Tunni eesmärk: Tõesta alade omadus sarnased kolmnurgad ja näidata selle praktilist tähtsust probleemide lahendamisel.
Tunni eesmärgid:
õpetamine – tõestada sarnaste kolmnurkade pindalade omadust ja näidata selle praktilist tähtsust ülesannete lahendamisel;
arendav - arendada oskust analüüsida ja valida argumente probleemi lahendamisel, mille lahendamise meetod on teadmata;
hariv – kasvatada sisu kaudu huvi aine vastu haridusprotsess ja edusituatsiooni loomine, grupis töötamise oskuse arendamine.
Õpilasel on järgmised teadmised:
Tegevuse sisu ühik, mida õpilased peavad õppima:
Tunni edenemine.
1. Organisatsioonimoment.
2. Teadmiste uuendamine.
3. Probleemse olukorraga töötamine.
4. Tunni kokkuvõte ja salvestus kodutöö, peegeldus.
Õppemeetodid: verbaalne, visuaalne, probleemiotsing.
Koolituse vormid: frontaaltöö, töö minirühmades, individuaalne ja iseseisev töö.
Tehnoloogiad: ülesandele orienteeritud, infotehnoloogia, pädevuspõhine lähenemine.
Varustus:
arvuti, projektor esitluste demonstreerimiseks, interaktiivne tahvel, dokumendikaamera;
arvutiesitlus Microsoft PowerPointis;
toetav kokkuvõte;
Tunni edenemine
1. Organisatsioonimoment.
Tänases tunnis töötame mitte vihikutes, vaid viitemärkmetes, mille täidate kogu õppetunni jätkuks. Allkirjastage see. Tunni hinne koosneb kahest komponendist: toetavate märkmete ja tunnis aktiivse töö eest.
2. Õpilaste teadmiste täiendamine. Ettevalmistus aktiivseks õppe- ja tunnetustegevuseks tunni põhietapil.
Jätkame teema "kolmnurkade sarnasus" uurimist. Nii et meenutagem, mida me viimases tunnis õppisime.
Teoreetiline soojendus. Test. Teie viitemärkmetes on esimene ülesanne katselise iseloomuga. Vastake küsimustele, valides ühe pakutud vastusevariantidest ja sisestage vajadusel oma vastus.
Õpetaja: Kuidas nimetatakse kahe segmendi suhet?
Vastus: Kahe segmendi kahe segmendi suhe on nende pikkuste suhe.
Õpetaja: Millisel juhul on segmendidAB Ja CDproportsionaalne segmentidegaA 1 B 1 ja C 1 D 1
Vastus: segmendid AB Ja CDproportsionaalne segmentidegaA 1 B 1 ja C 1 D 1 kui
Teie valikud. Hästi. Ärge unustage parandada kõiki, kellel on viga.
Õpetaja: Kas määratleda sarnased kolmnurgad? Vaadake oma viitemärkust. Sellele küsimusele vastamiseks on teil kolm võimalust. Valige õige. Tee sellele ring ümber.
Nii et palun, millise variandi te valisite_______
Vastus: Kaht kolmnurka nimetatakse sarnasteks, kui nende nurgad on vastavalt võrdsed ja ühe kolmnurga küljed on võrdelised teise kolmnurga külgedega.
Hästi tehtud! Parandage igaüks, kellel on viga.
Õpetaja: Kui suur on kahe võrdse nurgaga kolmnurga pindalade suhe?
Vastus: Kui ühe kolmnurga nurk on võrdne teise kolmnurga nurgaga, siis on nende kolmnurkade pindalad seotud võrdseid nurki ümbritsevate külgede korrutisega.
Ülesannete lahendamine valmisjooniste abil.Järgmisena toimub meie soojendus, lahendades probleeme valmis jooniste abil. Neid ülesandeid näete ka oma viitemärkmetes.
Peegeldus. Teeme selgeks, millised teadmised ja oskused võimaldasid meil neid probleeme lahendada. Milliseid lahendusviise kasutasime (vastuste märkimine tahvlile).
Võimalikud vastused:
Sarnaste kolmnurkade määramine;
Sarnaste kolmnurkade definitsiooni rakendamine ülesannete lahendamisel;
Teoreem võrdsete nurkadega kolmnurkade pindalade suhte kohta;
Ja nüüd pakun välja lahenduse mitmele probleemile, millel on küll midagi ühist tunni teemaga, kuid need on rohkem seotud geograafiaga.
Edu olukord.
Esimene ülesanne on teie ees. Me tegeleme selle probleemiga ise. Esimene, kes selle lahendab, näitab oma lahendust tahvlil ja keegi teine demonstreerib oma lahendust läbi dokumendikaamera, nii et kirjutame ilusti ja täpselt.
Vastus: Bermuda kolmnurga küljed on 2000 km, 1840 km, 2220 km. Piiri pikkus on 6060 km.
Peegeldus.
Võimalik vastus: Sarnastel kolmnurkadel on sarnased küljed, mis on proportsionaalsed.
Edu olukord.
Mõõtudega Bermuda kolmnurk me arvasime selle välja. Noh, nüüd uurime välja lillepeenra mõõdud. Selle ümber pööramine toetavad märkmed. Teine ülesanne. Selle probleemi lahendame paaristööga. Kontrollime sarnaselt, kuid ainult tulemuse esitab ülesande esimene paar.
Vastus: kolmnurkse lillepeenra küljed on 10m ja 11m 20 cm.
Niisiis, vaatame asja üle. Kas kõik on nõus? Kes otsustas teisiti?
Peegeldus.
Millist tegevusmeetodit kasutasite selle probleemi lahendamiseks? Kirjutage see oma viitemärkmesse.
Võimalik vastus:
sarnastel kolmnurkadel on võrdsed vastavad nurgad;
Võrdsete nurkadega kolmnurkade pindalad on võrdsete nurkadega külgede korrutis.
Ebaõnnestumise olukord.
5. Uue materjali õppimine.
Kolmanda ülesande lahendamisel seisavad õpilased silmitsi probleemiga. Nad ei suuda probleemi lahendada, sest nende arvates sellest ei piisa täielik seisukordülesandeid või saada ebamõistliku vastuse.
Õpilased ei olnud seda tüüpi probleemiga varem kokku puutunud, mistõttu tekkis ülesande lahendamisel ebaõnnestumine.
Peegeldus.
Millist meetodit proovisite lahendada?
Miks sa ei suutnud viimast võrrandit lahendada?
Õpilased: Me ei leia kolmnurga pindala, kui on teada ainult sarnase kolmnurga pindala ja sarnasuskordaja.
Seega meie tunni eesmärk Leidke kolmnurga pindala, kui on teada ainult sarnase kolmnurga pindala ja sarnasuskoefitsient.
Sõnastame probleemi ümber geomeetriliseks keeleks. Lahendame selle ja pöördume siis selle probleemi juurde tagasi.
Järeldus: Sarnaste kolmnurkade pindalade suhe on võrdne sarnasuskoefitsiendi ruuduga.
Noh, pöördume nüüd tagasi ülesande nr 3 juurde ja lahendame selle tõestatud fakti põhjal.
7. Tunni kokkuvõte
Mida uut sa täna tegema õppisid?
Lahendage ülesanded, mille puhul on teada ühe sarnase kolmnurga sarnasuskoefitsient ja pindala.
Milline geomeetriline omadus meid selles aitas?
Sarnaste kolmnurkade pindalade suhe on võrdne sarnasuskoefitsiendi ruuduga.
Kodutöö.
Lk 58 lk 139 nr 546, 548
Loominguline ülesanne.
Leia, milline on kahe sarnase kolmnurga ümbermõõtude suhe (nr 547)
Hüvasti.
VIII PEATÜKK.
SUURUSTE PROPORTSIONAALSUS. KUJUDE SARASUS.
§ 92. SARNASTE KUJUDE PINDALA SUHE.
1. Ruudude pindalade suhe.
Mõelge kahe ruudu pindalade suhtele. Kui me tähistame ühe ruudu külge T, ja teine pool - läbi n, siis on alad vastavalt võrdsed
T 2 ja n 2 (joonis 379).
Tähistades esimese ruudu pindala S-ga ja teise ruudu pindala S-ga, saame: S / S" = m 2 / n 2, st ruutude pindalad on seotud nende külgede ruutudega.
Saadud valemit saab teisendada järgmiselt: S / S" = ( m / n) 2 .
See tähendab, et võime öelda, et kahe ruudu pindalade suhe on võrdne nende külgede suhte ruuduga.
Joonisel 379 on ruutude külgede suhe 3, nende pindalade suhe on
3 2 = 9.
2. Kahe sarnase kolmnurga pindalade suhe.
Lase /\
ABC /\
A"B"C" (joonis 380). Kolmnurkade sarnasusest järeldub, et
/
A= /
A" /
B= /
B" ja /
C = /
C". Lisaks AB / A"B" = BC / B"C" = AC / A"C".
Nendes kolmnurkades tõmbame tippudest B ja B" kõrgused ja tähistame neid h Ja h". Esimese kolmnurga pindala on võrdne vahelduvvooluga h/ 2 ja teise kolmnurga pindala on A"C" h" / 2 .
Tähistades esimese kolmnurga pindala tähega S ja teise pindala S" saame: S / S" = AC h/A"C" h" või S/S" = AC/A"C" h / h"
Kolmnurkade ABO ja A"B"O" sarnasusest (need on sarnased, kuna on ristkülikukujulised ja lisaks on neil mõlemal võrdne teravnurk, nimelt /
A= /
A") järgmine:
h / h"= AB / A"B" . Kuid AB / A"B" = AC / A"C". Seega h / h"= AC / A"C" . Asendades valemis S / S" = AC / A"C" h / h" suhtumine h / h" võrdub sellega suhtega AC / A"C", saame:
S / S" = AC / A"C" AC / A"C" või .
Niisiis, sarnaste kolmnurkade pindalad on seotud sarnaste külgede ruutudena .
Saadud valemit saab teisendada järgmiselt: S / S" = (AC / A"C") 2.
See tähendab, et võime öelda, et kahe sarnase kolmnurga pindalade suhe on võrdne nende sarnaste külgede suhte ruuduga.
3. Sarnaste hulknurkade pindalade suhe.
Olgu ABCDE ja A"B"C"D"E sarnased hulknurgad (joonis 381).
On teada, et /\
ABC /\
A"B"C"; /\
ACD /\
A"C"D" ja /\
ADE /\
A"D"E" (§90).
Pealegi,
;
Kuna nende proportsioonide teised suhted on võrdsed, mis tuleneb hulknurkade sarnasusest, siis
Kasutades võrdsete suhete rea omadust, saame:
Või 
kus S ja S" on nende sarnaste hulknurkade alad.
Seega Sarnaste hulknurkade pindalad on seotud sarnaste külgede ruutudena.
Saadud valemi saab teisendada järgmisele kujule: S / S" = (AB / A"B") 2
Harjutused.
1. Esimese ruudu külg on 2 korda suurem kui teise ruudu külg (5 korda). Mitu korda on esimese ruudu pindala suurem kui teise ruudu pindala?
2. Esimese ruudu külg on 1/3 (0,1) teise ruudu küljest. Kui suur osa esimese ruudu pindalast on teise ruudu pindala?
3. Sarnasuskoefitsient sarnastel hulknurkadel on 4 (1 / 5; 0,4; 2,5). Milline on nende pindalade suhe?
4. Sarnaste hulknurkade pindalade suhe on 36 (100; 0,09). Milline on nende hulknurkade sarnaste külgede suhe?
õpetaja:.
Tunni tüüp:õppetund uue materjali tutvustamiseks.
Tunni eesmärk: Tõesta sarnaste kolmnurkade pindalade omadust ja näita selle praktilist tähtsust ülesannete lahendamisel.
Tunni eesmärgid:
- õpetamine – tõestada sarnaste kolmnurkade pindalade omadust ja näidata selle praktilist tähtsust ülesannete lahendamisel; arendav - arendada oskust analüüsida ja valida argumente probleemi lahendamisel, mille lahendamise meetod on teadmata; kasvatuslik - kasvatada huvi aine vastu läbi õppeprotsessi sisu ja edusituatsiooni loomise, kasvatada rühmas töötamise oskust.
Õpilasel on järgmised teadmised:
1. Sarnaste kolmnurkade definitsioon;
2. Sarnaste kolmnurkade definitsiooni rakendamine ülesannete lahendamisel;
3. Lause võrdsete nurkadega kolmnurkade pindalade suhte kohta;
Tegevuse sisu ühik, mida õpilased peavad õppima:
Tunni edenemine.
1. Organisatsioonimoment.
2. Teadmiste uuendamine.
3. Probleemse olukorraga töötamine.
4. Tunni kokkuvõtte tegemine ja kodutöö salvestamine, refleksioon.
Õppemeetodid: verbaalne, visuaalne, probleemiotsing.
Treeningu vormid: frontaaltöö, töö minirühmades, individuaalne ja iseseisev töö.
Tehnoloogiad:ülesandekeskne, infotehnoloogia, kompetentsipõhine lähenemine.
Varustus:
- arvuti, projektor esitluste demonstreerimiseks, interaktiivne tahvel, dokumendikaamera; arvutiesitlus Microsoft PowerPointis; toetav kokkuvõte;
Tunni edenemine
1. Organisatsioonimoment.
Tere poisid! Istu maha. Täna on meil ebatavaline õppetund. Meie tunnis on külalised. Palun pöörake ümber ja tervitage neid noogutusega. Aitäh poisid. Istu maha.
Tänases tunnis töötame mitte vihikutes, vaid viitemärkmetes, mille täidate kogu õppetunni jätkuks. Allkirjastage see. Tunni hinne koosneb kahest komponendist: toetavate märkmete ja tunnis aktiivse töö eest.
2. Õpilaste teadmiste täiendamine. Ettevalmistus aktiivseks õppe- ja tunnetustegevuseks tunni põhietapil.
Jätkame teema "kolmnurkade sarnasus" uurimist. Nii et meenutagem, mida me viimases tunnis õppisime.
Teoreetiline soojendus. Test. Teie viitemärkmetes on esimene ülesanne katselise iseloomuga. Vastake küsimustele, valides ühe pakutud vastusevariantidest ja sisestage vajadusel oma vastus.
1) Õpetaja:Kuidas nimetatakse kahe segmendi suhet?
Vastus: Kahe segmendi kahe segmendi suhe on nende pikkuste suhe.
2) Õpetaja:Millisel juhul on segmendidAB JaCDproportsionaalne segmentidegaA1 B1 JaC1 D1
Vastus: segmendidAB JaCDproportsionaalne segmentidegaA1 B1 JaC1 D1 , Kui
Teie valikud. Hästi. Ärge unustage parandada kõiki, kellel on viga.
3) Õpetaja: Kas määratleda sarnased kolmnurgad? Vaadake oma viitemärkust. Sellele küsimusele vastamiseks on teil kolm võimalust. Valige õige. Tee sellele ring ümber.
Nii et palun, millise variandi te valisite_______
Vastus: Kaht kolmnurka nimetatakse sarnasteks, kui nende nurgad on vastavalt võrdsed ja ühe kolmnurga küljed on võrdelised teise kolmnurga külgedega.
Hästi tehtud! Parandage igaüks, kellel on viga.
4) Õpetaja: Kui suur on kahe võrdse nurgaga kolmnurga pindalade suhe?
Vastus: Kui ühe kolmnurga nurk on võrdne teise kolmnurga nurgaga, siis on nende kolmnurkade pindalad seotud võrdseid nurki ümbritsevate külgede korrutisega.
Ülesannete lahendamine valmisjooniste abil. Järgmisena toimub meie soojendus, lahendades probleeme valmis jooniste abil. Neid ülesandeid näete ka oma viitemärkmetes.
https://pandia.ru/text/80/368/images/image005_101.gif" width="480" height="360">
Vastus: Bermuda kolmnurga küljed on 2000 km, 1840 km, 2220 km. Piiri pikkus on 6060 km.
Peegeldus.
Võimalik vastus: Sarnastel kolmnurkadel on sarnased küljed, mis on proportsionaalsed.
2. Edu olukord.
Arvutasime välja Bermuda kolmnurga mõõtmed. Noh, nüüd uurime välja lillepeenra mõõdud. Pöörame tuginoodid ümber. Teine ülesanne. Selle probleemi lahendame paaristööga. Kontrollime sarnaselt, kuid ainult tulemuse esitab ülesande esimene paar.
Vastus: kolmnurkse lillepeenra küljed on 10m ja 11m 20 cm.
Niisiis, vaatame asja üle. Kas kõik on nõus? Kes otsustas teisiti?
Peegeldus.
Millist tegevusmeetodit kasutasite selle probleemi lahendamiseks? Kirjutage see oma viitemärkmesse.
Võimalik vastus:
· sarnastel kolmnurkadel on võrdsed vastavad nurgad;
· Võrdsete nurkadega kolmnurkade pindalad on võrdsete nurkadega külgede korrutis.
3. Ebaõnnestumise olukord.
5. Uue materjali õppimine.
Kolmanda ülesande lahendamisel seisavad õpilased silmitsi probleemiga. Nad ei suuda probleemi lahendada, sest nende hinnangul ei ole probleemi tingimused piisavalt täielikud või saavad alusetu vastuse.
Õpilased ei olnud seda tüüpi probleemiga varem kokku puutunud, mistõttu tekkis ülesande lahendamisel ebaõnnestumine.
Peegeldus.
Millist meetodit proovisite lahendada?
Miks sa ei suutnud viimast võrrandit lahendada?
Õpilased: Me ei leia kolmnurga pindala, kui on teada ainult sarnase kolmnurga pindala ja sarnasuskordaja.
Seega meie tunni eesmärk Leidke kolmnurga pindala, kui on teada ainult sarnase kolmnurga pindala ja sarnasuskoefitsient.
Sõnastame probleemi ümber geomeetriliseks keeleks. Lahendame selle ja pöördume siis selle probleemi juurde tagasi.
Järeldus: sarnaste kolmnurkade pindalade suhe on võrdne sarnasuskoefitsiendi ruuduga.
Noh, pöördume nüüd tagasi ülesande nr 3 juurde ja lahendame selle tõestatud fakti põhjal.
7. Tunni kokkuvõte
Mida uut sa täna tegema õppisid?
Lahendage ülesanded, mille puhul on teada ühe sarnase kolmnurga sarnasuskoefitsient ja pindala.
Milline geomeetriline omadus meid selles aitas?
Sarnaste kolmnurkade pindalade suhe on võrdne sarnasuskoefitsiendi ruuduga.
Kodutöö.
Lk 58 lk 139 nr 000, 548
Loominguline ülesanne.
Leia, milline on kahe sarnase kolmnurga ümbermõõtude suhe (nr 000)
Proportsionaalsed segmendid
Sarnasuse mõiste tutvustamiseks peame esmalt meelde tuletama proportsionaalsete segmentide mõiste. Meenutagem ka kahe segmendi suhte määratlust.
Definitsioon 1
Kahe segmendi suhe on nende pikkuste suhe.
Segmentide proportsionaalsuse kontseptsioon kehtib ka rohkem segmendid. Olgu näiteks $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, siis
See tähendab, et segmendid $AB$, $A_1B_1$, $\A_2B_2$ on võrdelised segmentidega $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.
Sarnased kolmnurgad
Tuletagem esmalt meelde, mida sarnasuse mõiste üldiselt esindab.
3. definitsioon
Kujundeid nimetatakse sarnasteks, kui neil on sama kuju, kuid erinevad suurused.
Nüüd mõistame sarnaste kolmnurkade mõistet. Mõelge joonisele 1.
Joonis 1. Kaks kolmnurka
Olgu nendel kolmnurkadel $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Tutvustame järgmist määratlust:
4. määratlus
Kahe kolmnurga külgi nimetatakse sarnasteks, kui need asetsevad nende kolmnurkade võrdsete nurkade vastas.
Joonisel 1 on küljed $AB$ ja $A_1B_1$, $BC$ ja $B_1C_1$, $AC$ ja $A_1C_1$ sarnased. Tutvustame nüüd sarnaste kolmnurkade määratlust.
Definitsioon 5
Kaht kolmnurka nimetatakse sarnasteks, kui ühe kolmnurga kõigi nurkade nurgad on vastavalt võrdsed teise ja kolmnurga nurkade nurgad ning nende kolmnurkade kõik sarnased küljed on võrdelised, st.
\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]
Joonisel 1 on näidatud sarnased kolmnurgad.
Nimetus: $ABC\sim A_1B_1C_1$
Sarnasuse mõiste jaoks on olemas ka sarnasuse koefitsiendi mõiste.
Definitsioon 6
Arvu $k$, mis võrdub sarnaste arvude sarnaste külgede suhtega, nimetatakse nende arvude sarnasuskoefitsiendiks.
Sarnaste kolmnurkade pindalad
Vaatleme nüüd sarnaste kolmnurkade pindalade suhte teoreemi.
1. teoreem
Kahe sarnase kolmnurga pindalade suhe on võrdne sarnasuskoefitsiendi ruuduga, st
\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]
Tõestus.
Vaatleme kahte sarnast kolmnurka ja tähistame nende pindalasid vastavalt $S$ ja $S_1$ (joonis 2).
Joonis 2.
Selle teoreemi tõestamiseks tuletage meelde järgmine teoreem:
2. teoreem
Kui ühe kolmnurga nurk on võrdne teise kolmnurga nurgaga, on nende pindalad seotud selle nurgaga külgnevate külgede korrutisega.
Kuna kolmnurgad $ABC$ ja $A_1B_1C_1$ on sarnased, siis definitsiooni järgi $\angle A=\angle A_1$. Seejärel saame teoreemi 2 abil selle
Kuna $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$, saame
Teoreem on tõestatud.
Kolmnurga sarnasuse mõistega seotud probleemid
Näide 1
Antud sarnased kolmnurgad $ABC$ ja $A_1B_1C_1.$ Esimese kolmnurga küljed on $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Nende kolmnurkade sarnasuskoefitsient on $k=2$. Leidke teise kolmnurga küljed.
Lahendus.
Sellel probleemil on kaks võimalikku lahendust.
Olgu $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$.
Siis $A_1B_1=kAB,\ (B_1C)_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.
Seetõttu $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$
Olgu $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$
Siis $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$.
Seetõttu $A_1B_1=1,\ (B_1C)_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.
Näide 2
Antud sarnased kolmnurgad $ABC$ ja $A_1B_1C_1.$ Esimese kolmnurga külg on $AB=2$, teise kolmnurga vastav külg on $A_1B_1=6$. Esimese kolmnurga kõrgus on $CH=4$. Leidke teise kolmnurga pindala.
Lahendus.
Kuna kolmnurgad $ABC$ ja $A_1B_1C_1$ on sarnased, siis $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$.
Leiame esimese kolmnurga pindala.
Teoreemi 1 järgi on meil:
\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \