Mõelge järgmistele võrranditele:
1. 2*x + 3*y = 15;
2. x 2 + y 2 = 4;
4. 5*x 3 + y 2 = 8.
Kõik ülaltoodud võrrandid on kahe muutujaga võrrandid. Koordinaatide tasandi punktide hulka, mille koordinaadid muudavad võrrandi õigeks arvuliseks võrdsuseks nimetatakse võrrandi graafik kahes tundmatus.
Võrrandi joonistamine kahes muutujas
Kahe muutujaga võrranditel on palju erinevaid graafikuid. Näiteks võrrandi 2*x + 3*y = 15 korral on graafik sirge, võrrandi x 2 + y 2 = 4 korral on graafik raadiusega 2 ringjoon, võrrandi y* graafik x = 1 on hüperbool jne.
Kahe muutujaga tervetel võrranditel on ka selline mõiste nagu aste. See aste määratakse samamoodi nagu terve ühe muutujaga võrrandi puhul. Selleks viige võrrand kujule, kus vasak pool on standardvormi polünoom ja parem külg on null. Seda tehakse samaväärsete teisenduste kaudu.
Graafiline meetod võrrandisüsteemide lahendamiseks
Mõelgem välja, kuidas lahendada võrrandisüsteeme, mis koosnevad kahest kahe muutujaga võrrandist. Vaatleme selliste süsteemide lahendamise graafilist meetodit.
Näide 1. Lahenda võrrandisüsteem:
( x 2 + y 2 = 25
(y = -x 2 + 2*x + 5.
Koostame esimese ja teise võrrandi graafikud samas koordinaatsüsteemis. Esimese võrrandi graafik on ring, mille keskpunkt on alguspunktis ja raadius 5. Teise võrrandi graafik on allapoole suunduvate harudega parabool.
Kõik graafikute punktid vastavad oma võrrandile. Peame leidma punktid, mis rahuldavad nii esimest kui teist võrrandit. Ilmselgelt on need punktid, kus need kaks graafikut ristuvad.
Meie joonist kasutades leiame nende punktide ristumispunktide koordinaatide ligikaudsed väärtused. Saame järgmised tulemused:
A(-2,2;-4,5), B(0,5), C(2,2; 4,5), D(4,-3).
See tähendab, et meie võrrandisüsteemil on neli lahendit.
x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;
x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;
x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;
x4 ≈ 4, y4 ≈ -3.
Kui asendame need väärtused oma süsteemi võrrandites, näeme, et esimene ja kolmas lahendus on ligikaudsed ning teine ja neljas on täpsed. Sageli kasutatakse juurte arvu ja nende ligikaudsete piiride hindamiseks graafilist meetodit. Lahendused on sageli pigem ligikaudsed kui täpsed.
Üks viis võrrandite lahendamiseks on graafiline. See põhineb funktsioonigraafikute koostamisel ja nende lõikepunktide määramisel. Vaatleme graafilist meetodit ruutvõrrandi a*x^2+b*x+c=0 lahendamiseks.
Esimene lahendus
Teisendame võrrandi a*x^2+b*x+c=0 kujule a*x^2 =-b*x-c. Koostame kahe funktsiooni y= a*x^2 (parabool) ja y=-b*x-c (sirge) graafikud. Otsime ristumispunkte. Lõikepunktide abstsissid on võrrandi lahendus.
Näitame näitega: lahendage võrrand x^2-2*x-3=0.
Teisendame selle x^2 =2*x+3. Koostame funktsioonide y= x^2 ja y=2*x+3 graafikud ühes koordinaatsüsteemis.
Graafikud ristuvad kahes punktis. Nende abstsissid on meie võrrandi juured.
Lahendus valemi järgi
Et olla veenvam, kontrollime seda lahendust analüütiliselt. Otsustame ruutvõrrand valemi järgi:
D = 4-4*1*(-3) = 16.
X1 = (2+4)/2*1 = 3.
X2 = (2-4)/2*1 = -1.
Tähendab, lahendused on samad.
Graafilisel võrrandite lahendamise meetodil on ka oma puudus, selle abil ei ole alati võimalik saada võrrandile täpset lahendust. Proovime lahendada võrrandit x^2=3+x.
Koostame ühes koordinaatsüsteemis parabooli y=x^2 ja sirge y=3+x.
Saime jälle sarnase joonise. Sirge ja parabool ristuvad kahes punktis. Kuid me ei saa öelda nende punktide abstsisside täpseid väärtusi, ainult ligikaudsed: x≈-1,3 x≈2,3.
Kui oleme sellise täpsusega vastustega rahul, võime seda meetodit kasutada, kuid seda juhtub harva. Tavaliselt on vaja täpseid lahendusi. Seetõttu kasutatakse graafilist meetodit harva ja peamiselt olemasolevate lahenduste kontrollimiseks.
Vajad õpingutega abi?
Eelmine teema:
, Konkurss "Esitlus tunni jaoks"
Tunni esitlus
Tagasi Edasi
Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete huvitatud see töö, laadige alla täisversioon.
Tunni eesmärgid:
- Tehke kokkuvõte võrrandisüsteemide lahendamise graafilisest meetodist;
- Arendada oskust graafiliselt lahendada teise astme võrrandisüsteeme, kasutades õpilastele teadaolevaid graafikuid;
- Esitage visuaalne esitus, et kahest võrrandist koosnevas süsteemis, millel on kaks teise astme muutujat, võib olla üks kuni neli lahendit või puudub lahend.
Tunni struktuur:
- Org. hetk
- Õpilaste teadmiste täiendamine.
- Uue materjali selgitus.
- Õpitud materjali koondamine. Exceli tabeliga töötamine, millele järgneb kinnitamine...
- Kodutöö.
Tunni edenemine
1. Organisatsioonimoment
Teatatakse tunni teema, eesmärk ja käik.
2. Teadmiste uuendamine.
1) Vaadake üle elementaarfunktsioonid ja nende graafikud.
Matemaatikaõpetaja esitab küsimuse varem uuritud elementaarfunktsioonide ja nende graafikute kohta ning võtab õpilaste vastused projektori kaudu kokku.
2) Suuline töö.
Õpetaja teeb suulist tööd projektori abil, et valmistada õpilasi ette uue teema tajumiseks.
3. Uue materjali selgitus.
1) Uue materjali selgitamine läbi projektori ja standardse matemaatilise ülesande lahenduse analüüs.
2) Informaatika ja IKT õpetaja tuletab õpilastele läbi projektori meelde võrrandisüsteemi graafilise lahendamise algoritmi Exceli tabelis.
4. Õpitud materjali koondamine. Töötamine tabelarvutusprotsessorisExcel koos hilisema kontrolliga.
1) Õpetaja kutsub õpilasi arvuti taha istuma ja Excelis ülesandeid täitma.
2) Projektori kaudu kontrollitakse iga võrrandisüsteemi lahendust.
5. Kodutöö.
Kasutatud kirjanduse loetelu:
- Õpik üldharidusasutuste 9. klassile “Algebra”, autorid Yu.N. Makarychev N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, “Valgustus”, JSC “Moskva õpikud”, Moskva, 2008.
- Algebra tunni planeerimine Yu.N Makarychevi jt õpikule “Algebra. 9. klass”, “Eksam”, Moskva, 2008
- Algebra. 9. klass. Tunniplaanid Yu.N Makarychevi ja teiste õpikule, autor-koostaja S.P. Kovaleva, Volgograd, 2007
- Algebra märkmik, autorid Ershova A.P., Goloborodko V.V., Krizhanovski A.F., ILEKSA, Moskva, 2006.
- Arvutiteaduse õpik. Põhikursus. 9. klass, autor Ugrinovich N.D., BINOM. Teadmiste labor, 2010
- Kaasaegsed avatud informaatikatunnid 8.-11. klassile, autorid V.A. Molodtsov, N.B. Ryzhikova, Phoenix, 2006
Munitsipaal riiklik õppeasutus
Popovskaja keskkool
kangelase järgi nime saanud Nõukogude Liit N.K. Gorbaneva
matemaatika õpetajad
Voronina Vera Vladimirovna,
matemaatikas 9. klassis
teemal: “Graafiline meetod võrrandisüsteemide lahendamiseks”
Tunni tüüp:õppetund uue materjali õppimiseks.
2017/2018 õppeaasta
Graafiline meetod võrrandisüsteemide lahendamiseks. 9. klass
Vera Vladimirovna Voronina, matemaatikaõpetaja.
õppetund:
didaktiline:
avatud õpilastega uus viis võrrandisüsteemide lahendamine;
tuletada algoritmi võrrandisüsteemide graafiliseks lahendamiseks;
oskama määrata, mitu lahendit võrrandisüsteemil on;
õppida võrrandisüsteemile graafiliselt lahendusi leidma;
korrata joonistamist elementaarsed funktsioonid;
luua tingimused õpilaste kontrollimiseks (enesekontrolliks):
hariv:
vastutustundliku töösse suhtumise kujundamine,
arvestuse pidamise täpsus.
Tunni edenemine.
I. Organisatsioonimoment.
Mis on funktsioon? (slaid 3-11)
Mis on funktsiooni graafik?
Mis tüüpi funktsioone te teate?
Milline valem määratleb lineaarfunktsiooni? Mis on graafik lineaarne funktsioon?
Milline valem annab otsese proportsionaalsuse? Mis on tema ajakava?
Milline valem on antud pöördvõrdelisus? Mis on tema ajakava?
Mis on ruutfunktsiooni valem? Mis on tema ajakava?
Milline võrrand annab ringi võrrandi?
Mida nimetatakse kahe muutuja võrrandi graafikuks; (slaid 12)
Korraldatakse sissejuhatus kõrgemas matemaatikas kasutatavatesse võrranditesse ja nende graafikutesse (strofoid, Bernoulli lemniskaat, astroid, kardioid). (slaid 13-16)
Õpetaja jutuga kaasneb nende graafikutega slaidiesitlus.
Väljendage muutuja y muutuja x kaudu:
a) y - x² = 0
b) x + y + 2 = 0
c) 2x - y + 3 = 0
d) xy = -12
Kas arvupaar (1; 0) on võrrandi lahend
a) x² +y = 1;
b) xy + 3 = x;
c) y(x +2) = 0.
Mis on kahe muutuja võrrandisüsteemi lahendus?
Milline arvupaar on võrrandisüsteemi lahendus
a) (6; 3)
b) (- 3; - 6)
c) (2; - 1)
d) (3; 0)
Milliste võrrandite abil saab luua võrrandisüsteemi, mille lahendiks on arvupaar (2; 1)
a) 2x - y = 3
b) 3x - 2a = 5
c) x² + y² = 4
d) xy = 2
III. Õpilaste teadmiste täiendamine õpitava materjali kohta. (slaid 20, 21)
Täna kordame ja tugevdame üht võrrandisüsteemide lahendamise viisi. Uuritud materjali konsolideerimine toimub visuaalse taju abil (slaidil on võrrandisüsteemi graafiline lahendus):
Kahe muutujaga võrrandi graafik on punktide kogum koordinaattasandil, mille koordinaadid muudavad võrrandi tõeliseks võrrandiks. Kahe tundmatuga võrrandite graafikud on väga mitmekesised.
Küsimused selle slaidi kohta:
Mis on võrrandi x² + y²=25 graafik?
Milline on võrrandi y = - x² +2x +5 graafik?
Ringjoone mis tahes punkti koordinaadid vastavad võrrandile x² + y²=25, parabooli mis tahes punkti koordinaadid rahuldavad võrrandit y = - x² +2x +5.
Milliste punktide koordinaadid vastavad nii esimesele kui ka teisele võrrandile?
Mitu lõikepunkti neil graafikutel on?
Mitu lahendust sellel süsteemil on?
Mis need lahendused on?
Mida on vaja teha kahe muutuja võrrandisüsteemi graafiliseks lahendamiseks?
Esitatakse slaid, mis näitab kahe tundmatuga võrrandisüsteemide graafilise lahendamise algoritmi.
Graafiline meetod kasutatav mis tahes süsteemi lahendamisel, kuid võrrandigraafikute abil saate süsteemile ligikaudu lahendusi leida. Täpseks võivad osutuda vaid mõned süsteemile leitud lahendused. Seda saab kontrollida, asendades nende koordinaadid süsteemi võrranditesse.
IV. Õpitud meetodi rakendamine võrrandisüsteemide lahendamisel.
1. Võrrandisüsteemi graafiline lahendamine (slaid 23)
Mis on võrrandi xy = 3 graafik?
Mis on võrrandi 3x - y =0 graafik?
2. Kirjutage üles nende võrranditega määratletud süsteem ja selle lahendus. (slaid 24)
Lavastus juhtivad küsimused:
Kirjutage üles nende võrranditega määratletud süsteem?
Mitu lõikepunkti neil graafikutel on?
Mitu lahendit sellel võrrandisüsteemil on?
Millised on selle võrrandisüsteemi lahendused?
3. Ülesande täitmine Riigiinspektsioonist (slaid 25).
4. Võrrandisüsteemi graafiline lahendamine (slaid 26)
Ülesande täidavad õpilased vihikutes. Lahendust kontrollitakse.
V. Tunni kokkuvõte.
Mida nimetatakse kahe muutuja võrrandisüsteemi lahendamiseks?
Millise kahe muutuja võrrandisüsteemide lahendamise meetodiga tutvusite?
Mis on selle olemus?
Kas see meetod annab täpseid tulemusi?
Millisel juhul pole võrrandisüsteemil lahendusi?
VI. Kodutöö.
Lk 18, nr 420 (237), 425 (240)
Esitatakse videotund “Graafiline meetod võrrandisüsteemide lahendamiseks”. õppematerjal selle teema valdamiseks. Materjal sisaldab võrrandisüsteemi lahendamise üldist kontseptsiooni, samuti üksikasjalikku selgitust võrrandisüsteemi graafilise lahendamise näite abil.
Visuaalne abivahend kasutab animatsiooni, et muuta konstruktsioonid mugavamaks ja arusaadavamaks, samuti erinevatel viisidel tühjenemine olulised mõisted ja üksikasjad materjali põhjalikuks mõistmiseks ja paremaks meeldejätmiseks.
Videotund algab teema tutvustamisega. Õpilastele tuletatakse meelde, mis on võrrandisüsteem ja millised võrrandisüsteemid olid tuttavad juba 7. klassis. Varem tuli õpilastel lahendada võrrandisüsteeme kujul ax+by=c. Süvendades võrrandisüsteemide lahendamise kontseptsiooni ja arendamaks nende lahendamise oskust, uuritakse selles videotunnis süsteemi lahendamist, mis koosneb kahest teise astme võrrandist ning ühest teise astme võrrandist ja teisest võrrandist. esimese astme. Tuletame meelde, mis on võrrandisüsteemi lahendamine. Ekraanil kuvatakse süsteemi lahenduse määratlus muutujate väärtuste paarina, mis pööravad selle võrrandid ümber, kui need asendatakse õigeks võrdsuseks. Vastavalt süsteemilahenduse definitsioonile täpsustatakse ülesannet. See kuvatakse ekraanile, et meeles pidada, et süsteemi lahendamine tähendab sobivate lahenduste leidmist või nende puudumise tõestamist.
Tehakse ettepanek omandada graafiline meetod teatud võrrandisüsteemi lahendamiseks. Rakendus seda meetodit vaadeldakse võrranditest x 2 +y 2 =16 ja y=-x 2 +2x+4 koosneva süsteemi lahendamise näitel. Graafiline lahendus Süsteem alustab kõigi nende võrrandite joonistamisega. Ilmselt on võrrandi x 2 + y 2 = 16 graafik ringjoon. Antud ringi kuuluvad punktid on võrrandi lahendus. Võrrandi kõrvale konstrueeritakse koordinaattasandile ring raadiusega 4, mille alguspunktis on keskpunkt O. Teise võrrandi graafik on parabool, mille harud on langetatud allapoole. See võrrandi graafikule vastav parabool konstrueeritakse koordinaattasandile. Iga paraboolile kuuluv punkt esindab võrrandi y = -x 2 + 2x + 4 lahendit. Selgitatakse, et võrrandisüsteemi lahenduseks on graafikutel olevad punktid, mis kuuluvad samaaegselt mõlema võrrandi graafikutesse. See tähendab, et koostatud graafikute lõikepunktid on võrrandisüsteemi lahendused.
Tuleb märkida, et graafiline meetod seisneb kahe graafiku ristumiskohas asuvate punktide koordinaatide ligikaudse väärtuse leidmises, mis kajastavad süsteemi iga võrrandi lahenduste komplekti. Joonisel on näidatud kahe graafiku leitud lõikepunktide koordinaadid: A, B, C, D[-2;-3,5]. Need punktid on graafiliselt leitud võrrandisüsteemi lahendused. Saate kontrollida nende õigsust, asendades need võrrandis ja saavutades õiglase võrdsuse. Pärast võrrandisse punktide asendamist on selge, et mõned punktid annavad lahenduse täpse väärtuse ja mõned esindavad võrrandi lahendi ligikaudset väärtust: x 1 = 0, y 1 = 4; x2 =2, y2 ≈3,5; x 3 ≈ 3,5, y 3 = -2; x 4 = -2, y 4 ≈-3,5.
Videoõpetuses selgitatakse üksikasjalikult võrrandisüsteemi lahendamise graafilise meetodi olemust ja rakendust. See võimaldab seda teemat õppides kasutada koolis algebratunnis videoõpetusena. Materjal on kasulik ka iseõppimineõpilastele ja saab aidata teemat kaugõppes selgitada.