x :
y ).
Niisiis, logaritmide summa võrdub korrutise logaritmiga ja erinevus on võrdne jagatise logaritmiga. Pange tähele: võtmepunkt siin on samad põhjused. Kui põhjused on erinevad, siis need reeglid ei tööta! Need valemid aitavad teil arvutada logaritmilise avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "
"). Vaadake näiteid ja vaadake: Leidke avaldise väärtus: log 6 4 + log 6 9. Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit: Leidke avaldise väärtus: log 2 48 − log 2 3. Alused on samad, kasutame erinevuse valemit: Leidke avaldise väärtus: log 3 135 − log 3 5. Jällegi on alused samad, seega on meil: Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei arvutata. Kuid pärast teisendusi saadakse täiesti normaalsed arvud. Paljud on sellele faktile üles ehitatud testid. Jah, ühtsel riigieksamil pakutakse testilaadseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord praktiliselt ilma muudatusteta). Eksponenti väljavõtmine logaritmist
Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Siis selle astme eksponendi saab logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi: On lihtne näha, et viimane reegel järgib kahte esimest. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt. Muidugi Kõik need reeglid on mõistlikud, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi, s.t. Saate sisestada enne logaritmi märki olevad arvud logaritmi endasse. See on see, mida kõige sagedamini nõutakse. Leidke avaldise väärtus: log 7 49 6 . Vabaneme argumendi astmest esimese valemi abil: Leidke väljendi tähendus: Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Meil on: Ma arvan, et viimane näide nõuab veidi selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga. Esitasime seal seisva logaritmi aluse ja argumendi astmetena ning võtsime välja astendajad - saime “kolmekorruselise” murru. Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugeja ja nimetaja sisaldavad sama arvu: log 2 7. Kuna log 2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mida ka tehti. Tulemuseks oli vastus: 2. Üleminek uuele vundamendile
Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui põhjused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed? Appi tulevad uuele sihtasutusele ülemineku valemid. Sõnastame need teoreemi kujul: Teoreem Olgu antud logaritmi logi a x . Siis suvalise numbri jaoks c nii, et c > 0 ja c ≠ 1, võrdsus on tõene: Eelkõige, kui paneme c = x, saame: Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajasse.
Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata alles otsustades logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused. Siiski on probleeme, mida ei saa üldse lahendada peale uude sihtasutusse kolimise. Vaatame paari neist: Leidke avaldise väärtus: log 5 16 log 2 25. Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid sisaldavad täpseid võimsusi. Võtame välja näitajad: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5; Nüüd pöörame teist logaritmi ümber: Kuna tegurite ümberkorraldamisel korrutis ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning seejärel tegelesime logaritmidega. Leidke avaldise väärtus: log 9 100 lg 3. Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme indikaatoritest: Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele: Põhilogaritmiline identiteet
Sageli on lahendusprotsessis vaja esitada arv logaritmina antud baasile. Sel juhul aitavad meid järgmised valemid: Esimesel juhul number n muutub argumendis seisva astme näitajaks. Number n võib olla absoluutselt ükskõik, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus. Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse järgmiselt:põhilogaritmiline identiteet.
Tegelikult, mis juhtub, kui arv b tõstetakse sellise astmeni, et selle astme arv b annab arvu a? Täpselt nii: tulemuseks on sama arv a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi – paljud inimesed jäävad selle peale kinni. Nagu uude baasi liikumise valemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus. Ülesanne Leidke väljendi tähendus: Lahendus Pange tähele, et log 25 64 = log 5 8 – võttis lihtsalt ruudu baasist ja logaritmi argumendist. Võttes arvesse sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame: 200
Kui keegi veel ei tea, siis see oli päris ühtse riigieksami ülesanne :) Logaritmiline ühik ja logaritmiline null
Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida vaevalt saab omadusteks nimetada – pigem on need logaritmi definitsiooni tagajärjed. Need esinevad pidevalt probleemides ja tekitavad üllataval kombel probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele. log a a = 1 on logaritmiline ühik. Pidage üks kord meeles: logaritm mis tahes baasile a sellest baasist on võrdne ühega. log a 1 = 0 on logaritmiline null. Alus a võib olla ükskõik milline, kuid kui argument sisaldab ühte, on logaritm võrdne nulliga! Sest a 0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg. See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist!
2. Vaatame eksponentsiaalfunktsiooni lähemalt:
0
Kui , siis funktsioon f(x) väheneb
Funktsioon y= , 0 juures
See tuleneb reaalastendajaga astme monotoonsuse omadustest.
b> 0; b≠1
Näiteks:
Eksponentfunktsioon on pidev mis tahes punktis ϵ R.
Kui a0, siis on eksponentsiaalfunktsioon kuju, mis on lähedane y = 0-le.
Kui a1, siis ox- ja oy-telgedest kaugemal saab graaf funktsioonile y = 1 lähedase kuju.
Koostage y = graafik
kus a on alus, x on argument, b - tegelikult, millega logaritm võrdub.
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ei ole täpne võimsus, kuna tegureid on kaks: 3 ja 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - täpne aste;
35 = 7 · 5 - jällegi mitte täpne võimsus;
14 = 7 · 2 - jällegi mitte täpne aste;
log x = log 10 x
e = 2,718281828459...
ln x = log e x
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
