Μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα που τέμνεται από το μπροστινό προεξέχον επίπεδο a" φαίνεται στο Σχήμα 189. Όπως και στα προηγούμενα παραδείγματα, η μετωπική προβολή της τομής συμπίπτει με το μετωπικό ίχνος του επιπέδου. σημεία που είναι τα σημεία τομής του επιπέδου α» με τις ακμές της πυραμίδας. Θα βρούμε την πραγματική εμφάνιση του σχήματος τομής σε αυτό το παράδειγμα αλλάζοντας τα επίπεδα προβολής. Σχήμα 189 Μια ανάπτυξη της πλευρικής επιφάνειας μιας κολοβωμένης πυραμίδας με σχήμα τομής και σχήμα βάσης φαίνεται στο Σχήμα 190. Αρχικά, κατασκευάζεται μια ανάπτυξη μιας μη κολοβωμένης πυραμίδας, της οποίας όλες οι όψεις σε σχήμα τριγώνου είναι ίδιες. Το σημείο S0 (η κορυφή της πυραμίδας) σημειώνεται στο επίπεδο και από αυτό, όπως από ένα pengra, σχεδιάζεται ένα τόξο κύκλου με ακτίνα R ίση με το πραγματικό μήκος του πλευρικού άκρου της πυραμίδας. Το πραγματικό μήκος της ακμής μπορεί να προσδιοριστεί από την προβολή προφίλ της πυραμίδας, για παράδειγμα, τα τμήματα 6 L ή S B, καθώς αυτές οι ακμές είναι παράλληλες με το επίπεδο προφίλ και απεικονίζονται σε αυτό με το πραγματικό τους μήκος. Στη συνέχεια, κατά μήκος ενός κυκλικού τόξου από οποιοδήποτε σημείο, για παράδειγμα Afr, τοποθετούνται έξι πανομοιότυπα τμήματα, ίσα με το πραγματικό μήκος της πλευράς του εξαγώνου - τη βάση της πυραμίδας. Το πραγματικό μήκος της πλευράς της βάσης της πυραμίδας προκύπτει από οριζόντια προβολή(τμήμα Α «Β»). Τα σημεία A^-E0 συνδέονται με ευθείες γραμμές στην κορυφή SQ. Στη συνέχεια, από την κορυφή S0 σε αυτές τις ευθείες γραμμές, σχεδιάζονται τα πραγματικά μήκη των τμημάτων ακμής μέχρι το επίπεδο κοπής. Στην προβολή προφίλ μιας κολοβωμένης πυραμίδας υπάρχουν πραγματικά μήκη μόνο δύο τμημάτων - S""5"" και S"2. Τα πραγματικά μήκη των υπόλοιπων τμημάτων προσδιορίζονται περιστρέφοντάς τα γύρω από έναν άξονα κάθετο στο οριζόντιο επίπεδο και περνώντας από την κορυφή S. Τα σημεία /0 , 30 κ.λπ. που προκύπτουν συνδέονται με ευθείες γραμμές και τα σχήματα βάσης και τομής προσαρτώνται με τη μέθοδο της τριγωνοποίησης. διακεκομμένη γραμμήμε δύο σημεία. Η κατασκευή μιας ισομετρικής προβολής μιας κόλουρης πυραμίδας ξεκινά με την κατασκευή μιας ισομετρικής προβολής της βάσης της πυραμίδας σύμφωνα με διαστάσεις που λαμβάνονται από την οριζόντια προβολή του σύνθετου σχεδίου. Στη συνέχεια, στο επίπεδο της βάσης, αλλά στις συντεταγμένες των σημείων 1-6, κατασκευάζεται μια οριζόντια προβολή της τομής (λεπτές γραμμές στη βάση της πυραμίδας, Εικόνα 191). Από την κορυφή του εξαγώνου που προκύπτει, σχεδιάζονται κάθετες ευθείες γραμμές, στις οποίες σχεδιάζονται οι συντεταγμένες που λαμβάνονται από την μετωπική προβολή ή την προβολή προφίλ του πρίσματος, για παράδειγμα, τμήματα A", K2, Ku κ.λπ. Συνδέουμε τα σημεία 1-6 που προκύπτουν, παίρνουμε ένα σχήμα τομής . Συνδέοντας τα σημεία 1-6 με τις κορυφές του εξαγώνου, τη βάση της πυραμίδας, παίρνουμε ισομετρική προβολήκολοβωμένη πυραμίδα. Οι αόρατες άκρες εμφανίζονται με διακεκομμένες γραμμές.
Κανονική εξαγωνική πυραμίδα που τέμνεται από ένα μετωπικά προεξέχον επίπεδο R,φαίνεται στο Σχ. 180.
Όπως και στα προηγούμενα παραδείγματα, η μετωπική προβολή του τμήματος συμπίπτει με την μετωπική παρακολούθηση
σπίτι Pvεπίπεδο. Οι οριζόντιες προβολές και οι προβολές προφίλ ενός σχήματος τομής κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας σημεία που είναι τα σημεία τομής του επιπέδου Rμε άκρα πυραμίδας.
Η πραγματική εμφάνιση του σχήματος τομής σε αυτό το παράδειγμα καθορίζεται από τη μέθοδο εγγραφής.
Η ανάπτυξη της πλευρικής επιφάνειας μιας κολοβωμένης πυραμίδας με σχήμα τομής και σχήμα βάσης φαίνεται στο Σχ. 180, σι.
Αρχικά, κατασκευάζεται μια σάρωση μιας μη κολοβωμένης πυραμίδας, της οποίας όλες οι όψεις σε σχήμα τριγώνου είναι πανομοιότυπες. Σημειώστε ένα σημείο στο αεροπλάνο s l(η κορυφή της πυραμίδας) και από αυτήν, όπως από το κέντρο, σχεδιάστε ένα τόξο κύκλου με ακτίνα R,ίσο με το πραγματικό μήκος του πλευρικού άκρου της πυραμίδας. Το πραγματικό μήκος της άκρης μπορεί να προσδιοριστεί από την προβολή προφίλ της πυραμίδας, για παράδειγμα, τμήματα s"e"ή s"b",αφού αυτές οι ακμές είναι παράλληλες με το επίπεδο Wκαι απεικονίζονται σε αυτό με πραγματικό μήκος. Στη συνέχεια, κατά μήκος ενός κυκλικού τόξου από οποιοδήποτε σημείο, για παράδειγμα ένα 1, αποσπώνται έξι ίδια τμήματα, ίσα με το πραγματικό μήκος της πλευράς του εξαγώνου - της βάσης της πυραμίδας. Το πραγματικό μήκος της πλευράς της βάσης της πυραμίδας προκύπτει στην οριζόντια προβολή (τμήμα αβ).Πόντοι ένα 1 ...στ 1συνδέεται με ευθείες γραμμές στην κορυφή s 1. Μετά από την κορυφή Α'1Σε αυτές τις ευθείες γραμμές σχεδιάζονται τα πραγματικά μήκη των τμημάτων ακμής έως το επίπεδο κοπής.
Στην προβολή προφίλ μιας κολοβωμένης πυραμίδας υπάρχουν πραγματικά μήκη μόνο δύο
αιχμηρός - s"5Και s"2.Τα πραγματικά μήκη των υπόλοιπων τμημάτων καθορίζονται με τη μέθοδο περιστροφής τους γύρω από άξονα κάθετο στο επίπεδο Νκαι περνώντας από την κορυφή s. Για παράδειγμα, περιστρέφοντας το τμήμα s"6"γύρω από τον άξονα σε θέση παράλληλη προς το επίπεδο W,λαμβάνουμε το πραγματικό του μήκος σε αυτό το επίπεδο. Για να γίνει αυτό, αρκεί μέσα από το σημείο 6" σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή μέχρι να τέμνεται με το πραγματικό μήκος της άκρης Σ.Ε.ή SB.Ευθύγραμμο τμήμα s"6 0"(βλ. Εικ. 180).
Πόντοι που έλαβε 1 1 2 1 , 3 1 , και τα λοιπά. συνδέστε με ευθείες γραμμές και συνδέστε σχήματα βάσης και τομής χρησιμοποιώντας τη μέθοδο τριγωνισμού. Οι γραμμές διπλώματος στην ανάπτυξη σχεδιάζονται ως γραμμή παύλας με δύο τελείες.
Η κατασκευή μιας ισομετρικής προβολής μιας κόλουρης πυραμίδας ξεκινά με την κατασκευή μιας ισομετρικής προβολής της βάσης της πυραμίδας σύμφωνα με διαστάσεις που λαμβάνονται από την οριζόντια προβολή του σύνθετου σχεδίου. Στη συνέχεια στο επίπεδο βάσης σύμφωνα με τις συντεταγμένες των σημείων 1...6 κατασκευάστε μια οριζόντια προβολή της τομής (βλ. λεπτές μπλε γραμμές στο Σχ. 180, μετα Χριστον).Από τις κορυφές του προκύπτοντος εξαγώνου, σχεδιάζονται κάθετες ευθείες γραμμές, στις οποίες σχεδιάζονται συντεταγμένες που λαμβάνονται από τις μετωπικές ή προφίλ προβολές του πρίσματος, για παράδειγμα, τμήματα Κ ( , Κ 2 , Κ 3και τα λοιπά. Πόντοι που έλαβε 1...6 συνδέουμε, παίρνουμε μια εικόνα τμήματος. Συνδέοντας τις τελείες 1...6 με τις κορυφές του εξαγώνου, τη βάση της πυραμίδας, παίρνουμε ισομετρική προβολή της κολοβωμένης πυραμίδας. Οι αόρατες άκρες εμφανίζονται με διακεκομμένες γραμμές.
Ένα παράδειγμα τριγωνικής τομής κανονική πυραμίδαΤο μετωπικό επίπεδο προβολής φαίνεται στο Σχ. 181.
Όλες οι ακμές σε τρία επίπεδα προβολής απεικονίζονται με παραμόρφωση. Οριζόντια προβολή
Η βάση αντιπροσωπεύει την πραγματική της εμφάνιση, αφού η βάση της πυραμίδας βρίσκεται σε ένα επίπεδο Ν.
Έγκυρη προβολή 1 0 , 2 0 , 3 Το 0 του σχήματος τομής προκύπτει αλλάζοντας τα επίπεδα προβολής. ΣΕ σε αυτό το παράδειγμαοριζόντιο επίπεδο προβολής Ναντικαθίσταται από ένα νέο επίπεδο που είναι παράλληλο με το επίπεδο R;νέος άξονας x 1σε συνδυασμό με το ίχνος P V(Εικ. 181, ΕΝΑ).
Η ανάπτυξη της επιφάνειας της πυραμίδας κατασκευάζεται ως εξής. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο περιστροφής, βρίσκεται το πραγματικό μήκος των άκρων της πυραμίδας και των τμημάτων τους από τη βάση έως το επίπεδο κοπής R.
Για παράδειγμα, τα πραγματικά μήκη άκρων S.C.και το τμήμα του ΒΔίσο, αντίστοιχα, με το μήκος της μετωπικής προβολής s"c"άκρες και τμήμα c 1 ′ 3 1 μετά τη στροφή.
Στη συνέχεια χτίζουν μια ανάπτυξη μιας τριγωνικής ακανόνιστης πυραμίδας (Εικ. 181, γ). Για να γίνει αυτό, από ένα αυθαίρετο σημείο μικρότραβήξτε μια ευθεία γραμμή στη γάτα, σημειώστε το πραγματικό μήκος της πλευράς ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΙΑ.Από το σημείο μικρόκάντε μια εγκοπή με ακτίνα R1,ίσο με το πραγματικό μήκος της άκρης SB,και από το σημείο μια εγκοπή με ακτίνα R2,ίσο με την πλευρά της βάσης της πυραμίδας AB,με αποτέλεσμα ένα σημείο β 1και άκρη s 1 b 1 a 1 .Μετά από τα σημεία μικρόΚαι β 1από τα κέντρα, κάντε σερίφ με ακτίνες ίσες με το πραγματικό μήκος της άκρης S.C.και πλευρά Ήλιοςπάρε την άκρη s 1 b 1 s 1πυραμίδες. Η άκρη είναι επίσης χτισμένη s 1 s 1 a 1.
Από σημεία α 1 β 1Και από 1καθορίστε τα πραγματικά μήκη των τμημάτων των πλευρών, τα οποία λαμβάνονται στην μετωπική προβολή (τμήματα α 1 ′1 1 ′, β 1 ′2 1 ′, σ 1 ′3 1 ′). Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο τριγωνισμού, επισυνάπτονται η βάση και το σχήμα τομής.
Για να κατασκευάσετε μια ισομετρική προβολή μιας κολοβωμένης πυραμίδας (Εικ. 181, β), σχεδιάστε έναν ισομετρικό άξονα Χ.Με συντεταγμένες ΤΚαι Πχτίζοντας τη βάση της πυραμίδας ΑΛΦΑΒΗΤΟ.Πλευρά βάσης ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝπαράλληλα με τον άξονα Χή συμπίπτει με τον άξονα Χ.Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, κατασκευάζεται μια ισομετρική προβολή της οριζόντιας προβολής του σχήματος τομής 1 2 2 2 3 2 (χρησιμοποιώντας τα σημεία I, III και IV). Από αυτά τα σημεία σχεδιάζονται κάθετες ευθείες γραμμές, στις οποίες τοποθετούνται τμήματα που λαμβάνονται από την μετωπική ή προφίλ προβολή του πρίσματος Κ 1, Κ 2Και Κ 3.Πόντοι που έλαβε 1 , 2, 3 συνδέονται με ευθείες γραμμές μεταξύ τους και με τις κορυφές της βάσης.
Πυραμίδα. Κόλουρη πυραμίδα
Πυραμίδαείναι ένα πολύεδρο, του οποίου μια όψη είναι πολύγωνο ( βάση ), και όλες οι άλλες όψεις είναι τρίγωνα με κοινή κορυφή ( πλαϊνά πρόσωπα ) (Εικ. 15). Η πυραμίδα ονομάζεται σωστός , αν η βάση της είναι κανονικό πολύγωνο και η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της βάσης (Εικ. 16). Μια τριγωνική πυραμίδα με όλες τις άκρες ίσες ονομάζεται τετράεδρο .
Πλευρική πλευράμιας πυραμίδας είναι η πλευρά της πλευρικής όψης που δεν ανήκει στη βάση Υψος πυραμίδα είναι η απόσταση από την κορυφή της μέχρι το επίπεδο βάσης. Όλες οι πλευρικές ακμές μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσες μεταξύ τους, όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα. Το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας που αντλείται από την κορυφή ονομάζεται αποθεμα . Διαγώνιο τμήμα ονομάζεται τομή μιας πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο πλευρικές ακμές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.
Πλάγια επιφάνειαπυραμίδα είναι το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών όψεων. Περιοχή πλήρη επιφάνεια ονομάζεται το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών όψεων και της βάσης.
Θεωρήματα
1. Εάν σε μια πυραμίδα όλες οι πλευρικές ακμές έχουν την ίδια κλίση προς το επίπεδο της βάσης, τότε η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση.
2. Εάν όλες οι πλευρικές ακμές μιας πυραμίδας έχουν ίσα μήκη, τότε η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση.
3. Εάν όλες οι όψεις μιας πυραμίδας έχουν την ίδια κλίση προς το επίπεδο της βάσης, τότε η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στη βάση.
Για να υπολογίσετε τον όγκο μιας αυθαίρετης πυραμίδας, ο σωστός τύπος είναι:
Οπου V- Ενταση ΗΧΟΥ;
Βάση S– περιοχή βάσης·
H– ύψος της πυραμίδας.
Για μια κανονική πυραμίδα, οι ακόλουθοι τύποι είναι σωστοί:
Οπου Π– περίμετρος βάσης.
η α– αποθέμα·
H- ύψος;
S γεμάτο
S πλευρά
Βάση S– περιοχή βάσης·
V– όγκος κανονικής πυραμίδας.
Κόλουρη πυραμίδαονομάζεται το τμήμα της πυραμίδας που περικλείεται μεταξύ της βάσης και ενός επιπέδου κοπής παράλληλο στη βάση της πυραμίδας (Εικ. 17). Κανονική κολοβωμένη πυραμίδα ονομάζεται το τμήμα μιας κανονικής πυραμίδας που περικλείεται μεταξύ της βάσης και ενός επιπέδου κοπής παράλληλο στη βάση της πυραμίδας.
Αιτιολογικόκολοβωμένη πυραμίδα - παρόμοια πολύγωνα. Πλαϊνά πρόσωπα – τραπεζοειδή. Υψος μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι η απόσταση μεταξύ των βάσεων της. Διαγώνιος μια κολοβωμένη πυραμίδα είναι ένα τμήμα που συνδέει τις κορυφές της που δεν βρίσκονται στην ίδια όψη. Διαγώνιο τμήμα είναι ένα τμήμα μιας κόλουρης πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο πλευρικές ακμές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.
Για μια κολοβωμένη πυραμίδα ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:
(4)
Οπου μικρό 1 , μικρό 2 – περιοχές των άνω και κάτω βάσεων.
S γεμάτο– συνολική επιφάνεια·
S πλευρά– πλευρική επιφάνεια·
H- ύψος;
V– όγκος κολοβωμένης πυραμίδας.
Για μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα ο τύπος είναι σωστός:
Οπου Π 1 , Π 2 – περίμετροι βάσεων.
η α– απόθεμα κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας.
Παράδειγμα 1.Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα, η διεδρική γωνία στη βάση είναι 60º. Να βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της πλευρικής ακμής στο επίπεδο της βάσης.
Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 18).
 |
Η πυραμίδα είναι κανονική, που σημαίνει ότι στη βάση υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο και όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα. Η διεδρική γωνία στη βάση είναι η γωνία κλίσης της πλευρικής όψης της πυραμίδας προς το επίπεδο της βάσης. Γραμμική γωνίαθα υπάρχει γωνία έναμεταξύ δύο καθέτων: κ.λπ. Η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο του τριγώνου (το κέντρο του κυκλικού κύκλου και ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου αλφάβητο). Η γωνία κλίσης του πλευρικού άκρου (για παράδειγμα S.B.) είναι η γωνία μεταξύ της ίδιας της ακμής και της προβολής της στο επίπεδο της βάσης. Για το πλευρό S.B.αυτή η γωνία θα είναι η γωνία SBD. Για να βρείτε την εφαπτομένη πρέπει να γνωρίζετε τα πόδια ΕΤΣΙΚαι Ο.Β.. Αφήστε το μήκος του τμήματος BDισούται με 3 ΕΝΑ. Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕευθύγραμμο τμήμα BDχωρίζεται σε μέρη: και Από βρίσκουμε ΕΤΣΙ: 
Από βρίσκουμε: 
Απάντηση:
Παράδειγμα 2.Βρείτε τον όγκο μιας κανονικής κόλουρης τετραγωνικής πυραμίδας αν οι διαγώνιοι των βάσεων της είναι ίσες με cm και cm και το ύψος της είναι 4 cm.
Λύση.Για να βρούμε τον όγκο μιας κολοβωμένης πυραμίδας, χρησιμοποιούμε τον τύπο (4). Για να βρείτε το εμβαδόν των βάσεων, πρέπει να βρείτε τις πλευρές των τετραγώνων της βάσης, γνωρίζοντας τις διαγώνιες τους. Οι πλευρές των βάσεων είναι ίσες με 2 cm και 8 cm, αντίστοιχα. Αυτό σημαίνει ότι οι περιοχές των βάσεων και Αντικαθιστώντας όλα τα δεδομένα στον τύπο, υπολογίζουμε τον όγκο της κολοβωμένης πυραμίδας:
Απάντηση: 112 cm 3.
Παράδειγμα 3.Βρείτε την περιοχή της πλευρικής όψης μιας κανονικής τριγωνικής κολοβωμένης πυραμίδας, οι πλευρές των βάσεων της οποίας είναι 10 cm και 4 cm και το ύψος της πυραμίδας είναι 2 cm.
Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 19).
Η πλευρική όψη αυτής της πυραμίδας είναι ισοσκελές τραπεζοειδές. Για να υπολογίσετε την περιοχή ενός τραπεζοειδούς, πρέπει να γνωρίζετε τη βάση και το ύψος. Οι βάσεις δίνονται ανάλογα με την συνθήκη, μόνο το ύψος παραμένει άγνωστο. Θα τη βρούμε από που ΕΝΑ 1 μικάθετη από ένα σημείο ΕΝΑ 1 στο επίπεδο της κάτω βάσης, ΕΝΑ 1 ρε– κάθετη από ΕΝΑ 1 ανά ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. ΕΝΑ 1 μι= 2 cm, αφού αυτό είναι το ύψος της πυραμίδας. Να βρω DEΑς κάνουμε ένα επιπλέον σχέδιο που δείχνει την επάνω όψη (Εικ. 20). Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ– προβολή των κέντρων της άνω και κάτω βάσης. αφού (βλ. Εικ. 20) και Από την άλλη Εντάξει– ακτίνα εγγεγραμμένη στον κύκλο και 
ΟΜ– ακτίνα εγγεγραμμένη σε κύκλο:
ΜΚ = ΔΕ.
Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα από
Πλαϊνή περιοχή προσώπου: 
Απάντηση:
Παράδειγμα 4.Στη βάση της πυραμίδας βρίσκεται ένα ισοσκελές τραπεζοειδές, οι βάσεις του οποίου ΕΝΑΚαι σι (ένα> σι). Κάθε πλευρική όψη σχηματίζει γωνία ίση με το επίπεδο της βάσης της πυραμίδας ι. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια της πυραμίδας.
Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 21). Συνολική επιφάνεια της πυραμίδας SABCDίσο με το άθροισμα των εμβαδών και του εμβαδού του τραπεζοειδούς Α Β Γ Δ.
Ας χρησιμοποιήσουμε τη δήλωση ότι εάν όλες οι όψεις της πυραμίδας είναι εξίσου κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης, τότε η κορυφή προβάλλεται στο κέντρο του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στη βάση. Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ– προβολή κορυφής μικρόστη βάση της πυραμίδας. Τρίγωνο ΧΛΟΟΤΑΠΗΤΑΣείναι η ορθογώνια προβολή του τριγώνου CSDστο επίπεδο της βάσης. Με το θεώρημα για την περιοχή της ορθογώνιας προβολής επίπεδη φιγούραπαίρνουμε:
Το ίδιο σημαίνει 
Έτσι, το πρόβλημα περιορίστηκε στην εύρεση της περιοχής του τραπεζοειδούς Α Β Γ Δ. Ας σχεδιάσουμε ένα τραπεζοειδές Α Β Γ Δχωριστά (Εικ. 22). Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ– το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένο σε τραπεζοειδές σχήμα.
Εφόσον ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα τραπέζιο, τότε ή Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε
Ορισμός. Πλαϊνή άκρη- αυτό είναι ένα τρίγωνο στο οποίο η μία γωνία βρίσκεται στην κορυφή της πυραμίδας και η απέναντι πλευρά συμπίπτει με την πλευρά της βάσης (πολύγωνο).
Ορισμός. Πλαϊνά πλευρά- αυτές είναι οι κοινές πλευρές των πλευρικών όψεων. Μια πυραμίδα έχει τόσες άκρες όσες και οι γωνίες ενός πολυγώνου.
Ορισμός. Ύψος πυραμίδας- αυτή είναι μια κάθετη χαμηλωμένη από την κορυφή στη βάση της πυραμίδας.
Ορισμός. Απόθεμ- αυτή είναι μια κάθετη προς την πλευρική όψη της πυραμίδας, χαμηλωμένη από την κορυφή της πυραμίδας προς την πλευρά της βάσης.
Ορισμός. Διαγώνιο τμήμα- αυτό είναι ένα τμήμα μιας πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή της πυραμίδας και τη διαγώνιο της βάσης.
Ορισμός. Σωστή πυραμίδαείναι μια πυραμίδα στην οποία η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο, και το ύψος κατεβαίνει στο κέντρο της βάσης.
Όγκος και επιφάνεια της πυραμίδας
Τύπος. Όγκος της πυραμίδαςμέσω του εμβαδού και του ύψους της βάσης:
Ιδιότητες της πυραμίδας
Εάν όλες οι πλευρικές άκρες είναι ίσες, τότε μπορεί να σχεδιαστεί ένας κύκλος γύρω από τη βάση της πυραμίδας και το κέντρο της βάσης να συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου. Επίσης, από το κέντρο της βάσης (κύκλος) περνάει μια κάθετη που πέφτει από την κορυφή.
Αν όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες, τότε έχουν κλίση προς το επίπεδο της βάσης στις ίδιες γωνίες.
Οι πλευρικές ακμές είναι ίσες όταν σχηματίζουν ίσες γωνίες με το επίπεδο της βάσης ή αν μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από τη βάση της πυραμίδας.
Εάν οι πλευρικές όψεις είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης στην ίδια γωνία, τότε ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί στη βάση της πυραμίδας και η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της.
Αν οι πλευρικές όψεις είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης στην ίδια γωνία, τότε τα αποθέματα των πλευρικών όψεων είναι ίσα.
Ιδιότητες μιας κανονικής πυραμίδας
1. Η κορυφή της πυραμίδας έχει ίση απόσταση από όλες τις γωνίες της βάσης.
2. Όλες οι πλευρικές άκρες είναι ίσες.
3. Όλες οι πλευρικές νευρώσεις έχουν κλίση σε ίσες γωνίες ως προς τη βάση.
4. Τα αποθέματα όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσα.
5. Τα εμβαδά όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσα.
6. Όλες οι όψεις έχουν τις ίδιες δίεδρες (επίπεδες) γωνίες.
7. Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από την πυραμίδα. Το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των κάθετων που διέρχονται από το μέσο των άκρων.
8. Μπορείτε να χωρέσετε μια σφαίρα σε μια πυραμίδα. Το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των διχοτόμων που προέρχονται από τη γωνία μεταξύ της άκρης και της βάσης.
9. Αν το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας συμπίπτει με το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας, τότε το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι ίσο με π ή αντίστροφα, μια γωνία είναι ίση με π/n, όπου n είναι ο αριθμός των γωνιών στη βάση της πυραμίδας.
Η σύνδεση μεταξύ της πυραμίδας και της σφαίρας
Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα όταν στη βάση της πυραμίδας υπάρχει ένα πολύεδρο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Το κέντρο της σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των επιπέδων που διέρχονται κάθετα από τα μέσα των πλευρικών άκρων της πυραμίδας.
Είναι πάντα δυνατό να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από οποιαδήποτε τριγωνική ή κανονική πυραμίδα.
Μια σφαίρα μπορεί να εγγραφεί σε μια πυραμίδα εάν τα επίπεδα διχοτόμων των εσωτερικών διεδρικών γωνιών της πυραμίδας τέμνονται σε ένα σημείο (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Αυτό το σημείο θα είναι το κέντρο της σφαίρας.
Σύνδεση πυραμίδας με κώνο
Ένας κώνος λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένος σε μια πυραμίδα εάν οι κορυφές τους συμπίπτουν και η βάση του κώνου είναι εγγεγραμμένη στη βάση της πυραμίδας.
Ένας κώνος μπορεί να εγγραφεί σε μια πυραμίδα εάν τα αποθέματα της πυραμίδας είναι ίσα μεταξύ τους.
Ένας κώνος λέγεται ότι περιβάλλεται γύρω από μια πυραμίδα εάν οι κορυφές τους συμπίπτουν και η βάση του κώνου είναι περιγεγραμμένη γύρω από τη βάση της πυραμίδας.
Ένας κώνος μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα εάν όλες οι πλευρικές ακμές της πυραμίδας είναι ίσες μεταξύ τους.
Σχέση πυραμίδας και κυλίνδρου
Μια πυραμίδα ονομάζεται εγγεγραμμένη σε έναν κύλινδρο εάν η κορυφή της πυραμίδας βρίσκεται σε μια βάση του κυλίνδρου και η βάση της πυραμίδας είναι εγγεγραμμένη σε μια άλλη βάση του κυλίνδρου.
Ένας κύλινδρος μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα εάν ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από τη βάση της πυραμίδας.
Ένα τετράεδρο έχει τέσσερις όψεις και τέσσερις κορυφές και έξι ακμές, όπου οποιαδήποτε δύο ακμές δεν έχουν κοινές κορυφές αλλά δεν αγγίζονται.
Κάθε κορυφή αποτελείται από τρεις όψεις και ακμές που σχηματίζονται τριγωνική γωνία.
Το τμήμα που συνδέει την κορυφή ενός τετραέδρου με το κέντρο της απέναντι όψης ονομάζεται διάμεσος του τετραέδρου(GM).
Διμέσοςονομάζεται τμήμα που συνδέει τα μέσα των απέναντι άκρων που δεν εφάπτονται (KL).
Όλα τα διμέσου και οι διάμεσοι ενός τετραέδρου τέμνονται σε ένα σημείο (S). Σε αυτή την περίπτωση, οι δίμεσοι χωρίζονται στο μισό και οι διάμεσοι χωρίζονται σε αναλογία 3:1 ξεκινώντας από την κορυφή.
Ορισμός. Οξεία γωνιακή πυραμίδα- μια πυραμίδα στην οποία το απόθεμα είναι περισσότερο από το μισό μήκος της πλευράς της βάσης.
Ορισμός. Αμβλεία πυραμίδα- μια πυραμίδα στην οποία το απόθεμα είναι μικρότερο από το μισό μήκος της πλευράς της βάσης.
Ορισμός. Κανονικό τετράεδρο- ένα τετράεδρο στο οποίο και οι τέσσερις όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Είναι ένα από τα πέντε κανονικά πολύγωνα. Όλα σε ένα κανονικό τετράεδρο διεδρικές γωνίες(μεταξύ όψεων) και οι τριεδρικές γωνίες (στην κορυφή) είναι ίσες.
Ορισμός. Ορθογώνιο τετράεδροονομάζεται τετράεδρο στο οποίο υπάρχει ορθή γωνία μεταξύ τριών άκρων στην κορυφή (οι ακμές είναι κάθετες). Σχηματίζονται τρία πρόσωπα ορθογώνια τριγωνική γωνίακαι οι άκρες είναι ορθογώνια τρίγωνα, και η βάση είναι ένα αυθαίρετο τρίγωνο. Το απόθεμα οποιουδήποτε προσώπου ισούται με το ήμισυ της πλευράς της βάσης στην οποία πέφτει το απόθεμα.
Ορισμός. Ισοεδρικό τετράεδροονομάζεται τετράεδρο του οποίου οι πλευρικές όψεις είναι ίσες μεταξύ τους και η βάση είναι ένα κανονικό τρίγωνο. Ένα τέτοιο τετράεδρο έχει όψεις που είναι ισοσκελές τρίγωνα.
Ορισμός. Ορθόκεντρο τετράεδροονομάζεται τετράεδρο στο οποίο τέμνονται σε ένα σημείο όλα τα ύψη (κάθετοι) που κατεβαίνουν από την κορυφή προς την απέναντι όψη.
Ορισμός. Αστρική πυραμίδαονομάζεται πολύεδρο του οποίου η βάση είναι ένα αστέρι.
Ας δούμε πώς να κατασκευάσουμε ένα τμήμα μιας πυραμίδας, χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα. Δεδομένου ότι δεν υπάρχουν παράλληλα επίπεδα στην πυραμίδα, η κατασκευή της γραμμής τομής (ίχνος) του επιπέδου κοπής με το επίπεδο της όψης συνήθως περιλαμβάνει τη χάραξη μιας ευθείας γραμμής μέσω δύο σημείων που βρίσκονται στο επίπεδο αυτής της όψης.
Στα πιο απλά προβλήματα, πρέπει να κατασκευάσετε ένα τμήμα μιας πυραμίδας με ένα επίπεδο που διέρχεται από δεδομένα σημεία που βρίσκονται ήδη στην ίδια όψη.
Παράδειγμα.
Κατασκευάστε το επίπεδο τμήματος (MNP)
Τρίγωνο MNP - τμήμα πυραμίδας
Τα σημεία M και N βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ABS, επομένως, μπορούμε να τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτά. Το ίχνος αυτής της γραμμής είναι το τμήμα MN. Είναι ορατό, που σημαίνει ότι συνδέουμε τα Μ και Ν με μια συμπαγή γραμμή.
Τα σημεία M και P βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ACS, οπότε τραβάμε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτά. Το Trace είναι ένα τμήμα MP. Δεν το βλέπουμε, οπότε σχεδιάζουμε το τμήμα MP με μια διαδρομή. Κατασκευάζουμε το ίχνος ΠΝ με τον ίδιο τρόπο.
Το τρίγωνο MNP είναι το απαιτούμενο τμήμα.
Εάν το σημείο μέσω του οποίου θέλετε να σχεδιάσετε μια τομή δεν βρίσκεται σε μια άκρη, αλλά σε μια όψη, τότε δεν θα είναι το τέλος του τμήματος ίχνους.
Παράδειγμα. Κατασκευάστε ένα τμήμα της πυραμίδας με ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία B, M και N, όπου τα σημεία M και N ανήκουν, αντίστοιχα, στις όψεις ABS και BCS.
Εδώ τα σημεία Β και Μ βρίσκονται στην ίδια όψη του ABS, ώστε να μπορούμε να τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτά.
Ομοίως, χαράσσουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από τα σημεία B και P. Έχουμε λάβει ίχνη BK και BL, αντίστοιχα.
Τα σημεία K και L βρίσκονται στην ίδια όψη του ACS, ώστε να μπορούμε να τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτά. Το ίχνος του είναι το τμήμα KL.
Το τρίγωνο BKL είναι το απαιτούμενο τμήμα.
Ωστόσο, δεν είναι πάντα δυνατό να χαράξουμε μια ευθεία γραμμή μέσω των δεδομένων στη συνθήκη σημείου. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να βρείτε ένα σημείο που βρίσκεται στη γραμμή τομής των επιπέδων που περιέχουν τις όψεις.
Παράδειγμα. Κατασκευάστε ένα τμήμα της πυραμίδας με ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία M, N, P.
Τα σημεία M και N βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ABS, επομένως μια ευθεία γραμμή μπορεί να τραβηχτεί μέσα από αυτά. Παίρνουμε το ίχνος MN. Ομοίως - ΝΠ. Και τα δύο σημάδια είναι ορατά, οπότε τα συνδέουμε με μια συμπαγή γραμμή.
Τα σημεία M και P βρίσκονται μέσα διαφορετικά αεροπλάνα. Επομένως, δεν μπορούμε να τα συνδέσουμε με ευθεία γραμμή.
Ας συνεχίσουμε την ευθεία NP.
Βρίσκεται στο επίπεδο της όψης BCS. Το NP τέμνεται μόνο με ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Έχουμε τρεις τέτοιες άμεσες γραμμές: BS, CS και BC. Οι γραμμές BS και CS έχουν ήδη σημεία τομής - αυτά είναι μόνο N και P. Αυτό σημαίνει ότι αναζητούμε τη διασταύρωση του NP με τη γραμμή BC.
Το σημείο τομής (ας το ονομάσουμε H) προκύπτει συνεχίζοντας τις ευθείες NP και BC στην τομή.
Αυτό το σημείο H ανήκει και στο επίπεδο (BCS), αφού βρίσκεται στην ευθεία NP, και στο επίπεδο (ABC), αφού βρίσκεται στην ευθεία BC.
Έτσι, λάβαμε ένα άλλο σημείο του επιπέδου κοπής που βρίσκεται στο επίπεδο (ABC).
Μπορούμε να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή στο Η και ένα σημείο Μ που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο.
Παίρνουμε το ίχνος MT.
T είναι το σημείο τομής των ευθειών MH και AC.
Εφόσον το T ανήκει στην ευθεία AC, μπορούμε να τραβήξουμε μια ευθεία μέσα από αυτήν και το σημείο P, αφού και τα δύο βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (ACS).
Το 4-gon MNPT είναι το επιθυμητό τμήμα της πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από τα δεδομένα σημεία M,N,P.
Δουλέψαμε με τη γραμμή NP, επεκτείνοντάς την για να βρούμε το σημείο τομής του επιπέδου κοπής με το επίπεδο (ABC). Αν δουλέψουμε με άμεσο ΜΝ, φτάνουμε στο ίδιο αποτέλεσμα.
Σκεφτόμαστε ως εξής: η γραμμή MN βρίσκεται στο επίπεδο (ABS), επομένως μπορεί να τέμνεται μόνο με ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Έχουμε τρεις τέτοιες γραμμές: AB, BS και AS. Αλλά με τις ευθείες γραμμές AB και BS υπάρχουν ήδη σημεία τομής: M και N.
Αυτό σημαίνει ότι, επεκτείνοντας το MN, αναζητούμε το σημείο τομής του με την ευθεία AS. Ας ονομάσουμε αυτό το σημείο R.
Το σημείο R βρίσκεται στη γραμμή AS, που σημαίνει ότι βρίσκεται επίσης στο επίπεδο (ACS) στο οποίο ανήκει η γραμμή AS.
Δεδομένου ότι το σημείο P βρίσκεται στο επίπεδο (ACS), μπορούμε να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή μέσω των R και P. Παίρνουμε ένα ίχνος PT.
Το σημείο T βρίσκεται στο επίπεδο (ABC), οπότε μπορούμε να τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτό και να το σημείο M.
Έτσι, αποκτήσαμε την ίδια διατομή MNPT.
Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα αυτού του είδους.
Κατασκευάστε ένα τμήμα της πυραμίδας με ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία M, N, P.
Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή στα σημεία M και N που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (BCS). Παίρνουμε το ίχνος ΜΝ (ορατό).
Μέσα από τα σημεία N και P που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (ACS), σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή. Παίρνουμε ένα PN (αόρατο) ίχνος.
Δεν μπορούμε να τραβήξουμε ευθεία γραμμή μέσα από τα σημεία Μ και Ρ.
1) Η γραμμή MN βρίσκεται στο επίπεδο (BCS), όπου υπάρχουν τρεις ακόμη γραμμές: BC, SC και SB. Οι γραμμές SB και SC έχουν ήδη σημεία τομής: M και N. Επομένως, αναζητούμε το σημείο τομής MN με BC. Συνεχίζοντας αυτές τις γραμμές, παίρνουμε το σημείο L.
Το σημείο L ανήκει στην ευθεία BC, που σημαίνει ότι βρίσκεται στο επίπεδο (ABC). Επομένως, μπορούμε να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή μέσω των L και P, η οποία βρίσκεται επίσης στο επίπεδο (ABC). Το μονοπάτι της είναι PF.
Το F βρίσκεται στην ευθεία ΑΒ και επομένως στο επίπεδο (ABS). Επομένως, μέσω του F και του σημείου M, που βρίσκεται επίσης στο επίπεδο (ABS), σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή. Η διαδρομή της είναι FM. Το τετράπλευρο MNPF είναι το απαιτούμενο τμήμα.
2) Ένας άλλος τρόπος είναι να συνεχίσετε ευθεία ΠΝ. Βρίσκεται στο επίπεδο (ACS) και τέμνει τις ευθείες AC και CS που βρίσκονται σε αυτό το επίπεδο στα σημεία P και N.
Αυτό σημαίνει ότι αναζητούμε το σημείο τομής του ΠΝ με την τρίτη ευθεία αυτού του επιπέδου - με AS. Συνεχίζουμε AS και PN, στη διασταύρωση παίρνουμε το σημείο E. Δεδομένου ότι το σημείο E βρίσκεται στην ευθεία AS, που ανήκει στο επίπεδο (ABS), μπορούμε να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή μέσω του E και του σημείου M, το οποίο επίσης βρίσκεται στο (ABS) . Η διαδρομή της είναι FM. Τα σημεία P και F βρίσκονται στο υδάτινο επίπεδο (ABC), τραβήξτε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτά και λάβετε ένα ίχνος PF (αόρατο).