Olemas suur hulk silindriga seotud probleemid. Nendes peate leidma kere raadiuse ja kõrguse või selle sektsiooni tüübi. Lisaks peate mõnikord arvutama silindri pindala ja selle mahu.
Milline korpus on silinder?
Teadmistes kooli õppekava uuritakse ringikujulist silindrit, st ühte aluses. Kuid eristub ka selle kuju elliptiline välimus. Nime järgi on selge, et selle alus on ellips või ovaal.
Silindril on kaks alust. Need on üksteisega võrdsed ja on ühendatud segmentidega, mis ühendavad aluste vastavad punktid. Neid nimetatakse silindri generaatoriteks. Kõik generaatorid on üksteisega paralleelsed ja võrdsed. Need moodustavad keha külgpinna.
Üldiselt on silinder kaldus korpus. Kui generaatorid moodustavad alustega täisnurga, siis räägime sirgest figuurist.
Huvitaval kombel on ümmargune silinder pöördeline keha. See saadakse ristküliku pööramisel ümber selle ühe külje.
Silindri põhielemendid
Silindri põhielemendid näevad välja sellised.
- Kõrgus. See on lühim vahemaa silindri aluste vahel. Kui see on sirge, langeb kõrgus kokku generatrixiga.
- Raadius. Ühttub alusele joonistatavaga.
- Telg. See on sirgjoon, mis sisaldab mõlema aluse keskpunkte. Telg on alati paralleelne kõigi generaatoritega. Sirges silindris on see alustega risti.
- Aksiaalne sektsioon. See tekib siis, kui silinder lõikub telge sisaldava tasapinnaga.
- Puutetasand. See läbib ühte generatriksi ja on risti telglõikega, mis tõmmatakse läbi selle generatriksi.
Kuidas on prismaga ühendatud silinder sellesse sisse kirjutatud või selle ümber kirjeldatud?
Mõnikord on probleeme, mille puhul peate arvutama silindri pindala, kuid mõned seotud prisma elemendid on teada. Kuidas need arvud omavahel seotud on?
Kui prisma on kantud silindrisse, siis on selle alused võrdsed hulknurgad. Veelgi enam, need on kirjutatud silindri vastavatesse alustesse. Prisma külgmised servad langevad kokku generaatoritega.
Kirjeldatud prisma põhjas on korrapärased hulknurgad. Neid kirjeldatakse silindri ringide ümber, mis on selle alused. Tasapinnad, mis sisaldavad prisma tahkusid, puudutavad silindrit piki oma generaatoreid.
Parempoolse ringikujulise silindri külgpinna ja aluse piirkonnas
Kui külgpind lahti keerate, saate ristküliku. Selle küljed langevad kokku generatrixi ja aluse ümbermõõduga. Seetõttu on silindri külgpindala võrdne nende kahe koguse korrutisega. Kui kirjutate valemi üles, saate järgmise:
S-külg = l * n,
kus n on generaator, l on ümbermõõt.
Lisaks arvutatakse viimane parameeter järgmise valemi abil:
l = 2 π * r,
siin r on ringi raadius, π on arv "pi", mis on võrdne 3,14.
Kuna alus on ring, arvutatakse selle pindala järgmise avaldise abil:
S peamine = π * r 2 .
Parempoolse ümmarguse silindri kogu pinna alale
Kuna selle moodustavad kaks alust ja külgpind, tuleb need kolm kogust lisada. See tähendab, et silindri kogupindala arvutatakse järgmise valemi abil:
S korrus = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .
Sageli kirjutatakse see erineval kujul:
S korrus = 2 π * r (n + r).
Kaldus ringikujulise silindri aladel
Mis puutub alustesse, siis kõik valemid on samad, sest need on ikkagi ringid. Kuid külgpind ei anna enam ristkülikut.
Külgpinna arvutamiseks kaldega silinder peate korrutama generaatori väärtused ja sektsiooni perimeetri, mis on valitud generaatoriga risti.
Valem näeb välja selline:
S külg = x * P,
kus x on silindri generatriksi pikkus, P on sektsiooni ümbermõõt.
Muide, parem on valida lõik, mis moodustab ellipsi. Seejärel lihtsustatakse selle perimeetri arvutusi. Ellipsi pikkus arvutatakse valemi abil, mis annab ligikaudse vastuse. Kuid sageli piisab koolikursuse ülesannete täitmiseks:
l = π * (a + b),
kus “a” ja “b” on ellipsi poolteljed, st kaugus keskpunktist lähima ja kaugema punktini.
Kogu pinna pindala tuleb arvutada järgmise avaldise abil:
S korrus = 2 π * r 2 + x * R.
Millised on parempoolse ringikujulise silindri osad?
Kui sektsioon läbib telge, määratakse selle pindala generatriksi ja aluse läbimõõdu korrutisena. Seda seletatakse asjaoluga, et sellel on ristküliku kuju, mille küljed langevad kokku määratud elementidega.
Teljega paralleelse silindri ristlõikepindala leidmiseks vajate ka ristküliku valemit. Selles olukorras langeb selle üks külg endiselt kõrgusega kokku ja teine on võrdne aluse kõõluga. Viimane langeb kokku aluse joonega.
Kui lõik on teljega risti, näeb see välja nagu ring. Pealegi on selle pindala sama, mis joonise aluse pindala.
Samuti on võimalik ristuda telje suhtes mingi nurga all. Seejärel tekib ristlõike tulemusena ovaal või selle osa.
Näidisprobleemid
Ülesanne nr 1. Antud on sirge silinder, mille aluspind on 12,56 cm 2 . Kui selle kõrgus on 3 cm, on vaja arvutada silindri kogupindala.
Lahendus. Ringkirja kogupindala jaoks on vaja kasutada valemit sirge silinder. Kuid sellel puuduvad andmed, nimelt aluse raadius. Kuid ringi pindala on teada. Selle järgi on raadiust lihtne arvutada.
Selgub, et see on võrdne jagatise ruutjuurega, mis saadakse aluse pindala jagamisel pi-ga. Pärast 12,56 jagamist 3,14-ga on tulemuseks 4. Ruutjuur 4-st on see 2. Seetõttu on raadiusel täpselt see väärtus.
Vastus: S-korrus = 50,24 cm 2.
Ülesanne nr 2. 5 cm raadiusega silinder lõigatakse teljega paralleelse tasapinnaga. Kaugus sektsioonist teljeni on 3 cm Silindri kõrgus on 4 cm. Peate leidma ristlõike pindala.
Lahendus. Ristlõike kuju on ristkülikukujuline. Selle üks külg langeb kokku silindri kõrgusega ja teine on võrdne kõõluga. Kui esimene kogus on teada, siis tuleb leida teine.
Selleks tuleb teha lisaehitus. Alusel joonistame kaks segmenti. Mõlemad alustavad ringi keskelt. Esimene lõpeb kõõlu keskpunktis ja võrdub teadaoleva kaugusega teljest. Teine on akordi lõpus.
Saate täisnurkse kolmnurga. Selles on teada hüpotenuus ja üks jalg. Hüpotenuus langeb kokku raadiusega. Teine jalg on võrdne poole akordiga. Mitte kuulus jalg, korrutatuna 2-ga, annab soovitud akordi pikkuse. Arvutame selle väärtuse.
Tundmatu jala leidmiseks peate hüpotenuusi ja teadaoleva jala ruudu kandma, esimesest lahutama teise ja võtma ruutjuure. Ruudud on 25 ja 9. Nende vahe on 16. Pärast ruutjuure võtmist jääb 4 soovitud jalg.
Akord on võrdne 4 * 2 = 8 (cm). Nüüd saate arvutada ristlõike pindala: 8 * 4 = 32 (cm 2).
Vastus: S rist on 32 cm 2.
Ülesanne nr 3. On vaja arvutada silindri aksiaalne ristlõikepindala. Teadaolevalt on sinna sisse kirjutatud 10 cm servaga kuup.
Lahendus. Silindri telglõik langeb kokku ristkülikuga, mis läbib kuubi nelja tippu ja sisaldab selle aluste diagonaale. Kuubi külg on silindri generatriks ja aluse diagonaal langeb kokku läbimõõduga. Nende kahe koguse korrutis annab piirkonna, mille peate probleemis välja selgitama.
Läbimõõdu leidmiseks peate kasutama teadmist, et kuubi alus on ruut ja selle diagonaal moodustab võrdkülgse täisnurkse kolmnurga. Selle hüpotenuus on joonise soovitud diagonaal.
Selle arvutamiseks vajate Pythagorase teoreemi valemit. Kuubiku külg tuleb ruudukujuliseks muuta, korrutada 2-ga ja võtta ruutjuur. Kümme teise astmeni on sada. Korrutatuna 2-ga on kakssada. 200 ruutjuur on 10√2.
Lõik on jällegi ristkülik külgedega 10 ja 10√2. Selle pindala saab kergesti arvutada, korrutades need väärtused.
Vastus. S sektsioon = 100√2 cm 2.
Teaduse nimetus "geomeetria" on tõlgitud kui "maa mõõtmine". See sai alguse esimeste iidsete maakorraldajate jõupingutustest. Ja juhtus nii: püha Niiluse üleujutuste ajal uhtusid veejoad mõnikord põllumeeste maatükkide piirid minema ja uued piirid ei pruugi vanade piiridega kokku langeda. Maksud maksid talupojad vaarao riigikassasse proportsionaalselt maaeraldise suurusega. Uutes piirides olevate põllumaade pindalade mõõtmisse pärast leket kaasati spetsiaalsed inimesed. Nende tegevuse tulemusena tekkis uus teadus, mis töötati välja aastal Vana-Kreeka. Seal sai see oma nime ja omandas praktiliselt moodne välimus. Hiljem sai terminist lame- ja teaduse rahvusvaheline nimetus mahulised arvud Oh.
Planimeetria on uuringuga tegelev geomeetria haru lamedad figuurid. Teine teadusharu on stereomeetria, mis uurib ruumiliste (mahuliste) kujundite omadusi. Sellised arvud hõlmavad selles artiklis kirjeldatut - silindrit.
Näited silindriliste esemete olemasolust igapäevaelu palju. Peaaegu kõik pöörlevad osad - võllid, puksid, tihvtid, teljed jne - on silindrilise (palju harvem - koonilise) kujuga. Silindrit kasutatakse laialdaselt ka ehituses: tornid, tugisambad, dekoratiivsambad. Ja ka nõud, teatud tüüpi pakendid, erineva läbimõõduga torud. Ja lõpuks - kuulsad mütsid, millest on pikka aega saanud meeste elegantsi sümbol. Loetelu jätkub ja jätkub.
Silindri kui geomeetrilise kujundi definitsioon
Silindriks (ringsilindriks) nimetatakse tavaliselt kujundit, mis koosneb kahest ringist, mida soovi korral kombineeritakse paralleeltõlke abil. Need ringid on silindri alused. Kuid vastavaid punkte ühendavaid jooni (sirgesegmente) nimetatakse generaatoriteks.
Oluline on, et silindri põhjad oleksid alati võrdsed (kui see tingimus ei ole täidetud, siis on meil kärbikoonus, midagi muud, aga mitte silinder) ja on paralleelsetes tasapindades. Ringkonna vastavaid punkte ühendavad segmendid on paralleelsed ja võrdsed.
Lõpmatu arvu moodustavate elementide kogum pole midagi muud kui silindri külgpind - antud geomeetrilise kujundi üks elemente. Selle teine oluline komponent on eespool käsitletud ringid. Neid nimetatakse alusteks.
Silindrite tüübid
Lihtsaim ja levinuim silindrite tüüp on ringikujuline. Selle moodustavad kaks korrapärast ringi, mis toimivad alusena. Kuid nende asemel võivad olla teised arvud.
Silindrite alused võivad moodustada (lisaks ringidele) ellipse ja muid suletud kujundeid. Kuid silinder ei pruugi tingimata olla suletud kujuga. Näiteks võib silindri alus olla parabool, hüperbool või mõni muu avatud funktsioon. Selline silinder on avatud või kasutusele võetud.
Vastavalt aluseid moodustavate silindrite kaldenurgale võivad need olla sirged või kaldu. Sirge silindri puhul on generatriksid aluse tasapinnaga rangelt risti. Kui see nurk erineb 90°-st, on silinder kaldu.
Mis on revolutsiooni pind
Sirge ümmargune silinder on kahtlemata kõige levinum pöörlev pind, mida tehnikas kasutatakse. Mõnikord kasutatakse tehnilistel põhjustel koonus-, sfääri- ja mõnda muud tüüpi pindu, kuid 99% kõigist pöörlevatest võllidest, telgedest jne. on valmistatud silindrite kujul. Selleks, et paremini mõista, mis on pöördepind, võime kaaluda, kuidas silinder ise moodustub.
Oletame, et on olemas teatud sirgjoon a, mis asub vertikaalselt. ABCD on ristkülik, mille üks külgedest (lõik AB) asub sirgel a. Kui pöörame ristkülikut ümber sirgjoone, nagu on näidatud joonisel, on selle pöörlemise ajal hõivatav ruumala meie pöörlemiskeha – parempoolse ringikujuline silinder kõrgusega H = AB = DC ja raadiusega R = AD = BC.
IN antud juhul, joonise - ristküliku - pöörlemise tulemusena saadakse silinder. Kolmnurka pöörates saab koonuse, poolringi pöörates - palli jne.
Silindri pindala
Tavalise parempoolse ringsilindri pindala arvutamiseks on vaja välja arvutada aluste ja külgpindade pindala.
Kõigepealt vaatame, kuidas arvutatakse külgpindala. See on silindri ümbermõõdu ja silindri kõrguse korrutis. Ringjoone ümbermõõt on omakorda võrdne universaalarvu kahekordse korrutisega P ringi raadiuse järgi.
Ringi pindala on teadaolevalt võrdne tootega P ruutmeetri raadiuse kohta. Niisiis, lisades külgpinna määramise pindala valemid koos aluse pindala topeltavaldisega (neid on kaks) ja tehes lihtsaid algebralisi teisendusi, saame pinna määramise lõpliku avaldise. silindri pindala.
Figuuri mahu määramine
Silindri maht määratakse standardskeemi järgi: aluse pindala korrutatakse kõrgusega.
Seega näeb lõplik valem välja järgmine: soovitud väärtus määratakse keha kõrguse korrutisena universaalarvuga P ja aluse raadiuse ruudu järgi.
Peab ütlema, et saadud valem on rakendatav kõige ootamatumate probleemide lahendamiseks. Samamoodi nagu näiteks silindri maht, määratakse elektrijuhtmete maht. See võib olla vajalik juhtmete massi arvutamiseks.
Ainus erinevus valemis on see, et ühe silindri raadiuse asemel on juhtmestiku läbimõõt jagatud pooleks ja avaldises on juhtmes olevate keermete arv N. Samuti kasutatakse kõrguse asemel traadi pikkust. Sel viisil ei arvutata "silindri" mahtu mitte ainult ühe, vaid ka punutises olevate juhtmete arvu järgi.
Selliseid arvutusi on praktikas sageli vaja. Lõppude lõpuks on märkimisväärne osa veemahutitest valmistatud toru kujul. Ja sageli on vaja isegi majapidamises ballooni mahtu arvutada.
Kuid nagu juba mainitud, võib silindri kuju olla erinev. Ja mõnel juhul on vaja arvutada, milline on kaldsilindri maht.
Erinevus seisneb selles, et aluse pindala ei korrutata generatriksi pikkusega, nagu sirge silindri puhul, vaid tasapindade vahelise kaugusega - nende vahele konstrueeritud risti segmendiga.
Nagu jooniselt näha, on selline segment võrdne generatriksi pikkuse ja generatriksi tasapinna kaldenurga siinuse korrutisega.
Kuidas ehitada silindriarendust
Mõnel juhul on vaja silindririist välja lõigata. Alloleval joonisel on toodud reeglid, mille järgi valmistatakse toorik etteantud kõrguse ja läbimõõduga silindri valmistamiseks.
Pange tähele, et joonis on näidatud ilma õmblusteta.
Kaldsilindri erinevused
Kujutagem ette teatud sirget silindrit, mis on ühelt poolt piiratud generaatoritega risti oleva tasapinnaga. Kuid teiselt poolt silindrit piirav tasapind ei ole generaatoritega risti ega paralleelne esimese tasapinnaga.
Joonisel on kujutatud kaldsilindrit. Lennuk A teatud nurga all, mis erineb generaatorite suhtes 90°-st, lõikub joonisega.
Seda geomeetrilist kuju leidub praktikas sagedamini torujuhtmete ühenduste (põlvede) kujul. Kuid on isegi hooneid, mis on ehitatud kaldsilindri kujul.
Kaldsilindri geomeetrilised omadused
Kaldsilindri ühe tasapinna kalle muudab veidi nii sellise kujundi pindala kui ka ruumala arvutamise protseduuri.
Stereomeetria on geomeetria haru, milles uuritakse ruumis olevaid figuure. Ruumi põhifiguurid on punkt, sirge ja tasapind. Stereomeetrias ilmneb uut tüüpi joonte suhteline paigutus: jooned. See on üks väheseid olulisi erinevusi stereomeetria ja planimeetria vahel, kuna paljudel juhtudel lahendatakse stereomeetria probleemid, võttes arvesse erinevaid tasapindu, milles planimeetrilised seadused on täidetud.
Meid ümbritsevas looduses on palju objekte, mis on selle kuju füüsilised mudelid. Näiteks on paljud masinaosad silindrikujulised või nende kombinatsioonid ning silindrite kujulised templite ja katedraalide majesteetlikud sambad rõhutavad nende harmooniat ja ilu.
kreeka keel − kilindros. Iidne termin. Igapäevaelus - papüürusrull, rull, rull (verb - keerutama, rullima).
Eukleidese jaoks saadakse silinder ristküliku pööramisel. Cavalieri puhul - generatrixi liikumisega (suvalise juhiga - "silinder").
Selle essee eesmärk on käsitleda geomeetrilist keha – silindrit.
Selle eesmärgi saavutamiseks on vaja kaaluda järgmisi ülesandeid:
− anda silindri definitsioonid;
− arvestama silindri elemente;
− uurida silindri omadusi;
− arvestama silindrite sektsioonide tüüpe;
− tuletada silindri pindala valem;
− tuletada silindri ruumala valem;
− lahendada probleeme silindriga.
1.1. Silindri definitsioon
Vaatleme mõnda sirget (kõverat, katkendlikku või segatud) l, mis asub mingil tasapinnal α, ja mõnda sirget S, mis ristub seda tasapinda. Läbi antud sirge l kõikide punktide tõmbame sirgjoonega S paralleelsed sirged; nende sirgjoonte poolt moodustatud pinda α nimetatakse silindriliseks pinnaks. Sirget l nimetatakse selle pinna juhiks, jooned s 1, s 2, s 3,... on selle generaatorid.
Kui juhik on katki, koosneb selline silindriline pind mitmest lamedast ribast, mis on suletud paralleelsete sirgjoonte paaride vahele ja mida nimetatakse prismaatiliseks pinnaks. Juhtkatkestatud joone tippe läbivaid generatrikse nimetatakse prismaatilise pinna servadeks, nendevahelised lamedad ribad on selle tahud.
Kui lahkame suvalise tasapinnaga mis tahes silindrilist pinda, mis ei ole paralleelne selle generaatoritega, saame joone, mida saab võtta ka selle pinna juhisena. Juhikute hulgast torkab silma see, mis saadakse pinna lõikamisel pinna generatritega risti oleva tasapinnaga. Sellist lõiku nimetatakse tavaliseks sektsiooniks ja vastavat juhendit tavaliseks juhendiks.
Kui juhiks on suletud (kumer) joon (katkenenud või kõver), siis nimetatakse vastavat pinda suletud (kumeraks) prismaatiliseks ehk silindriliseks pinnaks. Kõige lihtsamal silindrilisel pinnal on tavaline juhis ring. Lõikame suletud kumerat prismapinda, millel on kaks üksteisega paralleelset, kuid mitte generaatoritega paralleelset tasapinda.
Sektsioonides saame kumerad hulknurgad. Nüüd piiravad tasandite α ja α" vahele jääv prismaatilise pinna osa ning nendel tasapindadel tekkinud kaks hulknurkset plaati keha, mida nimetatakse prismakehaks – prismaks.
Silindriline korpus - silindrit määratletakse sarnaselt prismale:
Silinder on keha, mis on külgedelt piiratud suletud (kumera) silindrilise pinnaga ja otstest kahe tasase paralleelse alusega. Silindri mõlemad alused on võrdsed ja ka kõik silindri koostisosad on võrdsed, s.t. aluste tasandite vahel oleva silindrilise pinna generatriksi segmendid.
Silinder (täpsemalt ringikujuline silinder) on geomeetriline keha, mis koosneb kahest mitte ühes tasapinnas olevast ringist, mis on ühendatud paralleeltranslatsiooni teel, ning kõigist nende ringide vastavaid punkte ühendavatest segmentidest (joonis 1). .
Ringe nimetatakse silindri alusteks ja segmente, mis ühendavad ringide ümbermõõtude vastavaid punkte, nimetatakse silindri generaatoriteks.
Kuna paralleelne translatsioon on liikumine, on silindri põhjad võrdsed.
Kuna paralleeltranslatsiooni käigus muundub tasapind paralleeltasandiks (või iseendaks), siis asuvad silindri alused paralleeltasanditel.
Kuna paralleeltranslatsiooni käigus nihutatakse punkte mööda paralleelseid (või kokkulangevaid) sirgeid sama vahemaa võrra, siis on silindri generaatorid paralleelsed ja võrdsed.
Silindri pind koosneb alus- ja külgpinnast. Külgpind koosneb generatritest.
Silindrit nimetatakse sirgeks, kui selle generaatorid on risti aluste tasanditega.
Sirget silindrit võib visuaalselt ette kujutada geomeetrilise kehana, mis kirjeldab ristkülikut, kui seda teljena ümber oma külje pöörates (joonis 2).
Riis. 2 − sirge silinder
Järgnevalt käsitleme ainult sirget silindrit, nimetades seda lühiduse mõttes lihtsalt silindriks.
Silindri raadius on selle aluse raadius. Silindri kõrgus on selle aluste tasandite vaheline kaugus. Silindri telg on sirgjoon, mis läbib aluste keskpunkte. See on generaatoritega paralleelne.
Silindrit nimetatakse võrdkülgseks, kui selle kõrgus on võrdne aluse läbimõõduga.
Kui silindri põhjad on tasased (ja seetõttu on neid sisaldavad tasapinnad paralleelsed), siis öeldakse, et silinder seisab tasapinnal. Kui tasapinnal seisva silindri põhjad on generatriksiga risti, siis nimetatakse silindrit sirgeks.
Eelkõige, kui tasapinnal seisva silindri alus on ring, siis räägime ringikujulisest (ringikujulisest) silindrist; kui see on ellips, siis on see elliptiline.
1. 3. Silindri sektsioonid
Silindri ristlõige selle teljega paralleelse tasapinnaga on ristkülik (joon. 3, a). Selle kaks külge on silindri generaatorid ja ülejäänud kaks on aluste paralleelsed akordid.
A) 
b)
V) G)
Riis. 3 – silindri sektsioonid
Eelkõige on ristkülik telglõik. See on silindri osa, mille tasapind läbib selle telge (joonis 3, b).
Alusega paralleelse tasapinnaga silindri ristlõige on ring (joonis 3, c).
Silindri ristlõige, mille tasapind ei ole aluse ja selle teljega paralleelne, on ovaalne (joonis 3d).
Teoreem 1. Silindri aluse tasandiga paralleelne tasapind lõikub selle külgpinnaga piki ringi, mis on võrdne aluse ümbermõõduga.
Tõestus. Olgu β silindri aluse tasapinnaga paralleelne tasapind. Paralleeltõlge silindri telje suunas, ühendades tasandi β silindri aluse tasapinnaga, ühendab külgpinna lõigu tasapinnaga β aluse ümbermõõduga. Teoreem on tõestatud.
Silindri külgpindala.
Silindri külgpinna pindalaks loetakse piir, milleni silindrisse kantud korrapärase prisma külgpinna pindala kaldub, kui selle prisma aluse külgede arv suureneb määramatult.
Teoreem 2. Silindri külgpinna pindala on võrdne selle aluse ümbermõõdu ja kõrguse korrutisega (S pool.c = 2πRH, kus R on silindri põhja raadius, H on silindri kõrgus).
A) 
b) 
Riis. 4 − Silindri külgpindala
Tõestus.
Olgu P n ja H vastavalt silindrisse kantud korrapärase n-nurkse prisma aluse ümbermõõt ja kõrgus (joonis 4, a). Siis on selle prisma külgpinna pindalaks S külg.c − P n H. Oletame, et alusesse kantud hulknurga külgede arv kasvab piiramatult (joon. 4, b). Siis kaldub ümbermõõt P n ümbermõõdule C = 2πR, kus R on silindri aluse raadius ja kõrgus H ei muutu. Seega kaldub prisma külgpinna pindala 2πRH piirini, st silindri külgpinna pindala on võrdne S pool.c = 2πRH. Teoreem on tõestatud.
Ruut täispind silinder.
Silindri kogupindala on külgpinna ja kahe aluse pindalade summa. Silindri iga aluse pindala on võrdne πR 2, seetõttu arvutatakse silindri kogupinna pindala S summa valemiga S pool.c = 2πRH+ 2πR 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
Riis. 5 - silindri kogupindala
Kui silindri külgpind lõigata mööda generaatorit FT (joonis 5, a) ja voltida lahti nii, et kõik generaatorid oleksid samal tasapinnal, siis saame tulemuseks ristküliku FTT1F1, mida nimetatakse generaatori arenguks. silindri külgpind. Ristküliku külg FF1 on silindri aluse ringi arendus, seega FF1 = 2πR ja selle külg FT on võrdne silindri generatriksiga, st FT = H (joonis 5, b). Seega on silindri arenduse pindala FT∙FF1=2πRH võrdne selle külgpinna pindalaga.
1.5. Silindri maht
Kui geomeetriline keha on lihtne, see tähendab, et seda saab jagada lõplikuks arvuks kolmnurkseteks püramiidideks, siis on selle ruumala võrdne nende püramiidide ruumalade summaga. Suvalise keha puhul määratakse maht järgmiselt.
Antud kehal on ruumala V, kui leidub seda sisaldavaid lihtkehi ja selles sisalduvaid lihtkehi, mille ruumala erineb V-st nii vähe kui soovitakse.
Kasutame seda definitsiooni aluse raadiuse R ja kõrgusega H silindri ruumala leidmiseks.
Ringi pindala valemi tuletamisel konstrueeriti kaks n-nurka (üks sisaldab ringi, teine sisaldub ringis) nii, et nende pindalad lähenesid n-i piiramatu suurenemisega pindalale ring ilma piiranguteta. Ehitame silindri põhjas oleva ringi jaoks sellised hulknurgad. Olgu P hulknurk, mis sisaldab ringi, ja P" ringis sisalduv hulknurk (joonis 6).
Riis. 7 − silinder, millesse on kirjeldatud ja sisse kirjutatud prisma
Ehitame kaks sirget prismat, mille alused on P ja P" ja mille kõrgus H on võrdne silindri kõrgusega. Esimene prisma sisaldab silindrit ja teine prisma asub silindris. Kuna n piiramatu suurenemise korral, prismade aluste pindalad lähenevad piiramatult silindri S põhja pindalale, siis nende mahud lähenevad määratluse kohaselt silindri ruumalale
V = SH = πR 2 H.
Seega on silindri maht võrdne aluse pindala ja kõrguse korrutisega.
Ülesanne 1.
Silindri telglõik on ruut pindalaga Q.
Leidke silindri aluse pindala.
Antud: silinder, ruut - silindri telglõik, S ruut = Q.
Leia: S peasilinder
Väljaku külg on . See on võrdne aluse läbimõõduga. Seetõttu on aluse pindala 
.
Vastus: S peasilinder.
=
2. ülesanne.
Silindrisse on kirjutatud korrapärane kuusnurkne prisma. Leidke nurk selle külgpinna diagonaali ja silindri telje vahel, kui aluse raadius on võrdne silindri kõrgusega.
Antud: silinder, silindrisse kantud korrapärane kuusnurkne prisma, aluse raadius = silindri kõrgus.
Leidke: nurk selle külgpinna diagonaali ja silindri telje vahel.
Lahendus: Prisma külgpinnad on ruudud, kuna korrapärase kuusnurga ringjoonele kirjutatud külg on võrdne raadiusega.
Prisma servad on paralleelsed silindri teljega, seega on esikülje diagonaali ja silindri telje vaheline nurk võrdne diagonaali ja külgserva vahelise nurgaga. Ja see nurk on 45°, kuna tahud on ruudud.
Vastus: nurk selle külgpinna diagonaali ja silindri telje vahel = 45°.
3. ülesanne.
Silindri kõrgus on 6 cm, aluse raadius on 5 cm.
Leidke silindri teljega paralleelselt tõmmatud lõigu pindala, mis asub sellest 4 cm kaugusel.
Antud: K = 6 cm, R = 5 cm, OE = 4 cm.
Leia: S sek.
S sek. = KM × KS,
OE = 4 cm, KS = 6 cm.
Kolmnurk OKM – võrdhaarne (OK = OM = R = 5 cm),
kolmnurk OEK on täisnurkne kolmnurk.
Kolmnurgast OEK Pythagorase teoreemi järgi:
KM = 2EK = 2 × 3 = 6,
S sek. = 6 × 6 = 36 cm 2.
Selle essee eesmärk on täidetud, geomeetriline keha nagu silinder on täidetud.
Arvesse võetakse järgmisi ülesandeid:
− antakse silindri definitsioon;
− vaadeldakse silindri elemente;
− uuriti silindri omadusi;
− vaadeldakse silindrite sektsioonide tüüpe;
- tuletatakse silindri pindala valem;
− tuletatakse silindri ruumala valem;
− lahendas probleeme silindri abil.
1. Pogorelov A.V. Geomeetria: Õpik õppeasutuste 10 – 11 klassidele, 1995. a. 2. Beskin L.N. Stereomeetria. Õpetaja juhend, 1999.
3. Atanasjan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Geomeetria: õpik õppeasutuste 10.–11. klassile, 2000. a.
4. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geomeetria: õpik 10-11 klassile üldharidusasutustes, 1998. a.
5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geomeetria: Stereomeetria: 10. – 11. klass: Õpik ja ülesannete raamat, 2000.
Silindri iga aluse pindala on π r 2, on mõlema aluse pindala 2π r 2 (joonis).Silindri külgpinna pindala on võrdne ristküliku pindalaga, mille alus on 2π r, ja kõrgus on võrdne silindri kõrgusega h, st 2π rh.
Silindri kogupind on: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).
Silindri külgpinna pindalaks loetakse pühkimisala selle külgpind.
Seetõttu on parempoolse ringikujulise silindri külgpinna pindala võrdne vastava ristküliku pindalaga (joonis) ja arvutatakse valemiga
S b.c. = 2πRH, (1)
Kui lisame selle kahe aluse pindala silindri külgpinna pindalale, saame silindri kogupindala
S täis =2πRH + 2πR2 = 2πR (H + R).
Sirge silindri maht
Teoreem. Sirge silindri maht võrdub selle aluse pindala ja kõrguse korrutisega , st.kus Q on aluse pindala ja H on silindri kõrgus.
Kuna silindri aluse pindala on Q, siis on olemas piiritletud ja sisse kirjutatud hulknurkade jadad pindalaga Q n ja Q' n selline et
\(\lim_(n \paremnool \infty)\) K n= \(\lim_(n \paremnool \infty)\) Q' n= Q.
Koostame prismade jada, mille alusteks on ülalpool kirjeldatud ja sisse kirjutatud hulknurgad ning mille külgservad on paralleelsed antud silindri generaatoriga ja pikkusega H. Need prismad on antud silindri jaoks piiritletud ja sisse kirjutatud. Nende mahud leitakse valemite abil
V n=Q n H ja V' n= Q' n H.
Seega
V= \(\lim_(n \paremnool \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \paremnool \infty)\) Q' n H = QH.
Tagajärg.
Parempoolse ringikujulise silindri maht arvutatakse valemiga
V = π R 2 H
kus R on aluse raadius ja H on silindri kõrgus.
Kuna ringikujulise silindri alus on ring raadiusega R, siis Q = π R 2 ja seetõttu
Silinder on geomeetriline keha, mis on piiratud kahe paralleelse tasandi ja silindrilise pinnaga. Artiklis räägime sellest, kuidas leida silindri pindala, ja valemi abil lahendame näitena mitu probleemi.
Silindril on kolm pinda: ülemine, põhi ja külgpind.
Silindri ülaosa ja põhi on ringid ja neid on lihtne tuvastada.
On teada, et ringi pindala on võrdne πr 2. Seetõttu on kahe ringi (silindri ülaosa ja põhi) pindala valem πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
Kolmas, silindri külgpind, on silindri kumer sein. Et seda pinda paremini ette kujutada, proovime seda transformeerida, et saada äratuntav kuju. Kujutage ette, et silinder on tavaline plekkpurk, millel ei ole ülemist kaant ega põhja. Teeme külgseinale vertikaalse lõike ülaosast purgi põhjani (joonisel 1. samm) ja proovime saadud kujundit nii palju kui võimalik avada (sirgendada) (2. samm).
Pärast seda, kui saadud purk on täielikult avatud, näeme tuttavat kujundit (3. samm), see on ristkülik. Ristküliku pindala on lihtne arvutada. Aga enne seda pöördume korraks tagasi algse silindri juurde. Algsilindri tipuks on ring ja me teame, et ümbermõõt arvutatakse valemiga: L = 2πr. See on joonisel märgitud punasega.
Kui silindri külgsein on täielikult avatud, näeme, et ümbermõõt muutub saadud ristküliku pikkuseks. Selle ristküliku külgedeks on silindri ümbermõõt (L = 2πr) ja kõrgus (h). Ristküliku pindala on võrdne selle külgede korrutisega - S = pikkus x laius = L x h = 2πr x h = 2πrh. Selle tulemusena saime valemi silindri külgpinna pindala arvutamiseks.
Silindri külgpinna valem
S pool = 2πrh
Silindri kogupindala
Lõpuks, kui lisame kõigi kolme pinna pindala, saame silindri kogupindala valemi. Silindri pindala on võrdne silindri ülaosa pindalaga + silindri põhja pindalaga + silindri külgpinna pindalaga või S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Mõnikord kirjutatakse see avaldis identseks valemiga 2πr (r + h).
Silindri kogupindala valem
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – silindri raadius, h – silindri kõrgus
Näited silindri pindala arvutamiseks
Ülaltoodud valemite mõistmiseks proovime näidete abil välja arvutada silindri pindala.
1. Silindri aluse raadius on 2, kõrgus on 3. Määrake silindri külgpinna pindala.
Kogupindala arvutatakse valemiga: S pool. = 2πrh
S pool = 2 * 3,14 * 2 * 3
S pool = 6,28 * 6
S pool = 37,68
Silindri külgpindala on 37,68.
2. Kuidas leida silindri pindala, kui kõrgus on 4 ja raadius on 6?
Kogupindala arvutatakse valemiga: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24