Σε αυτό το μάθημα θα μελετήσουμε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος, θα βρούμε ποια κλάσματα είναι ίσα μεταξύ τους. Θα μάθουμε να μειώνουμε τα κλάσματα, θα προσδιορίζουμε αν ένα κλάσμα είναι αναγωγίσιμο ή όχι, θα εξασκηθούμε στη μείωση των κλασμάτων και θα μάθουμε πότε να χρησιμοποιούμε μια συστολή και πότε όχι.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae; Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla;

Αυτές οι πληροφορίες είναι διαθέσιμες σε εγγεγραμμένους χρήστες

Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος

Φανταστείτε αυτή την κατάσταση.

Στο τραπέζι 3 πρόσωπο και 5 μήλα Μερίδιο 5 μήλα για τρία. Όλοι παίρνουν $\mathbf(\frac(5)(3))$ μήλα.

Και στο διπλανό τραπέζι 3 άτομο και επίσης 5 μήλα Κάθε μία πάλι $\mathbf(\frac(5)(3))$

Συνολικά 10 μήλα 6 Ο άνθρωπος. Κάθε $\mathbf(\frac(10)(6))$

Αλλά είναι το ίδιο πράγμα.

$\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))$

Αυτά τα κλάσματα είναι ισοδύναμα.

Μπορείτε να διπλασιάσετε τον αριθμό των ατόμων και να διπλασιάσετε τον αριθμό των μήλων. Το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο.

Στα μαθηματικά διατυπώνεται ως εξής:

Εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό (όχι ίσο με 0), τότε το νέο κλάσμα θα είναι ίσο με το αρχικό.

Αυτή η ιδιότητα μερικές φορές ονομάζεται " κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος ».

$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$

Για παράδειγμα, Το μονοπάτι από πόλη σε χωριό - 14 χλμ.

Περπατάμε κατά μήκος του δρόμου και προσδιορίζουμε την απόσταση που διανύουμε με δείκτες χιλιομέτρων. Έχοντας περπατήσει έξι στήλες, έξι χιλιόμετρα, καταλαβαίνουμε ότι έχουμε διανύσει $\mathbf(\frac(6)(14))$ απόσταση.

Αλλά αν δεν δούμε τους στύλους (ίσως δεν ήταν τοποθετημένοι), μπορούμε να υπολογίσουμε τη διαδρομή χρησιμοποιώντας τους ηλεκτρικούς στύλους κατά μήκος του δρόμου. Δικα τους 40 κομμάτια για κάθε χιλιόμετρο. Συνολικά δηλαδή 560 σε όλη τη διαδρομή. Έξι χιλιόμετρα - $\mathbf(6\cdot40 = 240)$ κολώνες. Δηλαδή έχουμε περάσει 240 από 560 pillars-$\mathbf(\frac(240)(560))$

$\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))$

Παράδειγμα 1

Σημειώστε ένα σημείο με συντεταγμένες ( 5; 7 ) στο επίπεδο συντεταγμένων XOΥ. Θα αντιστοιχεί στο κλάσμα $\mathbf(\frac(5)(7))$

Συνδέστε την αρχή των συντεταγμένων στο σημείο που προκύπτει. Κατασκευάστε ένα άλλο σημείο που έχει διπλάσιες συντεταγμένες από τις προηγούμενες. Τι κλάσμα πήρες; Θα είναι ίσοι;

Λύση

Ένα κλάσμα στο επίπεδο συντεταγμένων μπορεί να σημειωθεί με μια τελεία. Για να αναπαραστήσετε το κλάσμα $\mathbf(\frac(5)(7))$, σημειώστε το σημείο με τη συντεταγμένη 5 κατά μήκος του άξονα ΥΚαι 7 κατά μήκος του άξονα Χ. Ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή από την αρχή μέσα από το σημείο μας.

Το σημείο που αντιστοιχεί στο κλάσμα $\mathbf(\frac(10)(14))$ θα βρίσκεται επίσης στην ίδια ευθεία

Είναι ισοδύναμα: $\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))$

Αν χρειαστεί να διαιρέσουμε το 497 με το 4, τότε κατά τη διαίρεση θα δούμε ότι το 497 δεν διαιρείται ομοιόμορφα με το 4, δηλ. το υπόλοιπο τμήμα παραμένει. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι ολοκληρώνεται διαίρεση με υπόλοιποκαι η λύση γράφεται ως εξής:
497: 4 = 124 (1 υπόλοιπο).

Τα στοιχεία διαίρεσης στην αριστερή πλευρά της ισότητας ονομάζονται ίδια όπως και στη διαίρεση χωρίς υπόλοιπο: 497 - μέρισμα, 4 - διαιρών. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης όταν διαιρείται με ένα υπόλοιπο ονομάζεται ημιτελής ιδιωτική. Στην περίπτωσή μας, αυτός είναι ο αριθμός 124. Και τέλος, το τελευταίο συστατικό, το οποίο δεν είναι σε συνηθισμένη διαίρεση, είναι υπόλοιπο. Σε περιπτώσεις που δεν υπάρχει υπόλοιπο, ένας αριθμός λέγεται ότι διαιρείται με έναν άλλο χωρίς ίχνος, ή εντελώς. Πιστεύεται ότι με μια τέτοια διαίρεση το υπόλοιπο είναι μηδέν. Στην περίπτωσή μας, το υπόλοιπο είναι 1.

Το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από το διαιρέτη.

Η διαίρεση μπορεί να ελεγχθεί με πολλαπλασιασμό. Εάν, για παράδειγμα, υπάρχει ισότητα 64: 32 = 2, τότε ο έλεγχος μπορεί να γίνει ως εξής: 64 = 32 * 2.

Συχνά σε περιπτώσεις όπου γίνεται διαίρεση με υπόλοιπο, είναι βολικό να χρησιμοποιείται η ισότητα
a = b * n + r,
όπου a είναι το μέρισμα, b ο διαιρέτης, n το μερικό πηλίκο, r το υπόλοιπο.

Το πηλίκο των φυσικών αριθμών μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα.

Ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης.

Δεδομένου ότι ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης, πιστέψτε ότι η ευθεία ενός κλάσματος σημαίνει τη δράση της διαίρεσης. Μερικές φορές είναι βολικό να γράψετε τη διαίρεση ως κλάσμα χωρίς να χρησιμοποιήσετε το σύμβολο ":".

Το πηλίκο της διαίρεσης των φυσικών αριθμών m και n μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα $\frac(m)(n) $, όπου ο αριθμητής m είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής n ο διαιρέτης:
$m:n = \frac(m)(n) $

Ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες:

Για να πάρετε το κλάσμα $\frac(m)(n)$, πρέπει να διαιρέσετε ένα με το n ίσα μέρη(μετοχές) και πάρε μ τέτοια μέρη.

Για να πάρετε το κλάσμα $\frac(m)(n)$, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό m με τον αριθμό n.

Για να βρείτε ένα μέρος ενός συνόλου, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί στο σύνολο με τον παρονομαστή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον αριθμητή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Για να βρείτε ένα σύνολο από το μέρος του, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί σε αυτό το μέρος με τον αριθμητή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Εάν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
$\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) $

Αν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
$\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) $
Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος.

Οι δύο τελευταίοι μετασχηματισμοί ονομάζονται μειώνοντας ένα κλάσμα.

Εάν τα κλάσματα πρέπει να αναπαρασταθούν ως κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, τότε αυτή η ενέργεια ονομάζεται αναγωγή των κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή .

Κατάλληλα και ακατάλληλα κλάσματα. Μικτά νούμερα

Γνωρίζετε ήδη ότι ένα κλάσμα μπορεί να ληφθεί διαιρώντας ένα σύνολο σε ίσα μέρη και λαμβάνοντας πολλά τέτοια μέρη. Για παράδειγμα, το κλάσμα $\frac(3)(4)$ σημαίνει τρία τέταρτα του ενός. Σε πολλές εργασίες προηγούμενη παράγραφοχρησιμοποιήθηκαν κοινά κλάσματα για να αναπαραστήσουν μέρη ενός συνόλου. Η κοινή λογική υπαγορεύει ότι το μέρος πρέπει να είναι πάντα μικρότερο από το σύνολο, αλλά τι γίνεται με κλάσματα όπως $\frac(5)(5)$ ή $\frac(8)(5)$; Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι πλέον μέρος της μονάδας. Γι' αυτό πιθανώς λέγονται τα κλάσματα των οποίων ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή ακατάλληλα κλάσματα. Τα υπόλοιπα κλάσματα, δηλαδή τα κλάσματα των οποίων ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, λέγονται σωστά κλάσματα.

Όπως γνωρίζετε, οποιοδήποτε κοινό κλάσμα, σωστό και ακατάλληλο, μπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή. Επομένως, στα μαθηματικά, σε αντίθεση με τη συνηθισμένη γλώσσα, ο όρος «ακατάλληλο κλάσμα» δεν σημαίνει ότι κάναμε κάτι λάθος, αλλά μόνο ότι ο αριθμητής αυτού του κλάσματος είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή.

Αν ένας αριθμός αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος και ένα κλάσμα, τότε τέτοιο τα κλάσματα λέγονται μικτά.

Για παράδειγμα:
$5:3 = 1\frac(2)(3)$ : 1 - ολόκληρο μέρος, και $\frac(2)(3)$ είναι το κλασματικό μέρος.

Εάν ο αριθμητής του κλάσματος $\frac(a)(b)$ διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρεθεί αυτό το κλάσμα με το n, ο αριθμητής του πρέπει να διαιρεθεί με αυτόν τον αριθμό:
$\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) $

Εάν ο αριθμητής του κλάσματος $\frac(a)(b)$ δεν διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρέσετε αυτό το κλάσμα με το n, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του με αυτόν τον αριθμό:
$\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) $

Σημειώστε ότι ο δεύτερος κανόνας ισχύει επίσης όταν ο αριθμητής διαιρείται με το n. Επομένως, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε όταν είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε με την πρώτη ματιά αν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με το n ή όχι.

Ενέργειες με κλάσματα. Προσθήκη κλασμάτων.

Μπορείτε να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις με κλασματικούς αριθμούς, όπως και με τους φυσικούς αριθμούς. Ας δούμε πρώτα την προσθήκη κλασμάτων. Είναι εύκολο να προσθέσετε κλάσματα με παρονομαστές παρόμοιους. Ας βρούμε, για παράδειγμα, το άθροισμα των $\frac(2)(7)$ και $\frac(3)(7)$. Είναι εύκολο να γίνει κατανοητό ότι $\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) $

Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για την προσθήκη κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές μπορεί να γραφτεί ως εξής:
$\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) $

Εάν χρειάζεται να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, τότε πρέπει πρώτα να έρθουν σε κοινό παρονομαστή. Για παράδειγμα:
$\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) $

Για τα κλάσματα, όπως και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες της πρόσθεσης.

Προσθήκη μικτών κλασμάτων

Οι συμβολισμοί όπως $2\frac(2)(3)$ καλούνται μικτά κλάσματα. Στην περίπτωση αυτή καλείται ο αριθμός 2 ολόκληρο μέροςμικτό κλάσμα, και ο αριθμός $\frac(2)(3)$ είναι δικός του κλασματικό μέρος. Η καταχώρηση $2\frac(2)(3)$ διαβάζεται ως εξής: "δύο και δύο τρίτα".

Όταν διαιρείτε τον αριθμό 8 με τον αριθμό 3, μπορείτε να λάβετε δύο απαντήσεις: $\frac(8)(3)$ και $2\frac(2)(3)$. Εκφράζουν τον ίδιο κλασματικό αριθμό, δηλαδή $\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)$

Έτσι, το ακατάλληλο κλάσμα $\frac(8)(3)$ αναπαρίσταται ως μικτό κλάσμα $2\frac(2)(3)$. Σε τέτοιες περιπτώσεις λένε ότι από ακατάλληλο κλάσμα ανέδειξε όλο το μέρος.

Αφαίρεση κλασμάτων (κλασματικοί αριθμοί)

Η αφαίρεση των κλασματικών αριθμών, όπως και οι φυσικοί αριθμοί, προσδιορίζεται με βάση τη δράση της πρόσθεσης: η αφαίρεση ενός άλλου από έναν αριθμό σημαίνει την εύρεση ενός αριθμού που, όταν προστεθεί στον δεύτερο, δίνει τον πρώτο. Για παράδειγμα:
$\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) $ αφού $\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)$

Ο κανόνας για την αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές είναι παρόμοιος με τον κανόνα για την πρόσθεση τέτοιων κλασμάτων:
Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, αυτός ο κανόνας γράφεται ως εξής:
$\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) $

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους και να γράψετε το πρώτο γινόμενο ως αριθμητή και το δεύτερο ως παρονομαστή.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
$\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) $

Χρησιμοποιώντας τον διατυπωμένο κανόνα, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, με ένα μικτό κλάσμα και επίσης να πολλαπλασιάσετε μικτά κλάσματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γράψετε έναν φυσικό αριθμό ως κλάσμα με παρονομαστή 1, ένα μικτό κλάσμα - ως ακατάλληλο κλάσμα.

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα πρέπει να απλοποιηθεί (αν είναι δυνατόν) μειώνοντας το κλάσμα και απομονώνοντας ολόκληρο το τμήμα του ακατάλληλου κλάσματος.

Για τα κλάσματα, όπως και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνδυαστικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, καθώς και η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση.

Διαίρεση κλασμάτων

Ας πάρουμε το κλάσμα $\frac(2)(3)$ και ας το "αναποδογυρίσουμε", ανταλλάσσοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Παίρνουμε το κλάσμα $\frac(3)(2)$. Αυτό το κλάσμα λέγεται ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗκλάσματα $\frac(2)(3)$.

Αν τώρα «αντιστρέψουμε» το κλάσμα $\frac(3)(2)$, θα πάρουμε το αρχικό κλάσμα $\frac(2)(3)$. Επομένως, κλάσματα όπως $\frac(2)(3)$ και $\frac(3)(2)$ ονομάζονται αμοιβαία αντίστροφα.

Για παράδειγμα, τα κλάσματα $\frac(6)(5) $ και $\frac(5)(6) $, $\frac(7)(18) $ και $\frac (18 )(7)$.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, τα αμοιβαία κλάσματα μπορούν να γραφτούν ως εξής: $\frac(a)(b) $ και $\frac(b)(a) $

Είναι ξεκάθαρο ότι το γινόμενο των αμοιβαίων κλασμάτων είναι ίσο με 1. Για παράδειγμα: $\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 $

Χρησιμοποιώντας αμοιβαία κλάσματα, μπορείτε να μειώσετε τη διαίρεση των κλασμάτων σε πολλαπλασιασμό.

Ο κανόνας για τη διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα είναι:
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
$\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) $

Αν το μέρισμα ή ο διαιρέτης είναι φυσικός αριθμόςή ένα μικτό κλάσμα, τότε, για να χρησιμοποιηθεί ο κανόνας για τη διαίρεση κλασμάτων, πρέπει πρώτα να αναπαρασταθεί ως ακατάλληλο κλάσμα.

Κλάσματα

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Τα κλάσματα δεν είναι πολύ ενοχλητικά στο γυμνάσιο. Προς το παρόν. Μέχρι να συναντήσετε δυνάμεις με λογικούς εκθέτες και λογάριθμους. Και εκεί... Πατάτε και πατάτε την αριθμομηχανή και εμφανίζει μια πλήρη εμφάνιση ορισμένων αριθμών. Πρέπει να σκέφτεσαι με το κεφάλι σου όπως στην τρίτη δημοτικού.

Ας βρούμε επιτέλους τα κλάσματα! Ε, πόσο μπορείς να μπερδευτείς σε αυτά!; Επιπλέον, όλα είναι απλά και λογικά. Ετσι, ποια είναι τα είδη των κλασμάτων;

Τύποι κλασμάτων. Μεταμορφώσεις.

Υπάρχουν κλάσματα τρία είδη.

1. Κοινά κλάσματα , Για παράδειγμα:

Μερικές φορές αντί για οριζόντια γραμμή βάζουν κάθετο: 1/2, 3/4, 19/5, καλά, και ούτω καθεξής. Εδώ θα χρησιμοποιούμε συχνά αυτήν την ορθογραφία. Ο κορυφαίος αριθμός καλείται αριθμητής, πιο χαμηλα - παρονομαστής.Αν μπερδεύετε συνεχώς αυτά τα ονόματα (συμβαίνει...), πείτε στον εαυτό σας τη φράση: « Ζζζζθυμάμαι! Ζζζζπαρονομαστής - βλέμμα ζζζζε!» Κοίτα, όλα θα θυμούνται.)

Η παύλα είτε οριζόντια είτε κεκλιμένη σημαίνει διαίρεσηο επάνω αριθμός (αριθμητής) στο κάτω μέρος (παρονομαστής). Αυτό είναι όλο! Αντί για παύλα, είναι πολύ πιθανό να βάλετε ένα σημάδι διαίρεσης - δύο τελείες.

Όταν είναι δυνατή η πλήρης διαίρεση, αυτό πρέπει να γίνει. Έτσι, αντί για το κλάσμα "32/8" είναι πολύ πιο ευχάριστο να γράψετε τον αριθμό "4". Εκείνοι. Το 32 απλώς διαιρείται με το 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Δεν μιλάω καν για το κλάσμα «4/1». Το οποίο είναι επίσης μόνο "4". Και αν δεν είναι πλήρως διαιρετό, το αφήνουμε ως κλάσμα. Μερικές φορές πρέπει να κάνετε την αντίθετη λειτουργία. Μετατρέψτε έναν ακέραιο αριθμό σε κλάσμα. Αλλά περισσότερα για αυτό αργότερα.

2. Δεκαδικά , Για παράδειγμα:

Σε αυτή τη φόρμα θα χρειαστεί να γράψετε τις απαντήσεις στις εργασίες «Β».

3. Μικτά νούμερα , Για παράδειγμα:

Οι μικτοί αριθμοί πρακτικά δεν χρησιμοποιούνται στο γυμνάσιο. Για να δουλέψουμε μαζί τους, πρέπει να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Αλλά σίγουρα πρέπει να μπορείτε να το κάνετε αυτό! Αλλιώς θα συναντήσεις τέτοιο νούμερο σε πρόβλημα και θα παγώσεις... Από το πουθενά. Αλλά θα θυμόμαστε αυτή τη διαδικασία! Λίγο πιο κάτω.

Το πιο ευέλικτο κοινά κλάσματα. Ας ξεκινήσουμε με αυτούς. Παρεμπιπτόντως, εάν ένα κλάσμα περιέχει όλα τα είδη λογαρίθμων, ημιτόνων και άλλων γραμμάτων, αυτό δεν αλλάζει τίποτα. Με την έννοια ότι τα πάντα Οι ενέργειες με κλασματικές εκφράσεις δεν διαφέρουν από τις ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα!

Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος.

Λοιπόν πάμε! Αρχικά, θα σας εκπλήξω. Όλη η ποικιλία των μετασχηματισμών κλασμάτων παρέχεται από μία μόνο ιδιότητα! Έτσι λέγεται κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος. Θυμάμαι: Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό, το κλάσμα δεν αλλάζει.Εκείνοι:

Είναι σαφές ότι μπορείτε να συνεχίσετε να γράφετε μέχρι να είστε μπλε στο πρόσωπο. Μην αφήνετε τα ημιτόνια και τους λογάριθμους να σας μπερδεύουν, θα τα αντιμετωπίσουμε περαιτέρω. Το κύριο πράγμα είναι να καταλάβουμε ότι όλες αυτές οι διάφορες εκφράσεις είναι το ίδιο κλάσμα . 2/3.

Το χρειαζόμαστε, όλες αυτές οι μεταμορφώσεις; Και πως! Τώρα θα το δείτε μόνοι σας. Αρχικά, ας χρησιμοποιήσουμε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος για αναγωγικά κλάσματα. Θα φαινόταν σαν ένα στοιχειώδες πράγμα. Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό και τέλος! Είναι αδύνατο να κάνεις λάθος! Όμως... ο άνθρωπος είναι δημιουργικό ον. Μπορείς να κάνεις λάθος οπουδήποτε! Ειδικά αν πρέπει να μειώσετε όχι ένα κλάσμα όπως το 5/10, αλλά μια κλασματική έκφραση με όλα τα είδη γραμμάτων.

Πώς να μειώσετε σωστά και γρήγορα τα κλάσματα χωρίς να κάνετε επιπλέον εργασία μπορείτε να διαβάσετε στην ειδική Ενότητα 555.

Ένας κανονικός μαθητής δεν μπαίνει στον κόπο να διαιρέσει τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό (ή έκφραση)! Απλώς διαγράφει ό,τι είναι το ίδιο πάνω και κάτω! Εδώ ελλοχεύει ένα τυπικό λάθος, μια γκάφα, αν θέλετε.

Για παράδειγμα, πρέπει να απλοποιήσετε την έκφραση:

Δεν υπάρχει τίποτα να σκεφτείτε εδώ, διαγράψτε το γράμμα "a" στην κορυφή και το "2" στο κάτω μέρος! Παίρνουμε:

Ολα είναι σωστά. Αλλά πραγματικά χωρίσατε όλα αριθμητής και όλα ο παρονομαστής είναι «α». Εάν έχετε συνηθίσει απλώς να διαγράφετε, τότε βιαστικά μπορείτε να διαγράψετε το «α» στην έκφραση

και να το ξαναπάρεις

Κάτι που θα ήταν κατηγορηματικά αναληθές. Γιατί εδώ όλαο αριθμητής στο "a" είναι ήδη δεν μοιράζονται! Αυτό το κλάσμα δεν μπορεί να μειωθεί. Παρεμπιπτόντως, μια τέτοια μείωση είναι, χμ... σοβαρή πρόκληση για τον δάσκαλο. Αυτό δεν συγχωρείται! Θυμάσαι; Όταν μειώνετε, πρέπει να διαιρέσετε όλα αριθμητής και όλα παρονομαστής!

Η μείωση των κλασμάτων κάνει τη ζωή πολύ πιο εύκολη. Θα πάρετε ένα κλάσμα κάπου, για παράδειγμα 375/1000. Πώς μπορώ να συνεχίσω να δουλεύω μαζί της τώρα; Χωρίς αριθμομηχανή; Πολλαπλασιάζω, ας πούμε, προσθέτω, τετράγωνο!; Και αν δεν είσαι πολύ τεμπέλης, και μείωσε το προσεκτικά κατά πέντε, και κατά άλλα πέντε, ακόμα και... ενώ κοντύνεται, εν ολίγοις. Ας πάρουμε 3/8! Πολύ πιο ωραίο, σωστά;

Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος σάς επιτρέπει να μετατρέπετε τα συνηθισμένα κλάσματα σε δεκαδικούς και αντίστροφα χωρίς αριθμομηχανή! Αυτό είναι σημαντικό για την Ενιαία Κρατική Εξέταση, σωστά;

Πώς να μετατρέψετε κλάσματα από έναν τύπο σε άλλο.

Με τα δεκαδικά κλάσματα όλα είναι απλά. Όπως ακούγεται, έτσι γράφεται! Ας πούμε 0,25. Αυτό είναι σημείο μηδέν είκοσι πέντε εκατοστά. Γράφουμε λοιπόν: 25/100. Μειώνουμε (διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 25), παίρνουμε το συνηθισμένο κλάσμα: 1/4. Ολα. Συμβαίνει, και τίποτα δεν μειώνεται. Όπως 0,3. Αυτό είναι τρία δέκατα, δηλ. 3/10.

Τι γίνεται αν οι ακέραιοι αριθμοί δεν είναι μηδέν; Είναι εντάξει. Καταγράφουμε ολόκληρο το κλάσμα χωρίς κόμματαστον αριθμητή, και στον παρονομαστή - αυτό που ακούγεται. Για παράδειγμα: 3.17. Αυτό είναι τρία σημεία δεκαεπτά εκατοστά. Γράφουμε 317 στον αριθμητή και 100 στον παρονομαστή Παίρνουμε 317/100. Τίποτα δεν μειώνεται, αυτό σημαίνει τα πάντα. Αυτή είναι η απάντηση. Elementary Watson! Από όλα όσα ειπώθηκαν, ένα χρήσιμο συμπέρασμα: οποιοδήποτε δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε κοινό κλάσμα .

Αλλά μερικοί άνθρωποι δεν μπορούν να κάνουν την αντίστροφη μετατροπή από συνηθισμένο σε δεκαδικό χωρίς αριθμομηχανή. Και είναι απαραίτητο! Πώς θα γράψετε την απάντηση στην Ενιαία Κρατική Εξέταση!; Διαβάστε προσεκτικά και κατακτήστε αυτή τη διαδικασία.

Ποιο είναι το χαρακτηριστικό ενός δεκαδικού κλάσματος; Ο παρονομαστής της είναι Πάντακοστίζει 10, ή 100, ή 1000, ή 10000 κ.ο.κ. Εάν το κοινό σας κλάσμα έχει παρονομαστή σαν αυτόν, δεν υπάρχει πρόβλημα. Για παράδειγμα, 4/10 = 0,4. Ή 7/100 = 0,07. Ή 12/10 = 1,2. Τι γίνεται αν η απάντηση στην εργασία στην ενότητα "Β" αποδειχτεί 1/2; Τι θα γράψουμε ως απάντηση; Απαιτούνται δεκαδικοί...

Ας θυμηθούμε κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος ! Τα μαθηματικά σας επιτρέπουν ευνοϊκά να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Οτιδήποτε, παρεμπιπτόντως! Εκτός από το μηδέν, φυσικά. Ας χρησιμοποιήσουμε λοιπόν αυτή την ιδιοκτησία προς όφελός μας! Με τι μπορεί να πολλαπλασιαστεί ο παρονομαστής, δηλ. 2 ώστε να γίνει 10, ή 100, ή 1000 (το μικρότερο είναι καλύτερο φυσικά...); Στα 5 προφανώς. Μη διστάσετε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή (αυτό είναι μαςαπαραίτητο) επί 5. Αλλά τότε ο αριθμητής πρέπει επίσης να πολλαπλασιαστεί με 5. Αυτό είναι ήδη μαθηματικάαιτήματα! Παίρνουμε 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Αυτό είναι όλο.

Ωστόσο, συναντώνται κάθε είδους παρονομαστές. Θα συναντήσετε, για παράδειγμα, το κλάσμα 3/16. Προσπαθήστε να υπολογίσετε με τι να πολλαπλασιάσετε το 16 για να κάνετε 100 ή 1000... Δεν λειτουργεί; Στη συνέχεια, μπορείτε απλά να διαιρέσετε το 3 με το 16. Ελλείψει αριθμομηχανής, θα πρέπει να διαιρέσετε με μια γωνία, σε ένα κομμάτι χαρτί, όπως δίδασκαν στο δημοτικό. Παίρνουμε 0,1875.

Και υπάρχουν και πολύ κακοί παρονομαστές. Για παράδειγμα, δεν υπάρχει τρόπος να μετατραπεί το κλάσμα 1/3 σε καλό δεκαδικό. Και στην αριθμομηχανή και σε ένα κομμάτι χαρτί, παίρνουμε 0,3333333... Αυτό σημαίνει ότι το 1/3 είναι ακριβές δεκαδικό κλάσμα δεν μεταφράζεται. Το ίδιο με 1/7, 5/6 και ούτω καθεξής. Είναι πολλά από αυτά, αμετάφραστα. Αυτό μας φέρνει σε ένα άλλο χρήσιμο συμπέρασμα. Δεν μπορεί να μετατραπεί κάθε κλάσμα σε δεκαδικό !

Με την ευκαιρία, αυτό χρήσιμες πληροφορίεςγια αυτοέλεγχο. Στην ενότητα "Β" πρέπει να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα στην απάντησή σας. Και έχεις, για παράδειγμα, 4/3. Αυτό το κλάσμα δεν μετατρέπεται σε δεκαδικό. Αυτό σημαίνει ότι κάνατε ένα λάθος κάπου στην πορεία! Επιστρέψτε και ελέγξτε τη λύση.

Έτσι, καταλάβαμε συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Το μόνο που μένει είναι να ασχοληθούμε με μικτά νούμερα. Για να δουλέψετε μαζί τους, πρέπει να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Πως να το κάνεις; Μπορείς να πιάσεις έναν μαθητή της έκτης δημοτικού και να τον ρωτήσεις. Αλλά ένας μαθητής της έκτης δημοτικού δεν θα είναι πάντα διαθέσιμος... Θα πρέπει να το κάνετε μόνοι σας. Δεν είναι δύσκολο. Πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους με ολόκληρο το μέρος και να προσθέσετε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους. Αυτός θα είναι ο αριθμητής του κοινού κλάσματος. Τι γίνεται με τον παρονομαστή; Ο παρονομαστής θα παραμείνει ο ίδιος. Ακούγεται περίπλοκο, αλλά στην πραγματικότητα όλα είναι απλά. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Ας υποθέσουμε ότι τρομοκρατηθήκατε βλέποντας τον αριθμό στο πρόβλημα:

Ήρεμα, χωρίς πανικό, σκεφτόμαστε. Ολόκληρο το μέρος είναι 1. Μονάδα. Το κλασματικό μέρος είναι 3/7. Επομένως, ο παρονομαστής του κλασματικού μέρους είναι 7. Αυτός ο παρονομαστής θα είναι ο παρονομαστής του συνηθισμένου κλάσματος. Μετράμε τον αριθμητή. Πολλαπλασιάζουμε το 7 επί 1 (το ακέραιο μέρος) και προσθέτουμε το 3 (τον αριθμητή του κλασματικού μέρους). Παίρνουμε 10. Αυτός θα είναι ο αριθμητής ενός κοινού κλάσματος. Αυτό είναι όλο. Φαίνεται ακόμη πιο απλό στη μαθηματική σημειογραφία:

Είναι ξεκάθαρο; Τότε εξασφαλίστε την επιτυχία σας! Μετατροπή σε συνηθισμένα κλάσματα. Θα πρέπει να πάρετε 10/7, 7/2, 23/10 και 21/4.

Η αντίστροφη πράξη - μετατροπή ενός ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό - απαιτείται σπάνια στο γυμνάσιο. Λοιπόν, αν ναι... Και αν δεν είστε στο γυμνάσιο, μπορείτε να δείτε την ειδική ενότητα 555. Παρεμπιπτόντως, θα μάθετε επίσης για ακατάλληλα κλάσματα εκεί.

Λοιπόν, αυτό είναι πρακτικά όλο. Θυμήθηκες τα είδη των κλασμάτων και κατάλαβες Πως μεταφέρετε από τον ένα τύπο στον άλλο. Το ερώτημα παραμένει: Για τι Κάνε το; Πού και πότε να εφαρμόσετε αυτή τη βαθιά γνώση;

απαντώ. Κάθε παράδειγμα από μόνο του προτείνει τις απαραίτητες ενέργειες. Αν στο παράδειγμα αναμειγνύονται τα συνηθισμένα κλάσματα, οι δεκαδικοί και οι μικτοί αριθμοί, μετατρέπουμε τα πάντα σε συνηθισμένα κλάσματα. Μπορεί πάντα να γίνει. Λοιπόν, αν λέει κάτι σαν 0,8 + 0,3, τότε το μετράμε έτσι, χωρίς καμία μετάφραση. Γιατί χρειαζόμαστε επιπλέον δουλειά; Επιλέγουμε τη λύση που είναι βολική μας !

Εάν η εργασία είναι εξ ολοκλήρου δεκαδικά, αλλά χμ... μερικούς κακούς, πήγαινε στους απλούς, δοκίμασέ τους! Κοίτα, όλα θα πάνε καλά. Για παράδειγμα, θα πρέπει να τετραγωνίσετε τον αριθμό 0,125. Δεν είναι τόσο εύκολο αν δεν έχετε συνηθίσει να χρησιμοποιείτε αριθμομηχανή! Όχι μόνο πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς σε μια στήλη, πρέπει επίσης να σκεφτείτε πού να εισάγετε το κόμμα! Σίγουρα δεν θα λειτουργήσει στο μυαλό σας! Τι γίνεται αν προχωρήσουμε σε ένα συνηθισμένο κλάσμα;

0,125 = 125/1000. Το μειώνουμε κατά 5 (αυτό είναι για αρχή). Παίρνουμε 25/200. Για άλλη μια φορά κατά 5. Παίρνουμε 5/40. Α, συρρικνώνεται ακόμα! Επιστροφή στο 5! Παίρνουμε 1/8. Το τετραγωνίζουμε εύκολα (στο μυαλό μας!) και παίρνουμε 1/64. Ολα!

Ας συνοψίσουμε αυτό το μάθημα.

1. Υπάρχουν τρία είδη κλασμάτων. Κοινοί, δεκαδικοί και μικτοί αριθμοί.

2. Δεκαδικοί και μικτοί αριθμοί Πάνταμπορεί να μετατραπεί σε συνηθισμένα κλάσματα. Αντίστροφη μεταφορά δεν είναι πάνταδιαθέσιμος.

3. Η επιλογή του τύπου των κλασμάτων για την εργασία με μια εργασία εξαρτάται από την ίδια την εργασία. Υπό την παρουσία του ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙκλάσματα σε μια εργασία, το πιο αξιόπιστο πράγμα είναι να προχωρήσουμε σε συνηθισμένα κλάσματα.

Τώρα μπορείτε να εξασκηθείτε. Πρώτα, μετατρέψτε αυτά τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα κλάσματα:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Θα πρέπει να λάβετε απαντήσεις όπως αυτή (στο χάος!):

Ας τελειώσουμε εδώ. Σε αυτό το μάθημα φρεσκάραμε τη μνήμη μας βασικά σημείακατά κλάσματα. Συμβαίνει, ωστόσο, να μην υπάρχει κάτι ιδιαίτερο για ανανέωση...) Εάν κάποιος το έχει ξεχάσει τελείως, ή δεν το έχει κατακτήσει ακόμα... Τότε μπορείτε να πάτε σε μια ειδική Ενότητα 555. Όλα τα βασικά καλύπτονται αναλυτικά εκεί. Πολλοί ξαφνικά καταλαβαίνω τα πάντααρχίζουν. Και λύνουν κλάσματα εν πτήσει).

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Η μείωση των κλασμάτων είναι απαραίτητη για να μειωθεί το κλάσμα σε περισσότερα απλή θέα, για παράδειγμα, στην απάντηση που ελήφθη ως αποτέλεσμα της επίλυσης μιας έκφρασης.

Αναγωγή κλασμάτων, ορισμός και τύπος.

Τι είναι τα αναγωγικά κλάσματα; Τι σημαίνει μείωση ενός κλάσματος;

Ορισμός:
Αναγωγικά Κλάσματα- αυτή είναι η διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο θετικό αριθμό που δεν ισούται με μηδέν και ένα. Ως αποτέλεσμα της αναγωγής, προκύπτει ένα κλάσμα με μικρότερο αριθμητή και παρονομαστή, ίσο με το προηγούμενο κλάσμα σύμφωνα με.

Τύπος αναγωγής κλασμάτωνκύρια ιδιοκτησία ρητοί αριθμοί.

$\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)$

Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Μειώστε το κλάσμα $\frac(9)(15)$

Λύση:
Μπορούμε να επεκτείνουμε το κλάσμα σε πρωταρχικούς παράγοντεςκαι να μειώσει τους κοινούς παράγοντες.

$\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)$

Απάντηση: μετά την αναγωγή πήραμε το κλάσμα $\frac(3)(5)$. Σύμφωνα με τη βασική ιδιότητα των ρητών αριθμών, το αρχικό και το κλάσμα που προκύπτει είναι ίσα.

$\frac(9)(15)=\frac(3)(5)$

Πώς να μειώσετε τα κλάσματα; Αναγωγή ενός κλάσματος στην μη αναγώγιμη μορφή του.

Για να πάρουμε ως αποτέλεσμα ένα μη αναγώγιμο κλάσμα, χρειαζόμαστε βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD)για τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι εύρεσης του GCD στο παράδειγμα που θα χρησιμοποιήσουμε την αποσύνθεση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Λάβετε το μη αναγώγιμο κλάσμα $\frac(48)(136)$.

Λύση:
Ας βρούμε το GCD(48, 136). Ας γράψουμε τους αριθμούς 48 και 136 σε πρώτους παράγοντες.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

$\frac(48)(136)=\frac(\color(κόκκινο) (2 \ φορές 2 \ φορές 2) \ φορές 2 \ φορές 3) (\color(κόκκινο) (2 \ φορές 2 \ φορές 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)$

Ο κανόνας για την αναγωγή ενός κλάσματος σε μη αναγώγιμη μορφή.

Πρέπει να βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη για τον αριθμητή και τον παρονομαστή.
Πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη για να λάβετε ένα μη αναγώγιμο κλάσμα ως αποτέλεσμα της διαίρεσης.

Παράδειγμα:
Μειώστε το κλάσμα $\frac(152)(168)$.

Λύση:
Ας βρούμε το GCD(152, 168). Ας γράψουμε τους αριθμούς 152 και 168 σε πρώτους παράγοντες.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

$\frac(152)(168)=\frac(\color(κόκκινο) (6) \times 19)(\color(κόκκινο) (6) \times 21)=\frac(19)(21)$

Απάντηση: Το $\frac(19)(21)$ είναι ένα μη αναγώγιμο κλάσμα.

Μείωση ακατάλληλων κλασμάτων.

Πώς να συντομεύσετε σωστό κλάσμα?
Οι κανόνες για τη μείωση των κλασμάτων είναι οι ίδιοι για τα σωστά και τα ακατάλληλα κλάσματα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Μειώστε το ακατάλληλο κλάσμα $\frac(44)(32)$.

Λύση:
Ας γράψουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε απλούς παράγοντες. Και μετά θα μειώσουμε τους κοινούς παράγοντες.

$\frac(44)(32)=\frac(\color(κόκκινο) (2 \ φορές 2 ) \ φορές 11)(\color(κόκκινο) (2 \ φορές 2 ) \ φορές 2 \ φορές 2 \ φορές 2 )=\frac(11)(2 \φορές 2 \φόρες 2)=\frac(11)(8)$

Μείωση μικτών κλασμάτων.

Τα μικτά κλάσματα ακολουθούν τους ίδιους κανόνες με τα συνηθισμένα κλάσματα. Η μόνη διαφορά είναι ότι μπορούμε μην αγγίζετε ολόκληρο το μέρος, αλλά μειώνετε το κλασματικό μέροςή Μετατρέψτε ένα μικτό κλάσμα σε ακατάλληλο κλάσμα, μειώστε το και μετατρέψτε το ξανά σε σωστό κλάσμα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Ακυρώστε το μικτό κλάσμα $2\frac(30)(45)$.

Λύση:
Ας το λύσουμε με δύο τρόπους:
Πρώτος τρόπος:
Ας γράψουμε το κλασματικό μέρος σε απλούς παράγοντες, αλλά δεν θα αγγίξουμε ολόκληρο το μέρος.

$2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)$

Δεύτερος τρόπος:
Ας το μετατρέψουμε πρώτα σε ακατάλληλο κλάσμα και μετά ας το γράψουμε σε πρώτους παράγοντες και ας μειώσουμε. Ας μετατρέψουμε το ακατάλληλο κλάσμα που προκύπτει σε σωστό κλάσμα.

$2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(κόκκινο) (5 \φορές 3) \ φορές 2 \ φορές 2) (3 \ φορές \ χρώμα (κόκκινο) (3 \ φορές 5)) =\ frac (2 \ φορές 2 \ φορές 2) (3) =\ frac (8) (3)= 2\frac(2)(3)$

Σχετικές ερωτήσεις:
Μπορείτε να μειώσετε τα κλάσματα κατά την πρόσθεση ή την αφαίρεση;
Απάντηση: όχι, πρέπει πρώτα να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε κλάσματα σύμφωνα με τους κανόνες και μόνο στη συνέχεια να τα μειώσετε. Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Αξιολογήστε την έκφραση $\frac(50+20-10)(20)$ .

Λύση:
Συχνά κάνουν το λάθος να μειώνουν τους ίδιους αριθμούς στον αριθμητή και στον παρονομαστή, στην περίπτωσή μας τον αριθμό 20, αλλά δεν μπορούν να μειωθούν μέχρι να ολοκληρώσετε την πρόσθεση και την αφαίρεση.

$\frac(50+\color(κόκκινο) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3$

Με ποιους αριθμούς μπορείτε να μειώσετε ένα κλάσμα;
Απάντηση: Μπορείτε να μειώσετε ένα κλάσμα με τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα ή τον κοινό διαιρέτη του αριθμητή και του παρονομαστή. Για παράδειγμα, το κλάσμα $\frac(100)(150)$.

Ας γράψουμε τους αριθμούς 100 και 150 σε πρώτους παράγοντες.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης θα είναι ο αριθμός gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

$\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)$

Πήραμε το μη αναγώγιμο κλάσμα $\frac(2)(3)$.

Αλλά δεν είναι απαραίτητο να διαιρείται πάντα με το gcd ένα μη αναγόμενο κλάσμα δεν είναι πάντα απαραίτητο. Για παράδειγμα, ο αριθμός 100 και 150 έχουν κοινό διαιρέτη του 2. Ας μειώσουμε το κλάσμα $\frac(100)(150)$ κατά 2.

$\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)$

Πήραμε το αναγώγιμο κλάσμα $\frac(50)(75)$.

Ποια κλάσματα μπορούν να μειωθούν;
Απάντηση: Μπορείτε να μειώσετε τα κλάσματα στα οποία ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν κοινό διαιρέτη. Για παράδειγμα, το κλάσμα $\frac(4)(8)$. Ο αριθμός 4 και 8 έχουν έναν αριθμό με τον οποίο διαιρούνται και οι δύο - τον αριθμό 2. Επομένως, ένα τέτοιο κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά τον αριθμό 2.

Παράδειγμα:
Συγκρίνετε τα δύο κλάσματα $\frac(2)(3)$ και $\frac(8)(12)$.

Αυτά τα δύο κλάσματα είναι ίσα. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο κλάσμα $\frac(8)(12)$:

$\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)$

Από εδώ παίρνουμε, $\frac(8)(12)=\frac(2)(3)$

Δύο κλάσματα είναι ίσα αν και μόνο αν το ένα από αυτά προκύπτει αναγωγή του άλλου κλάσματος με τον κοινό παράγοντα του αριθμητή και του παρονομαστή.

Παράδειγμα:
Εάν είναι δυνατόν, μειώστε τα ακόλουθα κλάσματα: α) $\frac(90)(65)$ β) $\frac(27)(63)$ γ) $\frac(17)(100)$ δ) $\frac(100)(250)$

Λύση:
α) $\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \ φορές 3 \ φορές 3)(13)=\frac(18)(13)$
β) $\frac(27)(63)=\frac(\color(κόκκινο) (3 \ φορές 3) \times 3)(\color(κόκκινο) (3 \φορές 3) \times 7)=\frac (3)(7)$
γ) $\frac(17)(100)$ μη αναγώγιμο κλάσμα
δ) $\frac(100)(250)=\frac(\χρώμα(κόκκινο) (2 \ φορές 5 \ φορές 5) \ φορές 2) (\χρώμα(κόκκινο) (2 \ φορές 5 \ φορές 5) \ φορές 5)=\frac(2)(5)$

Χωρίς να γνωρίζουμε πώς να μειώνουμε ένα κλάσμα και να έχουμε σταθερή ικανότητα στην επίλυση τέτοιων παραδειγμάτων, είναι πολύ δύσκολο να μελετήσουμε την άλγεβρα στο σχολείο. Όσο προχωράτε, τόσο περισσότερες βασικές γνώσεις σχετικά με τη συντομογραφία συνηθισμένα κλάσματαεπάλληλος ΝΕΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ. Πρώτα εμφανίζονται δυνάμεις και μετά παράγοντες που αργότερα γίνονται πολυώνυμα.

Πώς μπορείτε να αποφύγετε τη σύγχυση εδώ; Ενοποιήστε διεξοδικά τις δεξιότητες σε προηγούμενα θέματα και προετοιμαστείτε σταδιακά για τη γνώση του πώς να μειώσετε ένα κλάσμα, το οποίο γίνεται πιο περίπλοκο από χρόνο σε χρόνο.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ

Χωρίς αυτά, δεν θα μπορείτε να αντεπεξέλθετε σε εργασίες οποιουδήποτε επιπέδου. Για να καταλάβετε, πρέπει να κατανοήσετε δύο απλά σημεία. Πρώτον: μπορείτε μόνο να μειώσετε τους παράγοντες. Αυτή η απόχρωση αποδεικνύεται πολύ σημαντική όταν εμφανίζονται πολυώνυμα στον αριθμητή ή στον παρονομαστή. Τότε πρέπει να διακρίνετε ξεκάθαρα πού είναι ο πολλαπλασιαστής και πού είναι η πρόσθεση.

Το δεύτερο σημείο λέει ότι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή παραγόντων. Επιπλέον, το αποτέλεσμα της αναγωγής είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής δεν μπορούν πλέον να μειωθούν.

Κανόνες για τη μείωση κοινών κλασμάτων

Αρχικά, πρέπει να ελέγξετε αν ο αριθμητής διαιρείται με τον παρονομαστή ή το αντίστροφο. Τότε είναι ακριβώς αυτός ο αριθμός που πρέπει να μειωθεί. Αυτή είναι η απλούστερη επιλογή.

Το δεύτερο είναι η ανάλυση εμφάνισηαριθμοί. Αν και τα δύο τελειώνουν σε ένα ή περισσότερα μηδενικά, μπορούν να συντομευθούν κατά 10, 100 ή χίλια. Εδώ μπορείτε να παρατηρήσετε αν οι αριθμοί είναι ζυγοί. Εάν ναι, τότε μπορείτε να το κόψετε με ασφάλεια κατά δύο.

Ο τρίτος κανόνας για τη μείωση ενός κλάσματος είναι να συνυπολογίσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε πρώτους παράγοντες. Αυτή τη στιγμή, πρέπει να χρησιμοποιήσετε ενεργά όλες τις γνώσεις σας σχετικά με τα σημάδια διαιρετότητας των αριθμών. Μετά από αυτή την αποσύνθεση, το μόνο που μένει είναι να βρούμε όλα τα επαναλαμβανόμενα, να τα πολλαπλασιάσουμε και να τα μειώσουμε με τον αριθμό που προκύπτει.

Τι γίνεται αν υπάρχει μια αλγεβρική έκφραση σε ένα κλάσμα;

Εδώ εμφανίζονται οι πρώτες δυσκολίες. Επειδή εδώ εμφανίζονται όροι που μπορεί να είναι πανομοιότυποι με παράγοντες. Θέλω πολύ να τα μειώσω, αλλά δεν μπορώ. Για να μπορέσετε να μειώσετε ένα αλγεβρικό κλάσμα, πρέπει να μετατραπεί έτσι ώστε να έχει συντελεστές.

Για να γίνει αυτό, θα χρειαστεί να εκτελέσετε πολλά βήματα. Μπορεί να χρειαστεί να περάσετε από όλα αυτά ή ίσως το πρώτο να προσφέρει την κατάλληλη επιλογή.

Ελέγξτε εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ή οποιαδήποτε έκφραση σε αυτά διαφέρουν κατά πρόσημο. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει απλώς να βάλετε μείον ένα εκτός παρενθέσεων. Αυτό παράγει ίσους παράγοντες που μπορούν να μειωθούν.

Δείτε εάν είναι δυνατό να αφαιρέσετε τον κοινό παράγοντα από το πολυώνυμο εκτός παρενθέσεων. Ίσως αυτό να οδηγήσει σε μια παρένθεση, η οποία μπορεί επίσης να συντομευθεί, ή θα είναι ένα αφαιρεμένο μονώνυμο.

Προσπαθήστε να ομαδοποιήσετε τα μονώνυμα για να προσθέσετε στη συνέχεια έναν κοινό παράγοντα σε αυτά. Μετά από αυτό, μπορεί να αποδειχθεί ότι θα υπάρξουν παράγοντες που μπορούν να μειωθούν ή και πάλι η αγκύρωση των κοινών στοιχείων θα επαναληφθεί.

Προσπαθήστε να λάβετε υπόψη τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού γραπτώς. Με τη βοήθειά τους, μπορείτε εύκολα να μετατρέψετε πολυώνυμα σε παράγοντες.

Ακολουθία πράξεων με κλάσματα με δυνάμεις

Για να κατανοήσετε εύκολα το ερώτημα πώς να μειώσετε ένα κλάσμα με δυνάμεις, πρέπει να θυμάστε σταθερά τις βασικές λειτουργίες με αυτές. Το πρώτο από αυτά σχετίζεται με τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων. Σε αυτή την περίπτωση, εάν οι βάσεις είναι ίδιες, πρέπει να προστεθούν οι δείκτες.

Το δεύτερο είναι η διαίρεση. Και πάλι, για όσους έχουν τους ίδιους λόγους, οι δείκτες θα πρέπει να αφαιρεθούν. Επιπλέον, πρέπει να αφαιρέσετε από τον αριθμό που είναι στο μέρισμα και όχι το αντίστροφο.

Το τρίτο είναι η εκθετικότητα. Σε αυτή την περίπτωση, οι δείκτες πολλαπλασιάζονται.

Η επιτυχής μείωση θα απαιτήσει επίσης τη δυνατότητα μείωσης των εξουσιών σε ίσες βάσεις. Δηλαδή να δούμε ότι το τέσσερα είναι δύο στο τετράγωνο. Ή 27 - ο κύβος των τριών. Γιατί η μείωση 9 σε τετράγωνο και 3 κύβους είναι δύσκολη. Αλλά αν μετατρέψουμε την πρώτη έκφραση σε (3 2) 2, τότε η αναγωγή θα είναι επιτυχής.