Matemaatikaterminite seletav sõnastik määratleb tõestuse teoreemi vastuoluga, vastupidise teoreemi vastandiga. „Tõestamine vastuoluga on teoreemi (lause) tõestamise meetod, mis seisneb mitte teoreemi enda, vaid selle ekvivalendi (ekvivalentse) teoreemi tõestamises. Tõestust vastuoluga kasutatakse alati, kui otsest teoreemi on raske tõestada, kuid vastupidist teoreemi on lihtsam tõestada. Vastuoluga tõestuses asendub teoreemi järeldus selle eitusega ja arutluse kaudu jõutakse tingimuste eitamiseni, s.t. vastuolule, vastupidisele (antule vastand; absurdiks taandamine tõestab teoreemi."
Matemaatikas kasutatakse väga sageli vastuoluga tõestamist. Vastuoluga tõestamine põhineb välistatud keskkoha seadusel, mis seisneb selles, et kahest väitest (väitest) A ja A (A eitus) on üks neist tõene ja teine väär./Matemaatikaterminite seletav sõnastik: käsiraamat õpetajatele/O. V. Manturov [jne]; toimetanud V. A. Ditkina.- M.: Haridus, 1965.- 539 lk.: ill.-C.112/.
Parem poleks avalikult kuulutada, et vastuoluga tõestamise meetod ei ole matemaatiline meetod, kuigi seda kasutatakse matemaatikas, et see on loogiline meetod ja kuulub loogika alla. Kas on vastuvõetav öelda, et vastuoluga tõestamist "kasutatakse alati, kui otsest teoreemi on raske tõestada", kui tegelikult kasutatakse seda siis ja ainult siis, kui asendajat pole.
Väärib erilist tähelepanu ning otsese ja pöördteoreemi omavahelise seose tunnus. "Antud teoreemi (või antud teoreemi) vastupidine teoreem on teoreem, mille tingimus on järeldus ja järeldus on antud teoreemi tingimus. Seda teoreemi seoses pöördteoreemiga nimetatakse otseseks teoreemiks (originaal). Samal ajal on pöördteoreem pöördteoreem antud teoreem; seetõttu nimetatakse otsest ja vastupidist teoreemi vastastikku pöördteoreemideks. Kui otsene (antud) teoreem on tõene, siis pöördteoreem ei ole alati tõene. Näiteks kui nelinurk on romb, siis on selle diagonaalid üksteisega risti (otseteoreem). Kui nelinurgas on diagonaalid üksteisega risti, siis on nelinurk romb - see on vale, st vastupidine teoreem on väär./Matemaatikaterminite seletav sõnastik: käsiraamat õpetajatele/O. V. Manturov [jne]; toimetanud V. A. Ditkina.- M.: Haridus, 1965.- 539 lk.: ill.-C.261 /.
See omadus Otsese ja pöördteoreemi seos ei võta arvesse tõsiasja, et otsese teoreemi tingimust aktsepteeritakse etteantuna, ilma tõestuseta, seega ei ole selle õigsus tagatud. Pöördteoreemi tingimust ei aktsepteerita antud kujul, kuna see on tõestatud otsese teoreemi järeldus. Selle õigsust kinnitab otsese teoreemi tõestus. See olemuslik loogiline erinevus otsese ja pöördteoreemi tingimustes osutub määravaks küsimuses, milliseid teoreeme saab ja milliseid ei saa loogilise meetodiga vastuoluliselt tõestada.
Oletame, et silmas on otsene teoreem, mida saab tõestada tavalise matemaatilise meetodi abil, kuid see on keeruline. Sõnastame selle sisse üldine vaade lühikeses vormis nagu see: alates A peaks E . Sümbol A omab teoreemi antud tingimuse tähendust, aktsepteeritud ilma tõestuseta. Sümbol E oluline on teoreemi järeldus, mis vajab tõestamist.
Tõestame otsese teoreemi vastuoluga, loogiline meetod. Loogilist meetodit kasutatakse teoreemi tõestamiseks, millel on mitte matemaatiline seisund ja loogiline tingimus. Seda saab saada, kui teoreemi matemaatiline tingimus alates A peaks E , täiendada täpselt vastupidise tingimusega alates A ei peaks E .
Tulemuseks oli kahest osast koosnev uue teoreemi loogiline vastuoluline tingimus: alates A peaks E Ja alates A ei peaks E . Uue teoreemi tulemuseks olev tingimus vastab välistatud keskkoha loogilisele seadusele ja vastab teoreemi tõestusele vastuoluga.
Seaduse järgi on vastuolulise tingimuse üks osa vale, teine osa tõene ja kolmas on välistatud. Vastuoluga tõestamise ülesanne ja eesmärk on täpselt kindlaks teha, milline osa teoreemi tingimuse kahest osast on vale. Kui tingimuse vale osa on kindlaks tehtud, määratakse teine osa tõeseks osaks ja kolmas jäetakse välja.
Vastavalt seletav sõnastik matemaatilised terminid, "tõestus on arutluskäik, mille käigus tehakse kindlaks mis tahes väite (otsus, väide, teoreem) tõesus või väär". Tõestus vastuolu tõttu on arutluskäik, mille käigus see tuvastatakse võlts(absurdsus) tuleneva järelduse vale tõestatava teoreemi tingimused.
Arvestades: alates A peaks E ja alates A ei peaks E .
Tõesta: alates A peaks E .
Tõestus: Teoreemi loogiline tingimus sisaldab vastuolu, mis nõuab selle lahendamist. Tingimuse vastuolu peab leidma lahenduse tõestuses ja selle tulemuses. Tulemus osutub veatuks ja veatu arutluskäiguga valeks. Loogiliselt õiges arutluskäigus saab vale järelduse põhjuseks olla ainult vastuoluline tingimus: alates A peaks E Ja alates A ei peaks E .
Pole kahtlust, et tingimuse üks osa on vale ja teine sel juhul on tõene. Mõlemad tingimuse osad on sama päritoluga, aktsepteeritud andmetena, oletatavad, võrdselt võimalikud, võrdselt lubatavad jne. Loogilise arutlemise käigus ei avastatud ühtegi loogilist tunnust, mis eristaks tingimuse üht osa teisest . Seetõttu võib see samal määral olla alates A peaks E ja võib-olla alates A ei peaks E . avaldus alates A peaks E Võib olla vale, siis avaldus alates A ei peaks E saab tõeks. avaldus alates A ei peaks E võib olla vale, siis väide alates A peaks E saab tõeks.
Järelikult on otsest teoreemi võimatu tõestada vastuoluga.
Nüüd tõestame seda sama otseteoreemi tavalise matemaatilise meetodi abil.
Arvestades: A .
Tõesta: alates A peaks E .
Tõestus.
1. Alates A peaks B
2. Alates B peaks IN (vastavalt eelnevalt tõestatud teoreemile)).
3. Alates IN peaks G (vastavalt eelnevalt tõestatud teoreemile).
4. Alates G peaks D (vastavalt eelnevalt tõestatud teoreemile).
5. Alates D peaks E (vastavalt eelnevalt tõestatud teoreemile).
Lähtudes transitiivsuse seadusest, alates A peaks E . Otsene teoreem tõestatakse tavalise meetodiga.
Olgu tõestatud otseteoreemil õige pöördteoreem: alates E peaks A .
Tõestame seda tavalisega matemaatilised meetod. Pöördteoreemi tõestust saab väljendada sümboolsel kujul matemaatiliste tehete algoritmina.
Arvestades: E
Tõesta: alates E peaks A .
Tõestus.
!. Alates E peaks D
1. Alates D peaks G (vastavalt varem tõestatud pöördteoreemile).
2. Alates G peaks IN (vastavalt varem tõestatud pöördteoreemile).
3. Alates IN ei peaks B (vastupidine teoreem ei vasta tõele). Seetõttu alates B ei peaks A .
Selles olukorras pole mõtet jätkata vastupidise teoreemi matemaatilist tõestamist. Olukorra põhjus on loogiline. Ebaõiget pöördteoreemi ei saa millegagi asendada. Seetõttu on seda pöördteoreemi võimatu tavalise matemaatilise meetodi abil tõestada. Lootus on tõestada seda pöördteoreemi vastuoluga.
Selle tõestamiseks vastuoluga on vaja selle matemaatiline tingimus asendada loogilise vastuolulise tingimusega, mis oma tähenduses sisaldab kahte osa - vale ja tõene.
Pöördeteoreemütleb: alates E ei peaks A . Tema seisund E , millest järeldub järeldus A , on otsese teoreemi tõestamise tulemus tavalise matemaatilise meetodi abil. See tingimus tuleb säilitada ja seda avaldusega täiendada alates E peaks A . Lisamise tulemusena saame uue pöördteoreemi vastuolulise tingimuse: alates E peaks A Ja alates E ei peaks A . Selle põhjal loogiliselt vastuolulise tingimuse korral saab vastupidise teoreemi tõestada õige abil loogiline ainult arutluskäik ja ainult loogiline meetod vastuolus. Vastuolulise tõestuse korral alluvad kõik matemaatilised toimingud ja toimingud loogilistele ja seetõttu ei lähe need arvesse.
Vastuolulise väite esimeses osas alates E peaks A tingimus E tõestati otsese teoreemi tõestusega. Teises osas alates E ei peaks A tingimus E eeldati ja aktsepteeriti ilma tõenditeta. Üks neist on vale ja teine on tõsi. Peate tõestama, milline neist on vale.
Me tõestame seda õigesti loogiline ja avastavad, et selle tulemus on vale, absurdne järeldus. Vale loogilise järelduse põhjuseks on teoreemi vastuoluline loogiline tingimus, mis sisaldab kahte osa - vale ja tõene. Vale osa saab olla ainult väide alates E ei peaks A , milles E võeti vastu ilma tõenditeta. See eristabki selle E avaldused alates E peaks A , mida tõestab otsese teoreemi tõestus.
Seega on väide tõene: alates E peaks A , mida oli vaja tõestada.
Järeldus: loogilise meetodiga on vastuoluga tõestatud ainult pöördteoreem, millel on matemaatilise meetodiga tõestatud otsene teoreem ja mida ei saa tõestada matemaatilise meetodiga.
Saadud järeldus omandab tõendamismeetodi suhtes erakordse tähtsuse Fermat' suure teoreemi vastuolu tõttu. Valdav enamus katseid seda tõestada ei põhine mitte tavalisel matemaatilisel meetodil, vaid loogilisel vastuoluga tõestamise meetodil. Wilesi tõestus Fermat' viimase teoreemi kohta pole erand.
Teisisõnu, Gerhard Frey pakkus välja, et Fermat' viimase teoreemi võrrand x n + y n = z n
, Kus n > 2
, sisaldab lahendusi positiivsetes täisarvudes. Need samad lahendused on Frey oletuse kohaselt tema võrrandi lahendused
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
, mille annab selle elliptiline kõver.
Andrew Wiles võttis selle Frey tähelepanuväärse avastuse vastu ja selle abiga matemaatilised meetod tõestas, et seda leidu, see tähendab Frey elliptilist kõverat, pole olemas. Seetõttu ei ole olemas võrrandit ja selle lahendeid, mis oleksid antud olematu elliptilise kõveraga. Seetõttu oleks Wiles pidanud nõustuma järeldusega, et Fermat' viimase teoreemi ja Fermat' teoreemi enda võrrandit pole. Siiski nõustub ta tagasihoidlikuma järeldusega, et Fermat' viimase teoreemi võrrandil pole positiivsetes täisarvudes lahendeid.
Vaieldamatu tõsiasi võib olla see, et Wiles võttis omaks oletuse, mis on oma tähenduselt täpselt vastupidine Fermat' suure teoreemi väitele. See kohustab Wilesi tõestama Fermat' viimast teoreemi vastuoluga. Järgigem tema eeskuju ja vaadakem, mis sellest eeskujust tuleb.
Fermat' viimane teoreem väidab, et võrrand x n + y n = z n , Kus n > 2
Vastuoluga tõendamise loogilise meetodi kohaselt jäetakse see väide alles, aktsepteeritakse ilma tõestuseta esitatuna ja seejärel täiendatakse seda vastupidise väitega: võrrandiga. x n + y n = z n , Kus n > 2 , sisaldab lahendusi positiivsetes täisarvudes.
Eeldatav väide aktsepteeritakse samuti esitatuna, ilma tõestuseta. Mõlemad väited, vaadeldes loogika põhiseaduste seisukohast, on võrdselt kehtivad, võrdselt kehtivad ja võrdselt võimalikud. Õige arutluskäigu abil tuleb kindlaks teha, milline väide on vale, et seejärel teha kindlaks, kas teine väide on tõene.
Õige arutluskäik lõpeb vale, absurdse järeldusega, mille loogiliseks põhjuseks saab olla vaid tõestatava teoreemi vastuoluline tingimus, mis sisaldab kahte otseselt vastandliku tähendusega osa. Need olid absurdse järelduse loogiline põhjus, vastuolulise tõestamise tulemus.
Loogiliselt õige arutlemise käigus ei avastatud aga ainsatki märki, mille järgi saaks kindlaks teha, milline väide on vale. See võib olla väide: võrrand x n + y n = z n , Kus n > 2 , sisaldab lahendusi positiivsetes täisarvudes. Samal alusel võib see olla järgmine väide: võrrand x n + y n = z n , Kus n > 2 , ei sisalda positiivsete täisarvudega lahendeid.
Arutluskäigu tulemusena saab teha ainult ühe järelduse: Fermat' viimast teoreemi ei saa tõestada vastuoluga.
Hoopis teine asi oleks, kui Fermat’ viimane teoreem oleks pöördteoreem, millel on tavalise matemaatilise meetodiga tõestatud otseteoreem. Sel juhul saab seda tõestada vastuoluga. Ja kuna tegemist on otsese teoreemiga, peaks selle tõestamine põhinema mitte loogilisel vastuoluga tõestamise meetodil, vaid tavalisel matemaatilisel meetodil.
D. Abrarovi sõnul reageeris kuulsaim tänapäeva vene matemaatik, akadeemik V. I. Arnold Wilesi tõestusele "aktiivselt skeptiliselt". Akadeemik väitis: "See ei ole päris matemaatika - tõeline matemaatika on geomeetriline ja sellel on tugev seos füüsikaga." Akadeemiku avaldus väljendab Fermat' viimase teoreemi Wilesi mittematemaatilise tõestuse olemust.
Vastupidiselt on võimatu tõestada, et Fermat' viimase teoreemi võrrandil pole lahendeid või et sellel on lahendid. Wilesi viga pole matemaatiline, vaid loogiline – tõestuse kasutamine vastuolus, kus selle kasutamine ei ole mõttekas ja Fermat’ suur teoreem ei tõesta.
Fermat' viimast teoreemi ei saa tõestada tavapärast kasutades matemaatiline meetod, kui selles antud: võrrand x n + y n = z n , Kus n > 2 , ei sisalda positiivsetes täisarvudes lahendeid ja kui see on on vaja tõestada: võrrand x n + y n = z n , Kus n > 2 , ei sisalda positiivsete täisarvudega lahendeid. Selles vormis pole teoreemi, vaid tautoloogiat, millel puudub tähendus.
Vastupidine meetod
Apagoogika- loogiline võte, mis tõestab arvamuse vastuolulisust nii, et kas selles endas või sellest tingimata tulenevates tagajärgedes avastame vastuolu.
Seetõttu on apogoogiline tõestus kaudne tõestus: siin pöördub tõestaja esmalt vastupidisele positsioonile, et näidata oma vastuolu, ja seejärel teeb kolmanda välistamise seaduse kohaselt järelduse tõestatava paikapidavuse kohta. Seda tüüpi tõestust nimetatakse ka absurdiks taandamiseks. Selle oluliseks komponendiks on argument, et kolmandat ei eksisteeri, st et peale arvamuse, mille paikapidavust tuleb tõestada, ja teisele, sellele vastandlikule, mis on tõestuse lähtepunktiks, ei ole kolmandat fakti. on lubatud. Seetõttu pärineb kaudne tõend seisukohta eitavast asjaolust, mille paikapidavust tuleb tõendada.
Näited
Vaata ka
Wikimedia sihtasutus.
2010. aasta.
Vaadake, mis on "vastuolu meetod" teistes sõnaraamatutes: Matemaatikas on lõpmatu laskumise meetod vastuoluga tõestamise meetod, mis põhineb asjaolul, et hulk naturaalarvud
üsna korralik. Sageli kasutatakse lõpmatu laskumise meetodit tõestamaks, et mõned... ... Wikipedia Tõestusmeetod, mida iidsed matemaatikud kasutasid alade ja mahtude leidmiseks. Nimetus “kurnatusmeetod” võeti kasutusele 17. sajandil. Tüüpilist tõestusskeemi, kasutades I. m, saab esitada tänapäeva... ...
Suur Nõukogude entsüklopeedia Tõestusmeetod, mida iidsed matemaatikud kasutasid alade ja mahtude leidmiseks. Nimi kurnatusmeetod võeti kasutusele 17. sajandil. Tüüpilist I. m-i kasutavat tõestusskeemi saab tänapäevases tähistuses esitada järgmiselt: ... ...
Matemaatiline entsüklopeedia
Selles artiklis puuduvad lingid teabeallikatele. Teave peab olema kontrollitav, vastasel juhul võidakse see kahtluse alla seada ja kustutada. Saate... Wikipedia - 'OLEMINE JA AEG' ('Sein und Zeit', 1927) on Heideggeri peateos. Traditsiooniliselt arvatakse, et B.i.V. loomist mõjutasid kaks raamatut: Brentano "Olemise tähendus Aristotelese järgi" ja Husserli loogilised uuringud. Esimene neist......
Filosoofia ajalugu: entsüklopeedia - (hilislat. intuitio, lat. intueor vaatlen tähelepanelikult) matemaatika ja loogika põhjendamise suund, mille järgi nende teaduste meetodite ja tulemuste vastuvõetavuse lõplik kriteerium on selgelt tähenduslik intuitsioon. Kogu matemaatika...
Filosoofiline entsüklopeedia Matemaatika määratletakse tavaliselt mõne selle traditsioonilise haru nimede loetlemisega. Esiteks on see aritmeetika, mis käsitleb arvude uurimist, nendevahelisi seoseid ja arvude opereerimisreegleid. Aritmeetika faktid võimaldavad erinevaid ... ...
Collieri entsüklopeedia Termin, mis varem ühendas erinevaid matemaatika harusid. lõpmatu väikese funktsiooni mõistega seotud analüüs. Kuigi lõpmata väikesearvulist meetodit (ühel või teisel kujul) on teadlased edukalt kasutanud Ja Vana-Kreeka keskaegne Euroopa Tõestusmeetod, mida iidsed matemaatikud kasutasid alade ja mahtude leidmiseks. Nimi kurnatusmeetod võeti kasutusele 17. sajandil. Tüüpilist I. m-i kasutavat tõestusskeemi saab tänapäevases tähistuses esitada järgmiselt: ... ...
lahendada...... - (hilislat. intuitio, lat. intueor vaatlen tähelepanelikult) matemaatika ja loogika põhjendamise suund, mille järgi nende teaduste meetodite ja tulemuste vastuvõetavuse lõplik kriteerium on selgelt tähenduslik intuitsioon. Kogu matemaatika...
- (ladina keelest absurdus, absurd, loll) absurdsus, vastuolu. Loogikas mõistetakse A.-d tavaliselt vastuolulise väljendina. Sellises väljendis kinnitatakse ja eitatakse midagi samaaegselt, nagu näiteks väites “Edevus on olemas ja edevus... ...
Vastuoluga tõendamise meetodi olemus koosneb kahest etapist. Esimene on tõestada tõestuse enda OLEMASOLU ja teine on tõestada tõestuse UNIKAALSUS. Kirjeldasin seda kohmakalt, kuid tahtsin öelda järgmist. Selle meetodi abil teoreemide tõestamisel peate näitama, et antud probleemile või teoreemile on lahendus, ja seejärel tõestama, et see lahendus on kordumatu. See ei ole ainus meetod, mida teoreemide tõestamisel kasutatakse, kuid matemaatilise ja loogilise vahendina pole see ka huvita.
Vastuoluga tõestamise meetodit ei kasutata ainult matemaatikas, kuigi see on saanud üsna palju laialt levinudüksikute probleemide ja teoreemide tõestamise vahendina.
Tegelikult on see loogiline meetod igasuguste väidete tõestamiseks, mida saab rakendada mis tahes teadmiste valdkonnas. Isegi humanitaarteadustes ja sotsiaalteadused. Tehnikateadustes tegeleme lihtsalt numbritega ja paljud inimesed on nende ikoonide olemasolus veendunud, kuid loogikamaailmas toimime järeldustega, mida ei saa kunagi pidada absoluutseks tõeks.
Seda tõendamismeetodit õppisime koolis keskastmes, kui nad võtavad aluseks mõne väite, mida ei saa kuidagi tõestada, selle asemel võetakse täpselt vastupidine väide ja tõestatakse, et see on vale, mistõttu me ei saa tõestada. tõsi ja see on selle probleemi ainus õige lahendus.
Elus me räägime millestki, me ei saa seda tõestada, vaid toome vastupidise näite ja tõestame, et see on vale: raha varastati peidukohast, Vasja ja Petja teadsid sellest, kuid Petjal oli alibi - ta läks. suvilasse terveks nädalaks, mis tähendab, et Vasya varastas raha.
Vastuoluga tõestamise meetod on meetod, mille puhul tõestamatu tõde saab tõeks ainult seetõttu, et alati on midagi muud valesti – ja just see on tõestatav. Sellest tulenevalt tõestasime selle meetodi tulemusel, ehkki kaudselt, tõestamatut tõde
See seadus põhineb topelteituse seadusel: kui A ei ole tõene, siis A on tõene.
Näiteks, mis arvate, kas teil on haavand? Selle kohtuotsuse ümberlükkamiseks tõestab teie arst teile, lükates ümber selle, milles olete kindel, see tähendab teie väite, ja ütleb, et teil ei ole haavandit, kuna gastroskoopia näitas, et maoõõnes kahjustusi ei ole. ärge kaotage kaalu ja võite süüa kõike, mida soovite.
Standardne tehnika, näiteks matemaatikas. On vaja tõestada väidet A. Ja see on raske. Seejärel võtavad nad täpselt vastupidise väite B ja tõestavad, et see on vale. Sellest järeldub, et A on tõsi. Elus on samamoodi. Lihtne näide: keegi ütleb: härra X on varas. Tema vastane: Aga kuidas seda tõestada? Esiteks: oletame, et ta on aus inimene. Teiseks: Jah, see on kanade mõnitamine! Esiteks: me oleme tõestanud, et X on varas :)))
lat. reductio ad absurdum) on tõestuse liik, milles teatud otsuse kehtivus (tõestuse tees) viiakse läbi sellega vastuolus oleva otsuse ümberlükkamise kaudu - antitees. Antiteesi ümberlükkamine saavutatakse, tuvastades selle kokkusobimatuse teadaoleva tõese väitega. Sageli põhineb vastuoluga tõendamine kahekordse väärtuse põhimõttel.
Suurepärane määratlus
Mittetäielik määratlus ↓
TÕEND VASTASTUD
kohtuotsuse põhjendamine "absurdiks taandamise" (reductio ad absurdum) meetodil ümberlükkamisega mõne muu otsusega, nimelt selle, mis on õigustatava eitus (D. tüübi punktist 1) või see, mis on õigustatud eitus (D. tüübi punktist 2); “reduktsioon absurdsusse” seisneb s.-l tuletamises ümberlükatud propositsioonist. ilmselgelt vale järeldus (näiteks formaalne loogiline vastuolu), mis viitab selle kohtuotsuse väärusele. Vajadus eristada kahte tüüpi D.-d kõrvallausest tuleneb tõsiasjast, et ühes neist (nimelt D.-s 1. tüüpi lausest) toimub loogiline üleminek kohtuotsuse kahekordselt eitamiselt selle kinnitamisele. otsustus (ehk nn topelteituste eemaldamise reegel, mis võimaldab üleminekut A-lt A-le, vt Topelteituse seadused), samas kui teises sellist üleminekut ei ole. Arutluskäik D. tüübi punktist 1: tuleb tõestada väide A; tõendamise eesmärgil eeldame, et otsus A on väär, s.t. et tema eitus on tõsi: ? (mitte-A), ja selle eelduse põhjal tuletame loogiliselt k.-l. valeotsus, nt. vastuolu, – viime läbi kohtuotsuse A “taandamise absurdsusse”; see viitab meie oletuse väärusele, s.t. tõestab topelteituse õigsust: A; topelteituse eemaldamise reegli rakendamine A-le lõpetab A propositsiooni tõestuse Arutluskäik D. 2. tüübi punktist: kas on nõutav propositsiooni tõestamine?; tõendamise eesmärgil eeldame, et otsus A on tõene ja taandame selle oletuse absurdsusele; selle põhjal järeldame, et A on väär, s.t. mis on tõsi?. Kahe loogikatüübi eristamine p-st on oluline, sest nn intuitsionistlikus (konstruktiivses) loogikas ei toimu topelteituse eemaldamise seadust, mille tulemusena p-st sisuliselt seotud argumendid loogiline seadus ei ole lubatud. Vt ka kaudsed tõendid. Lit.: Tarski?., Sissejuhatus deduktiivteaduste loogikasse ja metodoloogiasse, tlk. inglise keelest, M., 1948; Asmus V.F., Loogikaõpetus tõestamisest ja ümberlükkamisest, [M.], 1954; Kleene S.K., Sissejuhatus metamatemaatikasse, tlk. inglise keelest, M., 1957; Kirik?., Sissejuhatus matemaatikasse. loogika, trans. inglise keelest, [kd.] 1, M., 1960.
Vastuoluga tõestamine on matemaatikas võimas ja sageli kasutatav meetod. Eeldades, et mingi fakt (objekt) on tõene (olemas), ja jõudnud vastuolule, järeldame, et fakt on vale (objekti ei eksisteeri). Vaatame mõnda näidet.
Eukleidese teoreem lõpmatuse kohta algarvud on klassikaline ja lihtsaim vastuoluline argument:
Suurimat algarvu pole olemas.
: See ei tohi nii olla ja suurim algarv on olemas. Ehitame numbri. See ei jagu ühegi ega rohkemaga kui. Oleme jõudnud vastuoluni, seega pole suurimat algarvu (objektina!) olemas ja algarve on lõpmatult palju.
Pange tähele, et see ei pruugi olla algtegur, kuna selle algtegur võib olla vahemikus ja , kuid see on siiski suur.
Irratsionaalsuse teoreemPole olemas looduslikke ja selliseid
.
: Las see ei ole nii. Vähendame , , ja kõik ruudu ühiseid tegureid: . Sellest järeldub, et on paarisarv, järelikult on ta ka paaris ja esitatav mõne naturaalarvu, näiteks , abil. Asendades algse suhte, saame , ja seega isegi. Kuid see on vastuolus tõsiasjaga, et oleme vähendanud kõiki ühiseid tegureid, mis tähendab, et selliseid tegureid pole olemas.
Mõlema tõendi psühholoogiline veenvus on väljaspool kahtlust. Siiski tuleb meeles pidada, et olles saanud vastuolu, ei tõesta me seda alati me tahame tõestama. Vastuolu ei tähenda tingimata, et algne eeldus on vale. Selle võib anda mis tahes tõestuses kasutatud väitega. Eriti palju on neid irratsionaalsusteoreemis. Need on aga nii “ilmselged”, et peame esialgset eeldust ekslikuks.
On näha, et ülaltoodud teoreemide tõestusskeem on sama. Näitame, et mõnda objekti ei eksisteeri, kui selle olemasolu oletus toob kaasa vastuolu.
Juuksuri probleem. Teatud külas ajavad kõik mehed habet kas ise või neil on juuksur. Juuksur (mees) raseerib ainult neid, kes ise ei raseeri. Sõnastame teoreemi:
Juuksur ajab end habet.
Las see pole nii ja juuksur ei raseeri ennast. Siis peab juuksur teda raseerima. Nii et juuksur ajab end habet.
Olles teinud teoreemi eituse ja saanud vastuolu, peame jõudma järeldusele, et teoreem on tõene. Kuid on täiesti selge, et see pole nii ja me saame konstrueerida mitte ainult vastupidise tõendi, vaid ka otsese: "kui juuksur ajab end habet, siis ei saa ta habet ajada juuksuri juures...". Sel juhul saame jällegi vastuolu.
Ülaltoodud rangete reeglitega küla kirjeldus tuleneb Bertrand Russellist kui populaarsest sõnastusest probleemidest, mis tekivad püüdes määratleda"Kõigi nende komplektide kogum, mis ei sisalda ennast oma elemendina." Esitasime tahtlikult ilmse paradoksi teoreemi kujul, et näidata lihtsat fakti:
Tõestuses vastuolu saamine vastuolu abil võib näidata mitte teoreemi tõesust, vaid selle sõnastuses osalevate objektide vastuolu.Teisisõnu ei saa öelda: "võtame kõigi hulkade hulk..." ja tõestada "teoreem, et..." Esiteks peate veenduma, et teoreemis käsitletav objekt on olemas. Eelkõige ei saa Russelli kirjeldatud küla eksisteerida. Muidugi tekib küsimus - "mida tähendab eksisteerida või mitte eksisteerida ja kus mitte eksisteerida?" Eespool on määratletud objekt ja me saame seda kasutada uute objektide ja nende kohta teoreemide koostamisel...
Asi on selles, et matemaatiline arutlus lähtub otseselt või kaudselt teatud aksioomidest. Just aksioomid määravad objekti omadused. Kui muudate fikseeritud aksioomisüsteemis vähemalt ühte aksioomi, võite saada täiesti erinevate omadustega objekti. On selge, et suvaliselt aksioome seada on võimatu. Nad ei tohiks olla vastuoluline, vastasel juhul ei määratleta ühtegi objekti. Ehk teisisõnu – vastuoluliste aksioomidega määratletud objekti ei eksisteeri.
Formaalsete aksiomaatiliste süsteemide elemente käsitleme põhjalikumalt järgmises osas, kus analüüsime taas juuksuri probleemi. Vaatame nüüd sama paradoksi teist versiooni.
Raamatukoguhoidja probleem. Seal on raamatukogu raamatutega. Iga raamat oma tekstis võib ennast mainida (näiteks anda oma pealkiri viidete loendis). Vastavalt sellele võib kõik raamatud jagada kahte rühma. Esimesse kuuluvad raamatud, mis ei viita iseendale, ja teine sisaldab raamatuid, mis viitavad iseendale. Lisaks on kaks raamatut, mis on kõigi raamatukogus olevate raamatute kataloogid. Esimene kataloog loetleb kõik need raamatud, mis ei viita iseendale, ja teine, vastupidi, loetleb kõik raamatud, mis viitavad iseendale:
Sõnastame nüüd teoreemi:
Esimene kataloog sisaldabraamatuloendis endas.
Las see ei ole nii. Seejärel sisaldub esimene kataloog teises (kõik raamatud on loetletud mõlemas kataloogis ja kataloog on raamat). Kuid teises kataloogis on loetletud ainult enesele viitavad raamatud ja esimene kataloog ei saa seal olla. Oleme jõudnud vastuoluni, järelikult on teoreem tõene.
Kui me selles etapis peatume, teeme sihilikult vale järelduse. On selge, et esimene kataloog ei saa viidata iseendale (see on mitte-iseviiteraamatute kataloog). Nagu juuksuri puhul, saame läbi viia nii pöördtõestuse (vastuoluliselt) kui ka otsese. Ja mõlemal korral tekib vastuolu.
Mida see ütleb? On selge, et see ei puuduta teoreemi tõesust ega väärust. Uskudes, et kaks erinevat tõestust peavad alati viima sama asjani, oleme sunnitud järeldama: Raamatukogu objekt, määratud omadustega, ei saa eksisteerida.
Igasugune viide algsete määratluste "loomulikkusele" või "nähtavale mittevastuolule" ei ole matemaatiku vääriline, sest need on juba emotsioonid. Ainus võimalus on püüda eemalduda psühholoogilistest sõnastustest ja tõenditest formaalsetele.
Valetaja paradoks. Kogu matemaatika koosneb loogilistest väidetest. Pealegi on matemaatika loogika binaarne. Väide "" on kas tõene või väär. Kolmandat võimalust pole. Just see binaarsus annab matemaatilise tõestuse imelisest veenvusest, mille nimel kõik alguse sai. Tutvustame tähistust, et teatud loogiline väide on tõene:
.Nimetus pole tegelikult vajalik, kuna mõne väite aksioomi või eeldusena kirja pannes eeldame selle tõesust. See märge on aga järgmise jaoks mugav. Defineerimeöeldes:
kus "" on loogiline eitusmärk ja pärast koolonit määratlus kooskõlastused See on valetaja paradoksi variant: "-tõsi, kui mitte." Sõnastame järgmise teoreemi:Väide L on tõene: L=I.olgu L=L => Tõene(L)=L => L=Tõene(L)=I.
(Edaspidi tähendab "" loogilist järeldust; "I" - tõene, "L" - vale). Vastuoluga tõestamisel oleme jõudnud vastuoluni. Seetõttu ei ole esialgne eeldus tõene ja seetõttu on teoreem tõene. Siiski on selge, et see pole nii. Tõestust saame läbi viia edasisuunas.